二元一次方程与一次函数导学案北师大新版

北师大版数学八年级上册6《二元一次方程与一次函数》教学设计3一. 教材分析《二元一次方程与一次函数》是北师大版数学八年级上册第六章的内容，本章主要介绍了二元一次方程和一次函数的定义、性质、解法及其应用。

通过本章的学习，学生能够理解二元一次方程和一次函数的概念，掌握它们的性质和解法，并能运用它们解决实际问题。

二. 学情分析学生在学习本章内容前，已经掌握了初一、初二级别的数学知识，包括一元一次方程、一元一次函数等。

但部分学生可能对这些知识掌握不牢固，对于解决实际问题的能力也有一定的局限性。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的知识基础，引导学生将已有的知识运用到新的学习内容中，并通过实际问题激发学生的学习兴趣。

三. 教学目标1.理解二元一次方程和一次函数的概念，掌握它们的性质和解法。

2.能够运用二元一次方程和一次函数解决实际问题。

3.培养学生的合作交流能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重难点：二元一次方程和一次函数的解法及其应用。

2.难点：理解二元一次方程和一次函数之间的关系，并能运用它们解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过实际问题引入二元一次方程和一次函数的概念，激发学生的学习兴趣。

2.合作学习法：引导学生分组讨论，共同探究二元一次方程和一次函数的解法，培养学生的合作交流能力。

3.案例教学法：通过典型例题，引导学生掌握二元一次方程和一次函数的解法，并能够运用它们解决实际问题。

六. 教学准备1.准备相关课件和教学素材，包括实际问题、典型例题等。

2.准备黑板和粉笔，用于板书关键知识点和解题过程。

3.准备练习题和作业，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个实际问题，引入二元一次方程和一次函数的概念。

例如：某商店进行促销活动，购买一件商品需要支付20元现金或30元支付宝支付，某顾客购买了一件商品，支付了40元现金和30元支付宝支付，请问顾客购买了几件商品？2.呈现（10分钟）呈现二元一次方程和一次函数的定义、性质和解法。

北师大版八年级数学上册《二元一次方程与一次函数》优秀教学设计一. 教材分析《二元一次方程与一次函数》是北师大版八年级数学上册的教学内容。

本节课的主要内容是让学生掌握二元一次方程的定义、解法，以及一次函数的图像和性质。

这部分内容是学生学习函数和方程的基础，对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力具有重要意义。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了初一、初二数学的基础知识，包括一元一次方程、不等式等。

但是，对于二元一次方程和一次函数的关系，以及如何解决实际问题，可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解和掌握二元一次方程和一次函数的基本概念和方法，提高他们解决实际问题的能力。

三. 教学目标1.理解二元一次方程的定义和解法；2.掌握一次函数的图像和性质；3.能够运用二元一次方程和一次函数解决实际问题。

四. 教学重难点1.重难点：二元一次方程的解法，一次函数的图像和性质。

2.难点：如何引导学生理解和掌握二元一次方程和一次函数的关系，以及如何解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过自主学习、合作交流的方式，探索和解决问题；2.使用多媒体辅助教学，通过动画、图片等形式，生动形象地展示二元一次方程和一次函数的图像和性质；3.注重实践操作，让学生通过动手操作，加深对二元一次方程和一次函数的理解。

六. 教学准备1.多媒体教学设备；2.PPT课件；3.练习题和答案；4.教学用具（如黑板、粉笔等）。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何用数学方法解决问题，从而引出二元一次方程和一次函数的概念。

2.呈现（15分钟）利用PPT课件，呈现二元一次方程和一次函数的定义、解法和图像。

通过动画、图片等形式，生动形象地展示二元一次方程和一次函数的图像和性质。

3.操练（15分钟）让学生动手操作，解决一些简单的二元一次方程和一次函数问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

《7.62二元一次方程与一次函数》【自学探究】议一议：请阅读课本241页，然后回答问题：1、小明同学的想法是利用图象，试确定交点坐标.这个结果准确吗？解：2、请把小颖同学的解法书写出来：解：3、你能写出小彬同学的做法吗？解：小结：代数法和图象法的区别何在？【师生合作】做一做：例1、某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y （元）是行李质量x （k g ）的一次函数。

李明带了60 kg 的行李，交行李费5元，张华带了72 kg 的行李，交行李费8元。

①写出y 与x 之间的函数的表达式；②旅客最多可免费携带多少千克的行李？解：利用函数图象与二元一次方程（组）的关系解决实际问题例2、如图是甲、乙两个电信公司对移动电话每月的收费y （元）随时间x （min ）的函数关系图象，根据图象回答下列问题： y/元①甲电信公司的月租是多少，每分钟的话费是多少？50②乙电信公司每分钟的话费是多少？③图中两条直线的交点坐标可以看作哪个方程组的解，它的意义是什么？【课堂检测】1、如图所示，两条直线l 1、l 2的交点坐标可以 看作方程组 的解。

2、在同一坐标系内画出x+y=3和3x-y=5的图形，利用图象求它们的交点坐标为 ，由此便可得到方程组 的解是 3、在直角坐标系中，直线l 1经过（2，3）和（-1，-3），直线l 2经过原点，且与直线l 1交于（-2，a ）①试求a 的值；②试问 x=-2 . y=a【小结】1、 本节课的数学知识：① 比较代数法和图象法的优缺点②利用二元一次方程组确定一次函数的表达式2、 本节课的数学方法：① 数形结合的思想② 待定系数法【中考链接】在一次蜡烛实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时，剩余部分高度与燃烧时间之间的关系如右图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：21 -1 12 xy① 甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是 ，从点燃到燃尽所用的时间分别是 ；②分别求甲乙两根蜡烛燃烧时剩余部分高度与燃烧时间之间的函数关系式；③燃烧多长时间时，甲乙两根蜡烛高度相等（不考虑都燃尽时的情况）？在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高？在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低？【今日作业】1. 生物学研究表明，某种蛇的长度y （cm ）是其尾长x （cm ）的一次函数。

《二元一次方程与一次函数》导学案
【学习目标】
1、我要初步理解二元一次方程与一次函数的关系.
2、我要能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.
【学习重点】
1、我用图象法解二元一次方程组.
2、我要了解二元一次方程组与一次函数的关系.
【合作探究】
1、方程x+y=5的解有多少个？写出其中几个. ____________
2、在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，
3、你能在直线上任取一点，它的坐标是方程的解吗？
4、将方程x+y=5中的y用含有x的代数式表示，y=____________
5、经过你的认真思考，你发现以方程的解为坐标的点组成的_____与一次函数的图象
___________.
小组讨论得到第一个结论：
二元一次方程和一次函数的图像有如下关系：
(1)以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数上；
(2)一次函数图像上的点的坐标都适合相应的．
【我能行】
1.在一次函数y=5－2x的图象上任取一点，它的坐标________方程2x+y=5 (此空填“适合”或“不一定适合”）.
2.以方程2x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数________的图象相同.
小组讨论得到的第二个结论：
【举一反三】
当图象是平行线时，方程的解如何呢？。

《二元一次方程与一次函数》精品教案合方程x＋y＝5吗？4、以方程x＋y＝5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y＝5－x 的图象相同吗？总结：方程x+y=5的解有无数个.以方程x+y=5的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=5-x 的图象相同，是同一条直线.一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图像与相应的一次函数的图象相同，是一条直线.活动探究二：想一想，回答下面的问题1.在同一个直角坐标系内分别作出一次函数y＝5－x 和y＝2x－1的图象,这两个图象有交点吗?2.交点的坐标与方程组的解有什么关系？总结：一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线的交点的坐标.活动探究三：想一想，回答下面的问题在同一直角坐标系内，一次函数y=x+1和y=x-2的图像有怎样的位置关系？方程组解的情况如何？你发现了什么？变式1：直线y=7x+m 与x 轴的交点坐标是（5，0），则关于x 的方程7x+m=0的解是x=______。

变式2:一次函数y=4x+8与y=6x+n 图像交点为m （-4，-8），试确定方程组的解和n 的值.拓展提高：如图，一次函数l1:y=2x+3与一次函数l2:y=px+q 相交于点m（ 1.5，5），则关于x 的不等式2x+3≥px+q 的解集为______.通过自主探索，使学生初步体会“数”（二元一次方程）与“形”（两条直线）之间的对应关系，为求两条直线的交点坐标打下基础．学生分小组讨论，并相互补充交流生初步感受到了“数”的问题可以转化为“形”来处理，反之“形”的问题可以转化成“数”来处理，培养了学生的创新意识和变式能力．进一步揭示“数”的问题可以转化成“形”来处理，但所求解为近似解．通过例2，让学生深刻感受到由“形”来处理的困难性，由此自然想到求这两条直线对应的函数表达式，把“形”的问题转化成“数”来处理．这两例充分展示了数形结合的思想方法，为下一课时解决实际问题作了很好的铺垫．进一步培养了学生数形结合的意识和能力，充分展示了方程与函数的相互转化．作业布置：必做题：习题5.6第2、3题．选做题：习题5.6第4题．课堂小结1、二元一次方程的解是一次函数上点的坐标;一次函数上每一个点的坐标就是二元一次方程的一组解.2、从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；3、解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线的交点的坐标.4、两平行直线的k相等；方程组中两方程未知数的系数对应成比例方程组无解,对应的两直线平行旨在使本节课的知识点系统化、结构化，只有结构化的知识才能形成能力；使学生进一步明确学什么，学了有什么用．充分展示知识的发生、发展及应用过程．对同学的回答，教师给予点评，对回答得好的学生教师给予表扬、鼓励．板书7.6二元一次方程与一次函数1．二元一次方程与一次函数的图像的关系2．方程组和对应的两条线的关系3．解二元一次方程组的新方法图像法。

第五章二元一次方程组6二元一次方程与一次函数教学目标教学反思1.初步理解二元一次方程与一次函数的关系，能根据一次函数的图象求二元一次方程组的解.2.通过思考和操作，建立“数”与“形”之间的对应，培养学生初步的数形结合的意识和能力.3.通过自主探索，揭示方程和图象之间的对应关系，培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精神，进一步激发学生学习数学的兴趣.教学重难点重点：二元一次方程组的图象解法以及用二元一次方程组求两直线交点的方法.难点：数形结合思想和转化思想.教学过程导入新课探究新知一、合作探究问题1：方程x+y＝5的解有多少个？问题2：点(0，5)，(5，0)，(2，3)在一次函数y＝5-x的图象上吗？问题3：在一次函数y＝5-x的图象上任取一点，它的坐标适合方程x+y＝5吗？问题4：以方程x+y＝5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y＝5-x的图象相同吗？意图：通过设置问题情景，让学生感受方程x+y＝5和一次函数y＝5-x相互转化，启发引导学生总结二元一次方程与一次函数的对应关系.效果：以“问题串”的形式，启发引导学生探索知识的形成过程，培养了学生的数学转化思想.学生归纳：二元一次方程和一次函数图象的关系：1.以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上；2.一次函数图象上的点的坐标都适合相应的二元一次方程.二、自主探索内容：1.解方程组5, 2 1. x yx y+=⎧⎨-=⎩2.上述方程移项变形转化为两个一次函数y＝-x+5和y＝2x-1,在同一直角坐标系内分别作出这两个函数的图象（学生在已经准备好的坐标系内作图）.3.思考：方程组的解和这两个函数的图象的交点坐标有什么关系？（1）确定两条直线的交点坐标，相当于求对应的二元一次方程组的解；（2）解一个二元一次方程组相当于确定对应的两条直线交点的坐标.根据以上两点，思考：解二元一次方程组有什么方法？（直接解方程组法、图象找交点法）反过来，求两个一次函数的交点又有哪些方法？（图象找交点法、联立解方程组法）意图：通过自主探索，使学生初步体会“数”(二元一次方程)与“形”(两条直线)之间的对应关系，为求两条直线的交点坐标打下基础.效果：由学生自主学习，十分自然地建立了数形结合的意识，学生初步感受到了“数”的问题可以转化为“形”来处理，反之，“形”的问题可以转化成“数”来处理，培养了学生的创新意识和变式能力.教师归纳总结：一般地,从形的角度看,确定两条直线的交点坐标相当于求相应的二元一次方程组的解；从数的角度看,解二元一次方程组相当于确定相应的两条直线的交点坐标.三、例题讲解例1如图,直线l1:y＝x+1与直线l2:y＝mx+n相交于点P(1,b).(1)求b的值；教学反思(2)不解关于x ,y 的方程组{y ＝x +1,y ＝mx +n ,请你直接写出它的解；(3)直线l 3:y ＝nx+m 是否也经过点P ?请说明理由.【解】(1)因为点(1,b )在直线y ＝x+1上, 所以b ＝1+1＝2.(2)方程组的解是{x ＝1,y ＝2.(3)直线y ＝nx+m 也经过点P .理由如下:因为点P 在直线l 2上,所以m+n ＝2.因为当x ＝1时,y ＝nx+m ＝m+n ＝2，所以点(1,2)的坐标满足直线y ＝nx+m 的函数关系式,即直线l 3经过点P . 变式训练 用图象法解方程组{x −2y ＝4,2x +y ＝4时,下列图象正确的是 ( )A B C D答案：C例2 如图所示,已知一次函数y ＝ax+2与y ＝kx+b的图象交于点A ,且方程组{ax −y ＝−2,kx −y ＝−b 的解为{x ＝2,y ＝1,点B 的坐标为(0,-1).你能确定两个一次函数的关系式吗?【解】因为方程组{ax −y ＝−2,kx −y ＝−b 的解为{x ＝2,y ＝1,所以交点A 的坐标为(2,1).因为点A 在函数y ＝ax+2的图象上, 所以2a+2＝1,教学反思所以a ＝-12.因为点A (2,1)和点B (0,-1)在函数y ＝kx+b 的图象上, 所以{2k +b ＝1,b ＝−1,解得{k ＝1,b ＝−1.所以两个一次函数的关系式为y ＝-12x+2,y ＝x -1.变式训练：如图,直线y 1＝2x+3和直线y 2＝-2x -1分别交y 轴于点A ,B ,两直线交于点C.(1)求C 点的坐标； (2)求△ABC 的面积.解：(1)解方程组{y ＝2x +3,y ＝−2x −1,得{x ＝−1,y ＝1.∴ 点C 的坐标为(-1,1).(2)直线y 1＝2x+3与y 轴的交点A 的坐标为(0,3), 直线y 2＝-2x -1与y 轴的交点B 的坐标为(0,-1), ∴ AB ＝4.∴ S △ABC ＝12×4×|-1|＝2.例3 若方程组{x +y ＝2,2x +2y ＝3没有解,则一次函数y ＝2-x 与y ＝32 -x 的图象必定( )A.重合B.平行C.相交D.无法确定【解析】因为方程组{x +y ＝2,2x +2y ＝3没有解,所以一次函数y ＝2-x 与y ＝32-x的图象没有交点.所以一次函数y ＝2-x 与y ＝32-x 的图象必定平行.【答案】B技巧点拨：二元一次方程组无解时,相应的两个一次函数图象没有交点,即两条直线平行；反之亦然.课堂练习1.已知二元一次方程组22,22x y x y -=-⎧⎨-=⎩的解为2,2,x y =⎧⎨=⎩则函数教学反思121+=x y 与22-=x y 的图象的交点坐标为____________.2.已知一次函数y ＝3x -1与y ＝2x 图象的交点坐标是（1，2），求方程组31,2x y y x -=⎧⎨=⎩的解.3.有一组数同时适合方程x +y ＝2和x + y ＝5吗？一次函数x y -=2与x y -=5的图象之间有什么关系？4.如图，两条直线l 1与l 2的交点坐标可以看成哪个方程组的解？参考答案1.(2,2)2.解：1,2.x y =⎧⎨=⎩3.解：没有，平行.4.解：33,21 1.3y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩课堂小结(学生总结，老师点评)1.二元一次方程和一次函数的图象的关系.2.二元一次方程组和对应的两条直线的关系.3.解二元一次方程组的方法有3种： （1）________________； （2）________________； （3）________________.目的：充分展示知识的发生、发展及应用过程.对同学的回答，教师给予点评，对回答得好的学生教师给予表扬、鼓励.布置作业1.随堂练习2.求两条直线y＝3x-2与y＝-2x+4和x轴所围成的三角形的面积板书设计第五章二元一次方程组6二元一次方程与一次函数1.二元一次方程与一次函数的关系（1）以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上；（2）一次函数图象上的点的坐标都适合相应的二元一次方程.2.二元一次方程组与一次函数的关系一般地,从形的角度看,确定两条直线的交点坐标相当于求相应的二元一次方程组的解；从数的角度看,解二元一次方程组相当于确定相应的两条直线的交点坐标.。

二元一次方程与一次函数教学目标1．知识与能力目标①二元一次方程和一次函数的关系。

②二元一次方程组的图象解法。

③通过学生的思考和操作，力图提示出方程与图象之间的关系，引入二元一次方程组的图象解法。

同时培养学生初步的数形结合的意识和能力。

2．情感态度价值观目标通过学生的自主探索，提示出方程和图象之间的对应关系，加强新旧知识的联系，培养学生的创新意识，激发了学生学习数学的兴趣，使学生体验数学活动充满探索与创造。

教材分析前面已经分别学习了一次函数和二元一次方程组，这节课研究二元一次方程组（数）和一次函数（形）的关系，是这两章知识的综合运用。

强化了部分与整体的内在联系，知识与知识的内在联系，并为今后解析几何的学习奠定基础。

教学重点1、二元一次方程和一次函数的关系。

2、能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。

教学难点方程和函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力。

教学方法学生操作------自主探索的方法学生通过自己操作和思考，结合新旧知识的联系，自主探索出方程与图象之间的对应关系，以引入二元一次方程组的图象解法，同时也建立了“数”----二元一次方程组和“形”----函数的图象（直线）之间的对应关系，培养了学生数形结合的意识和能力。

教学过程一．故事引入迪卡儿的故事------蜘蛛给予的启示十七世纪法国数学家迪卡儿有一次生病卧床，他看见屋顶上的一只蜘蛛顺着丝左右爬行。

迪卡儿看到蜘蛛的“表演”猛的机灵一动。

他想，可以把蜘蛛看成一个点，它可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的位置用一组数确定下来呢？在蜘蛛爬行的启示下，迪卡儿创建了直角坐标系，在坐标系下几何图形（形）和方程（数）建立联系。

迪卡儿坐标系起到了桥梁和纽带的作用。

从而我们可以把图形化成方程来研究，也可以用图象来研究方程。

这节课我们就来研究二元一次方程（数）与一次函数（形）的关系。

二．尝试探疑1、Y=x+1你们把我叫一次函数，我也是二元一次方程啊！这是怎么回事，你知道吗？学生先是疑惑：方程就是方程，函数就是函数，它们能有什么联系呢？然后通过思考、交流，最后恍然大悟。

二元一次方程组与一次函数【学习目标】1、初步理解二元一次方程和一次函数的关系;2、掌握二元一次方程组和对应的两条直线之间的关系。

【学习过程】一、温故知新1、一次函数的图象是 .2、已知y －5=k x （k ≠0）,且当x=1时，y=7,则y 与x 之间的关系式为___________.3、如图，直线y=—2x+6与x 轴、y 轴分别相交于点C 、B ，与直线y=x 相交于点A 。

（1）求点B 和点C 的坐标；（2）求这两条直线的交点A 的坐标。

二、新知探究，研读课本123页，回答以下问题：探究一:1．方程组⎩⎨⎧=-=+125y x y x 的解为⎩⎨⎧ 2．上述两个方程移项变形转化为两个一次函数为：y = 和y = 。

3．方程x+y =5的解有多少个?⎩⎨⎧==50y x ;⎩⎨⎧==05y x ；⎩⎨⎧==32y x 是这个方程的解吗? 4．点（0，5），(5，0），（2，3)在一次函数y ＝5+-x 的图像上吗?5．在一次函数y ＝5+-x 的图像上任取一点，它的横坐标x 和纵坐标y 满足方程x+y =5吗？6．以方程x+y =5的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数y ＝5+-x 的图像相同吗？7．在同一直角坐标系内分别作出这两个函数的图像(参照课本图5-1),则方程组的解和交点坐标有什么关系？结论1：每个二元一次方程都可以看成一次函数，反之，亦然；结论2：以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上;结论3：一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程；结论4：两条直线的交点坐标是对应的方程组的解。

思考：如果两个一次函数的图象互相平行，k 是什么关系？对应方程组的解如何？ 三、知识运用1。

用作图像的方法解方程组22,2 2.x y x y -=-⎧⎨-=⎩2.如右图，求直线1l 与2l 的交点坐标.四、课堂小结1、二元一次方程和一次函数图象的关系:以二元一次方程的解为坐标的点都在对应的函数图象上.一次函数图象上的点的坐标都适合对应的二元一次方程。