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三角形的相似性质与判定定理
三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
(1)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似,(简叙为两角对应相等两三角形相似)。
(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角成正比,那么这两个三角形相近(简叙为:两边对应成比例且夹角成正比,两个三角形相近。
)
(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的`三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似。
)
1、相近三角形对应角成正比，对应边变成比例。
2、相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。
3、相近三角形周长的比等同于相近比。
4、相似三角形面积的比等于相似比的平方。
5、相近三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相近比相同，内切圆、外接圆面积比是相近比的平方。
(1)相似三角形的对应角相等.
(2)相似三角形的对应边成比例.
(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
(4)相似三角形的周长比等于相似比.
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.
判定方法
证两个相似三角形应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
如果是文字语言的“△ABC与△DEF相似”，那么就说明这两个三角形的对应顶点没有写在对应的位置上，而如果是符号语言的“△ABC∽△DEF”，那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。
方法一（预备定理）
平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。
（这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。
这个引理的证明方法需要平行线分线段成比例的证明）
方法二
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等, 那么这两个三角形相似。
(AA')
方法三
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等, 那么这两个三角形相似（SAS）
方法四
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似(SSS)
方法五（定义）
对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形的定义和判定方法相似三角形是指两个三角形的对应角度相等，且对应边的比值相等的情况下成为相似三角形。
相似三角形的判定方法包括角-角-角（AAA）相似定理、边-边-边（SSS）相似定理和边-角-边（SAS）相似定理。
下面将依次介绍相似三角形的定义和判定方法。
1. 相似三角形的定义相似三角形的定义是指两个三角形的对应角度相等，且对应的边长成比例。
具体而言，对于三角形ABC和DEF来说，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，并且AB/DE=BC/EF=AC/DF，则称三角形ABC与三角形DEF相似。
2. 角-角-角（AAA）相似定理角-角-角（AAA）相似定理是指如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形是相似的。
根据该定理，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则可以判定三角形ABC与三角形DEF是相似的。
3. 边-边-边（SSS）相似定理边-边-边（SSS）相似定理是指如果两个三角形的对应边长成比例，则这两个三角形是相似的。
根据该定理，如果AB/DE=BC/EF=AC/DF，则可以判定三角形ABC与三角形DEF是相似的。
4. 边-角-边（SAS）相似定理边-角-边（SAS）相似定理是指如果两个三角形的两条边分别成比例，且夹角相等，则这两个三角形是相似的。
根据该定理，如果AB/DE=AC/DF，且∠A=∠D，则可以判定三角形ABC与三角形DEF是相似的。
总结：相似三角形是指两个三角形的对应角度相等，且对应边的比值相等的情况下成为相似三角形。
相似三角形的判定方法包括角-角-角（AAA）相似定理、边-边-边（SSS）相似定理和边-角-边（SAS）相似定理。
通过这些判定方法，我们可以确定两个三角形是否相似，并且进一步分析它们的性质和关系。
相似三角形在几何学中具有重要的应用，可以用于解决各种问题，如比例求解、测距等。
以上是关于相似三角形的定义和判定方法的介绍。
相似三角形的几何性质和应用领域涉及广泛，深入理解和掌握相似三角形的定义和判定方法可以为几何学的研究和实际问题的解决提供有力的工具和方法。
判定三角形相似的定理
对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形，判定三角形相似的定理有：
1.平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角
形与原三角形相似。
2.如果两个三角形对应边的比相等且夹角相等，那么这两个三角形相似。
3.如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两
个三角形相似。
4.如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两
个三角形相似。
三角形相似的判定定理
三角形相似的判定定理的意思是，如果两个三角形的两个相邻的角夹角都相等，而他
们的各个对边比值也相等，那么它们两个三角形就是相似的，也即它们之间存在一个等比
缩放。
它也称为三角形相似性定理，该定理由著名数学家凯撒·克劳迪乌斯于公元前三世纪
创立，由此定理衍生出的凯撒公式更是一直被用于今天的教学，其中一致的特点是它的极
端的简洁性和精确性。
此外，按照三角形相似判定定理的要求，今天的学生们也可以使用凯撒公式来确定两
个三角形是否相似。
凯撒公式记为：A/a =B/b=C/c，其中，A、B、C代表三角形ABC的角，a、b、c代表三角形DEF的角。
这种公式表达出三角形相似定理及其所涉及的所有重要内容，即使在极端条件下也能精准地判定两个三角形是否相似。
从学生的角度来看，无论学习怎样的数学定理，我们都会花费许多的时间和精力去理解，三角形相似性定理就是其中之一，它最重要的特点之一就是能够精确表达出两个三角
形的相似性，而这也是三角形的特点，另外它也可以采用凯撒公式来确定两个三角形是否
相似，从而简便明了地理解判定三角形相似性定理应用到实际生活中所带来的巨大好处。
相似三角形的判定定理
近些年来，相似三角形的判定定理开始备受话题，它是几何学中的重要理论，故本文专门针对这一定理进行深入论述。
相似三角形是指含有相同角度的三角形，也就是两个三角形的外角相等。
而当两个三角形中腰边的比例相等时，则可以推出这两个三角形相似的定理，这就是相似三角形的判定定理。
该定理实质是：设三角形ABC有三边分别为a,b,c ,它的三个内角分别为A,B,C；另三角形A'B'C'具有相同角度，其边长分别为a',b',c'；那么当两个三角形有相同比
例时，则能断定这两个三角形是相似的，比例值即为a:a’=b:b’=c:c’。
相似三角形的判定定理在数学中有着广泛的应用，它可以用于解决在构图（geometric figures）、测量、研究面积以及体积计算等技术问题。
通过相似三角
形的判定，我们可以求解许多深度抽象的数学难题，例如计算海岸环形多边形的面积和体积等。
另外，该定理在投影映射，图象的缩放，等值面等地理学方面开展研究始终备受关注，它可以帮助我们解决日常生活中实用问题。
至此，相似三角形的判定定理不仅可以解决知识结构种类繁多的数学问题，而且在严谨思维，统筹拳头等方面也起到了重要作用，值得大家深入研究学习，尤其是数学爱好者更应急加重视，以解读聪明机械背后的奥秘。
初中数学知识点：相似三角形的三个判定定理
定理：两角分别相等的两个三角形相似.
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
三边成比例的两个三角形相似.
要点诠释：
（1）要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
（2）此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
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三角形相似的判定方法一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 特殊、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高， 则AD 2=BD ·DC ，AB 2=BD ·BC ，AC 2=CD ·BC 。
二 相似三角形常见的图形三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反A 共角型”、“反A 共角共边型”、 “蝶型”）ACD E 12AADDEE12412DBCEAD(3)BCAE (2)CB（3） 如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。
一．证明相似的四种判定1、两角对应相等，两三角形相似。
2、两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
3、三边对应成比例，两三角形相似。
4、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例。
平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。
（这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。
这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明。
）扩展资料：常用的判定定理有以下6条：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
（简叙为：两角对应相等，两个三角形相似。
）（AA）判定定理2：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
）（SAS）判定定理3：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。
（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。
）（SSS）判定定理4：两三角形三边对应平行，则两三角形相似。
（简叙为：三边对应平行，两个三角形相似。
）判定定理5：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
（简叙为：斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
）（HL）判定定理6：如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似（相似比为1：1）（简叙为：全等三角形相似）。
相似的判定定理与全等三角形基本相等，因为全等三角形是特殊的相似三角形。
