4.5 相似三角形判定定理的证明.ppt

③中的三角形的三边分别是：2 2, 2,2 5；
④中的三角形的三边分别是：3, 17, 4 2
∵①与③中的三角形的三边的比为：1: 2
∴①与③相似．故答选：A
02
练一练
2．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（
）
【详解】
解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为 2，2 2， 10．
目录
02
重点
03
难点
运用两种判定方法判定两个三角形相似。
三角形相似的条件归纳、证明。
01
LEARNING OBJECTIVES
学习目标
1、初步掌握“三边成比例的两个三角形相似”和
“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定方法。
2、能够运用三角形相似的条件解决简单的问题。
01
判定三角形全等条件知识点回顾
AB
AC
在△ABC和△A’B’C’中, A′B′ = A′C′ , ∠A = ∠A′ ,
求证:△ ABC ∽△ A′B′C′？
A’
∵△A'DE∽△A'B‘C’
A
A′D
D
B
DE
′
∴ A′B′ = B′C′ = A′C′，而AB=A’D
E
C
∴
AC
A′C′
=
′
A′C′
∴ AC=A’E 而∠A = ∠A′
可得△A'DE∽△A'B'C'．
01
探究与证明（通过三边判定两个三角形相似）
AB
BC
AC
在△ABC和△A’B’C’中， A′B′ = B′C′ = A′C′ , 求证:△ ABC ∽△ A′B′C′？

实例讲解 1.在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB＝6cm，BC＝
8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，
A′C′＝30cm．试证明△ABC与△A′B′C′相似．
证明：∵ AB 6 1
AB 18 3
BC 8 1 BC 24 3
AC 10 1 AC 30 3
∴
∴ AC = AC AE A'C'
∴AE=A'C'
而∠A=∠A'
B'
C'
∴△ADE≌△A'B'C' ∴△ABC∽△A'B'C'
总结 相似三角形的判定定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
推理形式：
在△ABC和△A'B'C'中,
AB AC k, A' B' A'C'
∠A=∠A’,
∴△ABC∽△A’B’C’
C
你能证明吗？ 可要仔细哟！
A
D
B
探究4
C
证明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB
∵∠CDA=∠ACB=90° A
D
B
∵∠A=∠A
∵△ACD∽△ABC
同理△CBD∽△ABC
∴△ACD∽△ABC∽△ACD
总结
直角三角形相似判断：直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形
和原三角形相似.
C
推理形式：
在Rt△ABC中，
AB BC AC
AB BC AC
∴△ABC∽△A′B′C′（三边对应成比例的两个三角形
相似）．
方法选择
C
相似三角形的基本图形

xx年xx月xx日
图形的相似相似三角形判定定理的证明
引言相似三角形的判定定理证明定理证明的运用其他相似三角形的判定方法结论
contents
目录
引言
01
探索相似三角形判定定理的证明方法和思路
了解三角形相似的定义和性质
目的和背景
相关定义和定理
面积比等于相似比的平方
对应边上的高、中线、角平分线对应成比例
对应角相等，对应边成比例
相似三角形的定义：两个三角形对应角相等，对应边成比例，则称它们为相似三角形
相似三角形的性质
相似三角形的判定定理证明
02
பைடு நூலகம்
证明过程
使用三边对应成比例进行证明的方法是，如果三角形的三边成比例，那么它们的对应角也相等。首先，假设两个三角形的三边对应成比例，即 $a_1/a_2 = b_1/b_2 = c_1/c_2$。然后，根据三角形内角和公式，我们有 $\angle A_1 + \angle B_1 + \angle C_1 = \angle A_2 + \angle B_2 + \angle C_2$
定理证明的运用
03
用于证明两个三角形相似
要点三
定理1
如果一个三角形的两个角分别等于另一个三角形的两个角，那么这两个三角形相似。
要点一
要点二
定理2
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
定理3
如果一个三角形的两边和其中一边的对角与另一个三角形的对应边和对应角的比相等，那么这两个三角形相似。
使用平行四边形对角线互相平分进行判定
结论
05
三角形相似的定义和性质

课程讲授
1 三边成比例的两个三角形相似
A′ A
B
C
B′
C′
AB A'B'
=
BC B'C'
= CA C'A'
△ABC∽△A'B'C'
课程讲授
1 三边成比例的两个三角形相似
问题2：运用所学知识，证明你的结论.
已知：如图，△ABC和△A'B'C'中，AB = BC = CA A'B' B'C' C'A'
BD BC DC 3 A
∴ △ABD∽△BDC， ∴∠ABD=∠BDC，
∴AB∥DC.
14 B
D
31.5 21
42
C
课堂小结
判定定理1
三边成比例的两个三角形相似．
相似三角形 的判定
判定定理2
两边成比例且夹角相等的两个三 角形相似．
练一练：如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，
要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（ C ）
A. AC AB
AD AE
B. AC BC
AD DE
C. AC AB
AD DE
D. AC BC
AD AE
随堂练习
1.已知△ABC的三边长分别为6 cm,7.5 cm,9 cm，△DEF的一 边长为4 cm，当另两边的长是下列哪一组时，这两个三角形
=
AB AD
=
BC DE
，
∴△ABC∽△ADE.
随堂练习
5.如图，已知AD·AC=AB·AE. （1）求证：△ADE∽△ABC;
证明：∵AD·AC=AB·AE，

1．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD＝1，BD＝2，则DE:BC的值为( )A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:9 2．如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC＝( )A．1∶4 B．1∶3 C．2∶3 D．1∶2
D
E
证明 ：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′，
AE＝A′C′
连接DE.
D
E
而∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE
（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）
∴△ADE≌△A′B′C′
∴△ABC∽△A'B'C'
问题1：定理2，3的证明过程与定理1的证明过程共同点是什么？
作平行线→相似→相等→相似
几何语言：
已知：如图，△ABC和△ A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′，
求证 ：△ABC∽△A'B'C'
D
E
证明 ：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′，
过点D作BC的平行线，交AC于点E，
则∠ADE＝∠B，
∠AED＝∠C，
（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）授课老师：时间：204年9月15日BD
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且CD＝2，DE＝1，则BC的长为_______．4．△ABC中，AB=10 ，AC=6 ，点D在AC上且AD=3 ，若要在AB上找一个点E，使△ADE与△ABC相似，则AE= __ ．
5或
同学们再见！
∴△ADE≌△A′B′C′

BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形. （1）AE是ΔASR的高吗？为什么？ 解： AE是ΔASR的高.
理由如下：
A
∵AD是ΔABC的高， ∴ ∠ADC=90 °.，
SE R
∵四边形PQRS是正方形 ∴SR ∥BC
B PD Q C
∴∠AER=∠ADC=90 °，
∴ AE是ΔASR的高.
A1 ∟D1
B1
A ∟D B
2.如果CD和C1D1分别是他们的对应角C平分线呢？C1
3.如果CD和AC11D1分D别1是他们B的1对应中线呢？ A DB
C C1
量一量，猜一猜
A ∟D
B
A1
∟D1
B1
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C1
BC 1
ΔABC ∽ ΔA1B1C1,
B1C1 2
,CD和C1D1分别是它们的高
CD
, 你知道 C1D1等于多少吗？
分析：
A
情况二：SP=2SR
设SR=xcm，则SP=2xcm
10 2x x
得到： 10
5
所以 x=2.5 2x=5
S矩形PQRS=2.5×5=12.5cm2
S ER
B P DQ C 原来是分 类思想呀
！
二 相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似
比
问题：把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角
∵AD=A′B′,∠A=∠A′，AE=A′C′
∴ ΔA DE≌ΔA′B′C′，
∴ ∠ADE=∠B′，
又∵ ∠B′=∠B，
D
∴ ∠ADE=∠B，
∴ DE//BC，
B
∴ ΔADE∽ΔABC.

全等三角形是特殊的相似三角形，当相似比为1时性质探究
对应角相等
01
定义
两个三角形如果它们的对应角 相等，则称这两个三角形相似
。
02
性质
相似三角形的对应角相等，即 如果∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，
则∠C = ∠C'。
03
示例
通过测量和比较两个三角形的 对应角度，可以判断它们是否
相似。
对应边成比例
03
定义
性质
示例
两个三角形如果它们的对应边成比例，则 称这两个三角形相似。
相似三角形的对应边成比例，即如果 AB/A'B' = BC/B'C' = CA/C'A'，则△ABC ∽ △A'B'C'。
通过测量和比较两个三角形的对应边长， 可以判断它们是否相似。
面积比与边长比关系
01
平行线截割定理证明
平行线截割定理应用
在解决相似三角形问题时，可以利用 平行线截割定理来寻找相似三角形的 对应边。
通过相似三角形的性质，可以证明对 应线段之间的比例关系。
三角形中位线定理
三角形中位线定理内容
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
三角形中位线定理证明
通过相似三角形的性质和平行线截割定理，可以证明三角形中位线 与第三边的关系。
01
更高层次相似三角形知识
02
相似多边形的性质和判定方 法
03
相似三角形与相似多边形之 间的关系和联系
拓展延伸：介绍更高层次相似三角形知识
• 相似三角形在几何变换中的应用，如平移、旋转、对 称等
拓展延伸：介绍更高层次相似三角形知识