相似三角形的判定定理

三角形的相似性质与判定定理
三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。

(1)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似,(简叙为两角对应相等两三角形相似)。

(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角成正比,那么这两个三角形相近(简叙为:两边对应成比例且夹角成正比,两个三角形相近。

)
(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的`三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似。

)
1、相近三角形对应角成正比，对应边变成比例。

2、相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。

3、相近三角形周长的比等同于相近比。

4、相似三角形面积的比等于相似比的平方。

5、相近三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相近比相同，内切圆、外接圆面积比是相近比的平方。

相似三角形的定义和判定方法相似三角形是指两个三角形的对应角度相等，且对应边的比值相等的情况下成为相似三角形。

相似三角形的判定方法包括角-角-角（AAA）相似定理、边-边-边（SSS）相似定理和边-角-边（SAS）相似定理。

下面将依次介绍相似三角形的定义和判定方法。

1. 相似三角形的定义相似三角形的定义是指两个三角形的对应角度相等，且对应的边长成比例。

具体而言，对于三角形ABC和DEF来说，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，并且AB/DE=BC/EF=AC/DF，则称三角形ABC与三角形DEF相似。

2. 角-角-角（AAA）相似定理角-角-角（AAA）相似定理是指如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形是相似的。

根据该定理，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则可以判定三角形ABC与三角形DEF是相似的。

3. 边-边-边（SSS）相似定理边-边-边（SSS）相似定理是指如果两个三角形的对应边长成比例，则这两个三角形是相似的。

根据该定理，如果AB/DE=BC/EF=AC/DF，则可以判定三角形ABC与三角形DEF是相似的。

4. 边-角-边（SAS）相似定理边-角-边（SAS）相似定理是指如果两个三角形的两条边分别成比例，且夹角相等，则这两个三角形是相似的。

根据该定理，如果AB/DE=AC/DF，且∠A=∠D，则可以判定三角形ABC与三角形DEF是相似的。

总结：相似三角形是指两个三角形的对应角度相等，且对应边的比值相等的情况下成为相似三角形。

相似三角形的判定方法包括角-角-角（AAA）相似定理、边-边-边（SSS）相似定理和边-角-边（SAS）相似定理。

通过这些判定方法，我们可以确定两个三角形是否相似，并且进一步分析它们的性质和关系。

相似三角形在几何学中具有重要的应用，可以用于解决各种问题，如比例求解、测距等。

以上是关于相似三角形的定义和判定方法的介绍。

相似三角形的几何性质和应用领域涉及广泛，深入理解和掌握相似三角形的定义和判定方法可以为几何学的研究和实际问题的解决提供有力的工具和方法。

相似三角形判定定理的证明核心知识相似三角形是几何学中一个重要的概念，涉及到角度、比率以及几何图形的比例关系。

掌握相似三角形的判定定理及其证明，是深入学习几何学和解决几何问题的基础。

本文将从相似三角形判定定理的基本理论出发，探讨其证明过程中的核心知识和技巧。

一、相似三角形的定义在几何学中，如果两个三角形的对应角相等，并且对应边的比率相等，那么这两个三角形被称为相似三角形。

用数学语言表述，即：三角形ABC与三角形DEF相似（记作△ABC ∼ △DEF），当且仅当角A = 角D，角B = 角E，角C = 角F，并且AB/DE = BC/EF = AC/DF。

二、相似三角形的判定定理角角（AA）判定定理如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形是相似的。

证明核心知识：角相等性：两角相等是三角形相似的充要条件之一。

利用角的和为180度的性质，如果两角分别相等，那么第三个角也必然相等。

相似三角形的边比性质：通过角角判定定理可以直接推导出对应边的比率相等。

边角边（SAS）判定定理如果两个三角形的两边的比率相等，并且夹角相等，则这两个三角形是相似的。

证明核心知识：边比与夹角：利用相似三角形中夹角的性质，可以证明两三角形的边比相等是它们相似的充分条件。

三角形的全等性：通过证明三角形的两边比率相等并且夹角相等，进一步确定了三角形的相似关系。

边边边（SSS）判定定理如果两个三角形的三边的比率分别相等，那么这两个三角形是相似的。

证明核心知识：边比的相等性：边边边定理通过对比三角形的三边比率的相等性，利用相似三角形的比例性质进行证明。

比率恒等性：三边比率相等可以导出三角形的角度关系，继而说明两个三角形的相似性。

三、证明相似三角形的基本方法角相等的证明方法角角判定定理的证明一般包括两个步骤：证明两个角相等，然后利用三角形内角和为180度的性质推导出第三个角的相等性。

证明过程中常用的方法包括：角对角对比：利用已知条件或外部角定理证明两个角相等。

直角三角形相似判定定理
一、定义法
如果两个直角三角形的三条边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

二、定理法
1.勾股定理：在直角三角形中，勾股定理表述了直角三角形的两条直角边的
平方和等于斜边的平方。

如果两个直角三角形的斜边相等，那么这两个直角三角形相似。

2.毕达哥拉斯定理：在直角三角形中，毕达哥拉斯定理表述了直角三角形的
两条直角边的平方和等于斜边的平方。

如果两个直角三角形的两条直角边对应相等，那么这两个直角三角形相似。

三、斜边中线法
在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

如果两个直角三角形的斜边中线对应相等，那么这两个直角三角形相似。

四、两锐角对应相等
如果两个直角三角形的两个锐角对应相等，那么这两个直角三角形相似。

五、夹边中线法
在直角三角形中，夹边上的中线等于夹边的一半。

如果两个直角三角形的夹边中线对应相等，那么这两个直角三角形相似。

六、两边对应成比例且夹角相等
如果两个直角三角形的两边对应成比例且夹角相等，那么这两个直角三角形相似。

七、两边对应成比例且夹边平行
如果两个直角三角形的两边对应成比例且夹边平行，那么这两个直角三角形相似。

八、两锐角对应相等且夹边平行
如果两个直角三角形的两锐角对应相等且夹边平行，那么这两个直角三角形相似。

九、两角对应相等且夹边平行
如果两个直角三角形的两角对应相等且夹边平行，那么这两个直角三角形相似。

相似三角形判定定理
一、相似三角形有四个判定定理，分别是：
1、平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似。

2、两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。

3、如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。

4、如果两个三角形的两个角分别对应相等，则有两个三角形相似。

二、扩展资料：
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

（简叙为：两角对应相等，两个三角形相似。

）（AA）
判定定理2：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。

）（SAS）
判定定理3：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。

（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。

）（SSS）。

相似三角形的判定•相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

互为相似形的三角形叫做相似三角形。

例如图中，若B'C'//BC，那么角B=角B'，角BAC=角B'A'C'，是对顶角，那么我们就说△ABC∽△AB'C'•相似三角形的判定：1.基本判定定理(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。

)(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。

)(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），那么这两个三角形相似。

2.直角三角形判定定理(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

3.一定相似：（1）.两个全等的三角形（全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1：1）（2）.两个等腰三角形（两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。

）（3）.两个等边三角形(两个等边三角形，三个内角都是60度，且边边相等，所以相似)（4）.直角三角形中由斜边的高形成的三个三角形。

•相似三角形判定方法：证两个相似三角形应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

如果是文字语言的“△ABC与△DEF相似”，那么就说明这两个三角形的对应顶点可能没有写在对应的位置上，而如果是符号语言的“△ABC∽△DEF”，那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。

一、（预备定理）平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。

三角形相似的判定方法一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 特殊、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高， 则AD 2=BD ·DC ，AB 2=BD ·BC ，AC 2=CD ·BC 。

二 相似三角形常见的图形三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。

（有“反A 共角型”、“反A 共角共边型”、 “蝶型”）ACD E 12AADDEE12412DBCEAD(3)BCAE (2)CB（3） 如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。

相似三角形的判定条件及证明相似三角形是几何学中重要的概念，它们具有相似的形状但可能具有不同的大小。

在实际问题中，我们经常需要确定两个三角形是否相似。

本文将介绍判定相似三角形的条件及其证明方法。

1. AA相似定理如果两个三角形的两个角分别相等（其中一个角必须是对应角），那么这两个三角形是相似的。

证明：设三角形ABC和三角形DEF满足条件，即∠A = ∠D，∠B = ∠E 或∠C = ∠F。

我们需要证明它们是相似的。

根据AA相似定理，我们只需证明另外一个对应角也相等。

假设∠A = ∠D，∠B = ∠E。

根据三角形内角和为180°，我们可以得到∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - ∠D - ∠E = ∠F。

因此，三角形ABC和三角形DEF的对应角都相等，根据AA相似定理，它们是相似的。

2. 三边比值相等定理如果两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形是相似的。

证明：设三角形ABC和三角形DEF满足条件，即AB/DE = BC/EF =AC/DF。

我们需要证明它们是相似的。

假设AB/DE = BC/EF，我们可以得到AB/BC = DE/EF。

根据三角形的角边比例定理，如果三角形的两边之间的比值相等，那么这两个三角形的对应角也相等。

因此，∠A = ∠D，而根据AA相似定理，我们可以得出三角形ABC和三角形DEF是相似的。

3. SAS相似定理如果两个三角形的一对对应边成比例，并且两个对应角分别相等，那么这两个三角形是相似的。

证明：设三角形ABC和三角形DEF满足条件，即AB/DE = AC/DF，并且∠A = ∠D。

我们需要证明它们是相似的。

我们已经得知∠A = ∠D，因此，我们只需证明另外两对对应边之间的比值相等。

设x = AB/DE = AC/DF，我们可以得到DE = AB/x，DF = AC/x。

由此可得：DE/DF = (AB/x)/(AC/x) = AB/AC。

相似三角形判定定理的证明核心知识首先，我们来看一下相似三角形的定义。

两个三角形ABC和DEF是相似的，当且仅当它们的对应角度相等，并且对应边的比值相等。

数学符号表示为：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，且AB/DE=BC/EF=AC/DF。

现在，我们来证明相似三角形的判定定理。

相似三角形判定定理分为三种情况，即AAA（角-角-角）判定定理、AA（角-角）判定定理和SSS（边-边-边）判定定理。

接下来，我们将分别对这三种情况进行证明。

首先，我们证明AAA判定定理。

假设有两个三角形ABC和DEF，它们的对应角度分别为∠A、∠B、∠C和∠D、∠E、∠F。

我们假设∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，要证明这两个三角形是相似的，我们需要证明它们的对应边的比值相等。

根据正弦定理和余弦定理，我们可以得到三角形的边长与角度的关系。

通过计算可以得到AB/DE=BC/EF=AC/DF，因此，根据对应角度相等和对应边的比值相等的条件，我们可以得出相似三角形判定定理中的AAA判定定理。

接下来，我们证明AA判定定理。

假设有两个三角形ABC和DEF，它们的对应角度分别为∠A、∠B、∠C和∠D、∠E、∠F。

我们假设∠A=∠D，∠B=∠E，要证明这两个三角形是相似的，我们需要证明它们的对应边的比值相等。

首先，我们可以得到∠C=180°-∠A-∠B，∠F=180°-∠D-∠E。

然后，根据正弦定理和余弦定理，我们可以得到三角形的边长与角度的关系。

通过计算可以得到AB/DE=BC/EF，因此，根据对应角度相等和对应边的比值相等的条件，我们可以得出相似三角形判定定理中的AA判定定理。

最后，我们证明SSS判定定理。

假设有两个三角形ABC和DEF，它们的对应边分别为AB、BC、AC和DE、EF、DF。

我们假设AB/DE=BC/EF=AC/DF，要证明这两个三角形是相似的，我们需要证明它们的对应角度相等。

根据余弦定理和正弦定理，我们可以得到三角形的角度与边长的关系。