弹塑性力学 4 平衡微分方程和边界条件汇总

⎟ σ 23 ⎟ ⎟ σ 33 ⎠
σ 13 ⎞
§2-3 与坐标轴倾斜的斜截面上的应力
如何根据 9 个应力分量求任意斜截面上的应力？
σz
τ zx τ xz
τ xy τ yx τ zy
z
τ yz
σy
px
pz
py
y
σx
x
σz τ zx τ xz
τ xy τ yx τ zy
z
τ yz σy σy τ yx τ xy σ x τ xz τ zx σz
⎧τ zy = τ yz ⎪ ⎨τ xz = τ zx ⎪τ = τ yx ⎩ xy
切应力互 等定理
σ ij = σ ji
在弹性体的表面，考虑任一微分四面体的平衡。 设物体单位面积上的面力为 f sx , f sy , f sz ，物体表面外 法线的方向余弦为l，m，n，则应用平衡关系，可得
⎧ f sx = σ x l + τ yx m + τ zx n ⎪ ⎪ ⎨ f sy = τ xy l + σ y m + τ zy n ⎪ ⎪ ⎩ f sz = τ xz l + τ yz m + σ z n
80 ⎞ ⎟ − 75 ⎟ MPa − 30 ⎟ ⎠
⎛1 1 1 ⎞ 试求通过该点，法线方向为⎜ , , ⎟ 2⎠ ⎝2 2
平面的正应力
和切应力。
解： p j = σ ij ni
50 + 40 2 ⎞ 80 ⎞⎛1 2 ⎞ ⎛ ⎛ 50 50 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ p = ⎜ 50 0 − 75 ⎟⎜1 2 ⎟ = ⎜ 25 − 37.5 2 ⎟ MPa ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 2.5 − 15 2 ⎟ ⎜ 80 − 75 − 30 ⎟⎜ ⎠⎝ 2 2 ⎠ ⎝ ⎝ ⎠

σθ
−σr
=
2
p
b2 r2
在 r = a 时取最大值，则 r = a 处首先屈服
(σθ
− σ r ) max
=
2
p
b2 a2
=σs
求得弹性极限载荷（压力）为
pe
=
a2σ s 2b2
，
p
=
pe
=
b2 − a2 a2
pe
= σs 2
⎜⎜⎝⎛1 −
a2 b2
⎟⎟⎠⎞
（2）弹塑性解
（4-26）
p > pe 时，塑性区逐渐扩张。设弹、塑性区交界处 r = c ， a < c < b 。
b
弹性区
c
用边界条件σ r r=a = − p ，可确定出 C′ = − p − σ s ln a ，
a
所以
⎪⎧σ r ⎨ ⎪⎩σθ
= σ s ln r − p − σ s ln a = − p + σ s
=σs
+σr
=
−p
+ σ s (1 +
ln
r) a
ln
r a
（4-27）
塑性区 图 4-3
属静定问题，未用到几何关系。
ΔFi = F&iΔt ， ΔTi = T&iΔt ， Δui = u&iΔt
（4-10） （4-11）
式中 F&i ，T&i 和 u&i 分别称为体力率、面力率和位移率（速度）。引入率的表达形式
可以简化公式表达。 求解过程为：
已知时刻 t 时，位移 ui ，应变 εij ，应力σij ，加载面 f (σij ,ξ ) = 0 。在 ST 上给

（位移单值条件）
应用弹塑性力学考试用基本公式-16
弹性力学极坐标求解归结为
+ fρ
=0
平衡微分方程：
1
ρ
∂σ ϕ ∂ϕ
+
∂τ ρϕ ∂ρ
+
2τ ρϕ ρ
+
fϕ
=
0
几何方程：
ερ
=
∂uρ
∂ρ
εϕ
=
uρ
ρ
+
1
ρ
∂uϕ
∂ϕ
（4－1） （4－2）
γ ρϕ
=
1
ρ
∂uρ
∂ϕ
+
∂uϕ
∂ρ
−
uϕ
ρ
物理方程：
ερ
=
1 E
(σ
ρ
− μσϕ )
γ ρϕ
=
1 G
τ
ρϕ
=
2(1 + E
μ)τ
ρϕ
εϕ
+ +
∂u ∂y ∂v ∂z
⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪
γ zx
=
∂u ∂z
+
∂w ⎪ ∂ x ⎪⎭
θr
ϕ
简记为： ε ij
=
1 2
(u

j ,i
+ ui, j )
体积应变 θ = ∂u + ∂v + ∂w
∂x ∂y ∂z
应用弹塑性力学考试用基本公式-3
<ii>在柱坐标系中
εr
=
∂ur ∂r
εθ
= 1 ∂uθ
双调和函数：
1、提出：由于弹性力学方程的复杂性，为了在求解弹性力学问 题时减少盲目性，考察应力、应变、位移函数的特点。

说明： 1、数学上可证明, 当为线弹性小变形情况，求解的 基本方程和边界条件为线性，叠加原理成立。 2、对大变形情况，几何方程出现二次非线性项，平 衡微分方程将受到变形的影响，叠加原理不再适 用。 3、对非线弹性或弹塑形材料，应力应变关系是非线 性的，叠加原理不成立。 4、对载荷随变形而变的非保守力系或边界为
1. 位移法：将几何方程代入物理方程，得到用位移
表示的应力分量，再将应力分量代入平衡方程和应力边 界条件，即得到空间问题的位移法控制方程。不需要用 相容位移表述。 3个位移表述的平衡微分方程，包含3个位 移未知数。 结合边界条件，解上述方程，可求出位移分 量，由几何方程求应变，再由本构方程求应力。
第四章 弹性力学问题的求解方法
§7-1 弹性力学基本方程
1. 平衡微分方程方程
2. 几何方程
3. 物理方程
各种弹性常数之间的关系
4. 相容方程
• 求解物理量：6个应力分量 6个应变分量 3个位移分量
共15个未知量
用于求解的方程：平衡微分方程 3个 几何方程 6个
共15个方程
本构方程
6个
用非线性弹簧支承的情况，边界条件是非 线性的，叠加原理也将失效。
二. 解的唯一性定理：
在给定载荷作用下，处于平衡状态的弹性体， 其内部各点的应力、应变解是唯一的，如物体刚 体位移受到约束，则位移解也是唯一的。 无论何方法求得的解，只要能满足全部基本方 程和边界条件，就一定是问题的真解。
三.圣维南原理: 提法一：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，则 此力系对物体内距该力系作用区域较远的部分不产生 影响只在该力系作用的区域附近才引起应力和变形。 提法二：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，该 力系在物体中引起的应力将随离力系作用部分的距离 的增大而迅速衰减，在距离相当远处，其值很小，可 忽略不计。 提法三：若作用在物体局部表面上的外力，用一个静力等效 的力系(具有相同的主矢和主矩)代替，则离此区域较 远的部分所受影响可以忽略不计。

弹塑性力学总结（精华）第一篇：弹塑性力学总结(精华)（一）弹塑性力学绪论：1、定义：是固体力学的一个重要分支学科，是研究可变形固体受到外荷载或温度变化等因素的影响而发生的应力、应变和位移及其分布规律的一门科学，是研究固体在受载过程中产生的弹性变形和塑性变形阶段这两个紧密相连的变形阶段力学响应的一门科学。

2、研究对象：也是固体，是不受几何尺寸与形态限制的能适应各种工程技术问题需求的物体。

3、分析问题的基本思路：受力分析及静力平衡条件(力的分析)；变形分析及几何相容条件(几何分析)；力与变形间的本构关系(物理分析)。

4、研究问题的基本方法：以受力物体内某一点（单元体）为研究对象→单元体的受力—应力理论；单元体的变形——变形几何理论；单元体受力与变形间的关系——本构理论；（特点：1、涉及数学理论较复杂，并以其理论与解法的严密性和普遍适用性为特点；弹塑性力学的工程解答一般认为是精确的；可对初等力学理论解答的精确度和可靠进行度量。

）5、基本假设：物理假设:（连续性假设：假定物质充满了物体所占有的全部空间，不留下任何空隙；均匀性与各向同性的假设：假定物体内部各处，以及每一点处各个方向上的物理性质相同。

力学模型的简化假设：（A）完全弹性假设；（B）弹塑性假设）。

几何假设——小变形条件（假定物体在受力以后，体内的位移和变形是微小的，即体内各点位移都远远小于物体的原始尺寸，而且应变(包括线应变与角应变)均远远小于1。

在弹塑性体产生变形后建立平衡方程时，可以不考虑因变形而引起的力作用线方向的改变；在研究问题的过程中可以略去相关的二次及二次以上的高阶微量；从而使得平衡条件与几何变形条件线性化。

）6、解题方法（1）静力平衡条件分析；（2）几何变形协调条件分析；（3）物理条件分析。

从而获得三类基本方程，联立求解，再满足具体问题的边界条件，即可使静不定问题得到解决7、应力的概念: 受力物体内某点某截面上内力的分布集度σ=limFn∆A∆A→O=dFndA=σnσ=limFn∆A∆A→O=dFndA=σnt。

Q
AK (e w ) L
V
K (e w ) L
流网
（二）数值解法 主要是有限元法，能求解稳定渗流和非稳定渗流，渗流与扩散 的耦合，渗流与力场的耦合即后文中可能提到的比奥固结理论。
流网
（三）流网法
流网渗流力及渗透变形 3.4
（三）流网法 流网法的特点： （1）流网的等势线与流线垂直（参考文献） （2）在做流网时，为分析方便而做成正方形的网格 （3）两等势线之间的水头损失相等，两流线之间的单位 渗流量相等。 要求：能对流网进行分析，能根据流网求渗流速度，渗 流量和孔隙水压力。
5. 了解平面稳定流的控制方程及流网的使用
3、平衡分析 （3）斜截面应力公式 取四面体进行分析。除斜截面外，另外3个面与坐标面 重合。则斜截面上应力在三个坐标轴上的投影分别为
t nx l x m yx n zx
t ny l xy m y n zy
t nz l xz m yz n z
应力理论
A
A'l h1 k ln( ) A(t2 t1 ) h2
变水头试验适用于透水性较小的粘性土等。
渗透理论
三、渗透系数的确定
（二）现场试验确定 在(x,y)处的过水断面面积为 A=2 π xy
2xy
Y
x,y
i=dy/dx 由达西定律： q=kiA,得：q 2xyk
dy dx
X
两边积分，得2-9，即：
发生的判别方法：
1. 图解法 见图2-15 2. 用d85/ d15来判别。
小结
1. 达西定律 2. 渗透系数的确定方法 3. 渗流的控制方程及流网的利用 4. 土的渗透力的定义和渗透变形灾害表现形式及 判断

S
等倾线
L P
2
一点的应力矢量 OP 1e1 2e2 3e3
15.1 屈服理论分析
2. 屈服条件的一般形式
3 QL
OP 1e1 2e2 3e3
P
n
1 3
e1
1 3
e2
1 3 e3
平面 o S
2
1
OQ OP n
1 3
(1
2
3
)
15.1 屈服理论分析
3. 屈服条件的一般形式
ij
0
ABCA
对整个循环，附加应力
( ij
0 ij
)d
p ij
0
在弹性变形上做功为零 ABCA
AB ( ij
0 ij
)d
p ij
BC
( ij
0 ij
)d
p ij
CA ( ij
0 ij
)d
p ij
0
15.1 屈服理论分析
6. Drucker公设
AB ( ij
0 ij
)d
p ij
BC ( ij
4
xy s
2
1
均为
x s
2
3
xy s
2
1
椭圆
15.2 经典屈服准则
3. 屈服准则的验证 M
P
薄壁圆筒承受拉扭
M P
Mises准 则更好！
xy / s
0.6
Mises准则
0.4 铜 0.2 软钢 Tresca准则
铝
0 0.2 0.4 0.6 0.8 x / s
塑性屈服理论
15.1 屈服理论分析 15.2 经典屈服准则 15.3 后继屈服与硬化

弹性力学基本方程平衡微分方程：0⋅+=σ∇f指标符号写为,0ji j i f σ+=在直角坐标系中分量形式311121112332122221231323333123000f x x x f x x x f x x x σσσσσσσσσ⎧∂∂∂+++=⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂+++=⎨∂∂∂⎪⎪∂∂∂+++=⎪∂∂∂⎩在柱坐标系中分量形式1012010r r r rz r r zr z zr z rzz f r r z rf r r z r f r r z r θθθθθθθθτσσστθτσττθττστθ∂-∂∂⎧++++=⎪∂∂∂⎪∂∂∂⎪++++=⎨∂∂∂⎪∂∂∂⎪++++=⎪∂∂∂⎩在球坐标系中分量形式211cot 0sin 113cot 0sin 1132cot 0sin r r r r r r r r r r f r r r r r f rr r r r f r r r r r ϕθϕθθθϕθϕθθθθϕϕθϕϕϕθϕτσσσττσθθθϕτσστστθθθϕττσττθθθϕ∂--⎧∂∂+++++=⎪∂∂∂⎪⎪∂-∂∂⎪+++++=⎨∂∂∂⎪⎪∂∂∂+++++=⎪∂∂∂⎪⎩几何方程：1()2=+ε∇∇u u指标符号写为,,1()2ij i j j i u u ε=+在直角坐标系中分量形式1211221112113222223322333313331133131()21()21()2u u u x x x u u u x x x u u u x x x εεεεεεεεε⎧⎧∂∂∂==+=⎪⎪∂∂∂⎪⎪⎪⎪∂∂∂===+⎨⎨∂∂∂⎪⎪⎪⎪∂∂∂===+⎪⎪∂∂∂⎩⎩在柱坐标系中分量形式111r r z z zr u u v v r r r r v u v w r r z r w w u z r z θθθεγθεγθθεγ∂∂∂⎧⎧==+-⎪⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪⎪=+=+⎨⎨∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪⎪==+⎪⎪∂∂∂⎩⎩在球坐标系中分量形式1111sin 11sin sin r rr r r r r r u u u u r r r r u u u u ctg u r r r r r u u ctg u u u u r r r r r r θθθϕθθθθϕϕϕϕϕϕθϕγεθθεγθθϕθθεγθϕθϕ⎧⎧∂∂∂=+-=⎪⎪∂∂∂⎪⎪⎪∂∂∂⎪=+=+-⎨⎨∂∂∂⎪⎪∂⎪⎪∂∂=++=+-⎪⎪∂∂∂⎩⎩应变协调方程：0⨯⨯=ε∇∇指标符号写为,0mjk nil ij kl e e ε=在直角坐标系中常用形式222112212222112222332322223223222331311221313223311112231123231232212312231233120001()21()21x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x εεγεγεεγεγγεγγγεγε∂∂∂+-=∂∂∂∂∂∂∂+-=∂∂∂∂∂∂∂+-=∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-++∂∂∂∂∂∂∂=∂∂2331123312()2x x x x γγγ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂∂∂∂-++⎪∂∂∂∂⎩本构方程：:=σεC指标符号写为ij ijkl klC σε=对各向同性弹性体的线弹性本构关系的指标符号写为2ij ij kk ijG σελεδ=+在直角坐标系中分量形式222x x yy z z xy xy yz yz zx zxG G G G G G σελθσελθσελθτγτγτγ=+⎧⎪=+⎪⎪=+⎪⎨=⎪⎪=⎪=⎪⎩边界条件：力边界条件指标形式写为 j i ijp νσ=在指标坐标系分量形式x yx zx xy y zy xz yz z X l m n Y l m n Z l m n στττστττσ⎧=++⎪⎪=++⎨⎪=++⎪⎩位移边界条件指标形式写为 i iu u =在直角坐标系分量形式112233u u u u u u ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩位移解法：L-N 方程及力边界条件指标形式,,,,,()0[()]i jj j ji i i j j i k k ij j iGu G u f G u u u X λλδν+++=++=在直角坐标系中分量形式212223()0()0()0(2)()()()(2)()()()(2)G u G f x G v G f y G w G f z u v u w uG l G m G n X x x y x z u v v w vG l G m G n Yy xy y z u w v w wG l G m G n Zz xz y z θλθλθλλθλθλθ⎧∂∇+++=⎪∂⎪∂⎪∇+++=⎨∂⎪⎪∂∇+++=⎪∂⎩⎧∂∂∂∂∂+++++=⎪∂∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂+++++=⎨∂∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂+++++=∂∂∂∂∂⎩⎪应力解法：B-M 方程指标形式2,,,,1()11ij ij i j j i ij k kf f f νσδνν∇+Θ=-+-+-平面问题本构方程平面应变平面应力平面应力（极坐标系）αβαβαβδλεεσkk G +=2, 平面应力→平面应变：21υ-→E E 、υυυ-→1xyxyx y y y x x G G G γτευυευυσευυευυσ=-+--=-+--=)1(21)1(2)1(21)1(2 xyxyx y y y x x G G Gγτυεευσυεευσ=+-=+-=)(12)(12 θθθθθγτυεευσυεευσr r r r r G G G=+-=+-=)(12)(12 0)()(==+=+=zx zx y x y x z ττεελσσυσ===zx zx z ττσ0=z σ 0==θττz zrαβαβαβδσυσυεkk EE -+=1 xyxy xy x y y y x x GE E τεγσυυσυεσυυσυε12)1(1)1(122==---=---= xyxy xy x y y y x x GEEτεγυσσευσσε12)(1)(1==-=-=θθθθθτγυσσευσσεr r r r r GE E1)(1)(1=-=-====zy zx z γγε)(==+-=zy zx y x z Eγγσσυε)(θσσυε+-=r z E0==θγγz z r协调方程:y x yx xy x y ∂∂∂=∂∂+∂∂γεε22222，0112112222222=∂∂-∂∂-∂∂+∂∂∂-∂∂+∂∂θγεεθγθεεθθθθr r r r r r r r r r r r r))(1()(,,2y y x x y x f f ++-=+∇νσσ，如x x V f ,-=，y y V f ,-=，引入Airy 应力函数：V yy x +=,φσ V xx y +=,φσ,xy xy,φτ-=→V 222)1(∇--=∇∇νφ；22222yx ∂∂+∂∂=∇，4422444222yy x x ∂∂+∂∂∂+∂∂=∇∇极坐标系：02101=++∂∂+∂∂=+-+∂∂+∂∂θθθθθθτθστσσθτσf rr r f r r r r r r r r rrv r v u r ru v r r u r r rr r θθθθθθγθεε-∂∂+∂∂=+∂∂=∂∂=11 ,⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-=∂∂=∂∂+∂∂=θφτφσθφφσθθr r rr r r r r 1 ,1122222V222)1(∇--=∇∇νφ，22222211θ∂∂+∂∂+∂∂=∇r r r r,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛θθθθσττσθθθθσττσθθθcos sin sin cos cos sin sin cos r r ry xyxy x塑性力学基本公式：一维随动强化模型材料后继屈服限与先期拉（压）塑性应变的关系**p s ps h d h d σσεσσε+-=+=-+⎰⎰一维等向强化模型材料后继屈服限与先期拉（压）塑性应变的关系***||p s h d σσεσσ+-+=+=-⎰应力偏量的第二不变量22222222112222333311122331221'21'[()()()6()]6'3'ij ij ijij J S S J J S J σσσσσστττσσ==-+-+-+++∂=∂=应变偏量的第二不变量2222222211222233331112233121'213'[()()()()]624'3ij ijI e e I I εεεεεεγγγε==-+-+-+++=金属材料的屈服条件：Mises 屈服条件2()03'ij s J σσσσ-==其中Tresca 屈服条件max ()02sij στσ-=三维随动强化模型后继屈服条件(,)()0p p pij ij ij s ij ij K c d σσσεσεεΦ=--==⎰其中三维等向强化模型后继屈服条件41(,)()()0032p p p pij ij s ij ij K h d d d d σσσσεεεεΦ=-+==⋅≥⎰其中全量形式的应力-应变关系2()1()33ij kk ij ij kk ij K σεσεδεεδε=+-全量形式的应变-应力方程13()1()923ij kk ij ij kk ij K εσεσδσσδσ=+-σε-关系为**3,3(),33',122(1)'3s s ss G GE G G E EE G E E E σεεσσσσεενν⎧⋅<⎪⎪=⎨⎪+->⎪⎩==-+-增量形式的应变-应力方程（指标符号）()011ij ij kk ij ij d d d d S E ευσυσδλ⎡⎤=+-+⎣⎦增量形式的应力-应变方程（矩阵形式）0000T e e e ep T e D D d D d D d D ασσασεεσαασ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭线性等向强化材料加载时的增量本构关系（指标符号）()()0020191114ij ij kk ij kl kl ij d d d S d S E h ευσυσδσσ⎡⎤=+-+⎣⎦线性等向强化材料加载时的增量本构关系（矩阵形式）()()000209114T e ep d F d d F d hεσασσασσσσ=+=。

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第四章 物理方程与边界条件
求和约定(The arrnagement for summation) 求和约定
例3 将y1 = εijδij 按求和约定展开. 和y2 = σijεijδij (i, j =1,2,3) 按求和约定展开.
i 为克氏符号, 为克氏符号,= j, δ ij = 1; i ≠ j, δ ij = 0.
1 E
1 E 其中E, , 分别为各向同性材料的弹性模量, 其中 ,G, 分别为各向同性材料的弹性模量,泊松比和剪切弹性 模量,并有: 模量,并有: E
ε z = [σ z (σ x + σ y )],
G =
1 1 ε xy = γ xy = τ xy 2 2G 1 1 ε yz = γ yz = τ yz 2 2G 1 1 ε zx = γ zx = τ zx 2 2G
2 (1 + )
可见,各向同性材料只有两个独立的弹性常数. 可见,各向同性材料只有两个独立的弹性常数.
第四章 物理方程与边界条件
思考题: 思考题:
1. 如何将三维广义虎克定律写成应力对应变的函数? 如何将三维广义虎克定律写成应力对应变的函数? 2.何将广义虎克定律写成矩阵的形式? .何将广义虎克定律写成矩阵的形式? ) {σ } = C {ε },或{ε } = S {σ }(i,j,k,l = x,y,z)
ij ijkl kl ij ijkl kl
其中 Cijkl 称为刚度矩阵,Sijkl 称为柔度矩阵. 称为刚度矩阵, 称为柔度矩阵.
第四章 物理方程与边界条件
体积应变
由广义虎克定律
三式相加,则有 三式相加 则有
1 [σ x (σ y + σ z )] E 1 ε y = [σ y (σ z + σ x )] E 1 ε z = [σ z (σ x + σ y )] E

弹性力学的基本方程
平衡方程
σ x τ yx τ zx + + +X =0 x y z
几何方程
u εx = x
γ xy =
γ yz =
u v + y x
v w + z y
τ xy σ y τ zy + + +Y = 0 x y z
εy =
v y
τ xz τ yz σ z + + +Z =0 x y z
将 σz = τzx = τzy =0(平面应力) σz=σz (x,y),τzx =τzy =0(平面应变) σ , τ 代入空间问题的平衡方程式,得
σ x τ yx + + X =0 x y
τ xy σ y + +Y = 0 x y
平面问题几何方程
u εx = x
εy =
v y
γ xy =
u v + y x
物理方程
位移解法
以位移作为未知数
几何方程求应变
物理方程求应力
由位移表示的平衡微分方程 θ G 2u + (λ + G ) + X = 0 x
G 2 v + (λ + G ) θ +Y = 0 y
θ +Z =0 z
G 2 w + ( λ + G )
其中
2 2 2 = 2+ 2+ 2 x y z
2
Su
圆筒受内外水压力作用(静力边界问题)
静力边界条件 σxl+τyxm+τzxn= X τ τ = τxyl+σym+τzyn=Y σ τ = τxzl+τyzm+σzn= Z τ σ =

弹塑性力学总结弹塑性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段和塑性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。

并且弹塑性力学是以后有限元分析、解决具体工程问题的理论基础，这就要求我们掌握其必要的基础知识和具有一定的计算能力。

通过一学期的弹塑性力学的学习,对其内容总结如下：一、弹性力学1、弹性力学的基本假定求解一个弹性力学问题，通常是已知物体的几何形状（即已知物体的边界)，弹性常数，物体所受的外力，物体边界上所受的面力,以及边界上所受的约束；需要求解的是物体内部的应力分量、应变分量与位移分量.求解问题的方法是通过研究物体内部各点的应力与外力所满足的静力平衡关系，位移与应变的几何学关系以及应力与应变的物理学关系，建立一系列的方程组；再建立物体表面上给定面力的边界以及给定位移约束的边界上所给定的边界条件；最后化为求解一组偏分方程的边值问题。

在导出方程时,如果考虑所有各方面的因素,则导出的方程非常复杂,实际上不可能求解.因此，通常必须按照研究对象的性质，联系求解问题的范围，做出若干基本假定，从而略去一些暂不考虑的因素，使得方程的求解成为可能。

（1）假设物体是连续的.就是说物体整个体积内，都被组成这种物体的物质填满,不留任何空隙。

这样，物体内的一些物理量,例如：应力、应变、位移等，才可以用坐标的连续函数表示.(2）假设物体是线弹性的。

就是说当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原来形状，不留任何残余变形.而且,材料服从虎克定律，应力与应变成正比。

（3）假设物体是均匀的.就是说整个物体是由同一种质地均匀的材料组成的。

这样，整个物体的所有部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性模量和泊松比才不随位置坐标而变.（4）假设物体是各向同性的。

也就是物体内每一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的.（5）假设物体的变形是微小的。

即物体受力以后，整个物体所有各点的位移都小于物体的原有尺寸，因而应变和转角都远小于1。

叠加原理：弹性体受几组外力同时作用时的解等于每一组外力单 独作用时对应解的和。
叠加原理成立的条件：小变形条件（平衡、几何方程才 为线性的），弹性本构方程（虎克定律）。
4-5塑性力学最简单的问题、求解塑性力学的问题
在塑性力学中，有些问题在平衡方程和屈服条件 中的未知函数和议程式的数目相等，因而结合边 界条件一般便可找出弹塑性体或结构中应力分布 的规律。而应变和位移再根据本构方程和几何方 程或连续性条件分别求出。这种仅通过平衡方程、 屈服条件就能完全确定应力场的问题属静定问题 （称为塑性力学最简单问题）
（2）应变协调方程（变形连续必条件）（变形相容条件）
可缩写为：
上述方程是六个应变分量 保证三个位移分量 连续函数（保持连续）的条件。 为单值
3、本构方程（物性方程）
（1）在弹性变形阶段，且屈服函数 则有
如用应变表示应力，则有
为了与塑性变形本构方程对比，也可将本构方程表示为
（2）在弹塑性变形阶段，屈服函数
1. 平衡（或运动方程）
若等式右式不等零，即表示物体内质点处于运动状态， 则根据理论力学中的达朗伯原理需将上式右端等于括号 内的惯性力项。 方程只表明物体内一点的应力状态与其邻点的应力 状态之间在平衡（或运动）时所满足的关系。
2. 几何方程与应变协调方程
（1）几何方程
此式表明在小变形条件下，物体内一点附近的变形情况和该点的 应变状态之间的关系。
第四章 弹塑性力学基础理论的建立及基本解法
§4-1 弹塑性力学基本理论的建立 弹塑性力学的任务：研究各种具体几何尺寸的
弹性、弹塑性体或刚塑性体在各种几何约束及 承受不同外力作用时、发生于其内部的应力分 布与变形（或位移）规律。
与材料力学一样，弹塑性力学所求解的大多 数问题是超静定问题，因此其基础理论的 建立来自三个方面的客观规律：平衡方 程 ；几何方程 ；本构方程

微分方程并求解，最后根据边界条件确定待定常数。
逆解法求解空间问题
逆解法的基本思想
从已知的空间应力或位移函数出发，反推得到弹性体的形状和边界条件。
适用于具有特定应力或位移分布的空间问题
如无限大体、半无限大体等具有特殊应力或位移分布的空间问题。
求解步骤
假设空间应力或位移函数，根据弹性力学基本方程推导得到弹性体的形状和边界条件，并 验证假设的合理性。
04
半解析法在弹性力学中的应用
有限差分法基本原理及步骤
差分原理
有限差分法基于差分原理，将连续问 题离散化，通过求解差分方程得到近 似解。
网格划分
将求解区域划分为规则的网格，每个 网格节点对应一个未知数。
差分格式
根据问题的性质和精度要求，选择合 适的差分格式，如向前差分、向后差 分、中心差分等。
边界处理
电测实验方法介绍及优缺点分析
电阻应变片法
利用电阻应变片将试件表面的应变转换 为电阻变化，通过测量电路获取应变信 息。该方法具有测量精度高、稳定性好 、适用于各种环境和试件形状的优点， 但需要粘贴应变片并进行温度补偿，且 只能进行点测量。
VS
电容传感器法
利用电容传感器将试件表面的位移或应变 转换为电容变化，通过测量电路获取相关 信息。电容传感器法具有非接触、高灵敏 度、宽频响等优点，但易受环境干扰，且 需要进行复杂的电路设计和信号处理。
04 边界条件处理 根据边界条件对总体刚度矩阵和荷载向量进行修正。
05
求解线性方程组
求解总体刚度矩阵和荷载向量构成的线性方程组，得 到节点位移。
边界元法基本原理及步骤
边界积分方程
边界离散化
单元分析
总体合成
求解线性方程组

d dr
( r

)

dur dr
r
或
d r
dr
r
4. 物理方程(两个)
5
平面应力问题
r

1 E
(
r
) ，
或
r

E 1
2
( r
)
，
平面应变问题时弹性系数替换。


1 E
(

r )

E 1 2
(
r )
5. 按位移法求解

——(b)
考虑位移单值性比较（a）和（b）式：
4Br-F=0 B=F=0
轴对称问题的应力和位移解为：
r

A r2
2C ，

A r2
2C ，
r
0
ur

1 E

(1


)
A r

2Cr (1

)
，
u 0
A、C 由两个力的边界条件确定。
对于无体力圆盘（或圆柱）的轴对称问题，
(rur )
(1 2 ) E
fr

0
相应边界条件：轴对称问题边界 r=r0（常数）
位移边界条件：
ur ur
在 su 上
力的边界条件：
r Fr
在 s 上
平面应力问题的力边界条件用位移表示：
1 2
E
( dur dr

ur r
)

Fr
在 s 上
当 ur 由基本方程和相应边界条件求出后，则相应应变、应力均
但圆环或圆筒为复连域，除了力的边界条件满足外还要考虑位移

ur
u r ur dr r A A
x
径向线段PA的转角： 线段PB的相对伸长： 环向线段PB的转角：
1
1 0
PB PB (r ur )d rd u r （c） PB rd r
（b）
tan 1 1
ur (ur d ) ur BB PP 1 u r （d） PB r rd
剪应变为：
1 ur r
（d）
r 1 1 1 1 ur r
（e）
(2) （P,A,B）只有环向位移， 无径向位移
径向线段PA的相对伸长：
O

PA PA dr dr r 2 PA dr 0
径向线段PA的转角： （f）
r P d
2 X Y 2 2 2 ( x y ) (1 ) x y y x
2 2 2 2 ( x y ) 0 x y 4 4 4 4 4 2 2 2 4 0 x x y y
r r
d
r
P r
x
(r dr )d dr A k r r r dr r k
将上式化开：
r rd
O r r rdrd ddr r drd r

drd kr rdrd 0
两边同除以
（h）
环向线段PB的转角：
剪应变为：
r 2
u u 2 2 r r
u 2 r
（i） （j）
(3) 总应变(是指同时存在径向、环向位移的一般情形)
ur u r 0 r r1 r 2 r r ur 1 u 1 2 r r 1 ur u u r r 1 r 2 r r r u r r r ur 1 u r r

τ xy = a7 + a8 x + a9 y
其中 ai 为常数，若体积力为零，试讨论下列各种情况下平衡方程是否满足？若不能满足，
则在 ai 之间需建立何种关系才能满足平衡方程？
（1） 除 a1、a4、a7 外，其余 ai 为零。
（2） a3 = a5 = a8 = a9 = 0
（3） a2 = a6 = a8 = a9 = 0
基本变量：位移： ui
应变： εij ⎛⎜⎝当i ≠
j时，εij
=
1 2
γ
ij
⎞ ⎟⎠
应力：σ ij
基本方程：① 平衡方程：σ ij, j + bi = 0
( ) ②
几何方程： εij
=
1 2
ui, j + u j,i
③
物理方程： εij
=
D−1 ijkl
σ kl
④ 边界方程（BC）：
位移边界条件 BC（u）： ui = ui on Su
+τ zxnz +τ yznz
= =
p p
x y
⎫ ⎪⎪ ⎬
on
Sp
τ zxnx
+τ yzny
+ σ zznz
=
pz
⎪ ⎪⎭
2D 和 3D 情形的指标形式是统一的，在 2D 问题中（i,j）的变化（1，2）对应 x 轴和 y 轴；3D 情形中（i,j）的变化为（1，2，3）对应 x 轴，y 轴和 z 轴，则 2D 和 3D 的指标形式 为： 指标形式：
σ yyny +τ xynx = p y ⎪⎭
（3）3D 情形
分量形式：
基本变量：位移分量： u, v, w

平衡方程 0'',',=-jji j ji σσ , 令 '''ji ji ij σσδσ-=则平衡方程为 0,=jji δσδσij 满足无体力平衡方程（齐次方程）。

力的边界条件 0'''=-ij j ijj n n σσ 在S σ上 或0=ij j n δσ δσij 在S σ无面力（齐次边界条件）位移边界条件 0'''=-i i u u 令 '''i i i u u u -=δ 或 0=i u δ 在S u 无位移（齐次边界条件）在弹性体无外力作用、表面无位移（无支座移动）情况属于自然状态——弹性体无（初）应力、无变形。

，则 δσij =0，δu i =0, δεij =0 所以第一组解和第二组解相等。

唯一性定理的好处是无论用什么方法求解，只要能满足全部基本方程和边界条件，就一定是问题的真解。

4.3 圣维南原理——局部效应原理从前面弹性力学基本解法的讨论，可知弹性力学的定解方程要求边界条件处处给出（清楚），待求函数在边界上也须处处满足，但在实际问题中经常碰到情况：（1） 物体局部上的面力分布不清楚，仅知局部面力的合力和合力矩； （2） 解题时往往难于满足逐点给定的精确边界条件：如固定端u 1=u=0、u 2=v=0无法满足。

所以希望能找到一种边界条件的合理简化方案。

1855年圣维南在梁理论的研究中提出:由作用在物体局部表面上的平衡力系（即合力合力矩为零）所引起的PP这个问题为（相当）静水压力问题。

例题2 等截面柱体在自重作用下。

等截面柱体受体力f z = -ρg （在图示坐标系）ρ为柱的密度，g 为重力加速度。

而 f x =f y =0gρ-xxxM T位移。

qqxA 、B 由z=0处的力边界条件和z=h 处w=0的位移边界条件来定。

通过上面几个简例可见，解题采用了逆解法或半逆解法。