清华大学研究生弹塑性力学讲义 5弹塑性_弹性力学的基本方程与解法

假设其余应力分量全为零，并且由图中的几何关系，于是 可得下列一组应力分量
应力分量
M O
τ xz = −αGy ，τ yz = αGx σ x = σ y = σ z = τ xy = 0
代入平衡微分方程
τ zy
ϕ
τ
x
τ zx
∂σ x ∂τ yx ∂τ zx + + + Fbx = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ xy ∂σ y ∂τ zy + + + Fby = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ xz ∂τ yz ∂σ z + + + Fbz = 0 ∂x ∂y ∂z
假设弹性体受已知体力作用，在物体的边界上，或者面 力已知，或者位移已知，或者一部分上面力已知，而另一部 分上位移已知，则弹性体平衡时，体内各点的应力分量与应 变分量是唯一的，对于后两种情形，位移也是唯一的。
这一定理以这样一个假设为依据：当物体不受外力作用 时，体内的应变能为零，应力分量和应变分量也全为零。当
∫∫τ
∫∫τ
zx
dxdy = 0
dxdy = 0
M O
τ zy
ϕ
τ
x
zy
M = ∫∫ (xτ zy − yτ zx )dxdy
将应力分量代入
τ zx
τ yz = αGx
y
τ xz = −αGy
σ x = σ y = σ z = τ xy = 0
∫∫τ zx dxdy = 0
∫∫τ
zy
τ xz = −αGy
1 ε ij = (1 +ν )σ ij −νσ kk δ ij E
或
[
]
σ ij = λε kk δ ij + 2Gε ij

弹塑性力学第七章塑性力学的基本方程与解法一、非弹性本构关系的实验基础拿一根工程上最常用的低碳钢的试件，在拉伸试验机上就可得到如图7.1所示的应力应变曲线。

图中A为比例极限，当变形状态未超过A点时材料处于线弹性状态；B为弹性极限，AB段的变形虽然还是弹性的，即卸载时能按原来的加载曲线返回，但应力应变之间不再是线性关系。

C，D分别为上、下屈服极限，超过C点后材料进入塑性变形状态，卸载时不再按原来的加载曲线返回，而且当载荷完全卸除后还有残余变形。

由C到D是突然发生的，由于材料屈服引起应力突然下降，而应变继续增加。

由D到H是一接近水平的线段，称为塑性流动段。

对同一种材料D点的测量值比较稳定，而C点受试件截面尺寸、加载速率等影响较大。

如果载荷在使材料屈服之后还继续增加，则进入图中曲线右部的强化段。

即虽然材料已经屈服，但只有当应力继续增加时，应变才能继续增大。

在图中b点之后，试件产生颈缩现象，最后试件被拉断。

如果在塑性流动段的D′点，或强化段的H′点卸载，将能观测到沿着与OA平行的直线返回，当载荷为零是到达O′点或O′′点，即产生残余变形。

图7.1 低碳钢单向拉伸应力应变曲线有些高强度的合金钢并没有象低碳钢那样的屈服段，其单向拉伸的应力应变曲线如图7.2所示。

这种情况下屈服极限规定用产生0.2%塑性应变所对应的应力来表示，σ。

记为0.2图7.2 高强度合金钢单向拉伸应力应变曲线第七章 塑性力学的基本方程与解法如果以超过屈服极限的载荷循环加载，所得试验结果则象图7.3所示。

在实验中还发现，对于某些材料（图7.4），如果在加载（拉伸）屈服后完全卸载到O ′′点，然后接着反向加载（压缩），则其反向屈服点对应的应力绝对值s σ′′不仅小于s σ′，而且小于初始屈服应力的绝对值σ′。

这是德国的包辛格（Bauschinger, J.）最早发现的，称为包辛格效应。

图7.3 循环加载曲线示意图 图7.4 包辛格效应 当材料进入塑性状态后，如果不是单调加载，则应力和应变之间不仅不是单值函数的关系，而且当时的应变不仅和当时的应力有关，还和整个加载的历史有关。

i 1 j 1



3

每个分量用一个标量（具有两个下标）与两个并在一起基矢量（并矢） ，称为二阶 张量。矢量可称为一阶张量，标量为零阶张量。 5.2 求和约定 在张量表示说明中，看到张量分量表示是一组符号之和，很长，特别是高阶张量， 为了书写简捷，采用求和约定。 求和约定：当在同一项中，有一个下标字母出现两次时，则表示该项在该指标的取 值范围内遍历求和，且称此种在同一项重复出现一次的下标为哑标。如：
e1 e2 a2 b2 e3
a b ai ei b j e j ai b j eijk ek ai b j ekij ek ， 则
c c k eijk ai b j ekij ai b j ， a b a1 b1
ij
自动消失。ij 也称为换标符号。
eijk ( i,j,k =1,2,3)
定义： eijk
共有 27 个元素。
1 若(i , j , k ) (1,2,3)或 ( 2,3,1)或 (3,1,2)时 正排列顺序 －1 若(i , j , k ) ( 2,1,3)或（1， 3， 2）或（3， 2， 1）时 逆排列顺序 0 若 i , j , k中任意两指标相同时
(i=1,2,3)，用 ri 表示矢径；
同样位移矢量 u，用 ui 表示位移，ij 表示应力

张量。
xi aij y j
i

x1 a11 y1 a12 y2 a13 y3 x2 a21 y1 a22 y2 a23 y3 x a y a y a y 31 1 32 2 33 3 3
矢量场的拉普拉斯算子定义为矢量场的梯度的散度：是一个向量

弹塑性力学引言一、固体力学在工程中的作用工程中的各种机械都是用固体材料制造而成的、各种结构物也都是用固体材料建造的。

为了使机械结构正常使用、实现其设计的功能，首先要保证它们在工作载荷与环境作用下不发生材料的破坏或影响使用的过大的变形，即保证它们具有足够的强度、刚度和稳定性。

在设计阶段，要根据要求实现的功能，对于设计的机械结构的形式按强度要求确定其各部分的形状和尺寸，以及所需选择的材料。

要完成这样的任务，首先要解决如下基本问题：在给定形状尺寸与材料的机械结构在设计规定载荷与环境（如温度）作用下所产生的变形与应力。

对于柔性结构，如细长梁、薄板、薄壳，以及它们的组合结构，还要分析其是否会丧失稳定性。

这些都是固体力学的基本问题。

如果机械结构所受载荷或环境的作用是随时间变化的，那么，它们的振动特性也对其性能有重要的影响。

在设计时往往要对其进行模态分析，求出影响最大的各个低阶固有频率与相应的振型，以确保不会与主要的激振载荷产生共振，导致过大的交变应力与变形，影响强度和舒适性。

有些情况下还要考虑它们在瞬态或冲击载荷作用下的瞬态响应。

这些也是固体力学的基本问题。

此外、许多机械零件和结构元件在制造工程中，采用各种成型工艺，材料要产生很大的塑性变形。

如何保证加工质量，提高形状准确性、减少残余应力、避免产生裂纹、皱曲等缺陷？如何设计加工用的各种模具，加工的压力，以及整个工艺流程，这里也都有固体力学问题。

正因为工程中提出了各种各样的固体力学问题，有时还有流体力学问题，在19世纪产生了弹性力学和流体力学，才导致力学逐渐从物理学中独立出来。

工程技术发展的要求是工程力学，包括固体力学、流体力学等发展的最重要的推动力。

而工程力学的发展则大大推动了许多工程技术的飞速发展。

因此，力学是许多工程部门设计研究人员的基本素质之一。

二、力学发展概况力学曾经是物理学的一个部分，最初也是物理学中最重要的组成部分。

力学知识最早起源于人们对自然现象的观察和在生产劳动中积累的经验。

(1)位移法：即以位移分量作为基本未知量，来求解边值 问题。此时将一切未知量和基本方程都转换成用位移分量 来表示。通常给定位移边界条件的边值问题，宜用此法。 (2)应力法：即以应力分量作为基本未知量，来求解边值 问题。此时将一切未知量和基本方程都转换成用应力分量 来表示。通常当给定应力边界条件时，宜用此法。 (3)混合法：即以一部分位移分量和一部分应力分量作为 基本未知量，来混合求解边值问题。显然，这种方法适宜 于求解混合边值问题。
第五章 弹性与塑性 力学的基本解法
对于平面问题（以平面应力为例）
几何方程
u x x
物理方程
将几何方程代入物理方程
E u v x ( ) 2 1 x y E v u y ( ) 2 1 y x
E x ( x y ) 2 1 E y ( y x ) 2 1
d 3 d 2
p
五个方程 一个方程 一个方程
E d m 3k d m d m 1 2
Sij= eij
五个方程 一个方程 一个方程
李田军弹塑性力学课件
eij Sij
m=K
2 3
6
第五章 弹性与塑性 力学的基本解法
4、静力边界条件和位移边界条件： ijlj=Fi (在ST上) ui=ui (在Su上)
纯弹性区
加载区 卸载区
2011年4月13日星期三
在它们的分界面上，应 力和应变应满足一定的 连续条件和间断条件。
李田军弹塑性力学课件 12
第五章 弹性与塑性 力学的基本解法
§5-2
按位移求解弹性力学问题
由于塑性力学问题的复杂性和特殊性，需要专门进行 讨论。鉴于学时所限，这里仅讨论弹性力学问题的基 本求解方法。 弹性力学问题：就是分析各种结构物或其构件在弹性

既能找出变形体中各点的应力分量，也能找出相 对的位移增量分量。
➢主应力法
➢ 主应力法是金属塑性成形中所经常使用的 一种简化方法。在分析问题时，认为剪应 力对材料的屈服影响很小，因而在屈服条 件中略去剪应力，这时平面应变问题中的 屈服条件可简化为
x - y = 2k
➢ 在分析中，还假设应力在一个方向的分布 是均匀的。因此在计算中，数学形式比较 简便。
➢ 平面应力问题，平面应变问题，结果转换 ➢ 平面问题的平衡方程（无体力）
x
xy
0
x y
yx x
y
y
0
➢ 艾里（Airy）应力函数
x
2
y 2
,
y
2
x 2
,
xy
2
xy
➢ 用应力函数表示的物理方程
➢ 变形协调条件
x
1 2G(1
)
2
y 2
2
x 2
y
2G
1 (1
)
2
x 2
几种应力函数所对应的边界条件
➢ = ax + by + c 矩形弹性体处于无应力状态，
即在边界上无面力。
➢ = ax2 + bxy + cy2 矩形弹性体受双向荷载。
a > 0, c > 0, b = 0
a = c = 0, b 0
➢ = ax3 + bx2y + cxy2 + dy3 复杂应力状态， 当a = c = b = 0, d 0时，xy = 6dy，为纯弯
2
y 2
xy
1 G
2
xy
4 x
y 4
4 y
x 4

叠加原理：弹性体受几组外力同时作用时的解等于每一组外力单 独作用时对应解的和。
叠加原理成立的条件：小变形条件（平衡、几何方程才 为线性的），弹性本构方程（虎克定律）。
4-5塑性力学最简单的问题、求解塑性力学的问题
在塑性力学中，有些问题在平衡方程和屈服条件 中的未知函数和议程式的数目相等，因而结合边 界条件一般便可找出弹塑性体或结构中应力分布 的规律。而应变和位移再根据本构方程和几何方 程或连续性条件分别求出。这种仅通过平衡方程、 屈服条件就能完全确定应力场的问题属静定问题 （称为塑性力学最简单问题）
（2）应变协调方程（变形连续必条件）（变形相容条件）
可缩写为：
上述方程是六个应变分量 保证三个位移分量 连续函数（保持连续）的条件。 为单值
3、本构方程（物性方程）
（1）在弹性变形阶段，且屈服函数 则有
如用应变表示应力，则有
为了与塑性变形本构方程对比，也可将本构方程表示为
（2）在弹塑性变形阶段，屈服函数
1. 平衡（或运动方程）
若等式右式不等零，即表示物体内质点处于运动状态， 则根据理论力学中的达朗伯原理需将上式右端等于括号 内的惯性力项。 方程只表明物体内一点的应力状态与其邻点的应力 状态之间在平衡（或运动）时所满足的关系。
2. 几何方程与应变协调方程
（1）几何方程
此式表明在小变形条件下，物体内一点附近的变形情况和该点的 应变状态之间的关系。
第四章 弹塑性力学基础理论的建立及基本解法
§4-1 弹塑性力学基本理论的建立 弹塑性力学的任务：研究各种具体几何尺寸的
弹性、弹塑性体或刚塑性体在各种几何约束及 承受不同外力作用时、发生于其内部的应力分 布与变形（或位移）规律。
与材料力学一样，弹塑性力学所求解的大多 数问题是超静定问题，因此其基础理论的 建立来自三个方面的客观规律：平衡方 程 ；几何方程 ；本构方程

微分方程并求解，最后根据边界条件确定待定常数。
逆解法求解空间问题
逆解法的基本思想
从已知的空间应力或位移函数出发，反推得到弹性体的形状和边界条件。
适用于具有特定应力或位移分布的空间问题
如无限大体、半无限大体等具有特殊应力或位移分布的空间问题。
求解步骤
假设空间应力或位移函数，根据弹性力学基本方程推导得到弹性体的形状和边界条件，并 验证假设的合理性。
04
半解析法在弹性力学中的应用
有限差分法基本原理及步骤
差分原理
有限差分法基于差分原理，将连续问 题离散化，通过求解差分方程得到近 似解。
网格划分
将求解区域划分为规则的网格，每个 网格节点对应一个未知数。
差分格式
根据问题的性质和精度要求，选择合 适的差分格式，如向前差分、向后差 分、中心差分等。
边界处理
电测实验方法介绍及优缺点分析
电阻应变片法
利用电阻应变片将试件表面的应变转换 为电阻变化，通过测量电路获取应变信 息。该方法具有测量精度高、稳定性好 、适用于各种环境和试件形状的优点， 但需要粘贴应变片并进行温度补偿，且 只能进行点测量。
VS
电容传感器法
利用电容传感器将试件表面的位移或应变 转换为电容变化，通过测量电路获取相关 信息。电容传感器法具有非接触、高灵敏 度、宽频响等优点，但易受环境干扰，且 需要进行复杂的电路设计和信号处理。
04 边界条件处理 根据边界条件对总体刚度矩阵和荷载向量进行修正。
05
求解线性方程组
求解总体刚度矩阵和荷载向量构成的线性方程组，得 到节点位移。
边界元法基本原理及步骤
边界积分方程
边界离散化
单元分析
总体合成
求解线性方程组

弹塑性力学第四章 弹性力学的基本方程与解法一、线性弹性理论适定问题的基本方程和边界条件对于在空间占有体积域V 的线弹性体在外加恒定载荷和固定几何约束条件下引起的小变形问题，若以, ,u εσ作为求解变量，则可以建立如下偏微分方程边值问题： 几何方程()1,,2ij i j j i u u ε=+ ()12∇+∇u u ε= (1a)广义胡克定律 ij ijkl kl E σε= :E σ=ε(1b)平衡方程 ,0ij j i f σ+= ∇⋅+=f 0σ V∀∈x (1c)以上方程均要求在域内各点均满足。

边界条件 u u i i = ∀∈x S ui (2a)n t j ji i σ= ∀∈x S ti(2b)对于适定问题，即不仅要求保证解存在唯一，而且有较好的稳定性。

当载荷或边界条件给定值有微小摄动时，应能保证问题解的变化也是微小的。

对于边界条件的提法就有严格的要求。

即要求：S S S S S ui ti ui ti U I ==∅(2c)对于各向同性材料，其广义胡克定律可具体写成 σλεδεij kk ij ij G =+2 ()tr 2G λ+I σ=εε (3a)()11ij ij kk ij E ενσνσδ⎡⎤=+−⎣⎦ ()()1tr Eνν=⎡⎤⎣⎦I ε1+σ−σ (3b)以上就域内方程来说，一共是对于u ,,σ ε的15个独立分量u i ij ij ,, σε的15个方程。

对于边界条件来说，三维问题每点有三个边界条件，而且是在三个正交方向上每个方向有一个边界条件，这个边界条件或者给定位移、或者给定面力。

这三个正交第四章 弹性力学的基本方程与解法方向可以是整体笛卡儿坐标系的三个方向，也可以是边界自然坐标系的三个方向（即法向和两个切向）。

从更一般来说，除去给定位移或面力外，还有另一种线性的边界条件t K u c i ij j i +=(4)这是一种弹性约束条件。

用这个条件可以取代给定位移或给定面力的条件。

具有单值关系的弹性范围内，σ ∼ ε ′ 也同样具有单值关系，而且当σ ∼ ε 具有线性关系
的线弹性范围内，σ ∼ ε ′ 也同样具有线性关系。也就是说，上述比例极限、弹性极限都
是针对整个均匀变形状态的，而不是针对变形状态的某个应力、应变分量的。试验还
表明，在线弹性范围内横向收缩应变与轴向伸长应变之比是一个常数，即
3. 由于线弹性材料的应力张量与应变张量之间满足线性关系，因此应变能密度函数不 仅可以用应变分量来表示，还可以用应力分量来表示，试导出各向同性弹性材料用 应力分量表示应变能密度函数的公式。
4. 对于线弹性材料，试证明如下卡氏公式：
∂W ∂σ ij
= εij
5. 将应力张量和应变张量分别分解为球形张量和偏斜张量之和，即
⎪⎪σ
22
⎪ ⎪
⎢ ⎢
E E 2222
2233
0
0
0
⎥⎪ ⎥⎪
ε 22
⎪ ⎪
⎪⎪σ ⎨⎪σ
33 23
⎪⎪ ⎬ ⎪
=
⎢ ⎢ ⎢
E3333
0
0
E2323
0
0 0
⎥ ⎥ ⎥
⎪⎪⎨⎪2εε3233
⎪⎪ ⎬ ⎪
(14)
⎪σ ⎪⎪⎩σ
31 12
⎪ ⎪ ⎪⎭
⎢ ⎢ ⎣⎢
sym.
E3131
0 E1212
⎥ ⎥ ⎦⎥
E
2(1 +ν
)
⎛ν ⎜⎝ 1 − 2ν
ε iiε
jj
+
ε ijε ij
⎞⎤ ⎟⎠⎥⎦
(18)
独立常数
E= ν= λ= μ =G = K=
表 1 各向同性弹性体弹性常数间的关系

一、课程简介课程建设目标弹塑性力学是一门力学基础学科，其推导及计算方法是土木工程、水利工程、机械工程、航天航空工程等现代工程中大型结构进行深入分析计算的理论基础，是许多大型结构分析软件（例如ABAQUS、ANSYS 和SAP2000等）的核心内容。

本课程的建设目标就是培养学生力学思维习惯，提高学生的力学分析素质，打好新工科创新驱动性的基础和源泉。

二、课程举措主要措施1.优化课程体系组织教学内容（1）对教学内容进行调整，一方面进一步加强平面问题基本概念和基本理论，另一方面精简内容，删除差分法、复变函数解法和级数形式解答等目前不实用的复杂内容。

（2）深入讲解基本概念，例如为了理解点的应力状态对应力单元体进行了进一步的阐释，指出应力单元体是一个只有形状而没有大小的一个抽象几何点而非实际的点，只为了形象表示该点的应力状态。

（3）加强力学原理的数学理论推导训练，增加数学理论推导中的力学物理意义解释，把数学理论和力学知识进行有机结合，不仅使学生知道为什么要进行这些公式推导，而且根据物理意义可以在一定程度上判断所推导结果的合理性和正确性。

（4）培养学生对力学理论的实际应用能力，主要是通过增加丰富和精彩的例题，引导学生分析实际问题的根本特征，抓住实际问题的主要因素，从而能够合理建立实际工程问题的力学模型；并且在此基础上，通过大作业进一步让学生进行理论应用和实践。

2.改革课程考核方式（1）弹性力学和塑性力学主要以基本概念和基本原理为主，弹性力学主要进行一些常规的计算和推导，但塑性力学仍然结合传统的填空题和选择题等考核方式，并在此基础上进行一些简单的计算和推导。

（2）在传统考核方式的基础上增加大作业形式的实践性考核内容，由学生结合自己导师的研究内容并经任课老师同意确定大作业的内容，完成之后不仅提交总结报告而且提交视频汇报。

三、课程建设特色1.建设难点（1）学习难度大。

一方面，力学概念十分抽象，学生往往难以准确理解，所以不能正确掌握这些力学概念及其相关的理论内容；另一方面，要求较高的数学基础，需要高阶偏微分方程组的理论知识，学生普遍认为弹塑性力学难学，理论公式推导多，也难以判断所推导出公式是否正确。

(1) 受力分析及静力平衡条件 (力的分析)
(2) 变形分析及几何相容条件 (几何分析)
(3) 受力与变形间的本构关系 (物理分析)
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10 / 27
01 绪 论
◆ 材料力学研究问题的基本方法：
选一维构 件整体为 研究对象
变形前，在某表 面绘制标志线； 变形后，观察总 结构件表面变形 的规律
1969年，Roscoe等人出版了《临界状态土力学》专著，这 是世界上第一本关于岩土塑性理论的专著，详细研究了土的 实用模型。
1982年，Desai等人也出版了一本《工程材料本构定律》
专著，进一步阐明了岩土材料变形机制，形成了较系统的岩 土塑性力学。
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01 绪 论
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01 绪 论
弹塑性力学的任务：根据对弹塑性体的实验观察结
果寻求物体在弹塑性状态下的变形规律，建立本构关系及 有关基本理论。
1．建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的基本方程 和理论；
2．给出初等理论无法求解的问题的理论和方法，以及对初 等理论可靠性与精确度的度量；
样的结论，同时进一步 证明了各向同性体有两个独立的弹性
系数。

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01 绪 论
线性各向同性体弹性力学的发展时期：
1850年，基尔霍夫解决了平板的平衡和震动问题； 1855-1856年，圣维南提出了局部性原理和半逆解法； 1862年，艾里解决了弹性力学的平面问题； 19世纪70年代，建立了各种能量原理，并提出了这些原 理的近似计算方法。
01 绪 论
现代力学的发展及其特点 1、现代力学的发展

弹塑性⼒学定理和公式应⼒应变关系弹性模量||⼴义虎克定律1.弹性模量对于应⼒分量与应变分量成线性关系的各向同性弹性体,常⽤的弹性常数包括:a弹性模量单向拉伸或压缩时正应⼒与线应变之⽐,即b切变模量切应⼒与相应的切应变之⽐,即c体积弹性模量三向平均应⼒与体积应变θ(=εx+εy+εz)之⽐,即d泊松⽐单向正应⼒引起的横向线应变ε1的绝对值与轴向线应变ε的绝对值之⽐,即此外还有拉梅常数λ。

对于各向同性材料，这五个常数中只有两个是独⽴的。

常⽤弹性常数之间的关系见表3-1 弹性常数间的关系。

室温下弹性常数的典型值见表3-2 弹性常数的典型值。

2.⼴义虎克定律线弹性材料在复杂应⼒状态下的应⼒应变关系称为⼴义虎克定律。

它是由实验确定，通常称为物性⽅程，反映弹性体变形的物理本质。

A各向同性材料的⼴义虎克定律表达式（见表3-3 ⼴义胡克定律表达式）对于圆柱坐标和球坐标，表中三向应⼒公式中的x 、y、z分别⽤r、θ、z和r、θ、φ代替。

对于平⾯极坐标，表中平⾯应⼒和平⾯应变公式中的x、y、z⽤r、θ、z代替。

B⽤偏量形式和体积弹性定律表⽰的⼴义虎克定律应⼒和应变量分解为球量和偏量两部分时，虎克定律可写成更简单的形式，即体积弹性定律应⼒偏量与应变偏量关系式在直⾓坐标中，i,j=x,y,z；在圆柱坐标中，i,j=r,θ,z,在球坐标中i,j=r,θ,φ。

弹性⼒学基本⽅程及其解法弹性⼒学基本⽅程|| 边界条件|| 按位移求解的弹性⼒学基本⽅法|| 按应⼒求解的弹性⼒学基本⽅程|| 平⾯问题的基本⽅程|| 基本⽅程的解法|| ⼆维和三维问题常⽤的应⼒、位移公式1.弹性⼒学基本⽅程在弹性⼒学⼀般问题中，需要确定15个未知量，即6个应⼒分量，6个应变分量和3个位移分量。

这15个未知量可由15个线性⽅程确定，即(1)3个平衡⽅程[式（2-1-22）]，或⽤脚标形式简写为(2)6个变形⼏何⽅程[式（2-1-29）]，或简写为(3)6个物性⽅程[式（3-5）或式（3-6）]，简写为或2.边界条件弹性⼒学⼀般问题的解，在物体部满⾜上述线性⽅程组，在边界上必须满⾜给定的边界条件。

弹塑性力学第八章 塑性力学平面问题一、刚性理想塑性平面应变问题的基本方程和定解条件和弹性问题一样，平面应变问题的位移场应为()(),, ,, 0x x y y z u u x y u u x y u === (1)所研究的是柱形体，承受与轴线垂直、沿轴向均布载荷的作用，且两端约束轴向位移为零。

若物体的材料为理想塑性，则当载荷达到某定值时，物体可在载荷不变的情况下发生无限制的塑性流动，即达到塑性极限状态，简称极限状态。

下面来寻求在平面应变条件下物体在达到极限状态瞬时的响应，即应力和应变率在物体中的分布以及相应的极限载荷。

因为在刚达到极限状态的瞬时，应力率和塑性应变率均为零，且总体变形属于小量可以忽略不计。

在塑性流动过程中，塑性变形比弹性变形大得多，故可假设材料为刚性理想塑性，因而可用莱维－米赛斯塑性流动理论。

极限状态到达后，物体将继续不断产生塑性流动，几何尺寸发生显著变化，因此对继续塑性流动的研究将是材料和几何双重非线性问题，求解相当复杂。

但如果在流动过程中塑性区域在空间保持不变或几何相似，则属于稳定流动或准稳定流动问题。

这时采用空间坐标描述，则在任意瞬时仍可按塑性界限状态一样处理。

z 基本方程和定解条件根据平面应变定义和刚性理想塑性假设，在笛卡尔坐标系中塑性区应满足下列方程组： 几何方程, , y y x x x y xy v v v v x y y x εεγ∂∂∂∂===+∂∂∂∂&&& (2)本构关系，包括屈服条件()22244, (Tresca)x y xy s k k σστσ−+== (3)流动法则（莱维－米赛斯理论）()(),,2x x y y xy xy ελσσελσσγλτ=−=−=&&&第八章 塑性力学平面问题()()1 , 0 2,0 2x y z x y x y x y xy xy σσσσλσλεεσσεεγτ=+=>−−=+=&&&&&其中为塑性流动因子消去和后可得体积不可压缩条件(4)平衡方程0, 0xy xy y x x y x y ττσσ∂∂∂∂+=+=∂∂∂∂ (5)将(2)式代入(4)式，消去应变率分量，可得, 02y x x y y x y x xy v v v v x y v v x y x y σστ∂∂−−∂∂∂∂=+=∂∂∂∂+∂∂ (6)一般情况，塑性区的边界不仅指物体的实际边界，还包括两个不同区域的交界面，它可能有下列4种不同类型：给定面力的实际边界t Γ, n n n t t t στ==(7)给定表面速度的实际边界v Γ, n n t t v v v v ==(8)图8.1 给定面力边界 图8.2 给定表面速度边界图8.3 两个塑性区界面（速度间断） 图8.4 两个塑性区界面（应力间断）研究生学位课弹塑性力学电子补充讲义 姚振汉与其它塑性区的交界面y Γ可能情况1（交界面两侧切向速度发生间断，即两个塑性区相对滑动）, , n n n n n n v v k σσττ−+−+−+====± (9)此时[]0t t t v v v +−=−>，即两个塑性区可以相对滑动。

提法三：若作用在物体局部表面上的外力，用一个静力等效 的力系(具有相同的主矢和主矩)代替，则离此区域较 远的部分所受影响可以忽略不计。
• 利用圣维南原理可放宽边界条件，扩大弹 性力学的解题范围。
END
1. 位移法：以位移作为基本未知量用，位移表述平
衡方程——位移法控制方程
2. 应力法：以应力作为基本未知量。将相容方程用 应力表示——应力控制方程
3. 应力函数法：先引入应力函数，相容方程用应力
函数表示法：将几何方程代入物理方程，得到用位移
表示的应力分量，再将应力分量代入平衡方程和应力边 界条件，即得到空间问题的位移法控制方程。不需要用 相容方程。
3、对非线弹性或弹塑形材料，应力应变关系是非线 性的，叠加原理不成立。
4、对载荷随变形而变的非保守力系或边界为 用非线性弹簧支承的情况，边界条件是非 线性的，叠加原理也将失效。
二. 解的唯一性定理：
在给定载荷作用下，处于平衡状态的弹性体， 其内部各点的应力、应变解是唯一的，如物体刚 体位移受到约束，则位移解也是唯一的。
无论何方法求得的解，只要能满足全部基本方 程和边界条件，就一定是问题的真解。
三.圣维南原理: 提法一：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，则
此力系对物体内距该力系作用区域较远的部分不产生 影响只在该力系作用的区域附近才引起应力和变形。
提法二：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，该 力系在物体中引起的应力将随离力系作用部分的距离 的增大而迅速衰减，在距离相当远处，其值很小，可 忽略不计。
位移控制方程指标表示：
力边界条件也可用位移表述。
3个位移表述的平衡微分方程，包含3个位 移未知数。
结合边界条件，解上述方程，可求出位移分 量，由几何方程求应变，再由本构方程求应力。

平衡方程 0'',',=-jji j ji σσ , 令 '''ji ji ij σσδσ-=则平衡方程为 0,=jji δσδσij 满足无体力平衡方程（齐次方程）。

力的边界条件 0'''=-ij j ijj n n σσ 在S σ上 或0=ij j n δσ δσij 在S σ无面力（齐次边界条件）位移边界条件 0'''=-i i u u 令 '''i i i u u u -=δ 或 0=i u δ 在S u 无位移（齐次边界条件）在弹性体无外力作用、表面无位移（无支座移动）情况属于自然状态——弹性体无（初）应力、无变形。

，则 δσij =0，δu i =0, δεij =0 所以第一组解和第二组解相等。

唯一性定理的好处是无论用什么方法求解，只要能满足全部基本方程和边界条件，就一定是问题的真解。

4.3 圣维南原理——局部效应原理从前面弹性力学基本解法的讨论，可知弹性力学的定解方程要求边界条件处处给出（清楚），待求函数在边界上也须处处满足，但在实际问题中经常碰到情况：（1） 物体局部上的面力分布不清楚，仅知局部面力的合力和合力矩； （2） 解题时往往难于满足逐点给定的精确边界条件：如固定端u 1=u=0、u 2=v=0无法满足。

所以希望能找到一种边界条件的合理简化方案。

1855年圣维南在梁理论的研究中提出:由作用在物体局部表面上的平衡力系（即合力合力矩为零）所引起的PP这个问题为（相当）静水压力问题。

例题2 等截面柱体在自重作用下。

等截面柱体受体力f z = -ρg （在图示坐标系）ρ为柱的密度，g 为重力加速度。

而 f x =f y =0gρ-xxxM T位移。

qqxA 、B 由z=0处的力边界条件和z=h 处w=0的位移边界条件来定。

通过上面几个简例可见，解题采用了逆解法或半逆解法。

弹塑性力学讲义弹塑性力学1 弹塑性的概念所谓弹塑性指的是物体在外力作用下发生变形而外力除去后变形不能完全恢复的性质。

变形中可回复的部分称为弹性变形，变形中不可回复的部分称为塑性变形。

塑性变形总是在外力的作用超过一定的限度后出现。

2 简单拉压状态下金属材料弹塑性行为及其数学模型（1）理想塑性材料的弹塑性行为σs主要特点：屈服后加载，表现出一种流动变形现象，材料失去进一步承载的能力；屈服后卸载，应力应变增量大致与弹性变形段相同。

卸载至零后再次加载，应力应变关系相当于原应力应变关系曲线在应变轴方向作了一个平移，平移量为残余塑性应变。

数学表达：Eε(0 ε εs)σ σ(ε)σ(ε ε)s s Eε( εs ε 0)σ σ(ε)(ε εs) σs（2）线性强化材料的弹塑性行为σσs主要特点：屈服后加载，材料仍有进一步承载的能力，但应力应变增量的比例较弹性段小；屈服后卸载，应力应变增量大致与弹性变形段相同。

卸载至零后再次加载，屈服应力为卸载前的应力值（较先前的屈服应力大），应力应变关系相当于原应力应变关系曲线在应变轴方向作了一个平移，平移量为残余塑性应变，同时应力轴伸长。

两种常用的强化模型数学表达：Eε(0 ε εs)σ σ(ε)σ E(ε ε)(ε ε)ss sEε( εs ε 0)σ σ(ε)σs E(ε εs)(ε εs)上述描述弹塑性材料应力应变关系的数学模型称为全量型本构关系。

显然不能代表弹塑性变形规律的全貌。

它描述了单调应力-应变过程。

为了描述弹塑性力学行为的“过程相依”，需要建立增量型本构关系。

记当前应力为σ0，应力增量为dσ，应变增量为dε，分析弹塑性行为可以得出相应的增量变形法则。

理想塑性材料的增量型弹塑性关系（1）由dσ决定dε当σs σ0 σs时，dε dσ/E 当σ0 σs时，dεdλσ0ifdσ 0 dσ/Eifdσ 0dλσ0ifdσ 0当σ0 σs时，dεdσ/Eifdσ 0（2）由dε决定dσ当σs σ0 σs时，dσ Edε0ifdε 0当σ0 σs时，dσEdεifdε 0当σ0 σs时，dσ0ifdε 0 Edεifdε 0例：已经测得某理想弹塑性材料的细杆所经受的轴向应变过程如图所示，试求此杆中的应力过程。