(完整版)弹塑性力学公式

应力应变关系:弹性模量 || 广义虎克定律 1.弹性模量a 弹性模量 单向拉伸或压缩时正应力与线应变之比,即E σε=b 切变模量 切应力与相应的切应变 之比,即G τγ=c 体积弹性模量 三向平均应力0()3x y z σσσσ++=与体积应变θ(=εx +εy +εz )之比, 即K σθ=d 泊松比 单向正应力引起的横向线应变ε1的绝对值与轴向线应变ε的绝对值之比,即1ενε= 2.广义虎克定律 a.弹性力学基本方程在弹性力学一般问题中，需要确定15个未知量，即6个应力分量，6个应变分量和3个位移分量。

这15个未知量可由15个线性方程确定，即 (1)3个平衡方程(或用脚标形式简)写 为:22()0jijii x u f tσρ∂∂++-=∂∂(,,,)i j x y z =(2)6个变形几何方程,或简写为:1()2ji ij j iu u E x x ∂∂=+∂∂(,,,)i j x y z =(3)6个物性方程简写为:0132ij ij E G E νσσδ=-2ij ij ijG σελθδ=+(,,,)i j x y z ={1()0()()i j ij i j δ=≠=2.边界条件x x xx xy xy xz xzF l l l σττ=++y yz xx y xy yz xzF l l l τσσ=++z zz xx xy xy z xzF l l l ττσ=++式中，l nj =cos(n,j)为边界上一点的外法线n 对j 轴的方向余弦 b 位移边界问题在边界S x 上给定的几何边界条件为*x x u u = *y y u u =*z z u u = 式中，u i 为表面上给定的位移分量Cauchy 公式： T x = σ x l + τ xy m +τ zx n T y = τ xy l+σ y m +τ zy n T y =τ xz l+τ y z m +σ z n22)(n x z n n n T l T T nT T T στ=+++=边界条件：()()()x xy xz s x xy y yz s y xz yz z s zl m n T l m n T l m n T στττστττσ++=++=++= 平衡微分方程：000yx x zxx xy y zyy yz xz zz F x y z F x y z F x y zτσττστττσ∂∂∂+++=∂∂∂∂∂∂+++=∂∂∂∂∂∂+++=∂∂∂ 主应力、不变量，偏应力不变量321231230x y zx xy y z zxyz yx y zy xz x z x xy xzyx y yzzx zy z I I I I I I σσσσσσστσστττσττσσστττστττσ-+-==++=++= 1231();3m i i m s σσσσσσ=++=-()()()112322222223016()6x y y z z xxy yz zx J ss s J J σσσσσστττ=++=⎡⎤=-+-+-+++⎢⎥⎣⎦=偏应力张量行列式的秩八面体812381()3σσσστ=++等效应力σ=体积应变x y z θεεε=++12312()Ev vεσσσ-=++几何方程：;;;x xy y yz z xy u u v x y x v v w y z y w u w z z xεγεγεγ∂∂∂==+∂∂∂∂∂∂==+∂∂∂∂∂∂==+∂∂∂ 12ij ij εγ=变形协调方程22222y xyx xy y xετε∂∂∂+=∂∂∂物理方程()()()12(1);12(1);12(1);x x y z xyxy y y x z yz yz z z y x zx zx v v E E v v E Ev v E Eεσσσγτεσσσγτεσσσγτ+⎡⎤=-+=⎣⎦+⎡⎤=-+=⎣⎦+⎡⎤=-+=⎣⎦偏应力与偏应变的关系 3;2m m ij ij K s Ge σε==平面应变问题()()()()()'x '''''''2111111112(1)2(1);0;110;x y x y y y x y x xy xyxy z zy zx zy zx z x y v v v v Ev v v v E v v E E E v E v v v v εσσσσεσσσσγττεγγττσσσ⎡⎤=-=--⎣⎦-⎡⎤=-=--⎣⎦-++=====--=====+ 平面应力问题()()()x 11;2(1)01;0x y y y x xy xyzy zx zy zx z x y z v v E Ev Evεσσεσσγτγγττεσσσ=-=-+======-+= 平面问题方程： 平衡方程：00yxx x xy yy F x y F x yτστσ∂∂++=∂∂∂∂++=∂∂几何方程;;x y xy u v u v x y y xεεγ∂∂∂∂===+∂∂∂∂ 边界条件;x yx x xy y y l m T l m T σττσ+=+=位移边界条件;x x y y u u u u ==协调方程 平面应变22222y xyxxy y xετε∂∂∂+=∂∂∂平面应力222220;0;0z z zxy x y εεε∂∂∂===∂∂∂平面问题应力解（直角坐标系）22222x x y y xy F xy F y x xy ϕσϕσϕτ∂=-∂∂=-∂∂=-∂协调方程：222222222()()()0x y x y x yϕσσ∂∂∂∂+=++=∂∂∂∂ 平面问题应力解（极坐标系） 平衡微分方程：10210r r r r r r F r r r F r r rθθθθθθτσσσθτστθ∂-∂+++=∂∂∂∂+++=∂∂ 几何方程：1;1r r r r r u u u r r r u u u r r rθθθθθεεθγθ∂∂==+∂∂∂∂=+-∂∂ 本构方程：()()r 11;2(1)r r rrv v E E v Eθθθθθεσσεσσγτ=-=-+= 变形协调：22222211()0r r rr θ∂∂∂++=∂∂∂已知应力函数ϕ，求应力2222222211;111()r r r r r r r r r r r θθϕϕϕσσθϕϕϕϕτθθθ∂∂∂=+=∂∂∂∂∂∂∂=-+=-∂∂∂∂∂ 平面应变下：()()[]()()[]r (1)112(1)112r r Eu u u u E u u u u θθθσεεσεε=-++-=-++-屈服条件Tresca 屈服条件()12111s022ij sf k σσσστ-=-===单轴拉伸：k ;纯剪切：k Mises 屈服条件()()()()222222222222016()6K K ij x y y z z x xy yz zx s sf J k J σσσσσσστττσ=-=⎡⎤=-+-+-+++⎢⎥⎣⎦=单轴拉伸：;纯剪切：1、理想弹塑性材料的加卸载准则：()()0,0;0,0;ij ij ijij ij ij ff df d ff df d σσσσσσ∂===∂∂==<∂加载卸载2、硬化材料的加卸载准则：()()()0,0;0,0;0,0;ij ij ij ij ij ij ij ij ij ff d f f d ff d βββσεσσσεσσσεσσ∂=>∂∂==∂∂=<∂，加载，中性加载，卸载。

弹塑性力学总结弹塑性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段和塑性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。

并且弹塑性力学是以后有限元分析、解决具体工程问题的理论基础，这就要求我们掌握其必要的基础知识和具有一定的计算能力。

通过一学期的弹塑性力学的学习，对其内容总结如下：一、弹性力学1、弹性力学的基本假定求解一个弹性力学问题，通常是已知物体的几何形状（即已知物体的边界），弹性常数，物体所受的外力，物体边界上所受的面力，以及边界上所受的约束；需要求解的是物体内部的应力分量、应变分量与位移分量。

求解问题的方法是通过研究物体内部各点的应力与外力所满足的静力平衡关系，位移与应变的几何学关系以及应力与应变的物理学关系，建立一系列的方程组；再建立物体表面上给定面力的边界以及给定位移约束的边界上所给定的边界条件；最后化为求解一组偏分方程的边值问题。

在导出方程时，如果考虑所有各方面的因素，则导出的方程非常复杂，实际上不可能求解。

因此，通常必须按照研究对象的性质，联系求解问题的范围，做出若干基本假定，从而略去一些暂不考虑的因素，使得方程的求解成为可能。

（1）假设物体是连续的。

就是说物体整个体积内，都被组成这种物体的物质填满，不留任何空隙。

这样，物体内的一些物理量，例如：应力、应变、位移等，才可以用坐标的连续函数表示。

（2）假设物体是线弹性的。

就是说当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原来形状，不留任何残余变形。

而且，材料服从虎克定律，应力与应变成正比。

（3）假设物体是均匀的。

就是说整个物体是由同一种质地均匀的材料组成的。

这样，整个物体的所有部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性模量和泊松比才不随位置坐标而变。

（4）假设物体是各向同性的。

也就是物体内每一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。

（5）假设物体的变形是微小的。

即物体受力以后，整个物体所有各点的位移都小于物体的原有尺寸，因而应变和转角都远小于1。

1-5 已知1σσ=x ，2σσ=y ，0====zx yz xy z τττσ，试求与xy 平面垂直的任意斜截面上的正应力和剪应力。

解：由公式2221m l σσσυ+=， αcos =l ，αsin =m ，所以有：ασσσσασασσυ2cos )(21)(21sin cos 21212221-++=+= [注意：）αααα2cos 1(21cos )2cos 1(21sin 22+=-=•]法二：根据已知条件，建立如图所示的坐标系，设将外力沿外法线方向投影，得：sin sin cos cos =⋅⋅-⋅⋅-αασαασσυds ds ds y x 即 0sin cos 2221=⋅⋅-⋅⋅-ασασσυds ds dsασσσσασασσυ2cos )(21)(21sin cos 21212221-++=+=⇒与前同。

同理，将外力沿切线方向投影，得：cos sin sin cos =⋅⋅+⋅⋅-αασααστυds ds ds y x 即： 02sin 212sin 2121=⋅⋅+⋅⋅-ασαστυds ds ds ασστυ2sin 2)(21-=⇒ [注意：ααααααcos sin 22sin 2sin 21sin cos •••==] 综上，与xoy 平面垂直的任意斜截面上的正应力为：ασσσσασασσυ2cos )(21)(21sin cos 21212221-++=+=剪应力为：ασστυ2sin 2)(21-=。

1-6 当321σσσ>>时，如令313122σσσσσμσ---=，试证明3)3(22max 0σμττ+=，且该值在0.816~0.943之间。

解：0τ为等倾面上的剪应力，212132322210])()()[(31σσσσσστ-+-+-=由于剪应力的极值为2321σστ-±=，2132σστ-±=，2213σστ-±=232221032ττττ++=，另外有：max 2ττ=，max 121τμτσ+-=，max 321τμτσ--= 所以，212max 22max 0]426[324)1(4)1(132σσσμτμμττ+=-+++=3)3(22max 0σμττ+=⇒ 由于)30(3-=σσωμtg ，)30cos(136)]30(1[36212max 0-=-+=⇒σσωωττtg 因为：11≤≤-σμ，[当0=σω时，1-=σμ；当3πωσ=时，1=σμ；当6πωσ=时，0=σμ]将1=σμ和0=σμ代入maxττ则有： 943.0816.0max 0≤≤ττ，（816.030max 0==ττωσ时，当，943.060max0==ττωσ时，当 ）。