高三文科数学小题模拟练(三)

陕西省安康市2023届高三三模（第三次质量联考）文科数学试题及参考答案一.选择题1.已知集合(){}2,x y y x A ==，(){}x y y x B ==,，则=B A （）A.{}1,0 B.(){}0,0 C.(){}1,1 D.()(){}1,10,0，2.若复数()R b a bi a z ∈+=,满足i z +2为纯虚数，则=ab （）A.2- B.21-C.21 D.23.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，443=+a a ，则=6S （）A.6B.12C.18D.244.已知向量()1,2=a，()x b ,1= ，若b a -2与b 共线，则=b （）A.25 B.45 C.5 D.55.党的二十大报告提出全面推进乡村振兴.为振兴乡村经济，某市一知名电商平台决定为乡村的特色产品开设直播带货专场.该特色产品的热卖黄金时段为2023年3月1日至5月31日，为了解直播的效果和关注度，该电商平台统计了已直播的2023年3月1日至3月5日时段的相关数据，这5天的第x 天到该电商平台专营店购物人数y （单位：万人）的数据如下表：依据表中的统计数据，经计算得y 与x 的线性回归方程为a x y+=4.6ˆ.请预测从2023年3月1日起的第58天到该专营店购物的人数（单位：万人）为（）A.440B.441C.442D.4436.若双曲线()01222>=-k ky x 的渐近线与圆()1222=-+y x 相切，则=k （）A.2B.3C.1D.337.在ABC ∆中，“B A tan tan >”是“B A sin sin >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知方程()()0272722=+-+-nx x mx x 的四个根组成以1为首项的等比数列，则=-n m （）A.8B.12C.16D.209.羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为6cm，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成圆的直径是6cm，底部所围成的圆的直径是2cm，据此可估算得球托之外羽毛所在曲面的展开图的圆心角为（）A.3πB.2π C.32π D.π10.设()x f 时定义域R 的偶函数，且()()x f x f -=+2，2121=⎪⎭⎫⎝⎛f ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛22023f （）A.21-B.21 C.23-D.2311.已知椭圆C ：()012222>>=+b a b y a x 的左、右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆C 上一点，︒=∠6021PF F ，点2F 到直线1PF 的距离为a 33，则椭圆C 的离心率为（）A.33B.22 C.36 D.32212.若01.11121=-==+ce a b，则（）A.cb a >> B.ca b >> C.b a c >> D.ab c >>二、填空题13.已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤->7220y x y x x ，则y x z -=的最大值是.14.已知函数()()⎩⎨⎧>-≤=0,10,4x x f x x f x ，则()=3log 2f .15.已知函数()()0cos >=ωωx x f 的图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛02，π对称，且在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡80π，单调，则ω的一个取值是.16.已知矩形ABCD 的周长为36，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为.三、解答题17.新高考取消文理分科，采用选科模式，这赋予了学生充分的自由选择权.新高考地区某校为了解本校高一年级将来高考选考历史的情况，随机选取了100名高一学生，将他们某次历史测试成绩（满分100分）按照[0,20),[20,4.),[40,60),[60,80)[80,100]分成5组，制成如图所示的频率分布直方图.（1）求图中a 的值并估计这100名学生本次历史测试成绩的中位数；（2）据调查，本次历史测试成绩不低于60分的学生，高考将选考历史科目：成绩低于60分的学生，高考将不选考历史科目.按分层抽样的方法从测试成绩在[0,20),[80,100]的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率.18.已知ABC ∆的内角C B A ，，的对边分别为c b a ，，，且c a <，416cos 3sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-A A ππ.（1）求A ；（2）若3=b ，B Cc A a sin 34sin sin =+,求ABC ∆的面积.19.如图，四棱锥ABCD P -中，⊥PD 平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，G F E ,,分别是棱P A AD BC ,,的中点.（1）证明：PE ∥平面BFG ；（2）若2=AB ，求点C 到平面BFG 的距离.20.已知函数()x a x x f ln 2-=.（1）讨论函数()x f 的单调性；（2）若()2212a a x f -≥，求a 的取值范围.21.已知()21，M 抛为物线C ：px y 22=上一点.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点()1,0T 的直线l 与抛物线C 交于B A ,两点，且直线MA 与MB 的倾斜角互补，求TB TA ⋅的值.22.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为()⎩⎨⎧=-=ty t x 222（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()4sin 3122=+θρ.（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若射线βθ=（其中()πβ，0∈，且21tan -=β，0≥ρ)与曲线C 在x 轴上方交于点M ，与直线l 交于点N ，求MN .23.已知函数()322-++=x x x f .（1）求不等式()5≤x f 的解集；（2）若R x ∈∀，()x f a a ≤-32，求a 的取值范围.参考答案一.选择题1.D 解析：由题意得⎩⎨⎧==xy x y 2，解得⎩⎨⎧==00y x 或⎩⎨⎧==11y x ，故=B A ()(){}1,10,0，.2.A解析：()()()()()52222222ia b b a i i i bi a i bi a i z -++=-+-+=++=+为纯虚数，∴⎩⎨⎧≠-=+0202a b b a ，∴2-=a b.3.B解析：()()12262643616=+=+=a a a a S .4.A 解析：由题意得()xb a -=-2,32 ，∴x x -=23，解得21=x ，∴25411=+=b .5.C解析：由题意，3554321=++++=x ，90510098938475=++++=y ，将()90,3代入a x y+=4.6ˆ，可得a +⨯=34.690，解得8.70=a ，线性回归直线方程为8.704.6ˆ+=x y，将58=x 代入上式，4428.70584.6ˆ=+⨯=y.6.B解析：双曲线的渐近线方程为kx y ±=，即0=-±y kx .∵双曲线的渐近线与圆相切，∴1122=+k ，解得3=k .7.D解析：当6π=A ，32π=B 时，B A tan tan >，但B A sin sin <,故“B A tan tan >”不是“B A sin sin >”的充要条件，当32π=A ，6π=B 时，B A sin sin >，但B A tan tan <,故“B A tan tan >”不是“B A sin sin >”的必要条件；∴“B A tan tan >”是“B A sin sin >”的既不充分又不必要条件8.C解析：设方程()()0272722=+-+-nx x mx x 的四个根由小到大依次为4321,,,a a a a 不妨设0272=+-mx x 的一个根为1，则另一根为27，∴28271=+=m .由等比数列的性质可知3241a a a a =，∴27141==a a ，，∴等比数列4321,,,a a a a 的公比为3314==a a q ，∴931331232=⨯==⨯=a a ，，由韦达定理得1293=+=n ，∴161228=-=-n m .9.C解析：将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面的面积为大、小圆锥的侧面积之差，设小圆锥母线长为x ，则大圆锥母线长为6+x ，由相似得316=+x x ，解得3=x .∴可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展开图的圆心角为32312ππ=⋅.10.B 解析：由已知可得()()x f x f =+2，∴()x f 的周期为2，∴21212110122202322023=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛f f f f .11.A解析：如图，由题意得a M F 332=，︒=∠6021PF F ，∴a PF a PM 32312==，，由椭圆定义可得a PF MF PM PF PF 22121=++=+，∴a MF =1.在21F MF Rt ∆中，由勾股定理得222433c a a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+，可得33==a c e .12.A 解析：由01.11121=-==+c e a b得01.11101.1ln 2101.12-==-=c b a ，，，比较a 和b ，构造函数()x x x f ln 212--=，当1>x ，()01>-='x x x f ，()x f 在()∞+，1上单调递增，故()()0101.1=>f f ，即b a >.同理比较b 和c ，构造函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x x x g 11ln ，当1>x ，()012>-='xx x g ，∴()x g 在()∞+，1上单调递增，∴()()0101.1=>g g ，即c b >.综上：c b a >>.二、填空题13.1解析：作出可行域，易得目标函数y x z -=在点()3,4A 处取得最大值1.14.169解析：()()⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=43log 123log 23log 13log 3log 22222f f f f f 1692443log 243log 22===.15.1或3或5或7（写出其中一个即可）解析：由已知可得02cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅πω，∴Z k k ∈+=⋅,22πππω，∴Z k k ∈+=,21ω.∵()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡80π，单调，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ωπω8,0x ，∴结合x y cos =的图象可得πωπ≤8，∴80≤<ω，∴=ω1或3或5或7.16.π52解析：设正六棱柱的底面边长为x ，高为y ，则186=+y x ，30<<x ，正六棱柱的体积()()3366183363618336343632=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++≤-⋅⋅⋅=⋅=x x x x x x x y x V ，当且仅当x x 6183-=，即2=x 时，等号成立，此时6=y .正六棱柱的外接球的球心在其上下底面中心的连线的中点，其半径为133222=+，∴外接球的表面积为ππ52134=⨯.三、解答题17.解：（1）()1200125.0015.001.0005.0=⨯++++a ，解得0075.0=a .设中位数为x ，∵学生成绩在[0,40)的频率为()5.03.001.0005.020<=+⨯，在[0,60)的频率为()5.06.0015.001.0005.020>=++⨯∴中位数满足等式()5.040015.02001.020005.0=-⨯+⨯+⨯x ，解得3160=x .故这100名学生本次历史测试成绩的中位数为3160.（2）成绩在[0,20)的频数为1010020005.0=⨯⨯，成绩在[80,100]的频数为151********.0=⨯⨯，按分层抽样的方法选取5人，则成绩在[0,20)的学生被抽取252510=⨯人，设为b a ,，在[80,100]的学生被抽取352515=⨯人，设为e d c ,,，从这5人中任意选取2人，基本事件有a b,a c,a d,a e,b c,b d,b e,c d,c e,d e,共10种，都不选考历史科目的有a b,1种，故这2人中至少有1人高考选历史科目的概率为1091011=-=P .18.解：（1）⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛-A A A A A 6cos 6cos 32cos 6cos 3sin 2ππππππ412123cos =+⎪⎭⎫⎝⎛+=A π，∴2123cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+A π，∵π<<A 0，∴37233πππ<+<A ，∴3223ππ=+A 或3423ππ=+A ，解得6π=A 或2π=A ，∵c a <，∴2π<A ，∴6π=A .（2）由（1）知6π=A ，B C c A a sin 34sin sin =+，由正弦定理得123422==+b c a 由余弦定理得A bc c b a cos 2222⋅-+=，即233231222⋅-+=-c c c ，整理得09322=--c c ，由0>c 得3=c ，∴433213321sin 21=⨯⨯⨯==∆A bc S ABC .19.解：（1）连接DE ，∵ABCD 是正方形，F E ,分别是AD BC ,的中点，∴BE DF BE DF ∥,=，∴四边形BEDF 是平行四边形，∴BF DE ∥，∵G 是P A 中点，∴PD FG ∥.∵⊄DE PD ,平面BFG ，⊂BF FG ,平面BFG ，∴PD ∥平面BFG ，DE ∥平面BFG，∵D DE PD = ，∴平面PDE ∥平面BFG ，∵⊂PE 平面PDE ，∴PE ∥平面BFG .（2）∵⊥PD 平面ABCD ，PD FG ∥，∴⊥FG 平面ABCD ，过C 在平面ABCD 内，作BF CM ⊥，垂足为M ，则CM FG ⊥,∵F BF FG = ，∴⊥CM 平面BFG .∴CM 长是点C 到平面BFG 的距离，∵BCF ∆中，5==CF FB ，∴由等面积可得554522=⨯=CM .∴点C 到平面BFG 的距离为554.20.解：（1）由题意可得()0,22>-=-='x xa x x a x f ，当0≤a 时，()0>'x f ，此时()x f 在()∞+，0上单调递增；当0>a 时，令()0<'x f 得20a x <<，令()0>'x f 得2ax >，此时()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0a 上单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,2a 上单调递增.（2）当0=a 时，()02>=x x f ，()2212a a x f -≥显然成立.当0<a 时，()x f 在()∞+，0上单调递增，若()aa ex 2220-<<，由()0222<-aa 可得()10222<<-aa e，∴()()()2222212222ln 2ln 2ln 22a a aa a e a x a x a x x f aa -=-⋅-=-<-<-=-，与()2212a a x f -≥矛盾；当0>a 时，()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0a 上单调递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,2a 上单调递增，∴()2ln 2min a a a a f x f -=⎪⎭⎫⎝⎛=.∵()2212a a x f -≥，∴22122ln a a a a a -≥-，即012ln 2≥--aa .令()12ln 2--=a a a h ，则()aa a a h 22121-=-='，令()0>'a h 得2>a ，∴()a h 在()2,0上单调递减，在()∞+，2上单调递增，∴()()012ln 2ln 12min =-+-==h a h ，∴012ln 2≥--a a .综上，a 的取值范围是[)∞+，0.21.解：（1）由点()21，M 在抛物线C 上得p 222=，即2=p ，∴抛物线C 的准线方程为12-=-=p x .（2）设直线AB 的方程为1+=kx u ，()()2211,,y x B y x A ，，由直线MA 与MB 的倾斜角互补得0=+MB MA k k ，即()()()02244142142222221212222112211=++++=--+--=--+--y y y y y y y y x y x y ，∴421-=+y y .联立⎩⎨⎧=+=x y kx y 412得0442=+-y ky ，∴k y y k y y 442121==+，，∴44-=k，∴1-=k ，421-=y y .()()()()222221212222212112kx x kx x y x y x TB TA +⋅+=-+⋅-+=⋅()()24112212212=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=y y k x x k .22.解：（1）由()⎩⎨⎧=-=t y t x 222得()222-=y x ，即0242=+-y x .故直线l 的普通方程是0242=+-y x .由()4sin 3122=+θρ得4sin 3222=+θρρ，代入公式⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 得43222=++y y x ，∴1422=+y x ，故曲线C 的直角坐标方程是1422=+y x .（2）由βθ=（其中()πβ，0∈，且21tan -=β，0≥ρ)得55sin =β，552cos -=β.将射线βθ=（0≥ρ）代入曲线C 的极坐标方程，可得2555314sin 314222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+=+=βρM ，∴210=M ρ.直线l 的极坐标方程为024sin 2cos =+-θρθρ，将βθ=（0≥ρ）代入直线l 的极坐标方程可得：024sin 2cos =+-βρβρ，∴10=N ρ，∴21021010=-=-=M N MN ρρ.23.解：（1）()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<-+-≤+-=-++=3,1331,51,13322x x x x x x x x x f .①当1-≤x 时，34513-≥⇒≤+-x x ，解得134-≤≤-x ；②当31<<-x 时，055≤⇒≤+x x ，解得01≤<-x ；③当3≥x 时，2513≤⇒≤-x x ，无解.∴不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-034x x .（2）∵R x ∈∀，()x f a a ≤-32，∴()min 23x f a a ≤-，由（1）知()x f 在()1-∞-，单调递减，[)3,1-单调递增，[)∞+，3单调递增，∴()()41min =-=f x f ，∴432≤-a a ，∴4342≤-≤-a a ，解得41≤≤-a .。

2020年新疆乌鲁木齐市高考（文科）数学三模试卷一、选择题（共12小题）.1．已知i是虚数单位，则2i（1+i）＝（）A．﹣2+2i B．2+2i C．2i D．﹣2i2．已知集合A＝{x|（x﹣2）（x+2）≤0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．∅B．{0，1，2}C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}3．命题P：∀x∈R，x2+1≥1，则￢P是（）A．∀x∈R，x2+1＜1B．∀x∈R，x2+1≥1C．D．4．已知等差数列{a n}满足a1+a3+a5＝18，a3+a5+a7＝30，则a2+a4+a6＝（）A．20B．24C．26D．285．若角α的终边过点P（3，﹣4），则sin2α的值为（）A．B．C．D．6．某校有甲、乙两个数学建模兴趣班．其中甲班有40人，乙班有50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则这两个数学建模兴趣班所有同学的平均成绩是（）A．85B．85.5C．86D．86.57．正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB的中点为M，DD′的中点为N，则异面直线B′M与CN所成角的大小为（）A．0°B．45°C．60°D．90°8．在Rt△ABC中，AB＝AC＝1，点D满足，则＝（）A．B．C．1D．29．直线y＝x﹣2与抛物线y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB，则p的值为（）A．B．1C．D．210．在四面体ABCD中，AB＝，DA＝DB＝CA＝CB＝1，则四面体ABCD的外接球的表面积为（）A．πB．2πC．3πD．4π11．M是双曲线C：上位于第二象限的一点，F1，F2分别是左、右焦点，MF1⊥F1F2．x轴上的一点N使得∠NMF2＝90°，A，B两点满足，，且A，B，F2三点共线，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．12．定义在R上的函数y＝f（x），当x∈[0，2]时，f（x）＝42﹣|x﹣1|﹣4，且对任意实数x∈[2k ﹣2，2k+1﹣2]（k∈N，k≥2），都有，若g（x）＝f（x）﹣log a x有且仅有5个零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为．14．已知定义在R上的奇函数f（x）满足：当x＜0时，f（x）＝log3（1﹣x），则f（8）＝．15．若f（x）＝2sinωx（0＜ω＜1）在区间上的最大值是，则ω＝．16．在正项等比数列{a n}中，a4+a6＝，2a1，，a2成等差数列，则数列{a n•a n+1}的前n项之积的最小值为．三、解答题：第17～21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，a，b，c是∠A，∠B，∠C所对的边，a＝，c＝1，sin A+cos A＝0．（Ⅰ）求b；（Ⅱ）若D为BC边上一点，且AD⊥AB，求△ACD的面积．18．在疫情这一特殊时期，教育行政部门部署了“停课不停学”的行动，全力帮助学生在线学习．复课后进行了摸底考试，某校数学教师为了调查高三学生这次摸底考试的数学成绩与在线学习数学时长之间的相关关系，对在校高三学生随机抽取45名进行调查．知道其中有25人每天在线学习数学的时长是不超过1小时的，得到了如图的等高条形图：（Ⅰ）将频率视为概率，求学习时长不超过1小时但考试成绩超过120分的概率；（Ⅱ）是否有99%的把握认为“高三学生的这次摸底考试数学成绩与其在线学习时长有关”．P（K2≥k0）0.0500.0100.001 k0 3.841 6.63510.828 K2＝．19．如图，将直角边长为的等腰直角三角形ABC，沿斜边上的高AD翻折，使二面角B ﹣AD﹣C的大小为，翻折后BC的中点为M．（Ⅰ）证明BC⊥平面ADM；（Ⅱ）求点D到平面ABC的距离．20．已知椭圆C：右焦点为F（2，0），P为椭圆上异于左右顶点A，B的一点，且△PAB面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线AP与直线x＝a交于点Q，线段BQ的中点为M，证明直线FM平分∠PFB．21．已知f（x）＝e x﹣alnx+2a（a＞0）．（Ⅰ）当a＝e时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设x0是f（x）的极小值点，求f（x0）的最大值．选考题：共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程；（Ⅱ）设C1与C2交点为A，B，求△AOB的面积．23．设a，b均为正数，且a2+b2＝2，证明：（Ⅰ）（a+b）（a3+b3）≥4；（Ⅱ）．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一.项是符合题目要求的.1．已知i是虚数单位，则2i（1+i）＝（）A．﹣2+2i B．2+2i C．2i D．﹣2i【分析】根复数的基本运算进行求解即可．解：2i（1+i）＝2i+2i2＝﹣2+2i，故选：A．2．已知集合A＝{x|（x﹣2）（x+2）≤0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．∅B．{0，1，2}C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|（x﹣2）（x+2）≤0}＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}．故选：D．3．命题P：∀x∈R，x2+1≥1，则￢P是（）A．∀x∈R，x2+1＜1B．∀x∈R，x2+1≥1C．D．【分析】根据全称命题的否定是特称命题，写出其特称命题可得答案．解：命题的否定是：∃x0∈R，+1＜1，故选：C．4．已知等差数列{a n}满足a1+a3+a5＝18，a3+a5+a7＝30，则a2+a4+a6＝（）A．20B．24C．26D．28【分析】由题意利用等差数列的性质，求出公差d的值，可得要求式子的值．解：∵等差数列{a n}满足a1+a3+a5＝18，a3+a5+a7＝30，设公差为d，相减可得6d＝30﹣18＝12，∴d＝2．则a2+a4+a6＝a1+a3+a5+3d＝24，故选：B．5．若角α的终边过点P（3，﹣4），则sin2α的值为（）A．B．C．D．【分析】直接利用三角函数的定义和三角函数关系式的恒等变换求出结果．解：角α的终边过点P（3，﹣4），所以，．所以＝﹣．故选：D．6．某校有甲、乙两个数学建模兴趣班．其中甲班有40人，乙班有50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则这两个数学建模兴趣班所有同学的平均成绩是（）A．85B．85.5C．86D．86.5【分析】直接根据平均值的求解公式即可求解．解：由题意可知，两个数学建模兴趣班所有同学的平均成绩＝85．故选：A．7．正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB的中点为M，DD′的中点为N，则异面直线B′M与CN所成角的大小为（）A．0°B．45°C．60°D．90°【分析】利用异面直线所成的角的定义，取A′A的中点为E，则直线B′M与CN所成角就是直线B′M与BE成的角．解：取A′A的中点为E，连接BE，则直线B′M与CN所成角就是直线B′M与BE 成的角，由题意得B′M⊥BE，故异面直线B′M与CN所成角的大小为90°，故选：D．8．在Rt△ABC中，AB＝AC＝1，点D满足，则＝（）A．B．C．1D．2【分析】画出图形，建立坐标系，求出相关的向量，然后求解数量积．解：在Rt△ABC中，AB＝AC＝1，点D满足，可知：D是BC的一个3等分点，建立如图所示的坐标系，则B（1，0），C（0，1），D（，），可得＝（1，0）•（，）＝．故选：A．9．直线y＝x﹣2与抛物线y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB，则p的值为（）A．B．1C．D．2【分析】直线与抛物线联立求出两根之和及两根之积，再由OA⊥OB可得数量积＝0，求出p的值．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组⇒y2＝2p（y+2），可得y2﹣2py﹣4p＝0，∴y1y2＝﹣4p，y1+y2＝2p，∵OA⊥OB，所以数量积＝0，∴x1x2+y1y2＝0，所以＝4，4+（﹣4p）＝0，⇒p＝1．故选：B．10．在四面体ABCD中，AB＝，DA＝DB＝CA＝CB＝1，则四面体ABCD的外接球的表面积为（）A．πB．2πC．3πD．4π【分析】根据线段长度得到△ABC与△ABD均为直角三角形，得到球心以及半径，即可求出四面体ABCD的外接球的表面积．解：设AB的中点为O，连接OD，OC，如图，∵在四面体ABCD中，AB＝，DA＝DB＝CA＝CB＝1，∴AD2+BD2＝AB2，AC2+BC2＝AB2，即△ABC与△ABD均为直角三角形，故OA＝OB＝OC＝OD，即O为外接球球心，OA＝R＝；∴四面体ABCD的外接球的表面积为4πR2＝2π．故选：B．11．M是双曲线C：上位于第二象限的一点，F1，F2分别是左、右焦点，MF1⊥F1F2．x轴上的一点N使得∠NMF2＝90°，A，B两点满足，，且A，B，F2三点共线，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由双曲线的方程可得其左右焦点的坐标，再由MF1⊥F1F2可得M的坐标，设N 的坐标，由题意＝0，可得N的坐标，由，，可得A，B的坐标，再由A，B，F2三点共线可得对应边成比例，求出a，c的关系，进而求出离心率的值．解：由双曲线的方程可得左右焦点坐标F1（﹣c，0），F2（c，0），因为M在第二象限，且MF1⊥F1F2，可得M（﹣c，），设N（m，0），由∠NMF2＝90°可得＝0，即（m+c，﹣）•（2c，﹣）＝0，整理可得2c（m+c）+＝0，解得m＝﹣，即N（﹣，0），由，，所以A（﹣﹣，），B（﹣c，），由A，B，F2三点共线，可得＝，即＝＝，整理可得c4﹣6a2c2+a4＝0，即e4﹣6e2+1＝0，解得e2＝3，因为双曲线的离心率e＞1，所以e＝+1，故选：A．12．定义在R上的函数y＝f（x），当x∈[0，2]时，f（x）＝42﹣|x﹣1|﹣4，且对任意实数x∈[2k ﹣2，2k+1﹣2]（k∈N，k≥2），都有，若g（x）＝f（x）﹣log a x有且仅有5个零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】作出y＝f（x）的函数图象，根据y＝f（x）和y＝log a x的图象有5个交点列不等式组得出a的范围．解：当x∈[0，2]时，f（x）＝42﹣|x﹣1|﹣4，故f（x）在[0，2]上的函数图象关于直线x＝1对称，又任意实数x∈[2k﹣2，2k+1﹣2]（k∈N，k≥2），都有，作出y＝f（x）的函数图象如图所示：∵g（x）＝f（x）﹣log a x有且仅有5个零点，∴y＝log a x的图象与y＝f（x）的图象有5个交点，显然a＞1∴，解得＜a＜．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为．【分析】首先求出所有的基本事件的个数，再从中找到2本数学书相邻的个数，最后根据概率公式计算即可．解：2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，所有的基本事件有共有＝6种结果，其中2本数学书相邻的有（数学1，数学2，语文），（数学2，数学1，语文），（语文，数学1，数学2），（语文，数学2，数学1）共4个，故本数学书相邻的概率P＝．故答案为：．14．已知定义在R上的奇函数f（x）满足：当x＜0时，f（x）＝log3（1﹣x），则f（8）＝﹣2．【分析】直接利用奇函数的定义即可得到答案．解：因为定义在R上的奇函数f（x）满足：当x＜0时，f（x）＝log3（1﹣x），则f（8）＝﹣f（﹣8）＝﹣log3[1﹣（﹣8）]＝﹣log39＝﹣2；故答案为：﹣2．15．若f（x）＝2sinωx（0＜ω＜1）在区间上的最大值是，则ω＝．【分析】根据已知区间，确定ωx的范围，求出它的最大值，结合0＜ω＜1，求出ω的值．解：，故答案为：16．在正项等比数列{a n}中，a4+a6＝，2a1，，a2成等差数列，则数列{a n•a n+1}的前n项之积的最小值为2﹣20．【分析】直接利用关系式的应用求出数列的通项公式，进一步求出数列的积，最后利用二次函数性质的应用求出结果．解：正项等比数列{a n}中，a4+a6＝，2a1，，a2成等差数列，设首项为a1，公比为q，则：，整理得：，解得．所以：，则：，所以，所以＝＝，当n＝5时，数列{a n•a n+1}的前n项之积的最小值为．故答案为：2﹣20三、解答题：第17～21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，a，b，c是∠A，∠B，∠C所对的边，a＝，c＝1，sin A+cos A＝0．（Ⅰ）求b；（Ⅱ）若D为BC边上一点，且AD⊥AB，求△ACD的面积．【分析】（Ⅰ）根据已知条件和特殊角的三角函数值求得角A的度数，然后由余弦定理求得b的值；（Ⅱ）欲求△ACD的面积的面积，只需通过解直角三角形求得高AD的长度即可．解：（Ⅰ）由，得，∴A＝150°．又∵，c＝1，又a2＝b2+c2﹣2bc cos A，即，解得；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴，∴，∴，∴．18．在疫情这一特殊时期，教育行政部门部署了“停课不停学”的行动，全力帮助学生在线学习．复课后进行了摸底考试，某校数学教师为了调查高三学生这次摸底考试的数学成绩与在线学习数学时长之间的相关关系，对在校高三学生随机抽取45名进行调查．知道其中有25人每天在线学习数学的时长是不超过1小时的，得到了如图的等高条形图：（Ⅰ）将频率视为概率，求学习时长不超过1小时但考试成绩超过120分的概率；（Ⅱ）是否有99%的把握认为“高三学生的这次摸底考试数学成绩与其在线学习时长有关”．P（K2≥k0）0.0500.0100.001 k0 3.841 6.63510.828K2＝．【分析】（Ⅰ）由等高条形图得到学习时长不超过1小时，但考试成绩超过120分的人数，由古典概型概率计算公式得答案；（Ⅱ）由题意填写2×2列联表，求出K2，结合临界值表得结论．解：（Ⅰ）从等高条形图中看出，学习时长不超过1小时，但考试成绩超过120分的人数为10人，∴其概率为；（Ⅱ）依题意，得2×2列联表≤120分＞120分合计数学成绩在线学习时长≤1小时151025＞1小时51520合计202545∵，∴没有99%的把握认为“高三学生的这次摸底成绩与其在线学习时长有关”．19．如图，将直角边长为的等腰直角三角形ABC，沿斜边上的高AD翻折，使二面角B ﹣AD﹣C的大小为，翻折后BC的中点为M．（Ⅰ）证明BC⊥平面ADM；（Ⅱ）求点D到平面ABC的距离．【分析】（Ⅰ）证明DM⊥BC，AM⊥BC，然后证明BC⊥平面ADM；（Ⅱ）设点D到平面ABC的距离为d，通过V A﹣BCD＝V D﹣ABC，求解点D到平面ABC的距离．【解答】（Ⅰ）证明：∵折叠前AB＝AC，AD是斜边上的高，∴D是BC的中点，∴BD＝CD，又因为折叠后M是BC的中点，∴DM⊥BC，折叠后AB＝AC，∴AM⊥BC，AM∩DM＝M，∴BC⊥平面ADM；（Ⅱ）解：设点D到平面ABC的距离为d，由题意得V A﹣BCD＝V D﹣ABC，∵，∴，∴．20．已知椭圆C：右焦点为F（2，0），P为椭圆上异于左右顶点A，B的一点，且△PAB面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线AP与直线x＝a交于点Q，线段BQ的中点为M，证明直线FM平分∠PFB．【分析】（Ⅰ）由题意得，，解出a2和b2的值即可；（Ⅱ）设直线AP的方程为x＝my﹣3，将其与椭圆的方程联立，消去x，可求出点P的坐标，易得点Q和M的坐标，设∠MFB＝α，则tan，再结合正切的二倍角公式与直线的斜率与倾斜角的关系证得∠PFB＝2α＝2∠MFB即可．解：（Ⅰ）由题意得，，解得a2＝9，b2＝5，∴椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）证明：设直线AP的方程为x＝my﹣3，代入，得（5m2+9）y2﹣30my ＝0，解得y＝0或，∴，∴，易知直线AP与x＝3的交点，而B（3，0），∴线段BQ的中点，设∠MFB＝α，则，∴，，∴tan2α＝tan∠PFB，又∵2α∈（0，π），∠PFB∈（0，π），∴∠PFB＝2α＝2∠MFB，即直线FM平分∠PFB．21．已知f（x）＝e x﹣alnx+2a（a＞0）．（Ⅰ）当a＝e时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设x0是f（x）的极小值点，求f（x0）的最大值．【分析】（Ⅰ）代入a的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出函数的导数，表示出f（x）的最大值，根据函数的单调性求出函数的最大值即可．解：（Ⅰ）当a＝e时，f（x）＝e x﹣elnx+2e，，显然f'（1）＝0，∵，∴f'（x）在（0，+∞）上是增函数，0＜x＜1时，f'（x）＜f'（1）＝0，∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；（Ⅱ）由，且，∴f'（x）在（0，+∞）上单调递增，∴存在极小值点x0满足f'（x0）＝0，即，∴＝，令g（x）＝e x（1﹣xlnx+2x），则g'（x）＝e x（1﹣xlnx+2x+1﹣2lnx﹣1）＝（x+2）ln x （﹣x），由x＞0，∴由g'（x）＝0得x＝e2，∴．故f（x0）的最大值是g（e2）＝．选考题：共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程；（Ⅱ）设C1与C2交点为A，B，求△AOB的面积．【分析】（Ⅰ）由题意曲线C1的参数方程化为普通方程，然后化为极坐标方程．（Ⅱ）联立方程，求出A、B坐标，然后求解三角形的面积解：（Ⅰ）由题意曲线C1的参数方程为（t为参数），得（x﹣2）2+（y ﹣3）2＝5，即x2+y2﹣4x﹣6y+8＝0曲线C1的极坐标方程：ρ2﹣4ρcosθ﹣6ρsinθ+8＝0；（Ⅱ）联立方程，解得，，∴A（0，2），B（1，1），∴．23．设a，b均为正数，且a2+b2＝2，证明：（Ⅰ）（a+b）（a3+b3）≥4；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）由分析法证明，只要证明a4+b4+ab3+ba3≥（a2+b2）2，由完全平方公式展开，整理即为ab（a﹣b）2≥0，即可得证；（Ⅱ）运用基本不等式推得+≤，结合不等式的性质，即可得证．【解答】证明：（Ⅰ）∵a2+b2＝2，要证（a+b）（a3+b3）≥4，只需要证明a4+b4+ab3+ba3≥（a2+b2）2，也就是要证明a4+b4+ab3+ba3﹣a4﹣b4﹣2a2b2≥0，即证ab（a﹣b）2≥0，∵a，b均为正数，∴ab（a﹣b）2≥0，∴（a+b）（a3+b3）≥4；（Ⅱ）∵a，b均为正数，∴，∴，∴，又∵a2+b2＝2，∴．。

高三文科数学模拟试题含答案高三文科数学模拟试题本试卷共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1.复数3+ i的虚部是（）。

A。

2.B。

-1.C。

2i。

D。

-i2.已知集合A={-3,-2,0,1,2}，集合B={x|x+2<0}，则A∩(CRB) =（）。

A。

{-3,-2,0}。

B。

{0,1,2}。

C。

{-2,0,1,2}。

D。

{-3,-2,0,1,2}3.已知向量a=(2,1)，b=(1,x)，若2a-b与a+3b共线，则x=（）。

A。

2.B。

11/22.C。

-1.D。

-24.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为（）。

A。

4π/3.B。

π。

C。

3π/2.D。

2π5.将函数f(x)=sin2x的图像向右平移π/6个单位，得到函数g(x)的图像，则它的一个对称中心是（）。

A。

(π/6,0)。

B。

(π/3,0)。

C。

(π/2,0)。

D。

(π,0)6.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）。

开始是否输出结束A。

-10.B。

-3.C。

4.D。

57.已知圆C:x^2+2x+y^2=1的一条斜率为1的切线l1，若与l1垂直的直线l2平分该圆，则直线l2的方程为（）。

A。

x-y+1=0.B。

x-y-1=0.C。

x+y-1=0.D。

x+y+1=08.在等差数列{an}中，an>0，且a1+a2+⋯+a10=30，则a5⋅a6的最大值是（）。

A。

4.B。

6.C。

9.D。

369.已知变量x,y满足约束条件2x-y≤2，x-y+1≥0，设z=x^2+y^2，则z的最小值是（）。

A。

1.B。

2.C。

11.D。

3210.定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)=2，当x<0时，f(x)=1-|x-3|，则函数F(x)=f(x)-a(0<a<1)的所有零点之和为（）。

江西省宜春市2023届高三高考模拟文科数学试题一、单选题1．（2023·江西宜春·统考模拟预测）设全集U =R ，{1A x x =<-或}2x ≥，{}2,1,0,1,2B =--，则()U B A ⋂=ð（ ）A ．{}0,1B ．{}1,0-C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1-2．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知复数z 满足()1i 2z +=-，则z 等于（ ）A ．1i--B ．1i-C ．1i+D ．1i-+3．（2023·江西宜春·统考模拟预测）非零向量a r ，b r ，c r 满足()a cb ⊥-r r r ，a r 与b r 的夹角为π3，2b =r ，则c r 在a r 上的投影为（ ）A ．－1B．C ．1D4．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知实数,x y 满足约束条件0,30,1,x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则23x yz -+=的最大值是（ ）A ．3B ．13CD ．1275．（2023·江西宜春·统考模拟预测）从棱长为2的正方体内随机取一点，则取到的点到中心的距离不小于1的概率为（ ）A ．π6B ．π4C ．π16-D ．π14-6．（2023·江西宜春·统考模拟预测）若30.04,ln1.04,log 1.04a b c ===则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b<<D ．b<c<a7．（2023·江西宜春·统考模拟预测）在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数，公式和定理，若正整数,m n 只有1为公约数，则称,m n 互质，对于正整数(),n n ϕ是小于或等于n 的正整数中与n 互质的数的个数，函数()n ϕ以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：()()32,76ϕϕ==，()96ϕ=.记n S 为数列(){}3nϕ的前n 项和，则10S =（ ）A ．9312-B ．931-C ．10312-D ．1031-8．（2023·江西宜春·统考模拟预测）函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象(04)ω<<关于直线π6x =对称，将()f x 的图象向左平移π4个单位长度后与函数()y g x =图象重合，下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 图象关于直线π6x =对称B ．函数()g x 图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．函数()g x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭单调递减D ．函数()g x 最小正周期为π29．（2023·江西宜春·统考模拟预测）在Rt ABC V 中，1,2CA CB ==.以斜边AB 为旋转轴旋转一周得到一个几何体，则该几何体的内切球的体积为（ ）ABC ．32π81D ．4π8110．（2023·江西宜春·统考模拟预测）如图，设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点，点A ，B 分别在两条渐近线上，且满足22133OA OF OB =+u u u r u u u u r u u u r ，20OA BF ⋅=u u u r u u u u r，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．B ．2CD11．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知数列{}n a 满足1321223n n a a a a n+++++=L ，若数列()21n n n a ⎧⎫+⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和n S ，对任意*N n ∈不等式n S λ<恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）A ．1λ>B ．1λ≥C ．58λ≥D ．58λ>12．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知函数()()()ln 1,ln (0)1m xf x xg x x m x m =+-=+>+，且()()120f x g x ==，则()2111em xx -+的最大值为（ ）A ．1B ．eC ．2eD ．1e二、填空题13．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知)114d πa x x -=+⎰，则到点(),0M a 的距离为2的点的坐标可以是___________.（写出一个满足条件的点就可以）14．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知点()()1,1,1,1A B ---，若圆22()(24)1x a y a -+-+=上存在点M 满足3MA MB ⋅=u u u r u u u r，则实数a 的取值的范围是___________.15．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知某线路公交车从6:30首发，每5分钟一班，甲、乙两同学都从起点站坐车去学校，若甲每天到起点站的时间是在6:30--7:00任意时刻随机到达，乙每天到起点站的时间是在6:45-7:15任意时刻随机到达，那么甲、乙两人搭乘同一辆公交车的概率是___________________16．（2023·江西宜春·统考模拟预测）如图，多面体ABCDEF 中，面ABCD 为正方形，DE ⊥平面,ABCD CF DE ∥，且2,1,AB DE CF G ===为棱BC 的中点，H 为棱DE 上的动点，有下列结论：①当H 为DE 的中点时，GH P 平面ABE ；②存在点H ，使得GH AC ⊥；③直线GH 与BE ④三棱锥A BCF -的外接球的表面积为9π.其中正确的结论序号为___________.（填写所有正确结论的序号）三、解答题17．（2023·江西宜春·统考模拟预测）在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos a b c B +=.(1)求证：2C B =；(2)求3cos a bb B+的最小值.18．（2023·江西宜春·统考模拟预测）如图1，在直角梯形ABCD 中，//,90,224AB CD DAB CD AB AD ∠====o ，点E ，F 分别是边,BC CD 的中点，现将CEF △沿EF 边折起，使点C 到达点P 的位置（如图2所示），且2BP =.(1)求证：平面APE ⊥平面ABD ；(2)求点B 到平面ADP 的距离.19．（2023·江西宜春·统考模拟预测）为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量.某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额.某人拟参加2023年5月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近5个月参与竞拍的人数（见表）：月份2022.122023.12023.22023.32023.4月份编号t12345竞拍人数y （万人）1.72.12.52.83.4(1)由收集数据的散点图发现可用线性回归模型拟合竞拍人数y （万人）与月份编号t 之间的相关关系.请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程：ˆˆˆy bt a =+，并预测2023年5月份参与竞拍的人数.(2)某市场调研机构对200位拟参加2023年5月份车牌竞拍人员的报价进行抽样调查，得到如下一份频数表：报价区间（万元）[)1,2[)2,3[)3,4[)4,5[)5,6[]6,7频数206060302010（i ）求这200位竞拍人员报价X 的平均数x 和样本方差2s （同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；（ii ）假设所有参与竞价人员的报价X 可视为服从正态分布()2,N μσ，且μ与2σ可分别由（i ）中所求的样本平均数x 及方差2s 估值.若2023年5月份实际发放车牌数是5000，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价.附：()()()121ˆ 1.3niii nii x x y y bx x ==--=≈-∑∑，若()0,1Y N :，则( 1.11)0.8660<=P Y ，( 1.12)0.8686P Y <=.20．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知函数()ln 2f x x x =--.(1)求函数的最小值；(2)若方程()f x a =有两个不同的实数根1x ，2x 且12x x <，证明：1223x x +>.21．（2023·江西宜春·统考模拟预测）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，左､右焦点分别是12,F F ，以1F 为圆心，6为半径的圆与以2F 为圆心，2为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过椭圆C 的右焦点2F 的直线12,l l 的斜率分别为12,k k ，且122k k =-，直线1l 交椭圆C 于,M N 两点，直线2l 交椭圆C 于,G H 两点，线段,MN GH 的中点分别为,R S ，直线RS 与椭圆C 交于,P Q 两点，,A B 是椭圆C 的左､右顶点，记PQA △与PQB △的面积分别为12,S S ，证明：12S S 为定值.22．（2023·江西宜春·统考模拟预测）在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程11222122t t t t x y ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程cos 2sin 10m ρθρθ+-=.(1)求曲线C 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 有两个不同公共点，求m 的取值范围.23．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知函数()244f x x x =++-.(1)求不等式24410x x ++-≥的解集；(2)若()f x 的最小值为m ，正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：11192a b b c c a m++≥+++.参考答案：1．D【分析】先计算得到U A ð，进而求出交集.【详解】{}12U A x x =-≤<ð，故(){}1,0,1U B A =-I ð故选：D 2．A【分析】利用复数的除法运算和共轭复数的定义求解.【详解】由题可得2(1i)1i 1iz -==--=-++，所以1i z =--，故选:A.3．C【分析】根据投影公式计算出正确答案.【详解】由于()a c b ⊥-r r r，所以()0,a c a b a c a a b b c ⋅-=⋅-⋅=⋅=⋅r r r r r r r r r r r ，由于a r 与b r 的夹角为π3，所以πcos 3a c a b a b a ⋅=⋅=⋅⋅=r r r r r r r，c r 在a r 上的投影为1a a c a a⋅==rr r r r .故选：C 4．B【分析】画出可行域，向上平移基准直线20x y -+=到可行域边界位置，由此求得23x y z -+=的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，向上平移基准直线20x y -+=到可行域边界点()1,1B 的位置，此时z 取得最大值为1max 12111,3z z --⨯+=-==，.故选：B.5．C【分析】根据几何概型概率问题的计算公式求得正确答案.【详解】点到中心距离小于等于1的几何体是以中心为球心，1为半径的球体.所以，取到的点到中心的距离不小于1的概率为334π1π31126⨯-=-.故选：C 6．A【分析】构造函数()()ln 1f x x x =+-，利用导数判断函数单调性，再结合对数的性质即可判断大小关系.【详解】因为0.04a =，ln1.04b =，3log 1.04c =，当()0,1x ∈时，设()()ln 1f x x x =+-，则()11011xf x x x -'=-=<++，所以()f x 在()0,1上单调递减且()00f =，所以()()()0.04ln 10.040.0400f f =+-<=，即()0.04ln 10.04>+，所以a b >；又因为3e >，所以ln 3ln e 1>=，3ln1.04log 1.03ln1.04ln 3=<，即b c >，所以c b a <<.故选：A.7．D【分析】根据题意分析可得()1323nn ϕ-=⋅，结合等比数列求和公式运算求解.【详解】由题意可知：若正整数3nm ≤与3n不互质，则m 为3的倍数，共有1333n n -=个，故()1133332n n n n ϕ---=⋅=，∵()()113233233n n n n ϕϕ+-⋅==⋅，即数列(){}3n ϕ是以首项()32ϕ=，公比3q =的等比数列，故()1010102133113S -==--.故选：D.8．C【分析】由对称性求得ω，由图象平移变换求得()g x ，然后结合正弦函数的对称性，单调性，周期判断各选项．【详解】由已知ππππ662k ω+=+，62k ω=+，Z k ∈，又04ω<<，∴2ω=，ππ2π()sin[2()sin(2463g x x x =++=+，π2ππ2ππ,Z 632k k ⨯+=≠+∈，A 错；π2ππ2()π,Z 633k k ⨯-+=≠∈，B 错；π(0,3x ∈时，2π2π4ππ3π2(,)(,)33322x +∈⊆，C 正确；()g x 的最小正周期是2ππ2T ==，D 错．故选：C ．9．C【分析】根据旋转体的概念得出该旋转体是两个共底面的圆锥的组合体，作出轴截面，得出内切球于心O 位于对称轴AB 上，由平行线性质求得球半径r 后可得球体积．【详解】由题意该几何体是两个共底面的圆锥的组合体，如图是其轴截面，由对称性知其内切球球心O 在AB 上，O 到,CA CB 的距离,OE OF 相等为球的半径，设其为r ，因为C 是直角，所以OECF 是正方形，即CF CE r ==，由//OF CA 得OF BF CA BC =，即212r r -=，解得23r =，球体积为3344232ππ(π33381V r ==⨯=．故选：C ．10．C【分析】先求出AB 所在的直线方程，分别与两条渐近线联立方程组，求出,A B 两点的坐标，再根据22133OA OF OB =+u u u r u u u u r u u u r，求出,a c 之间的关系，从而可得双曲线的离心率【详解】由题意：OA b k a = ，20OA BF =u u u r u u u u r Q g ,2OA BF ∴⊥ ,2BF ak b ∴=-所以直线2BF 的方程为：()ay x c b=-- ①直线OA 的方程为：by x a =②直线OB 的方程为：by x a=-③联立①②可得：2a x cab y c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，即2(,)a ab A c c 联立①③可得22222a c x a babcy a b ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，即22222(,a c abc B a b a b ---又22133OA OF OB =+u u u r u u u u r u u u r Q 22222221(,)(,0)(,)33a ab a c abcc c c a b a b-∴=+--可得222222233()3()a a c c c a b ab abcc a b ⎧=+⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩ ，化简可得223a c = ，即2e 3=，e ∴= 故选：C 11．C【分析】根据1321223n n a a a a n+++++=L 求得 n a ,再因为对任意*N n ∈不等式n S λ<恒成立，()max n S λ>，求出实数λ的取值范围.【详解】1321223n n a a a a n+++++=L ①,31212231n n a a a a n -++++=-L ②,由①-②可得，当 2n ≥ 时,2n na n=,当211,2n a ==,当2n ≥,()()()122211222111n n n n n n n a n n n n +⎛⎫++==- ⎪ ⎪++⨯⨯+⨯⎝⎭,当1,n =()2318n n n a +=+，所以()()2312131111311228223221282212n n n n S n n n ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ,对任意*N n ∈不等式n S λ<恒成立,所以 ()max n S λ>,()21332528882221181n n S n +⎛⎫=+<+=⎪ ⎪-⨯+⎝⎭⨯.所以58λ≥.故选:C.12．A【分析】根据题意表示出()()21121ln 1e ,x x x x m ++==从而推导出21e 1,xx =+将问题转化为()21111e em m x x m--+=，利用导数求得函数的最值.【详解】()()()()()ln 10,ln 10,1ln 1,11m mf x x x m x x x x =+-=+-==++++()ln0,e ,x xg x x m x m=+==由题意知，()()21121ln 1e ,x x x x m ++==即()()2221121ln 1e e ln e ,x x xx x x m ++===因为0m >，所以21e 1,11xx >+>，设()ln ,1p x x x x =>，则()1ln 0p x x '=+>，()()211e ,xp x p m +==所以211e x x +=，所以()22121111e e e e x m m m x x x m---+==，1(),0e m m t m m -=>，则11(),em mt m --'=当01m <<时，()0;t m '>当1m >时，()0;t m '<所以()t m 在()0,1时单调递增，在()1,+∞时单调递减，所以max ()(1)1,t m t ==故选：A.13．22(2)4x y -+=上的任意一点都可以【分析】根据定积分的几何意义先求出a ，再写出到点(),0M a 的距离为2的点表示一个圆.【详解】由于11d x -⎰表示以()0,0为圆心，1为半径且在第一、二象限的圆弧与坐标轴围成的面积，其面积是半径为1的圆的面积的一半，即为π2.所以)111144π4d d 202ππ2πa x x x x --==⨯+=+=⎰⎰,到点()2,0M 的距离为2的点是圆22(2)4x y -+=上的点.故答案为：22(2)4x y -+=上的任意一点.14．120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】设(,)M x y ，由数量积的坐标表示求得M 点轨迹是一个圆，然后由圆与圆的位置关系可得a 的范围．【详解】设(,)M x y ，则(1,1),(1,1)MA x y MB x y =----=---u u u r u u u r，2(1)(1)(1)3MA MB x x y ⋅=---+--=u u u r u u u r，即22(1)4x y ++=，M 在以(0,1)-为圆心，2为半径的圆上，由题意该圆与圆22()(24)1x a y a -+-+=有公共点，所以2121-≤≤+，解得1205a ≤≤．故答案为：12[0,]5．15．112【分析】由题意知本题是一个几何概型，设甲和乙到达的分别为6时x +分、6时y +分，则3060x ……，4575y ……，他们能搭乘同一班公交车，则4560x ……，4560y ……．试验包含的所有区域是{(,)|3060x y x Ω=……，4575}y ……，他们能搭乘同一班公交车所表示的区域为A ，由此能求出结果．【详解】解：由题意知本题是一个几何概型，设甲和乙到达的分别为6时x +分、6时y +分，则3060x ……，4575y ……，则试验包含的所有区域是{(,)|3060x y x Ω=……，4575}y ……，他们能搭乘同一班公交车所表示的区域为4550{(,)|4550x A x y y ⎧=⎨⎩…………或50555055x y ⎧⎨⎩…………或5560}5560x y ⎧⎨⎩…………，则他们能搭乘同一班公交车的概率5531303012P ⨯⨯==⨯．故答案为：11216．①④【分析】根据线面平行的判定定理，以及线线垂直的判定，结合异面直线所成角，以及棱锥外接球半径的求解，对每一项进行逐一求解和分析即可.【详解】对①：当H 为DE 的中点时，取EA 中点为M ，连接,MH MB ，因为,H M 分别为,ED EA 的中点，故可得MH //AD ，12MH AD =，根据已知条件可知：BG //1,2AD BG AD =，故MH //,BG MH BG =，故四边形HMBG 为平行四边形，则H G //MB ，又MB ⊂平面,ABE HG ⊄平面ABE ，故H G //面ABE ，故①正确；对②：因为ED ⊥平面ABCD ，,⊂DA DC 平面ABCD ，故,DE DA DE DC ⊥⊥，又四边形ABCD 为矩形，故DA DC ⊥，则,,DE DA DC 两两垂直，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示：则()()()()()2,0,0,0,2,0,2,2,0,0,0,2,1,2,0A C B E G ，设()0,0,H m ，[]0,2m ∈，若GH AC ⊥，则()()1,2,2,2,020GH AC m ⋅=--⋅-=-≠u u u r u u u r，不满足题意，故②错误；对③：()1,2,GH m =--u u u r，()2,2,2BE =--u u u r ，()()()()1222262GH BE m m ⋅=-⨯-+-⨯-+=+u u u r u u u r，GH ==u u u r，BE =u u u r []0,2m ∈，,cos GH =u u u r u=[]0,2m ∈，令2325m y m +=+，设32t m =+，[]2,4t ∈，23t m -=，则29492453ty t t t==-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭，当[]2,4t ∈时，根据对勾函数的性质得4949454,42t t ⎡⎤+-∈⎢⎥⎣⎦，则236,549y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当25y =时，cos ,GH BE u u u r u u u r有最小值，最小值为，故③错误；对④：由题可得CF ⊥平面ABCD ，又面ABCD 为正方形，∴,,AB BC CF AB BC CF C ⊥⊥⋂=，∴AB ⊥平面BCF ，则AB ，BC ，CF 两两垂直，∴AF 为三棱锥A BCF -的外接球的直径，又22222212219AF AB BC CF =++=++=，∴三棱锥A BCF -的外接球表面积为9π，故④正确.故答案为：①④.17．(1)证明见解析(2)最小值为【分析】（1）根据正弦定理边角互化和两角和差正弦化简即可证明.（2）将问题转化32cos 2cos cos a b c B b b B b B++=24cos cos B B =+，根据第一问解得π10,,cos ,132B B ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后结合不等式求解.【详解】（1）在ABC V 中，2cos a b c B +=，由正弦定理得sin sin 2sin cos A B C B +=，又()πA B C =-+，因为()sin sin 2sin cos B C B C B ++=⋅,所以sin cos sin cos sin C B B C B ⋅-⋅=,所以()sin sin C B B -=,又sin 0B >,所以0πC B C <-<<，且πB C B C +-=<,所以B C B =-，故2C B =.（2）由（1）2C B =得()30,πB C B +=∈，所以π10,,cos ,132B B ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为2cos ,2a b c B C B +==，所以32cos 2cos cos a b c B b b B b B++=2sin cos 2sin 2sin2cos 2sin sin cos sin cos C B B B B BB B B B⋅+⋅+==⋅⋅24cos cos B B=+≥当且仅当24cos cos B B =即cos B =π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即当且仅当π4B =时等号成立，所以当π4B =时，3cos a bb B +的最小值为18．(1)证明见解析【分析】（1）连接,BD BF ，由等腰三角形的性质和勾股定理，证明PE EF ⊥，PE BE ⊥，可证得PE ⊥平面ABD ，即可证得平面APE ⊥平面ABD .（2）取AD 的中点O ，连接,,OE DE PO ，由勾股定理求,,PD PA PO ，又B PAD P ABD V V --=，利用体积法求点B 到平面ADP 的距离.【详解】（1）证明：由题意，连接,BD BF ，因为224CD AB AD ===，//AB CD ，90,DAB F ∠=o 是边CD 的中点，所以2BF CF ==，则BC =又E 是边BC 的中点，则EF BC ⊥，在折起中PE EF ⊥.又222224BE PE BP +=+==，所以PE BE ⊥，又BE EF E =I ，BE ⊂平面ABD ，EF ⊂平面ABD ，故PE ⊥平面ABD ，又PE ⊂平面APE ，所以平面APE ⊥平面ABD .（2）由（1）中取AD 的中点O ，连接,,OE DE PO ，由（1）可知，PE ⊥平面ABD ，所以,,PE DE PE AE PE OE ⊥⊥⊥，而()132OE AB DC =+=，112OD AD ==，所以DE =同理AE =所以PD PA PO ======所以PAD V 是等腰三角形，所以1122PAD S AD PO =⋅=⨯=V 又B PAD P ABD V V --=，即1133PAD ABD S h S PE ⋅=⋅V V ，所以ABD PADS PE h S ⋅==VV =，即点B 到平面ADP19．(1)0.41.7ˆ12=+yt ，预测2023年5月份参与竞拍的人数为3.73万人(2)（i ） 3.5x =，2 1.7s =；（ii ）预测竞拍的最低成交价为4.943万元【分析】（1）由已知公式求得线性回归方程，6t =代入回归方程可得预测值；（2）（i ）由均值与方差公式计算出均值与方差；（ii ）由预测值求得报价在最低成交价以上人数占总人数比例，然后由正态分布的性质求得预测竞拍的最低成交价．【详解】（1）11(12345)3,(1.7 2.1 2.5 2.8 3.4) 2.555t y =++++==++++=，55211149162555, 1.7 4.27.511.21741.6,ii i i i tt y ===++++==++++=∑∑，241.653 2.5ˆˆ0.41, 2.50.413 1.275553ba -⨯⨯∴===-⨯=-⨯，y 关于t 的线性回归方程0.41.7ˆ12=+y t 2023年5月份对应6t =，所以0.416 1.27 3.73ˆ=⨯+=y所以预测2023年5月份参与竞拍的人数为3.73万人.（2）（i ）由题意可得：1.50.12.50.33.50.34.50.155.50.16.50.05 3.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=22222(1.5 3.5)0.1(2.5 3.5)0.3(3.5 3.5)0.3(4.5 3.5)0.15s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯22(5.5 3.5)0.1(6.5 3.5)0.05 1.7+-⨯+-⨯=（ii ）2023年5月份实际发放车牌数是5000，设预测竞拍的最低成交价为a 万元，根据竞价规则，报价在最低成交价以上人数占总人数比例为5000100%13.40%37300⨯≈根据假设报价X 可视为服从正态分布()22,, 3.5, 1.7, 1.3===≈N μσμσσ，令 3.51.3--==X X Y μσ，由于( 1.11)0.8660<=P Y ，1( 1.11)0.1340P Y ∴-<=，3.5() 1.110.86601.3a P Y a P Y -⎛⎫∴<=<== ⎪⎝⎭，所以 3.5 1.111.3a -=得 4.943=a ，所以预测竞拍的最低成交价为4.943万元．20．(1)1-(2)证明见解析【分析】(1)利用导数法求函数最值的步骤解求解；(2)根据题意构造函数()()()2F x f x f x =--，()0,1x ∈.对函数求导，利用导函数的正负判断函数的单调性，进而利用函数的最值得出()()212f x f x >-，再结合（1）中函数的单调性即可得证.【详解】（1）由题意可知：函数()ln 2f x x x =--的定义域为：()0,∞+.则()11f x x'=-，令()0f x '=，解得1x =.当()0,1x ∈，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当()1,x ∈+∞，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增.所以1x =为极小值点，且()()min 11f x f ==-.所以函数()f x 的最小值为1-.（2）根据题意可知：()()12f x f x =，根据（1）设101x <<，21x >，构造函数()()()2F x f x f x =--，()0,1x ∈.()()()()()221202x F x f x f x x x -'''=+-=<-，所以()F x 在()0,1上单调递减.则有()()10F x F <=，也即()()1120f x f x -->.因为()()12f x f x =，所以()()2120f x f x -->，也即()()212f x f x >-因为121x ->，21x >，由（1）可知()f x 在()1,+∞上单调递增，所以212x x >-，也即122x x +>.由已知21x >，所以1223x x +>.21．(1)2211612x y +=；(2)证明见解析．【分析】（1）根据离心率的定义和椭圆定义求得,a c ，再计算出b 后得椭圆方程；（2）设()()1122,,,M x y N x y ，直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理求得中点,R S 的坐标，当直线PQ 斜率存在时，设直线:PQ y mx n =+，点,R S 在直线PQ 上，代入整理得12,k k 是一个一元二次方程的根，由韦达定理得12k k ，从而得出,m n 关系，得出直线PQ 过定点E ，再确定直线PQ 斜率不存在时也过这个定点E ，然后结合该定点得出三角形面积比．【详解】（1）依题意得12622c a a⎧=⎪⎨⎪+=⎩，则4,2,a c =⎧⎨=⎩则22212b a c =-=，所以椭圆C 的方程为2211612x y +=；（2）直线()11:2l y k x =-，设()()1122,,,M x y N x y ，由122(2)11612y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222111341616480k x k x k +-+-=，所以2112211634k x x k +=+，211221164834k x x k -=+，且0∆>，则中点211221186,3434k k R k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理可算222222286,3434k k S k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭①当直线斜率存在时，设直线:PQ y mx n =+，点,R S 在直线PQ 上，点,R S 坐标代入整理得()()21122284630,84630,m n k k n m n k k n ⎧+++=⎪⎨+++=⎪⎩易知12,k k 为方程()284630m n k k n +++=的两个根，则123284n k k m n==-+，所以1611n m =-，所以直线16:11PQ y mx m =-，则直线恒过点16,011E ⎛⎫⎪⎝⎭②当直线的斜率不存在时，由对称性可知12k k =-，由122k k =-，不妨设12k k ==，所以221222128816343411k k k k ==++，直线16:11PQ x =过16,011⎛⎫⎪⎝⎭，根据①②可知，直线PQ 恒过点16,011E ⎛⎫⎪⎝⎭，因为PQA △的面积11212S AE y y =⋅-，PQB △的面积21212S BE y y =⋅-，所以121641511167411AE S S BE +===-.【点睛】方法点睛：椭圆中的直线过定点问题的解决方法：斜率存在时，设出直线方程为y mx n =+，根据已知条件确定,m n 的关系后，由直线方程得出定点坐标．本题中，动直线PQ 是由点,R S 确定的，因此可由已知直线12,l l 确定,R S 的坐标，再把坐标代入所设直线方程，发现12,k k 是一个一元二次的两根，这样可由韦达定理求得,m n 的关系，得出结论．22．(1)()22441x y x -=≥(2)4m <<【分析】（1）在曲线C 的参数方程中消去参数t ，可得出曲线C 的普通方程，利用基本不等式求出x 的取值范围，即可得解；（2）求出直线l 的普通方程，分析可知直线l 与双曲线2214y x -=的右支有两个交点，将直线l 与双曲线2214y x -=方程联立，利用直线与双曲线的位置关系可得出关于m 的不等式组，即可解得实数m 的取值范围.【详解】（1）因为112122t t x ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭()222222221422,2441122,2t t t t x x y x y ⎧=++⎪⎪-=≥⎨⎪=+-⎪⎩则则曲线的普通方程为()22441x y x -=≥（2）cos 2sin 10m ρθρθ+-=则210mx y +-=由得()22210,1,14mx y y x x +-=⎧⎪⎨-=≥⎪⎩得()22162170m x mx -+-=有两个不等正根()22222160,Δ468160,20,1617016m m m m m m ⎧-≠⎪=+->⎪⎪⎨->⎪-⎪⎪->-⎩则4m <<23．(1)[)10,2,3∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦(2)证明见解析【分析】（1）利用零点分段法分类讨论，分别求出不等式的解集，即可得解；（2）利用绝对值三角不等式求出()f x 的最小值，即m 的值，再利用柯西不等式证明即可.【详解】（1）不等式24410x x ++-≥，所以224410x x x ≤-⎧⎨---+≥⎩，解得103x ≤-，或2424410x x x -<<⎧⎨+-+≥⎩，解得24x ≤<，或424410x x x ≥⎧⎨++-≥⎩，解得4x ≥，所以原不等式解集为[)10,2,3∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦.（2）()244242f x x x x x x =++-=++-++()2406x x ≥+--+=，当且仅当2x =-时取得，即min ()6f x =，所以6a b c m ++==，因为()1112a b c a b b c a c ⎛⎫++⨯++ ⎪+++⎝⎭()111a b b c c a a b b c c a ⎛⎫=+++++++ ⎪+++⎝⎭()()()111a b b c c a a b b c c a ⎛⎫=+++++++⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭222222⎡⎤⎡⎤⎢⎥=++++⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦2≥()21119=++=，当且仅当12a b c ===时取等号，所以()1119922a b b c c a a b c m ++≥=+++++成立.。

河北正定中学三轮模拟练习文科数学试卷（三）说明:一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分．二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”,按照“注意事项"的规定答题．三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案．四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）已知集合{1,0,1}=+∈∈中元素的个数是A=-,则集合{|,}B x y x A y A(A）1 （B）3 (C) 5 （D）9(2）若复数z满足24=+,则在复平面内，z的共轭复数z对应的点的坐标是iz i（A）(2,4)（B）(2,4)-（C）(4,2)-（D)(4,2)(3）下列说法错误的是(A ）命题“若2560x x -+=，则2x =”的逆否命题是“若2x ≠，则2560x x -+≠”（B ）若,x y R ∈，则“x y ="是“2()2x y xy +≥”的充要条件（C ）已知命题p 和q ,若p q ∨为假命题，则命题p 与q 中必一真一假 （D ）若命题0:p x R ∃∈,20010x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，210x x ++≥(4）公差不为零的等差数列{}na 的前n 项和为nS ，若3a 是2a 与6a 的等比中项,48S=，则6S =（A ）18 (B ）24 (C ）60 （D ）90 （5)执行如右图所示的程序框图，则输出的T 值为（A ）55（B ）30 （C ）91 （D ）100（6）已知向量(1,0)a =，(0,1)b =-,2(0)c k a kb k =+≠，d a b =+，如果//c d ，那么(A ）1k =且c 与d 同向 (B ）1k =且c 与d 反向 （C ）1k =-且c 与d 同向 （D ）1k =-且c 与d 反向（7）若y kx =与圆22(2)1x y -+=的两个交点关于20x y b ++=对称,则,k b 的值分别为（A)1,42k b =-=- （B ）1,42k b ==- （C ）1,42k b =-= (D ）1,42k b ==(8）某几何体的三视图如图1所示,且该几何体的体积是32，则正视图中的x 的值是（A) 2（B ） 92(C) 32（D ） 3(9)若当4x π=时，函数()sin()(0)f x A x A ϕ=+>取得最小值，则函数()4y f x π=-是(Ａ)奇函数且图像关于点(,0)2π对称 （Ｂ)偶函数且图像关于直线2x π=对称(Ｃ）奇函数且图像关于直线2x π=对称 (Ｄ)偶函数且图像关于点(,0)2π对称（10)函数()(2)()f x x ax b =-+为偶函数,且在(0,)+∞单调递增,则(2)0f x ->的解集为 (A ）{|22}x x x ><-或 （B ）{|22}x x -<< (C){|04}x x x <>或 （D ）{|04}x x <<（11）已知双曲线221x y m-=的中心在原点O ,双曲线两条渐近线与抛物线2ymx =交于A ，B 两点,且OAB S ∆=（A（B)2 （C（D(12）函数()f x 的定义域为实数集R ，,01,()1()1,102x x x f x x ≤≤⎧⎪=⎨--≤<⎪⎩，对于任意的x R ∈都有(1)(1)f x f x +=-,若在区间[1,3]-上函数()()g x f x mx m =--恰有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是（A ）10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦(B ）10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭（C ）10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦（D ）10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题,每题5分.（13）ABC ∆中,60,A A ∠=︒∠的平分线AD 交边BC 于D ，已知3AB =，且1()3AD AC AB R λλ=+∈,则AD 的长为________。

一、单选题二、多选题1. 命题“，函数是偶函数”的否定是（ ）A ．，函数不是偶函数B ．，函数不是偶函数C ．，函数是奇函数D ．，函数是奇函数2. 定义在上的函数满足，当时，，则不等式的解集为（ ）A．B．C．D．3. 某圆锥高为1，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（ ）A ．2B．C．D ．14. 已知数列的通项公式为，前n项和为，则（ ）A ．48B ．63C ．80D ．995.已知平面向量满足，，，则向量与向量的夹角为（ ）A．B．C．D．6. 椭圆的左、右焦点为，，过垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，若为等边三角形，则椭圆C 的离心率为（ ）A．B．C．D．7.已知抛物线:与点，过的焦点且斜率为的直线与交于,两点，若，则（ ）A．B．C．D．8. 已知偶函数满足：对任意的，都有成立，则满足的取值范围是A．B．C．D．9. 已知函数，若函数的部分图象如图所示，则关于函数，下列结论正确的是（）A ．函数的图象关于直线对称B ．函数的图象关于点对称C ．函数在区间上的减区间为D ．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到10. 利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A 为“是一等品”，B 为“是合格品”，C 为“是不合格品”，则下列结果正确的是（ ）.A．B．C．D．四川省绵阳南山中学2023-2024学年高三一诊模拟考试文科数学试题(3)四川省绵阳南山中学2023-2024学年高三一诊模拟考试文科数学试题(3)三、填空题四、解答题11. 下列说法正确的是（ ）A ．若，则B．若，，且，则的最大值是1C ．若，，则D ．函数的最小值为912. 已知点P 为双曲线上任意一点，为其左、右焦点，O 为坐标原点．过点P 向双曲线两渐近线作垂线，设垂足分别为M 、N ，则下列所述正确的是（ ）A．为定值B ．O 、P 、M 、N 四点一定共圆C．的最小值为D ．存在点P 满足P 、M 、三点共线时，P 、N 、三点也共线13. 对实数、定义一个运算：，设函数（），若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是__________．14. 如图，正四面体的棱长为3，，，分别是，，上的点，，，，截去三棱锥，同理，分别以，，为顶点，各截去一个棱长为1的小三棱锥，截后所得的多面体的外接球的表面积为_____．15. 图，在梯形，，，，，且，则的值为______.16.在中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，，(1)求角A ；(2)若，求a 的最小值.17.已知函数是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数．求和的值．18. 已知函数．(1)求的值;(2)求的最小正周期和单调递增区间．19. 电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“”表示第k类电影得到人们喜欢，“”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差，，，，，的大小关系．20. 如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABCD，，，，点P为棱DF的中点.(1)求证：平面APC；(2)求直线DE与平面BCF所成角的正弦值；(3)求平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值.21. 已知函数.(1)若函数的图象与轴存在交点，求的最小值；(2)若函数的图象在点处的切线斜率为，且函数的最大值为，求证：.。

中，CA CB =，1AB AA =，160BAA Ð=。

（Ⅰ）证明：1AB A C ^；（Ⅱ）若2AB CB ==，16A C =高三数学专项训练：立体几何解答题（三）（文科）1．如图，在．如图，在四棱锥四棱锥A-BCDE 中，侧面∆ADE 是等边三角形，底面BCDE 是等腰是等腰梯形梯形，且CD ∥BE,DE=2BE,DE=2，，CD=4,60CDE Ð=° ,M 是DE 的中点，F 是AC 的中点，且AC=4AC=4，，求证：（1）平面ADE ADE⊥平面⊥平面BCD;BCD;(2)FB (2)FB∥平面∥平面ADE. ADE.2．（本小题满分12分）如图，分）如图，三棱柱三棱柱111ABC A B C -，求三棱柱111ABC A B C -的体积。

45．．如图，三棱锥P ABC -中，90ABC °Ð=，PA ABC ^底面（Ⅰ）求证：PAC PBC ^平面平面；（Ⅱ）若AC BC PA ==，M 是PB 的中点，求AM 3．如图，在．如图，在四棱锥四棱锥P －ABCD 中，中，PD PD PD⊥⊥平面ABCD ABCD，，AB AB∥∥DC DC，已知，已知BD BD＝＝2AD 2AD＝＝2PD 2PD＝＝8，AB ＝2DC 2DC＝＝（Ⅰ）设M 是PC 上一点，证明：平面MBD MBD⊥平面⊥平面PAD PAD；；（Ⅱ）若M 是PC 的中点，求棱锥P －DMB 的体积．4与平面PBC 所成角的所成角的正切正切值5中，CB DA 、是梯形的高，2AE BF ==，22AB =，现将梯形沿CB DA 、折起，使//EF AB ，且2E F A B =如图所示，已知M N P 、、（1）求证：//MN6^PA 底面ABCD ，F E ,分别是PB AC ,的中点的中点. . .PFEDC B A（1）求证：//EF 平面PCD ；（2）求证：平面^PBD 平面PAC ；（3）若AB PA =，求PD 与平面PAC 所成的角的大小所成的角的大小. . .．如图，在等腰．如图，在等腰梯形梯形CDEF ，得一简单，得一简单组合组合体ABCDEF 分别为,,AF BD EF 的中点平面BCF ；（2）求证：AP ^平面DAE .．如图，．如图，四棱锥四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为正方形，7中，2AB BC =，点M 在边CD 上，点F 在边AB 上，且DF AM^，垂足为E ，若将ADM D 沿AM 折起，使点ABCM D -¢．（Ⅰ）求证：F D AM p ，求直线D8．如图，在四棱锥-P ．如图，在．如图，在矩形矩形ABCD D 位于D ¢位置，连接B D ¢，C D ¢得四棱锥¢^；（Ⅱ）若3p =¢ÐEF D ，直线F D ¢与平面ABCM 所成角的大小为3A ¢与平面ABCM 所成角的所成角的正弦正弦值．值．ABCD 中，四边形ABCD 是菱形，PA PC =,E 为PB 的中点．（Ⅰ）求证：PD ∥平面AEC ；（Ⅱ）求证：平面AEC ^平面PBD .-的中点，E 为PA 的中点．的中点．ADO C PBEMNC C 1B 1A 1BA9．如图，在直．如图，在直三棱柱三棱柱ABC ABC－－A 1B 1C 1中，点M 是A 1B 的中点，点N 是B 1C 的中点，连接MN MN（Ⅰ）证明：（Ⅰ）证明：MN//MN//MN//平面平面ABC ABC；； （Ⅱ）若AB=1AB=1，，AC=AA 1=3，BC=2BC=2，求二面角，求二面角A —A 1C —B 的余弦值的大小值的大小1010．．如图，四棱锥P ABCD 的底面是直角的底面是直角梯形梯形，//AB CD ，AB AD ^，PAB D 和PADD 是两个边长为2的正三角形，4DC =，O 为BD (Ⅰ)求证：PO ^平面ABCD ；(Ⅱ)求证：//OE 平面PDC ；(Ⅲ)求(Ⅲ)求直线直线CB 与平面PDC 所成角的所成角的正弦正弦值．11中，底面ABED 、090ADC Ð=，12BC CD AD ==，PA PD =，,EF .A B C -中，点D 是BC 的中点的中点..（Ⅰ）求证（Ⅰ）求证: : AD ^平面11BCC B ；（Ⅱ）求证（Ⅱ）求证: : 1A C 平面1AB D .A BCDA 1B 1C 1．在．在四棱锥四棱锥P ABCD -为直角为直角梯形梯形，//BC AD 为,AD PC 的中点．（1）求证：//PA 平面BEF ；（2）求证：AD PB ^1212．如图，正．如图，正．如图，正三棱柱三棱柱111ABC13．如图，在多面体ABCDFE 中，四边形ABCD 是矩形，AB ∥EF ， 902=Ð=EAB EF AB，（1）若G 点是DC ）求证：BAF DAF 面面^.（3）若,2,1===AB AD AE ，平面ABCD ABFE 平面^.中点，求证：AED FG 面//.（2求的体积三棱锥AFC D -.∴,3AM DE AM ^=,∵在∆DMC 中，中，DM=1DM=1DM=1，，60CDE Ð=°,CD=4,CD=4，，∴22241241cos6013MC =+-´´×°= ，即MC=13.在∆AMC 中，222222(3)(13)4AM MC AC +=+==∴AM AM⊥⊥MC,MC,又∵,AM DE ^MC DE M = , , ∴∴AM ^平面BCD,BCD,∵AM Í平面ADE, ADE, ∴平面∴平面ADE ADE⊥平面⊥平面BCD.BCD.（2）取DC 的中点N ，连结FN,NB,FN,NB,∵F,N 分别是AC AC，，DC 的中点，∴的中点，∴FN FN FN∥∥AD,AD,由因为由因为FN Ë平面ADE,AD Í平面ADE, ADE, ∴∴FN FN∥平面∥平面ADE,ADE,∵N 是DC 的中点，∴的中点，∴BC=NC=2BC=NC=2BC=NC=2，又，又60CDE Ð=°，∴∆BCN 是等边三角形，∴是等边三角形，∴BN BN BN∥∥DE,DE, 由BN Ë平面ADE,ED Í平面ADE, ADE, ∴∴BN BN∥平面∥平面ADE,ADE,∵FN BN N = , , ∴平面∴平面ADE ADE∥平面∥平面FNB,FNB,∵FB Í平面FNB, FNB, ∴∴FB FB∥平面∥平面ADE.ADE.考点：考点：1.1. 1.直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定；2.2.2.平面一平面垂直的判定；平面一平面垂直的判定；平面一平面垂直的判定；3.3.3.直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定..2．（1）取AB 的中点O ，连接1OC O 、1OA O 、1A B ，因为CA=CB CA=CB，所以，所以OC AB ^，由于AB=AA 1，∠，∠BA A BA A 1=600，所以1OA AB ^，所以AB ^平面1OAC ，因为1A C Ì平面1OAC ，所以AB AB⊥⊥A 1C ；（2）因为221A C OC =因为ABC D 为等边三角形，所以3CO =，底面积1232232S =´´=高三数学专项训练：立体几何解答题（三）（文科）参考答案1．（1）证明详见解析；（2）证明详见解析 【解析】【解析】试题分析：（1）首先根据直线与平民啊垂直的）首先根据直线与平民啊垂直的判定定理判定定理证明AM ^平面BCD,BCD,然后再根据平面垂直的判定定理证明平面ADE ADE⊥平面⊥平面BCD BCD；；（2），取DC 的中点N ，首先证FN ∥平面ADE,ADE,然后再证∴然后再证∴然后再证∴BN BN BN∥平面∥平面ADE,ADE,再根据平面与平民啊平行的判定定理证明∴平面再根据平面与平民啊平行的判定定理证明∴平面ADE ∥平面FNB,FNB,最后由面面平行的性质即可最后由面面平行的性质即可最后由面面平行的性质即可..试题解析：（1）∵∆ADE 是等边三角形，,M 是DE 的中点，的中点，，所以，所以体积体积123323V =´´=（Ⅱ）163P DMB V -=． 【解析】【解析】试题分析：试题解析：（I ）证明：在ABD D 中，由于4,8,45A D B D A B ===，所以222AD BD AB +=．故AD BD ^。

高三数学模拟试题（三）一、选择题（5×10=50分）1．设全集{}{}{}2,1,0,1,2,2,1,0,0,1,2U A B =--=--=则=B A C U )(( )A ．{}0B ．{}2,1--C ．{}0,1,2D ．{}1,22．等差数列}{n a 中，若39741=++a a a ，27963=++a a a ，则前9项的和9S 等于（ ） A ．99 B ．66 C ．144 D ．297 3．已知:1231,:(3)0p x q x x -<-<-<, 则p 是q 的什么条件（ ）A ．必要不充分B ．充分不必要C ．充要D ．既不充分也不必要4．已知函数)(x f y =是R 上的偶函数，且在(]0,∞-上是减函数，若)2()(f b f ≥，则实数b 的取值范围是（ ）A ．2≤bB ．2-≤b 或2≥bC ．2-≥b bD ．22≤≤-b 5．已知4sin ,sin cos 0,5θθθ=<则θ2sin 的值为（ ）A ．2524-B ．2512-C ．54- D ．25246．函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数等于 ( )A ．1B ．2C ．3D ．47．已知点A （3,1）和B )6,4(-在直线023=+-a y x 的两侧，则的a 取值范围是（ ）A ．a ＜－7或 a ＞24B ．a ＜－24或 a ＞7C ．－7＜a ＜24D ．－24＜a ＜78．已知i 为虚数单位，复数121iz i +=-，则复数z 的虚部是 （ ）A ．i 23B ．23C ．i 21-D ．21-9．在ABC ∆中，c b a 、、分别为角C B A 、、的对边，若2cos ,a b C =则此三角形一定是（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形10．圆心在曲线2(0)y x x=>上，且与直线210x y ++=相切的面积最小的圆的方程为（ ） A ．22(1)(2)5x y -+-= B ．22(2)(1)5x y -+-= C ．22(1)(2)25x y -+-= D ．22(2)(1)25x y -+-=二、填空题（5×5=25分）11．函数322-+=x x y 的单调减区间为12．某个容量为100的样本的频率分布直方 图见右图，则在区间[4,5)上的数据的频数．．为 ．13．如图，P 是椭圆192522=+y x 上的一点，F 是椭圆的左焦点，且)(21OF OP OQ +=，4||=则点P 到该椭圆左准线的距离为14．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,,6a b c AB AC ⋅=，向量(cos ,sin )m A A =与向量(4,3)n =-相互垂直。

河南省安阳市2023届高三三模文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．83B ．8．已知0,0a b >>，则下列命题错误的是（A ．若1ab ≤，则112a b +≥B ．若4a b +=，则19a b+的最小值为C ．若224a b +=，则ab 的最大值为三、解答题(1)求直方图中t 的值；(2)根据频率分布直方图估计该市60%的居民年用水量不超过(3)已知该市有100万户居民，规定：每户居民年用水量不超过过50吨，则超出的部分每吨收1元水资源改善基金，请估计该市居民每年缴纳的水资源改善基金总数约为多少.（每组数据以所在区间的中点值为代表）18．已知数列{}n a 满足111,12nn n a a a a +==+.(1)证明：BC ME ⊥；(2)求点M 到平面PBE 的距离.20．已知函数()()()ln 1f x x x a a =-+∈R .(1)证明：曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线经过坐标原点；参考答案：故选：C.5．D【分析】根据一组数据同乘以一个数后的平均数以及方差的性质计算，即可得答案【详解】由题意知这些商品的价格如果按人民币计算，价格是按美元计算的价格的故按人民币计，则平均数和方差分别为易知该正方体的棱长为50故选：D. 11．B【分析】由椭圆离心率为6 3可得22233bm n+=，由AF⊥【详解】由椭圆离心率为612．A【分析】由12T f A ⎛⎫= ⎪⎝⎭求出ϕ，再根据ππ42f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 的几何意义求出ω【详解】因为0ω>，【详解】2y +，得322z y x =-+，作出不等式组对应的可行域（阴影部分）322z y x =-+，由平移可知当直线y =时，直线322z y x =-+的截距最大，此时，解得(1,1)A ，）ABC 中，因为//,DE BC -DBCE 中，,DE PD DE ⊥平面PDB ，从而BC ⊥平面上取一点F ，使得2CF =（2）设00(,)P x y ，因为PF 又点P 在抛物线上，所以根据对称性，不妨设点P 设直线AB 的方程为x my =。