2015中考数学(北师大版)图形的相似讲义

中考总温习：图形的类似 -- 常识解说（根底）【考纲要求】1. 了解线段的比、成份额线段、黄金分割、类似图形有关概念及性质．2. 探究并把握三角形类似的性质及条件，并能使用类似三角形的性质处理简略的实践问题．3. 把握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形扩大或缩小．4. 把握用坐标表明图形的方位与改换，在给定的坐标系中，会依据坐标描出点的方位或由点的方位写出它的坐标，灵活运用不同办法确认物体的方位．【常识网络】类似多边形的特征类似的图形概念1. 界说2. 两角对应持平识别办法3. 两头对应成份额且夹角持平图形的相似相似三角形性质4. 三边对应成份额1. 对应角持平2. 对应边、对应中线、对应角平分线、对应高线、周长的比等于类似比3.面积的比等于相似比的平方使用 : 处理实践问题位似用坐标来确认方位图形与坐标图形的运动与坐标【考点整理】考点一、份额线段1. 份额线段的相关概念假如选用同一长度单位量得两条线段 a，b 的长度分别为 m，n，那么就说这两条线段的比是a bmn，或写成a：b=m：n. 在两条线段的比a：b 中，a 叫做比的前项， b 叫做比的后项.在四条线段中，假如其间两条线段的比等于别的两条线段的比，那么这四条线段叫做成份额线段，简称份额线段 .若四条 a，b，c，d 满意或 a：b=c：d，那么 a，b，c，d 叫做组成份额的项，线段 a，d 叫做份额外项，线段 b，c 叫做份额内项 .如果作为比例内项的是两条相同的线段，即abbc或a：b=b：c，那么线段 b 叫做线段a，c 的比例中项.2、份额的根本性质：①a：b=c：d ad=bc ②a：b=b：c b2 ac .3、黄金分割把线段 AB分红两条线段 AC，BC（AC>BC），并且使 AC是 AB和 BC的份额中项，叫做把线段 AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC= 521AB≈0.618AB.考点二、类似图形1. 类似图形：咱们把形状相同的图形叫做类似图形 .也就是说：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的.( 全等是特殊的相似图形).2. 类似多边形：对应角持平，对应边的比持平的两个多边形叫做类似多边形 .3. 类似多边形的性质：类似多边形的对应角持平，对应边成的比持平 .类似多边形的周长的比等于类似比，类似多边形的面积的比等于类似比的平方 .4. 类似三角形的界说：形状相同的三角形是类似三角形 .5. 类似三角形的性质：(1) 相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.(2) 相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等于类似比 .(3) 相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.【要害诠释】结合两个图形类似，得出对应角持平，对应边的比持平，这样能够由题中已知条件求得其它角的度数和线段的长.对于复杂的图形，采用将部分需要的图形( 或基本图形) “抽”出来的办法处理.6. 类似三角形的断定：(1) 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；(2) 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；(3) 如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；(4) 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.(5) 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相等，那么这两个三角形类似 .考点三、位似图形1. 位似图形的界说：两个多边形不只类似，并且对应极点的连线相交于一点，不通过交点的对应边相互平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫位似中心.2. 位似图形的分类：(1) 外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外.(2) 内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上.3. 位似图形的性质位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；位似图形的对应点到位似中心的间隔之比等于类似比；位似图形中不通过位似中心的对应线段平行 .【要害诠释】位似图形是一种特别的类似图形，而类似图形未必能构成位似图形 .4. 作位似图形的过程第一步：在原图上找若干个要害点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各要害点连线；第三步：在连线上取要害点的对应点，使之满意放缩份额；第四步：依次衔接截取点 .【要害诠释】在平面直角坐标系中，假如位似改换是以原点为位似中心，类似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k.【典型例题】类型一、份额线段1. 在份额尺 1：10 000 000 的地图上，量得甲、乙两个城市之间的间隔是 8 cm，那么甲、乙两个城市之间的实践间隔应为 __________km.【思路指点】地图上的份额尺是一种份额联系，即图上间隔与实践间隔的比 .【答案与解析】 1：10 000 000=8 ：80 000 000 ，即实践间隔是 80 000 000cm=800km.【总结提高】本题考点 : 份额性质 .触类旁通：【变式】如图，为了丈量某棵树的高度，小明用长为 2m的竹竿做丈量东西，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子刚好落在地上的同一点．此刻，竹竿与这一点相距 6 m、与树相距 15m，则树的高度为______________m【答案】因为，所以树高=7.类型二、类似图形2．如图，一个矩形 ABCD的长 AD=a cm，宽 AB=bcm，E、F 分别是 AD、BC的中点，衔接 E、F，所得新矩形 ABFE与原矩形 ABCD类似，求 a : b 的值．【思路指点】依据类似多边形对应边的比持平，即可求得．12 【答案与解析】∵矩形ABCD的长AD=a ，宽AB=b ，则AE=又矩形AEFB与矩形ABCD相似．12AD=a ．AE AB∴=，AB AD即1ab2b a, 即2 1 2b a2∴a : b 2 :1【总结提高】本题首要考察了类似多边形的对应边的比持平，留意辨明对应边是处理本题的要害．3．如图，△ ABC是一块直角三角形的木块，∠ C=90°，AC=3cm，BC=4cm，AB=5cm，要使用它加工成一块面积最大的正方形木块，问按正方形 CDEF加工仍是按正方形 PQRS加工？说出你的理由 .【思路指点】要加工成一块面积最大的正方形木块，有两种办法，使用类似三角形的断定和性质求出两个正方形的边长，比较巨细即可 .【答案与解析】(1) 如图1，设正方形CDEF的边长为x，则有，得x= cm；(2) 如图2，设正方形PQRS的边长为y，作C N⊥AB于N交RS于M，而知CN= ，同样有得(cm) ，x-y= ＞0，故x＞y，所以按正方形CDEF加工，可得面积最大的正方形.【总结提高】考察类似三角形的使用；用到的常识点为：平行于三角形一边的直线与三角形另两头相交，截得的两三角形类似；类似三角形的对应边成份额；对应高的比等于类似比．触类旁通：【变式】已知矩形 ABCD，长 BC=12cm，宽 AB=8cm，P、Q分别是 AB、BC上运动的两点 . 若 P 自点 A动身，以 1cm/s 的速度沿 AB方向运动，一起， Q自点 B 动身以 2cm/s 的速度沿 BC方向运动，问通过几秒，以P、B、Q为极点的三角形与△ BDC类似？【答案】设经x 秒后，△ PBQ∽△ BCD，因为∠ PBQ=∠BCD= 90°，(1) 当∠1=∠2时，有：，即；(2) 当∠1=∠3时，有：，即∴通过秒或 2 秒，△ PBQ∽△ BCD.4. （2016?闵行区一模）如图，已知在△ABC中AB=AC，点D为BC边的中点，点F 在边AB上，点 E 在线段 DF的延伸线上，且∠ BAE=∠BDF，点 M在线段 DF上，且∠ EBM=∠C．（1）求证：EB? BD=BM? AB；（2）求证：AE⊥BE．【思路指点】（1）依据等腰三角形的性质得到∠ ABC=∠C，由已知条件得到∠ EBM=∠C，等量代换得到∠EBM=∠ABC，求得∠ ABE=∠DBM，推出△ BEA∽△ BDM，依据类似三角形的性质得到，所以得到结论；（ 2）衔接 AD，由等腰三角形的性质得到 AD⊥ BC，推出△ ABD∽△ EBM，依据类似三角形的性质得到∠ ADB=∠EMB=9°0 ，求得∠ AEB=∠BMD=9°0 ，所以得到定论．【答案与解析】证明：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠EBM=∠C，∴∠EBM=∠ABC，∴∠ABE=∠DBM，∵∠BAE=∠BDF，∴△BEA∽△BDM，∴，∴EB?BD=BM?AB；（ 2）衔接 AD，∵AB=AC，点D为BC边的中点，∴AD⊥BC，∵，∠ABD=∠EBM，∴△ABD∽△EBM，∴∠ADB=∠EMB=9°0，∴∠AEB=∠BMD=90°，∴AE⊥BE．【总结提高】此题考察了类似三角形的断定与性质、勾股定理、等边三角形的断定与性质以及三角函数等常识．此题综合性较强，难度较大，解题的要害是精确作出辅助线，把握转化思维与数形结合思维的使用．5．（2015?丽水）如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的一点，连结CF并延长交AB于点M，MN⊥CM交射线AD于点N．（1）当F为BE中点时，求证：AM=C；E（2）若==2，求的值；（3）若==n，当n为何值时，MN∥BE？【思路指点】（1）如图1，易证△ BMF≌△ ECF，则有 BM=EC，然后依据 E为CD的中点及 AB=DC就可得到AM=EC；（ 2）如图2，设MB=a，易证△ ECF∽△ BMF，依据类似三角形的性质可得 EC=2a，由此可得 AB=4a，AM=3a，BC=AD=2a．易证△ AMN∽△ BCM，依据类似三角形的性质即可得到 AN= a，然后可得 ND=AD﹣AN= a，就可求出的值；（ 3）如图3，设MB=a，同（ 2）可得 BC=2a，CE=na．由 MN∥BE，MN⊥MC可得∠ EFC=∠HMC=9°0 ，然后可证到△ MBC∽△ BCE，然后依据类似三角形的性质即可求出 n 的值．【答案与解析】解：（1）当F为BE中点时，如图1，则有BF=EF．∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，AB∥DC，∴∠MBF=∠CEF，∠BMF=∠ECF．在△BMF和△ECF中，，∴△BMF≌△ECF，∴BM=E．C∵E为C D的中点，∴EC=DC，∴BM=EC=DC=AB，∴AM=BM=E；C（2）如图2，设MB=a，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=DC，∠A=∠ABC=∠BCD=9°0，AB∥D C，∴△ECF∽△BMF，∴==2，∴EC=2a，∴AB=CD=2CE=4，a AM=AB﹣MB=3a．∵=2，∴BC=AD=2．a∵MN⊥MC，∴∠CMN=9°0 ，∴∠AMN∠+ BMC=9°0 ．∵∠A=90°，∴∠ANM∠+ AMN=9°0 ，∴∠BMC∠= ANM，∴△AMN∽△BCM，∴= ，∴= ，∴AN= a，ND=AD﹣AN=2a﹣a= a，∴= =3；（3）当= =n时，如图3，设MB=a，同（2）可得BC=2a，CE=na．∵MN∥BE，MN⊥MC，∴∠EFC=∠HMC=9°0 ，∴∠FCB+∠FBC=90°．∵∠MBC=9°0 ，∴∠BMC∠+ FCB=90°，∴∠BMC∠= FBC．∵∠MBC∠= BCE=90°，∴△MBC∽△BCE，∴= ，∴= ，∴n=4．【总结提高】本题首要考察了类似三角形的断定与性质、全等三角形的断定与性质、矩形的性质、同角的余角持平、三角形外角的性质等常识，使用类似三角形的性质得到线段之间的联系是处理本题的要害．类型三、位似图形y A16 . 如图，已知图中的每个小方格都是边长为1 的小正109方形，每个小正方形的极点称为格点．若△ ABC与△A 1B1C1 是位8似图形，且极点都在格点上，则位似中心的坐标是 ___________．76 A54B1 C132B C11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x【思路指点】衔接恣意两对对应点，看连线的交点为那一点即为位似中心．【答案与解析】衔接 BB1，A1A，易得交点为（ 9，0）．【总结提高】用到的常识点为：位似中心为位似图形上恣意两对对应点连线的交点．触类旁通：【变式】下列图形中不是位似图形的是( ).【答案】 C.。

......九年级（上）第四章图形的相似(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(1)相似多边形：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比．一．成比例线段（1）线段的比如果选用同一单位量得两条线段a,b的长度分别为m,n，那么就说这两条线段的比是a mb n，或写成a:b m:n．注：在求线段比时，线段单位要统一。

（2）成比例线段在四条线段a,b,c,d中，如果a和b的比等于c和d的比，那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a,b,c,da c 成比例，那么应得比例式为：=．b d②在比例式a c(a：b c：d)中，a、d叫比例外项，b、c叫比例内项,如果b=c，即b da：b b：d那么b叫做a、d的比例中项，此时有b2ad。

③判断给定的四条线段是否成比例的方法：第一排：现将四条线段的长度统一单位，再按大小顺序排列好；第二算:分别算出前两条线的长度之比与后两条线段的长度之比；第三判：若两个比相等，则这四条线段是成比例线段，否则不是（3）比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）基本性质：①a:b=c:d则有ad=bc（两外项之积等于两内向之积）；②②a:b b:c b2ac．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如a d bc，除了可化为a:b c:d，还可化为a:c b:d，c:d a:b，b:d a:c，b:a d:c，c:a d:b，d:c b:a，d:b c:a．a b，(交换内项)c da c d c（2）更比性质(交换比例的内项或外项)：，(交换外项)b d b ad b．(同时交换内外项)c a（3）合、分比性质：（4）等比性质：如果a c a b c d．b d b da c e m(b d f n 0)b d f n，那么a c e m ab d f n b．注：......①此性质的证明运用了“设k法”（即引入新的参数k）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：a c e a 2c3e a 2c 3e a；其中b 2d 3f 0b d f b 2d3f b 2d 3f b．（4）比例题常用的方法有：比例合分比法，比例等比法，设参法，连等设k法，消元法二，平行线分线段成比例（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD∥BE∥CF,A DB E可得AAAAAAAAAAAAAAAAAAAA或或或或BBBBBBBBBBBBBBBBBBBB等.C F注意：是所截的线段成比例，而跟平行线无关，所以比例线段中不可能有AD,BE,CF的比例关系（2）黄金分割：把线段AB分成两条线段AC,BC(AC BC)，且使AC是AB和B C的比例中项，即AC2AB BC，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC 512AB≈0.618AB．即AC BC5 1AB AC2简记为：长短51＝＝全长2注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。