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一元线性回归,方差分析,显著性分析

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第9章-方差分析与线性回归

第9章-方差分析与线性回归
2
Xij X E
s nj
ST s
n
E
j
j 1
i 1
X ij X
j1 i1
s nj
X ij2 nX
j1 i1
X ij 2
2
2
s nj
X
EE(X
)j
s11ninj1jEs1Xinj1ijjE21(Xiinj1)X
1 n
s
nj ( j )
j 1
s nj
E( Xij2 ) nE( X 2 )
X12 X 22
As : N s , 2
X1s X 2s
X n11
X n2 2
X nss
每个总体相互独立. 因此, 可写成如 下的 数学模型:
ij
~
X ij j ij N (0, 2 ), 各ij独立
i 1, 2, , nj，j 1, 2, , s
方差分析的目的就是要比较因素A 的r 个水平下试验指标理论均值的 差异, 问题可归结为比较这r个总体 的均值差异.
i
ij (0, 2 ),各ij独立
1, 2, , nj，j 1, 2, , s
n11 n22 ... nss 0
假设等价于 H0 :1 2 s 0
H1 :1,2,
,
不全为零。
s
为给出上面的检验，主要采用的方法是平方和 分解。即
假设数据总的差异用总离差平方和 ST 分解为
第九章 回归分析和方差分析
关键词： 单因素试验 一元线性回归
方差分析(Analysis of variance, 简 称:ANOVA),是由英国统计学家费歇尔 (Fisher)在20世纪20年代提出的,可用于推 断两个或两个以上总体均值是否有差异 的显著性检验.

方差分析与回归分析的原理

方差分析与回归分析的原理

方差分析与回归分析的原理方差分析和回归分析是统计学中常用的两种数据分析方法，它们都用于研究变量之间的相互关系，但是基于不同的背景和目的，其原理和应用也有所不同。

首先，我们来了解一下方差分析。

方差分析是一种用于比较两个或多个群体均值差异的统计方法。

它基于对总体方差的分解来分析不同因素对群体之间差异的贡献程度。

具体来说，方差分析将总体方差分解为组内变异和组间变异两部分，然后通过计算F统计量来判断组间变异是否显著大于组内变异。

方差分析可以用于很多场景，比如医疗研究中分析不同药物对疾病治疗效果的差异、教育研究中比较不同教学方法对学生成绩的影响等。

在进行方差分析时，需要明确一个自变量（也称为因素或处理）和一个因变量（也称为响应变量）。

自变量是被研究者主动操作或选择的变量，而因变量是根据自变量的不同取值而发生变化的变量。

方差分析的基本原理是通过对不同组之间的变异进行比较，来判断组间是否存在统计显著差异。

方差分析的核心思想是使用F统计量来判断组间变异与组内变异的比例是否显著大于1。

通过计算F值并与临界值进行比较，可以得出结论是否存在显著差异。

如果F值大于临界值，则可以拒绝原假设，表明不同组之间存在显著差异；如果F值小于临界值，则接受原假设，认为组间差异不显著。

接下来，我们来了解一下回归分析。

回归分析是统计学中用于研究变量之间关系的一种方法。

它研究的是一个或多个自变量对因变量的影响程度和方向。

回归分析可以用于预测未来趋势、解释变量之间的关系、探究因果关系以及确定主要影响因素等。

回归分析分为线性回归和非线性回归两种。

线性回归是最常用的一种回归方法，它假设自变量与因变量之间存在线性关系。

以一元线性回归为例，我们假设因变量Y可以用一个自变量X的线性函数来表示，即Y = β0 + β1X + ε，其中β0和β1是回归系数，ε是误差项，代表了未被自变量解释的因素。

通常，回归分析的目标是估计出回归系数的值，并利用这些系数来解释因变量与自变量之间的关系。

回归分析

回归分析

回归系数，因此失去两个自由度。 回归系数，因此失去两个自由度。
♦
dfR＝dfT－dfE＝1
⑷．计算方差
♦ ♦
回归方差 残差方差
SS R MS R = df R
SS E MS E = df E
⑷．计算F ⑷．计算F值
MS R F= MS E
⑹．列回归方程的方差分析表
表21－1 回归方程方差分析表
变异 来源 回归 残差 总变异 平方和 自由度 方差 F 值 概率
♦
β=０ H0：β=０ H1：β≠０
♦
统计量计算
ΣX 2 − (ΣX ) / n bYX t= = bYX ⋅ SEb MS E
2
50520 − 710 2 / 10 = 1.22 × = 3.542 13.047
二．一元线性回归方程的评价── 二．一元线性回归方程的评价── 测定系数
♦
一元线性回归方程中， 一元线性回归方程中，总平方和等于回归平
2 2
SS R = SST
（21．5）
r2
X的变异
Y的变异
图21-1 21-
测定系数示意图
图21-2 21-
测定系数示意图
♦
例3：10名学生初一对初二年级数学成 10名学生初一对初二年级数学成
绩回归方程方差分析计算中得到： 绩回归方程方差分析计算中得到：
♦ SST=268.1
♦
2
SSR=163.724
数学成绩估计初二数学成绩的回归方程； 数学成绩估计初二数学成绩的回归方程；将另一 学生的初一数学成绩代入方程， 学生的初一数学成绩代入方程，估计其初二成绩
Y = 1.22 X − 14.32 = 1.22 × 76 − 14.32 = 78.4

一元线性回归方程的显著性检验

一元线性回归方程的显著性检验

回归方程的显著性检验回归方程的显著性检验的目的是对回归方程拟合优度的检验。

F检验法是英国统计学家Fisher提出的，主要通过比较两组数据的方差S2，以确定他们的精密度是否有显著性差异。

回归方程显著性检验具体方法为：由于y的偏差是由两个因素造成的，一是x变化所引起反应在S回中，二是各种偶然因素干扰所致S残中。

将回归方程离差平方和S回同剩余离差平方和S残加以比较，应用F检验来分析两者之间的差别是否显著。

如果是显著的，两个变量之间存在线性关系；如果不显著，两个变量不存在线性相关关系。

n个观测值之间存在着差异，我们用观测值yi与其平均值的偏差平方和来表示这种差异程度，称其为总离差平方和，记为由于所以式中称为回归平方和，记为S回。

称为残差平方和，记为。

不难证明，最后一项。

因此S总＝S回＋S残上式表明，y的偏差是由两个因素造成的，一是x变化所引起，二是各种偶然因素干扰所致。

事实上，S回和S残可用下面更简单的关系式来计算。

具体检验可在方差分析表上进行。

这里要注意S回的自由度为1，S残的自由度为n－2，S总的自由度为n－1。

如果x与y有线性关系，则其中，F（1，n-2）表示第一自由度为1，第二自由度为n-2的分布。

在F表中显著性水平用表示，一般取0.10，0.05，0.01，1-表示检验的可靠程度。

在进行检验时，F值应大于F表中的临界值Fα。

若F<0.05(1,n-2)，则称x与y 没有明显的线性关系，若F0.05(1,n-2)<F<F0.01(1,n-2)，则称x与y有显著的线性关系；若F>F0.01(1,n-2)，则称x与y有十分显著的线性关系。

当x与y有显著的线性关系时，在表2-1-2的显著性栏中标以〝*〞；当x与y有十分显著的线性关系时，标以〝**〞。

方差分析与回归分析

方差分析与回归分析

方差分析与回归分析在统计学中，方差分析（ANOVA）和回归分析（Regression Analysis）都是常见的统计分析方法。

它们广泛应用于数据分析和实证研究中，有助于揭示变量之间的关系和影响。

本文将对方差分析和回归分析进行介绍和比较，让读者更好地理解它们的应用和区别。

一、方差分析方差分析是一种统计方法，用于比较两个或更多组别的均值是否存在显著差异。

它通过计算组内变异和组间变异的比值来判断不同组别间的差异是否具有统计显著性。

在方差分析中，通常有三种不同的情形：单因素方差分析、双因素方差分析和多因素方差分析。

单因素方差分析适用于只有一个自变量的情况。

例如，我们想要比较不同教育水平对收入的影响，可以将教育水平作为自变量分为高中、本科和研究生三个组别，然后进行方差分析来检验组别之间的收入差异是否显著。

双因素方差分析适用于有两个自变量的情况。

例如，我们想要比较不同教育水平和不同工作经验对收入的影响，可以将教育水平和工作经验作为自变量，进行方差分析来研究其对收入的影响程度和相互作用效应。

多因素方差分析适用于有多个自变量的情况。

例如，我们想要比较不同教育水平、工作经验和职位对收入的影响，可以将教育水平、工作经验和职位作为自变量，进行方差分析来探究它们对收入的联合影响。

方差分析的基本原理是计算组内变异和组间变异之间的比值，即F 值。

通过与临界F值比较，可以确定差异是否显著。

方差分析的结果通常会报告组间平均差异的显著性水平，以及可能存在的交互作用。

二、回归分析回归分析是一种统计方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。

它通过建立一个数学模型来描述自变量对因变量的影响程度和方向。

回归分析分为简单线性回归和多元线性回归两种类型。

简单线性回归适用于只有一个自变量和一个因变量的情况。

例如，我们想要研究体重与身高之间的关系，可以将身高作为自变量、体重作为因变量，通过拟合一条直线来描述二者之间的关系。

多元线性回归适用于有多个自变量和一个因变量的情况。

回归分析

回归分析




1




p

e1
e

e2


en
1 x11

X

1
x12

1 x1n
xp1
xp2

xpn
• 我们得到的是一组实测p个变量的样本，利用这 组样本（n次抽样）对上述回归模型进行估计， 得到的估计方程为多元线性回归方程，记为:
nb0

b
n i 1
xi

n i 1
yi

n
n
n

b0
i 1
xi
b
i 1
xi 2

i 1
xi
yi

（3）
（3）式称为求回归系数的标准方程组。
回归系数也可直接表示为：
b0 y bx

n

b


xi yi nxy
气温T 0.9 1.2 2.2 2.4 -0.5 2.5 -1.1 0 6.2 2.7 3.2 -1.1 2.5 1.2 1.8 0.6 2.4 2.5 1.2 -0.8
环流指标 32 25 20 26 27 24 28 24 15 16 24 30 22 30 24 33 26 20 32 35
气温T
• 方差分析表明，预报量y的变化可以看成由 前期因子x的变化所引起的，同时加上随机 因素e变化的影响，这种前期因子x的变化影 响可以用回归方差的大小来衡量。如果回 归方差大，表明用线性关系解释y与x的关系 比较符合实际情况，回归模型比较好。
(4)式两边同时乘以n变成各变量离差平方和的关系。

第二章 一元线性回归


n ei 0 i 1 n xe 0 i i i 1
经整理后,得正规方程组
n n ˆ ˆ n ( x ) 0 i 1 yi i 1 i 1 n n n ( x ) ˆ ( x 2 ) ˆ xy i 0 i 1 i i i 1 i 1 i 1
y ˆ i 0 1xi ˆi 之间残差的平方和最小。 使观测值 y i 和拟合值 y
ei y i y ˆi
n
称为yi的残差
ˆ , ˆ ) ˆ ˆ x )2 Q( ( y i 0 1i 0 1
i 1
min ( yi 0 1 xi ) 2
i
xi x
2 ( x x ) i i 1 n
yi
2 .3 最小二乘估计的性质
二、无偏性
ˆ ) E ( 1
i 1 n
n
xi x
2 ( x x ) j j 1 n
其中用到
E ( yi )
( x x) 0 (xi x) xi (xi x)2
二、用统计软件计算
1．例2.1 用Excel软件计算
什么是P 值?(P-value)
• P 值即显著性概率值 ，Significence Probability Value
•
是当原假设为真时所得到的样本观察结果或更极端情况 出现的概率。
P值与t值： P t t值 P值


•
它是用此样本拒绝原假设所犯弃真错误的真实概率，被 称为观察到的(或实测的)显著性水平。P值也可以理解为 在零假设正确的情况下，利用观测数据得到与零假设相 一致的结果的概率。
2 .1 一元线性回归模型

一元线性回归分析



(n

2)
S2 ˆ0
2 ˆ0
:
2(n 2)
S 2 ˆ1

S2
n
（Xt X )2
t 1

(n

2)
S2 ˆ1
2 ˆ1
:
2(n 2)
所以根据t分布的定义，有
ˆ0 0 ~ t(n 2), ˆ1 1 ~ t(n 2)
Sˆ0
Sˆ1
进而得出了0的置信水平为1-区间估计为
et Yt Yˆt称为残差，与总体的误差项ut对应，n为样 本的容量。
样本回归函数与总体回归函数区别
1、总体回归线是未知的，只有一条。样本回归线是根据样本数 据拟合的，每抽取一组样本，便可以拟合一条样本回归线。
2、总体回归函数中的β0和β1是未知的参数，表现为常数。而样
本回归函数中的 ˆ0和是ˆ1 随机变量，其具体数值随所抽取
S 44.0632
Sef S
1 1 n
( X f X )2
n
45.543
( Xt X )2
t 1
所求置信区间为：(188.6565 97.6806)
回归分析的SPSS实现
“Analyze->Regression->Linear”

0
n

2 t1 Xt (Yt ˆ0 ˆ1 Xt ) 0


nˆ0

n
ˆ1
t 1
Xt
n
Yt
t 1
n
n
n


ˆ0
t 1
Xt
ˆ1
t 1
X
2 t

第15讲 一元线性回归分析


n
i 1
2
2 2 ˆ ˆ 2b yi y xi x b xi x i 1 i 1
i 1
n
i 1
n
ˆS /S ˆ b ˆ2 S S bS ˆ . b S yy 2bS xy xx xy xx yy xy
例2 求例1中误差方差的无偏估计。
采用最小二乘法估计参数a和b，并不需要事先知道Y与x之间 一定具有相关关系，即使是平面图上一堆完全杂乱无章的散 点，也可以用公式求出回归方程。因此μ(x)是否为x的线性函 数，一要根据专业知识和实践来判断，二要根据实际观察得 到的数据用假设检验方法来判断。
即要检验假设 H0 : b 0, H1 : b 0, 若原假设被拒绝，说明回归效果是显著的，否则， 若接受原假设，说明Y与x不是线性关系，回归方程 无意义。回归效果不显著的原因可能有以下几种：
将每对观察值( xi , yi )在直角坐标系中描出它相应的点 （称为散点图），可以粗略看出 ( x)的形式。
基本思想
(x, Y)
回归分析 回归方程
采集样本信息 ( xi, yi )
散点图
回归方程参数估计、显著性检验
对现实进行预测与控制
一元回归分析:只有一个自变量的回归分析 多元回归分析:多于一个自变量的回归分析

x1 x2 x3
xi
xn
整理得 na ( xi )b yi ,
( xi )a ( xi )b xi yi .——正规方程组
2 i 1 i 1 i 1
n
i 1
n
i 1
n
na ( xi )b yi ,
i 1 i 1
n
n

一元线性回归,方差分析,显著性分析

F0.10 (1, N 2) F F0.05 (1, N 2), 回归在的水平上显著。
F F0.10 (1, N 2), 回归不显著。 （三）残余方差与残余标准差 残余方差：排除了 x 对 y 的线性影响后，衡量 y 随机波动的特征量。
2 Q N 2
残余标准差：
Q N 2
含义： 越小，回归直线的精度越高。
lxx
N t 1
( xt
x)2
N t 1xt 21 NN Nhomakorabea(
t 1
xt )2
N
N
1N
N
lxy
t 1
( xt
x)( yt
y)
t 1
xt yt
N
(
t 1
xt )(
t 1
yt )
lyy
N t 1
( yt
y)2
N t 1
yt 2
1( N N t1
yt )2
二、回归方程的方差分析及显著性检验 问题：这条回归直线是否符合 y 与 x 之间的客观规律回归直线的预报精度
N
U ( yt y)2 blxy ，U 1 t 1
N
Q ( yt yˆt )2 lyy blxy ， Q N 2 t 1
U—回归平方和，反映总变差中由于 x 和 y 的线性关系而引起 y 变化的部分。
Q—残余平方和，反映所有观测点到回归直线的残余误差，即其它因素对 y 变差 的影响。 （二）回归方程显著性检验— F 检验法 基本思路：方程是否显著取决于 U 和 Q 的大小，U 越大 Q 越小说明 y 与 x 的线 性关系愈密切。 计算统计量 F
常称它为自变量或控制变量，y 为随机变量，常称其为因变量或响应变量。通过 散点图或计算相关系数判定 y 与 x 之间存在着显著的线性相关关系，即 y 与 x 之 间存在如下关系：
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Lyy=Lyy+(test(2,i)-sum(test(2,:))/N)^2;
end
r=[N,sx;sx,sx2]\[sy;sxy];
a=r(1);b=r(2);
U=b*Lxy;
Q=Lyy-U;
F=(N-2)*U/Q;
x=test(1,:);y=a+b*x;eq=sum(test(2,:))/N;
ssd=0;ssr=0;
含义： 越小，回归直线的精度越高。
程序如下：
test=[1 5 10 15 20 25;
0.1051 0.5262 1.0521 1.5775 2.1031 2.6287]
N=length(test(1,:));
sx=0;sx2=0;sy=0;sy2=0;sxy=0;Lxy=0;Lyy=0;
fori=1:N
F-分布显著性检验：
F计算值：56408931.6024自由度：f1=1,f2=4
注：请对照F-分布表找到所需置信水平下的F临界值Fa，若F>Fa，则通过检验。
sx=sx+test(1,i);
sx2=sx2+test(1,i)^2;
sy=sy+test(2,i);
sy2=sy2+test(2,i)^2;
sxy=sxy+test(1,i)*test(2,i);
Lxy=Lxy+(test(1,i)-sum(test(1,:))/N)*(test(2,i)-sum(test(2,:)/N));
一元线性回归分析及方差分析与显著性检验
某位移传感器的位移x与输出电压y的一组观测值如下：（单位略）
设x无误差，求y对x的线性关系式，并进行方差分析与显著性检验。
（附：F0。10(1，4)=4.54，F0。05(1，4)=7.71，F0。01(1，4)=21.2）
回归分析是研究变量之间相关关系的一种统计推断法。
结果如下：
test =
1.0000 5.0000 10.0000 15.0000 20.0000 25.0000
0.1051 0.5262 1.0521 1.5775 2.1031 2.6287
回归方程为:
y=(0.0003321)+(0.10514)*x
R^2拟合优度检验：
R^2=1
方差检验：
sgm^2=8.1002e-008
(2)
称(1)或(2)(又称为数据结构式)所确定的模型为一元(正态)线性回归模型。
对其进行统计分析称为一元线性回归分析。
模型(2)中 EY= ，若记 y=E(Y),则 y=a+bx,就是所谓的一元线性回归方程，其图象就是回归直线，b 为回归系数，a 称为回归常数，有时也通称 a、b 为回归系数。
设得到的回归方程
残差方ห้องสมุดไป่ตู้为
根据最小二乘原理可求得回归系数b0和b。
对照第五章最小二乘法的矩阵形式，令
则误差方程的矩阵形式为
对照 ，设测得值 的精度相等，则有
将测得值分别代入上式，可计算得
其中
二、回归方程的方差分析及显著性检验
问题：这条回归直线是否符合y与x之间的客观规律回归直线的预报精度如何？
解决办法：
方差分析法—分解N个观测值与其算术平均值之差的平方和；从量值上区别多个影响因素；用F检验法对所求回归方程进行显著性检验。
（一）回归方程的方差分析
总的离差平方和（即N个观测值之间的变差）
，
可以证明：
S=U+Q
其中
，
，
U—回归平方和，反映总变差中由于x和y的线性关系而引起 y变化的部分。
Q—残余平方和，反映所有观测点到回归直线的残余误差，即其它因素对y变差的影响。
（二）回归方程显著性检验— F检验法
基本思路：方程是否显著取决于U和Q的大小，U越大Q越小说明y与x的线性关系愈密切。
disp('回归方程为')
disp(str)
disp('R^2拟合优度校验')
strin=['R^2=',num2str(RR)];
disp(strin)
disp('方差检验：')
strin=['sgm^2=',num2str(sgm)];
disp(strin)
disp('F-分布显著性校验')
stri=['F计算值',num2str(F),blanks(4),'自由度f1=1,f2=',num2str(N-2)];
disp(stri)
disp('注：请对照F-分布表找到所需置信水平下的F临界值Fa，若F>Fa，则通过检验。')
yy=a+b*test(1,:);
plot(test(1,:),test(2,:),'r.'),holdon
plot(test(1,:),yy,'b-'),holdoff
title(str)
计算统计量F
对一元线性回归，应为
查F分布表，根据给定的显著性水平 和已知的自由度1和N-2进行检验：
若， 回归在0.01的水平上高度显著。
回归在0.05的水平上显著。
回归在0.1的水平上显著。
回归不显著。
（三）残余方差与残余标准差
残余方差：排除了x对y的线性影响后，衡量y随机波动的特征量。
残余标准差：
fori=1:N
ssd=ssd+(test(2,i)-y(i))^2;
ssr=ssr+(y(i)-eq)^2;
end
sst=ssd+ssr;
RR=ssr/sst;
str=[blanks(5),'y=','(',num2str(a),')','+','(',num2str(b),')','*x'];
disp(' ')
一．一元线性回归的数学模型
在一元线性回归中，有两个变量，其中 x 是可观测、可控制的普通变量，常称它为自变量或控制变量，y 为随机变量，常称其为因变量或响应变量。通过散点图或计算相关系数判定y与x之间存在着显著的线性相关关系，即y与x之间存在如下关系：
(1)
通常认为 且假设 与x无关。将观测数据 (i=1，……，n)代入(1)再注意样本为简单随机样本得：