下载文档原格式
幂运算【要点梳理】要点一、同底数幂的乘法性质(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即（都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即（都是正整数）.要点二、幂的乘方法则 (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广： (，均为正整数)（2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 要点三、积的乘方法则(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广： (为正整数).（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 要点四、同底数幂的除法法则+⋅=m n m n a a a ,m n mnpm n pa a a a++⋅⋅=,,m n p m n m n a a a +=⋅,m n ()=m nmna a,m n (())=m n pmnpa a0≠a ,,m n p ()()nmmnm n aa a ==()=⋅n n n ab a b n ()=⋅⋅nnnnabc a b c n ()nn na b ab =1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭同底数幂相除，底数不变，指数相减，即m n m na a a-÷=（a ≠0，m n 、都是正整数，并且m n >）要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 要点五、零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1.即01a =（a ≠0）要点诠释：底数a 不能为0，00无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式. 要点六、负整数指数幂任何不等于零的数的n -（n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数，即1nnaa -=（a ≠0，n 是正整数）.引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立.m n m n a a a +=（m 、n 为整数，0a ≠）； ()mm m ab a b =（m 为整数，0a ≠，0b ≠）()nm mn a a =（m 、n 为整数，0a ≠）.要点诠释：()0na a -≠是n a 的倒数，a 可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如()1122xy xy -=（0xy ≠），()()551a b a b -+=+（0a b +≠）. 要点七、科学记数法的一般形式（1）把一个绝对值大于10的数表示成10na ⨯的形式，其中n 是正整数，1||10a ≤<（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即10na -⨯的形式，其中n 是正整数，1||10a ≤<.用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法.【典型例题】1、计算：（1）； （2）；（3）．【变式1】下列计算正确的是（ ） A ．a 3•a 2＝a B ．a 3•a 2＝a 5 C ．a 3•a 2＝a 6 D ．a 3•a 2＝a 9【变式2】计算：（1）； （2）（为正整数）；（3）（为正整数）．【变式3】（x ﹣y ）•（y ﹣x ）2•（y ﹣x ）3﹣（y ﹣x ）6．234444⨯⨯3452622a a a a a a ⋅+⋅-⋅11211()()()()()nn m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+5323(3)(3)⋅-⋅-221()()ppp x x x +⋅-⋅-p 232(2)(2)n⨯-⋅-n2、已知，求的值．【变式】10x ＝a ，10y ＝b ，则10x +y +2＝（ ） A ．2ab B ．a +b C ．a +b +2 D ．100ab3、计算：（1）； （2）； （3）．4、已知，．求的值．【变式】已知，，求的值．5、指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：（1）； （2）； （3）．【变式1】计算（ab 2）3的结果是（ ） A ．ab 5B ．a 3b 5C ．a 3b 6D ．a 4b 52220x +=2x 2()m a 34[()]m -32()m a-2a x =3b x =32a bx +84=m 85=n 328+m n22()ab ab =333(4)64ab a b =326(3)9x x -=-【变式2】已知2x +3y ﹣1＝0，求9x •27y 的值．【变式3】已知10x ＝5，10y ＝6，求103x +2y 的值．6、（﹣8）57×0.12555．【变式1】42020×（﹣0.25）2021的值为（ ） A ．4 B ．﹣4C ．0.25D ．﹣0.25【变式2】（﹣）2021×（﹣2.6）2022＝（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣D ．﹣2.6【变式3】运用公式简便计算：•（﹣）2020．7、计算：（1）83x x ÷； （2）3()a a -÷；（3）52(2)(2)xy xy ÷； （4）531133⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【变式1】计算下列各题：（1）5()()x y x y -÷- （2）125(52)(25)a b b a -÷-（3）6462(310)(310)⨯÷⨯ （4）3324[(2)][(2)]x y y x -÷-8、已知32m=，34n=，求129m n+-的值．【变式】已知以ma =2，na =4，ka =32．则32m n ka+-的值为 ．9、下列计算中，正确的是（ ） A ．（0.1）﹣3＝0.0001B ．（2π﹣6.28）0＝1C ．（10﹣5×2）0＝1D ．（2021）﹣1＝2021【变式1】计算：．【变式2】计算：（）﹣2×3﹣1+（π﹣2020）0÷（）﹣1．10、一粒米微不足道，平时总会在饭桌上不经意地掉下几粒米饭，甚至有些挑食的同学会把吃剩的米饭倒掉．针对这种浪费粮食的现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米重约10克．现在请你来计算：（1）一粒大米重约克？（2）按我国现有人口14亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（结果用科学记数法表示）（3）若贫困地区每名儿童每天需0.4千克大米，则（2）节约下来的大米供多少名贫困地区儿童生活一年？（结果用科学记数法表示）【变式1】下列各式正确的是（）A．用科学记数法表示30800＝3.08×105B．（﹣3）0＝1C．用小数表示5×10﹣6＝0.0000005D．【变式2】最小刻度为0.2nm（1nm＝10﹣9m）的钻石标尺，可以测量的距离小到不足头发丝直径的十万分之一，这也是目前世界上刻度最小的标尺，用科学记数法表示这一最小刻度为（）A．2×10﹣8m B．2×10﹣11m C．2×10﹣9m D．2×10﹣10m【随堂小练】1、已知2x＝5，则2x+3的值是（）A．8B．15C．40D．1252、下列各题的计算，正确的是（）A．（a5）2＝a7B．a5•a2＝a10C．2a3﹣3a2＝﹣a D．（﹣ab2）2＝a2b43、目前发现的新冠病毒其直径约为0.00012毫米，将0.00012用科学记数法表示为（）A．0.12×10﹣3B．1.2×10﹣4C．1.2×10﹣5D．12×10﹣34、计算：（1）（a﹣b）2•（b﹣a）3•（b﹣a）；（2）．5、（1）已知a m＝3，a n＝4，求a2m+3n的值；（2）已知9n+1﹣9n＝72，求n的值．6、计算：．7、若a m＝6，a n＝2，求a2m﹣n的值．【巩固练习】1、已知2m＝6，2n＝3，则2m+n＝（）A．2B．3C．9D．182、下列计算正确的是（ ） A ．a 2•a 3＝a 6 B ．x 6÷x 3＝x 2 C ．（﹣xy 2）3＝x 3y 6 D ．（a 2）3＝a 63、用小数表示下列各数： （1）8.5×310-（2）2.25×810-（3）9.03×510-4、计算：（1）﹣b 2×（﹣b ）2×（﹣b 3） （2）（2﹣y ）3×（y ﹣2）2×（y ﹣2）55、计算：．6、已知3a ＝4，3b ＝5，3c ＝8． （1）求3b +c 的值； （2）求32a ﹣3b的值．7、（1）若，求的值．（2）若，求、的值．3335n n x xx +⋅=n ()3915n ma b b a b ⋅⋅=m n。
北师大版七年级幂的运算在我们七年级的数学学习中，幂的运算可是一个非常重要的知识点。
它就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们打开数学世界里很多复杂问题的大门。
首先，咱们来聊聊什么是幂。
幂其实就是几个相同的数相乘的简便表示方法。
比如说，2×2×2×2×2，写起来很麻烦对不对？这时候我们就可以用幂的形式来表示，写成 2 的 5 次方。
其中，2 叫做底数，5 叫做指数，整个“2 的 5 次方”就叫做幂。
接下来，咱们看看幂的运算都有哪些规则。
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
比如说，2 的 3 次方乘以 2的 4 次方，就等于 2 的（3 ＋ 4）次方，也就是 2 的 7 次方。
这个规则很好理解，你可以想象成一堆 2 相乘，再乘以另一堆 2 相乘，那不就是更多的 2 相乘了嘛。
同底数幂相除，底数不变，指数相减。
比如 2 的 5 次方除以 2 的 3次方，就等于 2 的（5 3）次方，也就是 2 的 2 次方。
这就好像是把一堆 2 分成了几小堆 2，剩下的 2 的个数就是指数的差值。
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
比如（2 的 3 次方）的 2 次方，就等于 2 的（3×2）次方，也就是 2 的 6 次方。
这个就像是给一组相同的数相乘又整体乘了几次，那么指数就得相乘。
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
比如（2×3）的 2 次方，就等于 2 的 2 次方乘以 3 的 2 次方。
这些运算规则看起来好像有点复杂，但只要多做几道练习题，就能熟练掌握啦。
咱们来通过几个例子感受一下。
比如计算 3 的 4 次方乘以 3 的 5 次方。
因为是同底数幂相乘，底数3 不变，指数 4 和 5 相加，得到 3 的 9 次方。
再比如计算 4 的 7 次方除以 4 的 4 次方。
同底数幂相除，底数 4 不变，指数 7 减去 4，得到 4 的 3 次方。
还有（5 的 2 次方）的 3 次方，底数 5 不变，指数 2 和 3 相乘，得到 5 的 6 次方。
