三角恒等变换复习(公开课精华)

第29讲三角恒等变换知识梳理知识点一．两角和与差的正余弦与正切①sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；②cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ；③tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=；知识点二．二倍角公式①sin 22sin cos ααα=；②2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-；③22tan tan 21tan ααα=-；知识点三：降次（幂）公式2211cos 21cos 2sin cos sin 2;sin ;cos ;222ααααααα-+===知识点四：半角公式sin 22αα==sin 1cos tan21cos sin aαααα-==+知识点五．辅助角公式)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a （其中abb a a b a b =+=+=ϕϕϕtan cos sin 2222，，）．【解题方法总结】1、两角和与差正切公式变形)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα ±=±；1)tan(tan tan )tan(tan tan 1tan tan ---=++-=⋅βαβαβαβαβα．2、降幂公式与升幂公式ααααααα2sin 21cos sin 22cos 1cos 22cos 1sin 22=+=-=；；；2222)cos (sin 2sin 1)cos (sin 2sin 1sin 22cos 1cos 22cos 1αααααααααα-=-+=+=-=+；；；．3、其他常用变式αααααααααααααααααααsin cos 1cos 1sin 2tan tan 1tan 1cos sin sin cos 2cos tan 1tan 2cos sin cos sin 22sin 222222222-=+=+-=+-=+=+=；；．4、拆分角问题：①=22αα⋅；=(+)ααββ-；②()αββα=--；③1[()()]2ααβαβ=++-；④1[()()]2βαβαβ=+--；⑤()424πππαα+=--．注意：特殊的角也看成已知角，如()44ππαα=--．必考题型全归纳题型一：两角和与差公式的证明例1．（浙江省绍兴市2024学年高一下学期6月期末数学试题）为了推导两角和与差的三角函数公式，某同学设计了一种证明方法：在直角梯形ABCD 中，90B C ∠=∠=︒，1AD =，点E 为BC 上一点，且AE DE ⊥，过点D 作DF AB ⊥于点F ，设BAE α∠=，DAE β∠=.(1)利用图中边长关系DF BE CE =+，证明：()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；(2)若13BE CE ==，求sin 2cos 2αβ+.例2．（2024·辽宁·高一辽宁实验中学校考期中）某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式：①3sin 33sin 4sin θθθ=-；②3cos34cos 3cos θθθ=-根据以上研究结论，回答：(1)在①和②中任选一个进行证明：(2)求值：sin1098 .例3．（2024·全国·高三专题练习）(1)试证明差角的余弦公式()C αβ-：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+；(2)利用公式()C αβ-推导：①和角的余弦公式()C αβ+，正弦公式()S αβ+，正切公式()T αβ+；②倍角公式(2)S α，(2)C α，(2)T α.变式1．（2024·全国·高三专题练习）如图，考虑点(1,0)A ，1(cos ,sin )P αα，2(cos ,sin )P ββ-，(cos(),sin())P αβαβ++，从这个图出发.（1）推导公式：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-；（2）利用（1）的结果证明：1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-，并计算sin 37.5cos 37.5︒︒⋅的值.变式2．（2024·广东揭阳·高三统考期中）在推导很多三角恒等变换公式时，我们可以利用平面向量的有关知识来研究，在一定程度上可以简化推理过程．如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．具体过程如下：如图，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角α，β．它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ，B ．则()cos ,sin OA αα→=，()cos ,sin OB ββ→=，由向量数量积的坐标表示，有cos cos sin sin OA OB αβαβ→→⋅=+．设OA →，OB →的夹角为θ，则cos cos cos cos sin sin OA OB OA OB θθαβαβ→→→→⋅=⋅==+，另一方面，由图（1）可知，2k απβθ=++；由图（2）可知2k απβθ=+-，于是2k αβπθ-=±，k ∈Z ．所以()cos cos αβθ-=，也有()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；所以，对于任意角α，β有：()()cos cos cos sin sin C αβαβαβαβ--=+．此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦值与其差角αβ-的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作C αβ-．有了公式C αβ-以后，我们只要知道cos α，cos β，sin α，sin β的值，就可以求得()cos αβ-的值了．阅读以上材料，利用图（3）单位圆及相关数据（图中M 是AB 的中点），采取类似方法（用其他方法解答正确同等给分）解决下列问题：(1)判断1OC OMOM→→→=是否正确？（回答“正确”，“不正确”，不需要证明）(2)证明：cos cos 2coscos22αβαβαβ+-+=．【解题方法总结】推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式，通过余弦定理或向量数量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路．题型二：两角和与差的三角函数公式例4．（2024·安徽安庆·安徽省桐城中学校考二模）已知ππsin sin()3cos sin 36αααα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则sin(2)6πα+=（）A ．－1B ．C ．12D ．2例5．（2024·福建三明·高三统考期末）已知πsin cos 16θθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则πcos 3θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A B ．C D ．例6．（2024·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）sin 3α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π4β=，则()tan αβ-=（）A ．1B ．3C ．3+D ．3-变式3．（2024·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）设π1tan 44α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（）A ．-2B ．2C ．-4D ．4变式4．（2024·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）已知3πsin ,,π52αα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，若()sin 4cos αββ+=，则()tan αβ+=（）A ．167-B ．78-C ．167D ．23【解题方法总结】两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示αβ±的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．题型三：两角和与差的三角函数公式的逆用与变形例7．（2024·安徽安庆·安庆一中校考模拟预测）已知π3αβ-=，tan tan αβ-=cos()αβ+的值为（）A ．12B ．13C ．14-D ．16-例8．（2024·上海静安·高三校考期中）已知α、β是不同的两个锐角，则下列各式中一定不成立的是（）A ．sin()2cos sin sin()0αβαβαβ+++->B ．cos()2sin sin cos()0αβαβαβ+++-<C ．cos()2sin sin cos()0αβαβαβ+-+->D ．sin()2cos sin sin()0αβαβαβ+-+-<例9．（2024·北京海淀·高三101中学校考阶段练习）已知O 为坐标原点，点123(cos ,sin ),(cos ,sin ),(cos(),sin()),(1,0)P P P A ααββαβαβ-++．给出下列四个结论：①12OP OP = ；②12AP AP = ；③312OA OP OP OP ⋅=⋅ ；④123OA OP OP OP ⋅=⋅ ．其中正确结论的序号是（）A ．①②B ．①④C ．①③D ．③④变式5．（2024·全国·高三专题练习）已知1cos cos 2αβ+=，1sin sin 3-=αβ，则()cos αβ+的值为（）A ．1372-B ．1372C ．5972-D ．5972变式6．（2024·河南平顶山·高三校联考阶段练习）若()()πsin cos 4sin cos3αβαβαβ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，则（）A ．()tan αβ+=B ．()tan αβ+=C ．()tan αβ-=D ．()tan αβ-=变式7．（2024·全国·高三专题练习）已知第二象限角α满足()2sin π3α+=-，则()()sin 22sin cos βαβαβ-+-的值为（）A ．19-B ．9-C ．19D ．9【解题方法总结】运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．题型四：角的变换问题例10．（2024·河南·校联考模拟预测）已知πtan 34θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos 2θ=（）A ．35-B ．35C ．1D ．1-例11．（2024·宁夏·高三六盘山高级中学校考期中）已知tan 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()()sin cos 3cos sin 22αππαππαα++-=⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A ．13-B ．13C ．3-D ．3例12．（2024·江西·校联考二模）已知πsin 4x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则πcos 23x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A．310B．310C．410D．410变式8．（2024·四川·校联考模拟预测）若α为锐角，且π3cos 125α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 3α⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A．10-B．10C．10D．10变式9．（2024·全国·高三专题练习）已知π3ππsin ,3526αα⎛⎫⎛⎫+=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin α的值为（）ABCD变式10．（2024·安徽淮南·统考二模）已知ππ340,π,sin ,cos()2255αβααβ<<<<=+=-，则sin β=（）A ．2425B ．2425-C ．2425-或2425D ．0或2425变式11．（2024·山西晋中·统考三模）已知α，β为锐角，且tan 2α=，()sin 2αβ+=，则cos β=（）A．10-B．10C．10D．10变式12．（2024·山东日照·高三校考阶段练习）已知α，()0,πβ∈，πtan 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭πcos 63β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()cos 2αβ-=（）A ．9-B ．3-C ．9D ．3变式13．（2024·吉林四平·高一四平市第一高级中学校考开学考试）已知412cos ,cos ,,0,,656136πππαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则cos()αβ+=（）A ．1665B ．3365C ．5665D ．6365【解题方法总结】常用的拆角、配角技巧： 2()()ααβαβ=++-；()()ααββαββ=+-=-+；(2)()22αβαββαβαβ+-=-=+-+；()()αβαγγβ-=-+-；154530︒︒︒=-； 424πππαα⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭等．题型五：给角求值例13．（2024222sin183cos 9sin 91-- ）A ．12B ．1C ．2sin 9D ．2例14．（2024sin 40sin80cos 40cos60︒︒⋅=+（）A ．2B ．12-C ．2D ．12例15．（2024·陕西西安·西安中学校考模拟预测）若sin160tan 20λ+= λ的值为（）A ．4B ．C ．D变式14．（2024·全国·高三专题练习）sin10tan10︒︒=（）A ．14B ．4C ．12D ．2变式15．（2024=（）A ．1BCD ．【解题方法总结】（1）给角求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法．（2）给角求值问题的一般步骤①化简条件式子或待求式子；②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手；③将已知条件代入所求式子，化简求值．题型六：给值求值例16．（2024·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）已知2π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=________.例17．（2024·江西·校联考模拟预测）已知sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭______．例18．（2024·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测）若πsin 2cos26αα⎛⎫++= ⎪⎝⎭tan α=__________.变式16．（2024·山东泰安·统考二模）已知sin 3αα=，则5πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭_______.变式17．（2024·全国·高三专题练习）已知πsin 5α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 210α⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________变式18．（2024()π2cos cos cos 4αβαβαβ⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭，则()tan αβ+=________．【解题方法总结】给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式．题型七：给值求角例19．（2024·四川·高三四川外国语大学附属外国语学校校考期中）写出一个使等式cossin222ππcos()sin()2626αααα+=++成立的α的值为_______.例20．（2024·北京·高三专题练习）若实数α∀，β满足方程组12cos 2cos 2sin 2sin αβαβ+=⎧=，则β的一个值是_______.例21．（2024·江西·高三校联考阶段练习）已知cos 5α=，sin 10β=，且π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则αβ+的值是___________.变式19．（2024·上海嘉定·高三校考期中）若,αβ为锐角，()11sin 14ααβ+=-，则角β=__________.变式20．（2024·全国·高三专题练习）已知263ππα<<，sin 4sin cos tan 15315315πππππαα⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭α=______．变式21．（2024·全国·高三专题练习）已知3sin 45410ππαβ⎛⎫⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且3,,0,444πππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求αβ-的值为_____．变式22．（2024·全国·高三专题练习）已知()sin 27αβ+=，()11cos 214αβ+=-，,42⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππα，,04πβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则αβ-=________．【解题方法总结】给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角．题型八：正切恒等式及求非特殊角例22．（2024·全国·高三对口高考）tan15tan 30tan15tan 30++⋅︒︒︒︒的值是__________.例23．（2024·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考期中）已知α，β满足()()1tan 1tan 2αβ+-=，则βα-=______．例24．（2024·江苏南通·高三校考期中）在ABC 中，若tan tan tan A B A B +=，则tan 2C =_________.变式23．（2024·全国·高三专题练习）tan50tan20tan20︒︒-︒︒=____________．变式24．（2024·山东·高三济宁市育才中学校考开学考试）若角α的终边经过点()sin 70,cos70P ︒︒，且tan tan 2tan tan 2m αααα++⋅，则实数m =___________.变式25．（2024·上海金山·高一华东师范大学第三附属中学校考阶段练习）若,A B 是ABC ∆的内角，且(1tan )(1tan )2A B ++=，则A B +等于______.变式26．（2024·全国·统考模拟预测）若α，β为锐角，且4παβ+=，则()()1tan 1tan αβ++=__________；()()()()1tan11tan 21tan 31tan 45++++= __________变式27．（2024·全国·高三专题练习）已知π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos sin tan cos sin x xy x x+=-，则（）A ．π4y x -=B ．π24y x -=C ．π2y x -=D ．π22y x -=【解题方法总结】正切恒等式：当A B C k π++=时，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅．证明：因为tan tan tan()1tan tan A BA B A B++=-，tan tan ()C A B =-+，所以tan tan tan (1tan tan )A B C A B +=--故C B A C B A tan tan tan tan tan tan ⋅⋅=++．题型九：三角恒等变换的综合应用例25．（2024·陕西咸阳·校考二模）已知函数()()2cos sin cos 1,f x x x x x =-+∈R (1)求函数()f x 的对称轴和对称中心；(2)当π3π,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域．例26．（2024·上海松江·高三上海市松江二中校考阶段练习）已知())3cos cos2f x xx x =-+.(1)求()f x 在[]0,π上的单调递减区间；(2)若()2π5π,,536f αα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，求sin2α的值.例27．（2024·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知函数()2sin sin cos 1f x x x x =+-．(1)求()f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最大值，并求当()f x 取得最大值时x 的值．变式28．（2024·全国·高三对口高考）已知函数()o s i 4n πc f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；(1)若在ABC 中，2BC =，AB =π04f A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的角B ．(2)求()f x 在区间π17π,224⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围；变式29．（2024·全国·高三对口高考）已知()()21sin 2,02R f x x x x ωωω∈=+->．若()f x 的最小正周期为2π．(1)求()f x 的表达式和()f x 的递增区间；(2)求()f x 在区间π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【解题方法总结】（1）进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．（2）形如sin cos y a x b x =+化为)y x ϕ=+，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性。