【公开课】三角恒等变换(一)

， §3.2 简单的三角恒等变换（一）学习目标：⒈熟练掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式的正用、逆用．⒉能灵活应用和（差）角公式、二倍角公式进行简单三角恒等变形．教学重点：以推导积化和差、和差化积、半角公式作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．教学方法：讲练结合． 教具准备：多媒体投影． 教学过程：（Ⅰ）复习引入：师：前面一段时间，我们学习了三角函数的和（差）角公式、二倍角公式等十一个公式，请同学们默写这些公式．生：（默写公式）．师：学习了上述公式以后，我们就有了研究三角函数问题的新工具，从而使三角函数的内容、思路和方法更加丰富，为我们提高推理、运算能力提供了新的平台本节课我们将利用已有的这十一个公式进行简单的三角恒等变换，了解三角恒等变换在数学中的应用．（Ⅱ）讲授例题：例 1 试以cos 表示sin 2 ， c os 2 tan 2 ． 2 2 2 分析：是的二倍角，因此在仅含的正弦、余弦的二倍角公式C 中， 2 以代替就可以得到sin 2 、cos 2 (2) 2 得tan 2 ．2解：略．，然后运用同角三角函数的基本关系可 2 2 师：例 1 的结果还可以表示为：sin = ± 1- c os， c os = ± 1+ c os ， t an = ± 1- cos ， 2 2 2 2 2 1+ cos 有些书上称之为半角公式，其符号由角终边的位置确定．2师：由例题 1 和以往的经验，你认为代数式变换与三角变换有什么不同？ 生：代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．三角恒等变换常常首先 寻找式子所包含的角之间的联系．师：由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此以式子所包含的角之间的关系为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的特点．例 2 求证：⑴sin cos = 1 [sin(+ ) + sin(- )]；2 ⑵sin + sin = 2 sin + - cos ． 2 2 分析：对于⑴我们可以从其中右式出发，利用和（差）的正弦公式展开、合并即可得出左式．我们也可以从两个式子结构形式的不同点考虑，发现sin cos 与和（差）的正弦公式之间的联系．记sin cos = x ， cos sin = y ， 则有 x + y = sin(+ ) ， x - y = sin(- ) ，由此解出 x ，即求出了sin cos ． ⑵的证明可以直接利用⑴的结果，令+ =，- =，解出、后 代如即可．证明：略师：在此例中，如果不利用⑴的结果，怎样证明⑵？大家可以从角与角之间的关系入手考虑． 生：将= + - + - + ，= - 2 2 2 2 代入左边，然后利用和（差）的 正弦公式展开、合并即可得出右式．师：在例2 的证明中，把sin cos 看成 x ， cos sin 看成 y 把等式看作 x ，y 的方程，通过解方程组求得 x ，是方程思想的体现；把+ 看作，-看作，从而把包含、的三角函数式变换成、的三角函数式，是换元思想的应用．（Ⅲ）课后练习：课本 P 155 练习（Ⅳ）课时小结:⑴对于例 1 和例 2，不应只看重它的结果，而要从得到结果的过程中体会三角恒等变换的途径和思想方法．⑵进行三角恒等变换的大致过程是：分析题意，明确思维起点；选择公式， 把握思维方向；实施变换，运用数学思想．（Ⅴ）课后作业：⒈课本 P 156 习题 3.2 A 组 ⒈⑵⑶⑸⑹⑻ B 组 ⒈⒉预习课本 P 154 ～ P 155 ，思考问题：形如 y = a sin x + b cos x 的函数怎样转化为 y = A sin(x +) 的形式？转化过程体现了怎样的思想？板书设计：教学后记: §3.2 简单的三角恒等变换（一） 例 1 例 2 小结预习提纲。

简单的三角恒等变换（一）主讲教师：苏怀堂【知识概述】三角恒等变换常用的三角基本公式sin()sin cos cos sin sin()sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ+=+-=- cos()cos cos sin sin cos()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=--=+ tan tan tan()1tan tan tan tan tan()1tan tan αβαβαβαβαβαβ++=---=+ 22222sin 22sin cos cos 2cos sin 2cos 112sin 2tan tan 21tan ααααααααααα==-=-=-=-221cos 2sin 21cos 2cos 2αααα-=+=【学前诊断】1．[难度] 易设(π,2π)α∈1cos(π)2α-+ ）. A ．sin 2αB.cos 2αC .sin 2α- D .cos 2α-2．[难度] 易已知1cos ,54072023αα=<<o o ，则sin _____4α=.3．[难度] 中求函数44cos sin y x x =-的最值.【经典例题】例1．求225ππ5ππcos cos cos cos 12121212++的值．例2．已知1cos()cos sin()sin 3αββαββ+++=且3π,2π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 求πcos 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.例3．已知11cos cos ,sin sin 23αβαβ+=+=，求()cos αβ-的值.例4．已知tan ,tan αβ 是方程2830x x --=的两根，试求2sin ()3sin()cos()αβαβαβ+-++的值.例5．求证：（1）()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （2）sin sin 2sin cos 22θϕθϕθϕ+-+=. 例6．已知()()sin sin 1m m ααβ=+>，求证：()sin tan cos mβαββ+=-.例7．求函数66sin cos y αα=+的最值.例8．求函数2cos cos 2y x x =-+的最小值.【本课总结】1.三角函数的求值问题，关键是三角公式的灵活运用，要特别关注角的变换、常值代换等方法的运用.2. 三角恒等式的证明，要特别注意角的变换，以及方程思想、换元思想的运用.如果函数名称较多，可通过切化弦等手段化简.3.求三角函数最值常用的方法是：配方法、判别式法、变量代换法、三角函数的单调性和有界性等.基本思想是将三角函数的最值转化为代数函数的最值.【活学活用】1．[难度] 易若△ABC 的角满足 2sin 23A =，则sin cos A A +等于( ).A B ． C ．53 D ．53-2. [难度] 易_____=3. [难度] 中 已知1sin cos ,(0,π)5x x x +=-∈，求 tan x 的值.。