《简单的三角恒等变换第2课时》公开课教学PPT课件【高中数学必修4(北师大版)】

第三页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
[对点训练] 已知 sinα2－cosα2＝－ 15，450°<α<540°，求 tanα2的值．
解：由题意得sinα2－cosα22＝15， 即1－sin α＝15，得sin α＝45. ∵450°<α<540°，∴cos α＝－35， ∴tanα2＝1－sincoαs α＝1－4－35＝2.
∴sin θ2＜0.由cos θ＝1－2sin2θ2，得
sin θ2＝－
1－cos 2
θ＝－
1＋15×12＝－
15 5.
第十三页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
2．化简 2＋cos 2－sin21的结果是
A．－cos 1
B．cos 1
C. 3cos 1
D．－ 3cos 1
()
解析：选 C 原式＝
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的 名称，如统一为弦或统一为切．
(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变 形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．
第七页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
[对点训练] 化简：
(1) 1＋sin θ－ 1－sin θ32π<θ<2π；
(2)sins2inα＋α β－2cos(α＋β)．
＝
2cos2x2 x
x＝1＋sincoxsn2cos2
第十二页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
1．已知cos θ＝－15，52π＜θ＜3π，那么sin θ2等于( )
10 A. 5
【练习反B馈．】－
10 5
15 C. 5 解析：选 D
∵52π＜θ＜3πD，．∴－54π51＜5 θ2＜32π，

例2 把下列各式化成和或差的形式．
(1)2sin 64°cos 10°；
(2)sin 80°cos 132°；
(3)cos
π6பைடு நூலகம்os
π；
4
(4)sin 2sin 1.
方法归纳 积化和差公式可以把某些三角函数的积化为和或差的形式．需要注 意三角函数名称的变化规律．
跟踪训练2 (1)sin 15°cos 165°的值是( )
6°.
(3)sin
15°＋sin
35°＝2sin
15°+235°cos
15°−35° 2
＝2sin 25°cos (－10°)＝2sin 25°cos 10°.
(4)sin
6x－sin
2x＝2cos
6x+22xsin
6x−2x 2
＝2cos 4x sin 2x.
方法归纳 套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，有时函数不同名，要 先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来．
A．14
B．12
C．－14
D．－12
答案：C
解析：sin 15°cos 165°＝12[sin (15°＋165°)＋sin (15°－165°)]＝12sin 180°－12sin 150°＝－14.
(2)sin
π+α
4
cos
π+β
4
化成和差的形式为(
)
A．12sin (α＋β)＋12cos (α－β)
B．12cos (α＋β)＋12sin (α－β)
C．12sin (α＋β)＋12sin (α－β)
D．12cos (α＋β)＋12cos (α－β)
答案：B

(或 asin x+bcos x= + cos(x-θ)).
.
2.在上述化简过程中,如何确定θ所在的象限?
提示:θ所在的象限由a和b的符号确定.
3.辅助角公式 asin x+bcos x= + sin(x+φ)= + cos
(x-θ).其中 cos φ=

+
+1,





-
∴f(x)的最小正周期为 T= =π.
-

+1
(2)当 f(x)取得最大值时,sin -
=1.
故 2x- =2kπ+(k∈Z),即 x=kπ+(k∈Z).
因此,所求 x 的取值集合为
= +

,∈ .
探究四 三角恒等变换在实际问题中的应用
【例4】 如图,要把半径为R的半圆形木料截成长方形,应怎样
截取,才能使△OAB的周长最大?
解:设∠AOB=α,△OAB的周长为l,
则AB=Rsin α,OB=Rcos α.
∴l=OA+AB+OB=R+Rsin α+Rcos α
=R(sin α+cos α)+R= Rsin + +R.
∵0<α<,∴<α+ <
∴当 α+ = ,

.
即 α=时,l 取得最大值 R+R=( +1)R.
公式,若用α替换2α,则结果怎样?
提示:结果是 cos

2
α=2cos -1



2
2

∴0< α +β < ,∴ α +β = .
恒等式的证明 已知 5sin α=3sin(α-2β),求证:tan(α-β)+4tan β=0.
【解析】因为 5sin α =3sin(α -2β ), 所以 5sin[(α -β )+β ]=3sin[(α -β )-β ], 所以 5sin(α -β )cos β +5cos(α -β )sin β =3sin(α -β )cos β -3cos(α -β )sin β , 所以 2sin(α -β )cos β +8cos(α -β )sin β =0, 即 tan(α -β )+4tan β =0.
(������������������������+������������������������-������)(������������������������-������������������������+������)
=
������+������������������������ ������������������������
cos
������- ������
∴sin = cos ∴cos =
������ ������ ������ ������ ������������ ������
������ ������-������ ������
=4sin cos ,
������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������
,或右边变同于左边,或将左右都进行变换使其左右相等.
问题3 三角恒等变换有哪些技巧?
(1)常值的代换:如“1”的代换就是一种特殊的常值

思考6：参照上述分析，cosα cosβ ， sinα sinβ 分别等于什么？其变换功能 如何？
1 c o sc a o s b = c o s ( ab ++ )c o s ( ab -) [ ] 2
1 s i n a s i n b = -[ c o s ( ab +)c o s ( ab -) ] 2
作业： P143习题3.2A组： 1(5)(6)(7)(8) ，2，3，4，5.
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。 26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。 27、生活中没有理想的人，是可怜的。 28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。 29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。 30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。 31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。 32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。——荀况 33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。 34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。 35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。 36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。 37、理想的书籍是智慧的钥匙。 人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。—— 鲁 迅 2 人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。 —— 席慕蓉 3 做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。—— 萧楚女 4 所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。—— 鲁 迅 5 人类的希望像是一颗永恒的星，乌云掩不住它的光芒。特别是在今天，和平不是一个理想，一个梦，它是万人的愿望。—— 巴 金 6 我们是国家的主人，应该处处为国家着想。—— 雷 锋 7 我们爱我们的民族，这是我们自信心的源泉。—— 周恩来 8 春蚕到死丝方尽，人至期颐亦不休。一息尚存须努力，留作青年好范畴。—— 吴玉章 9 学习的敌人是自己的满足，要认真学习一点东西，必须从不自满开始。对自己，“学而不厌”，对人家，“诲人不倦”，我们应取这种态度。—— 毛泽东 10 错误和挫折教训了我们，使我们比较地聪明起来了，我们的情就办得好一些。任何政党，任何个人，错误总是难免的，我们要求犯得少一点。 犯了错误则要求改正，改正得越迅速，越彻底，越好。—— 毛泽东 38、理想犹如太阳，吸引地上所有的泥水。 9．君子欲讷于言而敏于行。 ——《论语》 译：君子不会夸夸其谈，做起事来却敏捷灵巧。 10．二人同心，其利断金；同心之言，其臭如兰。 ——《周易》 译：同心协力的人，他们的力量足以把坚硬的金属弄断；同心同德的人发表一致的意见，说服力强，人们就像嗅到芬芳的兰花香味，容易接受。 11．君子藏器于身，待时而动。 ——《周易》 译：君子就算有卓越的才能超群的技艺，也不会到处炫耀、卖弄。而是在必要的时刻把才能或技艺施展出来。 12．满招损，谦受益。 ——《尚书》 译：自满于已获得的成绩，将会招来损失和灾害；谦逊并时时感到了自己的不足，就能因此而得益。 13．人不知而不愠，不亦君子乎？ ——《论语》 译：如果我有了某些成就，别人并不理解，可我决不会感到气愤、委屈。这不也是一种君子风度的表现吗？知缘斋主人 14．言必信 ，行必果。 ——《论语》 译：说了的话，一定要守信用；确定了要干的事，就一定要坚决果敢地干下去。 15．毋意，毋必，毋固，毋我。 ——《论语》 译：讲事实，不凭空猜测；遇事不专断，不任性，可行则行；行事要灵活，不死板；凡事不以“我”为中心，不自以为是，与周围的人群策群力，共同完成任务。 16．三人行，必有我师焉，择其善者而从之，其不善者而改之。——《论语》 译：三个人在一起，其中必有某人在某方面是值得我学习的，那他就可当我的老师。我选取他的优点来学习，对他的缺点和不足，我会引以为戒，有则改之。 17．君子求诸己，小人求诸人。 ——《论语》 译：君子总是责备自己，从自身找缺点，找问题。小人常常把目光射向别人，找别人的缺点和不足。很多人（包括我自己）觉得面试时没话说，于是找了一些名言，可以在答题的时候将其穿插其中，按照当场的需要或简要或详细解释一番，也算是一种应对的方法吧 1．天行健，君子以自强不息。 ——《周易》 译：作为君子，应该有坚强的意志，永不止息的奋斗精神，努力加强自我修养，完成并发展自己的学业或事业，能这样做才体现了天的意志，不辜负宇宙给予君子的职责和才能。 2．勿以恶小而为之，勿以善小而不为。 ——《三国志��

2、能力目标：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的 数学“建模”思想,从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、 抽象概括等能力．
3、情感目标：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决 实际问题中的价值和作用，从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不 舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神。
所为以使后M 楼C 不 被ta 前h n 0楼c遮挡tan ，3 h 要6 0留34 出' 相1 当.3与5h 楼0即高在1.盖35楼倍时的，间距。
h0
15米
P
A
B
C
11
将实际问题抽象为三角函数模型的一般步聚:
理解题意
建立三角 函数模型
求解
还原解答
12
例题3
一半径为3m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2m， 已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上点P从水中浮现时 开始计算时间。 （1）将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数； （2）点P第一次到达最高点大约要多长时间？
3
.因为 0
2
,所以 0.73y .
故所求函数关系式为 z3sin(2t0.73)2 .
15
(2)令z3sin(2t0.73)25,得sin(2 t 0.73)1 .
15
15
取 2 t 0.73 ,解得 t 5.5 .
15
2
即点P第一次到达最高点大约要5.5S.
x
14
小结:
1.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学 模型,可以用来研究很多问题,我们可以通过建立三角函 数模型来解决实际问题,如天气预报,地震预测,等等.
90
太阳光
9 0
90||
90||

号决定，φ 与点(a，b)同象限.( √ )
3.sin x＋ 3cos x＝2sinx＋π6.( × )
提示
sin x＋
3cos
x＝212sin
x＋
3 2 cos
x＝2sinx＋π3.
2 题型探究
PART TWO
题型一 应用半角公式求值
例1
已知 sin θ＝45，52π<θ<3π，求 cos
2θ和 tan
要证原式，可以证明11＋ ＋ssiinn
4θ－cos 4θ＋cos
44θθ＝1－2tatnanθ2θ.
∵左边＝sin sin
4θ＋1－cos 4θ＋1＋cos
4θ＝ 2sin 4θ 2sin
2θcos 2θcos
2θ＋2sin22θ 2θ＋2cos22θ
＝ 2sin 2cos
2θcos 2θsin
2θ＋sin 2θ＋cos
知识点二 辅助角公式
辅助角公式：
asin x＋bcos x＝
a2＋b2sin(x＋θ).其中tan
θ＝ba
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.若 α≠kπ，k∈Z，则 tan
α2＝1＋sicnoαs
1－cos α
＝ α
sin α
恒成立.(
√
)
2.辅助角公式 asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)，其中 φ 所在的象限由 a，b 的符
跟踪训练 2
1－sin 化简：
α－cos
αsin
α2＋cos
α 2(－π<α<0).
2－2cos α
解

第四页，共50页。
3.计算tan22.5°=________. 【解析(jiě xī)】tan22.5°= 答案: -1
第五页，共50页。
4.若
=________.
【解析】因为(yīn wèi)
所以
答案:
第六页，共50页。
5.化简:
=________.
【解析(jiě xī)】原式=
答案:
第七页，共50页。
答案:-cos 2
第二十四页，共50页。
2.(变换条件(tiáojiàn))典例1中若将条件(t3iáojiàn)“ <θ<2π”改为“π<θ< ” 3
结果如何?
2
2
第二十五页，共50页。
【解析( jiě xī)】原式= 因为 故 又 故原式= 答案:2cos
2
第二十六页，共50页。
【方法技巧(jìqiǎo)】利用半角(倍角)公式化简三角函数的要求及方法 (1)对于三角函数式的化简有下面的要求: ①能求出值的应求出值.②使三角函数种数尽量少.③使三角函数式中的项数尽量 少.④尽量使分母不含有三角函数.⑤尽量使被开方数不含三角函数. (2)化简的方法: ①弦切互化,异名化同名,异角化同角.②降幂或升幂.
【延伸探究】典例2中f(x)在区间 上的最大值和最小值是什么?
【解析】因为(yīn wèi)
所以
所以f(x)在区间
上的最大值为2,最小值为-1.
[0, ] 2
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【方法技巧】较复杂三角函数性质(xìngzhì)问题研究流程
第三十八页，共50页。
【变式训练】函数y=-acos2x- as3in2x+2a+b,x∈ 值域是[-5,1],求常数(chángshù)a,b的值. 【解析】y=-a( s3in2x+cos2x)+2a+b

电磁学
在电磁学中，三角恒等变换可以用来描述电场和 磁场的变化规律。
光学
在光学中，三角恒等变换可以用来描述光的干涉 和衍射等现象。
05
总结与展望
总结
内容详尽
该PPT详细讲述了三角恒等变换的基本概念、公式和技巧，内容 全面且易于理解。
实用性强
通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握三角恒等变换的运用， 提高解题能力。
揭示函数性质
通过三角恒等变换，可以 进一步揭示三角函数的性 质和特点，为研究三角函 数提供有力的工具。
三角恒等变换的应用
解析几何
在解析几何中，常常需要 用到三角恒等变换来研究 点、线、圆等几何对象的 性质和位置关系。
微积分
在微积分中，三角恒等变 换被广泛应用于解决与极 坐标有关的问题，如计算 面积、体积等。
等变换的应用。
感谢您的观看
THANKS
总结词
利用泰勒级数展开式，将一个函数展开成幂级数形式。
详细描述
泰勒级数展开式是一种将一个函数展开成幂级数形式的方法。通过选择不同的幂级数展开式，我们可以得到不 同的形式的结果。在三角恒等变换中，我们常常利用泰勒级数展开式来进行幂级数展开式的计算，从而得到我 们需要的结论。
04
三角恒等变换在解题中的 应用
在几何中的应用
证明三角形全等
利用三角恒等变换可以证明两 个三角形全等，从而得出它们
的对应边和对应角相等。
计算角度和长度
通过三角恒等变换，可以计算出 三角形中的角度和边的长度，以 及三角形的高和中线等。
证明平行和垂直
利用三角恒等变换可以证明两条直 线平行或垂直，从而得出线段之间 的比例关系。
在代数中的应用
积化和差与和差化积公式可以将两个角度的积与和差表示为只含有一个角度的三角函数形式。积化和 差与和差化积公式可以用于解决一些涉及两个不同角度的乘积或和差的问题，例如求两个角的积、证 明恒等式等。

例3 已知3sin2 2sin2 1，3sin 2 2sin 2 0 且，为锐角，试求＋2的值。
提示：
3sin2 2sin2 1
3sin 2 2sin 2 0
3sin2 cos 2
3sin cos sin 2
练习
1、设f (tan x) tan 2x，求f (2)；
(1 tanαtanβ)= tan tan tan( )
二 sin 2 2sin cos
倍 角
cos 2 cos2 sin2
公 式：
tan 2
2 tan 1 tan2
R
R
k
2
4
,且
k
2
，k Z
cos 2 2cos2 1
cos 2 1 2sin2
引申：公式变形：
1 sin2 (sin cos )2
T
:
tan
tan tan 1 tan tan
变形：
tanα+tanβ= tan(α+β)(1-tanαtanβ)
tanα-tanβ= tan(α-β)(1+tanαtanβ)
tan tan tan( )tan tan tan( )
tan tan tan( )tantan tan( )
三角恒等变形
知识回顾
差角公式
S : sin sin cos cossin
C : cos cos cos sin sin
T
:
tan
1
tan tan
tan tan
和角公式
S : sin sin cos cossin
C : cos cos cos sin sin
1 cos2 2cos2