《三角恒等变换》新人教版课件
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人教高中数学A必修一《三角恒等变换》三角函数PPT课件(第1课时两角差的余弦公式)
1．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝sin 16°，
＝( )
∴原式＝cos 76°cos 16°＋sin
A．
3 2
C．－
3 2
B．12 D．－12
76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60° ＝12.]
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2．cos(－15°)的值是( )
A.
6－ 2
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37
2．已知 α 为锐角，β 为第三象限 角，且 cos α＝1123，sin β＝－35，则 cos(α －β)的值为( )
A [∵α为锐角，cos α＝1123， ∴sin α＝ 1－cos2α＝153，
A．－6635
B．－6353
∵β为第三象限角，sin β＝－35，
C.6635
D.6353
12
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③12cos
15°＋
3 2 sin
15°
＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°
＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝ 22.
13
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14
1．解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是： (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值． (2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构 形式，然后逆用公式求值． 2．两角差的余弦公式的结构特点： (1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦． (2)把所得的积相加．
系和公式 C(α－β)求 cos(α－β)． (2)由已知角π3＋α 与所求角 α 的关系即 α＝π3＋α－π3寻找解题思路．
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19
(1)D [因为sin α－sin β＝1－ 23，
5.5 三角恒等变换 课件(21张PPT)(2024年)
2
α是 的二倍角,
2是的二倍角，在倍角公式cos 2α=1－2sin2α中，利用换
元法，
用代替2，用
2
代替，得
cos α=1－2sin2
2
1－
2
=
2
2
新知探究
同理，在倍角公式cos
2
2α=2cos α－1中，用代替2，用
cos
2
α=2
2
−1
2
1+
(1)sin αcos β＝
2
(2)sin θ＋sin φ=2sin θ＋φcos θ－φ
2
2
思考1:(2)式与(1)式有什么相同点和不同点？
θ＋φ
θ－φ
(换元法)如果我们令α＝
，β＝
,
2
2
θ＋φ θ－φ
θ＋φ θ－φ
即α＋β＝
+
= ，α－β＝
=φ，代入(1)中得
2
2
2
2
θ＋φ
θ－φ
2sin
cos
＝sin θ＋sin φ
(＋)＋(－)
同理，我们还可以得到公式
cos αsin
cos αcos
1
β＝
2
1
β＝
2
(＋)－(－)
(＋)＋(－)
1
2
sin αsin β＝ (－)－(＋)
我们把以上四个公式叫做“积化和差公式”
例2、求证：
1
[sin(α＋β)＋sin(α－β)]
2
2
2
， 2 ，2 .
新知探究
例1、试以cos α表示2
三角恒等变换-PPT教学课件人教A版高中数学
邢
启 强
3
复习引入
3. 余弦函数的倍角公式变形:
cos 2 1 2sin2
12sin2cos2
2sin21cos2
sin21cos2
2
sin 1cos2
讲
课 人 ： 邢
2
启 强
4
复习引入
3. 余弦函数的倍角公式变形:
cos 2 2cos2 1 cos 2 1 2cos2
2cos2 1 cos 2
2sinAB2cosAcosB
2
22
2cosC 22cosA 2cosB 24cosA 2cosB2cosC 2
16
巩固练习 人教版高中数学新教材必修第一册课件：5.5.2简单的三角恒等变换 (2份打包)
教材P226练习第1、2、3题.
讲 课 人 ： 邢 启 强
人教版高中数学新教材必修第一册课 件：5.5 .2简单 的三角 恒等变 换 (2份打包)
C
BP
14
典型例题 人教版高中数学新教材必修第一册课件：5.5.2简单的三角恒等变换 (2份打包)
例4. 已知A+B+C=180°, 求证： sinA sinB sin C 4cosAcosBcosC 222
证明：因为A+B+C=180°, 所以
C=180°－(A+B),
C 90 AB
2
2
sinA+sinB+sinC 2sinA BcosA Bsin(A B )
例3.
如图，
记∠COP＝，求当角
取何值时，矩形ABCD的
面积最大？并求出这个
最大面积.
3
O
Q
D
三角恒等变换课件
解答
根据三角函数的基本关系式，我们有 $cos^2theta = 1 - sin^2theta$，代入 $sintheta = -frac{2}{3}$， 得到 $cos^2theta = 1 - left(-frac{2}{3}right)^2 = 1 - frac{4}{9} = frac{5}{9}$，所以 $costheta = sqrt{frac{5}{9}} = frac{sqrt{5}}{3}$。再根据 $tantheta = frac{sintheta}{costheta}$，得到 $tantheta = frac{-frac{2}{3}}{frac{sqrt{5}}{3}} = sqrt{frac{2}{5}} = -frac{sqrt{10}}{5}$。
举例
利用诱导公式，将cos(π/2 - x) 转换为sin(x)，通过角度的变换
简化表达式。
函数名称的变换
总结词
通过改变函数名称来简化表达式。
详细描述
在三角恒等变换中，有时可以通过改变函数名称来简化表达式。例如，将cos(x)转换为sin(-x)，或将sin(x)转换为 cos(π/2 - x)等。这种变换通常基于三角函数的性质和恒等式。
三角恒等变换课件
目录
• 三角恒等变换概述 • 三角恒等变换的基本公式 • 三角恒等变换的技巧 • 三角恒等变换的实例解析 • 三角恒等变换的习题与解答
01
三角恒等变换概述
定义与性质
定义
三角恒等变换是数学中一种重要 的变换方法，通过代数运算将一 个三角函数式转换为另一个三角 函数式。
性质
三角恒等变换具有一些重要的性 质，如线性性质、乘积性质、幂 的性质等，这些性质在变换过程 中起着重要的作用。
《三角恒等变换》演示课件人教版1
《 三 角 恒 等 变换》 演示课 件人教 版1
《 三 角 恒 等 变换》 演示课 件人教 版1
2. 二倍角公式:
变形
si2 n 2sic n os
(sincos)2
1si2n
co 2 sc2 o ssi2 n
12sin2 变形
2cos21 变形
sin21cos2
2
cos21cos2
2
tan212ttaann2
C
S S
C
C 2
C S
22
S 2
T
T2
T
2
T
《 三 角 恒 等 变换》 演示课 件人教 版1
2、辅助角公式
这个公式
有什么作
asixnbcoxs
用？
a2 b2
(
a six n a2b2
b cox)s
a2b2
a2 b2 (co sis xn sin co x)s
a2 b2 sinx().
其 由 中 sin b ， co s a 确 . 定
a2b2
a2b2
说明：
利用辅助角公式可以将形如 y=asin+bcos的函
数，转化为一个角的一种三角函数形式。便于后面求三 角函数的最小正周期、最大（小）值、单调区间等。
《 三 角 恒 等 变换》 演示课 件人教 版1
《 三 角 恒 等 变换》 演示课 件人教 版1
tan2.
ta n ) (2 , ta n 2 ) ( tan )[ ( ] tan )[ ( ]
1tat an n(())ttaann3 4.
《 三 角 恒 等 变换》 演示课 件人教 版1
《 三 角 恒 等 变换》 演示课 件人教 版1
《 三 角 恒 等 变换》 演示课 件人教 版1
2. 二倍角公式:
变形
si2 n 2sic n os
(sincos)2
1si2n
co 2 sc2 o ssi2 n
12sin2 变形
2cos21 变形
sin21cos2
2
cos21cos2
2
tan212ttaann2
C
S S
C
C 2
C S
22
S 2
T
T2
T
2
T
《 三 角 恒 等 变换》 演示课 件人教 版1
2、辅助角公式
这个公式
有什么作
asixnbcoxs
用？
a2 b2
(
a six n a2b2
b cox)s
a2b2
a2 b2 (co sis xn sin co x)s
a2 b2 sinx().
其 由 中 sin b ， co s a 确 . 定
a2b2
a2b2
说明：
利用辅助角公式可以将形如 y=asin+bcos的函
数，转化为一个角的一种三角函数形式。便于后面求三 角函数的最小正周期、最大（小）值、单调区间等。
《 三 角 恒 等 变换》 演示课 件人教 版1
《 三 角 恒 等 变换》 演示课 件人教 版1
tan2.
ta n ) (2 , ta n 2 ) ( tan )[ ( ] tan )[ ( ]
1tat an n(())ttaann3 4.
《 三 角 恒 等 变换》 演示课 件人教 版1
《 三 角 恒 等 变换》 演示课 件人教 版1
高中数学(新人教A版)必修第一册：简单的三角恒等变换【精品课件】
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表
回答问题。
知识清单
1．半角公式
2.辅助角公式
asin x＋bcos x＝
a2＋b2sin(x＋θ)
b
(其中 tan θ＝a)．
小试牛刀
α
1．已知 180°＜α＜360°，则 cos 的值等于(
2
A．－
1－cos α
2
1＋cos α
2
B．
θ
又 cos2＝a，
θ
∴sin4＝－
答案：D
θ
1－cos
2
2 ＝－
1－a
2 .
解题方法（利用半角公式化简求值）
1．化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等
手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦
解:在 Rt△OBC中, OB=cos, BC=sin
DA
在Rt△OAD中,
tan 60 3
OA
3
3
3
DA
BC
sin
3
3
3
3
AB OB OA cos
sin
3
设矩形ABCD的面积为S,则
OA
3
S AB • BC cos sin sin
将①②两个等式的左右两边分别相除，得2 =
例 7 的结果还可以表示为
1－cos α
α ±
2
sin ＝__________________，
高一数学人教A版必修第一册三角恒等变换课件
（2）含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，
再利用两角差的余弦公式求解．
（3）求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊
角的差，然后利用两角差的余弦公式求解．
跟踪训练 1 求值： （1）cos 15°＝________； （2）cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°＝________.
跟踪训练 3 已知 α，β 均为锐角，且 sin α＝255，sin β＝ 1100，
则 α－β＝________.
解析：因为 α，β 均为锐角，所以 cos α＝ 55，cos β＝31010.
所以 cos(α－β)＝cos α·cos β＋sin α·sin β
＝
55×3 1010＋2 5 5×
题型一 给角求值[教材 P219 例 4]
例 1 利用和(差)角公式计算下列各式的值：
（1）sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°；
（2）cos 20°cos 70°－sin 20°sin 70°；
（3）11＋－ttaann
15° 15°.
【解析】 （1）由公式 S(α－β)，得
1155°°＝1t－ant4an5°4＋5°ttaann1155°°＝tan(45°＋15°)＝tan
60°＝
3.
和、差角公式把 α±β 的三角函数式转化成了 α，β 的三 角函数式．如果反过来，从右到左使用公式，就可以将上述 三角函数式化简．
教材反思
解决给角求值问题的方法 （1）对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整 体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形， 否则进行各局部的变形． （2）一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化 为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时 要逆用或变用公式．
三角恒等变换简单的三角恒等变换ppt
电磁学
在电磁学中，三角恒等变换可以用来描述电场和 磁场的变化规律。
光学
在光学中，三角恒等变换可以用来描述光的干涉 和衍射等现象。
05
总结与展望
总结
内容详尽
该PPT详细讲述了三角恒等变换的基本概念、公式和技巧，内容 全面且易于理解。
实用性强
通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握三角恒等变换的运用， 提高解题能力。
揭示函数性质
通过三角恒等变换，可以 进一步揭示三角函数的性 质和特点，为研究三角函 数提供有力的工具。
三角恒等变换的应用
解析几何
在解析几何中，常常需要 用到三角恒等变换来研究 点、线、圆等几何对象的 性质和位置关系。
微积分
在微积分中，三角恒等变 换被广泛应用于解决与极 坐标有关的问题，如计算 面积、体积等。
等变换的应用。
感谢您的观看
THANKS
总结词
利用泰勒级数展开式，将一个函数展开成幂级数形式。
详细描述
泰勒级数展开式是一种将一个函数展开成幂级数形式的方法。通过选择不同的幂级数展开式，我们可以得到不 同的形式的结果。在三角恒等变换中，我们常常利用泰勒级数展开式来进行幂级数展开式的计算，从而得到我 们需要的结论。
04
三角恒等变换在解题中的 应用
在几何中的应用
证明三角形全等
利用三角恒等变换可以证明两 个三角形全等，从而得出它们
的对应边和对应角相等。
计算角度和长度
通过三角恒等变换，可以计算出 三角形中的角度和边的长度，以 及三角形的高和中线等。
证明平行和垂直
利用三角恒等变换可以证明两条直 线平行或垂直，从而得出线段之间 的比例关系。
在代数中的应用
积化和差与和差化积公式可以将两个角度的积与和差表示为只含有一个角度的三角函数形式。积化和 差与和差化积公式可以用于解决一些涉及两个不同角度的乘积或和差的问题，例如求两个角的积、证 明恒等式等。
在电磁学中，三角恒等变换可以用来描述电场和 磁场的变化规律。
光学
在光学中，三角恒等变换可以用来描述光的干涉 和衍射等现象。
05
总结与展望
总结
内容详尽
该PPT详细讲述了三角恒等变换的基本概念、公式和技巧，内容 全面且易于理解。
实用性强
通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握三角恒等变换的运用， 提高解题能力。
揭示函数性质
通过三角恒等变换，可以 进一步揭示三角函数的性 质和特点，为研究三角函 数提供有力的工具。
三角恒等变换的应用
解析几何
在解析几何中，常常需要 用到三角恒等变换来研究 点、线、圆等几何对象的 性质和位置关系。
微积分
在微积分中，三角恒等变 换被广泛应用于解决与极 坐标有关的问题，如计算 面积、体积等。
等变换的应用。
感谢您的观看
THANKS
总结词
利用泰勒级数展开式，将一个函数展开成幂级数形式。
详细描述
泰勒级数展开式是一种将一个函数展开成幂级数形式的方法。通过选择不同的幂级数展开式，我们可以得到不 同的形式的结果。在三角恒等变换中，我们常常利用泰勒级数展开式来进行幂级数展开式的计算，从而得到我 们需要的结论。
04
三角恒等变换在解题中的 应用
在几何中的应用
证明三角形全等
利用三角恒等变换可以证明两 个三角形全等，从而得出它们
的对应边和对应角相等。
计算角度和长度
通过三角恒等变换，可以计算出 三角形中的角度和边的长度，以 及三角形的高和中线等。
证明平行和垂直
利用三角恒等变换可以证明两条直 线平行或垂直，从而得出线段之间 的比例关系。
在代数中的应用
积化和差与和差化积公式可以将两个角度的积与和差表示为只含有一个角度的三角函数形式。积化和 差与和差化积公式可以用于解决一些涉及两个不同角度的乘积或和差的问题，例如求两个角的积、证 明恒等式等。
人教版高中数学必修1《简单的三角恒等变换》PPT课件
α2，cos
α2，tan
α 2
的值；
1－sin (2)化简：
α－2c－os2αcossiαnα2＋cosα2(－π<α<0)．
[解] (1)∵sin α＝－187，π＜α＜32π，∴cos α＝－1157.
∵cos2α＝1－2sin2α2＝2cos2α2－1，又π2＜α2＜34π，
∴sin α2＝
1－cos 2
6 A. 3
B．－
6 3
C．±
6 3
解析：∵cos θ＝13，且 θ∈(0，π)，
D．±
3 3
∴θ2∈0，π2，∴cosθ2＞0，
∴cos θ2＝
cos2θ2＝
1＋cos 2
θ＝
1＋2 13＝ 36.
答案：A
()
3．已知 cos α＝45，α∈32π，2π，则 sin α2等于
A．－
10 10
10 B. 10
【学透用活】
[典例 2] (1)求证：1＋2cos2θ－cos 2θ＝2；
(2)求证：
sin
x＋cos
2sin xcos x－1sin
x x－cos
x＋1＝1＋sincoxs
x .
[证明] (1)左边＝1＋2cos2θ－cos 2θ＝1＋2×1＋c2os 2θ－cos 2θ＝2＝右边，
所以原等式成立．
• (一)教材梳理填空 • 1．半角公式：
半角公式
正弦 sinα2＝ ±
1－cos α 2
余弦 cosα2＝ ±
1＋cos α 2
续表
正切 tan α2＝±
1－cos 1＋cos
αα，tanα2＝1＋sincoαs
＝ α
人教高中数学A必修一《三角恒等变换》三角函数PPT课件(第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公式)
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1．求下列各式的值 (1)cos 72°cos 36°； (2)sin150°＋cos 530°.
16
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17
[解]
(1)cos
36°cos
72°＝2sin
36°cos 2sin
36°cos 36°
72°＝2sin47si2n°c3o6s°72°＝
s4isnin14346°°＝14.
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37
当堂达标 固双基
栏目导航
38
1．思考辨析 (1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( ) (2)存在角 α，使得 sin 2α＝2sin α 成立．( ) (3)对于任意的角 α，cos 2α＝2cos α 都不成立．( )
栏目导航
39
[提示] (1)×.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二 倍角的正切公式，要求 α≠π2＋kπ(k∈Z)且 α≠±π4＋kπ(k∈Z)，故此说法错 误．
错点)
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3
自主预习 探新知
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1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
记法
公式
S2α
sin 2α＝ 2sin αcos α
C2α
cos 2α＝ cos2α－sin2α
tan 2α＝ 2tan α
T2α
__1_－___ta_n_2_α__
4
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2.余弦的二倍角公式的变形
1－2sin2α 2cos2α－1
栏目导航
19
[解] (1)∵π2≤α＜32π，∴34π≤α＋π4＜74π.
∵cosα＋π4＞0，∴32π＜α＋π4＜74π，
∴sinα＋π4＝－ 1－cos2α＋π4＝－ 1－532＝－45，
1．求下列各式的值 (1)cos 72°cos 36°； (2)sin150°＋cos 530°.
16
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17
[解]
(1)cos
36°cos
72°＝2sin
36°cos 2sin
36°cos 36°
72°＝2sin47si2n°c3o6s°72°＝
s4isnin14346°°＝14.
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当堂达标 固双基
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38
1．思考辨析 (1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( ) (2)存在角 α，使得 sin 2α＝2sin α 成立．( ) (3)对于任意的角 α，cos 2α＝2cos α 都不成立．( )
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39
[提示] (1)×.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二 倍角的正切公式，要求 α≠π2＋kπ(k∈Z)且 α≠±π4＋kπ(k∈Z)，故此说法错 误．
错点)
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3
自主预习 探新知
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1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
记法
公式
S2α
sin 2α＝ 2sin αcos α
C2α
cos 2α＝ cos2α－sin2α
tan 2α＝ 2tan α
T2α
__1_－___ta_n_2_α__
4
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2.余弦的二倍角公式的变形
1－2sin2α 2cos2α－1
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19
[解] (1)∵π2≤α＜32π，∴34π≤α＋π4＜74π.
∵cosα＋π4＞0，∴32π＜α＋π4＜74π，
∴sinα＋π4＝－ 1－cos2α＋π4＝－ 1－532＝－45，
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高中数学人教A版(2019)必修第一册《 5.5.2 简单的三角恒等变换（第二课时） 》 课件
新知探究
例2 如图1，已知OPQ是半径为1，圆心角为 π 的扇形，C是扇形弧 3
上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠POC＝α，求当角α取何
值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积． Q
解：在Rt△OBC中，OB＝cos α，BC＝sin α．
则 y 3sin x 4cos x Asin x cos φ Acos xsin φ
于是 Acosφ 3，Asin φ 4，
新知探究
例1 求下列函数的周期，最大值和最小值： （1）y sin 3x 3 cos3x； （2）y 3sin x 4cos x ．
于是 A2 cos2 φ A2 sin2 φ 25，所以 A2 25，
高中数学人教A版(2019)必修第一册《 5.5.2 简单的三角恒等变换（第二课时） 》 课件
归纳小结
问题 本课时我们借助和角公式、差角公式及二倍角公式（共 计十一个公式）研究了形如或可化为形如 y asin ωx bcos ωx 的函数的性质，解决方法是进一步转化为函数 y Asin(ωx φ) 的形式，那么，为什么要化成这种形式？变形依据是什么？你 对三角恒等变换有什么新的体会？
在Rt△OAD中，DA tan 60 3， OA
所以 OA 3 DA 3 BC 3 sin α，
3
3
3
高中数学人教A版(2019)必修第一册《 5.5.2 简单的三角恒等变换（第二课时） 》 课件
AB OB OA cosα 3 sin α. 3
D
α OA
C BP
高中数学人教A版(2019)必修第一册《 5.5.2 简单的三角恒等变换（第二课时） 》 课件
新知探究
例2 如图1，已知OPQ是半径为1，圆心角为 π 的扇形，C是扇形弧 3
上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠POC＝α，求当角α取何
值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积． Q
解：设矩形ABCD的面积为S，则
D
S AB BC cosα
3 3
sin
α
sin
α
sin α cos α 3 sin2 α 1 sin 2α
高中数学人教A版(2019)必修第一册《 5.5.2 简单的三角恒等变换（第二课时） 》 课件
高中数学人教A版(2019)必修第一册《 5.5.2 简单的三角恒等变换（第二课时） 》 课件
作业布置
作业：教科书习题5.5第12，14，17题．
高中数学人教A版(2019)必修第一册《 5.5.2 简单的三角恒等变换（第二课时） 》 课件
A
A
令
3 A
2
4 A
2
1，解得
A2
25，
不妨取A＝5，则 3sin x 4cos x 5(3 sin x 4 cos x)
5
5
新知探究
例1 求下列函数的周期，最大值和最小值： （1）y sin 3x 3 cos3x； （2）y 3sin x 4cos x ．
令 Acosφ 3，Asin φ 4， 则 y 5(sin x cosφ cos xsin φ) 5sin(x φ)， 故所求周期为 2π ，最大值为5，最小值为－5．
5.5.2 简单的三角恒等变换
第二课时
新知探究
例1 求下列函数的周期，最大值和最小值： （1）y sin 3x 3 cos3x； （2）y 3sin x 4cos x ． 追问1 什么样结构的函数便于求周期，最大值和最小值等性质？
一个角的一种三角函数的形式，如 y Asin(ωx φ) 、y Acos(ωx φ) 等形式．
新知探究
追问2 前面学过的哪个公式可以实现和差的形式化为 y Asin(ωx φ) 的形式？ 和（差）角公式逆用即可实现这种转化．
追问3 在已知的函数式中如何出现两个角的正、余弦？ 通过对系数变形，只要构造出两个系数的平方和为1就可以解决问题．
新知探究
例1 求下列函数的周期，最大值和最小值： （1）y sin 3x 3 cos3x； （2）y 3sin x 4cos x ．
取A＝5，则 cos φ 3，sin φ 4，
5
5
由 y 5sin(x φ) 可知，所求周期为 2π ，最大值为5，最小值为－5．
新知探究
例1 求下列函数的周期，最大值和最小值： （1）y sin 3x 3 cos3x； （2）y 3sin x 4cos x ．
解：（2）解法二：设 3sin x 4cos x A( 3 sin x 4 cos x)
解：（1）y sin 3x
3 cos3x 2(1 sin 3x 2
3 cos3x) 2
2(sin 3x cos π cos3xsin π) 2sin(3x π)
3
3
3
因此，所求周期为 2π ，最大值为2，最小值为－2． 3
新知探究
例1 求下列函数的周期，最大值和最小值： （1）y sin 3x 3 cos3x； （2）y 3sin x 4cos x ． 解：（2）解法一：设 y 3sin x 4cos x Asin(x φ)
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归纳小结
变换后的形式可以更加方便地研究函数的性质． 变形依据主要和、差角公式、二倍角公式等等． 三角恒等变换需要仔细研究变换对象与变换目标之间的差异， 除角度 差异、结构差异、名称差异之外，还需关注次数差异． 遇到求最值的 问题，可以考虑选择合适的自变量与因变量，并构造函数加以解决．
1 3
3 6
3. 6
因此，当 α π 时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为 3 ．
6
6
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C BP
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新知探究
变式：计算下列式子的值：sin 27 cos 45 sin18 ． cos 27 sin 45 sin18
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3
2
1
3
3 2
sin
2α
1 2
cos
2α
3 6
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3 (1 cos 2α) 6
1 3
sin
2α
π 6
α OA
3. 6
C BP
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新知探究
例2 如图1，已知OPQ是半径为1，圆心角为 的扇形，C是扇形弧
上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠POC＝α，求当角α取何 值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积． Q
D
C
α OA
BP
追问1 要求最大面积，首先需要根据已知条件将矩形的面积表示出 来，它的长和宽与角α有怎样的关系呢？怎样思考？
新知探究
例2 如图1，已知OPQ是半径为1，圆心角为 π 的扇形，C是扇形弧 3
上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠POC＝α，求当角α取何
值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积． Q
解：由 0
α
π 3
，得Leabharlann π 62απ 6
5π 6
，
所以当 2α
π 6
π 2
，即α
π 6
时，
D
α OA
Smax
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目标检测
1 求下列函数的周期，最大值和最小值： （1）y＝5cos x－12sin x； （2）y＝cos x＋2sin x． 2 要在半径为R的圆形场地内建一个矩形的花坛，应怎样截取，才能使
花坛的面积最大？
sin
α
sin
α
sin
α
cos
α
3 sin2 α ． 3
新知探究
追问2 得到这个函数解析式之后，根据我们已有的研究经验，将这 个解析式转化为什么样的形式利于求出最值？
先化为函数化为 y asin ωx bcos ωx 的形式， 再参照例1的解决方法变换为 y Asin(ωx φ) 的形式， 就可以解决最值了．
新知探究
追问1 要求最大面积，首先需要根据已知条件将矩形的面积表示出 来，它的长和宽与角α有怎样的关系呢？怎样思考？
宽BC可以在直角△OBC中用sin α表示出来，因为AB＝OB－OA，
而OB还是在直角△OBC中用cos α表示出来，
OA在直角△OAD中用AD可以求出，
因此，可得
S
cosα
3 3
答案： 1．（1）2π，13，－13．（2）2π， 5 ， 5 ． 2．当矩形为正方形时，花坛的面积最大．
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再见
解：sin 27 cos 45 sin18 sin(45 18 ) cos 45 sin18 cos 27 sin 45 sin18 cos(45 18 ) sin 45 sin18 sin 45 cos18 cos 45 cos18 tan 45 1