山西省2015届高三第三次四校联考数学(文)试卷
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山西省2015届高三第三次四校联考数学（文）试卷（忻州一中 康杰中学 长治二中 临汾一中）(考试时间120分钟 满分150分)一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)1.设全集为R ，集合A={}4|2<∈x R x ，B={}41|≤<-x x ，则 A =)(B C RA.()2,1-B.()1,2--C.(]1,2--D.()2,2- 2.已知复数iiz +-=11i (为虚数单位，则z 的共轭复数是 A. B.i +1 C.i - D.i -13.若等比数列{}n a 满足2031=+a a ，4042=+a a ，则公比q = A. B.2 C.2- D.44.若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21，则双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为A .x y 23±= B .x y 3±= C .x y 21±= D .x y ±= 5.已知命题:p ,x R ∃∈使23x x >；命题:(0,),tan sin 2q x x x π∀∈>，下列是真命题的是A.()p q ⌝∧B.()()p q ⌝∨⌝C.()p q ∧⌝D.()p q ∨⌝6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.π38 B.π316 C.π8 D.π364 7.在面积为S 的ABC ∆内部任取一点P ，则PBC ∆的面积大于4S的概率为 A .41 B .43C .94D .1698.如果执行如图的程序框图，那么输出的值是 A. 2016 B . 2 C .12D .1-9.已知函数133,(1),()log ,(1),x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数(1)y f x =-的10.在半径为cm 10的球面上有C B A ,,三点，如果38=AB ，060=∠ACB ，则球心O 到平面ABC的距离为 A .cm 2 B.cm 4 C .cm 6 D .cm 8 11.已知函数)2||,0)(2cos()(πϕωπϕω<>-+=x x f 的部分图象如图所示，则)6(π+=x f y 取得最小值时x 的集合为A .⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,6ππ B .⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,3ππC .⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,62ππ D .⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,32ππ12.已知点A 是抛物线y x 42=的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足PB m PA =，当m 取最大值时，点P 恰好在以B A ,为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为A ．215- B ．212+ C ．12+ D ．15- 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上) 13.已知向量),1(x =，)2,1(-=x ，若//，则=x .14.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤+--≤8201223y x y x x y ，则1-x y 的最小值是 .15.设数列{}n a 满足1042=+a a ，点),(n n a n P 对任意的+∈N n ，都有向量)2,1(1=+n n P P ，则数列{}n a 的前n 项和n S = .16.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-)0()0(3)(x x x x f x ，若函数b x x f x g --=21)()(有且仅有两个零点，则实数b 的取值范围是 .三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位BDC置上)17. (本小题满分12分)在ΔABC 中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,. 若B A sin sin 4－2cos 42BA -22-=. （1）求角C 的大小； （2）已知4sin sin =ABa ，ΔABC 的面积为8. 求边长c 的值.18. (本小题满分12分)如图所示,茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道 数学题(满分12分)的得分情况.乙组某个数据的个位数模糊， 记为x ，已知甲、乙两组的平均成绩相同. （1）求x 的值，并判断哪组学生成绩更稳定;（2）在甲、乙两组中各抽出一名同学，求这两名同学的得分之和低于20分的概率. 19. (本小题满分12分)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上,矩形DCBE 所 在的平面垂直于圆O 所在的平面,4=AB ，1=BE ． （1）证明：平面⊥ADE 平面ACD ；（2）当三棱锥ADE C -的体积最大时，求点C 到平面ADE的距离．0 1 甲 乙 9 9 1 18 9 x 2（18题图）（19题图）20. (本小题满分12分)已知点)0,1(A ,点P 是圆C ：22(1)8x y ++=上的任意一点,，线段PA 的垂直 平分线与直线CP 交于点E . （1）求点E 的轨迹方程；（2）若直线y kx m =+与点E 的轨迹有两个不同的交点P 和Q ，且原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围． 21. (本小题满分12分)设函数xkx x f +=ln )(，R k ∈. (1) 若曲线)(x f y =在点))(,(e f e 处的切线与直线02=-x 垂直，求)(x f 的单调递减区间和极小值（其中e 为自然对数的底数）；（2）若对任意021>>x x ，2121)()(x x x f x f -<-恒成立，求k 的取值范围.请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑． 22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图所示,已知圆O 外有一点P ,作圆O 的切线PM ,M 为切点,过PM 的中点N ,作割线NAB ,交圆于A 、B 两点,连接PA 并延长,交圆O 于点C ,连接PB 交圆O 于点D ,若BC MC =. (1)求证:△APM ∽△ABP ;(2)求证:四边形PMCD 是平行四边形.23．(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为：1cos ()sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线的极坐标方程是2sin()3πρθ+=，射线:3OM πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线的交点为Q ，求线段PQ 的长． 24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设函数()f x =|2||2|x x ++-，R x ∈.不等式()6f x ≤的解集为M . （1）求M ；（22015四校三联文科数学试题答案一选择题 1-6 CABADB 7-12DBDCBC二填空题 13. 2或1- 14. 15. 2n 16. 210<<b 三解答题（22题图）17.解：（１）由条件得B A sin sin 4=2（212cos 2--BA ）2+ 即B A sin sin 4=)cos(2B A -2+=)sin sin cos (cos 2B A B A +2+ ………………2分化简得 =+)cos(B A 22-, ………………………4分 ∵π<+<B A 0 ∴ 43π=+B A 又π=++C B A ∴ C ＝4π………………………6分（２）由已知及正弦定理得4=b ………………………8分又 S ΔABC =8，C=4π∴ 128sin =C ab ， 得24=a ………………………10分由余弦定理C ab b a c cos 2222-+=得 4=c . ………………………12分 18. （1） ，甲104111199=+++=x ，乙104012198=++++=xx ∴1=x ……………2分 ， 又 1]10-111011()910()910[(4122222=+-+-+-=）（）甲S25]10-121011()910()810[(4122222=+-+-+-=）（）乙S ………………4分∴22乙甲S S <∴甲组成绩比乙组稳定。
………………6分（2）记甲组4名同学为：A 1，A 2， A 3，A 4；乙组4名同学为：B 1，B 2，B 3，B 4；分别从甲乙两组中各抽取一名同学所有可能的结果为：(A 1,B 1)，(A 1,B 2)，(A 1,B 3)，(A 1,B 4)(A 2,B 1)，(A 2,B 2)，(A 2,B 3)，(A 2,B 4)，(A 3,B 1)，(A 3,B 2)，(A 3,B 3)，(A 3,B 4)，(A 4,B 1)，(A 4,B 2)，(A 4,B 3)，(A 4,B 4)，共16个基本事件，其中得分之和低于20分的共6个基本事件， ………………10分 ∴得分之和低于20分的概率是：83166==P . …………………12分 19．（1）证明：∵AB 是直径，∴AC BC ⊥ …………………1分，又四边形DCBE 为矩形, DE CD ⊥,DE BC //,∴AC DE ⊥∵C AC CD = ，∴⊥DE 平面ACD …………4分 又⊂DE 平面ADE ，∴平面⊥ADE 平面ACD ………………6分 （2）由⑴知DE S V V ACD ACD E ADE C ⨯⨯==∆--31DE CD AC ⨯⨯⨯⨯=2131 BC AC ⨯⨯=6134121)(121222=⨯=+⨯≤AB BC AC ， ………………………8分，当且仅当22==BC AC 时等号成立 ……………………9分， ∴当22==BC AC 三棱锥ADE C -体积最大为34……………………10分， 此时，3)22(122=+=AD ，2321=⨯⨯=∆DE AD S ADE 设点C 到平面ADE 的距离为h ，则3431=⨯⨯=∆-h S V ADE ADE C 322=h ………………………12分20.解：解：（1）由题意知,EP EA CE EP =+=，∴2CE EA CA +=>=，∴E 的轨迹是以C 、A 为焦点的椭圆，其轨迹方程为：2212x y += ……………4分（2）设112,2(,)()P x y Q x y 、，则将直线与椭圆的方程联立得：2222y kx mx y =+⎧⎨+=⎩， 消去y,得：222(21)4220k x kmx m +++-=220,21(*);m k ∆><+ 212122422,2121km m x x x x k k -+=-=++ ……………6分 因为O 在以PQ 为直径的圆的内部，故12120,0,OP OQ x y y ⋅<+<即x ………7分而22121222()(),21m k y y kx m kx m k -=++=+ 由22212122222202121m m k x x y y k k --+=+<++ …………………9分得：2222,3k m +< 223m ∴<, 且满足（*）式M 的取值范围是( ……………………12分21解：（1）由条件得=')(x f 21x k x -)0(>x ……………………2分∵曲线)(x f y =在点))(,(e f e 处的切线与直线02=-x 垂直，∴此切线的斜率为0即0)(='e f ，有012=-e ke ，得e k = ……………………4分 ∴=')(xf 21x e x -=2xex -)0(>x ，由0)(<'x f 得e x <<0，由0)(>'x f 得e x >.∴)(x f 在（0，e ）上单调递减，在（e ，+∞）上单调递增，当e x =时)(x f 取得极小值2ln )(=+=eee ef . 故)(x f 的单调递减区间为（0，e ），极小值为2. ……………………6分 （2）条件等价于对任意021>>x x ，2211)()(x x f x x f -<-恒成立，……（*） 设=)(x h )(x f x -x xkx -+=ln )0(>x ， ∴（*）等价于)(x h 在（0，+∞）上单调递减. ……………………9分由=')(x h 1x 12--x k ≤0在（0，+∞）上恒成立， ……………………10分 得k ≥x x +-2=41)21(2+--x )0(>x 恒成立，∴k ≥41 ( 对k =41，0)(='x h 仅在=x 12时成立)，故k 的取值范围是[41，+∞）. ……………………12分22.证明:(1)∵PM 是圆O 的切线, NAB 是圆O 的割线, N 是PM 的中点,∴NB NA PN MN ⋅==22, ∴PNNABN PN =, 又∵BNP PNA ∠=∠, ∴△PNA ∽△BNP , ∴PBN APN ∠=∠, 即PBA APM ∠=∠.∵BC MC =, ∴BAC MAC ∠=∠, ∴PAB MAP ∠=∠,∴△APM ∽△ABP . …………………5分 (2)∵PBN ACD ∠=∠,∴APN PBN ACD ∠=∠=∠,即CPM PCD ∠=∠,∴CD PM //, ∵△APM ∽△ABP ,∴BPA PMA ∠=∠, ∵PM 是圆O 的切线,∴MCP PMA ∠=∠,∴BPA PMA ∠=∠MCP ∠=,即MCP DPC ∠=∠,∴PD MC //, ∴四边形PMCD 是平行四边形. …………………10分23.解：（1）圆C 的普通方程为22(1)1x y -+=，又θρcos =x ，θρsin =y所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ= ………………5分（2）设11(,)P ρθ，则有⎪⎩⎪⎨⎧==3cos 2πθθρ解得3,111πθρ== 设22(,)Q ρθ，则有(sin )3ρθθπθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩,解得3,322πθρ== 所以2=PQ ………………10分 24.解:(1) |2||2|6x x ++-≤等价于226x x ≤-⎧⎨-≤⎩ 或2246x -≤≤⎧⎨≤⎩或226x x ≥⎧⎨≤⎩解得33x -≤≤ [3,3]M ∴=- …………………5分(2) 当,a b M ∈时，即33,33a b -≤≤-≤≤即证22)3()(3+≤+ab b a22222222223()(3)3(2)(69)339a b ab a ab b a b ab a b a b +-+=++-++=+--=22(3)(3)0a b --≤…………………10分。
