【精准解析】安徽省滁州市定远县育才学校2020届高三上学期第三次月考数学(文)试题

定远育才学校2020--2021学年第一学期第三次月考高一文科数学一、选择题(每小题5分,共60分 )1．1.已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件2.不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集是( )A ． {x |x <－1}B ．{x|x >32}C ．{x|−1<x <32}D ．{x|x <－1或x >32} 3.已知函数f (x )＝x 2－4x ，x ∈[1,5]，则函数f (x )的值域是( )A ．[－4，＋∞)B ．[－3,5]C ．[－4,5]D ．(－4,5]4.函数f (x )＝ax 3＋bx ＋4(a ，b 不为零)，且f (5)＝10，则f (－5)等于( )A ．－10B ．－2C ．－6D ．14 5.将√−2√23化为分数指数幂的形式为( )A ． －212B ． －213C ． －2−12D ． －2566.已知二次函数y ＝x 2－2ax ＋1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤2或a ≥3 B ．2≤a ≤3 C ．a ≤－3或a ≥－2 D ．－3≤a ≤－27.已知定义在R 上的偶函数f (x )的单调递减区间为[0，＋∞)，则使f (x )＜f (2)成立的自变量取值范围是( )A ． (－∞，2)B ． (2，＋∞)C ． (－2,2)D ． (－∞，－2)∪(2，＋∞) 8.如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对于任意实数t 都有f (2＋t )＝f (2－t )，那么( ) A ．f (2)<f (1)<f (4) B ．f (1)<f (2)<f (4) C ．f (4)<f (2)<f (1) D ．f (2)<f (4)<f (1) 9.已知函数y ＝f (x ＋1)的定义域是{x |－2≤x ≤3}，则y ＝f (2x －1)的定义域是( ) A ． {x |0≤x ≤52}B ． {x |－1≤x ≤4}C ． {x |－5≤x ≤5}D ． {x |－3≤x ≤7}10.图中曲线是幂函数y ＝x n在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )A ．－2，－12， 12，2B ．2， 12，－12，－2C ．－12，－2, 2，12D ．2， 12，－2，－1211 .下列结论中，正确的个数是( )①当a <0时，()322a＝a 3； ②na n＝|a |(n >0)；③函数y ＝()122x -－(3x －7)0的定义域是(2，＋∞)；④若100a＝5,10b＝2，则2a ＋b ＝1.A ．0B ．1C ．2D ．312．若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈R 有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)＋1，则下列说法一定正确的是( )A ．f (x )为奇函数B ．f (x )为偶函数C ．f (x )＋1为奇函数D ．f (x )＋1为偶函数 二、填空题(每小题5分,共20分 )13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥0，f (x ＋2)，x <0，则f (－3)＝________.14．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f （1x ）>f (1)的实数x 的取值范围为________．15．已知函数y ＝f (x )是奇函数，若g (x )＝f (x )＋2，且g (1)＝1，则g (－1)＝________. 16．若函数f (x )＝(k －2)x 2＋(k －1)x ＋3是偶函数，则f (x )的递增区间是_______ 三、解答题（10+12*5=70分） 17.判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝5x 4－4x 2＋7，x ∈[－3,3]； (2)f (x )＝|2x －1|－|2x ＋1|；18.已知幂函数y ＝f (x )经过点(2，18)． (1)试求函数解析式；(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间．19.函数f (x )是R 上的偶函数，且当x >0时，函数的解析式为f (x )＝2x－1.(1)用定义证明f (x )在(0，＋∞)上是减函数； (2)求当x <0时，函数的解析式．20．函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x ，y ∈(0，＋∞)，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－1， 且f (4)＝5.(1)求f (2)的值； (2)解不等式f (m －2)≤321．已知函数()f x 是对任意的x ∈R 都满足()()0f x f x +-=，且当0x <时2()2f x x x =+．（1）求()f x 的解析式；（2）现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图像，如图所示，请补出函数()f x 的完整图像，并根据图像直接写出函数()f x 的单调区间及[2,2]x ∈-时()y f x =的值域．22.已知函数21()x f x x+=．(1)判断()f x 的奇偶性并证明．(2)当(1,)x ∈+∞时，判断()f x 的单调性并证明． (3)在(2)的条件下，若实数m 满足(3)(52)f m f m >-，求m 的取值范围．答案1.A2.D3.C4.B5.A6.A7.D8.A9.A 10. B 11.B 12.C 13.3 14 (－∞，0)∪(1，＋∞).15.316． (－∞,0]171819.(1)证明 设0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(2x1－1)－(2x 2－1)＝2(x 2－x 1)x 1x 2， ∵0<x 1<x 2，∴x 1x 2>0，x 2－x 1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数． (2)解 设x <0，则－x >0， ∴f (－x )＝－2x －1，又f (x )为偶函数， ∴f (－x )＝f (x )＝－2x －1，即f (x )＝－2x －1(x <0)．20. 21.（1）()()0f x f x +-=，()()f x f x ∴-=-，设0x >时，0x -<，依题意知()()22()22f x x x x x -=-+-=-，即2()2f x x x -=-，故2()2f x x x =-+；0x =时，(0)(0)0f f +=，故(0)0f =，故()f x 的解析式为222,0,(20)x x x x f x x x -+≥-<⎧⎪=⎨⎪⎩；（2）由()()f x f x -=-，知()f x 是奇函数，图像关于原点中心对称，故函数()f x 的完整图像如图所示：由图像可知，函数()f x 的单调减区间是(),1-∞-和1,，减区间是()1,1-，[2,2]x ∈-时()y f x =的值域为[]1,1-. 22（文）(1) 函数()f x 是奇函数. 证：函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，因为22()11()()x x f x f x x x-++-==-=--，所以函数()f x 是奇函数；(2) 函数()f x 是(1,)+∞上的单调增函数.证：任取12(1,)x x ∈+∞，且12x x >，则2222121221211212121212121211()()()()x x x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +++------=-==121212()(1)x x x x x x --=，因为121x x >>，所以120x x ->，1210x x ->，120x x >，所以12())0(f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数()f x 是(1,)+∞上的单调增函数.(3)由(2)知函数()f x 是(1,)+∞上的单调增函数，所以3521m m >->，解得12m <<,所以m 的取值范围为(1,2).（理） (1)令x ＝y ＝0，得f (0)＝f (0)＋f (0)， ∴f (0)＝0.令y ＝－x ，得f (0)＝f (x )＋f (－x )， ∴f (x )＋f (－x )＝0，即f (x )＝－f (－x )，所以y ＝f (x )是奇函数． (2)令x ＋y ＝x 1，x ＝x 2，则y ＝x 1－x 2， 得f (x 1)＝f (x 2)＋f (x 1－x 2)．设x 1>x 2，∵x >0时f (x )<0，∴f (x 1－x 2)<0， 则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． 所以y ＝f (x )为R 上的减函数． (3)由f (kx 2)＋f (－x 2＋x －2)>0， 得f (kx 2)>－f (－x 2＋x －2)，∵f (x )是奇函数，有f (kx 2)>f (x 2－x ＋2)， 又∵f (x )是R 上的减函数， ∴kx 2<x 2－x ＋2，即(k －1)x 2＋x －2<0对于x ∈R 恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧k －1<0Δ＝1＋8(k －1)<0，故k <78.。

安徽省滁州市定远县育才学校2020届高三数学上学期第三次月考试题 理（含解析）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时间120分钟.请在答题卷上作答.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求.）1.设全集U =R ，集合{}{}21,|15xA xB x x ==-≤≤，则()UA B = ( )A. [)1,0-B. (]0,5C. []1,0-D. []0,5【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数的性质化简集合A ，由补集的定义可得UA ，再利用交集的定义可得结果.【详解】因为{}{}210,xA x x x == 所以{}|0UA x x =≤，又因为{}|15B x x =-≤≤， 所以()UA B ={}|10x x -≤≤=[]1,0-，故选C.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合B 且不属于集合A 的元素的集合.2.已知复数z 满足zi 2i =+，i 是虚数单位，则复数z (= ) A. 12i -+ B. 12i +C. 12i --D. 12i -【答案】D 【解析】 分析】把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】解：由zi 2i =+，得()2i 2i 2i z 12i i i -++===--． 故选D ．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题． 3.已知3sin α5=，π3πα22<<，则5πsin α(2⎛⎫-=⎪⎝⎭) A. 45-B.45C. 35-D.35【答案】A 【解析】 【分析】由题意利用诱导公式得到5πsin αcos α2⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再根据角的范围、同角三角函数的基本关系，求出cos α的值即可． 【详解】解：3sin α5=，π3πα22<<，παπ2∴<<，则5ππ4sin αsin αcos α225⎛⎫⎛⎫-=-===-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A ．【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．4.已知函数()3log 1,01,02019x x f x x -≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，则()()2(f f = )A. 2019B.12019C. 2D. 1【答案】B 【解析】 【分析】根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案.【详解】函数()3log 1,01,02019x x f x x -≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，()32log 21f ∴=-，()()()312log 212019f f f ∴=-=． 故选B ．【点睛】本题考查分段函数函数值的计算，解决策略:(1)在求分段函数的值f (x 0)时，一定要判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式;(2) 求f (f (f (a )))的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则.5.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3625a a +=，540S =，则数列{}n a 的公差d =（ ） A. 4 B. 3C. 2D. 1【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由3625a a +=及540S =列方程组即可求解． 【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由3625a a +=及540S =得：1112525545402a d a d a d +++=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得：3d = 故选B【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及前n 项和公式，考查方程思想及计算能力，属于基础题．6.设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为( ) A .2y x =- B. y x =-C. 2y x =D. y x =【答案】D 【解析】【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得1a =，进而得到()f x 的解析式，再对()f x 求导得出切线的斜率k ，进而求得切线方程.详解：因为函数()f x 是奇函数，所以10a -=，解得1a =，所以3()f x x x =+，2()31x f 'x =+， 所以'(0)1,(0)0f f ==，所以曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为(0)'(0)y f f x -=， 化简可得y x =，故选D.点睛：该题考查的是有关曲线()y f x =在某个点00(,())x f x 处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得'()f x ，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果. 7.将函数()2sin f x x =的图象向左平移6π个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到()g x 的图象，下面四个结论正确的是（ ） A. 函数()g x 在区间2[0,]3π上为增函数 B. 将函数()g x 的图象向右平移6π个单位后得到的图象关于原点对称 C. 点(,0)3π是函数()g x 图象的一个对称中心D. 函数()g x 在[,2]ππ上的最大值为1 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数y ＝A sin （ωx +φ）图象变换规律，求得g （x ）的解析式，再根据正弦函数的性质对选项逐一判断即可．【详解】由函数f （x ）＝2sin x 的图象先向左平移6π个单位，可得y ＝2sin （x 6π+）的图象； 然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得y ＝g （x ）＝2sin （12x 6π+）的图象． 对于A 选项，2x 0,3π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，12x ,662πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，此时g （x ）＝2sin （12x 6π+）是单调递增的，故A 正确；对于B 选项，将函数()g x 的图象向右平移6π个单位后得到y ＝2sin （12x 12+π）不是奇函数，不满足关于原点对称，故B 错误；对于C 选项，将x=3π代入函数()g x 解析式中，得到2sin （1236ππ⨯+）=2sin 3π0≠；故点,03π⎛⎫⎪⎝⎭不是函数()g x 图象的一个对称中心，故C 错误；对于D 选项，当[]x ,2ππ∈时，12x 27,636πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，D 错误； 故选A ．【点睛】本题主要考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，正弦函数的值域及性质，属于中档题． 8.已知||sin24a π=，||cos24b π=，且a 、b 的夹角为π12，则⋅=a b （ ）.A.116B.18C.8D.14【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积的定义，结合二倍角的正弦公式求解即可．【详解】解：∵||sin24a π=，||cos24b π=，且a 、b 的夹角为π12， ∴cos ,a b a b a b ⋅=sin cos cos 242412πππ=1sin cos 21212ππ=11sin 468π==， 故选：B ．【点睛】本题主要考查向量数量积的定义，考查二倍角的正弦公式，属于基础题． 9.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A. 1B. -1C. 0D. -2【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合流程图运行程序，考查5i >是否成立来决定输出的数值即可. 【详解】结合流程图可知程序运行过程如下： 首先初始化数据：1,2i S ==，此时不满足5i >，执行循环：111,122S i i S =-==+=； 此时不满足5i >，执行循环：111,13S i i S =-=-=+=； 此时不满足5i >，执行循环：112,14S i i S =-==+=； 此时不满足5i >，执行循环：111,152S i i S =-==+=； 此时不满足5i >，执行循环：111,16S i i S=-=-=+=；此时满足5i >，输出1S =-. 本题选择B 选项.【点睛】本题主要考查循环结构流程图的识别与运行过程，属于中等题.10.已知函数22()cos 2sin cos sin f x x x x x =+-,若3()24f α=,则sin 2α=（ ）A. 14-B.732C. 716-D.78【答案】C 【解析】 【分析】先根据二倍角公式化简()f x ，再代入化简324f α⎛⎫=⎪⎝⎭,最后根据平方关系求sin2.α 【详解】因为()22cos 2sin cos sin 22f x x x x x cos x sin x =+-=+， 所以324f cos sin ααα⎛⎫=+=⎪⎝⎭，平方得971sin 2sin 21616αα+=∴=- ，选C. 【点睛】本题考查二倍角公式以及同角三角函数关系，考查基本求解能力.11.已知定义在R 上的偶函数()f x （函数()f x 的导数为()f x '）满足3()()2f x f x =-+，e 3f (2018)＝1，若()()0f x f x '+>，则关于x 的不等式1(2)e xf x ->的解为 A. (,3)-∞ B. (3,)+∞ C. (,0)-∞D. (0,)+∞【答案】B 【解析】因为()32f x f x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，所以()f x 周期为3，()f x 为偶函数，所以f (2018)= f (2)= f (-1)= f (1) ，令()()2ex g x f x +=,则()()()2e 0x g x f x f x +''=+>,() 11g =，由()12ex f x ->得()()21g x g ->,所以x-2>1,x>3,即解为()3,+∞，选B. 点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()xf xg x e =，()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等12.已知函数()y f x =在R 上可导且(0)1f =，其导函数()f x '满足()()01f x f x x '->-，对于函数()()xf xg x e =，下列结论错误的是（ ）A. 函数()g x 在(1,)+∞上为单调递增函数B. 1x =是函数()g x 的极小值点C. 函数()g x 至多有两个零点D. 0x ≤时，不等式()xf x e ≤恒成立【答案】D 【解析】 【分析】由1x >时，()()'0f x f x ->，可得()y g x =在()1,+∞递增， 由1x <时，()()'0f x f x -<，()y g x =在(),1-∞递减，结合函数()g x 的单调区间以及函数的极值，逐一判断选项中的命题，从而可得结果． 【详解】()()xf xg x e =，则()()()''xf x f xg x e-=，1x >时，()()'0f x f x ->，故()y g x =在()1,+∞递增，A 正确；1x <时，()()'0f x f x -<，故()y g x =在(),1-∞递减，故1x =是函数()y g x =的极小值点，故B 正确； 若()10g <，则()y g x =有2个零点， 若()10g =，则函数()y g x =有1个零点，若()10g >，则函数()y g x =没有零点，故C 正确； 由()y g x =在(),1-∞递减，则()y g x =在(),0-∞递减， 由()()0001f g e==，得0x ≤时，()()0g x g ≥，故()1xf x e ≥，故()xf x e ≥，故D 错误,故选D ．【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查利用导数研究函数的单调性、函数的极值、函数的零点，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.第Ⅱ卷（非选择题90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知向量()1,3a =-，()1,b t =，若()2a b a -⊥，则向量a 与向量b 的夹角为_____． 【答案】4π 【解析】 【分析】由()2a b a -⊥，利用数量积为零可求得2t =，从而得()1,2b =，求得165a b ⋅=-+=，利用2cos ,2a b a b a b⋅==，从而可得结果. 【详解】()()1,3,1,a b t =-=，则()()()21,321,3,32a b t t -=--=--，()()2,20a b a a b a -⊥∴-⋅=，即()33320t +⨯-=，解得2t =，()1,2b ∴=，则165a b ⋅=-+=，则cos ,210a b a b a b⋅===⨯，又[],0,,,4a b a b ππ∈∴=，故答案为4π. 【点睛】本题主要考查向量的夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， cos a b a bθ=（此时a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是a b b⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)求向量ma nb + 的模（平方后需求a b ⋅）.14.已知tan α2=，且πsin α4mtan2απsin α4⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭，则m =______． 【答案】94- 【解析】 【分析】展开两角和与差的正弦求得44sin sin παπα⎛⎫+⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭后弦化切，再由二倍角的正切求得mtan2α，列关于m 的等式，求解m 值即可．【详解】∵tan α2=，)πsin αsin αcos αsin αcos αtan α143πsin αcos αtan α1sin α4⎛⎫++ ⎪++⎝⎭∴====--⎛⎫- ⎪⎝⎭ ∴22mtan α4mtan2αm 31tan α3==-=-，即9m 4=-． 故答案为94-． 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，涉及两角和的正弦公式及二倍角的正切公式，是基础的计算题．15.设函数()y f x =的图象与13x ay +=（）的图象关于直线y x =-对称，且1(3)()43f f -+-=，则实数a =_____．【答案】2 【解析】 【分析】设f （x ）上任意一点为（x ，y ），则（x ，y ）关于直线y ＝﹣x 对称的点为（﹣y ，﹣x ），把（﹣y ，﹣x ）代入13x a y （）+=，得f （x ）＝log 3（-x ）+a ，由此利用f （﹣3）+f （﹣13）＝4，能求出a 的值．【详解】函数y ＝f （x ）的图象与13x ay （）+=的图象关于直线y ＝﹣x 对称， 设f （x ）上任意一点为（x ，y ），则（x ，y ）关于直线y ＝﹣x 对称的点为（﹣y ，﹣x ）， 把（﹣y ，﹣x ）代入13x a y （）+=，得﹣x ＝13y a （）-+， ∴f （x ）＝log 3（-x ）+a ，∵f （﹣3）+f （﹣13）＝4， ∴1+a ﹣1+a ＝4，解得a ＝2．故答案为2． 【点睛】本题考查指对函数的相互转化，考查对数值的运算，考查函数与方程思想，是基础题．16.已知函数()12y f x =+-为奇函数，()211x g x x -=-，且()f x 与()g x 图象的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，()66,x y ，则126126x x x y y y ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=______．【答案】18【解析】【分析】由题意得函数f （x ）与g （x ）的图像都关于点()1,2对称，结合函数的对称性进行求解即可．【详解】函数()12y f x =+-为奇函数，∴函数()y f x =关于点()1,2对称，()211211x g x x x -==+--，∴函数()y g x =关于点()1,2对称，所以两个函数图象的交点也关于点（1，2）对称，()f x 与()g x 图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，()66,x y ,两两关于点()1,2对称， 126126x x x y y y ∴++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ 323418=⨯+⨯=. 故答案为18【点睛】本题考查了函数对称性的应用，结合函数奇偶性以及分式函数的性质求出函数的对称性是解决本题的关键，属于中档题.三、解答题（共6小题，共70分.）17.已知命题()()2:7100,:110p x x q x a x a -+≤--+-≤（其中0a >）. （1）若2a =，命题“p 且q ”为真，求实数x 的取值范围；（2）已知p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）[]2,3；（2）[)4,+∞.【解析】试题分析：（1）分别求出,p q 的等价命题，25,13p x q x ⇔≤≤⇔-≤≤，再求出它们的交集；（2）25p x ⇔≤≤，11q a x a ⇔-≤≤+，因为p 是q 的充分条件，所以[2,5][1,1]a a ⊆-+，解不等式组可得．试题解析：（1）2:710025p x x x -+≤⇔≤≤，若()()2,:11013a q x a x a x =--+-≤⇔-≤≤命题“p 且q ”为真，取交集，所以实数x 的范围为[]2,3x ∈；（2）2:710025p x x x -+≤⇔≤≤，()():11011q x a x a a x a --+-≤⇔-≤≤+，若p 是q 的充分条件，则[][]2,51,1a a ⊆-+，则121{{4514a a a a a-≤-≤⇒⇒≤≤+≤. 考点：1、充分条件与必要条件；2、复合命题的真假.18.已知等差数列{}n a 的首项1a 1=，且()()232λ226λ+=++、3a 1+、4a 2+构成等比数列．()1求数列{}n a 的通项公式()2设n n n 12b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S 【答案】（1）n a 2n 1=-；（2）n 2n S 2n 1=+ 【解析】【分析】 ()1设公差为d ，运用等比数列中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差d ，即可得到所求通项公式；() 2求得()()n n n 12211b a a 2n 12n 12n 12n 1+===--+-+，由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和．【详解】()1等差数列{}n a 的首项1a 1=，公差设为d ，()()232λ226λ+=++、3a 1+、4a 2+构成等比数列，可得()()2324(a 1)a 1a 2+=++，即为()()2(22d)2d 33d +=++，解得d 2=或1-， 当d 1=-时，2a 10+=，不成立，舍去，则d 2=，1a 1=，可得n a 2n 1=-；()()()n n n 122112b a a 2n 12n 12n 12n 1+===--+-+， 前n 项和n 1111112n S 113352n 12n 12n 12n 1=-+-+⋯+-=-=-+++． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于中档题．19.已知函数()22f x x x =-． (1)当1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域；(2)若定义在R 上的奇函数()f x 对任意实数x ，恒有()()4g x g x ，+=且当[]0,2x ∈ ()g x =时， ()f x ，求()()()122017g g g ++⋅⋅⋅+的值．【答案】（1）[]1,3-；（2）-1．【解析】【分析】(1)可以通过将二次函数化为顶点式在通过其函数特征得出结果． (2)可以先通过当[]0,2x ∈时() g x = ()f x 计算出()()12g g 、的值，在通过周期性以及奇偶性得出()()34g g 、的值，最后通过函数周期性得出结果．【详解】(1)由题意得()()22211f x x x x =-=--， 因为132x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， 所以()f x 在112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，在[]13，上单调递增． 所以当1x =时，()f x 取得最小值，且()1min f x =-． 又()133324f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，， 所以()3max f x =，∴函数()f x 的值域是[]13，-， (2)由()()4g x g x +=可得函数()g x 的周期T 4=， 因为()()()()111220g f g f ==-==，，()()()()()()31114000g g g g g f ，=-=-====，，所以()()()()12340g g g g +++=，所以()()()()()()()()12201750412342017g g g g g g g g ⎡⎤++⋅⋅⋅+=++++⎣⎦()504011g =⨯+=-.【点睛】若函数满足()()g x a g x +=，则函数周期为a ．20.已知函数()2cos()cos(2)2f x x x ππ=--.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）当[0,]2x π∈时，求函数()cos2y f x x =+的最大值与最小值.【答案】(1) π (2) ，最小值为1-【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和诱导公式对函数的解析式进行化简整理，进而利用三角函数的周期公式求得函数的最小正周期．（2）根据（1）中函数f （x ）的解析式确定()cos2y f x x =+的解析式，利用两角和公式进行化简整理，进而利用正弦函数的性质求得()cos2y f x x =+的最大值和最小值．【详解】解：（1）()2sin cos sin2f x x x x ==，所以函数()f x 的最小正周期为π（2）()cos2sin2cos224y f x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭ 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦所以sin 2,142x π⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦所以函数()cos2y f x x =+，最小值为1-【点睛】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，两角和公式和二倍角公式的化简求值，以及三角函数的值域．考查了学生综合运用所学知识的能力．21.设函数f （x ）＝（x 2－1）lnx －x 2＋2x ．（1）求曲线y ＝f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程；（2）证明：f （x ）≥1．【答案】（1）14ln 25ln 2102x y ⎛⎫---+= ⎪⎝⎭； （2）见解析. 【解析】【分析】 （1）f′（x ）=21x x-+2xlnx ﹣2x+2=2xlnx ﹣x ﹣1x +2．可得f′（2），f （2）=3ln2．利用点斜式即可得出切线方程．（2）f （x ）≥1⇔（x 2﹣1）lnx ﹣（x ﹣1）2≥0．当x=1时，不等式成立．所以只需证明：x ＞1时，lnx≥11x x -+；0＜x ＜1时，lnx≤11x x -+．利用导数研究函数的单调性极值与最值，即可得出．【详解】函数()f x 的定义域为()0,+∞.()()211'2ln 212ln 2x f x x x x x x x x x ⎛⎫-=+--=--+ ⎪⎝⎭， ()1'24ln22f =-. ()23ln2f =.∴曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为 ()13ln24ln222y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭. 即14ln25ln2102x y ⎛⎫---+= ⎪⎝⎭. （2）证明：()()()2211ln 10f x x x x ≥⇔---≥ 当x=1时，不等式显然成立.所以只需证明当1x >时，1ln 1x x x -≥+；当01x <<时，1ln 1x x x -≤+. 令()1ln 1x h x x x -=-+，则()10h =. ()()()()()()2222111121'0111x x x h x x x x x x x +--+=-=-=>+++， ∴函数()h x 在()0,+∞上是增函数.∴当x ＞1时，()()10h x h >=；当0＜x ＜1时，()()10h x h <=，()1f x ∴≥.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值及其切线方程、证明不等式、分类讨论，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.已知函数()()21ln (0)2a f x x x x a =--+>. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若1a e <<，试判断()f x 的零点个数.【答案】（1）当1a =时，()f x 在()0,∞+上是增函数，当01a <<，()f x 在()0,1上增函数，在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，当1a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，在()1,+∞上是增函数； （2）1【解析】【分析】 （1）对()f x 求导后对a 进行分类讨论，找到()0f x '>和()0f x '<的区间，即为()f x 的单调区间.（2）由（1）可知1a e <<时，()f x 有极大值1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和极小值()1f ，研究他们的正负，并且找到令()0f x >的点，根据零点存在定理，找出零点个数.【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()()11111x ax f x a x x x--=--+='，令()0f x '=，则11x =，21x a=， （i ）若1a =，则()0f x '≥恒成立，所以()f x 在()0,+∞上是增函数，（ii ）若01a <<，则11a>， 当()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数， 当11,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 是减函数， 当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 是增函数， （iii ）若1a >，则101a<<， 当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 是增函数， 当1,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 是减函数， 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 是增函数，综上所述：当1a =时，()f x 在()0,+∞上是增函数，当01a <<，()f x 在()0,1上是增函数，在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数， 当1a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，在()1,+∞上是增函数； （2）当1a e <<时， ()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，在()1,+∞上是增函数， 所以()f x 的极小值为()110f =-<， ()f x 的极大值为2111111ln ln 1222a a f a a a aa a ⎛⎫⎛⎫=--+=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 设()1ln 122a g a a a=---，其中()1,a e ∈， ()()2222211112102222a a a g a a a a a--+='=+-=>, 所以()g a 在()1,e 上是增函数，所以()()e 1e 2022eg a g <=--<， 因为()()2114414ln494ln4ln40222a f =--+>⨯-+=+>， 所以有且仅有1个()01,4x ∈，使()00f x =.所以当1a e <<时，()f x 有且仅有1个零点.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，极值、最值，以及函数的图像和零点问题，涉及分类讨论的数学思想，题目比较综合，属于难题.。

安徽省滁州市定远县育才学校2020届高三下学期3月线上模拟考试数学试题（理）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合，{}211,20A x B x x x x ⎧⎫=>=--<⎨⎬⎩⎭，A B =（ ）A. ()0,1B. ()1,1-C. ()()1,00,1-D. ()1,2-『答案』A 『解析』{}{}1101,12A x x x B x x x ⎧⎫=>=<<=-<<⎨⎬⎩⎭{}01A B x x ∴⋂=<<故选A.2.已知复数2z =（其中i 为虚数单位），则z =（ ）A. 1B. i -C.1- D. i『答案』B『解析』222iz i ===则z i =- 故选B .3.某年高考中，某省10万考生在满分为150分的数学考试中，成绩分布近似服从正态分布()110,100N ，则分数位于区间(]130,150分的考生人数近似为（ ）（已知若()2~,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+= ， (33)0.9974P X μσμσ-<<+=）A. 1140B. 1075C. 2280D. 2150『答案』C『解析』由题意得=110=10(1102011020)0.9544P X μσ∴-<<+=，，因此1(110130)0.95440.47722P X <<=⨯=， 所以(130150)0.50.47720.0228P X <<=-=，即分数位于区间(]130,150分的考生人数近似为40.02281010=2280⨯⨯，选C. 4.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，1995S =，则71013a a a -+=（ ） A. 2B. 3C. 5D. 7『答案』C 『解析』1191911919()95,95,102a a S a a +=∴=∴+=，1197101371310119()()()52a a a a a a a a a a +∴-+=+-=+-=.本题选择C 选项.5.设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为(),0F c ，点M N 、在双曲线C 上，O 是坐标原点，若四边形为平行四边形，且四边形OFMN 的面积为bc ，则双曲线C 的离心率为（ ） AB. 2C.D. 『答案』C『解析』设00(,)M x y ，因为OFMN 为平行四边形，所以0=2c x ，因为OFMN 的面积为bc ，所以22002||c=bc,=b 1184c y y e e a∴-=⇒=⇒=，选C.6.若把函数()3sin(2)3f x x π=+的图象向右平移ϕ（0ϕ>）个单位后所得图象关于坐标原点对称，则ϕ的最小值为（ ） A.6π B.12πC.3πD.4π 『答案』A『解析』函数()3sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象向右平移ϕ（0ϕ>）个单位后得到解析式()3sin 223f x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为图象关于坐标原点对称，23k πϕπ-+=解得62k ππϕ=-，因为0ϕ>所以ϕ的最小值为6π 故选A. 7.（2x ﹣1x）5的展开式中x 3项的系数为（ ） A. 80 B. ﹣80C. ﹣40D. 48『答案』B『解析』通项公式()()55521551212rrr rr r r r T C x C x x ---+⎛⎫=-=-⋅ ⎪⎝⎭，令523r -=，解得1r =，∴展开式中3x 项的系数415280C =-=-，故选B .8.已知函数()2ln ||f x x x =-，则()f x 的大致图象为（ ）A. B.C. D.『答案』A『解析』当0x <时，()()2ln f x x x =--，()()11'2120f x x x=-⋅-=->-，所以()f x 在(),0-∞单调递增，则B 、D 错误； 当0x >时，()2ln f x x x =-，()121'2x f x x x -=-=，则()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，所以A 正确，故选A ． 9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 16163π-B. 32163π-C. 1683π-D. 3283π-『答案』D『解析』由三视图可知：该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥． ∴该几何体的体积2211244223V π=⨯⨯⨯-⨯⨯ 3283π=-. 故选D ．10.已知F 是椭圆22143x y +=的左焦点，设动点P 在椭圆上，若直线FP，则直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围是（ ）A. 3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B. 33,22⎤⎛⎤-∞-⋃⎥ ⎥⎝⎦⎝⎦C. 33,22⎫⎛⎫-∞-⋃⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D. 3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭『答案』C『解析』由椭圆方程22143x y += ，可求得()1,0F - ，由)221{143y x x y =++= ，得(128,,5P P ⎛- ⎝⎭ ，过F 作x 轴垂线与椭圆交于12330,,0,22A A ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，则P 在弧1122,P A P A上时，符合题意，12200033,,22A A P k k k =-==，OP ∴ 斜率的取值范围是33,282⎛⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为33,282⎛⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C .11.在ABC ∆中，239,AB AC AC AB AC ==⋅=，点P 是ABC ∆所在平面内一点，则当222PA PB PC ++ 取得最小值时，PA BC ⋅= ( )A.24-B. C.92D. 24『答案』D『解析』∵在△ABC 中，AB ＝3AC ＝9，2AC AB AC ⋅=，∴|AC |•|AB |•cos A ＝|AC |2， ∴|AB |•cos A ＝|AC |＝3， ∴BC AC ⊥，∴∠C 2π=，以C 为坐标原点建立如图所示的坐标系，则A （3，0），B （0，），设P （x ，y ），则222PA PB PC ++＝（x ﹣3）2+y 2+x 2+（y ﹣2+x 2+y 2＝3x 2﹣6x +3y 2﹣y +81＝3『（x ﹣1）2+（y ﹣）2+18』，∴当x ＝1，y ＝时取的最小值，此时P （1，），则PA •PB =（2，﹣）•（0，﹣）＝24．选D.12.已知函数()ln f x x x h =-++，在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任取三个实数,,a b c 均存在以(),(),()f a f b f c 为边长的三角形，则实数h 的取值范围是( )A. (),1-∞-B. (),3e -∞-C. ()1,-+∞D. ()3,e -+∞『答案』D『解析』任取三个实数a ，b ，c 均存在以f （a ），f （b ），f （c ）为边长的三角形， 等价于f （a ）+f （b ）＞f （c ）恒成立，可转化为2f （x ）min ＞f （x ）max 且f （x ）min ＞0． 令得x =1．当时，f '（x ）＜0；当1＜x ＜e 时，f '（x ）＞0；所以当x =1时，f （x ）min =f （1）=1+h ，==e ﹣1+h ，从而可得，解得h ＞e ﹣3，故选D ．二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知实数x ，y 满足4242x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最大值为__________．『答案』6『解析』则过点()2,2-时，2z x y =-的最大为6.14.已知{}n a 是各项都为正数的等比数列，则前n 项和为n S ，且243,15S S ==，则3a =__________． 『答案』4『解析』423421212,3S S a a S a a -=+==+=23412124,23a a q q a a +∴====+或 2q =-，（舍去）()34331312a a a q a ∴+=+==， 34a =，故答案为4.15.欧阳修在《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为4cm的圆，中间有边长为1cm 的正方形孔，若你随机地向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率是_______ 『答案』14π『解析』因为铜钱的面积为21(4)42ππ⋅⨯=，正方形孔的面积为111⨯=，所以随机地向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率是14π. 故答案为：14π16.在平面直角坐标系xOy 中，直线1:20l kx y -+=与直线2:k 20l x y +-=相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线40x y --=的距离的最大值为______.『答案』『解析』 由题意得，直线1:20l kx y -+=的斜率为k ，且经过点(0,2)A , 直线2:20l x ky +-=的斜率为1k-，且经过点(2,0)B ，且直线12l l ⊥ 所以点P 落在以AB 为直径的圆C 上，其中圆心坐标(1,1)C，半径为r =则圆心到直线40x y --=的距离为d ==，所以点P 到直线40x y --=的最大距离为d r +==．的三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2cos 3A =，sin B C =.(1)求tan C 的值；(2)若a ，求△ABC 的面积． 解：(1)∵0<A <π，cos A ＝23，∴sin AC ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C C ＋23sin C ，∴tan C(2)由tan C sin C，cos C于是sin B C由a 及正弦定理sin aA＝sin C ，得c ，设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ac sin B ．18.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，PD ⊥底面ABCD ，//AB CD ，AD CD ⊥，1AD AB ==，BC =(1)求证：平面PBD ⊥平面PBC ；(2)设H 为CD 上一点，满足2CH HD =，若直线PC 与平面PBD，求二面角H PB C --的余弦值．（1）证明：由,//,1AD CD AB CD AD AB ⊥==，可得BD =，又,.4BC BC BD π=∠=∴⊥从而2CD =，PD ⊥底面ABCD ，BC PD ∴⊥PD BD D ⋂=，BC ∴⊥平面,PBD 所以平面PBD ⊥平面PBC .（2）解：由（1）可知BPC ∠为PC 与底面PBD 所成角.所以tan BPC ∠=1PB PD == 又23CH HD =及2CD =，可得64,55CH DH ==, 以D 点为坐标原点，,,DA DC DP 分别,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()()41,1,0,0,0,1,0,2,0,0,,05B P C H ⎛⎫⎪⎝⎭. 设平面HPB 的法向量(),,n x y z =.则由00n PB n PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩得4050y z x y z ⎧-+=⎪⎨⎪+-=⎩取()1,5,4n =--同理平面PBC 的法向量为()1,1,2m = 所以27cos ,7m n m n m n ⋅==- 又二面角H PB C --为锐角.所以二面角H PB C --余弦值为7. 19.在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，M 是抛物线C 上的任意一点，当M 位于第一象限内时，OFM ∆外接圆的圆心到抛物线C 准线的距离为32. （1）求抛物线C 的方程；（2）过(1,0)K -的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，且([2,3])KA KB λλ=∈，点G 为x 轴上一点，且GA GB =，求点G 的横坐标0x 的取值范围. 解：（1）根据题意，点Q 在FO 的垂直平分线上， 所以点Q 到准线的距离为32422p p p +=⇒=， 所以2:4C y px =.（2）设()()112212,,,,A x y B x y KA KB y y λλ=⇒=， 设直线:1l x my =-代入到24y px =中得2440y my -+=，所以()()2221221221191641,42,23y y m y y y y m λλλλλλ+⎡⎤+==+=⇒=⇒++∈⎢⎥⎣⎦， 又AB 中点()221,2m m -，所以直线AB 的垂直平分线的方程为()2221y m m x m ⎡⎤-=---⎣⎦，可得20131121,43x m ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦. 20.交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：某机构为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题： （1）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，950a =，记x 为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求x 的分布列与数学期望；（数学期望值保留到个位数字）（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元: ①若该销售商购进三辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求他获得利润的期望值. 解：（1）由题意可知：X 的可能取值为0.9a ，0.8a ，0.7a ，a ，1.1a ，1.3a 由统计数据可知：1(0.9)6P X a ==，1(0.8)12P X a ==，1(0.7)12P X a ==，1()3P X a ==，1( 1.1)4P X a ==，1( 1.3)12P X a ==.所以X 的分布列为：0.90.80.7 1.1 1.39426121234121212EX a a a a a a =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==≈.（2）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故的概率为13，三辆车中至多有一辆事故车的概率为：321311220133327P C ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ②设Y 为给销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y 的可能取值为5000,10000- 所以Y 的分布列为：所以500010000500033EY =-⨯+⨯=. 所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望值为10050EY ⨯=万元.21.已知函数()xf x e ax =-.（1）当2a =时，求函数()f x 的单调区间； （2）若存在,[0,2]m n ∈，且1m n -≥，使得()1()f m f n =，求证：11ae e ≤≤-. 解：（1）当2a =时，()()22xxf x e x f x e =-⇒=-'， 又()0ln 2f x x >⇒>'，由()0ln 2f x x <⇒<'，所以函数()f x 的单调递增区间为(ln 2,)+∞，单调递减区间为(,ln 2)-∞. （2）由()xf x e a '=-，当0a ≤时，()0f x '>，此时()f x 在R 上单调递增；由()()1f m f n =可得m n =，与1m n -≥相矛盾，所以0a >，且()f x 的单调递增区间为(ln ,)a +∞，单调递减区间为(,ln )a -∞.若,(,ln )m n a ∈-∞，则由12()()f x f x =可得12x x =，与121x x -≥相矛盾， 同样不能有,(ln ,)m n a ∈+∞，不妨设02m n ≤<≤，则由0ln 2m a n ≤<<≤，因为()f x 在(,ln )m a 上单调递减，在(ln ,)a n 上单调递增，且()()1f m f n =，所以当m x n ≤≤时，()()()f x f m f n ≤=.由02m n ≤<≤，1m n -≥，可得1[,]m n ∈，故()()()1f f m f n ≤=， 又()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，且0ln m a ≤<，所以()()0f m f ≤，所以()()10f f ≤，同理()()12f f ≤，即212e a e a e a-≤⎧⎨-≤-⎩，解得21e a e e -≤≤-， 所以11ae e ≤≤-. 22.已知曲线C：2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数)和定点A，F 1，F 2是此曲线的左、右焦点，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求直线AF 2的极坐标方程；(2)经过点F 1且与直线AF 2垂直的直线l 交曲线C 于M ，N 两点，求||MF 1|－|NF 1||的值．解：(1)曲线C：2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩可化为22143x y +=，故曲线C 为椭圆，则焦点F 1(－1，0)，F 2(1，0)． 所以经过点A (0)和F 2(1，0)的直线AF 2的方程为x＝1＋y0，所以直线AF 2cos θ＋ρsin θ(2)由(1)知，直线AF 2的斜率为l ⊥AF 2， 所以直线l30°，所以直线l的参数方程为1212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，代入椭圆C 的方程中，得13t 2－－36＝0. 因为点M ，N 在点F 1的两侧， 所以||MF 1|－|NF 1||＝|t 1＋t 2|. 23.已知函数()221f x x x =-+-. （1）求不等式()4f x >的解集；（2）若不等式()2274f x m m >-+对于x ∀∈R 恒成立,求实数m 的取值范围.解：（1）依题意，()43122112342x x f x x x x x x x ，，，，，，-<⎧⎪=-+-=≤≤⎨⎪->⎩故不等式()4f x >的解集为()803⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，， （2）由（1）可得，当1x =时，()f x 取最小值1，()2274f x m m >-+对于x R ∈恒成立，∴()2min 274f x m m >-+，即22741m m -+<，∴22730m m -+<，解之得132m <<，∴实数m 的取值范围是1|32m m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭。

2020届高三上学期第三次月考理科数学试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时间120分钟。

请在答题卷上作答。

第I卷（选择题共60分）一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求。

)1.设全集，集合，则 ( )A. B. C. D.2.已知复数z满足，i是虚数单位，则复数A. B. C. D.3.已知，，则）A. B. C. D.4.已知函数，则A. 2019B.C. 2D. 15.已知为等差数列的前项和，若，，则数列的公差（）A. 4B. 3C. 2D. 16.设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为A. B. C. D.7.将函数的图象向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到的图象，下面四个结论正确的是（）A. 函数在区间上为增函数B. 将函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称C. 点是函数图象的一个对称中心D. 函数在上的最大值为8.已知a=πsin,24b=πcos24,且、a b的夹角为π12,则⋅=a bA.116B.183149.执行如图所示的程序框图，输出的 值为A. 1B.C. 0D.10.已知函数,若,则（ ）A. B. C. D.11.已知定义在R 上的偶函数()f x （函数()f x 的导数为()f x '）满足()32f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，e 3f (2018)＝1，若()()0f x f x +'>，则关于x 的不等式()12e xf x ->的解为 A. (),3-∞ B. ()3,+∞ C. (),0-∞ D. ()0,+∞ 12.已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论错误的是( ) A. 函数在上为单调递增函数 B. 是函数的极小值点 C. 函数至多有两个零点 D.时，不等式恒成立第II 卷（非选择题 90分）二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分。

安徽省滁州市定远县育才学校2020届高三下学期3月线上高考模拟考试数学试题（文）第I 卷 选择题（共60分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若集合{|(2)(3)0}M x x x =--=，{|(1)(3)0}N x x x =--<，则M N =( )A. φB. {2}C. {3}D. {2,3}『答案』B『解析』{|(2)(3)0}={2,3}M x x x =--=，{|(1)(3)0}={|13}N x x x x x =--<<<，则{2}M N ⋂=，故选B.2.在等比数列{}n a 中，182n a a +=，3281n a a -=，且前n 项和121n S =，则此数列的项数n 等于（ ）A.4 B.5 C.6 D. 7『答案』B『解析』设等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列的性质可得：13281n n a a a a -==， 又182n a a +=，1a ∴和n a 是方程282810x x -+=的两根，解方程得1x =或81x =. 若等比数列{}n a 递增，则11a =，81n a =，121n S =，118112111n a a q qq q--==--解得3q =，18113n -∴=⨯，解得5n =； 若等比数列{}n a 递减，则181a =，1n a =，121n S =，18112111n a a q q q q --==--，解得13q =，118113n -⎛⎫∴=⨯ ⎪⎝⎭，解得5n =. 则此数列的项数n 等于5 故选：B.3.若复数12az i i=+-（i 为虚数单位，a R ∈）的实部与虚部互为相反数，则a =（ ）A. 53-B. 13-C.1-D. 5-『答案』A 『解析』复数()()()122112121255a i a a a z i i i i i i +⎛⎫=+=+=++ ⎪--+⎝⎭. 由题意可知：21055a a ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得：53a =-. 故选A.4.已知,60,2,1,,ABC BAC AB AC E F ∆∠===为边BC 的两个三等分点，则AE AF →→⋅=（ ） A.54B.109C.158D.53『答案』D『解析』∵在△ABC 中，∠BAC =60°，AB =2，AC =1，∴根据余弦定理可知BC AB =2，AC =1，BC BCA =90° 以C 为坐标原点，CA 、CB 方向为x ，y 轴正方向建立坐标系∵AC =1，BC C （0，0），A （1，0），B （0） 又∵E ，F 分别是Rt △ABC 中BC 上的两个三等分点，则E （0 ），F （0）则23351,,1,3AE AF AE AF ⎛⎫⎛⎫=-=-∴⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选D5.如图所示的程序框图，若输入8,3,m n ==则输出的S 值为（ ）A. 56B. 336C. 360D. 1440『答案』B『解析』执行程序框图，可得8,3m n ==8,1k s ==不满足于条件1k m n <-+，8s =，7k =，不满足于条件1k m n <-+， 56s =，6k =，不满足于条件1k m n <-+，336s =，5k =，满足条件1k m n <-+，退出循环，输出S 值为336故选B6.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右焦点F 作圆222x y a +=的切线FM （切点为M ），交y 轴于点P .若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率是（ ） A.2B.C.D.『答案』B『解析』在FPO ∆中，M 为线段FP 的中点，又OM FP ⊥，则FPO ∆为等腰直角三角形.c e =⇒=故答案选B7.已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同，则该几何体的表面积为（ ）A. 1612+πB. 3212π+C. 2412π+D. 3220π+『答案』A，底面对角线长为4，球的半径为2，所以几何体的表面积为：221422412162S πππ=⨯⨯+⨯+=+，故选A ．8.下列四个图中，函数10ln 11x y x +=+的图象可能是（ ）A. B.C. D.『答案』C 『解析』函数10ln 11x y x +=+的图象可以看作是由函数10ln x y x=的图象向左移动1个单位得到的，而函数10ln x y x=是奇函数，所以排除A 和D ；又因为当0x >时，ln 111,01x x x ++>∴>+所以选C ．9.现有2个正方体，3个三棱柱，4个球和1个圆台，从中任取一个几何体，则该几何体是旋转体的概率为（ ） A.110B.25C.12D.710『答案』C『解析』由题意知共有10个几何体，其中旋转体为球和圆台，共5个，根据古典概型，从中任取一个几何体，则该几何体是旋转体的概率51102P. 10.已知三棱锥A BCD -的各棱长都相等，E 为BC 中点，则异面直线AB 与DE 所成角的余弦值为( )A.6B.6C.6D.『答案』B『解析』取AC 中点M ，则因为E 为BC 中点，因此ME 平行AB ，从而异面直线AB 与DE 所成角等于∠MED ，因为三棱锥A BCD -的各棱长都相等，设为1，则1,2ME DM DE ===2221()cos MED +-∴∠==，即异面直线AB 与DE 所成角的余弦值为B. 11.定义在0,上单调函数()f x 对任意的()0,x ∈+∞都有()()3log 4ff x x -=，则不等式()224f a a +>的解集为（ ） A. {|3a a <-或1}a > B. {}|1a a > C. {}|31a x -<< D. {}|3a a <-『答案』A『解析』令()04f x =，则()30log f x x x -=，所以()30log f x x x =+，又因为()04f x =，所以300log 4x x +=，解得03x =，可得()3log 3f x x =+，所以()f x 是增函数，由()224f a a +>，则()()223f a a f +>，所以223a a +>，解得31a a 或-．故本题选A ．12.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A B 、两点，且直线l 与圆222304x px y p -+-=交于C D 、两点.若2AB CD =，则直线l 的斜率为（ ）A. 2±B. C. 1±D.『答案』C『解析』由题设可得圆的方程为2222p x y p ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 故圆心为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，为抛物线的焦点，所以2,CD p = 所以4AB p =． 设直线:2pl x ty =+,代入22(0)y px p =>得2220y pty p --=， 的设直线l 与抛物线C 的交点坐标为()()1122,,,A x y B x y ，则212122,y y pt y y p +==-，则()2214AB p t p ==+=，所以212t +=，解得1t =±． 故选C ．第II 卷 非选择题（共90分）二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.已知函数()21,0,()={3,0ln x x f x x x x +>-+≤，若不等式()20f x mx -+≥恒成立，则实数m 的取值范围为__________．『答案』3⎡⎤--⎣⎦『解析』不等式即：()2mx f x ≤+恒成立，作出函数()2y f x =+的图象，则正比例函数y mx =恒在函数()2y f x =+的图象下方，考查函数： 232y x x =+﹣经过坐标原点的切线，易求得切线的斜率为3k =--，由此可得：实数m 的取值范围为3⎡⎤--⎣⎦，故答案为3⎡⎤--⎣⎦．14.若函数()2cos()f x x m ωθ=++对任意的实数f()()99t t f t ππ+=-都有且()3,9f π=-则m =_______ . 『答案』1- 或5-『解析』对任意的实数f()99t t f t 都有ππ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,说明函数图像的一条对称轴为9x π=，()39f π=-，则23m ±+=- ，1m =- 或5m =-.15.如图，在长方体1111ABCD A B C D －中，16,3,8AA AB AD ===， 点M 是棱AD 的中点，N 在棱1AA 上，且满足12AN NA ＝，P 是侧面四边形11ADD A 内一动点(含边界)，若1C P ∥平面CMN ，则线段1C P 长度最小值是________.『解析』取11A D 的中点Q ,过点Q 在面11ADD A 作MN 的平行线交1DD 于E则易知面1//C QE 面CMN ,在1C QE ∆中作1C P QE ⊥,则1C P =.16.若函数()f x 对定义域内的任意12,x x ，当()()12f x f x =时，总有12x x =，则称函数()f x 为单调函数，例如函数()f x x =是单纯函数，但函数()2f x x =不是单纯函数，下列命题：①函数()2log ,2{1,2x x f x x x ≥=-<是单纯函数；②当2a >-时，函数()21x ax f x x++=在0,是单纯函数；③若函数()f x 为其定义域内的单纯函数，12x x ≠，则()()12f x f x ≠④若函数()f x 是单纯函数且在其定义域内可导，则在其定义域内一定存在0x 使其导数()0'0f x =，其中正确的命题为__________．（填上所有正确的命题序号）『答案』①③ 『解析』由题设中提供“单纯函数”的定义可知：当函数是单调函数时，该函数必为单纯函数．因为2x ≥时，2()log f x x =单调，所以2()log f x x =是单纯函数；当2x <时，()1f x x 单调，所以()1f x x 是单纯函数，故命题①是正确的；对于命题②，由于1()f x x a x=++不单调，故不是单纯函数；由于单调函数一定是单纯函数，故当12x x ≠，则()()12f x f x ≠，即命题③是正确的；对于命题④，由于单纯函数一定是单调函数，所以在定义域内不存在极值点，故是错误的，应填答案①③．三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若223cos cos 20A A +=，且ABC 为锐角三角形，7a =，6c =，求b 的值； （2）若a =3A π=，求b c +的取值范围．解：（1）22223cos cos223cos 2cos 10A A A A +=+-=，∴21cos 25A =，又A 为锐角，1cos 5A =， 而2222cos a b c bc A =+-，即2121305b b --=， 解得5b =或135b =-（舍去），5b ∴=； （2）由正弦定理可得22(sin sin )2sin sin 36b c B C B B B ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，203B π<<， ∴5666B πππ<+<， ∴1sin 126B π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，∴b c +∈．18.某中学高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人．为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，统计了他们期中考试的的数学分数，然后按照性别分为男、女两组，再将两组的分数分成5组：[)[)[)[)[]100,110,110,120,120,130,130,140,140,150分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（I）从样本分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰为一男一女的概率；（II）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”?附表：解：（Ⅰ）由已知得，抽取的100名学生中，男生60名，女生40名，分数小于等于110分的学生中，男生人有60×0.05=3（人），记为A1，A2，A3；女生有40×0.05=2（人），记为B1，B2；………………2分从中随机抽取2名学生，所有的可能结果共有10种，它们是：（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）；其中，两名学生恰好为一男一女的可能结果共有6种，它们是：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2）；故所求的概率为P=63= 105．（Ⅱ）由频率分布直方图可知，在抽取100名学生中，男生60×0.25=15（人），女生40×0.375=15（人）；…7分据此可得2×2列联表如下：（9分） 所以得()21122122121212n n n n n n n n n χ++++-=()210015251545=1.7960403070⨯-⨯≈⨯⨯⨯；因为1.79＜2.706，所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”19.如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，3AB AD AC ===，4PA BC ，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．（I ）证明MN ∥平面PAB ； （II ）求四面体N BCM -的体积.（I ）证明：由已知得，取的中点T ，连接，由N 为中点知，.又，故平行且等于，四边形AMNT 为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面.（Ⅱ）解：因为平面，N 为的中点，所以N 到平面的距离为.取的中点，连结.由得，.由得到的距离为，故145252BCMS=⨯⨯=. 所以四面体的体积14532N BCM BCMPA V S -=⨯⨯=. 20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点⎛ ⎝⎭（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点P 与点Q 均在椭圆C 上，且,P Q 关于原点对称，问：椭圆上是否存在点M （点M 在一象限），使得PQM ∆为等边三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意222221314{a b c a a b c +===+，解得2,1a b ==，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=．（2）由题意知直线PQ 经过坐标原点O ，假设存在符合条件的点M ，则直线OM 的斜率存在且大于零，,OM PQ OM ⊥=① 设直线OM 的斜率为k ，则直线:OM y kx =，联立方程组22{14y kxx y =+=，得M M x y ==所以OM =同理可得直线PQ 的方程为1,y x OP k =-=将②③代入①式得= 化简得21110k-=，所以11k =所以1515M M x y ==，综上所述，存在符合条件的点M ⎝⎭21.设函数2()x x f x e me ax -=+-(,)m a R ∈. （1）若()f x 为偶函数，求m 的值；（2）当0m =时，若函数()f x 的图象有且仅有两条平行于x 轴的切线，求a 的取值范围. 解：（1）因为()f x 为偶函数且定义域为(),-∞+∞，所以()()f x f x -=， 所以x x x x e me e me --+=+， 即()()0x xxx m e eee -----=，也即()()10x x m e e ---=，所以1m =（2）由题意知()'20xf x e ax =-=有两个不等的根12,x x 12()x x <，显然0x =不是方程()'20xf x e ax =-=的根，则2=xe a x，即()2xeF x x =的图像与直线y a =有两个不同的交点，因为()()21'2xe x F x x-=， 所以当0x <及01x <<时，()F'0x <，()F x 为减函数.当1x >时，()'0F x >，()F x 为增函数，所以当0x >时，()()12eF x F ≥=， 当0x <时，()0F x <且递减，所以2e a >，故a 的取值范围为,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为12{?12x ty t=--=-+（t 为参数），以原点为极点，.以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）P 为曲线1C 上任一点，过点P 作曲线2C 的切线PT （T 为切点），求PT 的最小值.解：（1）将方程1212x ty t=--⎧⎨=-+⎩消去参数t 得20x y ++=，故曲线1C 的普通方程为20x y ++=．因为)2sin 2cos 4πρθθθ=+=+，所以22sin 2cos ρρθρθ=+，把222,sin ,cos x y y x ρρθρθ=+==代入上式， 得2222x y x y +=+， 即()()22112x y -+-=．所以曲线2C 的直角坐标方程为()()22112x y -+-=．（2）由（1）知，曲线2C 为圆心()1,1M故PT ==所以当且仅当MP 取得最小值时，PT 取得最小值，又min ||MP ==，所以min ||PT .即|PT . 选修4-5：不等式选讲23.已知函数()12f x x x =--+. （1）求不等式2()0f x -<<的解集A ； （2）若,m n A ∈，证明：142mn m n ->-.解：（1）依题意，()3,2,12{21,21,3,1,x f x x x x x x ≤-=--+=---<<-≥由2210x -<--<，解得1122x -<<，故11,22A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （2）由（1）可知，2211,44m n <<； 因为22144mn m n ---()()()()22222218164241410mn m n m mn n m n =-+--+=-->，故22144mn m n ->-，故142mn m n ->-．。

2020 学年度高三上学期第三次月考试卷数学（文科）试题姓名：座位号：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150 分，考试时间 120 分钟。

请在答题卷上作答。

第 I 卷（选择题共 60 分）一、选择题 ( 共 12 小题 , 每题 5 分 , 共 60 分。

在每题给出的四个选项中只有一项切合题目要求。

)1. 已知全集 U 1,2,3,4,5 ,会合 A x x 1 x 20 , B x x a 2 1, a A ，则会合C U A B 等于()A. 1,2,5B.3,4C.3,4,5D.1,22. 已知 z 是纯虚数，若 ai z 3i，则实数 a 的值为( )1A. 1B. 3C.－ 1D. －33. 已知 aR ，则“ a 1 ”是“ a 1 a 1 2”的 ()A. 充足不用要条件B.必需不充足条件C. 充足必需条件D.既不充足也不用要条件4. 函数 fxe x 1x 2f x1的解集为 (){x 1 x2 ，则不等式log 3A.1,2B.,4C.1,4D.332,x5. 函数 yx a 与 y xa （ a 0 且 a 1 ）在同一坐标系中的图象可能为（）xA. B. C. D.6. 已知双曲线C的两个焦点F1 , F2都在 x 轴上，对称中心为原点，离心率为3.若点M 在C 上，且MF1 MF2， M 到原点的距离为 3 ，则C的方程为（）A. x2 y2 1B. y2 x2 1C. x2 y2 1D.4 8 4 8 2y2 x2 127. 在等差数列a n 中，已知 a6 a10 0 ，且公差d 0 ，则其前n项和取最小值时的n 的值为（）A. 6B. 7 或 8C. 8D. 98. 已知椭圆和双曲线有共同焦点F1 ,F2 , P是它们的一个交点，且F1 PF2 ，记椭圆和3双曲线的离心率分别为e1 ,e2 ，则 1 的最大值为（）e1e2A. 2 3B.4 3C. 23 3D. 39. 在ABC 中，角A, B,C 的对边分别为a,b, c ，且ABC 的面积S 2 5cosC ，且a 1,b 2 5 ，则c （）A. 15B. 17C. 19D.2110. 已知0 ， a 0 ， f x asin x 3acos x ，g x 2cos ax ，6h x f x 这 3 个函数在同向来角坐标系中的部分图象以下列图所示，则函数 g x h x g x的图象的一条对称轴方程能够为( )A. xB.13C. x23D.29 x6 12x6 1211. 把函数y sin2 x6 cos2 x6的图像向右平移(0) 个单位就获得了一个奇函数的图像，则的最小值是（）A. B.6 C.3D.5121212. 已知函数f x lnx ax2 x 有两个零点，则实数 a 的取值范围是（）A. ,1B. 0,1C.1 e, e2D.1 e0,e2第 II 卷（非选择题共90分）二、填空题 ( 本大题共4小题,每题 5分,共20 分 )13. 若命题“ ? x0∈R，使得x2＋ mx＋2m－3＜0”为假命题，则实数m 的取值范围是______________．14. 已知函数f x xe x，若对于 x 的方程f2 x 2tf x3 0 t R 有两个不等实数根，则 t 的取值范围为__________．15. 已知 sin πcos 1，则 cos 2 π__________ ．6 3 316. 奇函数 f x 是 R 上单一函数， g x f ax 3 f 1 3x 有独一零点，则 a 的取值会合为 ____________．三、解答题 ( 共 6 小题 , 共 70 分。

育才学校2020届高三年级上学期第三次月考文科数学试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时间120分钟。

请在答题卷上作答。

第I卷（选择题共60分）一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求。

)1.已知i是虚数单位，，则A. 10B.C. 5D.2.已知全集，，，则（）A. B. C. D.3.已知偶函数的图象经过点，且当时，不等式恒成立，则使得成立的的取值范围是（）A. B. C. D.4.为数列的前项和,其中表示正整数的所有因数中最大的奇数，例如：的因数有，则；的因数有，则.那么（）A. B. C. D.5.已知中，A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则AB边上的中线的长为A. B. C. 或 D. 或6.执行如图所示的程序框图,则输出的n值是（）A. 5B. 7C. 9D. 117.已知函数，若关于的方程恰有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是A. B. ， C. ， D. ，8.关于函数2314y sin x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，下列叙述有误的是( ） A. 其图象关于直线4x π=-对称B. 其图象关于点,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. 其值域是[]1,3- D. 其图象可由214y sin x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的13得到 9.若函数是幂函数，且其图象过点，则函数的单调增区间为（ ） A. B.C.D.10.函数，的图象大致是（ ）11.记不等式组620x y x y +⎧⎨-≥⎩…表示的平面区域为D ，命题:(,),29p x y D x y ∃∈+…；命题:(,),212q x y D x y ∀∈+„.给出了四个命题：①p q ∨；②p q ⌝∨；③p q ∧⌝；④p q ⌝∧⌝，这四个命题中，所有真命题的编号是（ ） A. ①③ B. ①②C. ②③D. ③④12.设函数是定义在上周期为的函数，且对任意的实数，恒，当时，．若在上有且仅有三个零点，则的取值范围为（ ）A.B.C.D.第II 卷（非选择题 90分）二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分。

安徽省滁州市定远县育才学校2020届高三上学期第三次月考数学试题（文）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求.）1.已知i 是虚数单位，44z 3i (1i)=-+，则z (= )A. 10B.C. 5D.『答案』B『解析』4244z 3i 3i 13i (1i)(2i)=-=-=--+，z ∴== 故选B ．2.已知全集U =R ，{|11}A x x =-<<，{|0}B y y =>，则()A C B ⋂=R （ ）A. (10)-， B. (10]-， C. (0)1， D. [01)，『答案』B『解析』∵{}0B y y =又由全集U ＝R ，∴R C B ＝{y |y ≤0 }，则A ∩（∁U B ）＝{x |1x -<≤0 }=(]10-，． 故选B ．3.已知偶函数()f x 的图象经过点(12)-，，且当0a b ≤<时，不等式()()0f b f a b a-<-恒成立，则使得(1)2f x -<成立的x 的取值范围是 A. (0,2)B. (2,0)-C. ,02),()(∞⋃+∞－D. ,2()0,()∞-⋃+∞－『答案』C『解析』由题意，当0a b ≤<时，不等式()()0f b f a b a-<-恒成立，所以函数()f x 在0x ≥时是减函数，又由偶函数()f x 的图象经过点()1,2-，所以函数()f x 在0x <时是增函数，()()112f f -==，当1x ≥时，由()()121f x f -<=，得11x -＞，即2x ＞ 当1x <-时，由()()121f x f -<=-，得11x -<-，即0x <， 所以，x 的取值范围是()(),02,-∞⋃+∞4.n S 为数列{}n a 的前n 项和,其中n a 表示正整数n 的所有因数中最大的奇数，例如：6的因数有1,2,3,6，则63a =；15的因数有1,3,5,15，则1515a =.那么30S = . A. 240 B. 309C. 310D. 345『答案』C『解析』n a 表示正整数n 的所有因数中最大的奇数， ∴2=n n a a ，且n 为奇数时，n a n =，∴30113153719511313715117919=++++++++++++++++++S5211123325132772915+++++++++++ ()()135294910149111315=+++⋯+++++++++()11291585225853102=+⨯+=+=，故选C ．5.已知ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3b =，c =，30B =︒，则AB 边上的中线的长为( )A.B.34C. 32D.34 『答案』C『解析』3,30b c B ===，∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得29272a a =+-⨯⨯，整理可得：29180a a -+=，∴解得6a =或3．如图，CD 为AB 边上的中线，则12BD c ==， ∴在BCD 中，由余弦定理2222cos CD a BD a BD B =+-⋅⋅，可得：222626CD =+-⨯222323CD =+-⨯，∴解得AB 边上的中线32CD =或2． 故选C ．6.执行如图所示的程序框图，则输出的n 值是（ ）A. 5B. 7C. 9D. 11『答案』C『解析』执行如图所示的程序框图如下：409S =≥不成立，11S 133==⨯，123n =+=；1439S =≥不成立，1123355S =+=⨯，325n =+=； 2459S =≥不成立，2135577S =+=⨯，527n =+=；3479S =≥不成立，3147799S =+=⨯，729n =+=.4499S =≥成立，跳出循环体，输出n 的值为9，故选C.7.已知函数()f x lnx =，若关于x 的方程()f x kx =恰有两个不相等的实数根， 则实数k 的取值范围是( )A. 1(0,)eB. (0，1]eC. 1(2D. 1(2，『答案』A『解析』设g （x ）()f x lnx xx==， 又g ′（x ）21lnxx-=， 当0＜x ＜e 时，g ′（x ）＞0，当x ＞e 时，g ′（x ）＜0， 则函数g （x ）在（0，e ）为增函数，在（e ，+∞）为减函数， 又x →0+时，g （x ）→﹣∞，x →+∞时，g （x ）→0+，g （e ）1e=， 即直线y ＝k 与函数g （x ）的图象有两个交点时k 的取值范围为（0，1e）， 故选A ．8.关于函数2sin 314y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，下列叙述有误的是( ） A. 其图象关于直线4πx =-对称 B. 其图象关于点,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. 其值域『－1,3』 D. 其图象可由2sin 14y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的13得到 『答案』B『解析』当4πx =-时，1y =-，为函数最小值，故A 正确； 当12x π=时，sin(3)1124ππ⨯+=，3y =，所以函数图象关于直线12x π=对称，不关于点,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故B 错误；函数的值域为『－1,3』，显然C 正确；2sin 14y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的13得到2sin(3)14y x π=++，故D 正确．综上，故选B ．9.若函数()()2af x m x =+是幂函数，且其图象过点()2,4，则函数()()log a g x x m =+的单调增区间为（ ） A. ()2,-+∞ B. ()1,+∞ C. ()1,-+∞ D. ()2,+∞『答案』B是『解析』由题意得：21m +=，解得：1m =-， 故()af x x =，将()2,4代入函数的解析式得：24a =，解得：2a =，故()()()2log log 1a g x x m x =+=-， 令10x ->，解得：1x >， 故()g x 在()1,∞+递增， 故选B ．10.函数()24sin f x x x =-，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象大致是( ) A.B.CD.『答案』D『解析』∵函数f （x ）=2x ﹣4sin x ，∴f （﹣x ）=﹣2x ﹣4sin （﹣x ）=﹣（2x ﹣4sin x ）=﹣f （x ），故函数f （x ）为奇函数，所以函数f （x ）=2x ﹣4sin x 的图象关于原点对称，排除AB ， 函数f ′（x ）=2﹣4cosx ，由f ′（x ）=0得cosx =，故x =2k （k ∈Z ），所以x =±时函数取极值，排除C ，故选D ． 11.记不等式组620x y x y +⎧⎨-≥⎩表示的平面区域为D ，命题:(,),29p x y D x y ∃∈+；命题:(,),212q x y D x y ∀∈+.给出了四个命题：①p q ∨；②p q ⌝∨；③p q ∧⌝；④p q ⌝∧⌝，这四个命题中，所有真命题的编号是（ ） A. ①③ B. ①② C. ②③ D. ③④『答案』A.『解析』如图，平面区域D 为阴影部分，由2,6y x x y =⎧⎨+=⎩得2,4x y =⎧⎨=⎩即A （2，4），直线29x y +=与直线212x y +=均过区域D ， 则p 真q 假，有p ⌝假q ⌝真，所以①③真②④假．故选A ．12.设函数()f x 是定义在R 上周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒()()0f x f x --=，当[]1,0x ∈-时，()2f x x =．若()()log a g x f x x =-在()0,x ∈+∞上有且仅有三个零点，则a 的取值范围为（ ） A. []3,5 B. []4,6 C. ()3,5 D. ()4,6『答案』C 『解析』()()()()0,f x f x f x f x --=∴=-，()f x ∴是偶函数，根据函数的周期和奇偶性作出()f x 的图象如图所示,()()log a g x f x x =-在()0,x ∈+∞上有且仅有三个零点， ()y f x ∴=和log a y x =的图象在()0,+∞上只有三个交点，结合图象可得log 31log 511a a a <⎧⎪∴>⎨⎪>⎩，解得35a <<， 即a范围是()3,5，故选C.二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分.)13.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且sin 2sin cos sin C C B A +=，(0)2Cπ，，a =1cos 3B =，则b =_________.『答案』125『解析』∵sin 2sin cos sin C C B A +=，由正弦定理可得c+2c cos B =a ，代入1cos 3B=，a =a=53c ，∴， 又cosB 2222546123ba cb ac +-+-===， ∴b 125=．故答案为125. 14.记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=____________． 『答案』1213. 『解析』设等比数列的公比为q ，由已知21461,3a a a ==，所以32511(),33q q =又0q ≠， 的所以3,q =所以55151(13)(1)12131133a q S q --===--． 15.已知2,1()lg(1),1x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则((1))=f f .『答案』0『解析』因为2,1()lg(1),1x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，所以((1))(2)lg10===f f f . 故答案为0.16.已知命题:p “1,420x x x R m +∀∈-+=”.若命题p ⌝是假命题，则实数m 的取值范围是_____________. 『答案』1m『解析』因为命题p ⌝是假命题，所以p 是真命题，即1,420x x x R m +∀∈-+=，所以142,x x m x R +=-+∈有解即可，令1242(2)22x x x x y +=-+=-+⨯，20x >，利用二次函数可知1y ≤，故1m ≤.三、解答题（共6小题，共70分）17.已知集合(){}()(){}22log 221,323+0,1xM x N x x a x a a a =-<=+--<<-；设:,,p x M q N ∈∈，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：∵log 2（2x ﹣2）＜1， ∴0＜2x ﹣2＜2，解得：1＜x ＜2， 故M={x|1＜x ＜2}，∵x 2+（3﹣a ）x ﹣2a （3+a ）＜0，a ＜﹣1， ∴（x+a+3）（x ﹣2a ）＜0， ∵a ＜﹣1，∴2a ＜﹣3﹣a ， 故N={x|2a ＜x ＜﹣3﹣a}， ∵p 是q 的充分不必要条件，∴21321a a a ≤⎧⎪--≥⎨⎪-⎩①②＜③， ①②中等号不同时成立， 即a≤﹣5．18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且满足C sin2=． ()1求()sin A B +的值； ()2若a b +=ABC 的面积S 的最大值．解：()1A ，B ，C是三角形的内角，且满足C sin 23=，C 1cos23∴=，C C sinC 2sincos 229∴==． 则()sin A B sinC +==()12S ab sinC 2=⋅=． a ，b ，c 是ABC的边，且a b +=21a b S ab sinC ()22+∴=⋅=≤=ABC ∴的面积S的最大值为9． 19.已知函数()f x 的图象与函数()1h x x x=+的图象关于点()0,1A 对称. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()g x xf x ax =+，且()g x 在区间(]0,4上为减函数，求实数a 的取值范围. 解：（1）∵()f x 的图象与()h x 的图象关于点()0,1A 对称，设()f x 图象上任意一点坐标为(),B x y ，其关于()0,1A 的对称点(),B x y '''， 则0212x x y y +⎧=⎪⎪⎨+''⎪=⎪⎩∴2x x y y =-⎧⎨=-''⎩ ∵(),B x y '''在()h x 上，∴1y x x ''=+'. ∴12y x x -=--，∴12y x x=++， 即()12f x x x=++. （2）∵()()g x xf x ax =+= ()221x a x +++且()g x 在(]0,4上为减函数， ∴242a +-≥， 即10a ≤-.∴a 的取值范围为(],10-∞-.20.某工厂加工一批零件，加工过程中会产生次品，根据经验可知，其次品率p 与日产量x （万件）之间满足函数关系式2,146331,4x x p x x x⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩，已知每生产1万件合格品可获利2万元，但生产1万件次品将亏损1万元（次品率=次品数/生产量）（1）试写出加工这批零件的日盈利额y （万元）与日产量x （万件）的函数； （2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润为多少？解：（1）当14x ≤<时，2212662x x x y x x x ⎛⎫=--⋅=- ⎪⎝⎭当4x ≥时，22333391219y x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+⋅--+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 所以函数关系为221,4299,4x x x y x x x ⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩；（2）当14x ≤<时，2212(2)222x y x x =-=--+， 所以当2x =时取得最大值2，当4x ≥时，2229999,10x y x y x x x '-=--=-+=<， 所以在[4,)+∞函数单调递减，所以当4x =时，y 取得最大值114， 又1124>所以当日产量为4万元时可获得最大利润114万元. 21.已知数列{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S .若1a 1=，且2S 1+是1S 1+，3S 1+是的等比中项．()1求数列{}n a 的通项公式；()2若n n b n a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．解：()1数列{}n a 为公比为q 的等比数列．若1a 1=，且2S 1+是1S 1+，3S 1+是的等比中项，可得()()2213(S 1)S 1S 1+=++， 即为()22(2q)22q q+=++，解得q 2(0=舍去)，则n 1n a 2-=； ()n 1n n 2b n a n 2-=⋅=⋅，则前n 项和01n 1n T 1222n 2-=⋅+⋅+⋯+⋅，2n n 2T 1222n 2=⋅+⋅+⋯+⋅，两式相减可得n 1n n T 122n 2--=++⋯+-⋅nn 12n 212-=-⋅-， 化简可得()nn T 1n 12=+-⋅． 22.已知函数()()23e ,91x f x x g x x =+=-.(1)求函数()()e 4xx x x f x ϕ=+-的单调区间; (2)比较()f x 与()g x 的大小,并加以证明.解：（1）()()()'22x x x e ϕ=--， 令()'0x ϕ=，得1ln2x =，22x =；令()'0x ϕ>，得ln2x <或2x >；令()'0x ϕ<，得ln22x <<.故()x ϕ在(),ln2-∞上单调递增，在()ln2,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增. （2）()()f x g x >.证明如下：设()()()h x f x g x =-= 2391x e x x +-+，∵()'329xh x e x =+-为增函数， ∴可设()0'0h x =，∵()'060h =-<，()'1370h e =->，∴()00,1x ∈. 当0x x >时，()'0h x >；当0x x <时，()'0h x <.∴()()0min h x h x = 0200391xe x x =+-+， 又003290x e x +-=，∴00329x ex =-+， ∴()2000min 2991h x x x x =-++-+ 2001110x x =-+ ()()00110x x =--.∵()00,1x ∈，∴()()001100x x -->，∴()min 0h x >，()()f x g x >.。

绝密★启用前2020届安徽省滁州市定远县育才学校高三下学期3月线上高考模拟考试数学（文）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若集合{|(2)(3)0}M x x x =--=，{|(1)(3)0}N x x x =--<，则M N =I ( ) A ．φ B ．{2}C ．{3}D ．{2,3}答案：B{|(2)(3)0}={2,3}M x x x =--=，{|(1)(3)0}={|13}N x x x x x =--<<<，则{2}M N ⋂=，故选B.2．在等比数列{}n a 中，182n a a +=，3281n a a -=，且前n 项和121n S =，则此数列的项数n 等于（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7答案：B由等比数列的性质得出181n a a =，结合182n a a +=，得出1a 和n a 的值，并设等比数列{}n a 的公比为q ，由11211n n a a qS q-==-，求出q 的值，然后利用等比数列的通项公式可求出n 的值. 解：设等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列的性质可得：13281n n a a a a -==，又182n a a +=，1a ∴和n a 是方程282810x x -+=的两根，解方程得1x =或81x =. 若等比数列{}n a 递增，则11a =，81n a =，121n S =Q ，118112111n a a q qq q--==-- 解得3q =，18113n -∴=⨯，解得5n =； 若等比数列{}n a 递减，则181a =，1n a =，121n S =Q ，18112111n a a q q q q --==--，解得13q =，118113n -⎛⎫∴=⨯ ⎪⎝⎭，解得5n =.则此数列的项数n 等于5 故选：B. 点评：本题考查等比数列项数的计算，涉及等比数列性质和等比数列前n 项和的计算，解题的关键就是求出等比数列的公比，考查运算求解能力，属于中等题. 3．若复数12az i i=+-（i 为虚数单位，a R ∈）的实部与虚部互为相反数，则a =（ ） A ．53-B ．13- C ．1- D ．5-答案：A分析：利用复数的除法运算化简2155a a z i ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，实部与虚部何为0即可得解. 详解：复数()()()122112121255a i a a a z i i i i i i +⎛⎫=+=+=++ ⎪--+⎝⎭. 由题意可知：21055a a ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得：53a =-. 故选A.点睛：复数除法运算的原理为：分母实数化，从而得到实部和虚部.4．已知,60,2,1,,ABC BAC AB AC E F ∆∠===o为边BC 的两个三等分点，则AE AF ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．54B ．109C ．158D ．53答案：D∵在△ABC 中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，∴根据余弦定理可知由AB=2，AC=1，，满足勾股定理可知∠BCA=90° 以C 为坐标原点，CA 、CB 方向为x ，y 轴正方向建立坐标系 ∵AC=1，C （0，0），A （1，0），B （0） 又∵E ，F 分别是Rt △ABC 中BC 上的两个三等分点，则E （0），F （0）则5,3AE AF AE AF ⎛⎛=-=-∴⋅= ⎝⎭⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v 故选D5．如图所示的程序框图，若输入8,3,m n ==则输出的S 值为（ ）A ．56B ．336C ．360D ．1440答案：B执行程序框图，可得8,3m n ==8,1k s ==不满足于条件1k m n <-+，8s =，7k =，不满足于条件1k m n <-+， 56s =，6k =，不满足于条件1k m n <-+，336s =，5k =，满足条件1k m n <-+，退出循环，输出S 值为336故选B6．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作圆222x y a +=的切线FM （切点为M ），交y 轴于点P .若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率是（ ） A ．2 B 2C 3D 5答案：B在FPO ∆中，M 为线段FP 的中点，又OM FP ⊥，得到等腰三角形，利用边的关系得到离心率. 解：在FPO ∆中，M 为线段FP 的中点，又OM FP ⊥，则FPO ∆为等腰直角三角形.22c a e =⇒=故答案选B 点评：本题考查了双曲线的离心率，属于常考题型.7．已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同，则该几何体的表面积为（ ）A ．1612+πB ．3212+πC ．2412π+D ．3220+π答案：A由三视图知：该几何体是正四棱柱与半球体的组合体，且正四棱柱的高为2，底面对角线长为4，球的半径为2，所以几何体的表面积为：221422222412162S πππ=⨯⨯+⨯+⨯⨯=+，故选A ． 8．下列四个图中，函数10ln 11x y x +=+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：C 试题分析： 解：函数10ln 11x y x +=+的图象可以看作是由函数10ln x y x=的图象向左移动1个单位得到的， 而函数10ln x y x=是奇函数，所以排除A 和D ；又因为当0x >时，ln 111,01x x x ++>∴>+所以选C ．【考点】1、函数图象的变换；2、函数的奇偶性；3、对数函数的性质.9．现有2个正方体，3个三棱柱，4个球和1个圆台，从中任取一个几何体，则该几何体是旋转体的概率为（ ） A ．110B ．25C ．12D ．710答案：C由题意知共有10个几何体，其中旋转体为球和圆台，共5个，根据古典概型，从中任取一个几何体，则该几何体是旋转体的概率51102P ==. 10．已知三棱锥A BCD -的各棱长都相等，E 为BC 中点，则异面直线AB 与DE 所成角的余弦值为( )A 53B 3C ．336D 11答案：B分析：求线面角关键找平行，利用三角形中位线是解决本题的关键，再根据余弦定理求求得结果.详解：取AC 中点M ，则因为E 为BC 中点，因此ME 平行AB ，从而异面直线AB 与DE 所成角等于∠MED ，因为三棱锥A BCD -的各棱长都相等，设为1，则13,2ME DM DE === 222313(()(3222cos 312MED +-∴∠==⨯⨯即异面直线AB 与DE 所成角的余弦值为36，选B.点睛：本题主要考查求异面直线所成角，线线角找平行，主要考查学生空间想象能力以及转化能力. 11．定义在()0,+?上的单调函数()f x 对任意的()0,x ∈+∞都有()()3log 4f f x x -=，则不等式()224f a a +>的解集为（ ）A ．{|3a a <-或1}a >B ．{}|1a a >C ．{}|31a x -<<D ．{}|3a a <-答案：A令()04f x =，则()30log f x x x -=，所以()30log f x x x =+，又因为()04f x =，所以300log 4x x +=，解得03x =，可得()3log 3f x x =+，所以()f x 是增函数，由()224f a a +>，则()()223f a a f +>，所以223a a +>，解得31a a 或-．故本题选A ．12．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A B 、两点，且直线l 与圆222304x px y p -+-=交于C D 、两点.若2AB CD =，则直线l 的斜率为A ．2±B ．2±C ．1±D ．答案：C由题意得圆心即为抛物线的焦点，故直线过圆心，于是CD 为圆的直径，所以24AB CD p ==．设直线:2pl x ty =+，将其代入抛物线方程消去x 得到关于y 的一元二次方程，然后根据弦长公式可得()2214AB p t p =+=，于是得到1t =±．解：由题设可得圆的方程为2222p x y p ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 故圆心为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，为抛物线的焦点， 所以2,CD p =。

2020-2021学年安徽省滁州市定远县育才学校高一上学期第三次月考数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}{}11,23A a B ==，，，，则“3a =”是“A B ⊆“的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】试题分析：当A B ⊆时，2a =或3a =．所以“3a =”是“A B ⊆”的充分不必要条件．故A 正确．【解析】1充分必要条件；2集合间的关系．2．不等式2230x x -++<的解集是（ ） A ．{x |x <－1} B ．{}| 1.5x x >C ．{}|1 1.5x x -<<D ．{1x x <-或}1.5x >【答案】D【分析】根据解一元二次不等式的方法进行求解即可.【详解】22230230(23)(1)0 1.5x x x x x x x -++<⇒-->⇒-+>⇒>或1x <-，故选：D3．已知函数2()4,[1,5]f x x x x =-∈，则函数()f x 的值域是（ ） A ．[－4，＋∞) B ．[－3，5] C ．[－4，5] D ．(－4，5]【答案】C【分析】运用配方法，结合二次函数的性质进行求解即可.【详解】22()4(2)4f x x x x =-=--，该二次函数的对称轴为：2x =，因为[1,5]x ∈，所以min ()(2)4f x f ==-，2max ()(5)5455f x f ==-⨯=，所以当[1,5]x ∈时，函数()f x 的值域为[－4，5].4．已知函数3()4f x ax bx =++（a ,b 不为零）,且(5)10f =,则(5)f -等于（ ） A ．-10 B ．-2C ．-6D ．14【答案】B【分析】把5x =代入函数解析式中,得到一个等式,再把5x =-代入函数解析式中,结合前一个得到的等式,最后求出(5)f -的值.【详解】∵(5)1255410f a b =++=，∴12556a b +=， ∴(5)12554(1255)4642f a b a b -=--+=-++=-+=-. 故选B【点睛】本题考查了求函数值问题,考查了数学运算能力,代入法是常见的解题方法.5化为分数指数幂的形式为 A ．122- B ．132- C ．122-- D ．562-【答案】A【分析】利用根式的性质计算可得出结果.13132222⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭， 故选：A.【点睛】本题考查根式的化简计算，解题的关键就是将根式化为分数指数幂，结合指数幂的运算性质进行化简计算，考查计算能力，属于基础题.6．已知二次函数221y x ax =-+在区间(2，3)内是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2a ≤或3a ≥ B ．23a ≤≤C ．3a ≤-或2a ≥-D ．32a --≤≤【答案】A【分析】根据开口方向和对称轴及二次函数f （x ）=x 2-2ax +1的单调区间求参数的取值范围即可.【详解】根据题意二次函数f （x ）=x 2-2ax +1开口向上，单调递增区间为(,)a +∞，单调减区间(,)a -∞，因此当二次函数f （x ）=x 2-2ax +1在区间（2，3）内为单调增函数时a ≤2， 当二次函数f （x ）=x 2-2ax +1在区间（2，3）内为单调减函数时a ≥3， 综上可得a ≤2或a ≥3.7．已知定义在R 上的偶函数()f x 的单调递减区间为[0,)+∞，则使()(2)f x f <成立的自变量取值范围是（ ） A ．(－∞，2) B ．(2，＋∞)C ．(－2，2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 【答案】D【分析】由偶函数定义，把不等式化为()(2)f x f <，然后利用单调性求解． 【详解】∵()f x 是偶函数，∴不等式()(2)f x f <可化为()(2)f x f <，又()f x 在[0,)+∞上是减函数，∴2x，即2x <-或2x >．故选：D ．8．若函数()2f x x bx c =++对任意实数x 都有()()22f x f x +=-，那么（ ）A ．()()()214f f f <<B ．()()()124f f f <<C ．()()()241f f f <<D ．()()()421f f f <<【答案】A【分析】结合二次函数的性质确定正确选项.【详解】依题意()2f x x bx c =++是开口向上的二次函数，由()()22f x f x +=-可知()f x 的对称轴为2x =， 根据二次函数的性质可知()()()214f f f <<. 故选：A【点睛】本小题主要考查二次函数的性质，属于基础题.9．已知函数y ＝f (x ＋1)的定义域是{x |－2≤x ≤3}，则y ＝f (2x －1)的定义域是（ ） A ．{x |0≤x ≤52} B ．{x |－1≤x ≤4} C ．{x |－5≤x ≤5} D ．{x |－3≤x ≤7}【答案】A【分析】首先求出1x +的范围，然后把1x +换成21x -求得结论． 【详解】(1)y f x =+中，23x -≤≤，则114x -≤+≤， 所以(21)y f x =-中1214x -≤-≤，解得502x ≤≤． 故选：A ．()y f x =中x 的取值范围相同．10．如下图所示曲线是幂函数y ＝x α在第一象限内的图象，已知α取±2，±12四个值，则对应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的指数α依次为（ ）A ．－2，－12，12，2 B ．2，12，－12，－2 C ．－12，－2，2，12D ．.2，12，－2，－12【答案】B【分析】在图象中，作出直线1x m =>，根据直线x m =和曲线交点的纵坐标的大小，可得曲线1C ，2C ，3C ，4C 相应的α应是从大到小排列．【详解】在图象中，作出直线1x m =>，直线x m =和曲线的交点依次为,,,A B C D , 所以A B C D y y y y >>>，所以C A B D m m m m αααα>>>， 所以A B C D αααα>>>，所以可得曲线1C ，2C ，3C ，4C 相应的α依次为 2，12，－12，－2 故选：B【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 11．下列结论中，正确的个数是（ ） ①当a <0时，()322a＝a 3；③函数y ＝()122x -－(3x －7)0的定义域是(2，＋∞)； ④若100a ＝5，10b ＝2，则2a ＋b ＝1. A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】①：根据指数幂与根式互化公式进行判断即可； ②：根据根指数的定义进行判断即可；③：根据二次根式和零次幂的性质进行求解即可； ④：运用指数幂运算性质进行求解即可；【详解】①：当a <0时，()32332aa a ====-，所以本结论不正确；②：由于n 既是根指数又是指数，所以2,n n N *≥∈，所以本结论不正确；③：由题意可知：202370x x x -≥⎧⇒≥⎨-≠⎩且73x ≠，所以本结论不正确；④：100a ＝522(10)5105a a ⇒=⇒=，而10b ＝2，所以2210105210101021a b a b a b +⋅=⨯=⇒=⇒+=，因此本结论正确. 故选：B12．若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意1,x 2x R ∈有1212()()()1f x x f x f x +=++则下列说法一定正确的是A ．()f x 为奇函数B ．()f x 为偶函数C ．()1f x +为奇函数D ．()1f x +为偶函数 【答案】C【详解】x 1=x 2=0，则()()()0001f f f =++，()01f ∴=-， 令x 1=x ，x 2=-x ，则()()()01f f x f x =+-+， 所以()()110f x f x ++-+=，即()()11f x f x ⎡⎤+=--+⎣⎦，()1f x +为奇函数，故选C.二、填空题13．已知函数()()21,02,0x x f x f x x +≥⎧=⎨+<⎩，则()3f -=________.【答案】3【分析】根据分段函数的解析式，代入即可求得【详解】由题意，函数()()21,02,0x x f x f x x +≥⎧=⎨+<⎩，可得()()()()()33211212113f f f f f -=-+=-=-+==⨯+=. 故答案为：3.14．已知f (x )为R 上的减函数，则满足1(1)f f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭的实数x 的取值范围为________. 【答案】(－∞，0)∪(1，＋∞) 【分析】利用单调性把原不等式转化为11x<，解出x 的范围. 【详解】∵f (x )为R 上的减函数，且1(1)f f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭∴11x<，解得：0x <或1x >， 即实数x 的取值范围为(－∞，0)∪(1，＋∞). 故答案为：(－∞，0)∪(1，＋∞)【点睛】(1)利用单调性解不等式通常用于： ①分段函数型不等式；②复合函数型不等式；③抽象函数型不等式；④解析式较复杂的不等式；(2)解题的一般策略是：利用函数的单调性，将函数值的的大小关系转化为自变量的关系，解不等式即可．15．已知()y f x =是奇函数. 若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -=_______. 【答案】3【详解】()y f x =是奇函数，则(1)(1)f f -=-，(1)(1)(1)(1)44g g f f +-=+-+=, 所以(1)4(1)3g g -=-=.16．若函数()()()2213f x a x a x =-+-+是偶函数,则()f x 的增区间是________【答案】(,0)-∞【详解】由于()f x 是偶函数，所以()()f x f x -=，故10a -=，所以1a =，所以()f x 23x =-+，二次函数()f x 开口向下，对称轴为0x =，所以()f x 的增区间是(,0)-∞.故答案为：(,0)-∞【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数，考查二次函数单调性，属于基础题.三、解答题17．判断下列函数的奇偶性：（1）f (x )＝5x 4－4x 2＋7，x ∈[－3，3]； （2）f (x )＝|2x －1|－|2x ＋1|. 【答案】（1）偶函数；（2）奇函数.【分析】先判断函数定义域是否关于原点对称，若对称，则利用函数奇偶性的定义判断即可【详解】（1）因为[]3,3x ∈-，所以()f x 的定义域关于原点对称， 因为4242()5()4()7547()f x x x x x f x -=---+=-+= 所以()f x 为偶函数；（2）()f x 定义域为R ，关于原点对称， 因为()|21||12|()f x x x f x -=+--=- 所以()f x 为奇函数18．已知幂函数y ＝f(x)经过点（2，18）. (1)试求函数解析式；(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间．【答案】（1）f(x)＝x －3（2）奇函数，减区间为,0，0,【详解】(1)由题意，得f(2)＝2a ＝18a ＝－3，故函数解析式为f(x)＝x －3.(2)定义域为(),0-∞∪()0,+∞，关于原点对称，因为f(－x)＝(－x)－3＝－x －3＝－f(x)，故该幂函数为奇函数． 其单调减区间为(),0-∞，()0,+∞19． 函数f (x )是R 上的偶函数，且当x >0时，函数的解析式为2()1f x x=- (1)用定义证明f (x )在(0，＋∞)上是减函数； (2)求当x <0时，函数的解析式． 【答案】（1）见解析；（2）()21f x x=-- 【分析】（1）用函数的单调性定义证明单调性的步骤：取值、作差、化简、下结论可得()f x 在()0,∞+上是减函数；（2）应用偶函数的性质()()f x f x -=，与0x >时()f x 的解析式，可以求出0x <时()f x 的解析式． 【详解】（1）证明：∵()21f x x=-，任取()120x x ∈+∞，，，且12x x <； 则()()()2112121222211x x f x f x x x x x -⎛⎫⎛⎫-=---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；∵120x x <<，∴210x x ->，120x x >； ∴()()120f x f x ->，即()()12f x f x >； ∴()f x 在()0,∞+上是减函数； （2）当0x <时，0x ->， ∵0x >时，()21f x x =-，∴()2211f x x x-=-=---， 又∵()f x 是R 上的偶函数，∴()()f x f x -= ∴()21f x x =--；即0x <时，()21f x x=--． 【点睛】本题主要考查了利用定义证明函数的单调性，利用奇偶性求函数在对称区间内的解析式，利用定义证明单调性的步骤：取值、作差、化简、下结论，最大的难点即为化简（因式分解）判断()()12f x f x -的符号，属于基础题．20．函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x ，y ∈(0，＋∞)，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－1，且f (4)＝5. (1)求f (2)的值； (2)解不等式f (m －2)≤3.【答案】（1）()23f ＝ ；（2）{|4}m m ≥【详解】试题分析：（1）422=+ 代入()()()1f x y f x f y ＋＝＋－即可求得()23f ＝；根据减函数的定义结合()23f m ≤－ 可得22,20,m m -≥⎧⎨->⎩得4m ≥.试题解析：解：(1)因为()()()4222215f f f ＝＋＝－＝， 所以()23f ＝ .(2)由()23f m ≤－ ，得()()22f m f ≤－ ． 因为()f x 是()0∞，＋ 上的减函数，所以22,20,m m -≥⎧⎨->⎩解得4m ≥ .所以不等式的解集为{}|4m m ≥ ．21．已知函数()f x 是对任意的x ∈R 都满足()()0f x f x +-=，且当0x <时2()2f x x x =+．（1）求()f x 的解析式；（2）现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图像，如图所示，请补出函数()f x 的完整图像，并根据图像直接写出函数()f x 的单调区间及[2,2]x ∈-时()y f x =的值域．【答案】（1）222,0,(20)x x x x f x x x -+≥-<⎧⎪=⎨⎪⎩；（2）图像见解析；函数()f x 的单调减区间是(),1-∞-和1,，减区间是()1,1-；值域为[]1,1-.【分析】（1）先利用奇偶性计算0x >时()f x 的解析式，再计算(0)0f =，即得结果；即可.【详解】解：（1）()()0f x f x +-=，()()f x f x ∴-=-，设0x >时，0x -<，依题意知()()22()22f x x x x x -=-+-=-，即2()2f x x x -=-，故2()2f x x x =-+；0x =时，(0)(0)0f f +=，故(0)0f =，故()f x 的解析式为222,0,(20)x x x x f x x x -+≥-<⎧⎪=⎨⎪⎩；（2）由()()f x f x -=-，知()f x 是奇函数，图像关于原点中心对称，故函数()f x 的完整图像如图所示：由图像可知，函数()f x 的单调减区间是(),1-∞-和1,，减区间是()1,1-，[2,2]x ∈-时()y f x =的值域为[]1,1-.22．已知函数21()x f x x+=．(1)判断()f x 的奇偶性并证明．(2)当(1,)x ∈+∞时，判断()f x 的单调性并证明．(3)在(2)的条件下，若实数m 满足(3)(52)f m f m >-，求m 的取值范围．【答案】(1)奇函数，证明见解析；(2) 函数()f x 是(1,)+∞上的单调增函数，证明见解析；(3)(1,2).【分析】(1)根据函数奇偶性的定义判断并证明即可； (2)根据函数单调性的定义判断并证明即可；第 11 页 共 11 页 的取值范围．【详解】(1) 函数()f x 是奇函数.证：函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞， 因为22()11()()x x f x f x x x-++-==-=--，所以函数()f x 是奇函数； (2) 函数()f x 是(1,)+∞上的单调增函数.证：任取12(1,)x x ∈+∞，且12x x >，则2222121221211212121212121211()()()()x x x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +++------=-==121212()(1)x x x x x x --=， 因为121x x >>，所以120x x ->，1210x x ->，120x x >，所以12())0(f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数()f x 是(1,)+∞上的单调增函数.(3)由(2)知函数()f x 是(1,)+∞上的单调增函数，所以3521m m >->，解得12m <<, 所以m 的取值范围为(1,2).【点睛】思路点睛：解函数不等式的理论依据是函数单调性的定义，具体步骤是：(1)将函数不等式转化成12()()f x f x >的形式；(2)考查函数()f x 的单调性；(3)根据据函数()f x 在给定区间上的单调性去掉法则“f ”，转化为形如“12x x >”或“12x x <”的常规不等式，从而得解．。

育才学校 2020 届高三上学期第三次月考文科数学第I卷选择题60分一、选择题 (共12小题,每题 5分,共 60分)1. 已知会合A { x Z | x 1 3}，B { x | x2 2x 3 0} ，则A C R B （）A.2,1B. 1,4C. 2,3D.1,02. 在复平面内，复数2i的共轭复数的模为（）z1 2iA. 2 5B.55 5D. 2 53. 已知函数，则函数的值域为（）A. B. C.D.4. 设数列a n 的前 n 项和 S n，若 2S n 3a n 1 ，则 a4 （）A. 27B. 27C.D.1 275.已知椭圆的短轴长为 8，点F1, F2为其两个焦点，点P为椭圆上随意一点，切圆面积最大值为9），则椭圆的离心率为（44B. 2C.A.2 53D. 2 2C.5127PF1F2的内5 36. 函数的部分图象如下图，若将的图象向右平移m(m 0) 个单位后，获得的图象对于原点对称，则m 的最小值为（）A. B.24 12C. D.367. 已知ABC 的面积为 1 ，内切圆半径也为 1 ，若ABC 的三边长分别为a,b,c ，则4 a b的最小值为（）a b cA. 2B. 2 2C.4 D. 2 2 28. 在如图的程序框图中，若，则输出的是（）A. B. C. D.9. 已知双曲线x2 y2 1(a 1) 的两个焦点分别为F1， F2，P是双曲线上一点，且知足aPF1 PF2 2 a 2 ，则POF1的面积为（）A. aB. aC.211 D.2x y 2 010. 若x，y知足条件{ x y 4 0 ，则z 2 x y 的最小值为（）y 2A. -2B. -1C. 1D. 211. 已知函数f x a x 3 （ a 0 且 a 1 ）过定点P，且点P在角的终边上，则函数y sin x 的单一递加区间为（）A. 2k2 ,2k （ k Z ） B. 2k , 2k 4 （ k Z ）3 3 33C. 2k 5 , 2k6 （ k Z ） D. 2k , 2k7 （ k Z ）6 6 62 1 2212. 已知圆C : x 8 ，抛物线 E : x 2 py p 0 上两点 A 2, y1 与5 y2B 4, y2 ，若存在与直线AB 平行的一条直线和C 与E都相切，则E的准线程为（）A. x1B. y 1C.21y D. x 12第 II 卷非选择题90 分二、填空题 (共4小题,每题 5分,共 20分)13. 已知f ( x) 是定义在 (0 ，＋∞ ) 上的单一函数，且对随意的x∈(0，＋∞)，都有 f ( f ( x)－log x)＝3，则方程 f ( x)－ f ′(x)＝2的解所在的区间是________． ( 填序号 ) 2①(0,1) ；② (1,2) ；③ (2,3) ；④ (3,4) ．14. 已知函数4cos x) 的部分图像如下图，则f x (0,0e x__________ ．15. 已知三次函数 f x a x3 bx2 cx d (a b) 在 R 上单一递加，则3a 2b 4c 的最3 b a小值为 _________.uuuv uuuv2 m, 4 uuuv uuuv11，则 m 的取值范围为____.16. 已知向量AB m,1 ， BC ，若AB AC三、解答题 ( 共 6 小题 , 共 70分)17. （ 12 分）已知函数 f x x2 2x ．(1) 当x 1,3 时，求函数 f x 的值域；2(2) 若定义在 R 上的奇函数 f x 对随意实数x ，恒有g x 4 g x ，且当 x 0,2 时， g x f x ，求 g 1 g 2 g 2017 的值．18. （ 10 分）在ABC 中，角A, B, C的对边分别为a, b,c，且tanA tanB 2sinC. cosA（1）求角B的大小；（2）若a c 4，求b的取值范围 .19. （ 12 分）已知椭圆：的左、右有极点分别是、，上极点是，圆：的圆心到直线的距离是，且椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）平行于轴的动直线与椭圆和圆在第一象限内的交点分别为、，直线、与轴的交点记为，．试判断能否为定值，假如，证明你的结论．若不是，举反例说明．20. （ 12 分）若数列a n 的前 n 项和 S n知足： S n 2a n 0, n N * .（1）证明：数列 a为等比数列，并求a n；n（2）若4 ， b n a n log 2a n n N * ，求数列b n 的前 n 项和 T n.21. （ 12 分）双曲线的左、右焦点分别为 F1、F2，直线 l 过 F2 且与双曲线交于 A、 B 两点．（1）若 l 的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设，若 l 的斜率存在，且 |AB|=4 ，求 l 的斜率．22. （ 12 分）已知函数.（1）若对恒建立，求的取值范围；（2）证明：不等式对于正整数恒建立，此中为自然对数的底数 .参照答案1.D2.A3.D4.B5.C6.B7.D8.C9.D10.A11.A12.C13. ②14. 2 15.22 16. 7, 17. （ 1）1,3 ；（ 2） -1.【分析】 (1) 由题意得，］，∴ f x 在1上单一递减，在1,3 上单一递加。

育才学校2020-2021学年第一学期第三次月考高三数学（理）试题第I 卷（选择题60分）一、选择题(共12小题，每小题5分,共60分 )1.已知集合，集合，则A.B.C.D.2.在中，角、、的对应边分别为，，，条件：，条件：，那么条件是条件成立的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 3.已知实数满足，则下列关系式中恒成立的是（ ）A.B.C. D.4.两等差数列，的前n 项和分别为，，且，则）A. B.C.D. 25.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则在上的最小值为（ ） A. B.C.D. 0 6.已知函数，若直线过点，且与曲线相切，则直线的斜率为A. B. 2 C.D.7.函数()ln sin f x x x =+（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象大致是（ ）A.B. C. D.8.在ABC ∆中，点是边BC 上任意一点， M 是线段的中点，若存在实数λ和μ，使得BM AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A.12 B. 12- C. 2 D. 2-9.函数，图象恒过定点A ，若点A 在一次函数的图象上，其中，则的最小值是A. 6B. 7C. 8D. 910.已知函数()21,0,{ ,0.x x f x cosx x +>=≤，则下列结论正确的是 ( )A. ()f x 是偶函数B. ()f x 在(),-∞+∞上是增函数C. ()f x 是周期函数D. ()f x 的值域为[)1,-+∞ 11.定义在上的偶函数在上递增,,则满足的的取值范围是( ) A. B.C.D.12.已知函数的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且的图象关于点对称，则下列判断正确的是（ ） A. 要得到函数的图象只将的图象向右平移个单位B. 函数的图象关于直线对称C. 当时，函数的最小值为D. 函数在上单调递增第II 卷（非选择题 90分）二、填空题(共4小题，每小题5分,共20分 )13.已知实数满足则的最大值为__________．14.函数在上的单调递减区间为________．15.数列{}n a 满足： ()()211211n n n na n a n a ++++=+-， 11a =， 26a =，令•cos2n n n c a π=，数列{}n c 的前n 项和为n S ，则4n S =__________． 16.某市家庭煤气的使用量和煤气费(元)满足关系()(),0{,C x Af x C B x A x A<≤=+-> 已知某家庭今年前三个月的煤气费如下表：若四月份该家庭使用了320m 的煤气，则其煤气费为____元.三、解答题（共6小题，共70分）17.（10分）在中，角所对的边分别为，且．1求角的值； 2若的面积为，且，求的周长．18.（12分）已知，函数，（是自然对数的底数）.（Ⅰ）讨论函数极值点的个数； （Ⅱ）若，且命题“，”是假命题，求实数的取值范围. 19.（12分）已知数列为等比数列，首项，数列满足，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，求数列的前项和.20.（12分）若函数y=f(x)对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使f(x1)f(x2)=1成立，则称该函数为“依赖函数”．(1) 判断函数g(x)=2x 是否为“依赖函数”，并说明理由；(2) 若函数f(x)=(x –1)2在定义域[m ，n](m>1)上为“依赖函数”，求实数m 、n 乘积mn 的取值范围；(3) 已知函数f(x)=(x –a)2 (a<43)在定义域[43，4]上为“依赖函数”．若存在实数x ∈[43，4]，使得对任意的t ∈R ，有不等式f(x)≥–t2+(s –t)x+4都成立，求实数s 的最大值． 21.（12分）已知函数()2π2cos sin 26f x x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若ABC ∆的边角满足()32f A =，2b c +=，求边长a 的取值范围． 22.（12分）已知函数．（1）讨论函数 的单调性；（2）若曲线上存在唯一的点，使得曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点，求实数的取值范围．参考答案1.A2.A3.D4.C5.A6.B7.C8.B9.C 10.D 11.B 12.A13.5 14.15.216.11.5;n n16617.（1）；（2）．【解析】()由正弦定理：，可得又因为，所以，，因为，所以．2因为，所以，中，由余弦定理，，则，故，所以的周长为．18.（1）当时，没有极值点，当时，有一个极小值点.（2）解析：（Ⅰ）因为，所以，当时，对，，所以在是减函数，此时函数不存在极值，所以函数没有极值点；当时，，令，解得，若，则，所以在上是减函数，若，则，所以在上是增函数，当时，取得极小值为，函数有且仅有一个极小值点，所以当时，没有极值点，当时，有一个极小值点.（Ⅱ）命题“，”是假命题，则“，”是真命题，即不等式在区间内有解.若，则设，所以，设，则，且是增函数，所以当时，，所以在上是增函数，，即，所以在上是增函数，所以，即在上恒成立.当时，因为在是增函数，因为，，所以在上存在唯一零点，当时，，在上单调递减，从而，即，所以在上单调递减，所以当时，，即.所以不等式在区间内有解综上所述，实数的取值范围为.19.（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由和得，∴. 设等比数列的公比为，∵∴，计算得出∴（Ⅱ）由（1）得，设数列的前项和为，则设数列的前项和为，则，∴20.（1）g(x)=2x 是“依赖函数”（2）()4,mn ∈+∞（3）14解析：(1) 对于函数g(x)=2x 的定义域R 内任意的x1，取x2= –x1，则g(x1)g(x2)=1， 且由g(x)=2x 在R 上单调递增，可知x2的取值唯一， 故g(x)=2x 是“依赖函数”；(2) 因为m>1，f(x)=(x –1)2在[m ，n]递增，故f(m)f(n)=1，即(m –1)2(n –1)2=1， 由n>m>1，得(m –1) (n –1) =1，故1mn m =-， 由n>m>1，得1<m<2，从而211211m mn m m m ==-++--在()1,2m ∈上单调递减，故()4,mn ∈+∞， (3) 因43a <，故()()2f x x a =-在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 从而()4413f f ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，即()224413a a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，进而()4413a a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得1a =或133a =(舍)， 从而，存在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得对任意的t ∈R ，有不等式()()2214x t s t x -≥-+-+都成立，即()22230t xt x s x ++-+-≥恒成立，由()224230x x s x ⎡⎤∆=--+-≤⎣⎦，得()242312s x x +≤-，由4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()12423s x x +≤-，又123y x x =-在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递增，故当4x =时， max1239x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而()429s +≤，解得14s ≤，故实数s 的最大值为14． 21.（1）最小正周期为π；（2）[)1,2. 【解析】（1）()1πcos 212cos 2sin 2126f x x x x x ⎛⎫=+-=++ ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期为π． （2）由题意，()π3sin 2162f A A ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，化简得π1sin 262A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．因为()0,πA ∈，所以ππ13π2,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π5π266A +=，所以π3A =．在ABC ∆中，()2222π2cos33a b c bc b c bc =+-=+-． 由2b c +=，知212b c bc +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，即21a ≥，当且仅当1b c ==时取等号． 因为b c a +>，所以2a <， 所以a 的取值范围是[)1,2． 22.【解析】（1），设 ①当时，在上大于零，在上小于零，所以在上单调递增，在单调递减； ② 当时，(当且仅当时)，所以在上单调递增； ③ 当时，在上大于零，在上小于零，所以在上单调递增，在单调递减； ④当时，在上大于零，在上小于零，所以在上单调递增，在上单调递减.（2）曲线在点处的切线方程为，切线方程和联立可得：，现讨论该方程根的个数：设， 所以. ，设，则.①当时，，所以在上单调递减，又，所以在上大于零，在上小于零，所以在上单调递增，在上单调递减， 又，所以只有唯一的零点，由的任意性，所以不符合题意；② 当时，在上小于零，在上大于零，所以在上单调递减，在上单调递增，当时，在上大于零，在上小于零，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在上小于或等于零，且有唯一的零点.函数开口向上，若其判别式不大于零，则对任意，有；若其判别式大于零，设其右侧的零点为，则对任意的，有，所以在区间上，存在零点，综上的零点不唯一；当时，可得，所以在上单调递增，所以其只有唯一的零点；当时，在上大于零，在上小于零，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在上大于或等于零，且有唯一的零点.函数在区间上一定存在最大值，设为，若，则在上小于零.若，当时，，所以在区间上，存在零点，综上的零点不唯一.综上，当时，曲线上存在唯一的点，使得曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点.。