第七章 系统频率响应及其仿真

【说明】
MATLAB中频率范围w除可直接用冒号生成法生成外，还可由两 个函数给定：linspace (w1, w2, N) 产生频率在w1和w2之间N个线 性分布频率点；logspace (w1, w2, N) 产生频率在w1和w2之间N个 对数分布频率点；N可以省略。 调用 nyquist() 指令若指定 w ，则 w 仍然必须是正实数组 ,MATLAB 将自动绘制与-w对应的Nyquist轨迹。 所绘Nyquist图的横坐标为系统频率响应的实部,纵坐标为虚部.
ω=0
−
Gk ( s ) = G ( s ) H ( s )
G( s) Φ( s) = 1 + G( s) H ( s)
频率特性的一般概念
Nyquist稳定性判据
绘制ω从0→+∞变化时GK(jω)的Nyquist轨迹，求出其
包围(-1,j0)点的次数N， 顺时针为正，逆时针为负； 由给定的开环传递函数确定开环右极点的个数P， 右 零点数Z； 若Z=P+N则闭环系统稳定，否则不稳定。如果GK(jω) 的Nyquist曲线刚好通过(-1,j0)点，表明有闭环极点位 于虚轴上，系统仍然不稳定。
s −α
线 性 系i 统 -t / T o j ωt ) k e r ( t ) ∴ xo（ (t或元件） )= ki e c(t+ 0
∑
i =1
K
x (t)
+ k 0 e − j ωt
*
G ( jω ) = G ( jω ) e j∠G ( jω )
A 其中：k
0
=−
0
e jθ = cos(θ ) + i sin( θ )
指定频率向量
不指定频率向量
系统频率响应及其仿真
7.2 频率特性的MATLAB函数
7.2.2 频率特性图示法
Nyquist图 nyquist (sys ) 基本调用格式绘制sys的Nyquist图 nyquist (sys, w) 指定频率范围w，绘制sys的Nyquist图 nyquist (sys1, sys2,…, sysn) 在同一坐标系内绘制多个模型的 Nyquist图 nyquist (sys1, sys2 ,…, sysn, w) 在同一坐标系内绘制多个模型 对指定频率范围的Nyquist图
系统频率响应及其仿真
系统频率响应分析方法 重要性
特点： 时域分析——通过分析系统的过渡过程来获取系统的动态特性 频域分析——通过分析不同频率的谐波输入作用下系统的稳态 响应来获取系统的动态性能。 相对于时域分析，频率特性更适用于高阶系统的动态特性分析； 更易于选择系统工作频率的范围；且在频域中进行控制器的设 计与校正更为直观、简便。
稳定性判断： 右零点数Ｚ＝０，右极点数Ｐ＝０ Ｋ＝５时，轨迹绕（－１，ｊ０）圈 数Ｎ＝０，则Ｚ＝Ｎ＋Ｐ； 稳定 Ｋ＝３０时，轨迹绕（－１，ｊ０）圈 数Ｎ＝１，则Ｚ≠Ｎ＋Ｐ；不稳定
K=5
K=30
系统频率响应及其仿真
7.2 频率特性的MATLAB函数
7.2.2 频率特性图示法
Bode图 bode (sys ) bode (sys, w) 基本调用格式，绘制Bode图 指定频率范围，绘制Bode图
上讲内容回顾：
• • 仿真算法（数值积分） 系统仿真的MATLAB函数
对初始状态的响应 对输入信号的响应
求解一阶微分方程(组):ode45 时间响应仿真函数:step,impulse 信号发生器:gensig 任意输入响应函数: lsim
机电系统动态仿真
第七章 系统频率响应及其仿真
主要内容
1. 频率特性的一般概念 2. 频率响应的MATLAB函数 3. 系统分析图形用户界面
e j(ωt + ∠G ( jω )) − e − j(ωt + ∠G ( jω )) ∴ xo (t ) = G ( jω ) A φ 2j 稳态
ωt
A A * G (− jw), k0 = G ( jw) 2 j G(s) 2j
稳态输出幅值和 相位均为输入信 AK` 号频 率的函数.
0
ωt
响应
= G ( jω ) A sin( ωt + ∠G ( jω ))
系统频率响应及其仿真
7.2 频率特性的MATLAB函数
7.2.1 频率响应计算函数
MATLAB 提供了用于计算线性时不变系统的频率响应的函数， 其调用格式为 h = freqs (b, a, w) 指定正实角频率向量，返回响应值。 freqs (b, a, w) 绘制对指定正实角频率向量的幅频和相频特性 曲线 b、a均为系统传递函数的分子、分母的系数向量。 在返回指令值的指令中，需调用abs()和angle()求取幅频和相 频特性。 第 2 种调用可直接绘制系统的幅频和相频特性曲线，其中幅 频特性曲线为全对数坐标，而相频特性曲线为半对数坐标， 并且可以不指定频率向量。
系统频率响应及其仿真
k G ( s ) = 【例3】系统开环传递函数为 s (1 + 0.1s )(1 + 0.5s ) ，绘制当K=5、30时系
统的开环频率特性Nyquist图，并判断系统的稳定性。 w=linspace(0.5,5,1000)*pi; sys1=zpk([ ],[0 -10 -2],100); %建立模型1,K=5 sys2=zpk([ ],[0 -10 -2],600); %建立模型2,K=30 %绘Nyquist图1 figure(1), nyquist(sys1,w); title('System Nyquist Charts with K=5') %绘Nyquist图2 figure(2), nyquist(sys2,w) title('System Nyquist Charts with K=30')
由传递函数求频率特性(将传递函数中的s换成jω) ① 确定系统 传递函数
X o ( s ) bm s m + bm −1s m −1 + + b1s + b0 G ( s) = = X i ( s ) an s n + an −1s n −1 + + a1s + a0
x i (t ) = A sin( ωt ) X i (s) = Aω s2 + ω 2
频率特性的一般概念
7.1 频率特性的一般概念
7.1.2 Nyquist图与Bode图
Nyquist图 频率特性G(jω)是频率 ω的复变函数，可以在复平面上用一个 矢量来表示。该矢量的幅值为 G ( jω ) ，相角为 ∠G ( jω ) 。当ω 从 0→∞ 变化时， G(jω) 的矢端轨迹被称之为频率特性的极坐 标图或Nyquist图。 利用封闭的 Nyquist 轨迹可进 行系统稳定性的分析，即 Nyquist稳定判据。
bode (sys1, sys2,…,sysn) 在同一图内,绘制多个模型的Bode图 [mag,phase,w] = bode (sys ) 返回响应的幅值和相位及对应的w, 不绘制Bode图 bodemag (sys ) 仅绘制幅频bode图
频率特性的一般概念
7.1 频率特性的一般概念
7.1.2 Nyquist图与Bode图
稳定裕度 利用系统开环频率特性的稳定裕度，可以分析闭环系统的稳 定性。稳定裕度又分为幅值裕度和相位裕度。在Bode图上表 示为：
1 kg = 20 lg 幅值裕度(db)： G ( jω g ) H ( jω g ) 0
kg
20 0
ω
ωc ω
20 0 ﹣20
∠G
ωc
﹣20
∠G
ω
﹣90° ﹣180°
ᵧ
ωg ω
﹣90° ﹣180°
ωg ωc > ω g
ᵧ
ω
﹣90° ﹣180°
ωg
ωc = ω g ω
ωc < ω g
闭环稳定系统
闭环不稳定系统
临界稳定系统
系统稳定裕度越大，但不能盲目追求过大的稳定裕度。在工程 上通常要求 kg >6db, γ =30o ~ 60o
频率特性表征了系统输入输出之间的 关系，故可由频率特性来分析系统性能。
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系统频率响应及其仿真
7.1 频率特性的一般概念
7.1.1 频率响应与频率特性
频率特性：是指系统在正弦信号作用下，稳态输出与输入之比 对频率的关系特性。可表示为
G ( jω ) = X o ( jω ) = G ( s ) s = jω X i( jω )
相位裕度：γ = 180 + ϕ (ω c )

【说明】

ωg为相位穿越频率,即开环相频特性曲线穿越 –1800线时的频率. ωc为幅值穿越频率,即开环幅频特性曲线穿越 0分贝线时的频率.
Bode稳定性判据
20 lg G 20 lg G 20 lg G
kg
20 0 ﹣20
∠G
ωc

频率特性还可表示为
G ( jω ) = A(ω )e jϕ (ω ) = U (ω ) + jV (ω )
因此频率特性还可再分为 实频特性： 虚频特性： 幅频特性： 相频特性： U（ω） V（ω） X (ω ) A(ω ) = o X i (ω ) ϕ (ω ) = ϕ o (ω ) − ϕ i (ω )
任意信号——分解成——不同频率的正弦信号 系统对任意信号的响应特性——转换成—— 系统对不同频率的正弦信号的响应特性 分析系统的稳定性、响应快速性和准确性
系统频率响应及其仿真
7.1 频率特性的一般概念
频率响应 ：线性定常系统对同幅值、不同频率正弦输入的稳态响应。