2.10 系统的频率响应与系统类型

电力系统中的频率响应分析在现代社会中，电力系统的稳定运行对于各行各业以及人们的日常生活至关重要。

而在电力系统的诸多特性中，频率响应是一个关键的方面。

它就像是电力系统的“脉搏”，反映着系统的健康状况和运行状态。

要理解电力系统中的频率响应，首先得明白什么是频率。

在电力系统中，频率指的是交流电每秒钟周期性变化的次数，我国的标准电力频率是 50 赫兹（Hz）。

这个频率必须保持相对稳定，因为它直接关系到众多用电设备的正常运行。

如果频率发生较大波动，可能会导致电机转速不稳定、电子设备工作异常，甚至引发停电等严重后果。

那么，电力系统的频率为什么会发生变化呢？这主要是由于电力的供需平衡被打破。

当电力供应大于需求时，系统频率会上升；反之，当需求大于供应时，频率则会下降。

想象一下，在一个炎热的夏天，大家都同时打开空调，这会导致电力需求急剧增加。

如果电力供应不能及时跟上，系统频率就可能下降。

为了应对这种情况，电力系统具有一定的频率响应能力。

这就像是人体的免疫系统，能够自动调节来保持身体的健康。

电力系统中的发电机就是频率响应的“主力军”。

当系统频率下降时，发电机的调速器会感知到这一变化，并自动增加原动机的输入功率，使发电机输出更多的电力，从而提升系统频率。

反之，当频率上升时，调速器会减少原动机的输入功率，使发电机输出减少，以降低系统频率。

除了发电机，负荷也对频率响应有着重要的影响。

有些负荷具有自动调节特性，被称为“负荷频率特性”。

例如，当系统频率下降时，一些电动机的转速会降低，从而导致其功率需求减少，这在一定程度上有助于缓解频率下降的趋势。

然而，电力系统的频率响应并不是无限的。

如果电力供需失衡过于严重，频率可能会持续下降或上升，超出允许的范围，从而引发系统故障。

为了避免这种情况的发生，电力系统中通常会配备各种控制装置和保护措施。

其中，自动发电控制（AGC）系统就是一种重要的手段。

AGC 系统能够实时监测系统频率和联络线功率，并通过控制发电机的出力来维持系统的频率稳定和功率平衡。

控制系统频率响应分析频率响应是控制系统中一个重要的性能指标，它描述了系统对不同频率的输入信号的输出响应情况。

通过对系统的频率响应进行分析和评估，可以帮助我们了解系统的稳定性、抗干扰能力以及动态性能等方面的情况。

在本文中，我们将介绍控制系统频率响应分析的基本概念和方法。

一、控制系统频率响应的基本概念控制系统的频率响应描述了系统对不同频率的输入信号的输出响应情况。

通常，我们将输入信号和输出信号之间的幅度比例和相位差作为频率响应的度量指标。

幅度比例可以描述系统对不同频率的增益特性，而相位差可以描述系统对不同频率的相位特性。

二、控制系统频率响应的表示方法控制系统的频率响应通常可以用频率响应曲线或频率响应函数表示。

1. 频率响应曲线频率响应曲线是将系统的幅度比例和相位差与频率之间的关系用图形表示的方法。

常见的频率响应曲线包括Bode图、Nyquist图和封闭曲线图等。

2. 频率响应函数频率响应函数是将系统的幅度比例和相位差与频率之间的关系用数学函数表示的方法。

常见的频率响应函数有传递函数和状态空间模型等。

三、控制系统频率响应的分析方法控制系统频率响应的分析方法包括幅频特性分析和相频特性分析。

1. 幅频特性分析幅频特性分析是通过对系统的幅度比例进行研究，来了解系统在不同频率下的增益特性。

常用的幅频特性分析方法有Bode图解法、根轨迹法和Nyquist图解法等。

2. 相频特性分析相频特性分析是通过对系统的相位差进行研究，来了解系统在不同频率下的相位特性。

常用的相频特性分析方法有Bode图解法、极坐标图法和Nyquist图解法等。

通过对控制系统频率响应的分析，我们可以评估系统的稳定性、抗干扰能力和动态性能等指标。

在实际应用中，频率响应分析在自动控制系统设计和调试过程中起着至关重要的作用。

我们可以通过对系统的频率响应进行模拟计算和实验测量，进一步优化系统的控制性能，提高系统的稳定性和鲁棒性。

总而言之，控制系统的频率响应分析是评估系统性能的重要方法之一。

系统的频率响应函数
频率响应函数通常用H(ω)表示，其中ω为角频率。

频率响应函数
可以分为振幅响应和相位响应两个部分。

振幅响应函数H(ω)的模值，H(ω)，表示系统对不同频率的输入信
号的放大或衰减程度。

振幅响应函数通常使用分贝（dB）单位表示。

若，
H(ω)，为0dB，则表示系统对该频率的信号不进行放大或衰减；若，
H(ω)，为正值，则表示系统对该频率的信号进行放大；若，H(ω)，为负值，则表示系统对该频率的信号进行衰减。

相位响应函数H(ω)的角度表示系统对不同频率的输入信号的相位差。

相位响应函数通常使用角度（°）单位表示。

相位响应可以告诉我们系统
对不同频率信号的相位差，尤其对于时域信号的传输和滤波具有重要的意义。

系统的频率响应函数可以通过多种方法来得到，比如频率域采样、离
散傅里叶变换、Z变换等。

对于线性时不变系统，频率响应函数H(ω)可
以通过系统的冲激响应函数h(t)和冲激函数δ(t)之间的关系求得，即
H(ω) = ∫h(t)e^(-jωt)dt。

频率响应函数对于系统分析和设计具有重要的意义。

在系统控制和滤
波方面，我们可以通过频率响应函数对系统的频率特性进行评估和优化。

在通信系统中，频率响应函数可以帮助我们了解系统对不同频率的信号的
传输特性，从而对系统进行调整和改进。

总结起来，系统的频率响应函数是系统对不同频率信号的放大或衰减
程度以及相位差的表征。

通过频率响应函数，我们可以对系统的频率特性
进行评估和优化，从而在系统分析和设计中起到重要的作用。

系统函数系统频率响应系统单位冲激响应三者之间的关系
系统函数、系统频率响应和系统单位冲激响应是数字信号处理中描述离散系统的重要概念。

三者之间的关系如下：
1. 系统函数（Transfer Function）：系统函数是描述离散系统
的一个复数函数，通常表示为H(z)或H(e^(jω))。

它将输入信
号的频谱与输出信号的频谱之间的关系联系起来。

系统函数是系统频率响应和系统单位冲激响应的拉普拉斯或Z变换。

2. 系统频率响应（Frequency Response）：系统频率响应是系
统函数H(z)在复平面上的取值。

它描述了系统对不同频率的
输入信号的响应情况。

系统频率响应可以通过将系统函数H(z)的变量变为单位复指数来得到，即H(e^(jω))。

3. 系统单位冲激响应（Unit Impulse Response）：系统单位冲
激响应是指当输入信号为单位冲激函数（单位脉冲函数）时，系统的输出响应。

它是系统函数H(z)在z=1处的取值，通常
表示为h[n]。

系统单位冲激响应是系统函数的离散时间反变换。

综上所述，系统函数H(z)是系统频率响应H(e^(jω))和系统单
位冲激响应h[n]]之间的关系。

系统频率响应描述了系统对不
同频率的输入信号的响应情况，而系统单位冲激响应描述了系统对单位冲激函数的响应情况。

系统函数则将这两者联系起来，通过对系统频率响应进行频域拉普拉斯变换或Z变换得到系
统函数，并通过对系统函数进行逆变换得到系统单位冲激响应。

系统的频率响应函数系统的频率响应函数是描述系统输入与输出之间的频率关系的数学函数。

它通常表示为H(ω)，其中H是频率响应函数的符号，ω表示频率。

频率响应函数可以是连续时间系统的拉普拉斯变换，也可以是离散时间系统的Z变换。

在以下的讨论中，我们将主要关注连续时间系统的频率响应函数。

频率响应函数对系统的稳态性能和滤波特性具有重要的影响，因此对于系统的设计和分析来说是非常关键的。

下面我们将介绍一些关于系统频率响应函数的重要概念和性质。

1.频率响应函数的定义：频率响应函数是系统的输出与输入之间的幅度和相位关系的数学表示。

在连续时间系统中，频率响应函数H(ω)可以表示为系统的拉普拉斯变换：H(ω)=G(jω)其中，G(s)是系统的传递函数，s是复变量，j是虚数单位。

2. 幅频特性：系统的幅频特性是频率响应函数的幅度分布关系。

它决定了系统对不同频率的输入信号的放大或衰减程度。

通常用幅度特性曲线表示，可以是Bode图、奈奎斯特图等。

幅频特性的分析可以帮助我们了解系统的增益衰减情况和频率选择性能。

3.相频特性：系统的相频特性是频率响应函数的相位分布关系。

它决定了系统对不同频率的输入信号的相位变化。

相频特性也通常用相位特性曲线表示。

相频特性的分析可以帮助我们了解系统的相位延迟和相位失真情况。

4.幅相特性的分离：频率响应函数可以分解为幅度响应函数和相位响应函数的乘积形式：H(ω)=，H(ω)，*ϕ(ω)其中，H(ω)，表示幅度响应函数，ϕ(ω)表示相位响应函数。

幅相特性的分离可以使系统的分析更加方便和直观。

5.系统的稳定性：频率响应函数对系统的稳态性能具有重要影响。

当频率响应函数在所有ω值处有界时，系统是稳定的。

稳态性能的分析可以通过频率响应函数的幅值来进行，以确定系统的增益补偿。

6.频率响应函数的设计：频率响应函数的设计可以通过选择适当的系统传递函数来实现。

通常，需要根据特定的系统要求和设计目标来选择合适的传递函数，以达到所需的频率响应特性。

第四章系统的频率特性分析第四章系统的频率特性分析时间响应分析：主要用于分析线性系统的过渡过程，以时间t为独立变量，通过阶跃或脉冲输入作用下系统的瞬态时间响应来研究系统的性能；依据的数学模型为G(s)频率特性分析：以频率ω为独立变量，通过分析不同的谐波输入时系统的稳态响应来研究系统的性能；依据的数学模型为G(jω)频域分析的基本思想：把系统输入看成由许多不同频率的正弦信号组成，输出就是系统对不同频率信号响应的总和。

4.1频率特性概述1.频率响应与频率特性（1）频率响应：线性定常系统对谐波输入的稳态响应。

（frequencyresponse）对稳定的线性定常系统输入一谐波信号xi(t)=Xisin?t稳态输出（频率响应）:xo(t)=Xo(?)sin[ωt+?(ω)]【例】设系统的传递函数为输入谐波信号xi(t)=Xisin?t 则稳态输出（频率响应）与输入信号的幅值成正比与输入同频率，相位不同进行laplace逆变换，整理得同频率?幅值比A(?)相位差?(?)ω的非线性函数(揭示了系统的频率响应特性)输入:xi(t)=Xisinωt稳态输出（频率响应）:xo(t)=XiA(?)sin[ωt+?(ω)]幅频特性：稳态输出与输入谐波的幅值比相频特性：稳态输出与输入谐波的相位差?(?)[s]A(?)?(?)（2）频率特性：对系统频率响应特性的描述(frequencycharacteristic)频率特性定义为ω的复变函数，幅值为A(?)，相位为?(?)。

输入谐波函数xi(t)=Xisin?t，其拉式变换为2.频率特性与传递函数的关系设系统的微分方程为:则系统的传递函数为:则由数学推导可得出系统的稳态响应为根据频率特性定义，幅频特性和相频特性分别为故G(j?)=?G(j?)?ej?G(j?)就是系统的频率特性如例1，系统的传递函数为所以3.频率特性的求法(1)频率响应→频率特性稳态输出（频率响应）故系统的频率特性为或表示为(2)传递函数→频率特性将传递函数G(s)中的s换成jω，得到频率特性G(jω)。

二阶系统的频率响应一、实验目的1．掌握典型二阶系统频率响应的实验测试方法； 2．根据实验数据绘制典型二阶系统的Bode 图；3．根据绘制的Bode 图，分析二阶系统参数ζ和ωn 对系统频率特性的影响。

二、实验设备1．控制系统综合实验台（XMN-2型） 1台 2．慢扫描双踪示波器 1台 3．超低频信号发生器 1台 4．数字万用表 1块 5．连接导线 若干 三、实验内容与方法图3-1是典型二阶系统的方框图()22n n n n 11ωωωωω1212ωωωωG j j j j ζζ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦系统的频率响应为：＝＝＋图3-2是典型二阶系统的模拟电路图图3-1图3-2n ωf iR R RC 1图中：＝21＝实验步骤1．在控制系统综合实验台上，用运算放大器、电阻和电容组建典型的二阶系统，并将超低频信号发生器输出的正弦波作为二阶系统的输入信号，信号峰值为1伏；2．选择R 、C 、R i 和R f 的值，保持系统的ωn =1和ζ＝0.2不变，改变输入信号的频率，使对应的角频率ω分别等于0、0.2、0.4、0.6、0.8、0.9、1.0、2.0、4.0、6.0、8.0、10，20、40、60、80、100rad/s ，并同时记录稳态时系统正弦输入信号和正弦输出信号的电压有效值和相位差；3．保持系统的ωn =1和ζ＝0.7不变，重复步骤24．根据实验数据分别绘制两种情况下二阶系统的的Bode 图，并分析阻尼比ζ对系统的谐振峰值、谐振频率、稳定性和稳定裕量的影响。

5．选择R 、C 、R i 和R f 的值，保持系统的ζ＝0.7和ωn =0.1不变，重复步骤26．选择R 、C 、R i 和R f 的值，保持系统的ζ＝0.7和ωn =10不变，重复步骤2 四、实验报告要求实验报告应包括硬件接线图、实验数据表、不同ζ和ωn 值条件下的Bode 图、性能指标对比和分析结论。

第三章 系统频率特性系统的时域分析是分析系统的直接方法，比较直观，但离开计算机仿真，分析高阶系统是困难的。

系统频域分析是工程广为应用的系统分析和综合的间接方法。

频率分析不仅可以了解系统频率特性，如截止频率、谐振频率等，而且可以间接了解系统时域特性，如快速性，稳定性等，为分析和设计系统提供更简便更可靠的方法。

本章首先阐明频率响应的特点，给出计算频率响应的方法，接着介绍Nyquist 图和Bode 图的绘制方法、系统的稳定裕度及系统时域性能指标计算。

3.1 频率响应和频率特性3.1.1 一般概念频率响应是指系统对正弦输入的稳态响应。

考虑传递函数为G(s)的线性系统，若输入正弦信号t X t x i i ωsin )(= (3.1-1)根据微分方程解的理论，系统的稳态输出仍然为与输入信号同频率的正弦信号，只是其幅值和相位发生了变化。

输出幅值正比于输入的幅值i X ，而且是输入正弦频率ω的函数。

输出的相位与i X 无关，只与输入信号产生一个相位差ϕ，且也是输入信号频率ω的函数。

即线性系统的稳态输出为)](sin[)()(00ωϕωω+=t X t x (3.1-2)由此可知，输出信号与输入信号的幅值比是ω的函数，称为系统的幅频特性，记为)(ωA 。

输出信号与输入信号相位差也是ω的函数，称为系统的相频特性，记为)(ωϕ。

幅频特性：)()()(0ωωωi X X A = (3.1-3)相频特性：)()()(0ωϕωϕωϕi -= (3.1-4)频率特性是指系统在正弦信号作用下，稳态输出与输入之比对频率的关系特性，可表示为：)()()(0ωωωj X j X j G i = (3.1-5)频率特性)(ωj G 是传递函数)(s G 的一种特殊形式。

任何线性连续时间系统的频率特性都可由系统传递函数中的s 以ωj 代替而求得。

)(ωj G 有三种表示方法：)()()(ωϕωωj e A j G = (3.1-6))()()(ωωωjV U j G += (3.1-7))(sin )()cos()()(ωϕωωωωjA A j G +=(3.1-8) 式中，实频特性：)(cos )()(ωϕωωA U =虚频特性：)()(arctan )()()()()(sin )()(22ωωωϕωωωωϕωωU V V U A A V =+==一般在分析系统的结构及参数变化对系统性能的影响时，频域分析比时域分析要容易些。