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系统函数与频率响应特性

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5.9 系统函数零点、极点分布与系统频率响应特性的关系(不讲)

5.9 系统函数零点、极点分布与系统频率响应特性的关系(不讲)


N2
2
p2
2
z2
2
频率特性
H j K Ke N1 N 2 N 3 M1 M 2 M 3
j 1 2 3 1 2 3
e
j 1 2 3 1 2 3
由于N1N2N3与M1M2M3相消，幅频特性等于常数K，即
H j K
•幅频特性——常数 •相频特性——不受约束 •全通网络可以保证不影响待传送信号的幅度频谱特性， 只改变信号的相位频谱特性，在传输系统中常用来进行 相位校正，例如，作相位均衡器或移相器。
3
二．最小相移网络
若网络函数在右半平面有一个或多个零点，就称为 “非最小相移函数”，这类网络称为“非最小相移网 络”。
min j 最小相移函数
j j
2 2 全通函数
5
end
谢谢大家！
6
5.9 系统函数零点、极点分布与系统频率响应特性 的关系
•全通网络 •最小相移网络 •级联
1
一．全通网络
所谓全通是指它的幅频特性为常数，对于全部频率的 正弦信号都能按同样的幅度传输系数通过。
零、极点分布
j
p1
M3 p3
M2
z1
M1
1
N1
1
N3
3
3
z3
•极点位于左半平面， •零点位于右半平面， •零点与极点对于虚轴 互为镜像
j
z1
z1
j j
j j
j j
j
பைடு நூலகம்



O
j
j
O

j j

j
O
j
j j
系统的频率响应和系统函数系统函数...

系统的频率响应和系统函数系统函数...


k =−∞
离散时间系统与差分方程
∞
y(n) = ∑ x(k)h(n − k) = x(n)*h(n) k =−∞
表明：对线性时不变系统，可完全通过其单位冲激响应h(n) 来表示。这个公式和模拟系统的卷积是类似的，称为离散卷 积，或线性卷积。
¾离散线性卷积
设 x1(n) 和 x2 (n) 为任意两个离散信号序列。 ∞
x(n)
h1(n) y(n)
=
x(n)
y(n)
h1(n) + h2(n)
h2(n)
离散时间系统与差分方程
¾线性卷积的计算
∞
∞
y(n) = ∑ x(k )h(n − k ) = ∑ h(k )x(n − k )
k = −∞
k = −∞
1.直接计算：对于不同的n值逐点计算所有k的乘积、叠加求和
2
3
例：设 x(n) = ∑ (3 − k)δ (n − k) h(n) = ∑δ (n − k)
nyb = nxb + nhb
nye = nxe + nhe
离散时间系统与差分方程
例题：给出以下两个序列： x(n)=[3,11,7,0,-1,4,2]，-3≤n ≤3；
h(n)=[2,3,0,-5,2,1]，-1≤n≤4 ；试求其卷积 y(n)=x(n)*h(n)
解： x=[3,11,7,0,-1,4,2]; h=[2,3,0,-5,2,1]; y=conv(x,h) y = 6 31 47 6 -51 -5 41 18 -22 -3 8 2
所以系统为非线性系统。 由于 C、D 为常数
y(n) = T[x(n − n0 )] = C[x(n − n0 )] + D = y(n − n0 )
系统的频率响应函数

系统的频率响应函数

系统的频率响应函数
频率响应函数通常用H(ω)表示，其中ω为角频率。

频率响应函数
可以分为振幅响应和相位响应两个部分。

振幅响应函数H(ω)的模值，H(ω)，表示系统对不同频率的输入信
号的放大或衰减程度。

振幅响应函数通常使用分贝（dB）单位表示。

若，
H(ω)，为0dB，则表示系统对该频率的信号不进行放大或衰减；若，
H(ω)，为正值，则表示系统对该频率的信号进行放大；若，H(ω)，为负值，则表示系统对该频率的信号进行衰减。

相位响应函数H(ω)的角度表示系统对不同频率的输入信号的相位差。

相位响应函数通常使用角度（°）单位表示。

相位响应可以告诉我们系统
对不同频率信号的相位差，尤其对于时域信号的传输和滤波具有重要的意义。

系统的频率响应函数可以通过多种方法来得到，比如频率域采样、离
散傅里叶变换、Z变换等。

对于线性时不变系统，频率响应函数H(ω)可
以通过系统的冲激响应函数h(t)和冲激函数δ(t)之间的关系求得，即
H(ω) = ∫h(t)e^(-jωt)dt。

频率响应函数对于系统分析和设计具有重要的意义。

在系统控制和滤
波方面，我们可以通过频率响应函数对系统的频率特性进行评估和优化。

在通信系统中，频率响应函数可以帮助我们了解系统对不同频率的信号的
传输特性，从而对系统进行调整和改进。

总结起来，系统的频率响应函数是系统对不同频率信号的放大或衰减
程度以及相位差的表征。

通过频率响应函数，我们可以对系统的频率特性
进行评估和优化，从而在系统分析和设计中起到重要的作用。

信号与系统讲义第四章5系统频率特性及稳定性

信号与系统讲义第四章5系统频率特性及稳定性

大，输出信号VO(s) 与差分输入信号V1(s)和V2(s)之间满足关系式： Vo(s)A[V2(s)V1(s)]，求：（1）H(s)VV1o((ss)) (2)A满足什么条件，系统稳定？
06.06.2019
信号与系统
例：图示反馈系统，求系统函数分析稳定性 Q(s)
稳定系统的充要条件： h()d＜
06.06.2019
信号与系统
2、根据系统函数零、极点分布判断稳定性
系统稳定的条件
H(s)全部极点在s左半开平面，稳定 H(s)的极点在右半开平面，或虚轴上有二阶以
上高阶极点，不稳定 H(s)虚轴上单极点，不稳定（边界稳定）
06.06.2019
根据幅频特性的不同，可划分成如下几种
06.06.2019
截止频率－－下降3dB的频率点
信号与系统
二、由极、零点分布分析频响特性
m
(s z j)
H (s) K
j 1 n
(s pi)
i 1
s沿 虚 轴 移s 动j
m
( j z j )
H ( j) K
j 1 n
信号与系统
1 1 R1C1 R2C2
06.06.2019
信号与系统
小结： (232页)
若函数有一对非常靠近jω轴的极点，则ω 在极点附近，幅频特性出现峰点，相频特性 迅速下降
若函数有一对非常靠近jω轴的零点，则ω 在零点附近，副频特性出现下陷，相频特性 迅速上升
若系统函数的零、极点远离jω轴，则对频 率响应特性曲线的影响较小，只是大小有所 增减。
信号与系统
4.11 线性系统的稳定性
1、稳定系统
有限（界）激励，产生有限（界）输出，稳定系统 有限（界）激励，产生无限（界）输出，为不稳定系统
系统函数系统频率响应系统单位冲激响应三者之间的关系

系统函数系统频率响应系统单位冲激响应三者之间的关系

系统函数系统频率响应系统单位冲激响应三者之间的关系
系统函数、系统频率响应和系统单位冲激响应是数字信号处理中描述离散系统的重要概念。

三者之间的关系如下：
1. 系统函数（Transfer Function）：系统函数是描述离散系统
的一个复数函数，通常表示为H(z)或H(e^(jω))。

它将输入信
号的频谱与输出信号的频谱之间的关系联系起来。

系统函数是系统频率响应和系统单位冲激响应的拉普拉斯或Z变换。

2. 系统频率响应（Frequency Response）：系统频率响应是系
统函数H(z)在复平面上的取值。

它描述了系统对不同频率的
输入信号的响应情况。

系统频率响应可以通过将系统函数H(z)的变量变为单位复指数来得到，即H(e^(jω))。

3. 系统单位冲激响应（Unit Impulse Response）：系统单位冲
激响应是指当输入信号为单位冲激函数（单位脉冲函数）时，系统的输出响应。

它是系统函数H(z)在z=1处的取值，通常
表示为h[n]。

系统单位冲激响应是系统函数的离散时间反变换。

综上所述，系统函数H(z)是系统频率响应H(e^(jω))和系统单
位冲激响应h[n]]之间的关系。

系统频率响应描述了系统对不
同频率的输入信号的响应情况，而系统单位冲激响应描述了系统对单位冲激函数的响应情况。

系统函数则将这两者联系起来，通过对系统频率响应进行频域拉普拉斯变换或Z变换得到系
统函数，并通过对系统函数进行逆变换得到系统单位冲激响应。

信号与系统§6.4 由系统函数求频率响应

信号与系统§6.4 由系统函数求频率响应


m

s

z
j

m


j
ω

z
j

H jω H s sjω K
j 1 n
sjω K
j 1 n
s Pi
jω pi
i 1
i 1
可见H jω的特性与零极点的位置 有关。
令分子中每一项 jω z j N j ejψj 分母中每一项 jω Pi Mi ejθi
ω ψ1 ψ2 ψm θ1 θ2 θn
当沿虚轴移动时，各复数因子(矢量)的模和
辐角都随之改变，于是得出幅频特性曲线和相 频特性曲线。
s jω
Hjω ——幅频特性
ω ——相频特性（相移特性）
几种常见的滤波器
H ( j) 低通滤波器
H ( j) 高通滤波器
0
c

(a)
H ( j) 带通滤波器
0
c

H ( j)
(b)
带阻滤波器
0
c1
c 2

0
c1
c 2

(c)
(d)
图4-15 滤波网络频响特性示例
根据H(s)零极图绘制系统的频响特性曲线
H
jω

K
N1 e jψ1 M1 e jθ1
N2 e jψ2 M 2 e jθ2
Nm e jψm M n e jθn

K
N1N2
N e jψ1ψ2 ψm m
M1M2
M e jθ1θ2 θn n
H jω K N1N2 Nm
M1M 2 M n
将 jω z j、jω - pi都看作两矢量之差，将矢量图画于复 平面内。
离散时间系统的频率响应特性

离散时间系统的频率响应特性

Hz1rejθzb 11z11 rejθz1
r
p1
O
1 Re z
p2
可见H(z)除一对共轭极点外，
（b)
还在z=0点有一个零点，如图(b)所示。
若把H(z)展成部分分式，得
H zA 1re 1jθz 11re 1 jθz 1
hn
其中
A b1 2jr sinθ
o
n
对H(z)进行逆变换，8-10-3 求图（a）所示二阶离散系统的频率响应。
（教材例8-23）
xn z1 b1
yn
该系统的差分方程为
a1
a2
z 1
y n a 1 y n 1 a 2 y n 2 b 1 x n 1 z1
（a)
系统函数写作 Hz
b1z1
1a1z1a2z2
若a1, a2为实系数，且a12+4a2<0, 则H(z)含有
§8.10 离散时间系统的频率 响应特性
一．一、离散系统频响特性的定义 二．二、频响特性的几何确定法
返回
一．离散系统频响特性的定义
正弦序列作用下系统的稳态响应
xn
Hz
yzs n
x n
A
O θ1 ω
稳定的因果
ω
A sin nω θ 1
离 散 系 统 yzs n
B
O
n
θ2
ω
B sinnω θ 2
例8-10-2
例8-10-3
返回
例8-10-1 已知离散时间系统的框图如图所示，求系
统频率响应特性。
解：系统的差分方程
z1
1
y n 0 . 5 x n 0 . 5 x n 1 xn
1 2
3.系统函数和频率响应

3.系统函数和频率响应




h(n ) z n
稳定系统的系统函数H(z)的ROC须包含 单位圆，即频率响应存在且连续。

因果稳定：ROC： r z , 0 r 1
H(z)须从半径小于1的圆到 的整个z域内 收敛，即系统函数H(z)的全部极点必须在 单位圆内。
2019/1/15 电子工程系
例. 已知系统的极点为
2019/1/15
电子工程系
(2)绘制频率响应的matlab函数：freqz() （3）计算和绘制系统零极点的matlab函数 roots()、zplane() 4.几种特殊的系统
全通滤波器 梳状滤波器 最小相位系统
2019/1/15 电子工程系
P67
本章回顾
1、z变换及性质、收敛域 2、求z反变换：长除法、部分分式展开法 3、利用z变换求解差分方程 4、序列的Fourier变换及性质 5、z变换与Laplace/Fourier变换的关系 6、因果/稳定系统的收敛域 7、离散系统的系统函数和频率响应
0.2e j / 4 , 0.2e j / 4 , 0.4, 2e j / 6 , 2e j / 6 , 1.5 什么情况下，系统为因果系统， 什么情况下，系统为稳定系统
j Im[ z ]
2e
0.2e 4 0.4
j
j

6

1.5
1
Re[ z ]

6
解： 因果系统 z 2
稳定系统 0.4 z 1.5
8、几种特殊的系统
2019/1/15 电子工程系
本章作业： P71-74
4. 5. 6.（3）（4） 8. 13. 15. (1) (3) 18. 21. （3） 23. 24. 28.
§5.8 系统函数的零极点与时域特性和频域特性的关系

§5.8 系统函数的零极点与时域特性和频域特性的关系


有实际物理意义的物理系统都是因果系统，即随 t , h t 0 ，这表明H ( s ) 的极点位于左半平面。
X
1.2 由H(s) 的零、极点确定系统的时域响应
激励： e( t ) u E ( s )
E (s)
l 1 v
( s zl )
H ( s) 系统函数： h( t ) m H (s)
X
第 15 页
2.1 H(s)和频响特性的关系
设系统函数为 H s ，激励源 e t Em sinω0 t 系统的稳态响应 rss t E m H 0 sin ω0 t 0 其中H s s j ω0 H j ω0 H 0 e j0
平面内。
j ω pi M i e j θi
将 j ω z j、 j ω pi 都看作两矢量之差，将矢量图画于复
X
第 18 页
画零极点图
零点 ： jω N j e
jψ j
zj
极点 ： j ω M i e jθi pi
θi
jω
Mi pi
Nj
ψj
jω
Nj
zj
j
zj
O
σ
jω 是滑动矢量， jω 矢量变 , 则 N j、 ψ j 和 M i、 θ i 都 发生变化。
当α 0 ，极点在左半平面，衰减振荡 当 α 0 ，极点在右半平面，增幅振荡
X
第 7页
二阶极点
1 H ( s ) 2 , 极点在原点, h( t ) tu( t ), t , h( t ) s 1 H ( s) , 极点在实轴上， 2 (s a) h( t ) t e t u( t ),α 0, t , h( t ) 0 2s H (s) 2 , 在虚轴上， 2 2 (s ω ) h( t ) t sin tu( t ), t , h( t ) 增幅振荡
系统的频率响应函数

系统的频率响应函数

系统的频率响应函数系统的频率响应函数是描述系统输入与输出之间的频率关系的数学函数。

它通常表示为H(ω)，其中H是频率响应函数的符号，ω表示频率。

频率响应函数可以是连续时间系统的拉普拉斯变换，也可以是离散时间系统的Z变换。

在以下的讨论中，我们将主要关注连续时间系统的频率响应函数。

频率响应函数对系统的稳态性能和滤波特性具有重要的影响，因此对于系统的设计和分析来说是非常关键的。

下面我们将介绍一些关于系统频率响应函数的重要概念和性质。

1.频率响应函数的定义：频率响应函数是系统的输出与输入之间的幅度和相位关系的数学表示。

在连续时间系统中，频率响应函数H(ω)可以表示为系统的拉普拉斯变换：H(ω)=G(jω)其中，G(s)是系统的传递函数，s是复变量，j是虚数单位。

2. 幅频特性：系统的幅频特性是频率响应函数的幅度分布关系。

它决定了系统对不同频率的输入信号的放大或衰减程度。

通常用幅度特性曲线表示，可以是Bode图、奈奎斯特图等。

幅频特性的分析可以帮助我们了解系统的增益衰减情况和频率选择性能。

3.相频特性：系统的相频特性是频率响应函数的相位分布关系。

它决定了系统对不同频率的输入信号的相位变化。

相频特性也通常用相位特性曲线表示。

相频特性的分析可以帮助我们了解系统的相位延迟和相位失真情况。

4.幅相特性的分离：频率响应函数可以分解为幅度响应函数和相位响应函数的乘积形式：H(ω)=，H(ω)，*ϕ(ω)其中，H(ω)，表示幅度响应函数，ϕ(ω)表示相位响应函数。

幅相特性的分离可以使系统的分析更加方便和直观。

5.系统的稳定性：频率响应函数对系统的稳态性能具有重要影响。

当频率响应函数在所有ω值处有界时，系统是稳定的。

稳态性能的分析可以通过频率响应函数的幅值来进行，以确定系统的增益补偿。

6.频率响应函数的设计：频率响应函数的设计可以通过选择适当的系统传递函数来实现。

通常，需要根据特定的系统要求和设计目标来选择合适的传递函数，以达到所需的频率响应特性。

第四章系统的频率特性分析

第四章系统的频率特性分析

第四章系统的频率特性分析第四章系统的频率特性分析时间响应分析：主要用于分析线性系统的过渡过程，以时间t为独立变量，通过阶跃或脉冲输入作用下系统的瞬态时间响应来研究系统的性能；依据的数学模型为G(s)频率特性分析：以频率ω为独立变量，通过分析不同的谐波输入时系统的稳态响应来研究系统的性能；依据的数学模型为G(jω)频域分析的基本思想：把系统输入看成由许多不同频率的正弦信号组成，输出就是系统对不同频率信号响应的总和。

4.1频率特性概述1.频率响应与频率特性（1）频率响应：线性定常系统对谐波输入的稳态响应。

（frequencyresponse）对稳定的线性定常系统输入一谐波信号xi(t)=Xisin?t稳态输出（频率响应）:xo(t)=Xo(?)sin[ωt+?(ω)]【例】设系统的传递函数为输入谐波信号xi(t)=Xisin?t 则稳态输出（频率响应）与输入信号的幅值成正比与输入同频率，相位不同进行laplace逆变换，整理得同频率?幅值比A(?)相位差?(?)ω的非线性函数(揭示了系统的频率响应特性)输入:xi(t)=Xisinωt稳态输出（频率响应）:xo(t)=XiA(?)sin[ωt+?(ω)]幅频特性：稳态输出与输入谐波的幅值比相频特性：稳态输出与输入谐波的相位差?(?)[s]A(?)?(?)（2）频率特性：对系统频率响应特性的描述(frequencycharacteristic)频率特性定义为ω的复变函数，幅值为A(?)，相位为?(?)。

输入谐波函数xi(t)=Xisin?t，其拉式变换为2.频率特性与传递函数的关系设系统的微分方程为:则系统的传递函数为:则由数学推导可得出系统的稳态响应为根据频率特性定义，幅频特性和相频特性分别为故G(j?)=?G(j?)?ej?G(j?)就是系统的频率特性如例1，系统的传递函数为所以3.频率特性的求法(1)频率响应→频率特性稳态输出（频率响应）故系统的频率特性为或表示为(2)传递函数→频率特性将传递函数G(s)中的s换成jω，得到频率特性G(jω)。

4-4系统函数零极点∽频响特性,拉氏变换VS傅里叶变换


m
( j p )
i i 1
j 1 n

频率特性取决于零、极点 z j , pi的分布
j z j N j e j j 令 ji j pi M i e
矢量：模、辐角
j
Mi
pi
i
Nj
j
zj
O

N1e j1 N 2e j 2 N me j m H ( j ) K M 1e j1 M 2e j2 M n e jn N1 N 2 N m j[(1 2 m ) (1 2 n )] K e M 1M 2 M n H ( j ) e
R

L

1 解： 令 Z1 sL, Z 2 ，则 Z1Z 2 R 2 sC 从 v2 端向左应用戴维南定理，
2Z1Z 2 Z Z1 V1 ( s) 2 内阻为 ，等效电源为 Z 2 Z1 Z1 Z 2
V2 ( s ) Z 2 Z1 ( Z 2 Z1 ) R R H (s) V1 ( s ) Z 2 Z1 R 2 Z 2 Z1 ( Z 2 Z1 ) R 2Z 2 Z1 Z 2 Z1 Z 2 Z1 Z 2 Z1 2 Z 2 Z1 R Z 2 Z1 R Z1 L R Z 2 Z1 R Z1 s L s
j ( )
j
Mi
pi
i
Nj
j
zj
N1 N 2 N m H ( j ) K M 1M 2 M n 其中 ( ) ( ) ( ) 1 2 m 1 2 n
0

[例2] 研究图示的 RC 高通滤波网络的频响特性
1 1 z1 0, p1 , p2 R1C1 R2C2

02-系统的频率响应及其系统函数（一）（课件）

依次递推将上述差分方程依此类推得到非因果不稳定系统两式所表示的两个不同的单位脉冲响应虽满足同一差分方程但由于初始条件不同它们代表不同的系统也即用差分方程描述系统时只有附加必要的制约条件才能唯一地确定一个系统的输入和输出关系
1.3.4 系统的稳定性与因果性
线性和时不变两个约束条件定义了一
类 可用卷积(和)表示的系统。稳定性和
1.5x(0)
1.5
1
1
2
y(2)
2y(1)
1.5x(1)
1.5
1
2
2
依此类推，得到
y(n) h(n) 1.5 1 n u(n 1) 2
②
非因果、不稳定系统
①、②两式所表示的两个不同的单位脉冲响应，虽满足同一差分方程，但由 于初始条件不同，它们代表不同的系统，也即用差分方程描述系统时，只有 附加必要的制约条件，才能唯一地确定一个系统的输入和输出关系。
表达。而对于离散时间系统，由于其变量n是离散整型
变量，故只能用差分方程来反映其输入输出序列之间
的运算关系。
其N阶线性常系数差分方程的一般形式：
N
N
y(n) ai x(n i) bi y(n i)
i0
i1
其中 ai、bi都是常数。 离散系统差分方程表示法有两个主要用途：
① 由差分方程得到系统结构；
稳定的因果系统：既满足稳定性又满足因果性的系统。这种 系统的单位脉冲响应既是单边的，又是绝对可和的，即
h(n) n 0
h(n)
0
n 0
| h(n) |
n
这种稳定因果系统既是可实现的又是稳定工作的，这种系统 是最主要的系统。
1.3.5系统的差分方程描述
——描述系统输入输出之间的运算关系

3.系统函数和频率响应


2）由于系统为因果稳定系统， 1 故收敛域： z 2
2013-9-12
1/ 3
0.5
0.25
Re[ z ]
0
1
电子工程系
3) 对H(z)求z反变换即得单位脉冲响应h(n)，
1 (z )z 3 H z 1 1 1 1 1 1 (1 z )(1 z ) ( z )( z ) 2 4 2 4 1 10 7 z H z 3 3 3 1 1 1 1 z ( z )( z ) z z 2 4 2 4
零点矢量极点矢量2015711电子工程系系统的频率响应2015711电子工程系零点位置影响频响的谷点位置及形状零点在单位圆上谷值为零零点靠近单位圆谷值趋向于零极点位置影响频响的峰值位置及尖锐程度极点在单位圆上系统不稳定极点靠近单位圆峰值趋向于无穷2015711电子工程系已知试定性画出系统的幅频特性
2.9 离散系统的系统函数和频率响 应
极点位置影响频响的峰值位置及尖锐程度 极点在单位圆上，系统不稳定 极点靠近单位圆，峰值趋向于无穷
电子工程系

2013-9-12
例. 频特性。
H ( z ) 1 z N，试定性画出系统的幅 已知
解: H ( z ) 1 z N
z N 1 N z
j 2 k N
H(z)的极点为z=0（N阶）。 H(z)的零点有N个：z e
(1)频率响应的几何确定法 对系统函数H(z)因式分解得到
2013-9-12 电子工程系
H ( z)
br z r
M
ar z
r 0
r 0 N
A
(1 cr z 1 ) (1 d r z 1 )
r 1 r 1 N

§6.4 由系统函数求频率响应 《信号与系统》课件


0
c
H ( j)
(b)
带阻滤波器
0
c1
c 2
0
c1
c 2
(c)
(d)
图4-15 滤波网络频响特性示例
根据H(s)零极图绘制系统的频响特性曲线
m
s
z
j
m
j
ω
z
j
H jω H s sjω K
j 1 n
sjω K
j 1 n
s Pi
jω pi
i 1
i 1
可见H jω的特性与零极点的位置 有关。
所谓“频响特性”是指系统在正弦信号激励下稳
态响应随频率的变化情况H。jω
前提：稳定的因果系统。 有实际意义的物理系统都是稳定的因果系统。
时域：lim ht 0 t
频域：H(s)的的全部极点落在s左半平面。。
其收敛域包括虚轴：
拉氏变换存在 傅里叶变换存在
H(s)和频响特性的关系
设系统函数为 H s，激励源 et Em sinω0t
σ O
jω 也可表示成虚轴上的矢量，称为极点矢量。
由矢量图确定频率响应特性
H
jω
K
N1 e jψ1 M1 e jθ1
N2 e jψ2 Nm e jψm M 2 e jθ2 M n e jθn
K
N1N2 Nm e jψ1ψ2 ψm M1M 2 M n e jθ1θ2 θn
H jω
K
N1N2 Nm M1M 2 M n
令分子中每一项 jω z j N j ejψj 分母中每一项 jω Pi Mi ejθi
将 jω z j、jω - pi都看作两矢量之差，将矢量图画于复 平面内。
画零极点图

系统函数与频率响应特性


=
C1 ( s
+
1 R1C1
)
=
X (s)
Z1(s) + Z2 (s)
(C1
+
C2
)s
+
1 R1
+
1 R2
C1 + R2C2 − R1C1 ⋅ 1 C1 + C2 R1R2 (C1 + C2 )2 s + α
式中α = R1 + R2 ，则冲激响应为： R1R2 (C1 + C2 )
h(t) = C1 δ (t) + R2C2 − R1C1 ⋅ e−αtu(t)
→∞时，函数值
lim
s→∞
H
(s)
=
lim
s→∞
bm s m an s n
= 0 ，所以 H (s) 在无穷远处有一（ n − m ）
阶零点。如果 n < m ，则当
s
→∞时，函数值
lim
s→∞
H
(
s
)
=
lim
s→∞
bm an
sm sn
为无穷大，所以 H (s) 在无穷
远处有一（ m − n ）阶的极点。总起来说，系统函数极点和零点的数目应该相等。但根据函数
Y21 ( s)
=
I2 V1
(s) (s)
设各回路电流 I1(s) 、 I2 (s) 和 I3 (s) 如
1Ω
图 5—2 所示。列写各回路电压方程如下
(
1 s
+
1)
I1
(
s
)
+
I
2
(
s)
−
1 s

系统函数零极点对系统频响的影响

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=
−
s2 s2
+ 2s +1 + 5s + 2
例 5 – 3 图 5 – 3（a）是常用的分压电路（也称为衰减器），若以电容 C2 上的电压为输 出，试求其冲激响应。
解
画出图 5 – 3（a）的 s 域模型（零状态）如图 5 – 3（b）所示。如令
C1
1 sC1
+
x(t)
-
R1
+
R2 C2 y(t)
条件下，对于任何输入信号 x(t) ，图 5 – 3（a）电路的零状态响应为
y(t) = h(t) * x(t) = R2 δ (t) ∗ x(t) = R2 x(t)
R1 + R2
R1 + R2
即该网络的输出信号 y(t) 与输入信号 x(t) 波形相同，而为输入信号的 R2 倍，不产生失真。 R1 + R2
其系统函数为
1
H (s)
=
I (s) X (s)
=
R
1 + sL
=
s
L +R
L
（5-5）
在网络分析中，由于激励与响应既可以是电压，也可能是电流，因此网络函数可以是阻抗
204
（电压比电流），或为导纳（电流比电压），也可以是数值比（电流比或电压比）。此外，若激
励与响应是同一端口，则网络函数叫做“策动点函数(driving function)”或“驱动点函数”，如 图 5 – l（a）中的 Vi (s) 与 Ii (s) ；若激励与响应不在同一端口，就叫做“转移函数(transfer function)”或“传输函数”，如图 5 – 1（b）中的Vi (s) [或 Ii (s) ]与Vj (s) [或 I j (s) ]。显然，策动
因子以及标量系数
H0
=
bm an
三部分所确定的。
应该注意，系统函数可能有多重零点或多重极点。
把系统函数的零点与极点表示在 s 平面上的图形，叫做系统函数的零、极点分布图，或简
称为系统函数的零极点图（zero-pole plot）。其中零点用“ ”表示，极点用“× ”表示。若为
n 阶零点或极点，则在零点或极点旁注以（n）。
系统的特性。
5．1．3 系统函数的求法
由上述讨论可知，系统函数可以由零状态下系统的微分方程经过拉氏变换求得，或由系统 冲激响应的拉氏变换求得。对于具体的电路，系统函数还可以用零状态下的 s 域模型（实际上
205
它与原电路图形式相同，只是把 x(t) 、 y(t) ，改为 X (s) 、 Y (s) 即可）应用电路的分析方法求
h(t) = L −1 [H (s)]
（5-6）
或
L[h(t)] = H (s)
（5-7）
上式说明，系统函数 H (s) 是冲激响应 h(t) 的拉氏变换，也就是说， H (s) 与 h(t) 之间是一对拉
氏变换。这样，在求冲激响应 h(t) 时，只需取 H (s) 的逆变换即可获得，这一步常常是较为简
（5-9）
系统函数分母多项式 A(s) = 0 的根称为系统函数的极点（pole），而系统函数分子多项式 B(s) = 0
的根称为系统函数的零点（zero），极点使系统函数变为无限大，而零点使系统函数变为零。
A(s) 和 B(s) 都可以分解成线性因子的乘积，即
H (s) = B(s) = bm (s − z1)(s − z2 ) A(s) an (s − p1)(s − p2 )
=
(s2
1 + 3s
+ 2)
2）应用 2．3 节的方法，先求得系统的冲激响应 h(t) = (e−t − e−2t )u(t)
则
H (s) = L[h(t)] = 1 − 1 = 1
s +1 s + 2 s2 + 3s + 2
可见，这两种方法求得的 H (s) 是一样的。
例5–2 解
求图
5
-
2
所示电路的转移导纳函数
第 5 章 系统函数与频率响应特性
前几章，我们分别从时域、频域、复频域（s 域）就信号与线性时不变系统的基本特性进 行了分析，其目的是为了探求信号经系统传输与处理的基本规律，解决各种激励信号施加于系 统后其响应的一般问题。本章我们将引进系统函数的概念，可将这种研究进—步深入。通过本 章的学习，将使我们对系统分析的问题有更深入的理解，也为今后学习系统综合、设计打下基 础。
jω
例如某系统的系统函数为
H (s) =
s2 (s + 3)
=
s2 (s + 3)
j
(s +1)(s2 + 4s + 5) (s +1)(s + 2 + j1)(s + 2 − j1)
那么，它的零点位于
⎧ ⎨ ⎩
z1 = z2 = z3 = −3
0
(二阶) (一阶 )
-3 -2 -1
σ
-j
而其极点位于
s
s
s2
−1 1 2 +1 s ss
于是得到
1 +1 s
V1 ( s)
Δ2 = 1
0
−1 0 s
−1 s
1 s
=
−
s2
+ 2s s2
+1 V1 ( s)
2 +1 s
206
故得转移导纳
I2 (s)
=
Δ2 Δ
=
−
s2 + 2s +1 s2 + 5s + 2 V1(s)
Y21 ( s)
=
I2 (s) V1 ( s )
分子和分母幂次的高低，可以有若干零点在无穷远处，或者若干极点在无穷远处。
5.2.2 零、极点分布与时域响应特性
设系统函数具有以下形式
-
(a)
+
X (s)
-
R1
+
R2 1
sC2
(b)
Y (s)
-
图 5 –3 例 5- 3 的电路
1
Z1(s) =
R1 sC1
R1
+
1 sC1
=Hale Waihona Puke 1C1 ( s+
1 R1C1
)
则求得其网络函数
Z2(s) =
R2
1 sC2
R2
+
1 sC2
=
1
C2
(s
+
1 R2C2
)
H (s) = Y (s) =
Z2 (s)
得。下面分别举例说明。
例 5 – 1 已知系统的微分方程为：
d2 y(t) + 3 dy(t) + 2 y(t) = x(t)
dt 2
dt
求系统函数 H (s) 。
解
1）将给定系统的微分方程在零状态下两边取拉氏变换，得
(s2 + 3s + 2)Y (s) = X (s)
则
H (s)
=
Y (s) X (s)
便的。
对式(5-6)两边取拉氏逆变换，并利用时域卷积定理，得 yzs (s) = L −1 [Yzs (s)] = L −1 [H (s) X (s)] = L −1 [H (s)]∗ L −1 [ X (s)] =
h(t) * x(t)
（5-8）
这正是 2.4 节中所得出的结论：系统的零状态响应是冲激响应 h(t) 与激励信号 x(t) 的卷积积分。 这一重要结论在 s 域的对应关系是：零状态响应的拉氏变换Yzs (s) 等于系统函数 H (s) 与激励信 号的拉氏变换 X (s) 的乘积。换句话说， h(t) 和 H (s) 分别从时域和复频域两个方面表征了同一
Y21 ( s)
=
I2 V1
(s) (s)
设各回路电流 I1(s) 、 I2 (s) 和 I3 (s) 如
1Ω
图 5—2 所示。列写各回路电压方程如下
(
1 s
+
1)
I1
(
s
)
+
I
2
(
s)
−
1 s
I
3
(
s)
=
V1
(
s)
⎫ ⎪ ⎪
I1
(
s)
+
(
1 s
+
2)
I
2
(
s)
+
1 s
I
3
(s)
=
0
⎪ ⎬ ⎪
I3 (s)
C1 + C2
R1R2 (C1 + C2 )2
若适当选择元件值，使 R1C1 = R2C2 ，则
H (s) = C1 = R2 C1 + C2 R1 + R2
207
h(t) = C1 δ (t) = R2 δ (t)
C1 + C2
R1 + R2
这时网络函数 H (s) 是常数，电路的冲激响应是冲激函数。由卷积定理可知，在 R1C1 = R2C2 的
1F 1F +
V1(s)
I1 (s)
-
1 Ω I2(s)
1Ω
−
1 s
I1
(s)
+
1 s
I
2
(s
)
+
(
2 s
+
1)
I3
(s)
=
0
⎪ ⎪⎭
为求得
Y21
(s)
=
I2 (s) V1 ( s)