系统函数与频率响应特性

=
−
s2 s2
+ 2s +1 + 5s + 2
例 5 – 3 图 5 – 3（a）是常用的分压电路（也称为衰减器），若以电容 C2 上的电压为输 出，试求其冲激响应。
解
画出图 5 – 3（a）的 s 域模型（零状态）如图 5 – 3（b）所示。如令
C1
1 sC1
+
x(t)
-
R1
+
R2 C2 y(t)
条件下，对于任何输入信号 x(t) ，图 5 – 3（a）电路的零状态响应为
y(t) = h(t) * x(t) = R2 δ (t) ∗ x(t) = R2 x(t)
R1 + R2
R1 + R2
即该网络的输出信号 y(t) 与输入信号 x(t) 波形相同，而为输入信号的 R2 倍，不产生失真。 R1 + R2
其系统函数为
1
H (s)
=
I (s) X (s)
=
R
1 + sL
=
s
L +R
L
（5-5）
在网络分析中，由于激励与响应既可以是电压，也可能是电流，因此网络函数可以是阻抗
204
（电压比电流），或为导纳（电流比电压），也可以是数值比（电流比或电压比）。此外，若激
励与响应是同一端口，则网络函数叫做“策动点函数(driving function)”或“驱动点函数”，如 图 5 – l（a）中的 Vi (s) 与 Ii (s) ；若激励与响应不在同一端口，就叫做“转移函数(transfer function)”或“传输函数”，如图 5 – 1（b）中的Vi (s) [或 Ii (s) ]与Vj (s) [或 I j (s) ]。显然，策动
因子以及标量系数
H0
=
bm an
三部分所确定的。
应该注意，系统函数可能有多重零点或多重极点。
把系统函数的零点与极点表示在 s 平面上的图形，叫做系统函数的零、极点分布图，或简
称为系统函数的零极点图（zero-pole plot）。其中零点用“ ”表示，极点用“× ”表示。若为
n 阶零点或极点，则在零点或极点旁注以（n）。
系统的特性。
5．1．3 系统函数的求法
由上述讨论可知，系统函数可以由零状态下系统的微分方程经过拉氏变换求得，或由系统 冲激响应的拉氏变换求得。对于具体的电路，系统函数还可以用零状态下的 s 域模型（实际上
205
它与原电路图形式相同，只是把 x(t) 、 y(t) ，改为 X (s) 、 Y (s) 即可）应用电路的分析方法求
h(t) = L −1 [H (s)]
（5-6）
或
L[h(t)] = H (s)
（5-7）
上式说明，系统函数 H (s) 是冲激响应 h(t) 的拉氏变换，也就是说， H (s) 与 h(t) 之间是一对拉
氏变换。这样，在求冲激响应 h(t) 时，只需取 H (s) 的逆变换即可获得，这一步常常是较为简
（5-9）
系统函数分母多项式 A(s) = 0 的根称为系统函数的极点（pole），而系统函数分子多项式 B(s) = 0
的根称为系统函数的零点（zero），极点使系统函数变为无限大，而零点使系统函数变为零。
A(s) 和 B(s) 都可以分解成线性因子的乘积，即
H (s) = B(s) = bm (s − z1)(s − z2 ) A(s) an (s − p1)(s − p2 )
=
(s2
1 + 3s
+ 2)
2）应用 2．3 节的方法，先求得系统的冲激响应 h(t) = (e−t − e−2t )u(t)
则
H (s) = L[h(t)] = 1 − 1 = 1
s +1 s + 2 s2 + 3s + 2
可见，这两种方法求得的 H (s) 是一样的。
例5–2 解
求图
5
-
2
所示电路的转移导纳函数
第 5 章 系统函数与频率响应特性
前几章，我们分别从时域、频域、复频域（s 域）就信号与线性时不变系统的基本特性进 行了分析，其目的是为了探求信号经系统传输与处理的基本规律，解决各种激励信号施加于系 统后其响应的一般问题。本章我们将引进系统函数的概念，可将这种研究进—步深入。通过本 章的学习，将使我们对系统分析的问题有更深入的理解，也为今后学习系统综合、设计打下基 础。
jω
例如某系统的系统函数为
H (s) =
s2 (s + 3)
=
s2 (s + 3)
j
(s +1)(s2 + 4s + 5) (s +1)(s + 2 + j1)(s + 2 − j1)
那么，它的零点位于
⎧ ⎨ ⎩
z1 = z2 = z3 = −3
0
(二阶) (一阶 )
-3 -2 -1
σ
-j
而其极点位于
s
s
s2
−1 1 2 +1 s ss
于是得到
1 +1 s
V1 ( s)
Δ2 = 1
0
−1 0 s
−1 s
1 s
=
−
s2
+ 2s s2
+1 V1 ( s)
2 +1 s
206
故得转移导纳
I2 (s)
=
Δ2 Δ
=
−
s2 + 2s +1 s2 + 5s + 2 V1(s)
Y21 ( s)
=
I2 (s) V1 ( s )
分子和分母幂次的高低，可以有若干零点在无穷远处，或者若干极点在无穷远处。
5.2.2 零、极点分布与时域响应特性
设系统函数具有以下形式
-
(a)
+
X (s)
-
R1
+
R2 1
sC2
(b)
Y (s)
-
图 5 –3 例 5- 3 的电路
1
Z1(s) =
R1 sC1
R1
+
1 sC1
=Hale Waihona Puke 1C1 ( s+
1 R1C1
)
则求得其网络函数
Z2(s) =
R2
1 sC2
R2
+
1 sC2
=
1
C2
(s
+
1 R2C2
)
H (s) = Y (s) =
Z2 (s)
得。下面分别举例说明。
例 5 – 1 已知系统的微分方程为：
d2 y(t) + 3 dy(t) + 2 y(t) = x(t)
dt 2
dt
求系统函数 H (s) 。
解
1）将给定系统的微分方程在零状态下两边取拉氏变换，得
(s2 + 3s + 2)Y (s) = X (s)
则
H (s)
=
Y (s) X (s)
便的。
对式(5-6)两边取拉氏逆变换，并利用时域卷积定理，得 yzs (s) = L −1 [Yzs (s)] = L −1 [H (s) X (s)] = L −1 [H (s)]∗ L −1 [ X (s)] =
h(t) * x(t)
（5-8）
这正是 2.4 节中所得出的结论：系统的零状态响应是冲激响应 h(t) 与激励信号 x(t) 的卷积积分。 这一重要结论在 s 域的对应关系是：零状态响应的拉氏变换Yzs (s) 等于系统函数 H (s) 与激励信 号的拉氏变换 X (s) 的乘积。换句话说， h(t) 和 H (s) 分别从时域和复频域两个方面表征了同一
Y21 ( s)
=
I2 V1
(s) (s)
设各回路电流 I1(s) 、 I2 (s) 和 I3 (s) 如
1Ω
图 5—2 所示。列写各回路电压方程如下
(
1 s
+
1)
I1
(
s
)
+
I
2
(
s)
−
1 s
I
3
(
s)
=
V1
(
s)
⎫ ⎪ ⎪
I1
(
s)
+
(
1 s
+
2)
I
2
(
s)
+
1 s
I
3
(s)
=
0
⎪ ⎬ ⎪
I3 (s)
C1 + C2
R1R2 (C1 + C2 )2
若适当选择元件值，使 R1C1 = R2C2 ，则
H (s) = C1 = R2 C1 + C2 R1 + R2
207
h(t) = C1 δ (t) = R2 δ (t)
C1 + C2
R1 + R2
这时网络函数 H (s) 是常数，电路的冲激响应是冲激函数。由卷积定理可知，在 R1C1 = R2C2 的
1F 1F +
V1(s)
I1 (s)
-
1 Ω I2(s)
1Ω
−
1 s
I1
(s)
+
1 s
I
2
(s
)
+
(
2 s
+
1)
I3
(s)
=
0
⎪ ⎪⎭
为求得
Y21
(s)
=
I2 (s) V1 ( s)