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反证法的应用反证法是一种常用的证明方法，它通过假设所要证明的命题不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明所要证明的命题是成立的。
反证法的应用非常广泛，下面将从数学、哲学和科学等多个方面来介绍反证法的应用。
一、数学中的反证法在数学中，反证法是一种常用的证明方法。
例如，我们要证明一个命题P成立，可以采用反证法，假设P不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明P是成立的。
例如，要证明“根号2是无理数”，可以采用反证法，假设根号2是有理数，即可以表示为a/b（a、b为整数，且a、b互质），然后推导出矛盾的结论，从而证明根号2是无理数。
二、哲学中的反证法在哲学中，反证法也是一种常用的思维方法。
例如，我们要证明一个命题P成立，可以采用反证法，假设P不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明P是成立的。
例如，要证明“人类存在自由意志”，可以采用反证法，假设人类不存在自由意志，然后推导出矛盾的结论，从而证明人类存在自由意志。
三、科学中的反证法在科学中，反证法也是一种常用的思维方法。
例如，我们要证明一个假设H成立，可以采用反证法，假设H不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明H是成立的。
例如，要证明“地球是圆的”，可以采用反证法，假设地球是扁的，然后推导出矛盾的结论，从而证明地球是圆的。
四、反证法的优缺点反证法的优点是证明过程简单明了，容易理解，而且可以避免一些复杂的证明过程。
反证法的缺点是有时候会产生一些虚假的结论，因为反证法只能证明命题的真假，而不能证明命题的正确性。
因此，在使用反证法时，需要注意证明过程的正确性和严谨性。
综上所述，反证法是一种常用的证明方法，它在数学、哲学和科学等多个领域都有广泛的应用。
反证法的优点是证明过程简单明了，缺点是有时候会产生虚假的结论。
因此，在使用反证法时，需要注意证明过程的正确性和严谨性。
反证法在数学解题中的应用我们在解决数学问题时，一般是从正面入手，这就是所谓的正向思维，但往往也会遇到从正面入手困难，或出现一些逻辑上的困境的情形，这时就要从辩证思维的观点出发，运用逆向思维克服思维定势的消极面，从习惯思路的反方向去分析问题，运用反证法解决问题。
一、反证法的逻辑基础证明命题“A B”时如果用这种方法：假设A∧B为真，在A且B的条件下，合乎逻辑地推出一个矛盾的结果(不论是与A矛盾还是与其他已知正确的结论矛盾或自相矛盾)，从而B成立(即A B成立)，这种方法就是反证法。
二、反证法的解题步骤第一步审题，弄清命题的前提和结论；第二步否定原命题，由假设条件及原命题构成推理的基础；第三步由假设出发，根据公理、定义、定理、公式及命题的条件，正确逻辑推理，导出逻辑矛盾；第四步肯定原命题的正确性。
三、什么情况下考虑应用反证法1待证命题的结论是唯一存在性命题例1设方程x=p sin x+a有实根(0＜p＜1，a是实数)，求证实根唯一。
证明：假设方程存在两个不同实根x1，x2，则有x1=p sin x1+a，x2=p sin x2+ax1－x2=p sin x1－sin x2=2p cos x1+x22sin x1－x22由于cos x1+x22│≤1，从而有│x1－x2│≤2p│sin x1－x22│又sin x1－x22≤x1－x22，故x1－x2≤p x1－x2，但x1≠x2，于是p≥1，与0＜p＜1矛盾。
所以方程若有实根，则根唯一。
2采取直接证法，无适宜的定理作为根据，甚至无法证明。
例2已知A、B、C、D是空间的四点，ABGN CD是导向直线，求证AC和BD、AD和BC也都是异面直线。
分析：证AC和BD是异面直线，即证明AC和BD不在同一平面内，考虑反证法。
证明：假定AC和BD不是异面直线，那么AC和BD在同一平面内，因此A、B、C、D不是异面直线，这与已知条件矛盾。
所以AC和BD是异面直线。
3待证命理的结论是以“至少存在”的形式出现的，“至少存在”的反面是“必定不存在”，所以只要证明“必定不存在”不成立即可。
反证法在初中数学解题中的运用分析反证法是数学解题中常用的一种证明方法，它通过对反命题进行证明，从而推出原命题的真实性。
在初中数学中，反证法的应用十分广泛，尤其在数学证明和解题过程中起到了重要作用。
本文将通过分析初中数学中常见的反证法运用案例，探讨反证法在数学解题中的运用及其意义。
1.证明题中的应用在初中数学中，证明题是数学学习中的一个重要内容。
而反证法在证明题中常常发挥重要作用。
证明某个命题成立时，我们可以采用反证法，假设命题不成立，然后进行推导证明出现矛盾，从而得出原命题的成立。
2. 数学问题的解答中的应用在初中数学解题中，反证法也常常用于解决一些复杂的数学问题。
有一个常见的数列问题：已知数列的通项公式为an=n^2+n+41，要证明对于任意的整数n,an不可能是素数。
采用反证法，假设存在一个整数n，使得an是素数，然后进行推导得出矛盾，从而证明了原命题的成立。
这个案例展示了反证法在解决数学问题中的应用。
二、反证法在初中数学解题中的意义1. 提高解题的逻辑性反证法在初中数学解题中的应用，可以提高解题的逻辑性，让解题过程更加清晰和严密。
在解题过程中，采用反证法可以让学生对问题进行更全面的思考，不仅能够得出结论，还能够通过推导和反驳的过程加深对问题的理解。
2. 培养学生的思维能力反证法的应用可以培养学生的逻辑思维能力和推理能力。
通过运用反证法，学生需要进行思考、推导和分析，从而加深对问题的理解和抽象能力。
这对学生的思维发展和逻辑能力的培养有着重要的意义。
反证法的应用可以提高学生解题的灵活性。
在解题过程中，遇到一些较为复杂的问题，可以尝试采用反证法来解决。
这种方法能够拓宽解题思路，增加解题的方式和途径，提高解题的灵活性。
三、结语反证法在初中数学解题中的运用极为广泛，它在证明题、数学问题解答及几何问题的解答中发挥着重要作用。
采用反证法不仅可以提高解题的逻辑性和灵活性，还能够培养学生的思维能力。
在教学实践中，应该重视反证法的教学和运用，让学生在解题过程中更加注重推理、严密、逻辑，从而提高数学学习的效果。
反证法在数学中的应用〔关键词〕反证法；命题；结论；含义；特点；逻辑依据在数学题目的求解过程中，直接证明一个命题感到困难，甚至无法证明时，可采用反证法.反证法是一种重要的数学证明方法，它在数学证明中有着不可替代的作用.学生在运用这一方法做题时，由于对该方法的实质理解不深刻，故而常常出错.这不仅严重影响了这一重要方法的有效使用，而且也妨碍了解题效率的提高.下面，本文就反证法的实质、特点、逻辑根据及适宜反证法证明的几种题型予以说明.一、反证法的含义及实质所谓反证法，就是从反面证明命题的正确性.即欲证命题“若p则q”，则从反面推导“若p┑q”不能成立，从而证明“若p则q”成立.它从否定结论出发，经过正确、严格的推理，得到与已知（假设）或已成立的数学命题相矛盾的结果，从而检验产生矛盾的原因，推出原命题的结论是不容否定的正确结论.反证法的实质是通过矛盾的转化达到解决问题的目的.二、反证法的步骤和特点反证法是一种间接的证明方法，具体步骤如下（欲证命题为“若p则q”，逻辑表达式为p→q）：第一步：否定原命题的结论q（即设┑q），得到p∧q；第二步：在此条件下，通过正确的推理导出矛盾；第三步：由此矛盾断定：命题p→q为真.从反证法的证题方法可以看出，它的最大特点是：否定原命题的结论q，肯定原命题的条件p，据此导出矛盾.它属于矛盾证明的范畴.三、反证法的逻辑根据首先，反证法是通过证明原命题p→q的反命题┑（p→q），（p∧┑q）是对同一事物的两个相互对立或矛盾的判断.根据矛盾律，在同一思维过程中，对同一事物的两个相互矛盾或对立的判断中，至少有一个是真的（不能同假），因此，（p→q）与（p∧┑q）一定有一个是真的，一个是假的.而由反证法已经证明了p ∧┑q是假的（导出矛盾），所以原命题p→q一定是真的，即证明了原命题.另一方面，用反证法推出矛盾，实际上是构造并证明了另外一个新命题“（p ∧┑q）→（r∧┑r）”，即“原命题p→q的反命题p∧┑q是假的”.而（p∧┑q）→（r∧┑r）≡ ┑（p∧┑q）∨（r∧┑r）≡（┑p∨q）∨0≡┑p∨q≡p→q.所以，“反命题的矛盾性”与“原命题的正确性”是两个相互等价的命题.因此，反证法的逻辑根据是矛盾律和排中律，通过证明与原命题逻辑等价的命题“反命题的矛盾性”来间接证明原命题的正确性.四、宜用反证法证明的命题哪些命题宜用反证法证明？要具体地回答这个问题是不容易的，这需要不断的探索和总结.总的来说，不易用直接法去证明的命题可尝试运用反证法证明.在此，本人提出如下几类适宜用反证法证明的命题.1. 对于结论是否定形式的命题，宜用反证法例1：求证方程x2-1993x+1995=0无整数根.分析：若运用求根公式来解此题，运算量较大，故易使用反证法证明.证明：假设原方程有两个整数根α和β，由韦达定理得：α+β=1993,①α·β=1995.②由于α、β均为整数，由②知α、β必定都是奇数.而两个奇数之和是偶数，这与①矛盾.所以，α和β不可能为整数，即假设错误.故原命题获证.2．对于证明结论是“唯一”或“必然”的命题，宜用反证法例2：求证方程2x+x=6仅有唯一实根2.证明：假设方程2x+x=6有一个非2实根a，则将2a+a=6和22+2=6两式相减得：2a－22=2－a.因为a≠2，故a＞2或a＜2.当a＞2时，2a－22＞0与2－a＜0相矛盾；当a＜2时，2a－22＜0与2－a＞0也矛盾.所以，假设方程有一个非2实根是错误的.故原命题正确.例4：已知函数f（x）是（－∞，＋∞）上的增函数，a、b∈R.（1）求证：若a+b≥0，则f（a）+f（b）≥f（－a）+f（－b）；（2）求证：若f（a）+f（b）≥f（－a）+f（－b），则a+b≥0.证明：（1）因为a+b≥0，所以a≥－b，b≥－a .因为f（x）是（－∞，＋∞）上的增函数，所以f（a）+f（b）≥f（－a）+f（－b）.（2）假设a+b＜0，则a＜－b，b＜－a.因为f（x）是（－∞，＋∞）上的增函数，所以f（a）＜f（－b），f（b）＜f（－a）.所以f（a）+f（b）＜f（－a）+f（－b）.这与条件相矛盾，所以假设不成立.因此有a+b≥0成立.在本例中，由于前一命题是后一个命题的逆命题，且前一个命题是真命题，因此，在（2）中用反证法就容易推出矛盾.事实上，直接证（2）缺少推理条件，而反设增加了条件（即利用（1）的推理和结论）.以上总结了四种适合运用反证法证明的典型题型.事实上，适宜运用反证法证明的数学命题还有很多，但是，反证法不是万能的，不能证明所有的数学命题.在解题中，要想灵活地运用反证法还需要我们在以后的学习中进行不断的探索、总结.。
反证法在初中数学解题中的应用探讨反证法是一种重要的数学推理方式，它可以通过假设结论不成立，推导出矛盾，从而证明结论的正确性。
在初中数学中，反证法被广泛应用于证明题目中的一些重要结论和定理，下面将结合一些例子，探讨反证法在初中数学解题中的应用。
1. 证明无理数的存在性无理数是指不能表示为两个整数之比的数，比如根号2、π等。
我们可以采用反证法证明无理数的存在性。
假设根号2是有理数，即可以表示为分数a/b，其中a、b互质。
根据根号2的定义，可得到2=a^2/b^2，即a^2=2b^2。
由于a、b互质，所以a必须是偶数，不妨设a=2c，其中c是整数。
带入上式可得到4c^2=2b^2，即2c^2=b^2，由此可知b也必须是偶数，与a、b互质矛盾。
因此，假设不成立，即根号2是无理数。
2. 证明两线段的长度相等我们知道，两条直线的交点将平面分成四个部分，称为四象限。
若给定一条线段在第一象限内，另一条线段在第三象限内，如何证明它们的长度相等？我们可以采用反证法证明。
假设这两条线段的长度不相等，分别记为AB和CD。
假设我们按照图示的方式构造两个以点A为圆心、以长度AB为半径的圆和以点C为圆心、以长度CD为半径的圆，可以得到两个交点E和F。
连接AE、CF并延长，交于点G。
由于AE和CF是同一直线上的两条线段，因此AG+GF=CG+GE。
同时，AG+GF=AB+CD，CG+GE=AB+CD，因此AB+CD=AB+CD，显然矛盾，因此可知AB=CD。
3. 证明绝对值的基本性质绝对值是指一个数与0的距离，它的符号与原数相同。
在初中数学中，我们常用到绝对值的一些基本性质，如|a+b|≤|a|+|b|，|a-b|=|b-a|等。
我们可以通过反证法证明这些性质。
以|a+b|≤|a|+|b|为例，假设|a+b|>|a|+|b|，即a+b>|a|+|b|或a+b<-|a|-|b|，我们可以分别讨论。
第一种情况下，可得到b>|b|-a，即a<0，与假设的a、b符号相同矛盾；第二种情况下，可得到a+2b<0，与假设的a、b符号相同矛盾。
反证法在初中数学解题中的应用探讨反证法是初中数学学习中常用的一种思维方式，通常在证明某些命题时会用到。
它的作用在于，通过假设命题不成立，然后通过推理得到矛盾，从而证明了命题是成立的。
下面就来探讨一下反证法在初中数学解题中的应用。
1. 证明逆命题、反命题在数学中，证明逆命题、反命题通常采用反证法。
例如，证明“如果两条直线平行，则它们的斜率相等”的逆命题“如果两条直线的斜率不相等，则它们不是平行的”以及反命题“如果两条直线不平行，则它们的斜率不相等”时，可以采用反证法。
首先假设逆命题和反命题是成立的，即假设存在两条斜率不相等的直线是平行或存在两条不平行的直线的斜率相等，然后通过推理得到矛盾的结论，从而证明了原命题是成立的。
2. 证明等式在初中数学中，证明等式也常常采用反证法。
例如，证明“对于任意实数x，x²≥0”时，可以采用反证法。
假设存在一个实数x，使得x²<0，然后通过x²的定义将其化简为（-x）²>0，即(-x)×(-x)>0，那么根据负数的定义可知，(-x)×(-x)>0的条件是x≠0，即(-x)²>0的条件是x≠0。
但是这与我们的假设矛盾，因为我们已经假设x²<0，而这意味着x²≥0不成立，由此证明了原命题是成立的。
3. 证明最大值或最小值假设存在实数a、b，使得a+b=8且ab>16，然后将ab表达式展开为a(8-a)，化简后得到8a-a²>16，移项可得a²-8a+16<0，即(a-4)²<0，这与平方差公式是矛盾的，因此我们假设的ab>16是不成立的，即xy的最大值是16。
反证法在数学中的应用反证法是一种逻辑推理方法，常常在数学领域中被广泛运用。
它的基本思想是通过对一个假设的否定来得出结论，从而证明原假设是错误的。
这种方法在解决数学问题和证明定理时，常常能够发挥重要的作用。
本文将就反证法在数学中的应用进行论述，为读者展示它在数学研究中的重要性及实际应用。
反证法最早出现在古希腊数学中，被哥德尔、皮亚诺等数学家广泛运用，并且在近现代数学中也得到了广泛的应用。
它的基本思想是通过假设的否定来推导出逻辑上的矛盾，从而证明该假设是错误的。
反证法是数学证明中最常见的一种证明方法之一，它的实际应用范围非常广泛，可以用于证明数论、代数、几何、分析等各个领域的定理和公式。
下面我们将分别从不同的数学领域来探讨反证法的应用。
在数论中，反证法常常被用来证明诸如素数性质、同余方程等数论问题。
证明素数的无穷性，可以使用反证法来证明。
假设存在有限个素数，然后通过对这一假设的否定，证明得出矛盾，从而得出结论：素数是无穷的。
同样，证明勾股定理、费马大定理等数论问题中，也常常使用反证法。
反证法实际上为数论问题的定理证明提供了一种十分有效和有力的工具。
在代数领域中，反证法也被广泛应用于证明群论、环论、域论等代数结构中的性质和定理。
在群论中，证明群中任意元素的逆元素唯一性可以使用反证法来证明。
在证明定理时，通过对某个假设的否定，再通过逻辑推理得出结论，极大地简化了证明的过程，提高了证明的效率。
在几何领域中，反证法也经常被用来证明诸如平行线性质、三角形性质、平面几何性质等问题。
证明平行线性质中互逆关系的定理，可以利用反证法进行证明。
通过对假设的否定，再进行逻辑推理，得出矛盾，从而证明原假设是正确的。
在实分析中，反证法也有着重要的应用。
在实数的连续性方面，常常通过反证法来证明某些重要的定理。
证明实数具有阿基米德性质，证明柯西收敛准则等，都可以使用反证法来进行证明。
反证法的严谨性和有效性在实分析中得到了充分的展现。
反证法在初中数学解题中的运用分析反证法是一种证明方法，它通过假设所要证明的结论不成立，然后推出与已知事实相矛盾的结论，从而得出所要证明的结论成立的结论。
在初中数学中，反证法被广泛应用。
它不仅能够帮助学生更加深刻地理解数学概念，还能够提高学生的思维能力和解决问题的能力。
首先，反证法在初中数学中常用于证明某些命题是假的。
比如，我们常常可以用反证法证明一些等式不成立。
例如，我们来看下面这个例子：已知 $a,b,c$ 为正整数，且 $a+b=c$，证明 $a^2+b^2$ 不能被 4 整除。
我们可以用反证法来证明这个命题。
假设 $a^2+b^2$ 能被 4 整除，那么 $a$ 和$b$ 一定都是偶数。
令 $a=2m$，$b=2n$，其中 $m$ 和 $n$ 是正整数，则：$a^2+b^2=4(m^2+n^2)$由于 $a+b=c$，因此：因此，$c$ 也是偶数。
但是，由于 $a,b,c$ 是正整数，因此 $c$ 不能为偶数。
因此，假设不成立，命题得证。
其次，反证法在初中数学中还常用于证明一些命题是正确的。
有时候，我们可以通过假设某些前提不成立，然后推出一个与已知事实不符的结论，从而证明原命题是正确的。
比如，我们来看下面这个例子：对于正整数 $n$，如果 $n^2$ 是奇数，则 $n$ 也是奇数。
由于 $n^2$ 是奇数，因此 $4m^2$ 也是奇数。
但是，我们知道，偶数的平方一定是偶数，因此 $4m^2$ 一定是偶数，与已知事实相矛盾。
因此，可以得出结论：如果$n^2$ 是奇数，则 $n$ 也是奇数。
浅谈“反证法”在高中数学的应用反证法，又称归谬法，是一种通过否定或质疑对方的论点，从而证明自己观点正确性的方法。
这种证明方法在高中数学中有着广泛的应用，下面我们就来谈谈反证法在高中数学中的应用。
反证法的原理是：如果一个命题的结论是错误的，那么这个命题的前提也必须是错误的。
这个原理基于逻辑推理的矛盾性，即如果一个命题的前提和结论之间存在矛盾，那么这个命题就是错误的。
根据这个假设，推导出与原命题的结论相矛盾的结论；说明这个矛盾的结论与原命题的结论是矛盾的，从而证明原命题的结论是正确的。
下面我们通过一个实例来说明反证法在高中数学中的应用：例题：求证：在任意三角形ABC中，至少有一个内角小于或等于60度。
证明：假设在三角形ABC中，所有内角都大于60度，即每个内角都大于60度。
根据三角形内角和定理，三角形内角和为180度，因此三角形ABC的内角和大于180度。
但是，这与三角形内角和定理相矛盾，因为三角形的内角和不可能大于180度。
因此，我们的假设是错误的，至少有一个内角小于或等于60度。
通过这个例子，我们可以看到反证法的应用范围很广，可以用来证明各种类型的命题，包括数量关系、不等式、函数性质等等。
虽然反证法在高中数学中有着广泛的应用，但是并不是所有的命题都可以使用反证法来证明。
一般来说，反证法适用于那些结论是“至多”、“至少”等形式的命题，因为这些命题的结论可以被否定。
如果命题的结论是“等于”、“不等于”等形式，那么就不适合使用反证法。
反证法是一种非常重要的数学证明方法，在高中数学中有着广泛的应用。
通过掌握反证法的原理和步骤，我们可以更好地理解和掌握数学中的各种知识点，提高自己的数学素养。
使用反证法也可以培养我们的逻辑思维能力，让我们更加严谨、准确地思考问题。
因此，我们应该认真学习反证法，并将其应用到实际生活中去。
在中学数学的学习过程中，我们经常会遇到一些看似简单但实际上需要巧妙思维才能解决的问题。
这时候，反证法就像是一把利剑，能帮助我们破解难题。
浅谈反证法在数学中的应用摘要反证法在数学中是一种极其重要的证明方法，被称为“数学家最精良的武器之一”。
它与一般证明方法不同，反证法可分为归谬反证法和穷举反证法两种。
只要抓住要领，反证法就能使一些不易直接证明的问题变得简单，易证，它在数学证题中确有独到之处。
本文主要介绍了反证法的基本概念、步骤、依据及分类。
对于反证法的应用需注意事项和解题步骤做一些论述。
关键词：反证法；归谬；矛盾；假设；结论AbstractContradiction in mathematics is an extremely important method of proof, known as "mathematician one of the most sophisticated weapons." It is different with the general method of proof, proof by contradiction can be classified into two kinds of absurd contradiction and exhaustive reductio ad absurdum. Simply grab the essentials, reductio ad absurdum can make a number of difficult problems becomes simple direct proof, easy to prove, it is proof in mathematics problem in that there are unique. This paper describes the concept of reductio ad absurdum, steps, basis and classifications.The reductio ad absurdum of the application notes and problem-solving steps required to do some exposition.Key word: Absurdity ,Contradiction ,Contradiction ,Supposition ,Conclusion目录1. 引言 (2)2．反证法的定义及步骤 (3)2.1反证法的定义 (3)2.2 反证法的步骤 (3)2.3反证法的逻辑依据及分类 (4)2.3.1反证法的逻辑依据 (4)2.3.2反证法的分类 (4)2.4反证法如何正确的作出反设 (5)2.5反证法如何正确的导出矛盾 (7)2.6在数学中适于应用反证法证明的命题 (7)2.6.1基本命题 (7)2.6.⒉否定式命题 (8)2.6.⒊限定式命题 (9)2.6.⒋唯一性命题 (9)3、运用反证法应注意的问题 (10)4．结束语 (11)参考文献 (12)致谢 (12)1、引言有个很著名的“道旁苦李”的故事：从前有个名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上去摘，尝了之后才知是苦的，独有王戎没动，王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却挂满了李子，所以说李子一定是苦的。
论文编码：O1-0摘要反证法是数学证明方法中很重要的一部分，本文主要介绍了反证法再出等数学中的应用。
首先阐述反证法的概念、逻辑根据和一般步骤。
然后讨论了反正法的适用范围，这也是本文的重点内容，任何一种方法都要以应用为首要任务，我们学习它、了解它、掌握它，学会用反证法解决更多的实际问题才是我们的目的。
其次研究了反证法的教学，反证法的这种数学思想在课堂教学中的渗透是很有必要的。
最后讨论了应用反证法应注意的问题，真正用好反证法并非一件易事，所以我们的研究学习是很有必要的。
关键词：反证法逻辑基础教学方法适用范围；AbstractApagoge is an important part of math demonstration.This article introduces the application of Apagoge in elementary math.First,expounds the Apagoge's concept,logic ground and the general steps.Next,discusses the range of application,which is highlighted.Whatever methods we use,we should base on application.So we must study the method and use it to help us solve many practical problem.Then,studies how to teach the Apagoge's thinking into people's minds in the st,talks about the problem which should pay attention to in Apagoge's application.It is difficult to make a good use of the Apagoge,so we are supposed to study continuously.Keywords：Apagoge ;Logical basis;Teaching methods; Scope;目录第 1 章反证法概解1.1反证法的由来 (3)1.2 反证法的定义 (3)1.3 反证法的逻辑基础 (3)1.3.1 反证法的出发点 (3)1.3.2 反证法的推理过程 (4)1.3.3 反证法的逻辑基础 (4)1.4 反证法的分类 (4)第 2 章反证法在中学数学的适用范围以及例题2.1 基本定理或初始命题的证明 (6)2.2 否定性命题 (6)2.3 关于唯一性、存在性、至多至少命题 (6)2.4 无穷型命题 (8)第 3 章应用反证法应注意的问题3.1 反设要正确 (9)3.2 明确推理特点 (9)3.3 善于灵活运用 (9)第 4 章反证法的教学价值及建议4.1 反证法的教学价值 (10)4.2 反证法的教学建议 (11)第 5 章总结致谢 (14)参考文献 (15)前言世界上任何一个生命的诞生就不由自主的与数学有了扯不清的关系，有可能成为学习的主体、还有可能变成被统计的对象。
数学反证法是非常常见的数学证明方法之一。
在证明一个命题的时候，从命题结论的反面入手，先假设结论的反面成立，通过一系列正确的结论推理导出与已知条件、已知公理、定理、定义之一相矛盾的结果或者两个相矛盾的结果，肯定了‘结论反面成立’的假设是错误的，从而达到了证明结论正确的目的，这就是反证法。
反证法的优势在于把要证明的结论当做已知条件，在我们证明过程中冥冥中就多了一个条件。
显而易见的，一道证明题，当我们无法从正面入手的时候反证法就发挥出了它天生的威力。
反证法不但在初等数学中有着广泛的应用，而且在高等数学中也具有特殊作用。
数学中的一些重要结论，从最基本的性质、定理，到某些难度较大的世界名题，往往是用反证法证明的。
反证法的美在于它思考问题的方式，对于任何一个没接触的人来说这种方法是非常巧妙的。
第 1 章反证法概解1.1反证法的由来反证法顾名思义是一种证明方法，在数学和逻辑上是统一的。
早期古希腊的数学在毕达哥拉斯学派的影响下认为万物皆数，用整数和几何图形构建了一个宇宙图式。
万物皆数这个思想当时在数学家的脑海里是根深蒂固的。
随着2的出现，希腊人渐渐开始重新审视他们的数学，图形和直观并不是万能的，推理和逻辑走上了数学的舞台。
此时西方数学成为以证明为主的证明数学,他们要的是准确的数学,或者说他们的数学推崇准确性。
表现形式就是:逻辑、演绎的体系。
可见它是指证明的数学与算的数学正好相反。
希腊人重视逻辑和演绎的证明，反证法最早应用在欧几里得的《几何原本》中。
法国数学家J·阿达玛在其所著《初等数学教程》（平面几何卷）中作了最准确、最简明扼要、最精辟的描述：“反证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。
反证法作为一种最重要且基本的数学证明方法，在数学命题的证明中被广泛应用。
欧几里得证明“素数有无穷多”的结论，欧多克斯证明“两个正多边形的面积比等于其对应线段比的平方”的结论，“最优化原理”的证明，伽利略推翻“不同重量的物体从高空下落的速度与其重量成正比”的断言，“上帝并非全能”的证明，都用了反证法。
在我们自身学习的各个阶段，反证法一直伴随着我们。
1.2 反证法的定义反证法有多种不同的描述，其本质都是一样的。
最早的法国数学家J·阿达玛在其所著《初等数学教程》（平面几何卷）中作了如下的描述：“反证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。
维基百科中这样描述“反证法()又称归谬法、被理法是一种论证方式，他首先假设某命题不成立即在原命题的条件下，结论不成立，然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题成立。
反证法从属于间接证明法的范畴，是从反面考虑问题的证明方法，既方便又实用。
1.3 反证法的逻辑基础反证法是一种简单却又行之有效的证明方法，从其创立至今就一直被广泛应用。
它的优点是，即使不知道怎样直接证明，也能辨别该命题的真伪。
最基本得事实便是，一个命题的反命题导致了矛盾，则原命题是正确的。
1.3.1 反证法的出发点第一步就是要否定论题，构造与原论题具备矛盾关系的矛盾论题。
然后从矛盾论题q→出发。
p→，或pqp∧出发，进行推理。
而不是从q，或qp→，或q1.3.2 反证法的推理过程反证法的推理过程，必须保证是合乎逻辑的，并且要用否定的结论q 作为推理的前提依据，否则便不会倒出矛盾。
另外，还必须要求题设p 作为真命题，在推理过程中作为前提使用，或者与推理结果相矛盾而发生作用。
综上反证法即指从“题设p 与假设q ”出发，推出结果记为r ，或者写成“r q p →∧”成立，r 可以是与公理、定义、已证明的定理或当作真命题题设p 相矛盾；r 也可以本身包含两个结果互相矛盾。
1.3.3反证法的逻辑基础反证法由导出矛盾“r r ∧”，而判定矛盾论题“q p ∧”不成立，从而肯定论题q p →正确。
其逻辑依据是形式逻辑中的两个基本规律——矛盾律和排中律。
矛盾律的内容是在同一推理过程中，成矛盾关系或反对关系的两个判断不能同真，必有一假。
若已知其中一个为真，则可判断另一个必假。
所谓推出“矛盾”是指推出结果r 与已知真命题之间的矛盾，这时r 与已知真命题之间成立是矛盾关系或反对关系，故根据矛盾律必有r 假。
由“q p ∧”和“r 假”这两个真判断出发，可推出q p ∧假。
排中律的内容是在同一推理过程中，成矛盾关系的两个判断，不能同为假，必有一真。
若已知其中一个为假，则必有q p →为真。
这里，我们指出论题q p →和反论题q p ∧、假设q 和结论q 间的矛盾 ，导出结果r 和真命题间的矛盾()包含的两个结果相矛盾或r 是有区别的。
原因在于作出假设q 与推出结果r 的目的不同，为达到论证目的所根据的逻辑规律——矛盾律与排中律的适用范围也不尽相同。
矛盾律对矛盾关系和反对关系的判断都适用，所以结果r 与已知真命题既可以是矛盾关系，也可以是反对关系，推出与已知真命题相矛盾的结果r ，就是为了依据矛盾律由已知真命题断定r 为假，从而达到矛盾论题q p ∧为假。
排中律只使用于具有矛盾关系的判断，所做出的假设q 与结论q ，反论题q p ∧与论题q p →只能是矛盾关系，借依排中律由q p ∧假推q p ∧真。
1.4 反证法的分类⎩⎨⎧穷举法归谬法反证法 1.4.1 归谬法若命题的反面只有一种情形，则只需把这一种情形驳倒，便可达到反正的目的。
例 1 两条直线同时平行于第三条直线，则原两条直线互相平行。
已知：EF CD EF AB //,//,求证：.//CD AB 现用反证法予以证明。
图1.4.1A FEC D B假设AB 与CD 不平行，则{}()，义利用平行定义的反面意P CD AB =⋂()EF AP EF AB ////即 、()()，题设即EF CP EF CD ////()。
平行公理矛盾平行。
但这与平行公理点有两条不同的直线与过EF P ∴临时假设CD AB 不平行()矛盾律。
故()排中律CD AB //。
1.4.2 穷举法若命题题段反面不止一种情况，则必须将其逐一驳倒，才能间接证明梯段的正面成立。
这就叫穷举反正。
例 2 若,121≥>x x 则有.21n n x x > 证明：假若不然，则有(),12121x x x x n n =⇒=与题设矛盾；(),22121x x x x n n <⇒<与题设矛盾。
因此，.21n n x x >第 2 章 反证法在中学数学的适用范围以及例题在上一章中我们主要介绍了一些反证法的概念，对于反正法的定义、历史及逻辑基础有了一定的了解，反证法这种间接证明方法理论上可以用于证明任何题目，但是它像直接证明一样总有局限性，在这一章中我们主要介绍常用反证法的几类题目。
2.1 基本定理或初始命题的证明在各数学分支中，按照公理化方法最初建立的是不多的定义、公理，某些基本定理或初始命题难以找到直接证明的论据，在这种情况下，反证法是我们的首选。
例 1 求证：在一个三角形中，不能有两个角 是钝角.证明：已知C B A ∠∠∠、、是三角形ABC 的 三个内角.（如图1）求证：C B A ∠∠∠、、中不能有两个钝角.证明：假如C B A ∠∠∠、、 中有两个钝角，不妨设︒︒>∠>∠90,90B A 且，则︒>∠+∠+∠180C B A .这与“三角形内角和为︒180”这一定理相矛盾.故B A ∠∠,均大于︒90不成立.所以，一个三角形不可能有两个钝角.2.2 否定性命题结论以“没有……”、“不是……”、“不能……”等形式出现的命题，直接证法不容易入手，反证法可以发挥它的作用。
