反证法-初中数学知识点

反证法在初中数学解题中的运用分析反证法是数学解题中常用的一种证明方法，它通过对反命题进行证明，从而推出原命题的真实性。

在初中数学中，反证法的应用十分广泛，尤其在数学证明和解题过程中起到了重要作用。

本文将通过分析初中数学中常见的反证法运用案例，探讨反证法在数学解题中的运用及其意义。

1.证明题中的应用在初中数学中，证明题是数学学习中的一个重要内容。

而反证法在证明题中常常发挥重要作用。

证明某个命题成立时，我们可以采用反证法，假设命题不成立，然后进行推导证明出现矛盾，从而得出原命题的成立。

2. 数学问题的解答中的应用在初中数学解题中，反证法也常常用于解决一些复杂的数学问题。

有一个常见的数列问题：已知数列的通项公式为an=n^2+n+41，要证明对于任意的整数n,an不可能是素数。

采用反证法，假设存在一个整数n，使得an是素数，然后进行推导得出矛盾，从而证明了原命题的成立。

这个案例展示了反证法在解决数学问题中的应用。

二、反证法在初中数学解题中的意义1. 提高解题的逻辑性反证法在初中数学解题中的应用，可以提高解题的逻辑性，让解题过程更加清晰和严密。

在解题过程中，采用反证法可以让学生对问题进行更全面的思考，不仅能够得出结论，还能够通过推导和反驳的过程加深对问题的理解。

2. 培养学生的思维能力反证法的应用可以培养学生的逻辑思维能力和推理能力。

通过运用反证法，学生需要进行思考、推导和分析，从而加深对问题的理解和抽象能力。

这对学生的思维发展和逻辑能力的培养有着重要的意义。

反证法的应用可以提高学生解题的灵活性。

在解题过程中，遇到一些较为复杂的问题，可以尝试采用反证法来解决。

这种方法能够拓宽解题思路，增加解题的方式和途径，提高解题的灵活性。

三、结语反证法在初中数学解题中的运用极为广泛，它在证明题、数学问题解答及几何问题的解答中发挥着重要作用。

采用反证法不仅可以提高解题的逻辑性和灵活性，还能够培养学生的思维能力。

在教学实践中，应该重视反证法的教学和运用，让学生在解题过程中更加注重推理、严密、逻辑，从而提高数学学习的效果。

反证法在中学数学中的应用反证法是一种非常重要的证明方法，它不仅在初等数学中是必要的，而且在高等数学中也是常用的。

它的“正难则反”与“非此即彼”的原理，不但在数学中应用广泛，而且在现实生活中也有非常重要的应用价值。

引言反证法是根据“正难则反”的原理，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况时可以考虑用反证法。

反证法是数学中一种重要的证明方法，在许多方面都有着不可替代的作用。

它以其独特的证明方法和思维方式对培养学生逻辑思维能力和创造性思维有着重大的意义。

反证法的定义、逻辑依据、种类及模式定义：反证法是从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾，推理而得。

逻辑依据：反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。

种类：运用反证法的关键在于归谬，因此反证法又称为归谬法。

根据结论B的反面情况不同，分为简单归谬法和穷举归谬法。

模式：设待证的命题为“若A则B”，其中A是题设，B是结论，A、B本身也都是数学判断，那么用反证法证明命题一般有三个步骤：（1）反设：作出与求证结论相反的假设；（2）归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；（3）结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

反证法的适用范围反证法”虽然是在平面几何教材中出现的，但对数学的其它各部分内容，如代数、三角、立体几何、解析几何中都可应用。

那么，究竟什么样的命题可以用反证法来证呢？当然没有绝对的标准，但证题的实践告诉我们：下面几种命题一般用反证法来证比较方便。

3.1否定性命题即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题，直接证法一般不易入手，而反证法有希望成功。

例 求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角。

已知：∠A ，∠B ，∠C是三角形ABC 的三个内角。

求证：∠A ，∠B ，∠C 中不能有两个钝角。

证明：假如∠A ，∠B ，∠C 中有两个钝角，不妨设∠A ＞900,且∠B ＞900，则∠A+∠B+∠C ＞1800。

反证法在初中数学解题中的应用探讨反证法是初中数学中常用的一种解题方法。

它基于谬误论证法，假设待证明的命题不成立，通过推理论证推出一个不合理的结果，从而推翻了最初的假设，进而证明了待证明的命题成立。

下面将从几个典型的初中数学题目入手，探讨反证法在初中数学解题中的应用。

我们来看一个求解整数平方根的问题。

假设有一个正整数n，我们要证明如果n是平方数，那么它的平方根一定是整数。

我们可以采用反证法来证明这一结论。

假设n的平方根不是整数，即存在无法化简的最简分数\frac{a}{b}，满足\sqrt{n}=\frac{a}{b}，其中a和b互质。

不失一般性，假设a是奇数。

由于\sqrt{n}是n的平方根，我们可以推出n=\left(\frac{a}{b}\right)^2，进而得到n=\frac{a^2}{b^2}。

由于a是奇数，那么a^2也是奇数。

设a^2=k，则b^2n=k，由于k是奇数，所以n必然也是奇数。

我们知道平方数的性质是除以4的余数只可能是0或1，所以n的余数只可能是0或1，与n是奇数矛盾。

我们得出结论，若n是平方数，它的平方根一定是整数。

接下来，我们来看一个涉及最小值的问题。

假设有一个集合A，其中包含一些正整数。

现在要证明，如果将集合A中的两个元素交换位置，则整个集合中的元素之和不小于原来的和。

我们可以采用反证法来证明这一结论。

假设交换位置后，整个集合中的元素之和比原来的和要小。

设原来集合A中的两个元素分别为a和b，交换位置后变为b和a。

如果交换位置后的和比原来的和要小，那么必然有a-b>0，即a>b，否则a-b<0，即a<b。

不失一般性，假设a-b>0。

现在考虑将a减去某个正整数k，而将b加上k的情况。

由于a-b>0，所以存在一个正整数k，使得a-k>b+k。

考虑到a和b都是整数，那么我们可以得到一个更小的和，即a-k+(b+k)<a+b，这与交换位置后的和比原来的和要小矛盾。

反证法在初中数学解题中的应用探讨反证法是初中数学学习中常用的一种思维方式，通常在证明某些命题时会用到。

它的作用在于，通过假设命题不成立，然后通过推理得到矛盾，从而证明了命题是成立的。

下面就来探讨一下反证法在初中数学解题中的应用。

1. 证明逆命题、反命题在数学中，证明逆命题、反命题通常采用反证法。

例如，证明“如果两条直线平行，则它们的斜率相等”的逆命题“如果两条直线的斜率不相等，则它们不是平行的”以及反命题“如果两条直线不平行，则它们的斜率不相等”时，可以采用反证法。

首先假设逆命题和反命题是成立的，即假设存在两条斜率不相等的直线是平行或存在两条不平行的直线的斜率相等，然后通过推理得到矛盾的结论，从而证明了原命题是成立的。

2. 证明等式在初中数学中，证明等式也常常采用反证法。

例如，证明“对于任意实数x，x²≥0”时，可以采用反证法。

假设存在一个实数x，使得x²<0，然后通过x²的定义将其化简为（-x）²>0，即(-x)×(-x)>0，那么根据负数的定义可知，(-x)×(-x)>0的条件是x≠0，即(-x)²>0的条件是x≠0。

但是这与我们的假设矛盾，因为我们已经假设x²<0，而这意味着x²≥0不成立，由此证明了原命题是成立的。

3. 证明最大值或最小值假设存在实数a、b，使得a+b=8且ab>16，然后将ab表达式展开为a(8-a)，化简后得到8a-a²>16，移项可得a²-8a+16<0，即(a-4)²<0，这与平方差公式是矛盾的，因此我们假设的ab>16是不成立的，即xy的最大值是16。

马行软地易失蹄，人贪安逸易失志。

对待生命要认真，对待生活要活泼。

以下是为您推荐初中数学知识点：不等式证明的六大方法。

1、比较法：包括比差和比商两种方法。

2、综合法
证明不等式时，从命题的已知条件出发，利用公理、定理、法则等，逐步推导出要证明的命题的方法称为综合法，它是由因导果的方法。

3、分析法
证明不等式时，从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件，这种证明的方法称为分析法，它是执果索因的方法。

4、放缩法
证明不等式时，有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明的目的，这种方法称为放缩法。

5、数学归纳法
用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论。

在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法。

6、反证法
证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的
条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法。

反证法在初中数学解题中的运用分析反证法是一种证明方法，它通过假设所要证明的结论不成立，然后推出与已知事实相矛盾的结论，从而得出所要证明的结论成立的结论。

在初中数学中，反证法被广泛应用。

它不仅能够帮助学生更加深刻地理解数学概念，还能够提高学生的思维能力和解决问题的能力。

首先，反证法在初中数学中常用于证明某些命题是假的。

比如，我们常常可以用反证法证明一些等式不成立。

例如，我们来看下面这个例子：已知 $a,b,c$ 为正整数，且 $a+b=c$，证明 $a^2+b^2$ 不能被 4 整除。

我们可以用反证法来证明这个命题。

假设 $a^2+b^2$ 能被 4 整除，那么 $a$ 和$b$ 一定都是偶数。

令 $a=2m$，$b=2n$，其中 $m$ 和 $n$ 是正整数，则：$a^2+b^2=4(m^2+n^2)$由于 $a+b=c$，因此：因此，$c$ 也是偶数。

但是，由于 $a,b,c$ 是正整数，因此 $c$ 不能为偶数。

因此，假设不成立，命题得证。

其次，反证法在初中数学中还常用于证明一些命题是正确的。

有时候，我们可以通过假设某些前提不成立，然后推出一个与已知事实不符的结论，从而证明原命题是正确的。

比如，我们来看下面这个例子：对于正整数 $n$，如果 $n^2$ 是奇数，则 $n$ 也是奇数。

由于 $n^2$ 是奇数，因此 $4m^2$ 也是奇数。

但是，我们知道，偶数的平方一定是偶数，因此 $4m^2$ 一定是偶数，与已知事实相矛盾。

因此，可以得出结论：如果$n^2$ 是奇数，则 $n$ 也是奇数。

反证法【学习目标】知识与能力：通过实例，体会反证法的含义，培养用反证法简单推理的技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。

过程与方法：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题.情感、态度、价值观：在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。

【学习重难点】学习重点：1、理解反证法的概念，2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤，3、用反证法证明简单的命题。

学习难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”。

【学习过程】一、学前准备1、复习回顾两点确定条直线；过直线外一点有且只有条直线与已知直线平行；过一点有且只有条直线与已知直线垂直。

2、看故事并回答：中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么?王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.王戎是怎样知道李子是苦的吗?答：。

他运用了怎样的推理方法? 答：。

3、自学课本162页内容：（1）反证法的定义：在证明一个命题时,人们有时先假设不成立,然后从这个假设出发,经过，得出与、，21H FG E DCBA已证明的 、或 等相矛盾的结果,从而得出假设的结论不成立,从而说明命题的结论正确的.这种证明方法叫做反证法.反证法证题的基本步骤：1．假设 ；（反设）2．从这个假设和 出发，经过 ，得出与 、 ，已证明的 、 或 等相矛盾的结果；（归缪）3．由 ，判定假设不成立，从而说明 是正确的.（结论） 二、自学、合作探究1、用具体例子体会反证法的含义及思路 例1、已知：在△ABC 中，AB ≠AC 求证：∠B ≠ ∠ C证明：假设 ，则 这与 矛盾．假设不成立． ∴ ．例2、用反证法证明平行线的性质定理一： 。

初中掌握的数学知识点总结初中数学是学生数学学习的重要阶段，它为高中及以后的数学学习打下坚实的基础。

在这个阶段，学生会接触到许多基础的数学概念、原理和解题技巧。

以下是初中数学主要知识点的总结：# 1. 数与代数- 有理数：包括整数、分数、小数，以及它们的四则运算规则。

- 整式与分式：学习单项式、多项式的概念，进行加、减、乘、除运算，以及分式的化简和分解。

- 方程与不等式：掌握一元一次方程、二元一次方程及其解法，了解不等式的基本性质和解集表示。

- 函数：初步认识函数的概念，学习线性函数、二次函数的图像和性质。

# 2. 几何- 平面几何：包括点、线、面的基本性质，以及角、三角形、四边形、圆等图形的性质和计算。

- 相似与全等：学习图形的相似和全等条件，掌握相应的判定定理。

- 三角函数：初步了解正弦、余弦、正切等三角函数，以及它们在直角三角形中的应用。

- 空间几何：初步认识立体图形，如长方体、球体等，学习它们的体积和表面积的计算方法。

# 3. 统计与概率- 统计：学习数据的收集、整理和描述，包括平均数、中位数、众数、方差等统计量。

- 概率：初步了解概率的概念，掌握概率的基本计算方法，如加法原理和乘法原理。

# 4. 解题技巧- 列方程解应用题：通过列方程解决实际问题，如行程问题、工作问题等。

- 图形的变换：学习图形的平移、旋转、对称等变换方法，解决相关问题。

- 逻辑推理：培养逻辑推理能力，通过分析问题条件，推导出解题步骤。

# 5. 数学思维- 归纳法：通过观察特殊例子，归纳出一般规律。

- 反证法：通过假设结论不成立，推导出矛盾，证明原命题的正确性。

- 分类讨论：针对问题的不同情况，分别讨论求解。

# 6. 数学工具的使用- 计算器的使用：掌握计算器的基本操作，提高计算效率。

- 图形计算软件：了解如何使用图形计算软件辅助数学学习和解题。

# 7. 数学学习方法- 预习与复习：通过预习了解即将学习的内容，复习巩固已学知识。

第 1 页板块一 反证法反证法反证法是一种间接证法．为了证明某个命题的正确性，先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定假设，达到肯定原命题正确的目的，这种方法就是反证法．反证法的逻辑根据是“排中律”：对于同一思维对象，所作的两种互相对立的判断只能一真一假、反证法就是通过证明结论的反面不真而肯定结论为真的一种证明方法．用反证法证明一个命题的正确性的步骤，大体上分为：（1）反设：假设结论的反面成立；（2）归谬：由反设及原命题的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾；（3）结论：否定反设，肯定原命题正确．按照反设所涉及到的情况的多少，反证法可分为归谬反证法与穷举反证法．1．若结论的反面只有一种情形，那么，反设单一，只须驳倒这种情形，便可达到反证的目的．这叫归谬反证法．2．若结论的反面不只一种情形，那么，要将各种情形一一驳倒，才能肯定原命题正确，这叫穷举反证法．【例1】设)0是一次函数()0y ax b a =+≠上一点，试证y ax b =+的图象至多只能通过一个有理点（横坐标和纵坐标都是有理数的点）．【解析】将x =，0y =代入y ax b =+，得b =，于是(y a x =，设()0y a x b a =+≠的图象上有两个不同的有理点()11x y ，、()22x y ，，则1x 、1y 、2x 、2y 都是有理数，且消去a，变形得122121x y x y y y -=-因为12x x ≠，则12y y ≠，所以上式左端是有理数，它不可能等于无理数，故()0y ax b a =+≠的图象至多只能通过一个有理点．【备选】 求证:平面上任意两个不同的整点到点P 的距离都不相等．【解析】 假设结论不成立，则平面上两个不同的整点(,)A a b 、(,)B c d （其中a 、b 、c 、d 都是整数）使得AP BP =．由22AP BP =可得2222((((a b c d +=+，即22222(2(a c b d a b c d --+--，从而22222228()12()8()(()a c b d a c b d a b c d -+-+--=+--，进而可得22222228()(()8()12()a c b d a b c d a c b d --=+------，因此()()0a c b d --=．⑴ 若0a c -=，则0b d -=，从而a c =，b d =，A 、B 重合．⑵ 同理，若0b d -=，A 、B 重合．习题1. 若0a ≠，则关于x 的方程0ax b +=的解是唯一的．知识导航 夯实基础反证法与同一法【解析】 因为0a ≠，则b x a=-是0ax b +=的一个解， 假设0ax b +=的解不是唯一的，不妨设1x 、2x 都是0ax b +=的解，这里12x x ≠，则①-②得由于12x x ≠，所以120x x -≠，则0a =，这与0a ≠矛盾．故若0a ≠，则x 的方程0ax b +=的解是唯一的．【点评】证明的第一行是说明解的存在，在这种情况下，结论“解是唯一的”的否定是“至少有两个解”，但本题的反设是“若1x 、2x （12x x ≠）是0ax b +=的解”，其实，这里省去了“只要有两个不同的解，就能导出矛盾，当然不可以有更多的不同的解”的推理．【例2】 平面上有一点P 及ABC △，若PB PC AB AC +>+，求证：点P 在ABC △外部．【解析】 假设点P 不在ABC △外部，则有如下几种可能：⑴ 若点P 在BC 边上（如下左图）．由PB PC BC AB BC +=<+，与已知矛盾，所以点P 不可能在BC 边上．⑵ 若点P 在AC （或AB ）边上（不包括端点）（如下中图），则PB AB AP <+所以PB PC AB AP PC AB AC +<++=+与已知矛盾，所以点P 不可能在AC （或AB ）边上．⑶ 若P 与A 重合，显然PB PC AB AC +=+，与已知矛盾，故点P 不可能是A 点． ⑷ 若点P 在ABC △内（如上页右图），延长BP 交AC 于D ，则①+②得AB AD PD DC BP PD PC +++>++即AB AC PB PC +>+，与已知矛盾，所以点P 不在ABC △内．由以上⑴～⑷知，点P 必在ABC △外．习题2. 如右图，在凸四边形ABCD 中，若AB BD AC CD ++≤，求证：AB AC <．【解析】 设AB AC ≥，则ACB ABC ∠∠≥，因为ABCD 是凸四边形，所以BCD ACB ∠>∠，ABC DBC ∠>∠，则BCD DBC ∠>∠，于是BD CD >，故AB BD AC CD +>+，与已知条件矛盾，因此，AB AC <得证．习题3. 在同一平面内有四条直线a 、b 、c 、d ，若a 与b 相交，c a ⊥，d b ⊥，则c 与d 也相交．【解析】 假设c d ∥，因为a c ⊥，所以a d ⊥，又因为b d ⊥，所以a 、b 平行，这与已知条件a与b 相交矛盾，故c 与d 也相交．【例3】 在四边形ABCD 中，OA OC =，ABC ADC ∠=∠，求证：ABCD 是平行四边形．【解析】 若OB OD =，则显然ABCD 是平行四边形．若OB OD ≠，不妨设OB OD >，则在OB 上取点'B ，使得'OB OD =，连结''AB B C 、，则四边形'AB CD 是平行四边形，则'ADC AB C ABC ∠=∠>∠，矛盾！故ABCD 是平行四边形．习题4. 已知在四边形ABCD 和''''A B C D 中，''AB A B =，''BC B C =，''CD C D =，''DA D A =，且AB CD ∥，''''B C D A ∥．证明：这两个四边形都是平行四边形．【解析】 显然，若AB CD =则结论成立．否则，不妨设AB CD >，BC DA >．如图，在线段BA 上截取BE CD =，连结DE ；则四边形EBCD 是平行四边形，DE BC =．同样，在线段''B C 上截取'''B F A D =，则'''A B FD 是平行四边形，'''D F A B =．那么'''''AB CD AE ED AD BC AD B C A D FC -=>-=-=-=，'''''''D F C D A B C D AB CD >-=-=-，矛盾!即两个四边形均是平行四边形．探索提升第 3 页【例4】 G 是ABC △的重心，若AB GC AC GB +=+，则AB AC =．【解析】 若AB AC ≠，不妨设AB AC >，通过倍长中线可得CAG BAG ∠>∠，作点C 关于AG 的对称点'C ，则由“8字模型”，''AB GC AC GB +>+，可得AB GC AC GB +>+，矛盾！故AB AC =．【例5】 试证明雷米欧司—斯坦纳定理：内角平分线相等的三角形是等腰三角形．【解析】 如图，若AB AC >，则一方面， ACB ABC ∠>∠，DCB EBC ∠>∠，在DBC △和EBC △中，CD BE =，BC CB =于是BD CE > ……①另一方面，作DBEF □，则BE DF =，又BE CD =∴FDC △为等腰三角形，其中DF DC =∴FCD DFC ∠=∠，而ABE ACD ∠<∠∴EFC ECF ∠>∠，从而EC EF BD >= ……②综合①、②，矛盾．【备选】 设凸五边形ABCDE 的各边相等，并且A B C D E ∠∠∠∠∠≥≥≥≥，求证：此五边形是正五边形．【解析】 假设A E ∠>∠，那么在BAE △和AED △中，由BAE AED ∠>∠可得BE AD >；因此，在ABD △和EBD △中，由BE AD >可得BDE ABD ∠>∠．另外，由BC CD =可得BDC CBD ∠=∠，结合BDE ABD ∠>∠可得CDE CBA ∠>∠，而这与已知条件B D ∠≥∠矛盾．所以A E ∠≤∠，结合已知条件可得A B C D E ∠=∠=∠=∠=∠，得证．本题中，多次使用了“两边对应相等的两个三角形中，夹角越大，则第三边也越大；反之亦然”这一定理．板块二 同一法 同一法在符合同一法则的前提下，代替证明原命题而证明它的逆命题成立的一种方法叫做同一法．同一法是间接证法的一种．当要证明某种图形具有某种特性而不易直接证明时，使用此法往往可以克服这个困难．用同一法证明的一般步骤是:(1)不从已知条件入手，而是作出符合结论特性的图形；(2)证明所作的图形符合已知条件；(3)推证出所作图形与已知为同一图形．【例6】 在等腰ABC △中，AB AC =，36A ∠=︒，D 是AC 上的一点，满足AD BC =；求证：（1）ABD CBD ∠=∠；（2）BD BC =．【解析】 由点D 的唯一性，利用同一法可以轻松解决问题．【例7】 在ABC △中，D 是BC 边上一点，40B ∠=︒，30BAD ∠=︒，AB CD =，求C ∠．【解析】 在BC 所在直线上找点'C ，使得'AC AB =，连结'AC则'40C ∠=︒，70ADC ∠=︒，那么'70DAC ∠=︒，由此''DC AC AB DC ===，即C 、'C 非常挑战探索提升知识导航重合．所以40C ∠=︒．习题5. 在ABC △中，D 是BC 边上一点，42B ∠=︒，27BAD ∠=︒，AB CD =，求C ∠．【解析】 说明：答案为42︒；题目可进一步变成“在ABC △中，D 是BC 边上一点，B α∠=，BAD β∠=，32180αβ+=︒，AB CD =，求C ∠”．【备选】 在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90B C ∠+∠=︒，E 、F 分别是AD 、BC 的中点， 求证：()12EF BC AD =-． 【解析】 延长BA 、CD 交于点P ，连结PF 交AD 于点'E ，利用线束定理容易证明'E 即为AD 的中点，那么E 、'E 重合，则1122EF PF PE BC AD =-=-，得证．【例8】 在ABC △中，AD 是角平分线，I 是AD 上一点，且1902BIC BAC ∠=︒+∠，则I 为ABC △的内心．【解析】 设'I 为三角形的内心，显然'I 必在AD 上，且1'902BI C BAC ∠=︒+∠．若点I 在'AI 上，易得1902BIC BAC ∠<︒+∠；若点I 在'I D 上，易得1902BIC BAC ∠>︒+∠．所以，点I 与点'I 重合，即I 为三角形的内心．习题6. 如图，I 是ABC △的BAC ∠的角分线上一点，直线MN 过点I ，与A B A C 、边分别交于点M N 、，且ABI NIC ∠=∠，ACI MIB ∠=∠．求证：I 是ABC △的内心．【解析】 1180902BIC MIB NIC BAC ∠=︒-∠-∠==︒+∠，结合上题结论可知，I 是ABC △的内心． 非常挑战。

第28讲 反证法欧几里德最喜欢用的反证法，是数学家最精良的武器。

它比起棋手所用的任何战术还要好：棋手可能需要牺牲一只兵或其它棋，但数学家用的却是整个游戏。

——哈代反证法是一种间接证法，当正向求解有一定的困难，则可以考虑问题的反面.对于存在性问题，唯一性命题，否定性命题，用反证法一般比较方便，与无限有关的命题，“至多”、“至少”等形式的命题，也可以考虑用反证法。

反证法证题的一般步骤为：1、假设结论的反面成立；2、在假设的基础上利用已知条件和定理、公理、定义进行推理得出与题设或与公理、定理、定义及日常常识相矛盾的结果；3、矛盾源于假设，从而肯定原命题成立。

经典例题解析先看一个著名的例子．例1 伽利略妙用反证法1589年，意大利25岁的科学家伽利略(Galilei)，为了推翻古希腊哲学家亚里斯多德的“不同重量的物体从高空下落的速度与其重量成正比”的错误论断，他除了拿两个重量不同的铁球登上著名的比萨斜塔当众做实验来说明外，还运用反证法证明如下：假设亚里斯多德的论断是正确的．设有物体A 、B ，且重A ＞重B ，则A 应比B 先落地。

现把A 与B 捆在一起成为物体A ＋B ，则()重B A +＞重A ，故A ＋B 比A 先落地；又因A 比B 落得快，A ，B 在一起时，B 应减慢A的下落速度，所以A ＋B 又应比A 后落地，这样便得到了自相矛盾的结果．这个矛盾之所以产生，是由亚里斯多德的论断所致，因此这个论断是错误的．评注 伽利略所采用的证明方法是反证法．一般地，在证明一个命题时，从命题结论的反面入手，先假设结论的反面成立，通过一系列正确的逻辑推理，导出与已知条件、已知公理、定理、定义之一相矛盾的结果或者两个相矛盾的结果，肯定了“结论反面成立”的假设是错误的，从而达到了证明结论正面成立的目的，这样一种证明方法就是反证法．反证法对大家来说并不陌生，它是一种最常见的证明方法．成语故事：“自相矛盾”中，“以子之矛攻子之盾”，正是采用了反证法．例2 （2002年北京市初中数学竞赛试题）已知abc ≠0，证明：四个数abc c b a 3)(++，abc a c b 3)(--，abc b a c 3)(--，abcc b a 3)(--中至少有一个不小于6.证明 abc c b a 3)(++＋abc a c b 3)(--＋abc b a c 3)(--＋abcc b a 3)(-- ＝abcc b a b a c a c b c b a ])()[(])()[(3333--+--+--+++ ＝abcac c b a b ac c b a b )633(2)633(2222222-++-+++ ＝abcabc 24＝24.(*) 如果abc c b a 3)(++＜6，abc a c b 3)(--＜6，abc b a c 3)(--＜6，abcc b a 3)(--＜6，则abc c b a 3)(++＋abc a c b 3)(--＋abc b a c 3)(--＋abcc b a 3)(--＜24. 与(*)式矛盾. 所以, 四个加数abc c b a 3)(++,abc a c b 3)(--,abcb ac 3)(--, abcc b a 3)(--中至少有一个不小于6. 例3（1997年山东省初中数学竞赛试题）设a 、b 、c 为互不相等的非零实数，求证三个方程ax 2＋2bx ＋c ＝0，bx 2＋2cx ＋a ＝0，cx 2＋2ax ＋b＝0不可能都有两个相等的实数根.证明 用反证法。

反证法在初中数学解题中的运用分析1. 引言1.1 反证法在初中数学解题中的重要性反证法是初中数学解题中一种重要的思维方法，其在数学推理和证明中扮演着至关重要的角色。

通过反证法，我们可以通过假设所要证明的结论为假，从而推导出矛盾，进而证明原命题的正确性。

这种方法在解决复杂问题或证明难题时常常能够起到意想不到的效果，为我们打开了解决问题的新思路。

在初中数学学习中，反证法的重要性不言而喻。

通过反证法，我们可以更好地理解数学定理和公式，并且培养逻辑思维和分析问题的能力。

它帮助我们发现问题的本质，找到解决问题的关键，提高数学学习的效率和深度。

在解决数学问题时，有时直接证明一个命题比较困难，而通过反证法可以简化证明过程，使得解题更加简洁和清晰。

反证法在初中数学解题中的重要性不容忽视。

它不仅能够提高我们的数学解题能力，还可以培养我们的逻辑思维方式，让我们在数学学习中收获更多的成就和乐趣。

熟练掌握反证法对于初中生来说是十分重要的。

1.2 反证法的基本原理反证法是逻辑推理中常用的一种方法，其基本原理是通过否定待证命题的反命题来间接证明原命题的真实性。

这种方法在数学证明中被广泛运用，特别是在初中数学解题中具有重要意义。

反证法的基本原理可以用简单的逻辑推理来解释。

假设我们要证明一个命题P，而假设P是假的，即非P是真的。

我们利用这个假设来推导出某些结论Q，但我们最终发现Q与已知事实或其他命题矛盾，从而得出结论非P也是假的，即P是真的。

这一过程就是利用反证法间接证明原命题的过程。

反证法的基本原理可以帮助我们加深对待证命题的理解，发现存在逻辑矛盾的地方，从而推导出命题的真实性。

在数学解题中，反证法可以帮助我们简化证明过程，节省时间和精力，提高解题效率。

了解和掌握反证法的基本原理对于初中生学习数学和解题是非常重要的。

反证法不仅仅是一种证明方法，更是一种思维方式和逻辑推理的训练，可以帮助学生提升解决问题的能力和思考深度。

2. 正文2.1 反证法在代数方程解题中的运用在解代数方程中，反证法是一种常用且有效的解题方法。

初中数学证明方法知识点整理数学证明是数学学科的重要组成部分，它帮助学生理解数学概念、推理能力和逻辑思维。

对于初中学生来说，掌握数学证明方法是至关重要的。

本文将对初中数学证明方法的知识点进行整理。

一、数学证明的基本思路和方法1. 直接证明法：即直接利用已知条件和已有定理来证明所要证明的结论。

这种方法较为常见，要点是从已知条件出发逐步推导，最终得到所要证明的结论。

2. 反证法：反证法是通过假设所要证明的命题为假，然后推导出与已知条件或已有定理矛盾的结论，从而证明所要证明的命题为真。

3. 数学归纳法：数学归纳法是通过证明一个命题对某个数值成立，再证明它对下一个更大的数值也成立，从而推断出它对所有自然数都成立。

4. 枚举法：通过事实上的逐一查找验证，验证几个特例后得到普遍结论。

这种方法适用于一些具体问题的证明。

二、数学证明中的典型题型和对应的证明方法1. 相等关系证明：证明两个数或者两个代数式相等的关系。

- 相等关系直接证明法：对已知进行运算，从已知条件出发逐步推导，最终得出结论。

- 相等关系反证法：假设两个数或者两个代数式不相等，通过推导得出矛盾的结论，进而推出两者相等。

2. 数列性质证明：证明数列的递推式、极限、等差数列、等比数列等性质。

- 数列递推式证明：通过归纳法证明数列的递推式成立，即验证递推式在首项成立，并利用归纳假设证明递推式在下一项也成立。

- 数列极限证明：通过利用已有的数列极限定理，进行反证法证明数列的极限存在及其值。

- 等差数列性质证明：利用已有的等差数列定理，比如通项公式、前n项和公式等，证明等差数列的各种性质。

- 等比数列性质证明：利用已有的等比数列定理，比如通项公式、前n项和公式等，证明等比数列的各种性质。

3. 几何证明：证明几何图形的性质，包括等腰三角形、等边三角形、菱形等几何定理。

- 几何定理证明：通过利用已有的几何定理、定律进行推导，证明几何图形的性质。

- 几何直线关系证明：通过角度和直线之间的关系，利用角的性质、相交直线的性质等进行证明。

【初中数学】初中数学反证法的学习方法
【—汇编】反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。

那么接下来的
初中数学
学习方法请同学们认真记忆了。

反证法
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。

用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：
（1）反向设置；
(2)归谬;
（3）结论。

反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：
是/否；
存在/不存在;
平行于/不平行于；
垂直于/不垂直于;
等于/不等于；
大(小)于/不大(小)于;
是/否；
至少有一个/一个也没有;
至少N/最多（N-1）；
至多有一个/至少有两个;
独特/至少两个。

归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。

推理必须严谨。

有几种类型的矛盾：
与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾。

我相信学生们已经仔细记住了本章中初中数学学习方法汇编的反证。

接下来，有越来越多的综合性初中数学学习方法等着你去掌握。