反证法(初中数学)

初中韦达定理证法六种『韦达定理证法六种』韦达定理是数学中有名的一种定理，它可以用来证明三角形的角是有角度的，并有六种不同的证明方式及其对应的几何证明。

下面介绍一下韦达定理的六种证明方式：一、反证法。

反证法的意思是证明一个论断其不成立，也就是说证明论断没有被证明，即它不成立。

在韦达定理的反证法中，我们拿到非韦达定理的三角形，然后证明它不是韦达定理求得的结果。

这样，既然找不到合适的三角形来证明韦达定理，就可以验证出该定理的真实性。

二、对偶原理。

对偶原理的意思是，如果两个命题中的一个为假，另一个也为假。

在韦达定理的证明中，根据对偶原理，如果两个三角形（A，B）有任何相同的角，有相同的面积，则韦达定理成立。

三、拓扑定理。

拓扑定理指的是，如果在某结构中两个点到另外两个点的路径有三条，则这两个点之间有三个连通路径。

这里，证明三角形角度小于或等于180°时拓扑定理也可以成立，因此韦达定理也证明了。

四、全等定理。

全等定理说，如果某两个图形的顶点和边的长度完全相等，则它们的形状也完全相等。

这里，应用韦达定理的全等定理，使用两个完全相等的三角形来证明该定理。

五、力学定理。

力学定理主要指的是，在结构物中，所有外力汇于一点处，因此它们的合力为零。

在韦达定理的证明中，用力学定理可以证明一定条件下三角形角度小于等于180°，从而证明韦达定理。

六、叉乘定理。

叉乘定理是指，两个向量叉乘（即点积）的结果为它们仅共有一个公共顶点的三角形的面积乘以2。

这里，在韦达定理的证明中，可以借助前一条的错角公式将叉乘定理应用到三角形形状中，从而证明角度小于或等于180°，最终证明韦达定理成立。

总结：在韦达定理的证明中，用到了反证法、对偶原理、拓扑定理、全等定理、力学定理、叉乘定理等六种方式证明了该定理的成立。

反证法在初中数学解题中的运用分析反证法是数学解题中常用的一种证明方法，它通过对反命题进行证明，从而推出原命题的真实性。

在初中数学中，反证法的应用十分广泛，尤其在数学证明和解题过程中起到了重要作用。

本文将通过分析初中数学中常见的反证法运用案例，探讨反证法在数学解题中的运用及其意义。

1.证明题中的应用在初中数学中，证明题是数学学习中的一个重要内容。

而反证法在证明题中常常发挥重要作用。

证明某个命题成立时，我们可以采用反证法，假设命题不成立，然后进行推导证明出现矛盾，从而得出原命题的成立。

2. 数学问题的解答中的应用在初中数学解题中，反证法也常常用于解决一些复杂的数学问题。

有一个常见的数列问题：已知数列的通项公式为an=n^2+n+41，要证明对于任意的整数n,an不可能是素数。

采用反证法，假设存在一个整数n，使得an是素数，然后进行推导得出矛盾，从而证明了原命题的成立。

这个案例展示了反证法在解决数学问题中的应用。

二、反证法在初中数学解题中的意义1. 提高解题的逻辑性反证法在初中数学解题中的应用，可以提高解题的逻辑性，让解题过程更加清晰和严密。

在解题过程中，采用反证法可以让学生对问题进行更全面的思考，不仅能够得出结论，还能够通过推导和反驳的过程加深对问题的理解。

2. 培养学生的思维能力反证法的应用可以培养学生的逻辑思维能力和推理能力。

通过运用反证法，学生需要进行思考、推导和分析，从而加深对问题的理解和抽象能力。

这对学生的思维发展和逻辑能力的培养有着重要的意义。

反证法的应用可以提高学生解题的灵活性。

在解题过程中，遇到一些较为复杂的问题，可以尝试采用反证法来解决。

这种方法能够拓宽解题思路，增加解题的方式和途径，提高解题的灵活性。

三、结语反证法在初中数学解题中的运用极为广泛，它在证明题、数学问题解答及几何问题的解答中发挥着重要作用。

采用反证法不仅可以提高解题的逻辑性和灵活性，还能够培养学生的思维能力。

在教学实践中，应该重视反证法的教学和运用，让学生在解题过程中更加注重推理、严密、逻辑，从而提高数学学习的效果。

反证法教学目标： ⑴ 了解间接证明的一种基本方法---------反证法⑵ 了解反证法的思维过程，明确反证法的证题步骤⑶ 培养学生用反证法进行推理的技能和应用意识教学重难点：⑴ 理解解反证法的思维过程⑵ 明确反证法的证题步骤，能对反证法的假设进行正确的等价转化新课教学：回顾前面学习的综合法和分析法，引出问题继续研究数学命题的证明。

一、感知体验1． 问题1已知：a 是整数，2能整除2a 。

试证：2能整除a① 探究：问题实际上是在讨论a 是奇数，还是偶数。

已知中：说明2a 是偶数，则()22a m m N =∈，此时)a m N =∈② 反思：条件已用完，结论还不能明确得证，可能结论自身有问题。

③ 若结论有问题，则“2不能整除a ”应该成立，此时会发生怎样的情况，进行推理引出反证法。

总结：在上题由“2不能整除a ”这个假设下，推理出了矛盾，肯定了原题的结论，从而说明了这种思想可以作为一种证明问题的方法，再通过问题2继续认识。

2. 问题2 在同一平面内，两条直线,a b 都和直线c 垂直。

求证：a 与b证明：假设命题的结论不成立，即“直线a 与b 相交”。

不妨设直线,a b 的交点为M ,,a b 与c 的交点分别为,P Q ,如图所示，则00PMQ ∠>.这样，MPQ ∆的内角和PMQ MPQ PQM =∠+∠+∠0009090180PMQ =∠++>这与定理“三角形的内角和等于0180”相矛盾。

说明假设不成立。

所以，直线a 与b 不相交，即a 与b 平行。

二、理论总结1.反证法的思维过程及定义2.反证法的证题步骤：① 假设。

假设结论的反面成立，重点完成对假设的等价转化② 归结矛盾。

矛盾来源：与已知，定理，公理，已证，已作，矛盾。

③ 否定假设，肯定结论。

三、实践巩固1.是无理数是有理数，那么它就可以表示成两个整数之比，,0,q p p=≠且,p q q =。

所以，222p q =。

---------①故2q 是偶数，q 也必然为偶数。

61学子 ２０１７．０５数学教学漫谈初中数学解题中的“反证法”王玉琴一、“反证法”解题方法在解题中，反证法一般分为三步：1.提出假设：做出与所要求证的结论相反的假定。

2.推理求证：由“假设”出发进行推理，得出与定义、定理、公理或与题设相矛盾的结论。

3.得出结论：根据“矛盾”得出假设不成立，原求证结论正确。

反证法的步骤好理解和掌握，关键是要反设正确，在结论的方面呈多种情况或比较隐晦时，在反设时就比较困难，现将其中常用的互为否定形式词语总结如下：其中，在至少有一个、至多有n 个、至多有一个等证明结论的反设上，需要更为细心的琢磨，让学生明白一个也没有、至多有二个、至多有n 个的深刻含义，从而顺利进行证明。

反证法的使用，使得一些数学试题的解决简单便捷。

二、“反证法”例题展示１．定理性命题的证明在数学的基本定理中，利用“反证法”来证明，更便捷、具有说服力。

案例１：勾股定理的证明如图所示，在直角三角形△ABC 中，∠C=90°，三个边长分别为a、b、c，求证：c2=a2+b2.证明：过C 点作斜边AB 上的垂线于D，假设a 2+b 2 ≠ c 2，即AC 2+BC 2≠AB 2，根据三角形的中垂线定理可得：AB 2=AB•AB=AB（AD+BD）=AB•AD+AB•BD 根据假设又知：AC2≠AB•AD，BC2≠AB•BD 即AD：AC ≠AC：AB，或者BD：BC ≠BC：AB，在△ADC 和△ACB 中，因为∠A=∠A，则当AD：AC ≠AC：AB 时，∠ADC ≠∠ACB；在△CDB 和△ACB 中，因为∠B=∠B，则当BD：BC ≠BC：AB 时，∠CDB ≠∠ACB，又因为∠ACB=90°，所以∠ADC ≠90°，∠CDB ≠90°，这与CD ⊥AB 是矛盾的，所以AC 2+BC 2≠AB 2不成立，则有：AC 2+BC 2=AB 2，即c 2=a 2+b 2２．无限性命题的证明“无限”、“无穷”等概念，往往出现在求证命题中，正面证明缺乏一定的头绪，而“反证法”使得解题变得非常简单。

初中数学竞赛辅导资料反证法甲内容提要1.反证法是一种间接的证明方法。

2.一个命题和它的逆否命题是等价命题，可表示为：A→B⇔例如原命题：对顶角相等(真命题)逆否命题：不相等的角不可能是对顶角(真命题)证明：假设两条直线相交有两个交点，那么这两条直线都经过相同的两个点，这与“经过两点有且只有一条直线”的直线公理相矛盾，所以假设不能成立，因此两条直线相交只有一个交点。

（从以上两例看出，证明中的三个步骤，最关键的是第二步——推出矛盾。

但有的题目，第一步“反设”也要认真对待）。

例3.已知：m 2是3的倍数，求证：m 也是3的倍数 证明：设m 不是3的倍数，那么有两种情况：m=3k+1或m= 3k+2 (k 是整数)当 m=3k+1时， m 2＝（3k+1）2＝9k 2+6k+1=3(3k 2+2k)+1 当 m=3k+2时， m 2＝（3k+2）2＝9k 2＋12k+4=3(3k 2+4k+1)+1即不论哪一种，都推出m 2不是3的倍数，这和已知条件相矛盾，所以假设不能成立。

∴ m 2是3的倍数时，m 也是3的倍数例4.求证：2不是有理数 是互质的整数），∵ba ∵a 2设∵由那么 ∴例分子与分母, 且k,a,b 都是正整数，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⇒⎭⎬⎫=+=+143214314421bk n ak n bk n ak n 143-bk ， 3bk-2ak=1 , (3b-2a)k=1∵整数的和、差、积仍是整数，且只有乘数和被乘数都是±1时，积才能等于1 ∴3b-2a=±1, k=±1 ∴分子、分母有公约数的假设不能成立 因此分数314421++n n 是既约分数丙练习3411.把1600粒花生分给100只猴子，至少有4只猴子分得的花生一样多12.已知：四边形ABCD中，AB+BD≤AC+CD 求证：AB<AC13.已知：抛物线y=x2－(m－3)x－m求证：m不论取什么值，抛物线与x轴的两个交点，不可能都落在正半轴上（福建省1988年中招考试题）14.若a,b,c都是奇数，则方程ax2+bx+c=0没有有理数根15平面内7个点，它们之间的距离都不相等，求证不存在6个点到第7个点的距离都小于这6个点彼此之间的距离16.已知：a,b,c为实数，a=b+c+1求证：两个方程：x2+x+b=0,x2+ax+c=0中至少有一个方程有两个不相等的实数根（1990年泉州市初二数学双基赛题）参考答案练习341. ① a 和b 相交 ②m>n 或m<n ④∠A 是直角或钝角⑤点A 在⊙O 外或在⊙O 内 ⑥∠A ，∠B ，∠C 都小于60 ⑦m=5k ±1，5k ±2（k 是整数） ⑧方程有理数根ab (a 是整数，b 是正整数，a,b 互质)⑨没有一个方程是两根不相等2. 设A ，B ，C 三点不在同一直线上，证明AB ＋BC ＞AC4.设有两个圆心O 和O 1，经过O 和O 1的直线和圆交于A ，B 则……5.5. ①设33k ±16. ∵7. 设a,b 11.13.那么x 1＋x⎧0m －mn （n 是整数，m 是正整数且m,n 是互质的）mn )+c=0, m,n 不能同偶数外，按奇数、偶数分3类讨论，逐2. 设点A 和其他6个点B ，C ，D ，E ，F ，G 的距离都小于这6个点彼此这间的距离（如图）在△ABC中，∵BC＞AB且BC＞AC，∠BAC＞60 同理∠CAD＞60 ………这与1周角＝360 相矛盾……16.设……则△1≤0且△2≤0……。

初中反证法教案教学目标：1. 理解反证法的概念和基本步骤；2. 能够运用反证法证明一些简单的数学命题；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

教学重点：1. 反证法的概念和基本步骤；2. 运用反证法证明简单命题的方法。

教学难点：1. 反证法的理解和运用；2. 证明过程中逻辑的严密性。

教学准备：1. 反证法的定义和示例；2. 相关的数学命题和证明题目。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾已学过的证明方法，如直接证明、归纳证明等；2. 提问：有没有同学听说过反证法？能否简单介绍一下？二、新课讲解（15分钟）1. 给出反证法的定义和基本步骤；2. 通过示例讲解反证法的运用过程；3. 强调反证法中的逻辑严密性。

三、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成一些简单的反证法证明题目；2. 引导学生思考证明过程中的关键步骤和逻辑关系。

四、巩固提高（15分钟）1. 让学生尝试证明一些较复杂的数学命题；2. 引导学生运用反证法解决实际问题。

五、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学的内容，总结反证法的概念和步骤；2. 强调反证法在数学证明中的重要性。

六、课后作业（课后自主完成）1. 进一步学习反证法的应用，尝试解决更多的数学问题；2. 总结反证法的优缺点，并与其他证明方法进行比较。

教学反思：本节课通过讲解反证法的概念和示例，使学生掌握了反证法的基本步骤和运用方法。

在课堂练习环节，学生能够独立完成一些简单的反证法证明题目，但对于较复杂的题目仍需进一步指导和启发。

在今后的教学中，应加强对学生逻辑思维能力的培养，提高他们运用反证法解决问题的能力。

同时，要注意引导学生比较反证法与其他证明方法的区别和优缺点，使他们在实际应用中能够灵活选用合适的证明方法。