《信号与系统》奥本海姆

《信号与系统》第1章信号与系统1.0 引言1.1 连续时间和离散时间信号1.1.1 举例与数学表示1.1.2 信号能量与功率1.2 自变数的变换1.2.1 自变数变换举例1.2.2 周期信号1.2.3 偶信号与奇信号1.3 指数信号与正弦信号1.3.1 连续时间复指数信号与正弦信号1.3.2 离散时间复指数信号与正弦信号1.3.3 离散时间复指数序列的周期性质1.4 单位冲激与单位阶跃函数1.4.1 离散时间单位脉冲和单位阶跃序列1.4.2 连续时间单位阶跃和单位冲激函数1.5 连续时间和离散时间系统1.5.1 简单系统举例1.5.2 系统的互联1.6 基本系统性质1.6.1 记忆系统与无记忆系统1.6.2 可逆性与可逆系统1.6.3 因果性1.6.4 稳定性1.6.5 时不变性1.6.6 线性1.7 小结习题第2章线性时不变系统2.0 引言2.1 离散时间LTI系统：卷积和2.1.1 用脉冲表示离散时间信号2.1.2 离散时间LTI系统的单位脉冲响应及卷积和表示2.2 连续时间LTI系统：卷积积分2.2.1 用冲激表示连续时间信号2.2.2 连续时间LTI系统的单位冲激响应及卷积积分表示2.3 线性时不变系统的性质2.3.1 交换律性质2.3.2 分配律性质2.3.3 结合律性质2.3.4 有记忆和无记忆LTI系统2.3.5 LTL系统的可逆性2.3.6 LTI系统的因果性2.3.7 LTI系统的稳定性2.3.8 LTI系统的单位阶跃响应2.4 用微分和差分方程描述的因果LTI系统2.4.1 线性常系数微分方程2.4.2 线性常系数差分方程2.4.3 用微分和差分方程描述的一阶系统的方框图表示2.5 奇异函数2.5.1 作为理想化短脉冲的单位冲激2.5.2 通过卷积定义单位冲激2.5.3 单位冲激偶和其它的奇异函数2.6 小结习题第3章周期信号的傅里叶级数表示3.0 引言3.1 历史回顾3.2 LTI系统对复指数信号的响应3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示3.3.1 成谐波关系的复指数信号的线性组合3.3.2 连续时间周期信号傅里叶级数表示的确定3.4 傅里叶级数的收敛3.5 连续时间傅里叶级数性质3.5.1 线性3.5.2 时移性质3.5.3 时间反转3.5.4 时域尺度变换3.5.5 相乘3.5.6 共轭及共轭对称性3.5.7 连续时间周期信号的帕斯瓦尔定理3.5.8 连续时间傅里叶级数性质列表3.5.9 举例3.6 离散时间周期信号的傅里叶级数表示3.6.1 成谐波关系的复指数信号的线性组合3.6.2 周期信号傅里叶级数表示的确定3.7 离散时间傅里叶级数性质3.7.1 相乘3.7.2 一阶差分3.7.3 离散时间周期信号的帕斯瓦尔定理3.7.4 举例3.8 傅里叶级数与LTI系统3.9 滤波3.9.1 频率成形滤波器3.9.2 频率选择性滤波器3.10 用微分方程描述的连续时间滤波器举例3.10.1 简单RC低通滤波器3.10.2 简单RC高通滤波器3.11 用差分方程描述的离散时间滤波器举例3.11.1 一阶递归离散时间滤波器3.11.2 非递归离散时间滤波器3.12 小结习题第4章连续时间傅里叶变换4.0 引言4.1 非周期信号的表示：连续时间傅里叶变换4.1.1 非周期信号傅里叶变换表示的导出4.1.2 傅里叶变换的收敛4.1.3 连续时间傅里叶变换举例4.2 周期信号的傅里叶变换4.3 连续时间傅里叶变换性质4.3.1 线性4.3.2 时移性质4.3.3 共轭及共轭对称性4.3.4 微分与积分4.3.5 时间与频率的尺度变换4.3.6 对偶性4.3.7 帕斯瓦尔定理4.4 卷积性质4.4.1 举例4.5 相乘性质4.5.1 具有可变中心频率的频率选择性滤波4.6 傅里叶变换性质和基本傅里叶变换对列表4.7 由线性常系数微分方程表征的系统4.8 小结习题第5章离散时间傅里叶变换5.0 引言5.1 非周期信号的表示：离散时间傅里叶变换5.1.1 离散时间傅里叶变换的导出5.1.2 离散时间傅里叶变换举例5.1.3 关于离散时间傅里叶变换的收敛问题5.2 周期信号的傅里叶变换5.3 离散时间傅里叶变换性质5.3.1 离散时间傅里叶变换的周期性5.3.2 线性5.3.3 时移与频移性质5.3.4 共轭与共轭对称性5.3.5 差分与累加5.3.6 时间反转5.3.7 时域扩展5.3.8 频域微分5.3.9 帕斯瓦尔定理5.4 卷积性质5.4.1 举例5.5 相乘性质5.6 傅里叶变换性质和基本傅里叶变换对列表5.7 对偶性5.7.1 离散时间傅里叶级数的对偶性5.7.2 离散时间傅里叶变换和连续时间傅里叶级数之间的对偶性5.8 由线性常系数差分方程表征的系统5.9 小结习题第6章信号与系统的时域和频域特性6.0 引言6.1 傅里叶变换的模和相位表示6.2 LTI系统频率响应的模和相位表示6.2.1 线性与非线性相位6.2.2 群时延6.2.3 对数模和波特图6.3 理想频率选择性滤波器的时域特性6.4 非理想滤波器的时域和频域特性讨论6.5 一阶与二阶连续时间系统6.5.1 一阶连续时间系统6.5.2 二阶连续时间系统6.5.3 有理型频率响应的波特图6.6 一阶与二阶离散时间系统6.6.1 一阶离散时间系统6.6.2 二阶离散时间系统6.7 系统的时域分析与频域分析举例6.7.1 汽车减震系统的分析6.7.2 离散时间非递归滤波器举例6.8 小结习题第7章采样7.0 引言7.1 用信号样本表示连续时间信号：采样定理7.1.1 冲激串采样7.1.2 零阶保持采样7.2 利用内插由样本重建信号7.3 欠采样的效果：混迭现象7.4 连续时间信号的离散时间处理7.4.1 数字微分器7.4.2 半采样间隔延时7.5 离散时间信号采样7.5.1 脉冲串采样7.5.2 离散时间抽取与内插7.6 小结习题第8章通信系统8.0 引言8.1 复指数与正弦幅度调制8.1.1 复指数载波的幅度调制8.1.2 正弦载波的幅度调制8.2 正弦AM的解调8.2.1 同步解调8.2.2 异步解调8.3 频分多路复用8.4 单边带正弦幅度调制8.5 用脉冲串作载波的幅度调制8.5.1 脉冲串载波调制8.5.2 时分多路复用8.6 脉冲幅度调制8.6.1 脉冲幅度已调信号8.6.2 在PAM系统中的码间干扰8.6.3 数字脉冲幅度和脉冲编码调制8.7 正弦频率调制8.7.1 窄带频率调制8.7.2 宽带频率调制8.7.3 周期方波调制信号8.8 离散时间调制8.8.1 离散时间正弦幅度调制8.8.2 离散时间调制转换8.9 小结习题第9章拉普拉斯变换9.0 引言9.1 拉普拉斯变换9.3 拉普拉斯反变换9.4 由零极点图对傅里叶变换进行几何求值9.4.1 一阶系统9.4.2 二阶系统9.4.3 全通系统9.5 拉普拉斯变换的性质9.5.1 线性9.5.2 时移性质9.5.3 Ｓ域平移9.5.4 时域尺度变换9.5.5 共轭9.5.6 卷积性质9.5.7 时域微分9.5.8 Ｓ域微分9.5.9 时域积分9.5.10 初值与终值定理9.5.11 性质列表9.6 常用拉普拉斯变换对9.7 用拉普拉斯变换分析和表征LTI系统9.7.1 因果性9.7.2 稳定性9.7.3 由线性常系数微分方程表征的LTI系统9.7.4 系统特性与系统函数的关系举例9.7.5 巴特沃兹滤波器9.8 系统函数的代数属性与方框图表示9.8.1 LTI系统互联的系统函数9.8.2 由微分方程和有理系统函数描述的因果LTI系统的方框图表示9.9单边拉普拉斯变换9.9.1 单边拉普拉斯变换举例9.9.3 利用单边拉普拉斯变换求解微分方程9.10 小结习题第10章Z变换10.0 引言10.1 Ｚ变换10.2 Ｚ变换的收敛域10.3 Ｚ反变换10.4 由零极点图对傅里叶变换进行几何求值10.4.1 一阶系统10.4.2 二阶系统10.5 Ｚ变换的性质10.5.1 线性10.5.2 时移性质10.5.3 Ｚ域尺度变换10.5.4 时间反转10.5.5 时间扩展10.5.6 共轭10.5.7 卷积性质10.5.8 Ｚ域微分10.5.9 初值定理10.5.10 性质小结10.6 几个常用Ｚ变换对10.7 利用Ｚ变换分析与表征LTI系统10.7.1 因果性10.7.2 稳定性10.7.3 由线性常系数差分方程表征的LTI系统10.7.4 系统特性与系统函数的关系举例10.8 系统函数的代数属性与方框图表示10.8.1 LTI系统互联的系统函数10.8.2 由差分方程和有理系统函数描述的因果LTI系统的方框图表示10.9 单边Ｚ变换10.9.1 单边Ｚ变换和单边Ｚ反变换举例10.9.2 单边Ｚ变换性质10.9.3 利用单边Ｚ变换求解差分方程10.10 小结习题第11章线性反馈系统11.0 引言11.1 线性反馈系统11.2 反馈的某些应用及结果11.2.1 逆系统设计11.2.2 非理想组件的补偿11.2.3 不稳定系统的稳定11.2.4 采样数据反馈系统11.2.5 跟踪系统11.2.6 反馈引起的不稳定11.3 线性反馈系统的根轨迹分析法11.3.1 一个例子11.3.2 死循环极点方程11.3.3 根轨迹的端点：K＝0和｜K｜＝＋∞时的死循环极点11.3.4 角判据11.3.5 根轨迹的性质11.4 奈奎斯特稳定性判据11.4.1 围线性质11.4.2 连续时间LTI反馈系统的奈奎斯特判据11.4.3 离散时间LTI反馈系统的奈奎斯特判据11.5 增益和相位裕度11.6 小结。

《信号与系统》考研奥本海姆版考研复习笔记和典型题一、采样复习笔记本章重点介绍了采样和采样定理，采样定理在连续时间信号和离散时间信号之间起着桥梁作用，采样在利用离散时间系统技术来实现连续时间系统并处理连续时间信号方面有着至关重要的作用。

学完本章读者应该掌握以下内容：（1）重点掌握采样的过程和采样定理，牢记奈奎斯特采样频率。

（2）掌握内插的定义及如何利用内插由样本重建信号。

（3）重点掌握连续时间信号的离散时间化处理过程。

（4）了解数字微分器及其频率特性。

（5）掌握离散时间信号采样的原理及恢复原离散时间信号的方法。

一、用信号样本表示连续时间信号：采样定理1冲激串采样（1）冲激串采样的定义冲激串采样是指用一个周期冲激串p（t）去乘待采样的连续时间信号x（t）。

该周期冲激串p（t）称为采样函数，周期T称为采样周期，而p（t）的基波频率ω＝2π/T称为采样频率。

（2）冲激串采样过程（见图7-1-1）在时域中有x p（t）＝x（t）p（t）在频域中有即X p（jω）是频率ω的周期函数，它由一组移位的X（jω）的叠加组成，但在幅度上标以1/T的变化。

图7-1-1 冲激串采样过程（3）采样定理频带宽度有限信号x（t），在|ω|＞ωM时，X（jω）＝0。

如果ωs＞2ωM，其中ωs ＝2π/T，那么x（t）唯一地由其样本x（nT），n＝0，±1，±2，…，所确定。

其中频率2ωM称为奈奎斯特率。

已知这些样本值，重建x（t）的办法：①产生一个冲激幅度就是这些依次而来的样本值的周期冲激串。

②将该冲激串通过一个增益为T，截止频率大于ωM而小于ωs－ωM的理想低通滤波器，该滤波器的输出就是x（t）。

2零阶保持采样（1）零阶保持的含义在一个给定的瞬时对x（t）采样并保持这一样本值，直到下一个样本被采到为止，利用零阶保持采样的原理图如图7-1-2所示。

图7-1-2 利用零阶保持采样（2）零阶保持采样的过程零阶保持的输出x0（t）在原理上可以用冲激串采样，再紧跟着一个线性时不变系统（该系统具有矩形的单位冲激响应）来得到，如图7-1-3所示。

第一章：Singnals and System（信号与系统）1－1：continuous-time and discrete-time signals（连续时间与离散时间信号）信号：信息的载体。

在信号与系统分析中，信号的表达式为函数（functions）P3:Signals are represented mathematically as functions of one or more independent variables（独立自变量）。

例如：关于某导线电流强度对应不同时间的函数I(t)；等比数列的某一个数对应其序号的函数a[n]=b^n。

自变量的定义域为连续的时间段（有限或无限）的信号（函数）称为连续时间信号x(t)自变量的定义域为间断的时间点（一般地，归一为整数点…－1，0，1，2…）的信号称为离散时间信号x[n]，又叫序列（sequences）。

两者有相似处，离散时间函数（又称为离散时间序列）可以看作连续时间函数对整数点时间进行抽样得到，但两者计算上有很大区别。

信号（函数）对应某一自变量值的信号函数值大小称为信号的幅度（phenomenon）。

例如x(t)=2t，在t=3时x(t)=x(3)=6就是此刻的幅度。

Signal energy and power（信号的能量与功率）把信号看作电流，该电流在某一段时间内流过1欧姆的电阻产生的能量和平均功率(average power)便是信号在该段时间的能量与功率。

因此可得在t1~~t2内信号x(t)的能量为：E=∫(t1~t2)(|x(t)|^2)dt，而相应这段时间的功率则为P=E/(t2-t1)信号在整个定义域的能量E∞=（limT→∞）∫(－T～T)(|x(t)|^2)dt信号在整个定义域的平均功率P∞=(limT→∞)(1/2T)∫(－T～T)(|x(t)|^2)dt相应的，对于离散时间信号则有P6-7(1,7)(1,9)(这个东西要输入太困难了，呵呵)显然，对于一个信号在无穷区间的能量与平均功率有三种可能：（1）平均功率无穷大，总能量无穷大（2）平均功率有限，总能量无穷大（3）总能量有限，平均功率无穷小（也是有限）1-2:Transformations of the independent variable（自变量的变换）自变量的变换就是对信号x(t)或x[n]的自变量t或n进行相应变换，由此会影响信号。

《信号与系统》考研奥本海姆版考研复习笔记资料第1章信号与系统1.1 复习笔记本章内容是信号与系统分析的基础。

主要介绍了信号的分类和基本运算，学完本章读者要重点掌握的内容有：（1）掌握信号的分类方法及其特点：连续/离散、周期/非周期、奇/偶、能量/功率。

（2）掌握冲激信号和阶跃信号的物理意义及性质。

（3）掌握常见连续/离散信号的波形及其表达式。

（4）掌握信号的时域运算和波形变换方法。

（5）掌握系统互连方法及其特点。

一、连续时间和离散时间信号1连续时间信号和离散时间信号（见表1-1-1）表1-1-1 信号的定义和表示方法图1-1-1 信号的图形表示（a）连续时间信号；（b）离散时间信号2信号能量与功率（见表1-1-2）表1-1-2 能量和功率的计算公式3能量信号和功率信号的特点（见表1-1-3）表1-1-3 能量信号和功率信号的特点二、自变量的变换1基本变换（见表1-1-4）表1-1-4 自变量的基本变换2周期信号与非周期信号（见表1-1-5）表1-1-5 周期信号与非周期信号的定义及特点3偶信号与奇信号（见表1-1-6）表1-1-6 偶信号与奇信号的定义及特点【注】任何信号＝偶信号＋奇信号，即x（t）＝E v{x（t）}＋O d{x（t）}，其中E v{x （t）}＝（1/2）[x（t）＋x（－t）]，O d{x（t）}＝（1/2）[x（t）－x（－t）]，E v{x （t）}为x（t）的偶部，O d{x（t）}为x（t）的奇部。

三、指数信号与正弦信号1连续时间复指数信号与正弦信号（见表1-1-7）表1-1-7 连续时间复指数信号与正弦信号的表达式与特点2离散时间复指数信号与正弦信号（见表1-1-8）表1-1-8 离散时间复指数信号与正弦信号3离散时间复指数序列的周期性质（1）离散时间指数信号的周期性的要求为了使信号是周期的，周期为N＞0，就必须有，也就是要求ω0N必须是2π的整数倍，即必须有一个整数m，满足：ω0N＝m2π或ω0/（2π）＝m/N。

《信号与系统》考研奥本海姆版2021考研名校考研真题第一部分考研真题精选一、选择题1已知信号f（t）的频带宽度为Δω，则信号y（t）＝f2（t）的不失真采样间隔（奈奎斯特间隔）T等于（）。

[西南交通大学研]A．π/（Δω）B．π/（2Δω）C．2π/（Δω）D．4π/（Δω）【答案】B查看答案【解析】根据卷积定理可知，y（t）＝f2（t）→[1/（2π）]F（jω）*F（j ω）。

若信号f（t）的频带宽度为Δω，则y（t）的频带宽度为2Δω。

则奈奎斯特采样频率为4Δω，所以不失真采样间隔（奈奎斯特间隔）T等于2π/（4Δω）＝π/（2Δω）。

2已知f（t）↔F（jω），f（t）的频带宽度为ωm，则信号y（t）＝f（t/2－7）的奈奎斯特采样间隔等于（）。

[西南交通大学研]A．2π/ωmB．2π/（2ωm－7）C．4π/ωmD．π/ωm【答案】A查看答案【解析】根据时域和频域之间关系，可知若时域扩展，则频域压缩。

所以若f（t）的频带宽度为ωm，则信号y（t）＝f（t/2－7）的频带宽度为ωm/2。

所以，其奈奎斯特采样频率为（ωm/2）×2＝ωm，即奈奎斯特采样间隔等于2π/ωm。

3有限长序列x（n）的长度为4，欲使x（n）与x（n）的圆卷积和线卷积相同，则长度L的最小值为（）。

[中国科学院研究生院2012研]A．5B．6C．7D．8【答案】C查看答案【解析】x（n）的长度为4，则其线卷积的长度为4＋4－1＝7。

当x（n）与x（n）的圆卷积L≥7时，x（n）与x（n）的圆卷积和线卷积相同，可知L的最小值为7。

4下面给出了几个FIR滤波器的单位函数响应。

其中满足线性相位特性的FIR滤波器是（）。

[东南大学研]A．h（n）＝{1，2，3，4，5，6，7，8}B．h（n）＝{1，2，3，4，1，2，3，4}C．h（n）＝{1，2，3，4，4，3，2，1}D．h（n）＝{1，2，3，4，－1，－2，－3，－4}【答案】C查看答案【解析】线性相位FIR滤波器必满足某种对称性，即h（n）＝h（N－1－n）或者h（n）＝－h（N－1－n）。

系统（第二版）-学习说明（练习答案）系计算机工程系2005.12目录17第35章第62章第83章第109章第119章第132章第140章160章答案1.1从极坐标转换：1.2从笛卡尔极坐标转换：limlim dtdtdt=cos（t）。

因此，信号翻转限制信号对，所以因此，我们知道（2）线性压缩，因为线性压缩。

因此，基态周期奇信号，所有值为零时为零只有当周期复指数时。

10 10复数指数乘以衰减指数。

因此，周期信号。

复指数基本周期信号。

fundamentalperiod我们得到fundamentalperiod complexexponential=3/5。

找不到任何整数整数。

因此，定期1.10。

x（t）=2cos（10t＋1）-sin（4t-1）周期第一项第一项，整个信号周期至少有多个第二项。

-3-1-1-2-3-3-3第一项第二项第二项整个信号周期，至少在35.1.12中有多个共同的三项。

图1.12。

翻转信号对，所以，no=-3.1.13其导数图1.14。

因此[n-3]=2x[n-2]+4x[n-3]+4x[n-4]）=2x[n-2]+5x输入输出关系y[n]=2x[n-2]+5x[n-3]2x[n-4]输入输出关系的连接序列是反向的。

我们可以很容易地证明[n-3]）+4（x输入-输出关系在y[n]=2x[n-2]+5x[n-3]2x[n-4]1.16无记忆性，因为过去值我们可能总是得出系统输出，因为有时可能取决于考虑两个任意输入（sin（t））的未来值，让线性组合任意标量给系统相应的输出线性。

1.18.（a）考虑两个任意输入线性组合任意标量。

给定系统，相应的输出随机输入相应的输出。

考虑第二个输入输出对应的Alsonote+1）B。

因此+1）B.1.19考虑两个任意输入（t-1）让线性组合任意标量。

给定系统，相应的输出为线性。

（ii）考虑相应输出的任意输入。

考虑第二输入输出相应的输出。

考虑两个任意输入[n-2]。

Signals and SystemChap11.6 Determine whether or not each of the following signals is periodic:(a): (/4)1()2()j t x t e u t π+= (b): 2[][][]x n u n u n =+-(c): 3[]{[4][14]}k x n n k n k δδ∞=-∞=----∑Solution:(a).No 【周期信号无始无终，单边肯定不周期】Because 12cos()2sin(),0()440,0t j t t x t t ππ⎧+++>⎪=⎨⎪<⎩ when t<0, )(1t x =0. (b).No 【注意n ＝0】 Because 21,0[]2,01,0n n n n x >⎧⎪==⎨⎪<⎩(c).Y es 【画图、归纳】 Because∑∞-∞=--+--+=+k k m n k m n m n x ]}414[]44[{]4[3δδ∑∞-∞=------=k m k n m k n )]}(41[)](4[{δδ{[4][14]}k n k n k δδ∞=-∞=----∑N=4.1.9 Determine whether or not each of the following signals is periodic, if a signal is periodic, specify its fundamental period:(a): 101()j tx t je =(b): (1)2()j t x t e -+=(c): 73[]j n x n e π=(d): 3(1/2)/54[]3j n x n e π+= (e): 3/5(1/2)5[]3j n x n e += Solution: (a). T=π/5Because 0w =10, T=2π/10=π/5. (b). Aperiodic.Because jt t e e t x --=)(2, while t e -is not periodic, )(2t x is not periodic. (c). N=2Because 0w =7π, N=(2π/0w )*m, and m=7. (d). N=10Because n j j e e n x )5/3(10/343)(ππ=, that is 0w =3π/5,N=(2π/0w )*m, and m=3. (e). Aperiodic.Because 0w =3/5, N=(2π/0w )*m=10πm/3 , it ’s not a rational number.1.14 consider a periodic signal 1,01()2,12t x t t ≤≤⎧=⎨-<<⎩with periodT=2. The derivative of this signal is related to the “impulsetrain ”()(2)k g t t k δ∞=-∞=-∑, with period T=2. It can be shownthat1122()()()dx t A g t t A g t t dt=-+-. Determine the values of1A , 1t , 2A , 2t .Solution:A 1=3, t 1=0, A 2=-3, t 2=1 or -1 Because∑∞-∞=-=k k t t g )2()(δ,)1(3)(3)(--=t g t g dtt dx1.15. Consider a system S with input x[n] and output y[n].This system is obtained through a series interconnection of a system S 1 followed by a system S2. The input-output relationships for S 1 and S 2 areS 1: ],1[4][2][111-+=n x n x n y S 2: ]3[21]2[][222-+-=n x n x n yWhere ][1n x and ][2n x denote input signals.(a) Determine the input-output relationship for system S.(b)Does the input-output relationship of system S change if the order in which S 1 and S 2 are connected in series is reversed(ie., if S2 follows S 1)? Solution: (a)]3[21]2[][222-+-=n x n x n y]3[21]2[11-+-=n y n y]}4[4]3[2{21]}3[4]2[2{1111-+-+-+-=n x n x n x n x]4[2]3[5]2[2111-+-+-=n x n x n xThen, ]4[2]3[5]2[2][-+-+-=n x n x n x n y【可以考虑先求取单位脉冲响应，再做卷积】(b).No. because it ’s linear, S 1 and S 2 do not diverge.1.16. Consider a discrete-time system with input x[n] and output y[n].The input-output relationship for this system is]2[][][-=n x n x n y(a) Is the system memory less?(b) Determine the system output when the input is ][n A δ, where A is any real or complex number . (c) Is the system invertible? Solution: (a). No.For example, when n=0, y[0]=x[0]x[-2]. So the system is memory. (b). y[n]=0.When the input is ][n A δ,]2[][][2-=n n A n y δδ, so y[n]=0.(c). No.For example, when x[n]=0, y[n]=0; when x[n]=][n A δ, y[n]=0. So the system is not invertible.1.17.Consider a continuous-time system with input x(t) and output y(t) related by ))(sin()(t x t y =， (a) Is this system causal? (b) Is this system linear? Solution: (A). No.For example,)0()(x y =-π. So it ’s not causal.【得到什么启示？】 (b). Y es.Because : ))(sin()(11t x t y = , (sin()(22tx t y =)()())(sin())(sin()(21213t by t ay t bx t ax t y +=+=1.21. A continuous-time signal ()x t is shown in Figure P1.21. Sketch and label carefully each of the following signals:(a): (1)x t - (b): (2)x t - (c): (21)x t + (d): (4/2)x t - (e): [()()]()x t x t u t +-(f): ()[(3/2)(3/2)]x t t t δδ+--Solution: (a).(b).(c). (d).1.22. A discrete-time signal ][n x is shown in as the following. Sketch and label carefully each of the following signals: (a): [4]x n - (b): [3]x n - (c): [3]x n(d): [31]x n + (e): [][3]x n u n -(f): [2][2]x n n δ--(g): 11[](1)[]22nx n x n +-(h): 2[(1)]x n -Solution:(a).(b).(e).(f) ]2[-n δ(g)1.25. Determine whether or not each of the following continuous-time signals is periodic. If the signal is periodic, determine its fundamental period.(a): ()3cos(4)3x t t π=+ (b): (1)()j t x t e π-=(c): 2()[cos(2)]3x t t π=-(d): (){cos(4)()}x t t u t ενπ=(e): (){sin(4)()}x t t u t ενπ= (f): (2)()t n n x t e∞--=-∞=∑Solution:(a).Periodic. T=π/2. Solution: T=2π/4=π/2. (b). Periodic. T=2.Solution: T=2π/π=2.(c). Periodic. T=π/2.【括号内周期，平方后仍然周期，或者做三角变换】 (d). Periodic. T=0.5. Solution: )}()4{cos()(t u t E t x v π= )}())(4cos()()4{cos(21t u t t u t --+=ππ )}()(){4cos(21t u t u t -+=π)4cos(21t π=So, T=2π/4π=0.5【值得商榷】 (e)、(f)非周期信号。

信号与系统奥本海姆简介信号与系统是电子工程及相关专业中的一门基础课程，也是掌握通信、控制等领域知识的重要基础。

而《信号与系统》一书是信号与系统领域的经典教材之一，由美国奥本海姆（Oppenheim）教授所著。

《信号与系统》一书全面介绍了信号与系统的基本概念、数学表示方法以及其在实际应用中的重要性。

该书分为五个部分，分别是信号与系统的基本概念、线性时不变系统的分析与描述、连续时间信号的表示与分析、连续时间线性时不变系统的频域分析与描述、离散时间信号与系统的表示与分析。

每个部分都从基础概念开始，逐步深入，形成了一个系统而完整的知识体系。

在信号与系统的基本概念部分，奥本海姆教授通过引入信号的定义、分类以及基本运算，为读者打下了坚实的基础。

他还详细介绍了系统的定义、分类以及系统的性质，为后续内容的理解打下了基础。

在线性时不变系统的分析与描述部分，奥本海姆教授详细介绍了连续时间和离散时间线性时不变系统的数学表示方法，包括差分方程和微分方程。

他还讲解了系统的单位冲激响应和单位阶跃响应，以及系统的稳定性和因果性等重要概念。

在连续时间信号的表示与分析部分，奥本海姆教授介绍了连续时间信号的重要性以及其在实际应用中的表示方法，包括指数信号、正弦信号、冲激信号等。

他还讲解了连续时间信号的基本运算和性质，如卷积运算和相关运算等。

在连续时间线性时不变系统的频域分析与描述部分，奥本海姆教授引入了傅里叶变换的概念，并详细介绍了连续时间信号的傅里叶变换和傅里叶级数表示方法。

他还讲解了系统的频率响应和频域分析方法，如频率响应曲线和系统的幅频特性等。

在离散时间信号与系统的表示与分析部分，奥本海姆教授介绍了离散时间信号的重要性以及其在实际应用中的表示方法，包括离散时间序列和离散时间信号的运算。

他还讲解了离散时间系统的单位冲激响应和单位阶跃响应，以及离散时间系统的稳定性和因果性等重要概念。

通过《信号与系统》一书的学习，读者可以系统地了解信号与系统的基本概念、数学表示方法以及其在实际应用中的重要性。

信号与系统奥本海姆引用1. 介绍信号与系统是一门研究信号传递和处理的学科，是电子工程、通信工程、生物医学工程等领域的基础课程。

在信号与系统的学习中，奥本海姆引用是一个非常重要的概念。

本文将详细介绍奥本海姆引用的定义、应用以及相关的概念。

2. 奥本海姆引用的定义奥本海姆引用，又称为奥本海姆波形（Oberheim waveform），是指由若干个正弦波组合而成的复合波形。

这些正弦波可以具有不同的频率、幅度和相位。

通过合理地组合这些正弦波，可以产生各种各样的复杂波形。

在信号与系统的学习中，我们常常需要分析和合成各种不同的信号。

奥本海姆引用提供了一种有效的方法，可以将一个复杂的信号分解为若干个简单的正弦波，这对于信号的分析和处理非常有帮助。

3. 奥本海姆引用的应用奥本海姆引用在信号与系统的学习和工程实践中有广泛的应用。

下面列举几个常见的应用场景。

3.1 音频合成在音乐制作和声音合成领域，奥本海姆引用被广泛用于合成各种不同的音频效果。

通过合理地组合不同频率、幅度和相位的正弦波，可以模拟出各种乐器的声音，实现音频特效的创作。

3.2 图像处理在图像处理领域，奥本海姆引用可以应用于图像的压缩和解压缩。

通过将图像分解为若干个频率不同的正弦波，可以实现对图像的压缩，从而减小存储空间。

同时，通过合成这些正弦波，可以实现对图像的恢复，使图像质量不受明显影响。

3.3 信号分析在信号分析领域，奥本海姆引用可以用于研究信号的频谱特性。

通过将信号分解为不同频率的正弦波，可以得到信号的频谱分布，从而了解信号的频率分量和能量分布情况。

这对于理解信号的特性和分析信号的频谱特性非常重要。

4. 奥本海姆引用的相关概念除了奥本海姆引用，信号与系统中还有一些相关的概念和技术，如傅里叶变换、傅里叶级数等。

4.1 傅里叶变换傅里叶变换是一种将信号从时域表示转换为频域表示的方法。

通过傅里叶变换，我们可以将信号分解为不同频率的正弦波，从而得到信号的频谱特性。

∑ {δ [n + 4m - 4k ] - δ [n + 4m - 1 - 4k ]}∑ {δ [n - 4(k - m )] - δ [n - 1 - 4(k - m )]}∑ {δ [n - 4k ] - δ [n - 1 - 4k ]}s Because g (t ) =∑ δ (t - 2k ) ,Chapter 1 Answers1.6 (a).NoBecause when t<0, x (t ) =0. 1(b).NoBecause only if n=0, x [n ] has valuable.2(c).Y esBecause x[n + 4m ] ===∞ k =-∞ ∞ k =-∞ ∞ k =-∞N=4.1.9 (a). T=π /5Because w =10, T=2π /10= π /5.(b). Not periodic.Because x (t ) = e -t e - jt , while e -t is not periodic, x (t ) is not periodic.2 2(c). N=2Because w =7 π , N=(2 π / w )*m, and m=7.0 0(d). N =10Because x (n) = 3e j 3π / 10 e j (3π / 5)n , that is w =3 π /5, N=(2 π / w )*m, and m=3.4 0(e). Not periodic.Because w =3/5, N=(2 π / w )*m=10π m/3 , it ’not a rational number .1.14 A1=3, t1=0, A2=-3, t2=1 or -1Solution: x(t) isdx(t )dtis∞ k =-∞1.15. (a). y[n]=2x[n-2]+5x[n-3]+2x[n-4]dx(t ) dx(t )=3g(t)-3g(t -1) or =3g(t)-3g(t+1)d t dt2 22 12Solution:y [n ] = x [n - 2] + 1x [n - 3] 2 2 1= y [n - 2] + y [n - 3]1 1= {2 x [n - 2] + 4 x [n - 3]} + {2 x [n - 3] + 4 x [n - 4]}1 1 1 1 =2 x [n - 2] + 5x [n - 3] + 2 x [n - 4]1 11Then, y[n ] = 2 x [n - 2] + 5x[n - 3] + 2 x [n - 4](b).No. For it ’s linearity .the relationship be tw e en y [n ] and x [n ] is the same in-out relationship with (a).1 2you can have a try.1.16. (a). No.For example, when n=0, y[0]=x[0]x[-2]. So the system is memory . (b). y[n]=0.When the input is A δ [n ] ,then, y[n] = A 2δ [n]δ [n - 2] , so y[n]=0.(c). No.For example, when x[n]=0, y[n]=0; when x[n]= A δ [n ] , y[n]=0.So the system is not invertible.1.17. (a). No.For example, y(-π ) = x(0) . So it ’s not causal.(b). Y es.Because : y (t ) = x (sin(t )) ,y (t ) = x (sin(t ))1 122ay (t ) + by (t ) = ax (sin(t )) + bx (sin(t ))1 2121.21. Solution:W e(a).have known:(b).(c).(d).1.22.Solution:W e have known:(a).(b).(e).22 E {x(t )} =(g)1.23. Solution:For1[ x (t ) + x(-t )] v 1O {x(t )} = [ x (t ) - x(-t )] dthen, (a).(b).(c).1.24.2Solution:For:E {x[n ]} = v 1 2( x [n ] + x[-n ])1O {x[n]} = ( x [n ] - x[-n ]) dthen,(a).(b).Solution: x(t ) = E {cos(4π t )u(t )}s(c).1.25. (a). Periodic. T=π /2.Solution: T=2π /4= π /2. (b). Periodic. T=2.Solution: T=2π / π =2. (d). Periodic. T=0.5.v1= {cos(4πt )u (t ) + cos(4π (-t ))u (-t )}2 1= cos(4π t ){u (t ) + u(-t )}2 1= cos(4π t )2So, T=2π /4 π =0.51.26. (a). Periodic. N=7Solution: N= 2π* m =7, m=3.6π / 7(b). Aperriodic.Solution: N= 2π 1/ 8* m = 16m π , it ’not rational number .(e). Periodic. N =16Solution as follow:2 cos( n ) , it ’s period is N=2π *m/( π /4)=8, m=1.sin( n ) , it ’s period is N=2π *m/( π /8)=16, m=1.(2). g (t ) ∑δ (t - 2k )π π π πx[n ] = 2 cos( n ) + sin( n ) - 2 cos( n + 4 8 2 6)in this equation,π4 π8π π- 2 cos( n + 2 6) , it ’s period is N=2π *m/( π /2)=4, m=1.So, the fundamental period of x[n ] is N=(8,16,4)=16.1.31. SolutionBecausex (t ) = x (t ) - x (t - 2), x (t ) = x (t + 1) + x (t ) .2 11311According to LTI property ,y (t ) = y (t ) - y (t - 2), y (t ) = y (t + 1) + y (t )2 11311Extra problems:1. SupposeSketch y(t ) = ⎰t-∞x(t )dt .Solution:2. SupposeSketch:(1). g (t )[δ (t + 3) + δ (t + 1) - 2δ (t - 1)]∞k =-∞Because x[n]=(1 2 0 –1) , h[n]=(2 0 2) , the nSolution: (1).(2).Chapter 22.1 Solution:-1(a).So,y [n ] = 2δ [n + 1] + 4δ [n ] + 2δ [n - 1] + 2δ [n - 2] - 2δ [n - 4]1(b). according to the property of convolutioin:y [n ] = y [n + 2]2 1(c). y [n] = y [n + 2]31=∑ x[k ]h [n - k ]( ) 0 - ( ) (n +2)-2+1= ∑ ( ) k -2 u[n] = 2 u[n]2 ⎩0， elsewhere W e have known: x[n] = ⎨ ⎩0，elsewhere , h[n] = ⎨ ,( N ≤ 9 )， ， ∑ h[k ]u[n - k ]∑ (u[k ] - u[k - N - 1])(u[n - k ] - u[n - k - 10])∑ (u[k ] - u[k - N - 1])(u[4 - k ] - u[-k - 6])⎧∑ 1,...N ≤ 4⎪∑1,...N ≥ 4 ⎪⎩∑ (u[k ] - u[k - N - 1])(u[14 - k ] - u[4 - k ])2.3 Solution:y[n ] = x[n ]* h [n ]∞ k =-∞ ∞1= ∑ ( ) k -2 u [k - 2]u [n - k + 2]2k =-∞1 1 n +2 121 k =2 1 -21= 2[1 - ( ) n +1 ]u [n ]2the figure of the y[n] is:2.5 Solution:⎧1 ....0 ≤ n ≤ 9 ....⎧1 0≤ n ≤ N .... Then,x[n] = u[n] - u[n - 10] , h[n] = u[n] - u[n - N - 1]y[n] = x[n]* h[n] =∞k =-∞=∞ k =-∞So, y[4] =∞ k =-∞N⎪ ⎪ = ⎨k =04k =0=5, the n N ≥ 4And y[14] =∞ k =-∞⎧∑ 1,...N ≤ 14⎪∑1,...N ≥ 14 ⎪⎩ ∑ x[k ]g [n - 2k ]∑ x[k ]g [n - 2k ] = ∑ δ [k - 1]g [n - 2k ] = g [n - 2]∑ x[k ]g [n - 2k ] = ∑ δ [k - 2]g [n - 2k ] = g [n - 4]∑ x[k ]g [n - 2k ] = ∑ u[k ]g [n - 2k ] = ∑ g [n - 2k ]N⎪ ⎪= ⎨ k =514k =5∴N = 4=0, the n N < 52.7 Solution:y[n] =∞k =-∞（a ） x[n] = δ [n - 1] , y[n] =∞∞k =-∞ k =-∞ (b)x[n] = δ [n - 2] , y[n] =∞∞k =-∞k =-∞(c) S is not LTI system..(d) x[n] = u[n] , y[n] =∞ ∞∞k =-∞k =-∞ k =02.8 Solution:y(t ) = x(t ) * h (t ) = x(t ) *[δ (t + 2) + 2δ (t + 1)]= x(t + 2) + 2 x (t + 1)Then,⎩ = ⎰ u(τ - 3)e -3(t -τ )u(t - τ )d τ - ⎰ u(τ - 5)e -3(t -τ )u(t - τ )d τ⎩= u(t - 3)⎰ e -3(t -τ ) d τ - u(t - 5)⎰ e -3(t -τ ) d τ⎧t + 3,..... - 2 < t < -1 ⎪4,.......... t = -1 ⎪⎪That is, y(t ) = ⎨t + 4,..... - 1 < t ≤ 0⎪2 - 2t,....0 < t ≤ 1 ⎪ ⎪0,....... others2.10 Solution:(a). W e know:Then,h '(t ) = δ (t ) - δ (t - α )y '(t ) = x(t ) * h '(t ) = x(t ) *[δ (t ) - δ (t - α )]= x(t ) - x(t - α )that is,⎧t,.....0 ≤ t ≤ α ⎪α ,....α ≤ t ≤ 1So, y(t ) = ⎨⎪1 + α - t,.....1 ≤ t ≤ 1 + α ⎪0,.....others(b). From the figure of y '(t ) , only if α = 1 , y '(t ) would contain merely therediscontinuities.2.11 Solution:(a).y(t ) = x(t ) * h(t ) = [u (t - 3) - u (t - 5)]* e -3t u (t )∞ ∞-∞-∞tt35= ⎨⎰ e -3(t -τ ) d τ = ,.....3 ≤ t < 5 ⎪ 3 ⎪⎰ e -3(t -τ ) d τ - ⎰ e -3(t -τ ) d τ = - e ⎪ t9-3t + e 15-3t ⎪⎩ s y(t ) = e -t u (t ) * ∑ δ (t - 3k ) = ∑ [e = ∑ e -(t -3k )u (t - 3k )y(t ) = e -t [ ∑ e 3k u (t - 3k )] = e -t∑ ew [n ] = 1w [n - 1] + x[n ]⎧⎪ ⎪0,................. t < 3⎪ t1 - e 9-3t3t353,...... t ≥ 5(b). g (t ) = (dx(t ) / dt ) * h(t ) = [δ (t - 3) - δ (t - 5)]* e -3t u (t )= e -3(t -3) u (t - 3) - e -3(t -5) u (t - 5)(c). It ’obvious that g (t ) = d y (t ) / dt .2.12 Solution∞∞k =-∞k =-∞∞k =-∞Considering for 0 ≤ t < 3 ,we can obtain-t u (t ) * δ (t - 3k )]∞k =-∞0 k =-∞3k= e -t 11 - e -3.(Because k mu st be negetive , u (t - 3k ) = 1 for 0 ≤ t < 3 ).2.19 Solution:(a). W e have known:2 (1)y[n ] = αy[n - 1] + βw [n ](2)then, H ( E ) = H ( E ) H ( E ) =βE 2= .... or : (α + ) = ∴⎨ 2 8 ⎝ 2 = - E ∴ h [n ] = ⎢2( ) n - ( ) n ⎥u [n ] ⎩Θ⎰⎰ sin(2πt )δ (t + 3)dt has value only on t = -3 , but - 3 ∉ [0,5]⎰ sin(2πt )δ (t + 3)dt =0Θ⎰-4from (1), H ( E ) =E1E -1 2from (2), H ( E ) =2 βEE - α121 ( E - α )(E - )2 = β1 α 1 - (α + ) E -1 + E -22 21 α∴ y[n ] - (α + ) y[n - 1] + y[n - 2] = βx[n ]2 21 3but, y[n ] = - y[n - 2] + y[n - 1] + x[n ]8 4⎧α 1 ⎛1 ⎪ 3 ⎫ ⎪4 ⎭ ⎧ 1 ⎪α = ∴⎨ 4⎪β = 1(b). from (a), we know H ( E ) = H ( E ) H ( E ) =1 22E +1 1 E - E -4 2⎡ 1 1 ⎤ ⎣ 24 ⎦2.20 (a). 1⎪⎩β = 1E 21 1 ( E - )(E - ) 4 2(b). 0∞-∞ u (t ) cos(t )dt =⎰∞ δ (t ) cos(t )dt = cos(0) = 1-∞Θ∴(c). 05 0 5 05-5 u (1 - τ ) cos(2πτ )d τ = -⎰6 u (t ) cos(2πt )dt1 1= -⎰6 δ '(t ) cos(2πt )dt-4= cos '(2π t ) |t =0= -2π sin(2πt ) |t =0= 0∑ δ (t - kT ) * h (t )∑ h (t - kT )⎰ y(t )d t , A = ⎰ x(t )dt ,A = ⎰ h(t )d t .⎰ x(τ ) x (t - τ )d τ⎰ y(t )dt = ⎰ ⎰ x(τ ) x (t - τ )d τd t= ⎰ ⎰ x(τ ) x (t - τ )dtd τ = ⎰ x(τ ) ⎰ x(t - τ )dtd τ⎰ x(τ ) ⎰ x(ξ )d ξ d τ = ⎰ x(τ )d τ{ ⎰ x(ξ )d ξ}2.23 Solution:Θ y(t ) = x(t ) * h (t ) =∞k =-∞=∞ k =-∞∴2.27 SolutionA = y∞ ∞ ∞ x h-∞ y(t ) = x(t )* h(t ) = -∞ -∞ ∞-∞A = y∞ ∞ ∞-∞ -∞ -∞∞ ∞∞∞-∞ -∞-∞ -∞= ∞ ∞ ∞ ∞-∞= A Ax h-∞ -∞ -∞⎰e ⎰ eδ (τ - 2)d τ = ⎰ e⎰ u(τ + 1)eu(t - 2 - τ )d τ - ⎰ u(τ - 2)e= u(t - 1) ⎰ ed τ - u(t - 4) ⎰ e-(t -2-τ )d τ2.40 Solution(a) y(t ) = t-(t -τ) x(τ - 2)d τ ,Let x(t ) = δ (t ) ,then y(t ) = h (t ) .-∞So , h(t ) = t t -2-(t -τ ) -∞-∞-(t -2-ξ )δ (ξ )d ξ = e -(t -2)u(t - 2)(b)y(t ) = x(t )* h(t ) = [u(t + 1) - u(t - 2)]* e -(t -2)u(t - 2)=∞ ∞ -(t -2-τ )-∞-∞-(t -2-τ )u(t - 2 - τ )d τt -2-1-(t -2-τ ) t -2 2= u(t - 1)[e -(t -2) e τ ]| t -2 -u(t - 4)[e -(t -2) e τ ]| t -2-1 2= [1- e -(t -1) ]u(t - 1) - [1- e -(t -4) ]u(t - 4)2.46 SolutionBecaused d dx(t ) = [ 2e -3t ]u (t - 1) + 2e -3t [ u (t - 1)] d t dt d t= -3x(t ) + 2e -3t δ (t - 1) = -3x(t ) + 2e -3δ (t - 1) .From LTI property ,we knowdd tx(t ) → -3 y (t ) + 2e -3 h (t - 1)whereh (t ) is the impulse response of the system.So ,following equation can be derived.2e -3h(t - 1) = e -2t u (t )Finally, h (t ) = 12e 3e -2(t +1)u (t + 1)2.47 SoliutionAccording to the property of the linear time-invariant system:(a). y(t ) = x(t ) * h(t ) = 2 x (t ) * h (t ) = 2 y (t )0 0(b). y(t ) = x(t ) * h(t ) = [ x (t ) - x (t - 2)]* h(t )1y(t)= x (t ) * h (t ) - x (t - 2) * h (t )0 2 4t= [ y (t )] = y (1). Because H ( P ) = 1so h (t ) = (1= 2 + E - E ⎪ [ ]⎪δ [k ] = i (-1 - i) n- (-1 + i) n u [n] so h [n ] = 2 2 i= y (t ) - y (t - 2)0 0(c). y(t ) = x(t ) * h(t ) = x (t - 2) * h (t + 1) = x (t - 2) * h (t ) * δ (t + 1) = y (t - 1)0 0(d). The condition is not enough.(e). y(t ) = x(t ) * h(t ) = x (-t ) * h (-t )0 0= ⎰∞ x (-τ )h (-t + τ )d τ-∞ = ⎰∞x (m )h (-t - m )dm = y (-t )-∞(f). y(t ) = x(t ) * h (t ) = x ' (-t ) * h ' (-t ) = [ x ' (-t ) * h (-t )] ' ' ' " (t )Extra problems:1. Solute h(t), h[n](1). d 2 dy(t ) + 5 y(t ) + 6 y(t ) = x(t )dt 2 dt(2). y[n + 2] + 2 y[n + 1] + 2 y[n ] = x[n + 1]Solution:1 1 - 1= = +P 2 + 5P + 6 ( P + 2)( P + 3) P + 2 P + 3- 1+)δ (t ) = (e -2t - e -3t )u (t )P + 2P + 3(2). Because H ( E ) = E E E= =E 2 + 2E + 2 ( E + 1) 2 + 1 ( E + 1 + i)( E + 1 - i)i i E - E2E + 1 + i E + 1 - i⎛ i ⎫+E + 1 + i E + 1 - i ⎪ 2 ⎪ ⎝ ⎭x(t ) = ∑ for the period of cos( 5πt ) is T = 63the period of sin( 22⎰ x 2 (t )e - jkw 2t d t = ⎰ ( x 1 (1- t ) + x 1 (t - 1))e - jkw 1t dtT T TChapter 33.1 Solution:Fundamental period T = 8 . ω = 2π / 8 = π / 4∞a e j ω0kt = a e j ω0t + a e - j ω0t + a e j 3ω0t + a e - j 3ω0tk 1 -1 3 -3k =-∞ = 2ej ω0t+ 2e - j ω0t + 4 je j 3ω0t - 4 je - j3ω0t π 3π= 4cos( t ) - 8sin( t )4 43.2 Solution:for , a = 1 , a0 -2= e - j π / 4 , a = e j π / 4 , a 2-4= 2e - j π / 3 , a = 2e j π / 34x[n] = ∑ a e jk (2π / N )nkk =< N >= a + a e j (4π / 5)n + a e - j (4π / 5)n + a e j (8π / 5)n + a e - j (8π / 5)n0 2-24-4= 1 + e j π / 4 e j (4π / 5)n + e - j π / 4 e - j (4π / 5)n + 2e j π / 3e j (8π / 5)n + 2e - j π / 3e - j (8π / 5)n4 π 8 π= 1 + 2 cos( πn + ) + 4 cos( πn + )5 4 5 3 4 3π 8 5π= 1 + 2sin( πn + ) + 4sin( πn + )5 4 5 63.3 Solution:2πt ) is T= 3 , 3so the period of x(t ) is 6 , i.e. w = 2π / 6 = π / 32π 5π x(t ) = 2 + cos(t ) + 4sin(t )331= 2 + cos(2w t ) + 4sin(5w t )0 0 1= 2 + (e j 2w 0t + e - j 2w 0t ) - 2 j(e j5w 0t - e - j5w 0t )2 then, a = 2 , a 0 -2 1= a = , a 2 -5 = 2 j , a = -2 j 53.5 Solution:(1). Because x (t ) = x (1 - t ) + x (t - 1) , the n x (t ) has the same period as x (t ) ,21121that is T = T = T ,w = w2121(2). b = 1 k⎰ x 1 (1- t )e - jkw 1t d t + 1 ⎰ x 1 (t - 1)e - jkw 1t dt ∑∑⎰ x(t ) 2 dt = a 0 2 + a -1 2 + a 1 2 = 2 a 1 2 = 1 Fundamental period T = 8 . ω = 2π / 8 = π / 4∑∑ a H ( jkw )ejkw 0tk ω ⎩0,......k ≠ 0⎧ ∑t Because a =⎰ x(t )d t = 1⎰4 1d t + 1 ⎰ 8(-1)d t = 0TT88 4= 1 T T T T= a e - jkw 1 + a e - jkw 1 = (a -k k3.8 Solution:-k+ a )e - jkw 1 kΘx(t ) =∞ k =-∞a e jw 0ktkwhile:andx(t ) is real and odd, the n a = 0 , a = -a 0 kT = 2 , the n w = 2π / 2 = πa = 0 for k > 1k-ksox(t ) =∞ a e jw 0kt = a + a e - jw 0t + a e jw 0tk 0 -1 1k =-∞= a (e j πt - e - j πt ) = 2a sin(π t )11for1 2 2 0∴∴a = ± 2 /21x(t ) = ± 2 sin(π t )3.13 Solution:Θx(t ) =∞ k =-∞a e jw 0ktk∴ y(t ) =∞k 0k =-∞H ( jk ω ) = sin(4k ω0 ) =⎨4,...... k = 00 0 ∴ y(t ) =∞a H ( jkw )e jkw 0= 4a k 00 k =-∞1Soy(t ) = 0 .∑∑a H(jkw)e jkw0tT t H(jw)=⎨if a=0,it needs kw>100T ⎰T⎰t dt=0T ⎰x(t)e-jkw0t dt=⎰te-jk22t dt=1⎰1te-jkπt dt11⎰1tde-jkπt2jkπ⎢-1⎦⎢(e-jkπ+e jkπ)-⎥-jkπ2c os(kπ)+-jkπ⎥⎦[2cos(kπ)]=j cos(kπ)=j(-1)k............k≠03.15Solution:Θx(t)=∞k=-∞a e jw0kt k∴y(t)=∞k=-∞k0∴a=1k ⎰Ty(t)H(jkw)e-jkw0d tfor⎧⎪1,......w≤100⎪⎩0,......w>100∴k0that is k2π100 >100,.......k>π/612and k is integer,so K>8 3.22Solution:a=10x(t)dt=112-1a= k 1T2-12-1π=-1 2jkπ-1=-1⎡⎢te-jkπt⎣1-1-e-jkπt-jkπ1⎤⎥⎥=-=-12jkπ12jkπ⎡(e-jkπ-e jkπ)⎤⎣⎦⎡2sin(kπ)⎤⎢⎣=-12jkπkπkπ⎰ h (t )e - j ωt d t = ⎰ e -4 t e - j ωt d t= ⎰ e e d t + ⎰ e -4t e - j ωt d t∑0 ∑∑Ta = ⎰ x(t )e - jkw 0t d t = ⎰1/ 2 δ(t )e - jk 2πt d t = 1T T-1/ 2 ∑T∑ (-1) δ (t - n ) .T=2, ω = π , a = 1T a = ⎰ x(t )e - jkw 0t d t = ⎰ δ (t )e - jk πt d t + ⎰ 3/ 2 (-1)δ (t - 1)e - jk πt d tT 2 -1/ 2 2 1/ 2 T 16 + (k π )23.34 Solution:∞ ∞H ( j ω ) =-∞-∞0 ∞ 4t - j ωt-∞118=+=4 - j ω 4 + j ω 16 + ω 2A periodic continous-signal has Fourier Series:. x(t ) =T is the fundamental period of x(t ) . ω = 2π / T∞ k =-∞a e j ω ktkThe output of LTI system with inputed x(t ) is y(t ) =Its coefficients of Fourier Series: b = a H ( jk ω )k k 0∞ k =-∞a H ( jk ω )e jk ω tk 0(a) x(t ) =∞ n =-∞ δ (t - n ) .T=1, ω = 2π a = 1 = 1 .0 k1 k（N ot e ：If x(t ) =∞ n =-∞δ (t - nT ) , a =1 k）So b = a H ( jk 2π ) = k k 8 2=16 + (2k π )2 4 + (k π )2(b) x(t ) = ∞n =-∞n0 k= 11 1 1/2 1 k1= [1- (-1)k ] 24[1-(-1)k ]So b = a H ( jk π ) = ,k k(c) T=1, ω = 2π⎰ x(t )e - jk ω0t d t = ⎰1/ 4e - jk 2πt d t =∑∑ a H ( jkw )ejkw 0t⎪⎩0,......otherwise ⎩0,......otherwise H ( jw) = ⎨⎪, 14Let y(t ) = x(t ) , b = a , it needs a = 0 ,for k < 18..or .. k ≤ 17 .∑∑∑ 2n e - j ωn + ∑ ( )n e - j ωn1 =2 41 1 5∑a ejk ( N )n .a = k1 T T -1/ 4 k π sin(2 k π)b = a H ( jk π ) =k k k π8sin( )2 k π [16 + (2k π )2 ]3.35 Solution: T= π / 7 , ω = 2π / T = 14 .Θx(t ) =∞a e jw 0ktk∴y(t ) =k =-∞ ∞ k =-∞k 0∴b = a H ( jkw )k k 0for ⎧1,...... w ≥ 250 ⎧1,...... k ≥ 170 that is k ω 0 < 250,....... k < 250, and k is integer , so k < 18..or .. k ≤ 17 .kkk3.37 Solution:H (ej ω) = ∞n =-∞h [n ]e- j ωn=∞ n =-∞1 ( ) ne - j ωn 2-1∞1= 2n =-∞ n =0 1 3e j ω+ =1 - e j ω 1 - e - j ω - cos ω2 2 4A periodic sequen ce has Fourier Series: x [n ] =N is the fundamental period of x[n ] .k =< N >k2πThe output of LTI system with inputed x[n ] is y[n ] =∑ a H (ekj 2π k N)ejk ( 2π )n N .k =< N >∑4 .So b = a H (e j N k ) = 1 4 45 - cos( 2π k ) k =2 21 T ' 1 3T '-1 = ⎰ x(3t - 1)e T ' dt = ⎰ x(m )e = ⎰ x(m )e e⎡ 1T -1 T ⎢⎰∑a e jk (2π/T )t ,where a = 0 for every2π Its coefficients of Fourier Series: b = a H (ejN k )kk3(a) x[n ] =∞ k =-∞δ [n - 4k ] .N=4, a = 1 k k k 2π 4 4b =k3 165 π- cos( k ) 4 23.40 Solution:According to the property of fourier series:(a). a k '= a e - jkw 0t 0 + a e jkw 0t 0 = 2a cos(kw t ) = 2a cos(k k k k 0 0 k 2π t )T 0(b). Because E {x(t )} =v x(t ) + x(-t )2a ' a + a k 2-k= E {a }v k(c). Because R {x(t )} = x(t ) + x * (t )e'a + a *a = k-k k(d). a '= ( jkw ) 2 a = ( jk k 0 k 2πT) 2 ak(e). first, the period of x(3t - 1) is T ' =T3th e n ak ' 2π - jk t T ' 0 T ' -11 T -12π 2π - jkm - jk dmT TT -1- jk 2π m +1 dm T ' 3 3= e- jk 2π ⎣ T -1x(m )e2π- jk m T⎤dm ⎥⎦2π = a e- jk Tk3.43 (a) Proof:（ i ） Because x(t ) is odd harmonic , x(t ) =non-zer o even k.∞ k =-∞k kx(t + ) = ∑ a e jk (2π /T )(t + 2 )T 2∑= - ∑ a e jk (2π /T )t（ii ）Because of x(t ) = - x (t + ) ,we get the coefficients of Fourier Seriesa = ⎰ x(t )e - jk 2T π t d t = 1 ⎰ T / 2 x(t )e - jk 2T π t d t + 1 ⎰ T x(t )e - jk 2T π t d tT 0 T 0 T T /2 1 T /2 1 T /2 = ⎰ T dt + ⎰ x(t + T / 2)e x(t )e 1 T /2 1 T /2 = ⎰ x(t )eT dt - ⎰ x(t )(-1)k e T dt 1T /2It is obvious that a = 0 for every non-zer o even k. So x(t ) is odd harmonic ,-11x(t ) = ∑ δ (t - kT ) , T = π∞ T k k =-∞= ∞a e jk π e jk (2π /T )tkk =-∞∞kk =-∞It is noticed that k is odd integers or k=0.That meansTx(t ) = - x (t + )2T21 T k2π - jk t T 0 T 0 2π- jk (t +T / 2) Tdt2π 2π- jk t - jk t T 0 T 0= [1- (-1)k ] ⎰T 02π x(t )e- jk Tt d tk(b) x(t )1......-2-12 tExtra problems:∞ k =-∞(1). Consider y(t ) , when H ( jw) isx(t ) = ∑ δ (t - kT ) ↔T π T∑ a H ( jkw )ejkw 0t=1k =-∞ π∑∑π∑1(2). Consider y(t ) , when H ( jw) isSolution:∞k =-∞ 1 1 2π= , w = = 2 0(1).y(t ) =∞k 0∞k =-∞a H ( j 2k )e j 2ktk=2π (for k can only has value 0)(2).y(t ) =∞ k =-∞a H ( jkw )e jkw 0t =1k 0∞k =-∞a H ( j 2k )e j 2ktk=1π (e - j 2t + e j 2t ) =2 cos 2tπ(for k can only has value – and 1)。

第一章 1.3 解：(a). 2401lim(),04Tt T TE x t dt e dt P ∞-∞∞→∞-====⎰⎰(b) dt t x TP T TT ⎰-∞→∞=2)(21lim121lim ==⎰-∞→dt T TTT∞===⎰⎰∞∞--∞→∞dt t x dt t x E TTT 22)()(lim(c).222lim()cos (),111cos(2)1lim()lim2222TT TTTT T TTE x t dt t dt t P x t dt dt TT∞∞→∞--∞∞→∞→∞--===∞+===⎰⎰⎰⎰(d) 034121lim )21(121lim ][121lim 022=⋅+=+=+=∞→=∞→-=∞→∞∑∑N N n x N P N Nn n N N N n N 34)21()(lim202===∑∑-∞=∞→∞nNNn N n x E (e). 2()1,x n E ∞==∞211lim []lim 112121N NN N n N n NP x n N N ∞→∞→∞=-=-===++∑∑ (f) ∑-=∞→∞=+=NNn N n x N P 21)(121lim 2∑-=∞→∞∞===NNn N n x E 2)(lim1.9. a). 00210,105T ππω===; b) 非周期的； c) 00007,,22m N N ωωππ=== d). 010;N = e). 非周期的； 1.12 解：∑∞=--3)1(k k n δ对于4n ≥时，为1即4≥n 时，x(n)为0，其余n 值时，x(n)为1 易有：)3()(+-=n u n x , 01,3;M n =-=-1.15 解：(a)]3[21]2[][][222-+-==n x n x n y n y , 又2111()()2()4(1)x n y n x n x n ==+-， 1111()2[2]4[3][3]2[4]y n x n x n x nx n ∴=-+-+-+-，1()()x n x n =()2[2]5[3]2[4]y n x n x n x n =-+-+- 其中][n x 为系统输入。

信号与系统奥本海姆答案奥本海姆教授因其出色的研究和教学工作多次获奖，其中包括1988年IEEE教育勋章、IEEE成立百年杰出贡献奖、IEEE在声学、语音和信号处理领域的社会与技术成就奖等等。

著有《信号与系统》和《离散时间信号处理》，《信号与系统》一书是A.V.奥本海姆美国麻省理工学院经典教材之一，包括信号与系统分析的基本理论基本分析方法及其应用。

全书共分十一章:主要讲述了线性系统的基本理论、信号与系统的基本概念、线性时不变系统、连续采样、通信和反馈系统中的实例，并行讲座了连续系统、离散系统、时域系统和频域系统的分析方法，以使读者能透彻地理解各种信号系统的分析方法并比较其异同。

而《离散时间信号处理》也是离散(数字)信号处理的开山之作，这两本书是电子、通信等学科的权威之作，其权威性由国内相关教材对其参考、引用程度可见一斑。

我刚刚看到它的时候，简直觉得这太不可思议了。

作为一个轮子，它怎么能就那么站着，那么特立独行，充满性格呢。

这不科学。

那么，这样一个高端大气上档次的东西是怎么实现的呢？要是你来设计，要怎么设计呢？冥思苦想，辗转反侧三十秒以后，你想到了：反馈。

在这玩意儿上面放一个传感器，这样它要是站不正，系统就知道了。

注意这儿用了一个词：系统。

设计这个金枪不倒的家伙，就是要设计一个系统。

好了，现在我们有了一个传感器，要是机器朝左边偏一度，他就会输出一个信号。

这个信号接下来就会传给处理器进行处理。

处理器再控制电机，让他驱动轮子产生向左的加速度，加速度就相当于给予系统向右的力，来修正向左的偏移。

看起来很简单哦。

小明觉得看上去so easy，妈妈再也不用担心我的设计了。

就按照这一思想设计了一个小车车。

请了宾利首席设计师设计了漂亮的流线型踏板，再把轮子设计成哪吒风火轮的模样。

组装好了以后准备上路。

让女朋友在旁围观。

踏上踏板，一上电，尼玛，他和他的车车就变成了一个节拍器。

左边摔一下，右边摔一下。

幸亏小明戴了头盔。

第1章信号与系统1.1复习笔记1，连续时间和离散时间信号1个连续时间信号和离散时间信号（1）连续时间信号（图1-1（a））①定义连续时间信号是指自变量是连续变量的信号，并且该信号是在自变量的连续值上定义的。

②代表自变量由T表示，表示连续时间。

连续时间信号表示为X（T）。

（2）离散时间信号（图1-1（b））①定义离散时间信号的自变量仅在一组离散值中选择，并且仅在离散时间点定义信号。

②代表自变量由N表示，N表示离散时间。

离散时间信号表示为x [n]。

说明：hwocrtemp_ ROC60图1-1信号的图形表示（a）连续的时间表示；（b）离散时间信号2.信号能量和功率（1）有限间隔内信号的总能量和功率①描述中的连续时间信号x（T）：hwocrtemp_ roc120中的总能量说明：hwocrtemp_ ROC130哪里x |是X的模块（可能是复数）。

通过将上述公式除以长度t2-t1，可以获得平均功率。

②描述中的离散时间信号x [n]：hwocrtemp_ roc140中的总能量说明：hwocrtemp_ ROC150将其除以interval_中的点数即可。

Roc160获得该范围内的平均功率。

（2）无限间隔内信号的总能量和功率①无限时间连续时间信号的总能量x（T）说明：hwocrtemp_ ROC180无限时间连续时间信号x（T）的平均功率说明：hwocrtemp_ ROC220②无限时间中离散时间信号x [n]的总能量说明：hwocrtemp_ ROC190无限时间间隔内离散时间信号x [n]的平均功率说明：hwocrtemp_ ROC230（3）根据信号能量和功率的限制进行分类①该信号的总能量有限，即：hwocrtemp_ Roc240，该信号的平均功率为零。

②如果平均功率P∞是有限的，则其能量是无限的。

③具有无限大的P∞和E∞的信号。

2，自变量的变换基本转型（1）时移①X（t-t0）表示具有延迟|的X（T）。