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奥本海姆版信号与系统ppt

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信号与系统(奥本海默)课件3

信号与系统(奥本海默)课件3

1通信科学与工程系四用微分和差分方程描述的因果LTI 系统1. 线性常系数微分方程()()()t bx t ay dt t dy =+给出了系统的隐含特性，要得到明确表达式，需求解方程，并且还需一个或多个附加条件。

对于因果线性时不变系统，附加条件的形式特殊简单。

2通信科学与工程系一般的N 阶线性常系数微分方程：()()∑∑===M k kk kNk k k k dt t x d b dt t y d a 00()()∑==M k kkk dtt x d b a t y 001当N=0时，输出是输入及其导数的明确函数：当N>0时，输出是输入的隐含形式，需要求解。

四用微分和差分方程描述的因果LTI 系统3通信科学与工程系求解该微分方程，通常是求出通解和一个特解，则。

()p y t ()h y t ()()()p h y t y t y t =+四用微分和差分方程描述的因果LTI 系统()p y t ()x t 特解是与输入同类型的函数.()h y t 0()0k Nk k k d y t a dt==∑通解是齐次方程的解，即的解。

0Nkk k a λ==∑欲求得齐次解，可根据齐次方程建立一个特征方程：求出其特征根。

4通信科学与工程系若t ≤ t 0时x (t )=0，则t ≤ t 0 时y (t )=0，初始松弛条件1(),k Nth k k y t C e λ==∑其中是待定的常数。

k C 当特征根均为单阶根时，可得出齐次解的形式为：四用微分和差分方程描述的因果LTI 系统()()()010100====--N N dt t y d dt t dy t y 可采用如下初始条件：5通信科学与工程系()()()t x t y dtt dy =+2()()t u Ke t x t 3=例2.14：考虑输入为时，系统的解。

()()()t y t y t y h p +=5KY =()3,05t p Ky t e t =>方程的解由特解和齐次解组成：()tp Ye t y 3=求解特解：令t > 0时，根据方程可得33332t t t Ye Ye Ke +=受迫响应自然响应四用微分和差分方程描述的因果LTI 系统6通信科学与工程系()()02=+t y dtt dy 求解齐次解：根据方程，得特征方程为()23,05t t Ky t Ce e t -=+>0/5C K =+5KC =-()[]()t u e e K t y t t 235--=20λ+=2λ=-()2th y t Ce -=齐次解四用微分和差分方程描述的因果LTI 系统根据初始条件确定C ：考虑因果LTI 系统，如果t<0 时x (t )=0，则t<0 时y (t )=0. 将t = 0, y (0) = 0代入有7通信科学与工程系2. 线性常系数差分方程一般的线性常系数差分方程可表示为：与微分方程一样，它的解法也可以通过求出一个特解和齐次解来进行，其过程与解微分方程类似。

信号与系统 课件 奥本海姆 第一章

信号与系统 课件 奥本海姆 第一章
连续时间周期信号
离散时间周期信号
这种信号也称为功率信号，通常用它的平均功
率来表征。
1 T 2 P x(t ) dt （以T为周期） 或 T 0
1 P 2T

T
T
x(t ) dt
2
1 N 1 2 P x(n) N n 0
（以N为周期）或
N 1 2 P x ( n) 2 N 1 n N
，再据值进行尺度变换，再做时间反转。
由 做法一：
x(t )
1 0 1
1 x(t ) x(3t ) 2
1 1 x(t ) x(t ) x(3t ) 2 2
1 x(t ) 2
1
1 tt 2
t

t 3t
t
0 1/2 3/2

1
1 x (3t ) 2
t
0 1/6 1/2
N
E lim x(n) x(n)
2 N
N

2
在无限区间内的平均功率可定义为：
1 T P lim T 2T T
x(t)
2
dt
N 1 2 P lim x ( n) N 2 N 1 N
三类重要信号（按照信号的可积性或可和性划分）： 1. 能量信号——信号具有有限的总能量，
x(t) 1 0 1 1 2 3
t
(a)
解1：
x(t) 1 0 1 1 2 3 1 x(t-3)
t
3
2
1
0 1
12Biblioteka 3456
t
(a) x(2t-3) 1 0 1 1 2 3 1
(b) x(-2t-3)
t

第七章课件奥本海姆本信号与系统

第七章课件奥本海姆本信号与系统

NO!
In addition, we can get different sequences if a signal is sampled at different regular intervals .
T?
7.1.1 Impulse-train sampling (冲激串采样 冲激串采样) 冲激串采样 In time domain:
Solution:
f M = 100 Hz
f sMin = 2 f M = 200 Hz
TsMax =
N Min =
1 f sMin
1 s = 200
τ
TsMax
1 = (2 × 60) = 24000 200
7.2 Reconstruction of A Signal From Its Samples Using Interpolation (p.522)
x(t )
x p (t ) = x ( t ) ⋅ p ( t )
p( t )
= ∑ x ( nT )δ ( t − nT )
−∞
∞
p( t ) =
n =−∞
∑ δ (t − nT )
∞
T :Sampling period
Sampling function
x(t )
x p (t ) = x ( t ) ⋅ p ( t )
p( t )
2π P ( jω ) = T
n =−∞
∑ δ (ω − kω )
s
∞
1 X p ( jω ) = X ( jω ) ∗ P ( jω ) 2π
2π ωs = T
s
In frequency 1 2π X ( jω ) ∗ = domain: 2π T

信号与系统 双语 奥本海姆 第二章PPT课件

信号与系统 双语 奥本海姆 第二章PPT课件

10
Chapter 2 §2.3 卷积的计算 1. 由定义计算卷积积分
例2.6 xte au tt,a0htut
2. 图解法 例2.7 求下列两信号的卷积
xt 1 , 0tT ht
0 , 其余t 3. 利用卷积积分的运算性质求解
LTI Systems
yt
t , 0t2T 0 , 其余t
11
Chapter 2
in Terms of impulses
Example 2
3 xn
2
1
1 01 2
n
xknk
x n x 1 n 1 x 0 n x 1 n 1
xnxknk k 4
Chapter 2
LTI Systems
§2.1.2 The Discrete-Time Unit Impulse Responses and the
LTI Systems
§2.3 Properties of LTI Systems
xt ht ytxtht
xn hn ynxnhn
LTI系统的特性可由单位冲激响应完全描述
Example 2.9 ① LTI system
h n
1
0
n0,1 otherwise
② Nonlinear System
③ Time-variant System
a y n x n x n 1 2 aytco s3 txt
b y n m x n ,x a n 1 x b ytetxt 12
Chapter 2
LTI Systems
§2.3.1 Properties of Convolution Integral and Convolution Sum 1. The Commutative Property (交换律）

奥本海姆信号与系统总结精品PPT课件

奥本海姆信号与系统总结精品PPT课件

d
f1 (t) dt
d
yf 1 (t) dt
=
–3δ(t)
+
[4e-t
–πsin(πt)]ε(t)
根据LTI系统的时不变特性
f1(t–1) →y1f(t – 1) ={ –4e-(t-1) + cos[π(t–1)]}ε(t–1)
由线性性质，得：当输入f3(t) =
d
f1 (t dt
)
+2f1(t–1)时，
t
t
t
sin( x)[a
0
f1 ( x)
b
f2 (x)]d
x
a
0 sin(x) f1 (x) d x b
0 sin(x) f 2 (x) d x
= aT[{f1(t)}, {0}] +bT[{ f2(t) }, {0}]，满足零状态线性；
T[{0},{ax1(0) + bx2(0)} ] = e-t[ax1(0) +bx2(0)] = ae-tx1(0)+ be-tx2(0) = aT[{0},{x1(0)}] +bT[{0},{x2(0)}], 满足零输入线性； 所以，该系统为线性系统。
Application Field
• 计算机、通信、语音与图像处理 • 电路设计、自动控制、雷达、电视 • 声学、地震学、化学过程控制、交通运输 • 经济预测、财务统计、市场信息、股市分析 • 宇宙探测、军事侦察、武器技术、安全报警 • 电子出版、新闻传媒、影视制作 • 远程教育、远程医疗、远程会议 • 虚拟仪器、虚拟手术 • 人体：
• 第6章 信号与系统的时域和频域特性 6 连续时间付里叶变换的极坐标表示；理想低通 滤波器；Bode图；一阶系统与二阶系统的分析 方法

信号与系统奥本海姆课件第3章.

信号与系统奥本海姆课件第3章.
•（线性时不变系统对周期信号的响应）
2
3.0 引言 Introduction
• 时域分析方法的基础 ： 1)信号在时域的分解。 2)LTI系统满足线性、时不变性。
• 从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满 足两个要求：
1.本身简单，且LTI系统对它的响应能简便得到。 2.具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。
,
x2
1 2
,
x3
1 3
x(t) xke jk 2t : x0
k
~ x3, xk
0 for
k
3, 0
2 , T
2 0
1
x(t) 1 1 (e j2t e j2t ) 1 (e j4t e j4t ) 1 (e j6t e j6t )
4
2
3
Euler’s Constant part
Signals and Systems
A.V. OPPENHEIM, et al.
Ch3 Fourier Series Representation of Periodic Signals
第3章 周期信号的 傅里叶级数表示
1
Contents：
• Representation of Periodic Signals(周期信号描述 • Fourier Series（傅里叶级数） • Response of LTI System to Periodic Signals
z
响应合成 3 composition
2 known Relations， Properties
Y (z)
ds s
Solution:
x(t) X (s) Y (s) y(t)
dz z

信号与系统奥本海姆第4章PPT课件

信号与系统奥本海姆第4章PPT课件

t
8
x
(
t
)
k
xke
jk 0t
0
2 T
x(t)
1
2
Txk e jk0t
k
0
T
xk
1 T
T
2 T
x(t)ejk0t
2
2 T
x
(t)
2
x(t)
Txk
x(t)ejk0tdt
Dx e(ftin)e X : (21 jk) X ( jx k(t0 ))eX ej(jk jt0d t)te 20jt|k0xXk(jT1)X面(k积j0) Xk(j0k30T1)XT(xjkk0)
2
4.0 引言 Introduction
在工程应用中有相当广泛的信号是非周期 信号，对非周期信号应该如何进行分解，什 么是非周期信号的频谱表示，就是这一章要 解决的问题。
3
在时域可以看到，如果一个周期信号的周期趋 于无穷大，则周期信号将演变成一个非周期信 号；反过来，任何非周期信号如果进行周期性 延拓，就一定能形成一个周期信号。我们把非 周期信号看成是周期信号在周期趋于无穷大时 的极限，从而考查连续时间傅立叶级数在 T趋 于无穷大时的变化，就应该能够得到对非周期 信号的频域表示方法。
2 0
0
4 0 a k
0
(a) T 4T1
4 0
(b) T 8T1
当 T 时，周期性矩形脉冲信号将演变成为非周 期的单个矩形脉冲信号。
7
Periodic signal
x (t)
(周期信号)
2T
T T 0 T T
2
2
x (t) Aperiodic signal
T （非周期信号）

课件信号与系统奥本海姆.ppt

课件信号与系统奥本海姆.ppt
2. System a process of signals, in which input signals are transformed into output signals
4
Ch1. Signals and Systems
Signal：the carrier of information 信号：信息的载体
1
SIGNALS AND SYSTEMS
• 信号与系统
8
Main content ： Ch1. Signals and Systems
• Continuous-Time and Discrete-Time Signals 〔连续时间与离散时间信号〕
• Transformations of the Independent Variable〔自变量的变换〕
信号是信息的具体物理表现形式，包含了信息的 具体内容。总是1个或多个独立变量的函数。
同一信息可以有不同的物理表现形式，因此对应 有不同的信号，但这些不同的信号都包含同一个信息。 这些不同的信号之间可以相互转换。
例如语音信息用声压表示，可用电压或电流信号 作为载体；也可以用一组数据(01)信号作载体。对应 模拟信号和数字信号，可以AD转换。
2
Ch1. Signals and Systems
控制论创始人维纳认为: 信息是人或物体与外部世界交换内容的名称。内 容是事物的原形，交换是信息载体[信号]将事物原形 [内容]映射到人或物体的感觉器官，人们把这种映射 的结果认为获得了信息。通俗地说，信息指人们得到 的消息。
信息多种多样、丰富多彩，具体的物理形态也千 差万别。
• Basic System Properties (根本系统性质) 9
Ch1. Signals and Systems

奥本海默《信号与系统课件》

奥本海默《信号与系统课件》

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h(n) x(n) h(t) y(t) x(t) y(t) x(t) h(t) x(n) y(n) h(n) y(n)
4. 卷积运算其它性质： 卷积积分微分、积分特性：
若 x (t ) h(t ) y (t )，则
x(t ) h(t ) x(t ) h(t ) y(t ) [ x( ) d ] h(t ) x(t ) [ h( ) d ] [ y ( ) d ]

k
x ( k ) h( n k )

k
x ( n k ) h ( k ) h( n) x ( n)

y (t ) x(t ) h(t ) x( )h(t )d x(t )h( )d h(t ) x(t )
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2 .3 Properties of Linear
Time-Invariant Systems
Wang Zhengyong College of Electronics and Information, Sichuan University
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一. 卷积积分与卷积和的性质
1. 交换律(The commutative property )：

y ( n ) x ( n) h( n)

第九章课件奥本海姆本信号与系统

第九章课件奥本海姆本信号与系统
7
Example 9.1
x( t ) e u( t )
at st ( s a )t 0 0
at
X ( s ) e e dt e
1 dt sa
The integral converges for Re[ s] . a For a 0, the Fourier Transform of x ( t ) converges and is given by
9.1 The Laplace Transform(拉普拉斯变换)
(p.655) is the eigenfunction of continuous–time LTI systems. (Section 3.2) The response of a LTI system with impulse response to an input of the form e st is h( t )
i i i i
the roots of the numerator polynominal N(s)—zeros(零点) the roots of the denominator polynominal D(s)—poles(极点)
2s 3 X ( s) 2 s 3s 2
？
j
s-plane
x( t ) e at u( t ) u( t ) For a 0 : 1 L Re[ s] 0 u( t ) s 1 F with s j , then u( t ) ? j
No !
why
9
Example 9.1 Example 9.2
1 e u( t ) sa
Fourier Transform

信号与系统华工-奥本海姆-各章例题3PPT课件

信号与系统华工-奥本海姆-各章例题3PPT课件

上式中，令 2c ，E=1，则有
c Sa(ct)G2c() 17
f (t) E
0T T
42
T
t
例：有一偶谐函数，其波形如图所示，求其傅 立叶展开式并画出其频谱图。
Tt
例：有一奇函数，其波形如图所示，求其傅立 叶展开式并画出其频谱图。
解: f(t) 在一个周期内可写为如下形式
f(t)2t TtT
T
22
f(t) 是奇函数，故 an 0
10
An
2
2
3
2 1
4 1
0 1 1
3 1
1
1
2
bn 4
T
T
2 0
f
(t ) sin
n 1tdt
( 1
2 T
)
4
T
T 2 0
n
A Sn a0 ()ejn0t Tn= - 2
4
例：试求图示周期矩形脉冲在有效频带宽度 0 ~ 2 内谐波分量所具 有的平均功率占整个信号平均功率的百分比，其中已知 A=1,
T=0.25s, τ=0.05s。
f t
A
T
T
t
22
5
解：根据前面傅立叶级数展开，图示周期矩形脉冲的傅立叶系数为
Fn
A
则
a f1 ( t) b f2 ( t) a F 1 () b F 2 ()
其中，a, b 均为常数。
说明:相加信号的频谱等于各个单独信号的频谱之和。
例: u (t ) 1 1sgn(t) F()π() 1
22
j
13
bn 4 T
T 2 0
f (t)sinn1tdt
(1
2

奥本海姆信号与系统课件

奥本海姆信号与系统课件

More details on sampling will be given in a later chapter.
11
Notes: To distinguish CT signals from DT signals: • Variable notations: t, x, y, · · · for CT signals, n, m, k, · · · for DT signals. • More importantly, parentheses (.) are used for CT signals, while brackets [.] for DT signals.
9
How DT signals are generated ? There are signals of independent variables which • are inherently discrete (ex., no. of students in a class):
P [n]
3000 2800
s(t)
10 5 0 −5 −10 0 0.05 0. 1 0.15 0. 2 (a) 0.25 0. 3 0.35 0. 4
t
s[n]
10 5 0 −5 −10 0 5 10 (b) 15 20
n
Figure 10: (a) s(t) = 10cos(20πt − 0.5), t ∈ [0 0.4]. (b) s[n] = s(tn ) with tn = n/50.
p(t)dt =
t2 t1
v 2(t)dt
• Average power over (t1, t2): 1 t2 − t1
t2 t1
p(t)dt =

信号与系统奥本海默原版PPT第二章

信号与系统奥本海默原版PPT第二章

x(t) h(t)
x(t) h1(t)
x(t)
x(t)*(t)=x(t)
(t)
So, for the invertible system: h(t)*h1(t)=(t) or h[n]*h1[n]=[n]
Example 2.11 2.12
2 Linear Time-Invariant Systems
2.3.6 Causality for LTI system Discrete time system satisfy the condition: h[n]=0 for n<0 Continuous time system satisfy the condition: h(t)=0 for t<0
0, otherwise
We have the expression:

xˆ(t) x(k) (t k)
k
Therefore:

x(t )

lim
0
x(k)
k
(t

k)
2 Linear Time-Invariant Systems
x[n]
y[n]=?
LTI
Solution:
[n] h[n]
[n-k] h[n-k]
x[k][n-k] x[k] h[n-k]


x[n] x[k] [n k] y[n] x[k]h[n k]
k
k
2 Linear Time-Invariant Systems
Memoryless system: Discrete time: y[n]=kx[n], h[n]=k[n] Continuous time: y(t)=kx(t), h(t)=k (t)

信号与系统奥本海默原版PPT第二章 ppt

信号与系统奥本海默原版PPT第二章 ppt

y[n]x[n]*h[n] x[k]h[nk] k
x[n]=[n]
y[n]=h[n]
LTI
Unit Impulse Response: h[n]
-
3
2 Linear Time-Invariant Systems
(2) Convolution Sum of LTI System
Question:
x[n]
y[n]=?
LTI
Solution:
[n] h[n]
-
14
2 Linear Time-Invariant Systems
(3) Computation of Convolution Integral
Time Inversal: h() h(- ) Time Shift: h(-) h(t- ) Multiplication: x()h(t- )
2.2.2 The Continuous-time Unit impulse Response and the convolution Integral Representation of LTI Systems
(1) Unit Impulse Response
x(t)=(t)
y(t)=h(t)
LTI
(2) The Convolution of LTI System
x(t)
y(t)=?
LTI
-
11
2 Linear Time-ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱnvariant Systems
A.
(t)
LTI
h(t)
x(t)
y(t)=?
Because of
x(t) x()(t)d
So,we can get

课件：信号与系统奥本海姆课件(拉普拉斯变换)第9章

课件：信号与系统奥本海姆课件(拉普拉斯变换)第9章

ROC扩大
原因是 X1(s) 与 X2(s) 相乘时，发生了零极点 相抵消的现象。当被抵消的极点恰好在ROC
的边界上时，就会使收敛域扩大。 7. 时域微分:（Differentiation in theTime Domain）
若 x(t) X (s), ROC : R 则 dx(t) sX (s),
若 x(t) X (s), ROC : R
则
t x( )d 1 X (s)
s
证明：
t
x( )d x(t) u(t)
t x( )d 1 X (s)
s
10. 初值与终值定理:
（The Initial- and Final- Value Theorems)
条件(因果信号）：
t t
0, 0,
Ims
2）右边信号的ROC在s平面的右半部； 3）左边信号的ROC在s平面的左半部； 4）双边信号的ROC带状区域；
若 x(t是) 右边信号, T ,t 在 RO0 C内，则有
绝对可x积(t)，e即0t ：
x(t)e0t dt T
若 1 ，0则
x(t)e1t dt
T
x(t)e0te(10 )t dt T
X (s) X (s)
由此可得以下结论：
点如）果，则x(是t) 实一信定号在X，(s)且也有在X极(s点s有)0或极s零点0 点（。或这零表
明：实信号的拉氏变换其复数零、极点必共 轭成对出现。
6. 卷积性质:（Convolution Property） 若 x1(t) X1(s), ROC : R1
s2 3s 2 (s 1)(s 2)
X (在s)有限S平面内， 的零点和极点可以完 X全(s表) 征 的代数表示式。（常数因子除外）

信号与系统(华南理工大学 奥本海姆版)第二章ppt

信号与系统(华南理工大学 奥本海姆版)第二章ppt









对角斜线上各数值就是 x[n]h[kn]的值。 对角斜线上各数值的和就是y[k]各项的值。
例3 计算 x[k ] {1, 2, 0, 3, 2} 与 h[k ] {1, 4, 2, 3}
的卷积和。
解:
h [ -1 ] 1 h[0] h[1] h[2] 4 2 3 x[ -2 ] x[ -1 ] 1 1 4 2 3 2 2 8 4 6
k 0
n

对任何离散时间信号 x(n) ,如果每次从其中取出 一个点，就可以将信号拆开来，每次取出的一个点
都可以表示为不同加权、不同位臵的单位脉冲。
一. 用单位脉冲表示离散时间信号
于是有：
x ( n)
k
x(k ) (n k )

表明：任何信号 x ( n)都可以被分解成移位加权的 单位脉冲信号的线性组合。 二. 卷积和（Convolution sum） 如果一个线性系统对 (n k ) 的响应是 hk ( n) ， 由线性特性就有系统对任何输入x ( n) 的响应为：
1 0 k N 1 R N [k ] 0 otherwise
y[k] = 0
k < 0时, RN [n]与RN [kn]图形没有相遇
RN[k -n] , k < 0 1 RN[n]
k-(N-1)
k
0
N- 1
k
n
0 k N 1时，重合区间为[0，k]
RN[k -n] , 0 k N 1 1 RN[n]
引言 ( Introduction ) 问题的实质：
1.研究信号的分解：
即以什么样的信号作为构成任意信号的基本信号单元， 如何用基本信号单元的线性组合来构成任意信号；

信号与系统 奥本·海姆 课件

信号与系统 奥本·海姆 课件
5
4.1 Representation of Aperiodic Signals: The Continuous-Time Fourier Transform
(非周期信号的表示—连续时间傅立叶变换)
4.1.1 Development of the Fourier transform Representation of an Aperiodic signal
13
Inverse CTFT
ak
1 T
X
(
jk0 ),
x(t)
lim
T k
1 lim
2 0 0
ak e jk0t
X(
k
lim T k
jk0
)e
jk0t 0
X (Q
( jk0 ) e jk0t
T 0
2
T
)
T :0 d, k0 ,
Thus, we obtain
x(t) 1 X ( j )e jt d
19
Note 1: the two sets of conditions are sufficient to guarantee that a signal has a Fourier transform.
If impulse functions are permitted in the transform, some signals such as periodic signals, which are neither absolutely integrable nor square integrable over an infinite interval, can be considered to have Fourier transforms.

Chapter3-1信号与系统ppt(所有系列)(奥本海姆+中文)

Chapter3-1信号与系统ppt(所有系列)(奥本海姆+中文)

3.4 连续时间傅里叶级数的收敛
Convergence of the Fourier series 这一节来研究用傅氏级数表示周期信号的普遍性 问题，即满足什么条件的周期信号可以表示为傅里 叶级数。
系统对该信号加权的常数称为系统与特征函数相对 应的特征值。
结论： 复指数函数
e
st
、 z n 是一切LTI系统的特征函
数。 H ( z )分别是LTI系统与复指数信号相对 H ( s) 、 应的特征值。
H ( s) h(t )e dt
st
H ( z)
k
n h [ n ] z
x(t )
k


Ak e e

j k
jk0t
a0
jk0t
k

1
Ak e
j ( k0t k )
Ak e j ( k0t k )
k 1

a0 [ A k e
k 1
e
j k
Ak e
jk0t
e
j k
]
j k
Q a a k
jk0t jk0t jk0t x (t ) ak e jk0t ak e a e a e k k k k k k *

ak a
k
或
a a k
* k
j 若令 ak Ak e k ，则 a 0 为实数。于是
a0 2 Bk cos k0t Ck sin k0t
k 1
——傅里叶级数的另一种三角函数形式
四.连续时间傅里叶级数系数的确定 如果周期信号 x(t ) 可以表示为傅里叶级数 2 jk0t 0 x (t ) ak e , T0 则有
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Instantaneous power: 1 2 R i (t ) p(t ) v(t ) i(t ) v (t ) R i 2 (t ) R _ v(t ) Let R=1Ω, so p(t ) i 2 (t ) v 2 (t ) x 2 (t )
+
Energy : t1 t t2
2
1
shift
f (t )
2 1
1 t
2
2
0
Scaling
Scaling
2
reversal
t
f (t )
2 1
shift
2 1
f (1 t )
f (1 3t )
1
t
0 1
1 0
1
2
2
1
0 1
t
1
2

1 3
0 2
t
3
f (3t )
f (1 3t )
Scaling
1
1 3
2
shift
1.2 Transformation of the Independent Variable
1.2.1 Examples of Transformations 1. Time Shift x(t-t0), x[n-n0]
t0<0
Advance
Time Shift
n0>0
Delay
x(t) and x(t-t0), or x[n] and x[n-n0]:

2. Time Reversal x(-t), x[-n]
——Reflection of x(t) or x[n]
2. Time Reversal x(-t), x[-n]
——Reflection of x(t) or x[n]
a mirror
Time Reversal
x[n]
x[-n]
Looking for mistakes
when t n
Total Energy
E lim
T
T
T
N
x(t ) dt
2
2


x(t ) dt
2
2
E lim
N n N
x[n]

T T

n
x[n]

Average Power
P lim
x(t)
1
x(t-1/2)
t
1
x(3t-1/2)
t
1
t
0
1
0 1/2
3/2
0 1/6 1/2
Solution 2：
x(t)
1
x(3t) t
1
x(3t-1/2) t
1
t
0
1
0
1/3
0 1/6 1/2
Example
f (t 1)
2
f(t) f(1-3t)
reversal
t 1
1
0
f (1 t )
If a signal is not periodic, it is called
aperiodic signal.
Examples of periodic signals
CT: x(t)=x(t+T)
DT:
x[n]=x[n+N]
Periodic Signals
of x(t) (x[n]) is the smallest positive value
T 6 , T 8
1 2
x(t) is periodic. Its period is T 24 The smallest multiples of T1 and T2 in common

0
2. Discrete-Time signal
n: discrete time x[n]: a discrete set of values (sequence)
Example1: 1990-2002年的某村农民的年平均收入
Example2: x[n] is sampled from x(t)
3 1. x(t ) A sin t 8
It is periodic signal. Its period is T=16/3.
cos t , t 0 2. x(t ) It is not periodic. 0, t 0
1 1 3. x(t ) A cos t B sin t 3 4
x(t)
1s 8k
Sampling
x[n]
Why DT?
C. Representation
(1) Function Representation
Example: x(t) = cos0t x[n] = cos0n x(t) = ej0t x[n] = ej0n
(2) Graphical Representation
The fundamental period T0 (N0)
of T(or N) for which the equation holds.
Note: x(t)=C is a periodic signal, but its fundamental period is undefined.
Examples of periodic signals
E ,
(if
P 0, then
E lim P )
T T
T
c. infinite total energy, infinite average power
P
Read textbook P71: MATHEMATICAL REVIEW
Homework： P57--1.2
Example: ( See page before )
(3) Sequence-representation for discretetime signals:
x[n]={-2 1 3 2 1 –1} or x[n]=(-2 1 3 2 1 –1)
3
Note:

Since many of the concepts associated with continuous and discrete signals are similar (but not identical), we develop the concepts and techniques in parallel.

t2
t1
p(t )dt

t2
t1
v (t )dt
2

t2
t1
x 2 (t )dt
t2
1 Average Power: t 2 t1

t2
t1
1 p (t )dt t 2 t1

t1
x 2 (t )dt
Definition:
Total Energy Continuous-Time: (t1 t t2 ) Discrete-Time: (n1 n n2 ) Average Power
t
8
4 2
12
4
Time Scaling
x(at) ( a>0 )
Stretch if a<1
Compressed
if a>1
How about the discrete-time signal?
Generally,
time scaling only for continuous time signals
x(t)
0

t
Note: the difference between x(-t) and –x(t)
x(-t) ??? -x(t)
3. Time Scaling
x(at) (a>0)
8
4 2
4
x(t)
t
12
4
stretch
4
x(t/2)
t
8
4 2
12
4
compress]
x[n]
x[2n]
x[n]
x[2n]
2 2 2
x[n/2]
n 0 1 2 3 4 5 6 This is also called decimation of signals. （信号的抽取）
Example
x(t)
1 0 1
t
Solution 1： Solution 2：
Solution 1：
t
2
1
0
2 3
reversal
t
1 3
－2 0 3
1.2.2 Periodic Signals
A periodic signal x(t) (or x[n]) has
the property that there is a positive value of T (or integer N) for which : x(t)=x(t+T) , for all t x[n]=x[n+N], for all n


1.1 Continuous-Time and Discrete-Time Signals
1.1.1 Examples and Mathematical Representation
A. Examples (1) A simple RC circuit
Source voltage Vs and Capacitor voltage Vc
T
1 2T