《三角形》全章复习与巩固(培优篇)(含答案)

三角形培优、拔高专题复习讲义中考考点梳理一、三角形1、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。

（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。

2、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。

推论：三角形的两边之差小于第三边。

（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

3、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。

推论：①直角三角形的两个锐角互余。

②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。

③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。

二、全等三角形1、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。

直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）2.全等三角形的性质：三、等腰三角形1、等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。

即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。

推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。

2020年中考数学一轮复习培优训练：《三角形》1．点D为△ABC外一点，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，∠DCE＝90°，CD＝CE，求证：∠ADC＝∠BEC；（2）如图2，若∠CDB＝45°，AE∥BD，CE⊥CD，求证：AE＝BD；（3）如图3，若∠ADC＝15°，CD＝，BD＝n，请直接用含n的式子表示AD的长．2．如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，以D为顶点作一个120°的角，角的两边分别交直线AB、直线AC于M、N两点．以点D为中心旋转∠MDN（∠MDN的度数不变），当DM与AB垂直时（如图①所示），易证BM+CN＝BD．（1）如图②，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC上时，BM+CN＝BD 是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图③，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC的延长线上时，BM+CN ＝BD是否仍然成立？若不成立，请写出BM，CN，BD之间的数量关系，不用证明．3．如下图，在△ABC中，AB＝BC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F，BH⊥AB于点B，点M是BC的中点，连接FM并延长交BH于点H．（1）在图1中，∠ABC＝60°，AF＝3时，FC＝，BH＝；（2）在图2中，∠ABC＝45°，AF＝2时，FC＝，BH＝；（3）从第（1）、（2）中你发现了什么规律？在图3中，∠ABC＝30°，AF＝1时，试猜想BH等于多少？并证明你的猜想．4．在图1、2中，已知∠ABC＝120°，BD＝2，点E为直线BC上的动点，连接DE，以DE 为边向上作等边△DEF，使得点F在∠ABC内部，连接BF．（1）如图1，当BD＝BE时，∠EBF＝；（2）如图2，当BD≠BE时，（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明，若不成立请说明理由；（3）请直接写出线段BD，BE，BF之间的关系式．5．在△ABC中，AC＝BC，点E是在AB边上一动点（不与A、B重合），连接CE，点P是直线CE上一个动点．（1）如图1，∠ACB＝120°，AB＝16，E是AB中点，EM＝2，N是射线CB上一个动点．试确定点P和点N的位置，使得NP+MP的值最小．①请你在图2中画出点P和点N的位置，并简述画法：．②直接写出NP+MP的最小值．（2）如图3，∠ACB＝90°，连接BP，∠BPC＝75°且BC＝BP求证：PC＝P A．6．探究题：如图，AB⊥BC，射线CM⊥BC，且BC＝5cm，AB＝1cm，点P是线段BC（不与点B、C重合）上的动点，过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连结AD．（1）如图1，若BP＝4cm，则CD＝；（2）如图2，若DP平分∠ADC，试猜测PB和PC的数量关系，并说明理由；（3）若△PDC是等腰三角形，则CD＝cm．（请直接写出答案）7．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点A（2，0）、B（0，1）．（1）在图①中，点C坐标为；（2）如图②，点D在线段OA上，连接BD，作等腰直角三角形BDE，∠DBE＝90°，连接CE．证明：AD＝CE；（3）在图②的条件下，若C、D、E三点共线，求OD的长；（4）在y轴上找一点F，使△ABF面积为2．请直接写出所有满足条件的点F的坐标．8．已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，△BPN，并连接BM，AN．（Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；（Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠P AB度数．9．阅读下列材料，完成（1）～（3）题：数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，E是AC的中点，经过点A、C作射线BE的垂线，垂足分别为点F、G，连接AG．探究线段DF和AG的关系．某学习小组的同学经过思考后，交流了自己的想法：小明：“经过观察和度量，发现∠ABF和∠ACG相等．”小刚：“经过观察和度量，发现有两条线段和AF相等．”小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段DF和AG的关系．”……老师：“若点E不是AC的中点，其他条件不变（如图2），可以求出的值．”（1）求证：AF＝FG；（2）探究线段DF和AG的关系，并证明；（3）直接写出的值．10．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝度；（2）如图2，如果∠BAC＝60°，则∠BCE＝度；（3）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．①如图3，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，请直接写出α，β之样的数量关系，不用证明．11．在平面直角坐标系中，点A（0，m）和点B（n，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，满足（m﹣n）2+|m+n﹣8|＝0，连接线段AB，点C为AB上一动点．（1）填空：m＝，n＝；（2）如图，连接OC并延长至点D，使得DC＝OC，连接AD．若△AOC的面积为2，求点D的坐标；（3）如图，BC＝OB，∠ABO的平分线交线段AO于点E，交线段OC于点F，连接EC．求证：①△ACE为等腰直角三角形；②BF﹣EF＝OC．12．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（1，0），点D 为y轴上一点，点A为第二象限内一动点，且∠BAC＝2∠BDO，BD与AC交于点F，过D作DM⊥AC于点M．（1）求证：∠ABD＝∠ACD．（2）若点E在BA延长线上，求证：AD平分∠CAE．（3）在线段MC上取点G，使DG＝AD，求证：AB＝CG．13．如图（1），在四边形ABCD中，已知∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，AB⊥AD，点E 在CD的延长线上，且∠BAC＝∠DAE．（1）求证：AC＝AE；（2）求证：CA平分∠BCD；（3）如图（2），设AF是△ABC的边BC上的高，试求CE与AF之间的数量关系．14．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点（不与点B，C重合），以AD为边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．设∠BAC＝α，∠BCE ＝β．（1）求证：△CAE≌△BAD；（2）探究：当点D在BC边上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由；（3）如图2，若∠BAC＝90°，CE与BA的延长线交于点F．求证：EF＝DC．15．（1）如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：DE＝DF，AE＝AF．（2）如图2，在（1）的情况下，如果∠MDN＝∠EDF，∠MDN的两边分别与AB、AC 相交于M、N两点，其它条件不变，那么AM，AN，AF有怎样的数量关系？并加以证明．（3）如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC交BC 于D，∠MDN＝120°，ND∥AB，四边形AMDN的周长为．（直接写答案）．参考答案1．（1）证明：∵∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，又∵AC＝BC，CE＝CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠ADC＝∠BEC．（2）如图1，延长DC交AE于F，连BF，∵AE∥BD，∴∠EFC＝∠CDB＝45°．∵EC⊥CD，∠CEF＝∠CFE＝45°，∴EC＝CF．∵∠ACE＝∠BCF，AC＝BC，∴△ACE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∠BFC＝∠AEC＝45°＝∠FDB，∴BF＝BD，∴AE＝BD；（3）如图2，过点C在CD上方作CE⊥CD，CE＝CD，连BE、DE．设AD、BE交于点O，由（1）知△ACD≌△BCE（SAS），∠BEC＝∠ADC＝15°，∴∠DOE＝∠DCE＝90°．又∵∠CED＝∠CDE＝45°，∴＝2，∴∠BED＝30°，∴OD＝DE＝×2＝1，∴＝，OB＝＝，∴AD＝BE＝OB+OE＝+．2．解：（1）结论BM+CN＝BD成立，理由如下：如图②，过点D作DE∥AC交AB于E，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵DE∥AC，∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°，∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°，∴△BDE是等边三角形，∠EDC＝120°，∴BD＝BE＝DE，∠EDN+∠CDN＝120°，∵∠EDM+∠EDN＝∠MDN＝120°，∴∠CDN＝∠EDM，∵D是BC边的中点，∴DE＝BD＝CD，在△CDN和△EDM中，，∴△CDN≌△EDM（ASA），∴CN＝EM，∴BD＝BE＝BM+EM＝BM+CN；（2）上述结论不成立，BM，CN，BD之间的数量关系为：BM﹣CN＝BD；理由如下：如图③，过点D作DE∥AC交AB于E，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴∠NCD＝120°，∵DE∥AC，∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°，∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°，∴△BDE是等边三角形，∠MED＝∠EDC＝120°，∴BD＝BE＝DE，∠NCD＝∠MED，∠EDM+∠CDM＝120°，∵∠CDN+∠CDM＝∠MDN＝120°，∴∠CDN＝∠EDM，∵D是BC边的中点，∴DE＝BD＝CD，在△CDN和△EDM中，，∴△CDN≌△EDM（ASA），∴CN＝EM，∴BD＝BE＝BM﹣EM＝BM﹣CN，∴BM﹣CN＝BD．3．解：（1）如图①连接CF，∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴CF⊥AB，∵BH⊥AB，∴CF∥BH，∴∠CBH＝∠BCF，∵点M是BC的中点，∴BM＝MC，在△BMH和△CMF中，，∴△BMH≌△CMF（ASA），∴BH＝CF，∵AB＝BC，BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∴AF＝CF，∴BH＝AF，∴AF＝CF＝BH＝3，故答案为：3，3；（2）如图②，连接CF，∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴CF⊥AB，∵BH⊥AB，∴CF∥BH，∴∠CBH＝∠BCF，∵点M是BC的中点，∴BM＝MC，在△BMH和△CMF中，，∴△BMH≌△CMF（ASA），∴BH＝CF，∵AB＝BC，BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∴AF＝CF，∴BH＝AF，∴AF＝CF＝BH＝2，故答案为：2，2；（3）从第（1）、（2）中发现AF＝CF＝BH；猜想BH＝1，理由如下：如图③，连接CF，∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴CF⊥AB，∵BH⊥AB，∴CF∥BH，∴∠CBH＝∠BCF，∵点M是BC的中点，∴BM＝MC，在△BMH和△CMF中，，∴△BMH≌△CMF（ASA），∴BH＝CF，∵AB＝BC，BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∴AF＝CF，∴BH＝AF，∴AF＝CF＝BH＝1．4．解：（1）∵△DEF是等边三角形，∴DF＝EF＝DE，∠DFE＝60°，∵BD＝BE，DF＝EF，BF＝BF，∴△DBF≌△EBF（SSS）∴∠DBF＝∠EBF，且∠DBF+∠EBF＝120°，∴∠EBF＝60°，故答案为：60°；（2）结论仍然成立，理由如下：如图2，过点F作FG⊥BC，FH⊥AB，∵∠DFE＝60°，∠ABC＝120°，∴∠FDB+∠FEB＝180°，且∠FEB+∠FEG＝180°，∴∠FDB＝∠FEG，且∠FHD＝∠FGE＝90°，FD＝EF，∴△FDH≌△FEG（AAS）∴FH＝FG，且FG⊥BC，FH⊥AB，∴∠ABF＝∠FBE＝60°；（3）由（2）可知：△FDH≌△FEG，∴DH＝EG，∴BD+BE＝BH+DH+BE＝BH+BG，∵∠ABF＝∠FBE＝60°，FG⊥BC，FH⊥AB，∴∠BFH＝∠BFG＝30°，∴BF＝2BH＝2BG，∴BF＝BH+BG＝BD+BE．5．解：（1）①如图2所示：作点M关于CE的对称点M'，过点M'作M'N⊥BC，垂足为N，交EC于点P，∵点M与点M'关于EC对称，∴MP＝M'P，∴NP+MP＝NP+M'P，∴点N，点P，点M'三点共线，且M'N⊥BC时，NP+MP的值最小；故答案为：作点M关于CE的对称点M'，过点M'作M'N⊥BC，垂足为N，交EC于点P；②∵∠ACB＝120°，BC＝CA，AB＝16，E是AB中点，∴∠B＝30°，BE＝AE＝8，且EM＝2，∴BM'＝10，∵∠B＝30°，M'N⊥BC，∴MN'＝5，∴NP+MP的最小值为5，故答案为：5；（2）如图3，在BE上截取EF＝PE，∵∠BPC＝75°，BC＝BP，∴∠BCP＝∠BPC＝75°，∴∠CBP＝30°，∵∠ACB＝90°，AC＝CB，∴∠CBA＝∠CAB＝45°，∴∠ABP＝15°，∵∠BPC＝∠PBE+∠BEP＝75°，∴∠BEP＝60°，且EF＝PE，∴△PEF是等边三角形，∴PE＝PF＝EF，∠FPE＝60°＝∠PFE，∵∠PFE＝∠PBE+∠BPF，∠PEF＝∠BAC+∠ACE，∴∠BPF＝∠BAC＝45°，∠ACE＝∠PBF＝15°，且BP＝BC＝AC，∴△BPF≌△CAP（ASA）∴PF＝AE，∴PE＝AE，∠PEA＝180°﹣∠BEP＝120°，∴∠EP A＝∠P AE＝30°，∵∠EP A＝∠PCA+∠P AC＝30°，∴∠PCA＝∠P AC＝15°，∴PC＝P A．6．解：（1）∵BC＝5cm，BP＝4cm，∴PC＝1cm，∴AB＝PC，∵DP⊥AP，∴∠APD＝90°，∴∠APB+∠CPD＝90°，∵∠APB+∠CPD＝90°，∠APB+∠BAP＝90°，∴∠BAP＝∠CPD，在△ABP和△PCD中，，∴△ABP≌△PCD，∴BP＝CD＝4cm；（2）PB＝PC，理由：如图2，延长线段AP、DC交于点E，∵DP平分∠ADC，∴∠ADP＝∠EDP．∵DP⊥AP，∴∠DP A＝∠DPE＝90°，在△DP A和△DPE中，，∴△DP A≌△DPE（ASA），∴P A＝PE．∵AB⊥BP，CM⊥CP，∴∠ABP＝∠ECP＝Rt∠．在△APB和△EPC中，，∴△APB≌△EPC（AAS），∴PB＝PC；（3）∵△PDC是等腰三角形，∴△PCD为等腰直角三角形，即∠DPC＝45°，又∵DP⊥AP，∴∠APB＝45°，∴BP＝AB＝1cm，∴PC＝BC﹣BP＝4cm，∴CD＝CP＝4cm，故答案为：4．7．（1）解：如图①中，作CH⊥y轴于H．∵A（2，0），B（0，1），∴OA＝2，OB＝1，∵∠CHB＝∠AOB＝∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠OAB＝90°，∠ABO+∠CBH＝90°，∴∠CBH＝∠OAB，∵AB＝BC，∴△AOB≌△BHC（AAS），∴CH＝OB＝1，OA＝BH＝2，∴OH＝OB+BH＝3，∴C（1，3）．故答案为（1，3）．（2）证明：如图②中，∵△DBE，△ABC都是等腰直角三角形，∴∠DBE＝∠ABC＝90°，BD＝BE，BA＝BC，∴∠DBA＝∠EBC，∴△DBA≌△EBC（SAS），∴EC＝AD．（3）解：如图②中，设CD交AB于J．∵△DBA≌△EBC，C，E，D共线，∴∠BCD＝∠BAD，∵∠BCD+∠CJB＝90°，∠CJB＝∠AJD，∴∠BAD+∠AJD＝90°，∴∠ADJ＝90°，∴CD⊥OA，∵C（1，3），∴OD＝1．（4）解：设F（0，m）．由题意：•|m﹣1|•2＝2，∴m＝3或﹣1，∴F（0，3）或（0，﹣1）8．解：（Ⅰ）结论：BM＝AN，BM⊥AN．理由：如图1中，∵MP＝AP，∠APM＝∠BPN＝90°，PB＝PN，∴△MBP≌△ANP（SAS），∴MB＝AN．延长MB交AN于点C．∵△MBP≌△ANP，∴∠P AN＝∠PMB，∵∠P AN+∠PNA＝90°，∴∠PMB+∠PNA＝90°，∴∠MCN＝180°﹣∠PMB﹣∠PNA＝90°，∴BM⊥AN．（Ⅱ）结论成立理由：如图2中，∵△APM，△BPN，都是等边三角形∴∠APM＝∠BPN＝60°∴∠MPB＝∠APN＝120°，又∵PM＝P A，PB＝PN，∴△MPB≌△APN（SAS）∴MB＝AN．（Ⅲ）如图3中，取PB的中点C，连接AC，AB．∵△APM，△PBN都是等边三角形∴∠APM＝∠BPN＝60°，PB＝PN∵点C是PB的中点，且PN＝2PM，∴PC＝P A＝PM＝PB＝PN，∵∠APC＝60°，∴△APC为等边三角形，∴∠P AC＝∠PCA＝60°，又∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠ABC＝30°，∴∠P AB＝∠P AC+∠CAB＝90°．9．（1）证明：如图1中，作AH⊥AG交BG于H．∵∠BAC＝∠HAG＝90°，∴∠BAH＝∠CAG，∵BG⊥CG，∴∠EAB＝∠EGC＝90°，∵∠AEB＝∠CEG，∴∠ABH＝∠ACG，∵AB＝AC，∴△ABH≌△ACG（ASA），∴AH＝AG，∵AF⊥FG，∠HAG＝90°，∴FH＝FG，∴AF＝FG＝FH．（2）解：结论：AG＝2DF，DF⊥AG．理由：如图2中，连接AD，DG，作DK⊥BG于K．∵∠BAC＝∠BGC＝90°，BD＝CD，∴DA＝DG＝BC，∵DF＝DF，AF＝FG，∴△DF A≌△DFG（SSS），∴∠ADF＝∠GDF，∴DF⊥AG，∵DK∥CG，BD＝DC，∴BK＝KG，∴DK＝CG，∵AE＝CE，∠AFE＝∠CGE，∠AEF＝∠CEG，∴△AEF≌△CGE（AAS），∴AF＝CG＝2DK，∵△ADF≌△GDF，∴∠AFD＝∠GFD＝135°，∵∠AFK＝90°，∴∠DFK＝45°，∴DF＝DK∵AG＝AF，∴AG＝2DF．（3）由（2）可知：CG＝2DK，DF＝DK，∴＝＝10．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）∴∠ABC＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，故答案为：90；（2）∵∠BAC＝60°，AB＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABD＝∠ACB＝60°，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∵∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE＝60°，∴∠BCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝120°，故答案为：120．（3）①α+β＝180°，理由：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC．即∠BAD＝∠CAE．在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE．∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB．∵∠ACE+∠ACB＝β，∴∠B+∠ACB＝β，∵α+∠B+∠ACB＝180°，∴α+β＝180°．②如图1：当点D在射线BC上时，α+β＝180°，连接CE，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠ACE+∠ACB＝∠BAC+∠BCE＝180°，即：∠BCE+∠BAC＝180°，∴α+β＝180°，如图2：当点D在射线BC的反向延长线上时，α＝β．连接BE，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∴∠ABD＝∠ACE＝∠ACB+∠BCE，∴∠ABD+∠ABC＝∠ACE+∠ABC＝∠ACB+∠BCE+∠ABC＝180°，∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB，∴∠BAC＝∠BCE．∴α＝β；综上所述：点D在直线BC上移动，α+β＝180°或α＝β．11．解：（1）∵（m﹣n）2+|m+n﹣8|＝0，∴m＝n＝4，故答案为：4，4；（2）如图1，过点C作CH⊥OA，CG⊥OB，∵点A（0，4）和点B（4，0），∴OA＝OB＝4，＝×4×4＝8，∴S△ABO∵△AOC的面积为2，＝6＝×OB×CG＝×4×CG，∴AO×CH＝×4×CH＝2，S△BOC∴CH＝1，CG＝3，∴点C（1，3），∵DC＝OC，∴点D（2，6）（3）①∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∵BE平分∠ABO，∴∠EBO＝∠EBC，且BE＝BE，OB＝OC，∴△OBE≌△CBE（SAS）∴∠EOB＝∠ECB＝90°，∴∠ACE＝90°，且∠OAB＝45°，∴∠CAE＝∠AEC＝45°，∴AC＝CE，且∠ACE＝90°，∴△ACE是等腰直角三角形；②如图2，作OM平分∠AOB，交BE于点M，∵OM平分∠AOB，∴∠AOM＝∠BOM＝45°，∴∠AOM＝∠BOM＝∠OAB＝∠OBA，∵OB＝OC，BE平分∠ABO，∠ABO＝45°，∴∠OBE＝22.5°，BE⊥OC，∠COB＝∠OCB＝67.5°，∴∠AOC＝22.5°＝∠COM，∴∠AOC＝∠BOM，且OB＝OA，∠OAB＝∠OBM，∴△ACO≌△OMB（ASA）∴BM＝OC，∵∠EFO＝∠MFO＝90°，OF＝OF，∠AOC＝∠COM，∴△EFO≌△MFO（ASA）∴EF＝FM，∴BF﹣EF＝BF﹣FM＝BM＝OC．12．（1）证明：∵B（﹣1，0），C（1，0），∴OB＝OC＝1，∵OD⊥BC，∴BD＝CD，∴∠BDC＝2∠BDO，∵∠BAC＝2∠BDO，∴∠BDC＝∠BAC，∵∠BAC+∠ABD＝∠AFD＝∠BDC+∠ACD，∴∠ABD＝∠ACD．（2）作DN⊥AE，垂足为N．∵DM⊥AC于点M，∴∠DNB＝∠DMC＝90°，在△DNB和△DMC中，，∴△DNB≌△DMC（AAS），∴DN＝DM，又∵DN⊥AE于N，DM⊥AC于点M，∴AD平分∠CAE．（3）∵DG＝AD，∴∠DAG＝∠DGA，∵AD平分∠CAE，∴∠DAG＝∠DAE．∴∠DGA＝∠DAE．∵∠DAE+∠DAB＝∠DGA+∠DGC＝180°，∴∠DAB＝∠DGC，在△DAB和△DGC中，，∴△DAB≌△DGC（AAS）∴AB＝CG．13．（1）证明：如图（1），∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADE+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADE，在△ABC与△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（ASA）∴AC＝AE．（2）证明：如图（1），∵△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，∠BCA＝∠E，∴∠ACD＝∠E，∴∠BCA＝∠E＝∠ACD，即CA平分∠BCD；（3）解：EC＝2AF．证明如下：如图（2），过点A作AM⊥CE，垂足为M，∵AM⊥CD，AF⊥CF，∠BCA＝∠ACD，∴AF＝AM，又∵∠BAC＝∠DAE，∴∠CAE＝∠CAD+∠DAE＝∠CAD+∠BAC＝∠BAD＝90°，∵AC＝AE，∠CAE＝90°，∴∠ACE＝∠AEC＝45°，∵AM⊥CE，∴∠ACE＝∠CAM＝∠MAE＝∠E＝45°，∴CM＝AM＝ME，又∵AF＝AM，∴EC＝2AF．14．（1）证明：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC，∴∠CAE＝∠BAD．∵AD＝AE，AC＝AB，∴△CAE≌△BAD（SAS）．（2）解：α+β＝180°，理由如下：由△CAE≌△BAD，∴∠ACE＝∠B．∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB．∴∠ACE＝∠B＝∠ACB．∴∠BCE＝β＝2∠B，在△ABC中，∠BAC＝α＝180°﹣2∠B．∴α+β＝180°．（3）证明：由（1）知，△CAE≌△BAD，∴CE＝BD．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，由（2）得，∠BCF+∠BAC＝180°．∴∠BCF＝90°．∴∠F＝∠B＝45°，∴CF＝CB．∴CF﹣CE＝CB﹣BD．∴EF＝DC．15．（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°，在△ADE和△ADF中，，∴△ADE≌△ADF（AAS），∴DE＝DF，AE＝AF；（2）解：AM+AN＝2AF；证明如下：由（1）得DE＝DF，∵∠MDN＝∠EDF，∴∠MDE＝∠NDF，在△MDE和△NDF中，，∴△MDE≌△NDF（ASA），∴ME＝NF，∴AM+AN＝（AE+ME）+（AF﹣NF）＝AE+AF＝2AF；（3）解：过点D作DE⊥AB于E，由（2）可知AM+AN＝2AC＝2×6＝12，∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交BC于D，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∵ND∥AB，∴∠ADN＝∠BAD＝30°，∴∠CAD＝∠ADN，∴AN＝DN，在Rt△CDN中，DN＝2CN，∵AC＝6，∴DN＝AN＝×6＝4，∵∠BAC＝60°，∠MDN＝120°，∴∠CDE＝∠MDN，∴DM＝DN＝4，∴四边形AMDN的周长＝12+4×2＝20．故答案为：20．。

1三角形及其有关概念【知识精读】1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2. 三角形中的几条重要线段：（1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心）（2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心）（3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心）3. 三角形的主要性质（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边；（2）三角形的内角之和等于180°（3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和；（4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角；（5）三角形具有稳定性。

4. 补充性质：在∆ABC中，D是BC边上任意一点，E是AD上任意一点，则⋅=⋅。

S S S SABE CDE BDE CAE∆∆∆∆AEB CD三角形是最常见的几何图形之一，在工农业生产和日常生活中都有广泛的应用。

三角形又是多边形的一种，而且是最简单的多边形，在几何里，常常把多边形分割成若干个三角形，利用三角形的性质去研究多边形。

实际上对于一些曲线，也可以利用一系列的三角形去逼近它，从而利用三角形的性质去研究它们。

因此，学好本章知识，能为以后的学习打下坚实的基础。

5. 三角形边角关系、性质的应用【分类解析】例1. 锐角三角形ABC中，∠C＝2∠B，则∠B的范围是（）A. 1020︒<<︒∠BB. 2030︒<<︒∠BC. 3045︒<<︒∠BD. 4560︒<<︒∠B分析：因为∆ABC 为锐角三角形，所以090︒<<︒∠B 又∠C ＝2∠B ，∴︒<<︒0290∠B ∴︒<<︒045∠B又∵∠A 为锐角，()∴=︒-+∠∠∠A B C 180为锐角 ∴+>︒∠∠B C 90∴>︒390∠B ，即∠B >︒30 ∴︒<<︒3045∠B ，故选择C 。

三角形培优练习题1已知：AB=4 , AC=2 , D是BC中点，AD是整数，求AD2 已知：BC=DE，/ B= / E,/ C= / D , F 是CD 中点，求证:A 3 已知：/ 1 = / 2, CD=DE , EF//AB，求证：EF=AC4 已知：AD 平分/ BAC , AC=AB+BD，求证：/ B=2 / C5 已知：AC 平分/ BAD , CE丄AB，/ B+ / D=180 °，求证：AE=AD+BE6如图，四边形ABCD中，AB // DC, BE、CE分别平分/ ABC、/ BCD ,且点E在AD上。

求证：BC=AB+DC。

7 已知：AB=CD，/ A= / D，求证：/ B= / C8.P 是/ BAC 平分线AD 上一点，AC>AB，求证：PC-PB<AC-AB9 已知，E 是AB 中点，AF=BD , BD=5 , AC=7，求DC10.如图，已知AD // BC ,Z PAB的平分线与/ CBA的平分线相交于E, CE的连线交AP 于D .求证：AD + BC=AB.11如图，△ ABC中，AD是/ CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：/ C=2/ B12 如图：AE BC交于点M F 点在AMk, BE// CF, BE=CF求证：人皿是厶ABC的中线。

E13已知：如图，AB=AC, BD AC, CE AB，垂足分别为D、E, BD、CE相交于点F。

求证：BE =CD.C14在厶ABC中，ACB 90 , AC BC，直线MN经过点C，且AD MN于D ,BE MN于E •⑴当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：① ADC也CEB :②DE AD BE ;(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，(1)中的结论还成立吗？若成立,15 如图所示，已知AE! AB, AF丄AC, AE=AB AF=AC 求证：(1) EC=BF ( 2) EC丄BF请给出证明；若不成立，说明理由B C16.如图，已知AC // BD , EA、EB分别平分/ CAB和/ DBA , CD过点E,贝U AB与AC+BD 相等吗？请说明理由17.如图9所示，△ ABC是等腰直角三角形，/ ACB = 90°, AD是BC边上的中线，过C 作AD的垂线，交AB于点E,交AD于点F,求证：/ ADC = Z BDE .图9全等三角形证明经典(答案)1. 延长AD 至U E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6又AD 是整数,则AD=52 证明：连接BF 和EF。

八年级数学第十一章三角形1．已知，如图，在△ ABC 中，AD ，AE 分别是 △ ABC 的高和角平分线， 若∠B=30°，∠C=50°.求∠DAE 的度数。

2.如图，已知D 为△ABC 边BC 延长线上一点,DF ⊥AB 于F 交 AC 于E ，∠A=35°,∠D=42°，求∠ACD 的度数。

3.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠B=∠C ，∠BAD=40°,且∠ADE=∠AED, 求∠CDE 的度数。

4。

在△ABC 中，∠A=40°，D 是BC 延长线上一点，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于E ，求∠E 的度数．5在△ABC 中，D 为BC 上一点,∠BAD=∠ABC,∠ADC=∠ACD ，若∠BAC=63°，试求∠DAC 、∠ADC 的度数AE CDB 第1题图FDCBEA 第2题图D EA第3题图 ABC DE第4题ABCD 5参考答案1.∠DAE=10°2。

解：因为∠AFE=90°,所以∠AEF=90°—∠A=90°—35°=55°。

所以∠CED=•∠AEF=55°, 所以∠ACD=180°—∠CED-∠D=180°-55°-42=83°.3.解：设∠DAE=x,则∠BAC=40°+x. 因为∠B=∠C,所以2∠2=180°—∠BAC ，∠C=90°—12∠BAC=90°—12（40°+x ）. 同理∠AED=90°-12∠DAE=90°—12x. ∠CDE=∠AED-∠C=（90°-12x ）-［90°—12（40°+x)］=20°.4. 解：∠E=180°－（ACD ACB ABC 2121+∠+∠）=180°－（)(2121ABC A ACB ABC ∠+∠+∠+∠）=180°－（A ACB ABC ∠+∠+∠21) =A ∠21=4021⨯° =20°5。

2022年人教版初中数学8年级上册《三角形》全章复习与巩固（基础）巩固练习【巩固练习】一、选择题1．一位同学用三根木棒拼成如图所示的图形，其中符合三角形概念的是()2．如图所示的图形中，三角形的个数共有()A．1个B．2个C．3个D．4个3．一个多边形的对角线共有27条，则这个多边形的边数是（）A．8B．9C．10D．114．已知三角形两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是()A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm5．下列不能够镶嵌的正多边形组合是（）A．正三角形与正六边形B．正方形与正六边形C．正三角形与正方形D．正五边形与正十边形6．下列说法不正确的是()A．三角形的中线在三角形的内部B．三角形的角平分线在三角形的内部C．三角形的高在三角形的内部D．三角形必有一高线在三角形的内部7．(四川绵阳)王师傅用4根木条钉成一个四边形木架．如图所示，要使这个木架不变形，他至少要再订上几根木条?()A．0根B．1根C．2根D．3根8．（2020•郑州模拟）如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠A=50°，则∠BOC等于（）A．110°B．115°C．120°D．130°二、填空题9．三角形的外角和等于它的内角和的倍；2013边形的外角和是．10．如果三角形的两边长分别是3cm和6cm，第三边长是奇数，那么这个三角形的第三边长为________cm．11．已知多边形的内角和为540°，则该多边形的边数为；这个多边形一共有条对角线．12.一个多边形的每个外角都是18°，则这个多边形的内角和为．13.如图，AD、AE分别是△ABC的高和中线，已知AD＝5cm，CE＝6cm，则△ABE和△ABC的面积分别为________________．14.一个多边形的内角和与一个外角的和为1500°，则这是个边形．15.（2020春•南京校级月考）如图：已知△ABC的∠B和∠C的外角平分线交于D，∠A=40°，那么∠D=度．16．在△ABC中，∠B=60°，∠C=40°，AD、AE分别是△ABC的高线和角平分线，则∠DAE 的度数为_________.三、解答题17．判断下列所给的三条线段是否能围成三角形?(1)5cm，5cm，a cm(0＜a＜10)；(2)a+1，a+2，a+3；(3)三条线段之比为2:3:5．18．（2020春•丹江口市期末）如图，试求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．19.多边形内角和与某一个外角的度数总和是1350°，求多边形的边数．20.利用三角形的中线，你能否将图中的三角形的面积分成相等的四部分(给出3种方法)?【答案与解析】一、选择题1.【答案】D；2.【答案】C；【解析】三个三角形：△ABC,△ACD,△ABD．3.【答案】B；【解析】根据多边形的对角线的条数公式列式，把所给数值代入进行计算即可求解．4.【答案】B；【解析】根据三角形的三边关系进行判定．5.【答案】B；【解析】A、正六边形的内角是120°，正三角形内角是60°，能组成360°，所以能镶嵌成一个平面，故本选项不合题意；B、正六边形的内角是120°，正方形内角是90°，不能组成360°，所以不能镶嵌成一个平面，故本选项符合题意；C、正三角形的内角为60°，正方形的内角为90°，能组成360°，所以能镶嵌成一个平面，故本选项不合题意；D、正五边形的内角为108°，正十边形的内角为144°，能组成360°，所以能镶嵌成一个平面，故本选项不合题意．故选B．6.【答案】C；【解析】三角形的三条高线的交点与三条角平分线的交点一定都在三角形内部，但三角形的三条高线的交点不确定：当三角形为锐角三角形时，则交点一定在三角形的内部；当三角形为钝角三角形时，交点一定在三角形的外部．7.【答案】B；8.【答案】B；【解析】解：∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣50°=130°，∵BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×130°=65°，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣65°=115°．故选B．二、填空题9．【答案】2，360°；【解析】三角形内角和为180°，任意多边形外角和等于360°．10.【答案】5cm或7cm；11.【答案】5，5；【解析】根据n边形的内角和定理得到关于n的方程∴（n﹣2）•180°=540°，解方程求得n，然后利用n边形的对角线条数为计算即可．12.【答案】3240°；【解析】由一个多边形的每个外角都等于18°，根据n边形的外角和为360°计算出多边形的边数n，然后根据n边形的内角和定理计算即可．13．【答案】15cm2，30cm2；【解析】△ABC的面积是△ABE面积的2倍．14．【答案】十；【解析】设这个多边形的边数为n，一个外角为0°至180°之间，则依题意可得（n﹣2）×180°+一个外角=1500°，解得只有n=10时符合要求．15.【答案】70°．【解析】解：∵∠A=40°，∴△ABC的∠B和∠C的外角和为：180°﹣∠1+180°﹣∠2=360°﹣（∠1+∠2）=360°﹣（180°﹣40°）=360°﹣140°=220°．由于CD、BD的平分线交于点D，则∠4+∠5=×220°=110°，根据三角形内角和定理，∠D=180°﹣110°=70°．16.【答案】10°．三、解答题17.【解析】解：(1)5+5＝10＞a(0＜a＜10)，且5+a＞5，所以能围成三角形；(2)当-1＜a＜0时，因为a+1+a+2＝2a+3＜a+3，所以此时不能围成三角形，当a＝0时，因为a+1+a+2＝2a+3＝3，而a+3＝3，所以a+1+a+2＝a+3，所以此时不能围成三角形．当a ＞0时，因为a+1+a+2＝2a+3＞a+3．所以此时能围成三角形．(3)因为三条线段之比为2:3:5，则可设三条线段的长分别是2k，3k，5k，则2k+3k＝5k 不满足三角形三边关系．所以不能围成三角形．18.【解析】解：连结BC，∵∠E+∠D+∠EFD=∠1+∠2+∠BFC=180°，又∵∠EFD=∠BFC，∴∠E+∠D=∠1+∠2，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠ABD+∠ACE+∠1+∠2=∠ABC+∠A+∠ACB=180゜．19.【解析】解：设这个外角度数为x，根据题意，得（n﹣2）×180°+x=1350°，解得：x=1350°﹣180°n+360°=1710°﹣180°n，由于0＜x＜180°，即0＜1710°﹣180°n＜180°，解得8.5＜n＜9.5，所以n=9．故多边形的边数是9．20.【解析】解：如图《三角形》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1.认识三角形并能用符号语言正确表示三角形，理解并会应用三角形三边之间的关系．2.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，通过作三角形的三条高、中线、角平分线，提高学生的基本作图能力，并能运用图形解决问题．3.能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.4.通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，知道四边形没有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用．5.了解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念；掌握多边形内角和及外角和，并能灵活运用公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的有关概念和性质1.三角形三边的关系：定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．2.三角形按“边”分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形　底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形　等边三角形3.三角形的重要线段：（1）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.（2）三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形.（3）三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.要点二、三角形的稳定性如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．要点诠释：(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形．要点三、三角形的内角和与外角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．推论：1.直角三角形的两个锐角互余2.有两个角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点四、多边形及有关概念1.多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可.如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；(2)n边形共有(3)2n n条对角线．要点五、多边形的内角和及外角和公式1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)．要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；(2)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数.2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.要点诠释：(1)外角和公式的应用：①已知外角度数，求正多边形边数；②已知正多边形边数，求外角度数.(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：①n 边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n 是正整数)，可见多边形内角和与边数n 有关，每增加1条边，内角和增加180°.要点六、镶嵌的概念和特征1、定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)．这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同.要点诠释：（1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边.(2)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.(3)只用一种正多边形镶嵌地面，当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形.事实上，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用.【典型例题】类型一、三角形的三边关系1.(四川南充)三根木条的长度如图所示，能组成三角形的是()【思路点拨】三角形三边关系的性质，即三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．注意这里有“两边”指的是任意的两边，对于“两边之差”它可能是正数，也可能是负数，一般取“差”的绝对值．【答案】D【解析】要构成一个三角形．必须满足任意两边之和大于第三边．在运用时习惯于检查较短的两边之和是否大于第三边．A、B、C 三个选项中，较短两边之和小于或等于第三边．故不能组成三角形．D 选项中，2cm+3cm＞4cm．故能够组成三角形．【总结升华】判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：①判断出较长的一边；②看较短的两边之和是否大于较长的一边，大于则能够成三角形，不大于则不能够成三角形．举一反三【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.(1)3，4，5；(2)3，5，9；(3)5，5，8.【答案】（1）能；（2）不能；（3）能. 2.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______.【答案】59c <<【解析】三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是│2-7│<c<2+7,即5<c<9．【总结升华】三角形的两边a、b，那么第三边c的取值范围是│a-b│<c<a+b.举一反三【变式】(浙江金华)已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度可以是________(写出一个即可)【答案】5，注：答案不唯一，填写大于4，小于12的数都对．类型二、三角形中重要线段3.(江苏连云港)小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别为4，9，12，如何求这个三角形的面积?”小明提示：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是()．【答案】C【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．解答本题首先应找到最长边，再找到最长边所对的顶点．然后过这个顶点作最长边的垂线即得到三角形的高．【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高，并且三条高所在的直线交于一点．这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部．举一反三【变式】如图所示，已知△ABC，试画出△ABC各边上的高．【答案】解：所画三角形的高如图所示．4.如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC＝8cm，求边AC的长．【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD＝BD，②△BCD的周长比△ACD 的周长大3．【答案与解析】解：依题意：△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm，故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3．又∵CD 为△ABC 的AB 边上的中线，∴AD＝BD，即BC-AC＝3．又∵BC＝8，∴AC＝5．答：AC 的长为5cm．【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD＝BD 是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法．举一反三【变式】如图所示，在△ABC 中，D、E 分别为BC、AD 的中点，且4ABC S △，则S 阴影为________．【答案】1类型三、与三角形有关的角5、（2020春•新泰市期末）已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 平分线，∠B=50°，∠DAE=10°，（1）求∠BAE 的度数；（2）求∠C 的度数．【思路点拨】（1）根据AD 是BC 边上的高和∠DAE=10°，求得∠AED 的度数；再进一步根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和求解；（2）根据（1）的结论和角平分线的定义求得∠BAC 的度数，再根据三角形的内角和定理就可求得∠C 的度数．【答案与解析】解：（1）∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADE=90°．∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°，∴∠AED=180°﹣∠ADE﹣∠DAE=180°﹣90°﹣10°=80°．∵∠B+∠BAE=∠AED，∴∠BAE=∠AED﹣∠B=80°﹣50°=30°．（2）∵AE 是∠BAC 平分线，∴∠BAC=2∠BAE=2×30°=60°．∵∠B+∠BAC+∠C=180°，∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣50°﹣60°=70°．【总结升华】本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义以及三角形的外角性质．举一反三：【变式】已知，如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.【答案】解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得：x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中，BD是AC边上的高，∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°－90°-72°=18°类型四、三角形的稳定性6.如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、CD)，这样做的数学道理是什么?【答案与解析】解：三角形的稳定性．【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用．实际生活中，将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性．类型五、多边形内角和及外角和公式7．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形？【思路点拨】本题实际告诉了这个多边形的内角和是.【答案与解析】设这个多边形是边形，则它的内角和是，∴，解得.∴这个多边形是十二边形.【总结升华】本题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合运用.只要设出边数，根据条件列出关于的方程，求出的值即可，这是一种常用的解题思路.举一反三【变式】（2015•徐州）若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是．【答案】9.解：∵正多边形的一个内角是140°，∴它的外角是：180°﹣140°=40°，边数：360°÷40°=9．类型六、多边形对角线公式的运用8．一个十二边形有几条对角线.【思路点拨】根据多边形对角线条数公式，把边数代入计算即可．【答案与解析】解：∵过十二边形的任意一个顶点可以画9条对角线，∴十二个顶点可以画12×9条对角线，但每条对角线在每个顶点都数了一次，∴实际对角线的条数应该为12×9÷2＝54（条）∴十二边形的对角线共有54条.【总结升华】对于一个n边形的对角线的条数，我们可以总结出规律条，牢记这个公式，以后只要用相应的n的值代入即可求出对角线的条数，要记住这个公式只有在理解的基础之上才能记得牢.举一反三【变式】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（）.A．6B．7C．8D．9【答案】C;类型七、镶嵌问题9．分别用形状、大小完全相同的①三角形木板；②四边形木板；③正五边形木板；④正六边形木板作平面镶嵌，其中不能镶嵌成地板的是()A、①B、②C、③D、④【答案】C【总结升华】用多边形组合成平面图形，实质上是相关多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题.《三角形》全章复习与巩固（提高）巩固练习【巩固练习】一、选择题1．如果三条线段的比是：①1:3:4；②1:2:3；③1:4:6；④3:3:6；⑤6:6:10；⑥3:4:5，其中可构成三角形的有()A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列正多边形能够进行镶嵌的是（）A．正三角形与正五边形B．正方形与正六边形C．正方形与正八边形D．正六边形与正八边形3．一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别为5和9，则满足上述条件的三角形个数为()A．2个B．4个C．6个D．8个4．如图，如果把△ABC沿AD折叠，使点C落在边AB上的点E处，那么折痕(线段AD)是△ABC 的()A．中线B．角平分线C．高D．既是中线，又是角平分线5．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，则下列说法中错误的是()A．在△ABC中，AC是BC边上的高B．在△BCD中，DE是BC边上的高C．在△ABE中，DE是BE边上的高D．在△ACD中，AD是CD边上的高6．每个外角都相等的多边形，如果它的一个内角等于一个外角的9倍，则这个多边形的边数()A．19B．20C．21D．227．给出下列图形：其中具有稳定性的是()A．①B．③C．②③D．②③④8．（2020春•历城区期中）下面有关三角形的内角的说法正确的是（）A.一个三角形中可以有两个直角B.一个三角形的三个内角能都大于70°C.一个三角形的三个内角能都小于50°D.三角形中最大的内角不能小于60°二、填空题10．若a、b、c表示△ABC的三边长，则|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|＝________．11．三角形的两边长分别为5cm和12cm，第三边与前两边中的一边相等，则三角形的周长为________．12．一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数为．13．如图，在△ABC中，D是BC边上的任意一点，AH⊥BC于H，图中以AH为高的三角形的个数为______个．14.用正三角形和正方形镶嵌平面，每一个顶点处有个正三角形和个正方形．15．（2020•金平区一模）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足+（b﹣4）2=0，则第三边c的取值范围是．16．如图，是用四根木棒搭成的平行四边形框架，AB＝8cm，AD＝6cm，使AB固定，转动AD，当∠DAB＝_____时，ABCD的面积最大，最大值是________．三、解答题17．（2020春•福泉市校级期中）如图，已知AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，∠BEF 与∠EFD的平分线相交于点P，求证：EP⊥FP．18．一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2520°，求原多边形边数．19．已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，（1）求∠BAC的度数．（2）△ABC是什么三角形．20．（2020春•苏州期末）观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由．（1）如图，△ABC中，P为边BC上一点，试观察比较BP+PC与AB+AC的大小，并说明理由．（2）将（1）中点P移至△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．（3）将（2）中点P变为两个点P1、P2得下图，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．（4）将（3）中的点P1、P2移至△ABC外，并使点P1、P2与点A在边BC的异侧，且∠P1BC＜∠ABC，∠P2CB＜∠ACB，得图，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．（5）若将（3）中的四边形BP1P2C的顶点B、C移至△ABC内，得四边形B1P1P2C1，如图⑤，试观察比较四边形B1P1P2C1的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】根据两边之和大于第三边：⑤⑥满足.2.【答案】C；【解析】解：A、正三角形的每个内角是60°，正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，60m+108n=360°，m=6﹣n，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能够进行镶嵌，不符合题意；B、正方形的每个内角是90°，正六边形的每个内角是120°，90m+120n=360°，m=4﹣n，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能够进行镶嵌，不符合题意；C、正方形的每个内角是90°，正八边形的每个内角为：180°﹣360°÷8=135°，∵90°+2×135°=360°，∴能够组成镶嵌，符合题意；D、正八边形的每个内角为：180°﹣360°÷8=135°，正六边形的每个内角是120°，135m+120n=360°，n=3﹣m，显然m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能够进行镶嵌，不符合题意．3.【答案】B；【解析】5+9＝14，所以第三边长应为偶数，大于4而小于14的偶数有4个，所以4.【答案】B；【解析】折叠前后的图形完全相同.5.【答案】C；【解析】三角形高的定义.6.【答案】B；【解析】设外角为x则内角为9x，因为每一个内角与它的外角互为邻补角∴x+9x=180°；x=18°∵多边形的外角和为360°∴360°÷18°=20∴此多边形为20边形7.【答案】C；【解析】均是由三角形构成的图形，具有稳定性.8.【答案】D；【解析】解：∵三角形内角和=180°，90°+90°=180°，∴一个三角形中不可以由两个直角，∴A不正确；∵三角形内角和=180°，70°+70°+70°=210°，∴一个三角形的三个内角不能都大于70°，∴B不正确；∵三角形内角和=180°，50°+50°+50°=150°，∴一个三角形的三个内角不能多小于50°，∴C不正确；∵三角形内角和=180°，∴三角形中最大的内角不能小于60°，∴D正确；故选：D．二、填空题++；10.【答案】a b c【解析】根据三角形的三边关系可以去掉绝对值，再对原式进行化简．11.【答案】29cm；12.【答案】7；13.【答案】6；14．【答案】3；2；【解析】正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，∵3×60°+2×90°=360°，∴用正三角形和正方形镶嵌平面，每一个顶点处有3个正三角形和2个正方形．15.【答案】5＜c＜13．【解析】解：根据题意得：，解得：，则9﹣4＜c＜9+4，即5＜c＜13．16.【答案】90°，48cm2；三、解答题17.【解析】证明：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD=180°，又EP、FP分别是∠BEF、∠EFD的平分线，∴∠PEF=∠BEF，∠EFP=∠EFD，∴∠PEF+∠EFP=（∠BEF+∠EFD）=90°，∴∠P=180°﹣（∠PEF+∠EFP）=180°﹣90°=90°，即EP⊥FP．18.【解析】解：设新多边形的边数为n，则（n﹣2）•180°=2520°，解得n=16，①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15，②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16，③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17，所以多边形的边数可以为15，16或17．故答案为：15，16或17．19.【解析】解：（1）当高AD在△ABC的内部时(如图(1))．因为∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，所以∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝70°+20°＝90°．当高AD在△ABC的外部时(如图(2))．因为∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，所以∠BAC＝∠BAD-∠CAD＝70°-20°＝50°．综上可知∠BAC的度数为90°或50°．（2）如图(1)，当AD在△ABC的内部时，因为∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝70°+20°＝90°，所以△ABC是直角三角形．如图(2)，当AD在△ABC的外部时，因为∠BAC＝∠BAD-∠CAD＝70°-20°＝50°，∠ABC＝90°-∠BAD＝90°-70°＝20°，所以∠ACB＝180°-∠ABC-∠BAC＝180°-50°-20°＝110°．所以△ABC为钝角三角形．综上可知，△ABC是直角三角形或钝角三角形．20.【解析】解：（1）BP+PC＜AB+AC，理由：三角形两边之和大于第三边，或两点之间线段最短．（2）△BPC的周长＜△ABC的周长．理由如下：如图，延长BP交AC于M，在△ABM中，BP+PM＜AB+AM，在△PMC中，PC＜PM+MC，两式相加得BP+PC＜AB+AC，于是得：△BPC的周长＜△ABC的周长．（3）四边形BP1P2C的周长＜△ABC的周长．理由如下：如图，分别延长BP1、CP2交于M，由（2）知，BM+CM＜AB+AC，又P1P2＜P1M+P2M，可得，BP1+P1P2+P2C＜BM+CM＜AB+AC，可得结论．或：作直线P1P2分别交AB、AC于M、N（如图），△BMP1中，BP1＜BM+MP1，△AMN中，MP1+P1P2+P2M＜AM+AN，△P2NC中，P2C＜P2N+NC，三式相加得：BP1+P1P2+P2C＜AB+AC，可得结论．（4）四边形BP1P2C的周长＜△ABC的周长．理由如下：将四边形BP1P2C沿直线BC翻折，使点P1、P2落在△ABC内，转化为（3）情形，即可．（5）比较四边形B1P1P2C1的周长＜△ABC的周长．理由如下：如图，分别作如图所示的延长线交△ABC的边于M、N、K、H，在△BNM中，NB1+B1P1+P1M＜BM+BN，又显然有，B1C1+C1K＜NB1+NC+CK，及C1P2+P2H＜C1K+AK+AH，及P1P2＜P2H+MH+P1M，将以上各式相加，得B1P1+P1P2+P2C+B1C1＜AB+BC+AC，于是得结论．《三角形》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1.认识三角形并能用符号语言正确表示三角形，理解并会应用三角形三边之间的关系.2.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，通过作三角形的三条高、中线、角平分线，提高学生的基本作图能力，并能运用图形解决问题．3.能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.4.通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，知道四边形没有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用．5.了解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念；掌握多边形内角和及外角和，并能灵活运用公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的有关概念和性质1.三角形三边的关系：定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．2.三角形按“边”分类：。

《三角形》全章复习与巩固（提高）【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．要点二、三角形的分类【高清课堂：与三角形有关的线段三角形的分类】1.按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形　锐角三角形斜三角形　钝角三角形要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 2.按边分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形　底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形　等边三角形 要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ③等边三角形：三边都相等的三角形. 要点三、三角形的三边关系1.定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边. 要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系． 2.三角形的重要线段：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，这点称为三角形的重心． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外. 要点四、全等三角形的性质与判定 1.全等三角形的性质全等三角形对应边相等，对应角相等. 2.全等三角形的判定定理全等三角形判定1——“边边边”：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）. “全等三角形判定2——“角边角”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.全等三角形判定3——“角角边”：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）全等三角形判定4——“边角边”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.要点诠释：（1）如何选择三角形证全等，可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.要点五、用尺规作三角形1.基本作图利用尺规作图作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角，并利用全等三角形的知识作一个三角形与已知三角形全等；要点诠释：要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达.【典型例题】类型一、三角形的内角和1.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数是多少? 【思路点拨】按△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况，分类讨论．【答案与解析】解：分两种情况讨论：（1）当△ABC为锐角三角形时，如图所示，在△ABD中，∵ BD是AC边上的高(已知)，∴∠ADB＝90°(垂直定义)．又∵∠ABD＝30°(已知)，∴∠A＝180°-∠ADB-∠ABD＝180°-90°-30°＝60°．又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，∴∠ABC+∠C＝120°，又∵∠ABC＝∠C，∴∠C＝60°．(2)当△ABC为钝角三角形时，如图所示．在直角△ABD中，∵∠ABD＝30°(已知)，所以∠BAD＝60°．∴∠BAC＝120°．又∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，∴∠ABC+∠C＝60°．∴∠C＝30°．综上，∠C的度数为60°或30°．【总结升华】在解决无图的几何题的过程中，只有正确作出图形才能解决问题．这就要求解答者必须具备根据条件作出图形的能力；要注意考虑图形的完整性和其他各种可能性，双解和多解问题也是我们在学习过程中应该注意的一个重要环节．举一反三【变式】已知：如图，在ΔABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，BD、CE分别是边AC、AB上的高，BD、CE相交于H，则∠BHC的度数为 .【答案】135°.类型二、三角形的三边关系及分类2.已知：a、b、c为三角形的三边长，化简：|b+c﹣a|+|b﹣c﹣a|﹣|c﹣a﹣b|﹣|a﹣b+c|.【思路点拨】根据三角形的三边关系得出a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，再去绝对值符号，合并同类项即可．【答案与解析】解：∵a、b、c为三角形三边的长，∴a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，∴原式=|（b+c）﹣a|+|b﹣（c+a）|﹣|c﹣（a+b）|﹣|（a+c）﹣b|=b+c﹣a+a+c﹣b﹣a﹣b+c+b﹣a﹣c=2c﹣2a．【总结升华】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．举一反三【变式】一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为．【答案】8．解：设第三边长为x，∵两边长分别是2和3，∴3﹣2＜x＜3+2，即：1＜x＜5，∵第三边长为奇数，∴x=3，∴这个三角形的周长为2+3+3=8.3.如图，O是△ABC内一点，连接OB和OC．(1)你能说明OB+OC＜AB+AC的理由吗?(2)若AB＝5，AC＝6，BC＝7，你能写出OB+OC的取值范围吗?【答案与解析】解：(1)如图，延长BO交AC于点E，根据三角形的三边关系可以得到，在△ABE中，AB+AE＞BE；在△EOC中，OE+EC＞OC，两不等式相加，得AB+AE+OE+EC＞BE+OC．由图可知，AE+EC＝AC，BE＝OB+OE．所以AB+AC+OE＞OB+OC+OE，即OB+OC＜AB+AC．(2)因为OB+OC＞BC，所以OB+OC＞7．又因为OB+OC＜AB+AC，所以OB+OC＜11，所以7＜OB+OC＜11．【总结升华】充分利用三角形三边关系的性质进行解题．4. 有一个等腰三角形，它的两个角的度数比是1：2，这个三角形按角分类可能是什么三角形？【思路点拨】因为该等腰三角形的两个角的度数比是1：2，则这个三角形三个角度数的比为1：2：2或1：1：2，进而根据按比例分配知识，分别求出三角形的最大角的度数，进而根据三角形的分类进行判断即可．【答案与解析】解：（1）1+1+2=4，180×24=90°∴该三角形是直角三角形；（2）又1+2+2=5，180×25=72°∵最大角为72度，是锐角，∴该三角形的三个角都是锐角，即该三角形是锐角三角形；综上所述：该三角形是直角三角形或锐角三角形．【总结升华】解答此题用到的在知识点：（1）三角形的内角和180度；（2）按比例分配知识；（3）三角形的分类；举一反三【变式】一个三角形的三个角的度数比是1：2：3，这个三角形中最小的一个角是度，按角分类，这个三角形是三角形．【答案】30；直角.类型三、三角形的重要线段5. 如图13，△ABC中，∠A = 40°，∠B = 72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，求∠FCD的度数.【思路点拨】由图可知∠CDF是Rt△CDF的一个内角，求∠CDF可先求出∠FCD，△CDB为直角三角形，所以可以求出∠BCD，而∠FCD=∠BCE－∠BCD.【答案与解析】在△ABC中，∠A = 40°，∠B = 72°，由三角形的内角和定理得：∠BCA=180°-72°-40°=68°又CE平分∠ACB，∴∠BCE=∠BCA=34°，在中，CD⊥AB于D，∠B = 72°∴∠BCD= 90°- 72°= 18°∴∠FCD=∠BCE－∠BCD=34°-18°=16°.即∠FCD =16°.【总结升华】这是三角形内角和定理在直角三角形中的应用，直角三角形两个锐角互余，所以在直角三角形中，已知一个锐角的大小，就可以求出另一个锐角的度数.举一反三【变式】如图14，△ABC中，∠B＝34°，∠ACB＝104°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC 的平分线，求∠DAE的度数．【答案】∠DAE=35°类型四、全等三角形的性质和判定6. 如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．【思路点拨】根据同角的余角相等可得到∠3=∠5，结合条件可得到∠1=∠D，再加上BC=CE，可证得结论．【答案与解析】解：∵∠BCE=∠ACD=90°，∴∠3+∠4=∠4+∠5，∴∠3=∠5，在△ACD中，∠ACD=90°，∴∠2+∠D=90°，∵∠BAE=∠1+∠2=90°，∴∠1=∠D，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS）．【总结升华】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．举一反三：【变式】已知：如图所示，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC．求证：CD＝2CE．【答案】证明：延长CE至F使EF＝CE，连接BF．∵ EC为中线，∴ AE＝BE．在△AEC与△BEF中，,,,AE BEAEC BEF CE EF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEC≌△BEF（SAS）．∴ AC＝BF，∠A＝∠FBE．（全等三角形对应边、角相等）又∵∠ACB＝∠ABC，∠DBC＝∠ACB＋∠A，∠FBC＝∠ABC＋∠A．∴ AC＝AB，∠DBC＝∠FBC．∴ AB＝BF．又∵ BC为△ADC的中线，∴ AB＝BD．即BF＝BD．在△FCB与△DCB中，,,,BF BDFBC DBC BC BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FCB≌△DCB（SAS）．∴ CF＝CD．即CD＝2CE．类型五、全等三角形判定的实际应用7. 为在池塘两侧的A，B两处架桥，要想测量A，B两点的距离，有以下两种方法：（1）如图所示，找一处看得见A，B的点P，连接AP并延长到D，使PA=PD，连接BP 并延长到C，使PC=PB．测得CD=35m，就确定了AB也是35m，说明其中的理由；（2）如图所示，也可先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C，D•两点，•使BC=CD．接着过点D作BD的垂线DE交AC的延线长于E，则测出DE的长即为A，B的距离．•你认为这种方案是否切实可行，请说出你的理由．作BD⊥AB，ED⊥BF的目的是什么？若满足∠ABD=∠BDE≠90°，此方案是否仍然可行？为什么？【思路点拨】本题两种测量方案实际上是利用三角形全等的知识构造两个全等三角形，通过测量这个三角形中与AB相等的线段的长，从而得知AB的距离．【答案】（1）由△APB≌△DPC，所以CD=AB．（2）由△ACB≌△ECD得DE=AB．目的是使DE∥AB，可行．【总结升华】对于实际应用问题，首先要能将它化成数学模型，再根据数学知识去解决．类型六、用尺规作三角形8.已知：线段a，b求作：△ABC，使AB=a，BC=b，AC=2a．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）word 可编辑文档11 【思路点拨】首先画线段AC=2a ，再以A 为圆心，a 长为半径画弧，再以C 为圆心，b 长为半径画弧，两弧交于点B ，连接AB 、BC 即可．【答案与解析】解：如图所示：，△ABC 即为所求．【总结升华】此题主要考查了作图，关键是掌握作一条线段等于已知线段的方法；利用三角形全等判定定理”边边边”解决本题．举一反三【变式】作图题（尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹）如图，已知，∠α、∠β．求作∠AOB ，使∠AOB=2∠α+∠β．【答案】解：只要方法得当，有作图痕迹就给分，无作图痕迹不给分．。

《三角形的证明》全章复习与巩固（基础）【巩固练习】一、选择题1.△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC边于点D，∠BDC=75°，则∠A的度数是（ ）　A．35°B．40°C．70°D．110°2．三角形的三个内角中，锐角的个数不少于（ ）　A． 1 个B． 2 个C．3个D．不确定3．用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；②矩形；③正方形；④等腰三角形，其中一定可以拼成的图形的是（ ）　A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④4．如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE ≌△ACD的是（ ）　A．AD=AE B．∠AEB=∠ADC C．BE=CD D．AB=AC5．（2015•青岛）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（ ）A．B．2C．3D．+26．等腰三角形的一边为4，另一边为9，则这个三角形的周长为（ ）　A．17B．22C．13D．17或227．有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形（ ）　A．必定全等B．必定不全等C．不一定全等D．以上答案都不对8．面积相等的两个三角形（ ）　A．必定全等B．必定不全等C．不一定全等D．以上答案都不对二、填空题9.如果等腰三角形的一个底角是80°，那么顶角是　_________　度．10.△ABC中，∠A是∠B的2倍，∠C比∠A+∠B还大12°，那么∠B=　_________　度．11．（2015秋•洛阳校级月考）如果a，b，c为三角形的三边，且（a﹣b）2+（a﹣c）2+|b﹣c|=0，则这个三角形是 ．12．如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：　_________　，使△AEH≌△CEB．13．等腰直角三角形一条边长是1 cm，那么它斜边上的高是　_________　．14．在△ABC和△ADC中，下列论断：①AB=AD；②∠BAC=∠DAC；③BC=DC，把其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个真命题：　_________　．15．在△ABC中，边AB、BC、AC的垂直平分线相交于P，则PA、PB、PC的大小关系是　_________　．16．已知△ABC中，∠A=90°，角平分线BE、CF交于点O，则∠BOC=　_________　．三、解答题17.（2015秋•定州市期中）如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：（1）AM⊥DM；（2）M为BC的中点．18. 如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AD平分∠BAC交BC于点D，BD：DC=2：1，BC=7.8cm，求D到AB的距离．19. 如图，D，E是△ABC边上的两点，且BD=DE=EC=AD=AE，求∠BAC的度数．20.（2015春•建昌县期末）已知：如图，有一块Rt△ABC的绿地，量得两直角边AC=8m，BC=6m．现在要将这块绿地扩充成等腰△ABD，且扩充部分（△ADC）是以8m为直角边长的直角三角形，求扩充后等腰△ABD的周长．（1）在图1中，当AB=AD=10m时，△ABD的周长为 ；（2）在图2中，当BA=BD=10m时，△ABD的周长为 ；（3）在图3中，当DA=DB时，求△ABD的周长．【答案与解析】一.选择题1.【答案】B；【解析】解：设∠A的度数是x，则∠C=∠B=，∵BD平分∠ABC交AC边于点D∴∠DBC=，∴++75=180°，∴x=40°.∴∠A的度数是40°.故选B．2．【答案】B；【解析】解：由三角形内角和为180度可知：三角形的三个内角中，锐角的个数不少于2个．故选B．3.【答案】D；【解析】解：两个全等的直角三角形，一定可以拼成平行四边形（直角边重合，两直角不邻），等腰三角形（直角边重合，两直角相邻），以及矩形（斜边重合）；若为等腰直角三角形，则可拼成正方形；所以①②④一定可以拼接而成，③不一定拼成．4.【答案】B；【解析】解：A、根据AAS（∠A=∠A，∠C=∠B，AD=AE）能推出△ABE≌△ACD正确，故本选项错误；B、三角对应相等的两三角形不一定全等，错误，故本选项正确；C、根据AAS（∠A=∠A，∠B=∠C，BE=CD）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误；D、根据ASA（∠A=∠A，AB=AC，∠B=∠C）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误；5.【答案】C；【解析】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE=1，又∵直角△BDE中，∠B=30°，∴BD=2DE=2，∴BC=CD+BD=1+2=3．故选C．6.【答案】B；【解析】解：当腰长为4时，则三角形的三边长为：4、4、9；∵4+4＜9，∴不能构成三角形；因此这个等腰三角形的腰长为9，则其周长=9+9+4=22．7.【答案】A;【解析】解：有两个角和其中一个角的对边对应相等，符合“角角边”判定方法，所以，两个三角形必定全等．8.【答案】C;【解析】解：因为两个面积相等的三角形，也就是底乘高相等；但是一个数可以有许多不同的因数，所以说这两个三角形的对应边、对应高不一定相等；故面积相等的两个三角形不一定全等．二、填空题9．【答案】 20；【解析】解：∵三角形是等腰三角形，∴两个底角相等，∵等腰三角形的一个底角是80°，∴另一个底角也是80°，∴顶角的度数为180°﹣80°﹣80°=20°．10．【答案】28；【解析】解：设∠B=x，则∠A=2x，∠C=3x+12°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴x+2x+3x+12°=180°，解得x=28°．故答案为：28．11.【答案】等边三角形；【解析】解：∵（a﹣b）2+（a﹣c）2+|b﹣c|=0，∴a﹣b=0，a﹣c=0，b﹣c=0，∴a=b，a=c，b=c，∴a=b=c，∴这个三角形是等边三角形；故答案为：等边三角形．12.【答案】AH=CB或EH=BE或AE=CE；【解析】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，∴∠BEC=∠AEC=90°，在Rt△AEH中，∠EAH=90°﹣∠AHE，又∵∠EAH=∠BAD，∴∠BAD=90°﹣∠AHE，在Rt△AEH和Rt△CDH中，∠CHD=∠AHE，∴∠EAH=∠DCH，∴∠EAH=90°﹣∠CHD=∠BCE，所以根据AAS添加AH=CB或EH=BE；根据ASA添加AE=CE．可证△AEH≌△CEB．13.【答案】cm或cm；【解析】解：（1）当1cm是斜边，则其高就是斜边1的一半是cm；（2）当其直角边是1cm时，根据勾股定理得其斜边是cm，再根据其高是斜边的一半得高是cm；所以它斜边上的高是cm或cm．14.【答案】在△ABC和△ADC中，如果AB=AD，∠BAC=∠DAC，那么BC=DC．【解析】解：把①②作为条件③作为结论，∵AB=AD，∠BAC=∠DAC，又∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC，∴BC=BD．故答案为：在△ABC和△ADC中，如果AB=AD，∠BAC=∠DAC，那么BC=DC．15.【答案】PA=PB=PC;【解析】∵边AB的垂直平分线相交于P，∴PA=PB，∵边BC的垂直平分线相交于P，∴PB=PC，∴PA=PB=PC．16.【答案】135°;【解析】解：∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∵角平分线BE、CF交于点O，∴∠OBC+∠OCB=45°，∴∠BOC=180°﹣45°=135°．故答案为135°．三、解答题17.【解析】解：（1）∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°，∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴2∠MAD+2∠ADM=180°，∴∠MAD+∠ADM=90°，∴∠AMD=90°，即AM⊥DM；（2）作NM⊥AD交AD于N，∵∠B=90°，AB∥CD，∴BM⊥AB，CM⊥CD，∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴BM=MN，MN=CM，∴BM=CM，即M为BC的中点．18.【解析】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵BD：DC=2：1，BC=7.8，∴CD=×7.8=2.6，∵AD平分∠BAC，∴DE=CD=2.6(cm).即D到AB的距离2.6cm．19.【解析】解：因为AD=DE=AE，所以∠ADE=∠DEA=∠DAE=60°，所以∠ADB=120°，∠AEC=120°．因为BD=AD，AE=EC，所以∠B=∠BAD=（180°﹣∠ADB）=（180°﹣120°）=30°，∠C=∠CAE=（180°﹣∠AEC）=（180°﹣120°）=30°．所以∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠CAE=30°+60°+30°=120°．20．【解析】解：（1）如图1，∵AB=AD=10m，AC⊥BD，AC=8m，∴DC==6（m），则△ABD的周长为：10+10+6+6=32（m）．故答案为：32m；（2）如图2，当BA=BD=10m时，则DC=BD﹣BC=10﹣6=4（m），故AD==4（m），则△ABD的周长为：AD+AB+BD=10+4+10=（20+4）m；故答案为：（20+4）m；（3）如图3，∵DA=DB，∴设DC=xm，则AD=（6+x）m，∴DC2+AC2=AD2，即x2+82=（6+x）2，解得；x=，∵AC=8m，BC=6m，∴AB=10m，故△ABD的周长为：AD+BD+AB=2（+6）+10=（m）．《三角形的证明》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1.经历回顾与思考的过程，深刻理解和掌握定理的探索和证明.2.结合具体实例感悟证明的思路和方法，能运用综合、分析的方法解决有关问题.3.能正确运用尺规作图的基本方法作已知线段的垂直平分线和角的平分线，以及绘制特殊三角形.【知识网络】【要点梳理】要点一、等腰三角形1.三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）3.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.4.含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.要点诠释：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础.要点二、直角三角形1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.2.命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；3.直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）.要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,HL 一共有5种判定方法.要点三、线段的垂直平分线1.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN 就是线段AB 的垂直平分线.要点诠释：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.要点四、角平分线1.角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.2.三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.3.如何用尺规作图法作出角平分线要点诠释：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形.【典型例题】类型一、 三角形的证明2121. 已知：点D 是△ABC 的边BC 的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且BF=CE．求证：△ABC 是等腰三角形．【思路点拨】欲证△ABC 是等腰三角形，又已知DE⊥AC，DF⊥AB，BF=CE，可利用三角形中两内角相等来证明．【答案与解析】证明：∵D 是BC 的中点，∴BD=CD，∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴△BDF 与△CDE 为直角三角形，在Rt△BDF 和Rt△CDE 中，∴Rt△BFD≌Rt△CED（HL），∴∠B=∠C，∴AB=AC，∴△ABC 是等腰三角形．【总结升华】考查等腰三角形的判定方法及全等三角形的判定及性质；充分利用条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．举一反三：【变式1】（2015秋•江阴市校级期中）已知：如图，△AMN 的周长为18，∠B，∠C 的平分线相交于点O，过O 点的直线MN∥BC 交AB、AC 于点M、N．求AB+AC 的值．【答案】解：∵MN∥BC，∴∠BOM=∠OBC，∠CON=∠OCB，∵∠B，∠C 的平分线相交于点O，∴∠MBO=∠OBC，∠NCO=∠OCB，∴∠MBO=∠BOM，∠NCO=∠CON，∴BM=OM，CN=ON，,BF CE BD CD =⎧⎨=⎩∵△AMN的周长为18，∴AM+MN+AN=AM+OM+ON+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC=18．【变式2】如图，在△ABC中，AB=AC，D、E在BC上，且AD=AE，求证：BD=CE．【答案】证明：∵AB=AC，AD=AE，∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED，∵∠ADE=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠EAC，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE，∴ BD=CE．类型二、直角三角形2. 如图，已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合．（1）当∠A满足什么条件时，点D恰为AB的中点写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB的中点；（2）在（1）的条件下，若DE=1，求△ABC的面积．【思路点拨】（1）根据折叠的性质：△BCE≌△BDE，BC=BD，当点D恰为AB的重点时，AB=2BD=2BC，又∠C=90°，故∠A=30°；当添加条件∠A=30°时，由折叠性质知：∠EBD=∠EBC=30°，又∠A=30°且ED⊥AB，可证D为AB的中点；（2）在Rt△ADE中，根据∠A及ED的值，可将AE、AD的值求出，又D为AB的中点，可得AB的长度，在Rt△ABC中，根据AB、∠A的值，可将AC和BC的值求出，代入S△ABC=AC×BC进行求解即可．【答案与解析】解：（1）添加条件是∠A=30°．证明：∵∠A=30°，∠C=90°，所以∠CBA=60°，∵C点折叠后与AB边上的一点D重合，∴BE平分∠CBD，∠BDE=90°，∴∠EBD=30°，∴∠EBD=∠EAB，所以EB=EA；∵ED 为△EAB 的高线，所以ED 也是等腰△EBA 的中线，∴D 为AB 中点．（2）∵DE=1，ED⊥AB，∠A=30°，∴AE=2．在Rt△ADE 中，根据勾股定理，得，，∵∠A=30°，∠C=90°，∴BC=在Rt△ABC=3，∴S △ABC =【总结升华】考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．3. 小林在课堂上探索出只用三角尺作角平分线的一种方法：如图，在已知∠AOB 的两边上分别取点M，N，使OM=ON，再过点M 作OB 的垂线，过点N 作OA 的垂线，垂足分别为C、D，两垂线交于点P，那么射线OP 就是∠AOB 的平分线．老师当场肯定他的作法，并且表扬他的创新．但是小林不知道这是为什么．①你能说明这样做的理由吗？也就是说，你能证明OP 就是∠AOB 的平分线吗？②请你只用三角板设法作出图∠AOB 的平分线，并说明你的作图方法或设计思路．【思路点拨】①在Rt △OCM 与Rt △ODN 中，依据ASA 得出OC=OD;在Rt △OCP 与Rt △ODP 中，因为OP=OP，OC=OD 得出Rt△OCP≌Rt△ODP（HL），所以∠COP=∠DOP，即OP 平分∠AOB．②可作出两个直角三角形，利用HL 定理证明两角所在的三角形全等．【答案与解析】①证明：在Rt△OCM 和Rt△ODN 中，∴△OCM≌△ODN（AAS），∴OC=OD，在△OCP 与△ODP 中，∵∴Rt△OCP≌Rt△ODP（HL），=1212COM DON OCM ODNOM ON ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,OC OD OP OP=⎧⎨=⎩∴∠COP=∠DOP，即OP 平分∠AOB；②解：①利用刻度尺在∠AOB 的两边上分别取OC=OD；②过C，D 分别作OA，OB 的垂线，两垂线交于点E；③作射线OE，OE 就是所求的角平分线．∵CE⊥OA，ED⊥OB，∴∠OCE=∠ODE=90°，在Rt△OCE 与Rt△ODE 中，∵，∴Rt△OCE≌Rt△ODE（HL），∴∠EOC=∠EOD，∴OE 为∠AOB 的角平分线．【总结升华】主要考查了直角三角形的判定，利用全等三角形的性质得出∠EOC=∠EOD 是解题关键．类型三、线段垂直平分线4.（2015秋•麻城市校级期中）如图所示：在△ABC 中，AB＞BC，AB=AC，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为D，交AC 于E．（1）若∠ABE=50°，求∠EBC 的度数；（2）若△ABC 的周长为41cm，边长为15cm，△BCE 的周长．【思路点拨】（1）由DE 是AB 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE，继而求得∠A 的度数，又由AB=AC，即可求得∠ABC 的度数，则可求得答案；（2）由△BCE 的周长=AC+BC，然后分别从腰等于15cm 与底边等于15cm 去分析求解即可求得答案．【答案与解析】解：（1）∵DE 是AB 的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=50°，∵AB=AC，OC OD OE OE=⎧⎨=⎩∴∠ABC=∠C=65°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=15°；（2）∵AE=BE，∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC；∵△ABC的周长为41cm，∴AB+AC+BC=41cm，若AB=AC=15cm，则BC=11cm，则△BCE的周长为：15+11=26cm；若BC=15cm，则AC=AB=13cm，∵AB＞BC，∴不符合题意，舍去．∴△BCE的周长为26cm．【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F，试说明∠BAF=∠ACF的理由．【答案】解：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA．又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAF=∠BAD+∠FAD，∠ACF=∠DAC+∠FDA，∴∠BAF=∠ACF．类型四、角平分线5. 如图，在△ABC中，∠BAC=80°，延长BC到D，使AC=CD，且∠ADB=20°，DE平分∠ADB交AC于F，交AB于E，连接CE，求∠CED的度数．【思路点拨】作EG⊥DA，EH⊥BD，EP⊥AC，根据角平分线的性质得到EG=EH，根据△EGA≌△EPA，得出∠ECB，就可以得到∠CED的度数．【答案与解析】证明：作EG⊥DA 交DA 的延长线于G，再作EH⊥BD，EP⊥AC，垂足分别为H，P，则EG=EH∵∠ADC=20°，AC=CD，∴∠CAD=20°，而∠BAC=80°，∴∠GAE=180°﹣20°﹣80°=80°，∴Rt△EGA≌Rt△EPA，∴EG=EP∴EP=EH，∴∠ECB=∠ECA=∠BCA=×40°=20°∴∠CED=∠BCE﹣∠BDE=20°﹣10°=10°【总结升华】主要考查了角平分线的性质定理及逆定理、三角形全等的性质和判定；做题中两次用到角平分线的知识是正确解答本题的关键．举一反三：【变式】如图，直线l 1、l 2、l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（ ）A．1处 B．2处 C．3处 D．4处【答案】D．解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．1212。

专题11.16 《三角形》全章复习与巩固（专项练习）一、单选题知识点一、三角形的三边关系1．现有两根木棒，它们的长分别是30cm和70cm，若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长可以为（）A．40cm B．70cm C．100cm D．130cm2．下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（）A．3，7，5B．4，8，5C．5，12，7D．7，13，83．如图，∠ABC＝90°，BD∠AC，下列关系式中不一定成立的是（）A．AB＞AD B．AC＞BC C．BD+CD＞BC D．CD＞BD知识点二、三角形中重要线段4．下列尺规作图，能判断AD是ABC的BC边上的高是（）A．B．C．D．5．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则∠ABC的重心是（）．A ．点DB ．点EC ．点FD ．点G6．下列说法正确的个数有（ ）∠三角形的高、中线、角平分线都是线段；∠三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点；∠三角形的三条高都在三角形内部；∠三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个知识点三、与三角形有关的角7．将一副三角板按如图所示的位置摆放，90C EDF ∠=∠=︒ ，45E ∠=︒， 60B ∠=︒ ，点D 在边BC 上，边DE ，AB 交于点G ．若 //EF AB ，则CDE ∠的度数为（ ）A ．105︒B ．100︒C ．95︒D ．75C ︒8．一副直角三角板如图摆放，点F 在CB 的延长线上，∠C =∠DFE =90°，若DE ∠CF ，则∠BEF 的度数为（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°∠的度数是（）9．将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，则图中αA．15°B．30°C．65°D．75°知识点四、三角形的稳定性10．如图所示，具有稳定性的有（）A．只有（1），（2）B．只有（3），（4）C．只有（2），（3）D．（1），（2），（3）11．如图，木工师傅做窗框时，常常像图中那样钉上两条斜拉的木条起到稳固作用，这样做的数学原理是（）A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短C．长方形的轴对称性D．两直线平行，同位角相等12．要使如图所示的五边形木架不变形，至少要再钉上几根木条（）A．1根B．2根C．3根D．4根知识点五、多边形内角和及外角和公式13．若一个多边形的内角和与外角和之差是720︒，则此多边形是（）边形．A．6B．7C．8D．914．如果一个正多边形的内角和等于1080°，那么该正多边形的一个外角等于（）A．30°B．45°C．60°D．72°15．一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形知识点六、多边形对角线公式的运用16．下列说法正确的是（）A．射线AB和射线BA是同一条射线B．连接两点的线段叫两点间的距离C．两点之间，直线最短D．七边形的对角线一共有14条17．为了丰富同学们的课余生活，东辰学校初二年级计划举行一次篮球比赛，从3个分部中选出15支队伍参加比赛，比赛采用单循环制（即每个队与其他各队比赛一场），则这次联赛共有（）场比赛．A．30B．45C．105D．21018．八边形从一个顶点引出的对角线的条数为（）A．4条B．5条C．6条D．7条知识点七、镶嵌问题19．下列四组多边形∠正三角形与正方形∠正三角形与正十二边形∠正方形与正六边形∠正八边形与正方形，其中能铺满地面的是（）A．∠∠∠B．∠∠∠C．∠∠D．∠∠∠20．小飞家房屋装修时，选中了一种漂亮的正八边形地砖，建材店老板告诉她，只用一种八边形地砖是不能铺满地面的，但可以与另外一种形状的地砖混合使用，你认为要使地面铺满，小飞应选择另一种形状的地砖是（）A．B．C．D．21．下列正多边形不能实施平面镶嵌的是（）．A．正方形B．正五边形C．正六边形D．等边三角形二、填空题知识点一、三角形的三边关系22．已知三角形ABC，且AB=3厘米，BC=2厘米，A、C两点间的距离为x厘米，那么x的取值范围是________．23．小华要从长度分别为5cm、6cm、11cm、16cm的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是：_____，_____，_____（单位：cm ）．24．已知ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，则a b c b c a c a b --+--+-+=______． 知识点二、三角形中重要线段25．在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，3cm AC =，4cm BC =，CD 是AB 边的中线，则AC 边上的高为__cm ，BCD ∆的面积=__2cm ．26．（1）线段AD 是ABC ∆的角平分线，那么BAD ∠=∠__12=∠__． （2）线段AE 是ABC ∆的中线，那么BE =__=__BC ．27．如图，在∠ABC 中，点D ，点E 分别是BC ，AB 的中点，若∠AED 的面积为1，则∠ABC 的面积为_____．知识点三、与三角形有关的角28．如图摆放的一副学生用直角三角板，∠F ＝30°，∠C ＝45°，AB 与DE 相交于点G ，当EF //BC 时，∠EGB 的度数是___．29．如图，有一个含有30°角的直角三角板，一顶点放在直尺的一条边上，若∠2＝68°，则∠1=_____°．30．如图，将纸片ABC 沿DE 折叠，使点A 落在BE 边上的点A '处，若18A ∠=︒，则1∠=__________．知识点四、三角形的稳定性31．下图是跪姿射击的情形．我们可以看到，跪姿射击的动作构成了三个三角形∠一是由右脚尖、右膝、左脚构成的三角形支撑面；二是由左手、左肘、左肩构成的托枪三角形；三是由左手、左肩、右肩所构成的近乎水平的三角形．这三个三角形可以使射击者在射击过程中保持稳定．其中，蕴含的数学道理是___．32．如图，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，这时木架的形状不会改变，这是因为三角形具有____．33．要使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，至少要再钉_____根木条．知识点五、多边形内角和及外角和公式34．若一个多边形的内角和是其外角的和1.5倍，则这个多边形的边数是________． 35．五边形的内角和是_______度，外角和是________度．36．如图所示，在五边形ABCDE中，∠A＝∠C＝80°，∠B＝140°，∠DEF为五边形ABCDE 的一个外角，且∠DEF＝60°，则∠D＝_____．知识点六、多边形对角线公式的运用37．一个n边形共有n条对角线，将这个n边形截去一个角后它的边数为__．38．八边形中过其中一个顶点有__条对角线．39．若一个多边形的内角和为900︒，则从该多边形一个顶点出发引的对角线条数是______．知识点七、镶嵌问题40．用边长相等的三角形、四边形、五边形、六边形、七边形中的一种；能进行平面镶嵌的几何图形有_________种．41．使用下列同一种正多边形不能铺满地面的是________（填序号）∠正三角形；∠正方形；∠正六边形；∠正八边形42．下列正多边形中能单独镶嵌平面的是________．（填写序号）∠正三角形；∠正方形；∠正五边形；∠正六边形．三、解答题知识点一、三角形的三边关系43．如图所示，（1）图中有几个三角形？∆的边和角．（2）说出CDE∠是哪些三角形的角？（3）AD是哪些三角形的边？C知识点二、三角形中重要线段44．已知a b c ，，满足()2240a c -+-=．（1）求a b c ，，的值．（2）以a b c ，，为边能否构成三角形，如果能，求出三角形的周长；如果不能，请说明理由．知识点三、与三角形有关的角45．如图，已知BD //AC ，CE //BA ，且D 、A 、E 在同一条直线上，设∠BAC ＝x ，∠D +∠E ＝y ．（1）试用x 的一次式表示y ；（2）当x ＝90°，且∠D ＝2∠E 时，DB 与EC 具有怎样的位置关系？知识点四、三角形的稳定性46．凸六边形钢架ABCDEF 由6条钢管连接而成，为使这一钢架稳固，试用三条钢管连接，使之不能活动，方法很多，请列举三个．知识点五、多边形内角和及外角和公式47．（1）一个多边形的内角和比它的外角和多720︒，求该多边形的边数；（2）如图，已知AD 是ABC 的角平分线，CE 是ABC 的高，AD 与CE 相交于点F ，30CAD ∠=︒，50B ∠=︒，求ADC ∠和AFC ∠的度数．知识点六、多边形对角线公式的运用48．观察下面图形，并回答问题．()1四边形有条对角线；五边形有条对角线；六边形有条对角线．()2根据()1中得到的规律，试猜测十边形的对角线条数．参考答案1．B【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【详解】解：根据三角形三边关系，∠三角形的第三边x 满足：70303070x -<<+，即40100x <<，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．2．C【分析】根据两边之和等于第三边的原则去判断即可【详解】∠3+5＞7，∠能构成三角形，不符合题意；∠4+5＞8，∠能构成三角形，不符合题意；∠7+5=12，∠不能构成三角形，符合题意；∠8+7＞13，∠能构成三角形，不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查了三角形的存在性，熟练掌握两边之和大于第三边是判断的根本标准． 3．D【分析】根据直角三角形斜边大于直角边判断A 、B 、D 选项，根据三角形的三边关系判断C 选项．【详解】解：∠BD ∠AC ，∠∠ADB＝90°，∠AB＞AD，∠∠ABC＝90°，∠AC＞BC，∠BD+CD＞BC，∠选项A，B，C正确；∠∠BDC＝90°，∠CD不一定大于BD，∠选项D不一定成立，故选：D．【点睛】此题考查直角三角形斜边大于直角边的性质，三角形的两边和大于第三边的性质，熟记性质并熟练运用是解题的关键．4．B【分析】过点A作BC的垂线，垂足为D，能满足此条件的AD即为所求，依次判断即可．【详解】解：A. 所作图BC的垂线未过点A，故此项错误；B.所作图过点A作BC的垂线，垂足为D，故此项正确；C.所作过点A作的线AD不垂直BC，故此项错误；D.所作图仅为过点A的AB边上的垂线，不符合题意，故此项错误；故选：B．【点睛】本题主要考查了三角形的高的作法，解题的关键是掌握几何图形的性质和基本作图方法．5．A【分析】结合题意，根据三角形重心的定义分析，即可得到答案．【详解】根据题意可知，直线CD经过∠ABC的AB边上的中线，直线AD经过∠ABC的BC边上的中线∠点D是∠ABC重心．故选：A ．【点睛】本题考查了三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形重心、中线的性质，从而完成求解．6．C【分析】根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上即可作答．【详解】解：∠三角形的中线、角平分线、高都是线段，故正确；∠三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点，故正确；∠钝角三角形的高有两条在三角形外部，故错误；∠三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，故正确．所以正确的有3个．故选：C ．【点睛】本题考查对三角形的中线、角平分线、高的正确理解，熟练掌握三角形的中线、角平分线、高的概念是解决本题的关键．7．A【分析】根据EF AB ∥，可得45BGD E ，再根据外角的性质，利用 CDE B BGD 可求得结果．【详解】解：EF AB ∥，45BGD E ∠=∠=︒．又CDE ∠是BDG ∆的外角，60B ∠=︒=6045105CDE B BGD ，故选：A ．【点睛】本题考查了平行线的性质，外角的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 8．B【分析】根据一副直角三角锐角大小一定，根据平行线的性质内错角相等，可得∠DEF = ∠EFB = 45°，再由三角形外角的性质，即可求出∠BEF = ∠ABC - ∠EFB = 15°．【详解】解：∠DE ∠CF ，∠DEF = 45°，∠∠DEF = ∠EFB = 45°，∠∠ABC = 60°，∠∠BEF = ∠ABC - ∠EFB = 60°-45°= 15°故选B ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形一个外角与其不相邻两个内角的性质． 9．D【分析】根据三角形内角和定理求出即可．【详解】解：如图，∠ABC ∆和DEF ∆都是直角三角形，且30,45B E ∠=︒∠=︒∠45,60EFD ACB ∠=︒∠=︒∠++180EFD ACB FAC ∠∠∠=︒∠180456075FAC ∠=︒-︒-︒=︒，即75α=︒故选：D ．【点睛】此题主要考查了三角形的内角和，熟练掌握三角形内角和定理是解答此题的关键．10．C【分析】根据三角形具有稳定性而四边形不具有稳定性判断即可．由于四边形不具有稳定性，故（1）不具有稳定性；根据三角形的稳定性，图中具有稳定性的有（2），（3），而（4）虽然含有三角形，但右侧的四边形不具稳定性，所以整体也就不具稳定性．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的稳定性性质，四边形的不稳定性，无论是三角形的稳定性还是四边形的不稳定性，它们在生产生活中都有着广泛的应用．11．A【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．【详解】解：这样做的数学原理是三角形的稳定性．故选：A．【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．12．B【分析】三角形具有稳定性，钉上木条后，使五边形变为三角形的组合即可解题．【详解】AC CE，使五边形变为三个三角形，解：如图，钉上木条,根据三角形具有稳定性，可知这样的五边形不变形，故选：B．【点睛】本题考查三角形的稳定性，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．【分析】先求出多边形的内角和，再根据多边形的内角和公式求出边数即可．【详解】解：∠一个多边形的内角和与外角和之差为720°，多边形的外角和是360°，∠这个多边形的内角和为720°+360°=1080°，设多边形的边数为n，则（n-2）×180°=1080°，解得：n=8，即多边形的边数为8，故选：C．【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，能列出关于n的方程是即此题的关键，注意：边数为n的多边形的内角和=（n-2）×180°，多边形的外角和等于360°．14．B【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：（n-2）•180°=1080°，即可求得n=8，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．【详解】解：设此多边形为n边形，根据题意得：180°×（n-2）=1080°，解得：n=8，∠这个正多边形的每一个外角等于：360°÷8=45°．故选：B．【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n-2）•180°，外角和等于360°．15．D【分析】根据多边形的内角和公式（n-2）•180°和外角和定理列出方程，然后求解即可．【详解】解：设多边形的边数为n，由题意得，（n-2）•180°=2×360°，所以，这个多边形是六边形．故选：D．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．16．D【分析】根据两点之间线段最短，数轴上两点间的距离的求解，射线的定义，多边形的对角线对各小题分析判断即可得解．【详解】解：A、射线AB和射线BA是不同的射线，故本选项不符合题意；B、连接两点的线段的长度叫两点间的距离，故本选项不符合题意；C、两点之间，线段最短，故本选项不符合题意；D、七边形的对角线一共有7(73)142条，正确故选：D【点睛】本题考查了两点之间线段最短，数轴上两点间的距离的求解，射线的定义，多边形的对角线，熟练掌握概念是解题的关键．17．C【分析】根据多边形对角线的计算方式可得出，m支球队举行比赛，若每个球队与其他队比赛（m-1）场，则两队之间比赛两场，由于是单循环比赛，则共比赛12m（m-1）．【详解】解：15支球队举行单循环比赛，比赛的总场数为：12×15×（15-1）=105．故选：C．【点睛】本题考查多边形的对角线的知识，解题的关键是读懂题意，明确单循环赛制的含义，利用多边形的对角线条数的知识进行解答．18．B【分析】由八边形八个顶点即可知从一个定点能引出的对角线条数．∠八边形八个顶点，每个顶点除了本身和相邻点不能作对角线，∠可引出8-3=5条对角线，故选：B．【点睛】此题考查多边形的对角线，可由对角线定义：由某一顶点向其他顶点引出的线段，得出结论．19．B【分析】根据围绕一点的各个角的和为360°进行一一判断即可．【详解】解:∠正三角形与正方形,正三角形每个内角60°,正方形每个内角90°,3×60°+2×90°=360°, 能铺满地面；∠正三角形与正十二边形, 正三角形每个内角60°,正十二边形每个内角150°,1×60°+2×150°=360°, 能铺满地面；∠正方形与正六边形, 正方形每个内角90°,正六边形每个内角120°,k×90°+n×120°=360°，k，n不是整数，不能铺满地面；∠正八边形与正方形，正八边角形每个内角135°,正方形每个内角90°,2×135°+1×90°=360°, 能铺满地面，其中能铺满地面的是∠∠∠．故选择：B．【点睛】本题考查能铺满地面的图形组合，掌握正多边形的内角和公式，会求正多边形的每个内角，抓住围绕一点的各个角的和为360°是解题关键．20．B【分析】正八边形的一个内角为135°，从所给的选项中取出一些进行判断，看其所有内角和是否为360°，并以此为依据进行求解．【详解】正八边形的每个内角为()821808-⨯︒=135°，A、正八边形、正三角形内角分别为135°、60°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；B、正方形、八边形内角分别为90°、135°，由于135×2+90=360，故能铺满；C、正六边形、正八边形内角分别为120°、135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；D、正五边形和正八边形内角分别为108°、135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满．故选：B．【点睛】本题主要考查了平面镶嵌（密铺），解决此类题，可以记住几个常用正多边形的内角，及能够用两种正多边形镶嵌的几个组合．21．B【分析】先求出各个正多边形每个内角的度数，再结合平面图形镶嵌的条件即可得．【详解】A、正方形的每个内角的度数为90︒，且490360⨯︒=︒，∴正方形能实施平面镶嵌，则此项不符题意；B、正五边形的每个内角的度数为()180521085︒⨯-=︒，且360101083︒=︒不是整数，∴正五边形不能实施平面镶嵌，则此项符合题意；C、正六边形的每个内角的度数为()180621206︒⨯-=︒，且3120360⨯︒=︒，∴正六边形能实施平面镶嵌，则此项不符题意；D、等边三角形的每个内角的度数为60︒，且660360⨯︒=︒，∴等边三角形能实施平面镶嵌，则此项不符题意；故选：B．【点睛】本题考查了平面镶嵌、正多边形的内角和，熟练掌握平面镶嵌的条件是解题关键．22．1＜x＜5【分析】直接根据三角形三边的关系进行求解即可；【详解】根据三角形三边关系可得：AB-BC＜AC＜AB+BC，∠AB=3，BC=2∠1＜x＜5，故答案为：1＜x ＜5．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，正确理解题意是解题的关键．23．6 11 6【分析】先分析出共有四种情况，再根据三角形三边关系即可求解【详解】解：每三根组合，有5cm ，6cm ，11cm ；5cm ，6cm ，16cm ；11cm ，16cm ，5cm ；11cm ，6cm ，16cm 四种情况．根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，得其中只有11，6，16能组成三角形．故答案为：6,11,6【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形三边关系并根据题意分出四种情况是解题关键．24．3c b a +-【分析】三角形三边满足的条件是：两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此条件来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可．【详解】解：∠∠ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，∠必须满足两边之和大于第三边，两边的差小于第三边，∠0,0,0a b c b c a c a b --<--<-+>， ∠a b c b c a c a b --+--+-+=()()()a b c b c a c a b ------+-+=++++a b c b c a c a b --+-+=3c b a +-故答案为：3c b a +-．【点睛】此题考查了三角形三边关系，此题的关键是先根据三角形三边的关系来判定绝对值内式子的正负．25．4 3【分析】根据三角形的高线的定义知BC 是边AC 上的高线．由三角形中线的定义知AD ＝BD ，则∠ACD 与∠BCD 的等底同高的两个三角形，它们的面积相等．【详解】如图，90ACB ∠=︒，4BC cm =，BC ∴是AC 边上的高，即AC 边上的高为4cm ，又CD 是AB 边的中线，BD AD ∴=，21111343()2224BCD ABC S S AC BC cm ∆∆∴==⨯⨯=⨯⨯=． 故答案是：4；3．【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线、中线和高．此题利用了“等底同高”的两个三角形的面积相等来求∠BCD 的面积的．26．CAD BAC CE12 【分析】（1）根据角平分线定义即可求解；（2）根据中点定义即可求解．【详解】解：（1）线段AD 是ABC ∆的角平分线，那么12BAD CAD BAC ∠=∠=∠． 故答案为：CAD ，BAC ；（2）线段AE 是ABC ∆的中线，那么12BE CE BC ==． 故答案为：CE ，12． 【点睛】本题考查角平分线定义与中线定义，掌握角平分线定义与中线定义是解题关键． 27．4【分析】根据线段中点的概念、三角形的面积公式计算，得到答案．【详解】解：∠点E 是AB 的中点，∠AED 的面积为1，∠∠ABD 的面积=∠AED 的面积×2=2，∠点D是BC的中点，∠∠ABC的面积=∠ABD的面积×2=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了三角形的面积计算，掌握三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．28．105°【分析】过点G作HG∠BC，则有∠HGB＝∠B，∠HGE＝∠E，又因为∠DEF和∠ABC都是特殊直角三角形，∠F＝30°，∠C＝45°，可以得到∠E＝60°，∠B＝45°，有∠EGB＝∠HGE+∠HGB即可得出答案．【详解】解：过点G作HG∠BC，∠EF∠BC，∠GH∠BC∠EF，∠∠HGB＝∠B，∠HGE＝∠E，在Rt∠DEF和Rt∠ABC中，∠F＝30°，∠C＝45°，∠∠E＝60°，∠B＝45°，∠∠HGB＝∠B＝45°，∠HGE＝∠E＝60°，∠∠EGB＝∠HGE+∠HGB＝60°+45°＝105°，故∠EGB的度数是105°，故答案为：105°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，其中正确作出辅助线是解本题的关键．29．22【分析】如图，延长HE，交BC于点G，求出∠2=∠HGF=68°，根据直角三角形两锐角互余即可求解．解：如图，延长HE ，交BC 于点G ，∠AD ∠BC ，∠∠2=∠HGF =68°，由题意得∠FEH =∠FEG =90°，∠∠1=90°-∠EGF =90°-68°=22°．故答案为：22【点睛】本题考查了平行线的性质与直角三角形的两锐角互余，根据题意添加辅助线是解题关键．30．36︒【分析】利用折叠性质得到18DA A A ∠'=∠=︒，然后根据三角形外角性质求解．【详解】 解：纸片ABC ∆沿DE 折叠，使点A 落在BE 边上的点A '处，18DA A A ∴∠'=∠=︒，136DA A A ∴∠=∠'+∠=︒．故答案为36︒．【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180︒．也考查了折叠的性质． 31．三角形的稳定性【分析】直接根据题意进行解答即可．【详解】解：由题意得这三个三角形可以使射击者在射击过程中保持稳定，其中，蕴含的数学道理是三角形的稳定性；故答案为三角形的稳定性．【点睛】本题主要考查三角形稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．【分析】根据三角形的性质进行解答即可．【详解】解：斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变，能解释这一实际应用的数学知识是三角形具有稳定性，故答案为：稳定性．【点睛】本题考查的是三角形的稳定性，三角形的稳定性和四边形的不稳定性在实际生活中的应用问题，比较简单．33．2．【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．【详解】如图，再钉上两根木条，就可以使五边形分成三个三角形．故至少要再钉两根木条，故答案为：2．【点睛】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是熟知要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形．34．5【分析】根据多边形的内角和与外角和即可求出答案．【详解】解：设该多边形的边数为n，由题意可知：（n-2）•180°=1.5×360°，解得：n=5，故答案为：5．【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，解题的关键是熟练运用多边形的性质，本题属于基础题型．35．540 360【分析】根据多边形的内角和公式（n-2）•180°和多边形的外角和定理进行解答．【详解】解：（5-2）•180°=540°，所以五边形的内角和为540度，外角和为360度．故答案为：540，360．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．36．120°【分析】利用内角与外角的关系可得∠AED＝120°，然后再利用多边形内角和定理进行计算即可．【详解】解：∠∠DEF＝60°，∠∠AED＝120°，∠∠A＝∠C＝80°，∠B＝140°，∠∠D＝180°×（5﹣2）﹣80°﹣80°﹣140°﹣120°＝120°，故答案为：120°．【点睛】此题主要考查了多边形内角与外角，关键是掌握多边形内角和定理：（n-2）•180° （n≥3且n为整数）．37．6、5、4【分析】根据一个n边形对角线条数公式()32n n-共有n条对角线，列等式，求出边数，再利用分类将五边形截去一个角的情形求解即可．【详解】解：由这个n边形共有n条对角线，可得()32n nn-=，解得n＝5或0（不合题意，舍去），所以这个多边形是五边形，将一个五边形截去一个角，根据截法不同可以有三种情况如图，其结果分别是6、5、4条边，故答案为：6、5、4．【点睛】本题考查由对角线条数与边关，分类思想，数形结合思想截取一个角实质看边是否减少是解题关键．38．5【分析】根据对角线的意义求解．【详解】解：根据对角线的意义可知：一个八边形过一个顶点有8-2-1=5条对角线，故答案为：5．【点睛】本题考查多边形的对角线，熟练掌握多边形对角线的意义是解题关键．39．4【分析】根据题意和多边形内角和公式求出多边形的边数，根据多边形的对角线的条数的计算公式计算即可．【详解】设这个多边形的边数为n，则（n-2）×180°=900°，解得，n=7，从七边形的其中一个顶点出发引的对角线的条数：7-3=4，故答案为：4．【点睛】本题考查的是多边形的内角和外角、多边形的对角线，掌握n边形的内角和等于（n-2）×180°、从n边形的其中一个顶点出发引的对角线的条数是n-3是解题的关键．40．2【解析】试题分析：一个多边形能不能进行平面镶嵌，关键看同一个顶点处无缝且能组成一个周角，因为任意三角形的内角和是180°，所以放在同一顶点处6个即可；因为任意四边形的内角和是360°，所以放在同一顶点处4个即可；因为任意五边形的内角和是540°，不能整除360°，所以不能密铺；因为边长相等的六边形的内角和是720°，虽然能整除360°，但不一定能密铺；因为任意七边形的内角和是900°，不能整除360°，所以不能密铺．因此能进行平面镶嵌的几何图形有三角形和四边形2种．考点：平面镶嵌.41．∠【分析】分别求出正三角形，各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断．【详解】解：∠正三角形的每个内角是60°，放在同一顶点处6个即能密铺；∠正方形的每个内角是90°，4个能密铺；∠正六边形每个内角是120°，能整除360°，故能密铺；∠正八边形每个内角是135°，不能整除360°，不能密铺．故答案为：∠【点睛】本题考查一种多边形的镶嵌问题，考查的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°.镶嵌定义是解答此题的重要依据.42．∠∠∠【分析】根据正多边形的内角特点即可依次判断．【详解】解：∠正三角形的每个内角是60，能整除360，能镶嵌平面；∠正方形的每个内角是90，4个能镶嵌平面；-÷=，不能整除360，不能镶嵌平面；∠正五边形每个内角是：1803605108。