2021年九年级中考数学复习专题：【三角形综合】培优训练(一)

2021中考数学全等三角形专项培优训练一、选择题（本大题共10道小题）1. 等腰三角形的两边长分别为4 cm和8 cm，则它的周长为()A.16 cmB.17 cmC.20 cmD.16 cm或20 cm2. 已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是()A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形3. 如图，小明书上的三角形被墨迹遮挡了一部分，测得其中两个角的度数分别为28°，62°，于是他很快判断出这个三角形是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．钝角三角形4. 如图，六根木条钉成一个六边形框架ABCDEF，要使框架稳固且不活动，至少还需要添加木条()A．1根B．2根C．3根D．4根5. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是()A．AB＝DE B．AC＝DFC．∠A＝∠D D．BF＝EC6. 如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC ＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是()A．24 B．30C．36 D．427. 若三角形的三个内角的度数之比为2∶3∶7，则这个三角形的最大内角是()A．75°B．90°C．105°D．120°8. 如图，AB⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为B，E，∠1=∠2，AD=AB，则下列结论正确的是()A.∠1=∠EFDB.BE=ECC.BF=CDD.FD∥BC9. 如图，已知长方形ABCD，一条直线将长方形ABCD分割成两个多边形.若这两个多边形的内角和分别为M和N，则M+N不可能是()A.360°B.540°C.720°D.630°10. 如图，平面上到两两相交的三条直线a，b，c的距离相等的点一共有()A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题（本大题共8道小题）11. 如图，已知DB⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB＝DC，∠BAC＝40°，∠ADG＝130°，则∠DGF＝________°.12. 已知:∠AOB，求作:∠AOB的平分线.作法:①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N;②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C;③画射线OC.射线OC即为所求.上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是.13. 将两块完全相同的三角尺在∠AOB的内部如图摆放，两块三角尺较短的直角边分别与∠AOB的两边重合，且含30°角的顶点恰好也重合于点C，则射线OC 即为∠AOB的平分线，理由是______________________．14. 如图，已知AC＝EC，∠ACB＝∠ECD，要直接利用“AAS”判定△ABC≌△EDC，应添加的条件是__________．15. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E.若△DBE的周长为20，则AB＝________．16. 如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E.若∠AFD=158°，则∠EDF=°.17. 如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q是线段AC与射线AX上的两个动点，且AB＝PQ，当AP＝________时，△ABC与△APQ全等．18. 如图，P是△ABC外的一点，PD⊥AB交BA的延长线于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC交BC的延长线于点F，连接PB，PC.若PD＝PE＝PF，∠BAC＝64°，则∠BPC的度数为________．三、解答题（本大题共8道小题）19. 如图，D是BC上一点，△ABC≌△ADE，AB=AD.求证:∠CDE=∠BAD.20. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F.(1)求证:△BDE≌△CDF;(2)当AD⊥BC，AE=1，CF=2时，求AC的长.21. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE＝∠BAD.22. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD，连接AC交DE于点M.(1)求证：AD＝BE；(2)求证：AC是线段ED的垂直平分线；(3)△DBC是等腰三角形吗？说明理由．23. 在△ABC中，∠B＝55°，且3∠A＝∠B＋∠C，求∠A和∠C的度数.24. 如图，BE ，CF 都是△ABC 的高，在BE 上截取BD ＝AC ，在射线CF 上截取CG ＝AB ，连接AG ，AD . 求证：(1)△BAD ≌△CGA ； (2)AD ⊥AG .25. 如图，AB为⊙O 的直径，C 为圆外一点，AC 交⊙O 于点D ，BC 2＝CD ·CA ，ED ︵＝BD ︵，BE 交AC 于点F . (1)求证：BC 为⊙O 的切线；(2)判断△BCF 的形状并说明理由；(3)已知BC ＝15，CD ＝9，∠BAC ＝36°，求BD ︵的长度(结果保留π).26. 如图①所示，在△ABC 中，∠1＝∠2，∠C >∠B ，E 为AD 上一点，且EF ⊥BC于点F .(1)试探索∠DEF 与∠B ，∠C 之间的数量关系；(2)如图②所示，当点E 在AD 的延长线上时，其余条件都不变，你在(1)中探索得到的结论是否还成立？2021中考数学全等三角形专项培优训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C2. 【答案】D3. 【答案】C4. 【答案】C[解析] 添加3根木条以后成为如右所示图形，其由若干三角形组成，具有稳定性．5. 【答案】C[解析] 选项A中添加AB＝DE可用“AAS”进行判定，故本选项不符合题意；选项B中添加AC＝DF可用“AAS”进行判定，故本选项不符合题意；选项C中添加∠A＝∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；选项D中添加BF＝EC可得出BC＝EF，然后可用“ASA”进行判定，故本选项不符合题意．故选C.6. 【答案】B[解析] 过点D作DH⊥AB交BA的延长线于点H.∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，∴DH＝CD＝4.∴四边形ABCD的面积＝S△ABD＋S△BCD＝12AB·DH＋12BC·CD＝12×6×4＋12×9×4＝30.7. 【答案】C[解析] ∵一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，∴可设这个三角形的三个内角分别为2x，3x，7x.由题意，得2x＋3x＋7x＝180°，解得x＝15°.∴7x＝105°.8. 【答案】D[解析] 在△AFD和△AFB中，∴△AFD≌△AFB.∴∠ADF=∠ABF.∵AB⊥BC，BE⊥AC，∴∠BEC=∠ABC=90°.∴∠ABF+∠EBC=90°，∠C+∠EBC=90°.∴∠ADF=∠ABF=∠C.∴FD∥BC.9. 【答案】D[解析] 一条直线将长方形ABCD分割成两个多边形的情况有以下三种:(1)直线不经过原长方形的顶点，如图①②，此时长方形被分割为一个五边形和一个三角形或两个四边形，∴M+N=540°+180°=720°或M+N=360°+360°=720°;(2)直线经过原长方形的一个顶点，如图③，此时长方形被分割为一个四边形和一个三角形，∴M+N=360°+180°=540°;(3)直线经过原长方形的两个顶点，如图④，此时长方形被分割为两个三角形，∴M+N=180°+180°=360°.10. 【答案】A[解析] 如图，到三条直线a，b，c的距离相等的点一共有4个．二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】150[解析] ∵DB⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB＝DC，∴AD是∠BAC的平分线．∵∠BAC＝40°，∴∠CAD＝12∠BAC＝20°.∴∠DGF＝∠CAD＋∠ADG＝20°＋130°＝150°.12. 【答案】SSS[解析]由作图可得OM=ON，MC=NC，而OC=OC，∴根据“SSS”可判定△MOC≌△NOC.13. 【答案】角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上14. 【答案】∠B＝∠D15. 【答案】20[解析] 由角平分线的性质可得CD＝DE.易证Rt△ACD≌Rt△AED，则AC＝AE，DE＋DB＝CD＋DB＝BC＝AC＝AE，故DE＋DB＋EB ＝AE＋EB＝AB.16. 【答案】68[解析] ∵∠AFD=158°，∴∠CFD=180°-∠AFD=180°-158°=22°.∵FD⊥BC，∴∠FDC=90°.∴∠C=180°-∠FDC-∠CFD=180°-90°-22°=68°.∵∠B=∠C，DE⊥AB，∴∠EDB=180°-∠B-∠DEB=180°-68°-90°=22°. ∴∠EDF=180°-90°-22°=68°.17. 【答案】5或10 [解析] ∵AX ⊥AC ，∴∠PAQ ＝90°.∴∠C ＝∠PAQ ＝90°.分两种情况：①当AP ＝BC ＝5时， 在Rt △ABC 和Rt △QPA 中，⎩⎨⎧AB ＝QP ，BC ＝PA ，∴Rt △ABC ≌Rt △QPA(HL)； ②当AP ＝CA ＝10时，在Rt △ABC 和Rt △PQA 中，⎩⎨⎧AB ＝PQ ，AC ＝PA ，∴Rt △ABC ≌Rt △PQA(HL)．综上所述，当AP ＝5或10时，△ABC 与△APQ 全等．18. 【答案】32°[解析] ∵PD ＝PE ＝PF ，PD ⊥AB 交BA 的延长线于点D ，PE ⊥AC于点E ，PF ⊥BC 交BC 的延长线于点F ， ∴CP 平分∠ACF ，BP 平分∠ABC. ∴∠PCF ＝12∠ACF ，∠PBF ＝12∠ABC.∴∠BPC ＝∠PCF －∠PBF ＝12(∠ACF －∠ABC)＝12∠BAC ＝32°.三、解答题（本大题共8道小题）19. 【答案】证明:∵△ABC ≌△ADE ，∴∠B=∠ADE. 由三角形的外角性质，得∠ADC=∠B+∠BAD. 又∵∠ADC=∠ADE+∠CDE ，∴∠CDE=∠BAD.20. 【答案】解:(1)证明:∵CF ∥AB ， ∴∠B=∠FCD ，∠BED=∠F . ∵AD 是BC 边上的中线， ∴BD=CD ，∴△BDE ≌△CDF .(2)∵△BDE ≌△CDF ，∴BE=CF=2，∴AB=AE +BE=1+2=3.∵AD ⊥BC ，BD=CD ， ∴AC=AB=3.21. 【答案】证明：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ，∵AD 是BC 边上的中线，∴AD ⊥BC ，∴∠BAD ＋∠ABC ＝90°，(3分)∵BE ⊥AC,∴∠CBE ＋∠C ＝90°，∴∠CBE ＝∠BAD.(5分)22. 【答案】解：(1)证明：∵∠ABC ＝90°，∴∠ABD ＋∠DBC ＝90°.∵CE ⊥BD ，∴∠BCE ＋∠DBC ＝90°.∴∠ABD ＝∠BCE.在△DAB 和△EBC 中，⎩⎨⎧∠ABD ＝∠BCE ，AB ＝BC ，∠DAB ＝∠EBC ＝90°，∴△DAB ≌△EBC(ASA)．∴AD ＝BE.(2)证明：∵E 是AB 的中点，∴AE ＝BE.∵BE ＝AD ，∴AE ＝AD.∴点A 在线段ED 的垂直平分线上．∵AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，∴∠BAC ＝∠BCA ＝45°.∵∠BAD ＝90°，∴∠BAC ＝∠DAC ＝45°.在△EAC 和△DAC 中，⎩⎨⎧AE ＝AD ，∠EAC ＝∠DAC ，AC ＝AC ，∴△EAC ≌△DAC(SAS)．∴CE ＝CD.∴点C 在线段ED 的垂直平分线上．∴AC 是线段ED 的垂直平分线．(3)△DBC 是等腰三角形．理由：由(1)知△DAB ≌△EBC ，∴BD ＝CE.由(2)知CE ＝CD.∴BD ＝CD.∴△DBC 是等腰三角形．23. 【答案】解：∵在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，3∠A ＝∠B ＋∠C ，∴4∠A ＝180°，解得∠A ＝45°.∵∠B ＝55°，∴∠C ＝180°－45°－55°＝80°.24. 【答案】证明：(1)∵BE ，CF 都是△ABC 的高，∴∠ABE ＋∠BAC ＝90°，∠ACF ＋∠BAC ＝90°.∴∠ABE ＝∠ACF.在△BAD 和△CGA 中，⎩⎨⎧AB ＝GC ，∠ABD ＝∠GCA ，BD ＝CA ，∴△BAD ≌△CGA(SAS)．(2)∵△BAD ≌△CGA ，∴∠G ＝∠BAD.∵∠AFG ＝90°，∴∠GAD ＝∠BAD ＋∠BAG ＝∠G ＋∠BAG ＝90°.∴AD ⊥AG .25. 【答案】(1)证明：∵BC 2＝CD ·CA ，∴BC CA ＝CD BC ，∵∠C ＝∠C ，∴△CBD ∽△CAB ，∴∠CBD ＝∠BAC ，又∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即∠BAC ＋∠ABD ＝90°，∴∠ABD ＋∠CBD ＝90°，即AB ⊥BC ，又∵AB 为⊙O 的直径，∴BC 为⊙O 的切线；(2)解：△BCF 为等腰三角形．证明如下：∵ED ︵＝BD ︵，∴∠DAE ＝∠BAC ，又∵△CBD ∽△CAB ，∴∠BAC ＝∠CBD ，∴∠CBD ＝∠DAE ，∵∠DAE ＝∠DBF ，∴∠DBF ＝∠CBD ，∵∠BDF ＝90°，∴∠BDC ＝∠BDF ＝90°，∵BD ＝BD ，∴△BDF ≌△BDC ，∴BF ＝BC ，∴△BCF 为等腰三角形；(3)解：由(1)知，BC 为⊙O 的切线，∴∠ABC ＝90°∵BC 2＝CD ·CA ，∴AC ＝BC 2CD ＝1529＝25，由勾股定理得AB ＝AC 2－BC 2＝252－152＝20，∴⊙O 的半径为r ＝AB 2＝10， ∵∠BAC ＝36°，∴BD ︵所对圆心角为72°.则BD ︵＝72×π×10180＝4π.26. 【答案】解：(1)∵∠1＝∠2，∴∠1＝12∠BAC.又∵∠BAC ＝180°－(∠B ＋∠C)，∴∠1＝12[180°－(∠B ＋∠C)]＝90°－12(∠B ＋∠C)．∴∠EDF ＝∠B ＋∠1＝∠B ＋90°－12(∠B ＋∠C)＝90°＋12(∠B －∠C)．∵EF ⊥BC ，∴∠EFD ＝90°.∴∠DEF ＝90°－∠EDF ＝90°－[90°＋12(∠B －∠C)]＝12(∠C －∠B)．(2)当点E 在AD 的延长线上时，其余条件都不变，在(1)中探索得到的结论仍成立．。

2021年九年级中考数学复习专题：【三角形综合】培优训练（一）一．选择题1．下列四组线段中，能构成直角三角形的是（）A．2cm、4cm、5cm B．15cm、20cm、25cmC．0.2cm、0.3cm、0.4cm D．1cm、2cm、2.5cm2．下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（）A．两条直角边对应相等B．斜边和一锐角对应相等C．斜边和一直角边对应相等D．两个锐角对应相等3．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠C＝30°，则∠D的度数是（）A．30°B．35°C．40°D．45°4．已知在含有30°角的直角三角形中，斜边长为8cm，则这个三角形的最短边长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm5．如图，公园里有一座假山，要测假山两端A，B的距离，先在平地上取一个可直接到达A 和B的点C，分别延长AC，BC到D，E，使CD＝CA，CE＝CB，连接DE．这样就可利用三角形全等，通过量出DE的长得到假山两端A，B的距离．其中说明两个三角形全等的依据是（）A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC ＝3，则BD的长度为（）A．B．2 C．D．37．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DF∥BC，∠ABC的平分线BE交DF于点G，GH⊥DF，点E恰好为DH的中点，若AE＝3，CD＝2，则GH＝（）A．1 B．2 C．3 D．48．如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积是（）A．3 B．4 C．5 D．69．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于点F，连接AF．下列结论：①BD＝CE；②BF⊥CF；③AF平分∠CAD；④∠AFE＝45°．其中正确结论的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，已知AD 为△ABC 的高线，AD ＝BC ，以AB 为底边作等腰Rt △ABE ，连接ED ，EC ，延长CE 交AD 于F 点，下列结论：①∠DAE ＝∠CBE ；②CE ⊥DE ；③BD ＝AF ；④△AED 为等腰三角形；⑤S △BDE ＝S △ACE ，其中正确的有（ ）A ．①③B ．①②④C ．①③④D ．①②③⑤二．填空题 11．在△ABC 中，AC ＝5，BC ＝12，AB ＝13，则△ABC 的面积为＝ ．12．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝26cm ，BC 的垂直平分线交AB 于点D ，则点C 与点D 的距离是 cm ．13．如图，线段AB ，BC 的垂直平分线l 1，l 2交于点O ．若∠B ＝35°，则∠AOC ＝ °．14．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°．AB ＝5，AC ＝13，BC ＝12，∠BAC 与∠ACB 的角平分线相交于点D ，点M 、N 分别在边AB 、BC 上，且∠MDN ＝45°，连接MN ，则△BMN 的周长为 ．15．如图，在△ABC中，OA＝4，OB＝3，C点与A点关于直线OB对称，动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ＝∠BAO．当△PQB为等腰三角形时，OP的长度是．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点P是BC上的一点，连接AP，作∠APD＝∠B，交AC于点D，且∠PDC＝∠BAP，作AE⊥BC于点E．（1）∠EAP的大小＝（度）；（2）已知AP＝6，①△APC的面积＝；②AB•PE的值＝．三．解答题17．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，作∠EAB＝∠BAD，AE边交CB 的延长线于点E，延长AD到点F，使AF＝AE，连结CF．（1）求证：BE＝CF；（2）若∠ACF＝100°，求∠BAD的度数．18．如图，在△ABC中，AB＜AC，边BC的垂直平分线DE交△ABC的外角∠CAM的平分线于点D，垂足为E，DF⊥AC于点F，DG⊥AM于点G，连接CD．（1）求证：BG＝CF；（2）若AB＝10cm，AC＝14cm，求AG的长．19．如图1，△ABC中，CD⊥AB于点D，且BD：AD：CD＝2：3：4．（1）试说明△ABC是等腰三角形；（2）已知S＝90cm2，如图2，动点P从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A △ABC运动，同时动点Q从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点P运动的时间为t（秒），①若△DPQ的边与BC平行，求t的值；②若点E是边AC的中点，问在点P运动的过程中，△PDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．20．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10．（1）如图1，求点C到边AB距离；（2）点M是AB上一动点．①如图2，过点M作MN⊥AB交AC于点N，当MN＝CN时，求AM的长；②如图3，连接CM，当AM为何值时，△BCM为等腰三角形？21．思维启迪：（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝100米，那么A，B间的距离是米．思维探索：（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE 绕点A逆时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点M是线段BD的中点，连接MC，ME．①如图2，当△ADE在起始位置时，猜想：MC与ME的数量关系和位置关系分别是；②如图3，当α＝90°时，点D落在AB边上，请判断MC与ME的数量关系和位置关系，并证明你的结论．22．在平面直角坐标系中，点C的坐标为（3，3）．（1）如图1，若点B在x轴正半轴上，点A（1，﹣1），AB＝BC，AB⊥BC，则点B坐标为．（2）如图2，若点B在x轴负半轴上，CE⊥x轴于点E，CF⊥y轴于点F，∠BFN＝45°，NF交直线CE于点N，若点B（﹣1，0），BN＝5，求点N坐标．（3）如图3，若点B，F分别在x，y轴的正半轴上，CF＝BF，连接CB，点P、Q是BC上的两点，设∠PFQ＝θ（0°＜θ＜45°），∠BFC＝2∠PFQ，则以线段CP、PQ、BQ长度为边长的三角形的形状为（①钝角三角形②直角三角形③锐角三角形④随线段的长度而定），请选择，并给出证明．参考答案一．选择题1．解：A、∵22+42≠52，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；B、∵152+202＝252，∴此组数据能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意；C、∵0.22+0.32≠0.42，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；D、∵12+22≠2.52，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意；故选：B．2．解：A、根据SAS定理可知，两条直角边对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；B、根据AAS定理可知，斜边和一锐角对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；C、根据HL定理可知，斜边和一直角边对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；D、两个锐角对应相等的两个三角形不一定全等，本选项符合题意；故选：D．3．解：在△AOD与△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴∠D＝∠C，∵∠C＝30°，∴∠D＝30°，故选：A．4．解：在含有30°角的直角三角形中，斜边长为8cm，∴这个三角形的最短边长为×8＝4（cm）．故选：B．5．解：根据题意可得：在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DCE（SAS），∴AB＝DE，∴依据是SAS，故选：D．6．解：设CD＝x，∵在△ACB中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝30°，∴∠B＝∠BAD，∴AD＝BD，∵在△ACD中，∠C＝90°，∠CAD＝30°，∴AD＝2CD＝2x，即BD＝AD＝2x，∵BC＝3＝BD+CD＝2x+x，解得：x＝1，即BD＝2x＝2，故选：B．7．解：过E作EM⊥BC，交FD于点N，∵DF∥BC，∴EN⊥DF，∴EN∥HG，∴∠DEN＝∠DHG，∠END＝∠HGD，∴△END∽△HGD，∴＝，∵E为HD中点，∴＝，∴＝，即HG＝2EN，∴∠DNM＝∠NMC＝∠C＝90°，∴四边形NMCD为矩形，∴MN＝DC＝2，∵BE平分∠ABC，EA⊥AB，EM⊥BC，∴EM＝AE＝3，∴EN＝EM﹣MN＝3﹣2＝1，则HG＝2EN＝2．故选：B．8．解：作DE⊥OB于E，如图，∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DE⊥OB，∴DE＝DP＝4，∴S＝×3×4＝6．△ODQ故选：D．9．解：如图，作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N，设AD交EF于O．∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴EC＝BD，∠BDA＝∠AEC，故①正确∵∠DOF＝∠AOE，∴∠DFO＝∠EAO＝90°，∴BD⊥EC，故②正确，∵△BAD≌△CAE，AM⊥BD，AN⊥EC，∴AM＝AN，∴FA平分∠EFB，∴∠AFE＝45°，故④正确，若③成立，则∠EAF＝∠BAF，∵∠AFE＝∠AFB，∴∠AEF＝∠ABD＝∠ADB，推出AB＝AD，由题意知，AB不一定等于AD，所以AF不一定平分∠CAD，故③错误，故选：C．10．解：①∵AD为△ABC的高线，∴∠CBE+∠ABE+∠BAD＝90°，∵Rt△ABE是等腰直角三角形，∴∠ABE＝∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝45°，AE＝BE，∴∠CBE+∠BAD＝45°，∴∠DAE＝∠CBE，故①正确②在△DAE和△CBE中，，∴△ADE≌△BCE（SAS）；∴∠EDA＝∠ECB，∵∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠EDC+∠ECB＝90°，∴∠DEC＝90°，∴CE⊥DE；故②正确；③∵∠BDE＝∠ADB+∠ADE，∠AFE＝∠ADC+∠ECD，∴∠BDE＝∠AFE，∵∠BED+∠BEF＝∠AEF+∠BEF＝90°，∴∠BED＝∠AEF，在△AEF和△BED中，，∴△AEF≌△BED（AAS），∴BD＝AF；故③正确；④∵AE≠DE，∴△ADE不是等腰三角形，⑤∵AD＝BC，BD＝AF，∴CD＝DF，∵AD⊥BC，∴△FDC是等腰直角三角形，∵DE⊥CE，∴EF＝CE，∴S△AEF ＝S△ACE，∵△AEF≌△BED，∴S△AEF ＝S△BED，∴S△BDE ＝S△ACE．故⑤正确；故选：D．二．填空题（共6小题）11．解：在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，∴AC2+BC2＝52+122＝132＝AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，∴△ABC的面积＝，故答案为：30．12．解：连接CD，∵BC的垂直平分线交AB于点D，∴DC＝DB，∴∠DCB＝∠B，∵∠B+∠A＝90°，∠DCA+∠DCB＝90°，∴∠A＝∠DCA，∴DC＝DA，∴CD＝AB＝13（cm），故答案为：13．13．解：连接BO并延长，点D在BO的延长线上∵线段AB，BC的垂直平分线l1，l2交于点O，∴OA＝OB，OC＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC，∴∠AOD＝2∠ABO，∠COD＝2∠CBO，∴∠AOC＝∠AOD+∠COD＝2（∠ABO+∠CBO）＝70°，故答案为：70．14．解：过D点作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，DH⊥AC于H，如图，∵DA平分∠BAC，∴DE＝DH，同理可得DF＝DH，∴DE＝DF，∵∠DEB＝∠B＝∠DFB＝90°，∴四边形BEDF为正方形，∴BE＝BF＝DE＝DF，在Rt△ADE和Rt△ADH中，∴Rt△ADE≌Rt△ADH（HL），∴AE＝AH，同理可得Rt△CDF≌Rt△CDH（HL），∴CF＝CH，设正方形BEDF的边长为x，则AE＝AH＝5﹣x，CF＝CH＝12﹣x，∵AH+CH＝AC，∴5﹣x+12﹣x＝13，解得x＝2，即BE＝2，在FC上截取FP＝EM，如图，∵DE＝DF，∠DEM＝∠DFP，EM＝FP，∴△DEM≌△DFP（SAS），∴DM＝DP，∠EDM＝∠FDP，∴∠MDP＝∠EDF＝90°，∵∠MDN＝45°，∴∠PDN＝45°，在△DMN和△DPN中，，∴△DMN≌△DPN（SAS），∴MN＝NP＝NF+FP＝NF+EM，∴△BMN的周长＝MN+BM+BN＝EM+BM+BN+NF＝BE+BF＝2+2＝4．故答案为4．15．解：∵OA＝8，OB＝6，C点与A点关于直线OB对称，∴BC＝AB＝＝5，分为3种情况：①当PB＝PQ时，∵C点与A点关于直线OB对称，∴∠BAO＝∠BCO，∵∠BPQ＝∠BAO，∴∠BPQ＝∠BCO，∵∠APB＝∠APQ+∠BPQ＝∠BCO+∠CBP，∴∠APQ＝∠CBP，在△APQ与△CBP中，，∴△APQ≌△CBP（AAS），∴PA＝BC，此时OP＝5﹣4＝1；②当BQ＝BP时，∠BPQ＝∠BQP，∵∠BPQ＝∠BAO，∴∠BAO＝∠BQP，根据三角形外角性质得：∠BQP＞∠BAO，∴这种情况不存在；③当QB＝QP时，∠QBP＝∠BPQ＝∠BAO，∴PB＝PA，设OP＝x，则PB＝PA＝8﹣x在Rt△OBP中，PB2＝OP2+OB2，∴（4﹣x）2＝x2+32，解得：x＝；∵点P在AC上，∴点P在点O左边，此时OP＝．∴当△PQB为等腰三角形时，OP的长度是1或．故答案为：1或．16．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝45°，∵∠B+∠BAP+∠APB＝180°，∠APD+∠DPC+∠APB＝180°，∠B＝∠APD，∴∠BAP＝∠DPC，∵∠BAP＝∠PDC，∴∠DPC＝∠PDC，∵∠C＝45°，∴∠DPC＝∠PDC＝67.5°，∵∠B＝∠APD＝45°，∠PDC＝∠APD+∠PAC，∴∠PAC＝67.5°﹣45°＝22.5°，∵AB＝AC，AE⊥BC，∴∠BAE＝∠EAC＝∠BAC＝×90°＝45°，∴∠EAP＝∠EAC﹣∠PAC＝45°﹣22.5°＝22.5°；故答案为：22.5；（2）①过点C作CG⊥AP交AP延长线于G，过点B作BH⊥AP于H，过点P作PF⊥AC于F，如图所示：∴∠BHA＝∠AGC＝90°，∵∠BAH+∠GAC＝90°，∠ACG+∠GAC＝90°，∴∠BAH＝∠ACG，在△ABH和△CAG中，，∴△ABH≌△CAG（AAS），∴AH＝CG，∵∠BAP＝67.5°，∠APB＝180°﹣∠APD﹣∠DPC＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠BAP＝∠APB，∴AB＝BP，∵BH⊥AP，∴AH＝PH＝AP＝×6＝3，∴CG＝AH＝3，＝AP•CG＝×6×3＝9，∴S△APC故答案为：9；＝AC•PF，②∵S△APC∴AC•PF＝18，∵∠EAP＝∠CAP＝22.5°，PF⊥AC，PE⊥AE，∴PE＝PF，∵AB＝AC，∴AB•PE＝AC•PF＝18．故答案为：18．三．解答题（共6小题）17．（1）证明：∵AB＝AC，点D是BC的中点，∴∠CAD＝∠BAD．又∵∠EAB＝∠BAD，∴∠CAD＝∠EAB．在△ACF和△ABE中，，∴△ACF≌△ABE（SAS）．∴BE＝CF．（2）解：∵△ACF≌△ABE．∴∠ABE＝∠ACF＝100°，∴∠ABC＝80°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝80°，∴∠BAC＝20°，∵∠CAD＝∠BAD，∴∠BAD＝10°．18．（1）证明：连接BD，∵DE垂直平分BC，∴BD＝CD，∵AD平分∠CAM，DF⊥AC，DG⊥AM，∴DG＝DF，在Rt△BDG和Rt△CDF中，，∴Rt△BDG≌Rt△CDF（HL），∴BG＝CF；（2）解：在Rt△ADG和Rt△ADF中，，∴Rt△ADG≌Rt△ADF（HL），∴AG＝AF，∵AC＝AF+CF，BG＝AB+AG，BG＝CF，∴AC＝AF+AB+AG，∴AC＝2AG+AB，∵AB＝10cm，AC＝14cm，∴AG＝＝2cm．19．解：（1）设BD＝2x，则AD＝3x，CD＝4x，∴AB＝BD+AD＝5x，由勾股定理得，AC＝＝5x，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形；＝90cm2，（2）∵S△ABC∴×5x×4x＝90，解得，x＝3，∴BD＝6m，AD＝9m，CD＝12m，由题意得，BP＝t，AQ＝t，则AP＝15﹣t，当DQ∥BC时，∠ADQ＝∠ABC，∠AQD＝∠ACB，∴∠ADQ＝∠AQD，∴AQ＝AD＝9，即t＝9，当PQ∥BC时，∠APQ＝∠ABC，∠AQP＝∠ACB，∴∠APQ＝∠AQP，∴AP＝AQ，即15﹣t＝t，解得，t＝7.5，综上所述，当△DPQ的边与BC平行，t的值为9或7.5；（3）在Rt△CDA中，点E是AC的中点，∴DE＝AC＝AE＝7.5，∴当点P与点A重合时，△PDE为等腰三角形，此时t＝15，如图3，当DP＝DE＝7.5时，BP＝BD+DP＝13.5，此时t＝13.5，如图4，当PD＝PE时，△PDE为等腰三角形，作EH⊥AB于H，∵ED＝EA，∴DH＝DA＝4.5，设DP＝EP＝x，由勾股定理得，EH＝＝6，∴PH＝x﹣6，在Rt△EHP中，EP2＝EH2+PH2，即x2＝62+（x﹣4.5）2，解得，x＝，则BP＝6+＝，综上所述，当△PDE为等腰三角形时，t的值为15或13.5或．20．解：（1）如图1，过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，即82+BC2＝102，解得，BC＝6，∵，∴10CD＝6×8，∴CD＝，∴点C到边AB的距离为；（2）①连接BN，如图2所示：∵MN⊥AB，∴∠BMN＝90°，∴∠BMN＝∠ACB＝90°，在Rt△BCN与Rt△BMN中，∴Rt△BCN≌Rt△BMN（HL），∴BC＝BM，∴AM＝AB﹣BM＝10﹣6＝4，∴AM的长为4cm；②当AM为5、4或时，△BCM为等腰三角形．当BM＝CM时，△BCM为等腰三角形，如图3所示：∵BM＝CM，∴∠BCM＝∠B，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠BCM+∠ACM＝90°，∴∠A＝∠ACM，∴AM＝CM，∴AM＝BM＝AB，∴AM＝5；当BM＝BC＝6时，△BCM为等腰三角形，如图4所示：AM＝AB﹣BM＝4；当BC＝CM＝6时，△BCM为等腰三角形，如图5所示，过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△BDC中，由勾股定理得：BD2+CD2＝BC2，∴BD 2+（）2＝62，∴BD＝，∵BC＝CM，CD⊥AB，∴DM＝BD＝，∴AM＝AB﹣BD﹣DM＝．21．解：（1）∵CD∥AB，∴∠C＝∠B，在△CPD和△BPA中，，∴△CPD≌△BPA（ASA），∴AB＝CD＝100（米），故答案为：100；（2）如图2，延长EM交BC于F，∵∠ACB＝∠AED＝90°，∴∠ACB＝∠CED＝90°，∴DE∥BC，∴∠MDE＝∠MBF，在△MED和△MFB中，，∴△MED≌△MFB（ASA）∴EM＝FM，DE＝BF，∵DE＝AE，∴EA＝FB，∵CA＝CB，∴CA﹣EA＝CB﹣FB，即CE＝CF，∵EM＝FM，∴MC＝ME，MC⊥ME，故答案为：MC＝ME，MC⊥ME；（3）MC＝ME，MC⊥ME，理由如下：如图3，延长EM至H，使MH＝EM，连接BH、CE、CH，在△MDE和△MBH中，，∴△MDE≌△MBH（SAS），∴BH＝DE＝AE，∠MDE＝∠MBH，∵∠MDE＝135°，∠ABC＝45°，∴∠CBH＝90°，在△CAE和△CBH中，，∴△CAE≌△CBH（SAS），∴CE＝CH，∵ME＝MH，∴MC＝ME，MC⊥ME．22．解：（1）如图1，过点C作CD⊥OB于D，过点A作AH⊥OB于H，∵点C的坐标为（3，3），点A（1，﹣1），∴CD＝OD＝3，OH＝AH＝1，∵AB⊥BC，CD⊥OB，AH⊥OB，∴∠ABC＝∠AHB＝∠CDB＝90°，∴∠ABH+∠CBD＝∠ABH+∠HAB＝90°，∴∠CBD＝∠HAB，又∵AB＝BC，∴△ABH≌△BCD（AAS），∴BD＝AH＝1，∴BO＝4，∴点B（4，0），故答案为：（4，0）；（2）∵点C的坐标为（3，3），点B（﹣1，0），∴CE＝CF＝OE＝3，BO＝1，∴BE＝4，∴EN＝＝＝3，∴点N（3，﹣3）；（3）如图3，将△CPF绕点F顺时针旋转2θ，得到△BGF，∴△CPF≌△BGF，∴FG＝FP，BG＝CP，∠CFP＝∠BFG，∠C＝∠FBG，∵∠BFC＝2∠PFQ，∴∠CPF+∠BFQ＝∠PFQ，∴∠BFG+∠BFQ＝∠PFQ，又∵FG＝PF，FQ＝FQ，∴△PFQ≌△GFQ（SAS），∴GQ＝PQ，∴以线段CP、PQ、BQ长度为边长的三角形就是以线段BQ，GQ，GB长度为边长的△BGQ，∵∠PFQ＝θ（0°＜θ＜45°），∴∠BFC＝2∠PFQ＜90°，∴∠C+∠FBC＞90°，∴∠GBF+∠FBC＞90°，∴△BGQ是钝角三角形，∴以线段CP、PQ、BQ长度为边长的三角形是钝角三角形，故答案为①．。

专题冲刺训练：《三角形综合》1．数学活动课上，小明同学根据学习函数的经验，对函数的图象、性质进行了探究．下面是小明同学探究过程，请补充完整：如图1，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2cm，点P为AB边上的一个动点，连接PC，设BP＝xcm，CP＝ycm，【初步感知】（1）当CP⊥AB时，则①x＝ 1 ；②y＝；【深入思考】（2）试求y与x之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围；（3）通过取点测量，得到了x与y的几组值，如表：x/cm0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 y/cm 2 1.8 1.7 1.8 2 2.3 2.6 3 3.5 （说明：补全表格时相关数值保留一位小数）1）建立平面直角坐标系，如图2，提出已补全后的表格中各对应值为坐标的点，画出该函数的图象；2）结合画出的函数图象，写出该函数的两条性质：①当0≤x≤1时，y随x增大而减小；②当1≤x≤4时，y随x增大而增大．解：（1）①当CP⊥AB时，∵∠CPB＝∠ACB＝90°，∴∠BCP＝∠A＝30°，∴BP＝BC＝1cm，∴x＝1，故答案为：1．②∵∠BCP＝30°，∠BPC＝90°，BC＝2cm，∴CP＝BC•cos30°＝2×＝（cm），∴y＝．故答案为：．（2）过点C作CD⊥AB于点D，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2cm，∴BD＝1，CD＝，①当0≤x≤1时，如图1，PD＝1﹣x，PC ＝＝＝，∴，②当1＜x≤4时，如图2，PD＝x﹣1，PC ＝＝＝．综合①②得：y＝（0≤x≤4）．（3）1）由（2）知y＝（0≤x≤4）．当x＝1.5时，y＝≈1.8．当x＝4时，y＝＝2．故答案为：1.8；3.5．补图：如图3，2）性质：①当0≤x≤1时，y随x增大而减小；②当1≤x≤4时，y随x增大而增大；③y的最小值为．故答案为：当0≤x≤1时，y随x增大而减小；当1≤x≤4时，y随x增大而增大．2．如图，在△ABC中，AC＝，tan A＝3，∠ABC＝45°，射线BD 从与射线BA重合的位置开始，绕点B按顺时针方向旋转，与射线BC重合时就停止旋转，射线BD与线段AC相交于点D，点M 是线段BD的中点．（1）求线段BC的长；（2）①当点D与点A、点C不重合时，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，连接ME，MF，在射线BD旋转的过程中，∠EMF 的大小是否发生变化？若不变，求∠EMF的度数；若变化，请说明理由．②在①的条件下，连接EF，直接写出△EFM面积的最小值．解：（1）如图1中，作CH⊥AB于H．在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AC＝，tan A＝＝3，∴AH＝1，CH＝3，∵∠CBH＝45°，∠CHB＝90°，∴∠HCB＝∠CBH＝45°，∴CH＝BH＝3，∴BC＝CH＝3．（2）①结论：∠EMF＝90°不变．理由：如图2中，∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEB＝∠DFB＝90°，∵DM＝MB，∴ME＝BD，MF＝BD，∴ME＝MF＝BM，∴∠MBE＝∠MEB，∠MBF＝∠MFB，∵∠DME＝∠MEB+∠MBE，∠DMF＝∠MFB+∠MBF，∴∠EMF＝∠DME+∠DMF＝2（∠MBE+∠MBF）＝90°，②如图2中，作CH⊥AB于H，由①可知△MEF是等腰直角三角形，∴当ME的值最小时，△MEF的面积最小，∵ME＝BD，∴当BD⊥AC时，ME的值最小，此时BD＝＝＝，∴EM的最小值＝，∴△MEF的面积的最小值＝××＝．故答案为．3．△ABC与△ADE都是等边三角形，DE与AC交于点P，点P恰为DE的中点，延长AD交BC于点F，连结BD、CD，取CD的中点Q，连结PQ．求证：PQ＝BD．（1）如图1，厘清思路，完成解答：本题证明的思路可以用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程；（2）如图2，特殊位置，求线段长：若点P为AC的中点，连接PF，已知PQ＝，求PF的长．（3）知识迁移，探索新知：若点P是线段AC上任意一点，直接写出PF与CD的数量关系．（1）证明：如图1中，∵△ADE是等边三角形，DP＝PE，∴AP⊥DE，∠EAC＝∠DAP＝∠DAE＝30°，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠CAF＝∠BAF＝30°，∴AF垂直平分线段BC，∴BD＝CD，∵∠CPD＝90°，DQ＝QC，∴PQ＝CD，∴PQ＝BD．（2）解：如图2中，当点P是AC的中点时，∵DO是线段AC的垂直平分线，∴B，D，P共线，∵BA＝CD＝2PQ＝2，∠DFC＝90°，∠DCF＝30°，∴CF＝CD•cos30°＝3，∵PC＝AC，CF＝BC，AC＝BC，∴CF＝CP＝3，∵∠PCF＝60°，∴△PCF是等边三角形，∴PF＝CF＝3．（3）解：结论：PF＝CD．理由：如图1﹣1中，连接PF，EC．∵AC垂直平分线段DE，∴CD＝CE，∵△ABC，△ADE都是等边三角形，AF是△ABC的高，AP是△ADE 的高，∴AP＝AE，AF＝AC，∴＝，∴＝，∵∠PAF＝∠EAC＝30°，∴△PAF∽△EAC，∴＝＝，∴PF＝EC＝CD．4．综合与实践：操作发现：如图，已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，将这两个三角形放置在一起，使点B，D，E在同一直线上，连接CE．（1）如图1，若∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED＝55°，求证：△BAD≌△CAE；（2）在（1）的条件下，求∠BEC的度数；拓广探索：（3）如图2，若∠CAB＝∠EAD＝120°，BD＝4，CF 为△BCE中BE边上的高，请直接写出EF的长度．（1）证明：如图1中，∵∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED，∴∠EAD＝∠CAB，∴∠EAC＝∠DAB，∵AE＝AD，AC＝AB，∴△BAD≌△CAE（SAS）．（2）解：如图1中，设AC交BE于O．∵∠ABC＝∠ACB＝55°，∴∠BAC＝180°﹣110°＝70°，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABO＝∠ECO，∵∠EOC＝∠AOB，∴∠CEO＝∠BAO＝70°，即∠BEC＝70°．（3）解：如图2中，∵∠CAB＝∠EAD＝120°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠BAD＝∠ACE，BD＝EC＝4，同法可证∠BEC＝∠BAC＝120°，∴∠FEC＝60°，∵CF⊥EF，∴∠F＝90°，∴∠FCE＝30°，∴EF＝EC＝2．5．在△ABC中，CA＝CB＝3，∠ACB＝120°，将一块足够大的直角三角尺PMN（∠M＝90°、∠MPN＝30°）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角∠PCB＝α，斜边PN交AC于点D．（1）当PN∥BC时，判断△ACP的形状，并说明理由．（2）在点P滑动的过程中，当AP长度为多少时，△ADP≌△BPC，为什么？（3）在点P的滑动过程中，△PCD的形状可以是等腰三角形吗？若不可以，请说明理由：若可以，请直接写出α的度数．解：（1）当PN∥BC时，∠α＝∠NPM＝30°，又∵∠ACB＝120°，∴∠ACP＝120°﹣30°＝90°，（2）当AP＝3时，△ADP≌△BPC，理由为：∵∠ACB＝120°，CA＝CB，∴∠A＝∠B＝30°，又∵∠APC是△BPC的一个外角，∴∠APC＝∠B+∠α＝30°+∠α，∵∠APC＝∠DPC+∠APD＝30°+∠APD，∴∠α＝∠APD，又∵AP＝BC＝3，∴△ADP≌△BPC；（3）△PCD的形状可以是等腰三角形，则∠PCD＝120°﹣α，∠CPD＝30°，①当PC＝PD时，△PCD是等腰三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝＝75°，即120°﹣α＝75°，∴∠α＝45°；②当PD＝CD时，△PCD是等腰三角形，∴∠PCD＝∠CPD＝30°，即120°﹣α＝30°，∴α＝90°；③当PC＝CD时，△PCD是等腰三角形，∴∠CDP＝∠CPD＝30°，∴∠PCD＝180°﹣2×30°＝120°，即120°﹣α＝120°，∴α＝0°，此时点P与点B重合，点D和A重合，综合所述：当α＝45°或90°或0°时，△PCD是等腰三角形．6．如图，△ABC是等边三角形，AB＝2cm．动点P从点C出发，以lcm/s的速度在边BC的延长线上运动．以CP为边作等边三角形CPQ，点A、Q在直线BC同侧．连结AP、BQ相交于点E．设点P的运动时间为t （s）（t＞0）．（1）当t＝ 2 s时，△ABC≌△QCP．（2）求证：△ACP≌△BCQ．（3）求∠BEP的度数．（4）设AP与CQ交于点F，BQ与AC交于点G，连结FG，当点G将边AC分成1：2的两部分时，直接写出△CFG的周长．解：（1）∵△ABC，△CPQ都是等边三角形，∴当PC＝AB＝2时，△ABC≌△QCP．∴t＝2s，故答案为2．（2）∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，AC＝BC，∵△CPQ是等边三角形，∴∠PCQ＝60°，CP＝CQ，∴∠ACP＝∠BCQ＝120°，∴△ACP≌△BCQ（SAS）．（3）∵△ACP≌△BCQ，∴∠CAP＝∠CBQ，∵∠BEP＝∠ABE+∠BAE，∴∠BEP＝∠ABC+∠BAC，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴∠BEP＝120°．（4）如图1中，∵△ACP≌△BCQ，∴∠CAF＝∠CBG，∵CA＝CB，∠ACF＝∠BCG＝60°，∴△ACF≌△BCG（ASA），∴CF＝CG，∵∠GCF＝60°，∴△GCF是等边三角形，当AG＝2CG时，CG＝cm，∴△CFG的周长为2cm如图2中，当CG＝2AG时，CG＝cm，△FCG的周长为4cm．综上所述，△CFG的周长为2cm或4cm．7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5cm，BC＝13cm，点D 在线段AC上，且CD＝7cm，动点P从距B点15cm的E点出发，以每秒2cm的速度沿射线EA的方向运动，时间为t秒．（1）求AD的长．（2）用含有t的代数式表示AP的长．（3）在运动过程中，是否存在某个时刻，使△ABC与△ADP全等？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．（4）直接写出t＝1或14或12.5或秒时，△PBC为等腰三角形．解：（1）在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，AB＝5cm，BC＝13cm，∴AC＝＝＝12（cm），∵CD＝7cm，∴AD＝AC﹣CD＝12﹣7＝5（cm）．（2）当0≤t≤10时，PA＝20﹣2t．当t＞10时，PA＝2t﹣20．（3）∵AD＝BD＝5cm，∠BAC＝∠PAD＝90°，∴当AC＝PA时，△ABC与△ADP全等，∴20﹣2t＝12或2t﹣20＝12，解得t＝4或16，∴满足条件的t的值为4或16．（4）当BC＝BP时，15﹣2t＝13或2t﹣15＝13，解得t＝1或14．当CP＝CB时，PA＝AB＝5，则有2t﹣20＝5，解得t＝12.5．当PC＝PB时，122+（2t﹣20）2＝（2t﹣15）2，解得t＝，故答案为1或14或12.5或．8．（1）如图①，已知线段AB，以AB为边作等边△ABC．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）如图②，已知△ABC，AB＝3，AC＝2分别以AB，BC为边作等边△ABD和等边△BCE，连接DE，AE．求AE的最大值．（3）如图③，已知△ABC，∠ABC＝30°，AB＝3，BC＝4，P为△ABC内一点，连接AP，BP，CP．求AP+BP+PC的最小值．解：（1）如图1中，△ABC即为所求．（2）如图2中，∵△ABD，△BCE都是等边三角形，∴BA＝BD，BC＝BE，∠ABD＝∠CBE＝60°，∴∠ABC＝∠DBE，∴△ABC≌△DBE（SAS），∴DE＝AC＝2，∵AD＝AB＝3，AE≤AD+DE，∴AE≤2+3，∴AE≤5，∴AE的最大值为5．（3）如图3中，将△ABP绕点B逆时针旋转90°得到△TBD，连接PD，TC．作TE⊥CB交CB的延长线于E．∵∠ABP＝∠TBD，∠PBD＝90°，∴∠CBT＝∠CBP+∠PBD+∠DBT＝∠PBD+∠CBP+∠ABP＝90°+30°＝120°，∴∠CBT是定值，BT＝AB＝3，BC＝4，∵PB＝PD，∠PBD＝90°，∴PD＝PB，∴PA+PB+PC＝DT+PD+PC，∵TC≤TD+DP+PC，∴PA+PB+PC的最小值为线段TC的长，在Rt△ETB中，∵∠TBE＝60°，BT＝3，∴BE＝BT＝，TE＝EB＝，在Rt△ECT中，TC＝＝＝，∴AP+BP+PC的最小值为．9．【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．请根据教材提示，结合图23.4.2，写出完整的证明过程．【结论应用】如图，△ABC是等边三角形，点D在边AB上（点D与点A、B不重合），过点D作DE∥BC交AC于点E，连结BE，M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，顺次连结M、N、P．（1）求证：MN＝PN；（2）∠MNP的大小是．【教材呈现】：证明：∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴＝＝，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠ABC，＝＝，∴DE∥BC，DE＝BC．【结论应用】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∵DE∥AB，∴∠ABC＝∠ADE＝60°，∠ACB＝∠AED＝60°，∴∠ADE＝∠AED＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴AD＝AE，∴BD＝CE，∵EM＝MD，EN＝NB，∴MN＝BD，∵BN＝NE，BP＝PC，∴PN＝EC，∴NM＝NP．（2）∵EM＝MD，EN＝NB，∴MN∥BD，∵BN＝NE，BP＝PC，∴PN∥EC，∴∠MNE∠ABE，∠PNE＝∠AEB，∵∠AEB＝∠EBC+∠C，∠ABC＝∠C＝60°，∴∠MNP＝∠ABE+∠EBC+∠C＝∠ABC+∠C＝120°．10．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D为AC边上一点，连接BD，点E为BD上一点，连接CE，∠CED＝∠ABD，过点A作AG⊥CE垂直为G，交ED于点F．（1）求证：∠FAD＝2∠ABD；（2）如图2，若AC＝CE，点D为AC的中点，求证AB＝AC；（3）在（2）的条件下，如图3，若EF＝3，求线段DF的长．（1）证明：如图1中，∵∠BAC＝90°，∴∠ADB＝90°﹣∠ABD，∵AG⊥CE，∴∠FGE＝90°，∴∠EFG＝∠AFD＝90°﹣∠CED，∴∠FAD＝180°﹣∠AFD﹣∠ADF＝∠CED+∠ABD，∵∠CED＝∠ABD，∴∠FAD＝2∠ABD．（2）如图2中，∵∠AFD＝90°﹣∠CED，∠ADB＝90°﹣∠ABD，∠CED＝∠ABD，∴∠AFD＝∠ADF，∴AF＝AD，∠BFA＝180°﹣∠AFD＝180°﹣∠ADF＝∠CDE，∵D为AC的中点，∴AD＝CD＝AF，∴△ABF≌△CED（AAS），∴AB＝CE，∵CE＝AC，∴AB＝AC．（3）连接AE，过点A作AH⊥AE交BD延长线于点H，连接CH．∵∠BAC＝90°，∴∠BAE＝∠CAH，设∠ABD＝∠CED＝α，则∠FAD＝2α，∠ACG＝90°﹣2α，∵CA＝CE，∴∠AEC＝∠EAC＝45°+α，∴∠AED＝45°，∴∠AHE＝45°，∴AE＝AH，∵AB＝AC，∴△ABE≌△ACH（SAS），∴∠AEB＝∠AHC＝135°，∴∠CHD＝90°，过点A作AK⊥ED于H，∴∠AKD＝∠CHD＝90°，∵AD＝CD，∠ADK＝∠CDH，∴△AKD≌△CHD（AAS）∴DK＝DH，∵AK⊥DF，AF＝AD，AE＝AH，∴FK＝DK，EK＝HK，∴DH＝EF＝3，∴DF＝6．11．如图（1）AB＝9cm，AC⊥AB，AC＝BD＝7cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的速度与点P的速度相等，当t＝1时，求证：△ACP ≌△BPQ；（2）在（1）的条件下，判断此时PC和PQ的位置关系，并证明；（3）将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”，改为“∠CAB＝∠DBA＝70°”，得到图（2），其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，请问是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x和t的值；若不存在，请说明理由．解：（1）△ACP与△BPQ全等，理由如下：当t＝1时，AP＝BQ＝2，则BP＝9﹣2＝7，∴BP＝AC＝7，又∵∠A＝∠B＝90°，在△ACP和△BPQ中，∴△ACP≌△BPQ（SAS）；（2）结论：PC⊥PQ，证明：∵△ACP≌△BPQ，∴∠ACP＝∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．∴∠CPQ＝90°，即PC⊥PQ；（3）AP＝2t，BP＝9﹣2t，BQ＝xt①若△ACP≌△BPQ则AC＝BP＝7，AP＝BQ，∴9﹣2t＝7，解得：t＝1（s），则x＝2（cm/s）；②若△ACP≌△BPQ，则AC＝BQ＝7，AP＝BP，则，解得，t＝2.25（s），∴xt＝7，解得，，故当t＝1s，x＝2cm/s或t＝2.25s，时，△ACP与△BPQ 全等．12．如图①，△ABC是等边三角形，点P是BC上一动点（点P与点B、C不重合），过点P作PM∥AC交AB于M，PN∥AB交AC 于N，连接BN、CM．（1）求证：PM+PN＝BC；（2）在点P的位置变化过程中，BN＝CM是否成立？试证明你的结论；（3）如图②，作ND∥BC交AB于D，则图②成轴对称图形，类似地，请你在图③中添加一条或几条线段，使图③成轴对称图形（画出一种情形即可）．（1）证明：如图①中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∵PM∥AC，PN∥AB，∴四边形PMAN是平行四边形，∠BPM＝∠ACB＝60°，∠CPN＝∠ABC＝60°，∴PN＝AM，△BMP，∴PM＝BM，P∴PM+PN＝BM+AM＝AB＝BC，∴PM+PN＝BC．（2）解：如图②中，结论成立．理由：连接BN，CM．∵△PNM是等边三角形，∴BM＝PB，∵ND∥BC，PN∥AB，∴四边形PNDB是平行四边形，∴DN＝PN，∵∠ADN＝∠ABC＝60°，∠AND＝∠ACB＝60°，∠A＝60°，∴△ADN是等边三角形，∴AN＝DN＝PB＝BM，∵∠A＝∠CBM，AB＝BC，∴△ABN≌△CBM（SAS），∴BN＝CM．（3）解：如图③即为所求．作ND∥BC交AB于N，作ME∥BC交AC于M，作EF∥AB交BC 于F，连接DF．13．如图1，已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，斜边AB ＝4，ED为AB垂直平分线，且DE＝2，连接DB，DA．（1）直接写出BC＝ 2 ，AC＝2；（2）求证：△ABD是等边三角形；（3）如图2，连接CD，作BF⊥CD，垂足为点F，直接写出BF 的长；（4）P是直线AC上的一点，且CP＝AC，连接PE，直接写出PE的长．（1）解：如图1中，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4，∴BC＝AB＝2，AC＝＝＝2．故答案为2，（2）证明：如图1中，∵DE垂直平分AB，∴AE＝EB＝2，AD＝DB＝＝4，∴AB＝BD＝AD＝4，∴△ABD是等边三角形．（3）解：如图2中，∵△ABD是等边三角形，∴∠BAD＝60°，∵∠BAC＝30°，∴∠CAD＝90°，∴CD＝＝＝2，∵S△BCD＝S△ABC+S△ABD﹣S△ACD，∴•2•BF＝×2×2+×42﹣×4×2，∴BF＝．（4）如图3中，延长DE交AC于P，连接PB．∵DP垂直平分线段AB，∴PB＝PA，∵∠PBC＝30°，∠C＝90°，∴PB＝2PC，∴PA＝2PC，∴PC＝AC满足条件，∴PE＝AE•tan30°＝．当CP′＝AC时，作EH⊥AC于H．则EH＝AE＝1，PH＝，P′H＝++＝，∴P′E＝＝＝．14．用一条直线分割一个三角形，如果能分割出一个等腰三角形，那么就称这条直线为该三角形的一条等腰分割线．在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．（1）如图1，O为AB的中点，则直线OC是△ABC的等腰分割线（填“是”或“不是”）．（2）如图2，点P是边AC上一个动点，当直线BP是△ABC的等腰分割线时，求PC的长度．（3）如图3，若将△ABC放置在如图所示的平面直角坐标系中，点Q是边AB上的一点，如果直线CQ是△ABC的等腰分割线，则点Q的坐标为（﹣，0）或或或．（直接写出答案）．解：（1）∵∠ACB＝90°，O为AB中点，在Rt△ACB中，OC＝AB＝AO＝BO，∴等腰△AOC和等腰△BOC．则直线OC是△ABC的等腰分割线；故答案为：是．（2）①当AP＝BP时，BC＝3，设CP＝x，①当PA＝PB＝4﹣x，在Rt△BPC中，BC2+PC2＝PB2，∴32+x2＝（4﹣x）2，解得x＝．即：CP＝．②CP＝CB时，CP＝BC＝3；即CP的长为或3．（3）∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝＝5，∵S△ABC＝BC•AC＝AB•OC，∴OC＝，∴＝＝，①若△ACQ为等腰三角形，如图1，当AC＝AQ时，AC＝4，AQ＝4，∴OQ＝AQ﹣OA＝4﹣＝．∴Q，如图2，当QC＝QA时，Q为AB中点，AQ＝BQ＝AB＝．∴OQ＝OA﹣AQ＝＝，∴Q（，0），当CA＝CQ时，Q不在边AB上，舍去．②若△BCQ为等腰三角形．如图3，当CQ＝CB时，OQ＝OB＝，∴Q（，0），如图4，当BC＝BQ时，BQ＝BC＝3，∴＝，∴Q（，0），如图2，当QC＝QB时，Q为AB中点，BQ＝AQ＝，此时Q（，0）．综合以上可得点Q的坐标为（﹣，0）或或或．故答案为：（﹣，0）或或或．15．已知△ABC是等腰三角形，CA＝CB，0°＜∠ACB≤90°，点M在边AC上，点N在边BC上（点M，N不与所在线段端点重合），BN＝AM，连接AN，BM，射线AG∥BC，延长BM交射线AC 于点D，点E在直线AN上，且AE＝DE．（1）如图，当∠ACB＝90°时，请直接写出△BCM与△ACN的关系：△BCM≌△ACN；BD与DE的位置关系：BD⊥DE．（2）当∠ACB＝α，其他条件不变时，∠BDE的度数是多少？（用含α的代数式表示）（3）若△ABC是等边三角形，AB＝3，N是BC边上的三等分点，直线ED与直线BC交于点F，求线段CF的长．解：（1）△BCM≌△ACN，BD⊥DE，理由如下：如图1：∵CA＝CB，BN＝AM，∴CB﹣BN＝CA﹣AM即CN＝CM，在△BCM和△ACN中，，∴△BCM≌△ACN（SAS）．∴∠MBC＝∠NAC，∵EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA，∵AG∥BC，∴∠GAC＝∠ACB＝90°，∠ADB＝∠DBC，∴∠ADB＝∠NAC，∴∠ADB+∠EDA＝∠NAC+∠EAD，∵∠ADB+∠EDA＝180°﹣90°＝90°，∴∠BDE＝90°，∴BD⊥DE．故答案为：△BCM≌△ACN，BD⊥DE；（2）①如图2中，当点E在AN的延长线上时，同（1）得：△BCM≌△ACN（SAS）．∴∠CBM＝∠CAN，∵AG∥BC，∴∠CBM＝∠ADB＝∠CAN，∠ACB＝∠CAD，∵EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA，∴∠CAN+∠CAD＝∠BDE+∠ADB，∴∠BDE＝∠ACB＝α．②如图3中，当点E在NA的延长线上时，则∠1+∠2＝180°﹣∠EDA＝180°﹣∠EAD＝∠CAN+∠DAC，∵∠2＝∠ADM＝∠CBD＝∠CAN，∴∠1＝∠CAD＝∠ACB＝α，∴∠BDE＝180°﹣α．综上所述，∠BDE＝α或180°﹣α．（3）∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝AB＝3，①如图4中，当BN＝BC＝时，作AK⊥BC于K．∵AD∥BC，∴＝＝，∴AD＝BC＝，∵AC＝3，∠DAC＝∠ACB＝60°，∴△ADC是直角三角形，则四边形ADCK是矩形，∴AK＝DC，∠AKN＝∠DCF＝90°，∵AG∥BC，∴∠EAD＝∠ANK，∠EDA＝∠DFC，∵AE＝DE，∴∠EAD＝∠EDA，∴∠ANK＝∠DFC，在△AKN和△DCF中，，∴△AKN≌△DCF（AAS），∴CF＝NK＝BK﹣BN＝﹣＝．②如图5中，当CN＝BC＝时，作AK⊥BC于K，DH⊥BC于H．∵AD∥BC，∴＝＝2，∴AD＝2BC＝6，则△ACD是直角三角形，△ACK∽△CDH，则CH＝AK＝，同①得：△AKN≌△DHF（AAS），∴KN＝FH＝，∴CF＝CH﹣FH＝4．综上所述，CF的长为或4．16．在△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交边BC于点D，分别过D作DE∥AC交边AB于点E，DF∥AB交边AC于点F．（1）如图1，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由；（2）如图2，若AD＝4，点H，G分别在线段AE，AF上，且EH＝AG＝3，连接EG交AD于点M，连接FH交EG于点N．（i）求EN•EG的值；（ii）将线段DM绕点D顺时针旋转60°得到线段DM′，求证：H，F，M′三点在同一条直线上（1）解：四边形AEDF的形状是菱形；理由如下：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD，∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠FAD，∴∠EAD＝∠EDA，∴AE＝DE，∴四边形AEDF是菱形；（2）（i）解：连接EF交AD于点Q，如图2所示：∵∠BAC＝60°，四边形AEDF是菱形，∴∠EAD＝30°，AD、EF相互垂直平分，△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝∠AEF＝∠AFE＝60°，∵AD＝4，∴AQ＝2，在Rt△AQE中，cos∠EAQ＝，即cos30°＝，∴AE＝＝＝4，∴AE＝AF＝EF＝4，在△AEG和△EFH中，，∴△AEG≌△EFH（SAS），∴∠AEG＝∠EFH，∴∠ENH＝∠EFH+∠GEF＝∠AEG+∠GEF＝60°，∴∠ENH＝∠EAG，∵∠AEG＝∠NEH，∴△AEG∽△NEH，∴＝，∴EN•EG＝EH•AE＝3×4＝12；（ii）证明：如图3，连接FM'，∵DE∥AC，∴∠AED＝180°﹣∠BAC＝120°，由（1）得：△EDF是等边三角形，∴DE＝DF，∠EDF＝∠FED＝∠EFD＝60°，由旋转的性质得：∠MDM'＝60°，DM＝DM'，∴∠EDM＝∠FDM'，在△EDM和△FDM'中，，∴△EDM≌△FDM'（SAS），∴∠MED＝∠DFM'，由（i）知，∠AEG＝∠EFH，∴∠DFM'+∠EFH＝∠MED+∠AEG＝∠AED＝120°，∴∠HFM'＝∠DFM'+∠HFE+∠EFD＝120°+60°＝180°，∴H，F，M′三点在同一条直线上．17．已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点A、B向过点C的直线作垂线，垂足分别为D、E，CE交AB于点F．（1）如图1，求证：CD＝BE；（2）如图2，连接AE、BD，若DE＝BE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出四个角，使写出的每一个角的正切值都等于．解：（1）∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，又∵∠ACD+∠CAD＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴CD＝BE；（2）∵DE＝BE，CD＝BE，∴CD＝DE＝BE，∵∴△ACD≌△CBE，∴AD＝CE＝2CD＝2DF，∴ran∠CAD＝，tan∠DAE＝，tan，∵∠DBE＝∠CBA＝45°，∴∠ABD＝∠CBD，∵∠BCD+∠CBD＝∠BDE＝45°，∠ABD+∠ABE＝∠DBE＝45°，∴∠BCD＝∠ABD，∴tan∠ABD＝tan∠BCD＝，故∠CAD、∠EAD、∠BCE、∠ABD的正切值都为．18．（1）问题发现如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M．填空：①的值为 1 ；②∠AMB的度数为40°．（2）类比探究如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由；（3）拓展延伸在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD＝1，OB＝，请直接写出当点A与点O、D在同一条直线上时AD的长．解：（1）如图1中，设BD交AD于J．∵OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，∴∠DOB＝∠COA，∴△OAC≌△OBD（SAS），∴AC＝BD，∠CAO＝∠DBO，∵∠AJM＝∠BJO，∴∠AMJ＝∠BOJ＝40°，∴＝1，∠AMB＝40°，故答案为：1，40°．（2）如图2中，结论：＝，∠AMB＝90°．理由：设AO交BM于J．在Rt△COD中，∵∠DOC＝90°，∠DCO＝30°，∴＝tan60°＝，同理可得：＝，∴＝，∵∠COD＝∠AOB＝90°，∴∠COA＝∠DOB，∴△COA∽△DOB，∴＝＝，∠JAM＝∠JBO，∵∠AJM＝∠BJO，∴∠AMJ＝∠JOB＝90°．（3）如图3﹣1中，当点D在线段OA上时，在Rt△AOB中，∵∠AOB＝90°，OB＝，∠A＝30°，∴OA＝OB＝3，∵OD＝1，∴AD＝OA﹣OD＝3﹣1＝2．如图3﹣2中，当点D在AO的延长线上时，AD＝OA+OD＝3+1＝4，综上所述，满足条件的AD的值为2或4．。

中考数学培优专题：《三角形压轴专练》1．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AD⊥BC于点D．（1）如图1所示，点M，N分别在线段AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°时，求线段AM的长；（2）如图2，点M在线段AD的延长线上，点N在线段AC上，（1）中其他条件不变．①线段AM的长为；②求线段AN的长．2．（1）已知：如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE，连接CE．求证：①BD＝CE，②∠DCE＝120°；（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，点D为BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE，类比题（1），请你猜想：①∠DCE的度数；②线段BD、CD、DE之间的关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．①则题（2）的结论还成立吗？请直接写出，不需论证；②连结BE，若BE＝10，BC＝6，直接写出AE的长．3．如图1，直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点，OC平分∠AOB交AB于点C，点D为线段AB上一点，过点D作DE∥OC交y轴于点E，已知AO＝m，BO＝n，且m、n满足n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0．（1）求A、B两点的坐标；（2）若点D为AB中点，求OE的长；（3）如图2，若点P（x，﹣2x+4）为直线AB在x轴下方的一点，点E是y轴的正半轴上一动点，以E为直角顶点作等腰直角△PEF，使点F在第一象限，且F点的横、纵坐标始终相等，求点P的坐标．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），在AD的右侧作△ACE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠B AC，连接CE．（1）当D在线段BC上时，①求证：△BAD≌△CAE．②请判断点D在何处时，AC⊥DE，并说明理由．（2）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为28°，求∠ADB的度数．5．小明在学习等边三角形时发现了直角三角形的一个性质：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．小明同学对以上结论作了进一步探究．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AB，则：∠ABC＝30°．探究结论：（1）如图1，CE是AB边上的中线，易得结论：△ACE为三角形．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AB，CP是AB边上的中线，点D是边CB上任意一点，连接AD，在AB边上方作等边△ADE，连接BE．试探究线段BE与DE之间的数量关系，写出你的猜想加以证明．拓展应用：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等边△ABC，当点C在第一象内，且B（2，0）时，求点C 的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x 正半轴上．（1）如图1，若∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，BD、CE是△ABC的两条角平分线，且BD、CE交于点F，直接写出CF的长．（2）如图2，△ABD是等边三角形，以线段BC为边在第一象限内作等边△BCQ，连接QD 并延长，交y轴于点P，当点C运动到什么位置时，满足PD＝DC？请求出点C的坐标；（3）如图3，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．7．数学课上，王老师出示了如下框中的题目．小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况•探索结论：在等边三角形ABC中，当点E为AB的中点时，点D在CB点延长线上，且ED＝EC；如图1，确定线段AE与DB的大小关系．请你直接写出结论；（2）特例启发，解答题目王老师给出的题目中，AE与DB的大小关系是：．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在△ABC中，AB＝BC＝AC＝1；点E在AB的延长线上，AE＝2；点D在CB的延长线上，ED ＝EC，如图3，请直接写CD的长．8．如图1，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，以C为顶点作∠DCE＝90°，交OA于点D，OB于点E．（1）求证：CD＝CE；（2）图1中，若OC＝3，求OD+OE的长；（3）如图2，∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，以C为顶点作∠DCE＝60°，交OA于点D，OB于点E．若OC＝3，求四边形OECD的面积．9．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM＝∠ACB，点D为射线BC上任意一点，在射线CM上截取CE＝BD，连接AD、DE、AE．（1）如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，求∠ADE的度数；（2）如图2，当点D落在线段BC（不含边界）上时，AC与DE交于点F，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．10．如图，AC平分钝角∠BAE交过B点的直线于点C，BD平分∠ABC交AC于点D，且∠BAD+∠ABD＝90°．（1）求证：AE∥BC；（2）点F是射线BC上一动点（点F不与点B，C重合），连接AF，与射线BD相交于点P．（ⅰ）如图1，若∠ABC＝45°，AF⊥AB，试探究线段BF与CF之间满足的数量关系；（ⅱ）如图2，若AB＝10，S＝30，∠CAF＝∠ABD，求线段BP的长．△ABC11．操作发现：如图1，D是等边△ABC边BA上的一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF，易证AF＝BD（不需要证明）；类比猜想：①如图2，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其它作法与图1相同，猜想AF与BD在图1中的结论是否仍然成立．深入探究：②如图3，当动点D在等边△ABC边BA上的一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF，BF′，你能发现AF，BF′与AB有何数量关系，并证明你发现的结论．③如图4，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其它作法与图3相同，猜想AF，BF′与AB在上题②中的结论是否仍然成立，若不成立，请给出你的结论并证明．12．如图，点O为平面直角坐标系的原点，三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝m．顶点A，C的坐标分别为（1，0），（n，0），且|m﹣3|+（n﹣5）2＝0．（1）求三角形ABC的面积；（2）动点P从点C出发沿射线CA方向以每秒1个单位长度的速度运动，设点P的运动时间为t秒，连接PB，请用含t的式子表示三角形ABP的面积；（3）在（2）的条件下，当三角形ABP的面积为时，直线BP与y轴相交于点D，求点D的坐标．13．已知△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°．（1）若D为AB上一动点时（如图1），①求证：△ACD≌△BCE．②试求线段AD，BD，DE间满足的数量关系．（2）当点D在△ABC内部时（如图2），延长AD交BE于点F．①求证：AF⊥BE．②连结BD，当△BDE为等边三角形时，直接写出△DCE与△ABC的边长之比．14．如图1，已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，斜边AB＝4，ED为AB垂直平分线，且DE＝2，连接DB，DA．（1）直接写出BC＝，AC＝；（2）求证：△ABD是等边三角形；（3）如图2，连接CD，作BF⊥CD，垂足为点F，直接写出BF的长；（4）P是直线AC上的一点，且CP＝AC，连接PE，直接写出PE的长．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P是AB边上的动点（不与点A、B重合），把△ABC沿过点P的直线l折叠，点B的对应点是点D，折痕为PQ．（1）若点D恰好在AC边上．①如图1，当PQ∥AC时，连接AQ，求证：AQ⊥BC．②如图2，当DP⊥AB，且BP＝3，CD＝2，求△ABC与△CDQ的周长差．（2）如图3，点P在AB边上运动时，若直线l始终垂直于AC，△ACD的面积是否变化？请说明理由．参考答案1．解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°，∴∠ABC＝∠BAD＝∠CAD＝∠ACB＝45°，∴，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，根据勾股定理，，∴，∵∠AMN＝30°，∠BMN＝90°，∴∠BMD＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴∠MBD＝30°，∴BM＝2DM，在Rt△BDM中，∠BDM＝90°，由勾股定理得，BM2﹣DM2＝BD2，即，解得，，∴；（2）①∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°，∴∠ABC＝∠BAD＝∠CAD＝∠ACB＝45°，∴，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，根据勾股定理，，∴，∵∠AMN＝30°，∠BMN＝90°，∴∠BMD＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴∠MBD＝30°，∴BM＝2DM，在Rt△BDM中，∠BDM＝90°，由勾股定理得，BM2﹣DM2＝BD2，即，解得，，∴AM＝AD+DM＝；故答案为：；②过点M作ME∥BC交AB的延长线于点E，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠AME＝∠ADB＝90°，∴∠E＝45°＝∠BAD，∴ME＝MA，∠E＝∠CAD＝45°，∵∠AMN＝30°，∠BMN＝90°，∠AME＝90°，∴∠BME＝30°＝∠AMN，∴△BME≌△NMA（ASA），∴BE＝AN，在Rt△AME中，∠AME＝90°，由①，∴．根据勾股定理，＝，∴AN＝BE＝AE﹣AB＝．2．证明：（1）①如图1，∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠ACB＝∠B＝60°，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠EAC．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；②∵△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠B＝60°，∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝120°；（2）∠DCE＝90°，BD2+CD2＝DE2．证明：如图2，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE＝45°，BD＝CE，∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB＝90°，∴∠BCE＝90°，∴Rt△DCE中，CE2+CD2＝DE2，∴BD2+CD2＝DE2；（3）①（2）中的结论还成立．理由：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABC＝∠ACE＝45°，BD＝CE，∴∠ABC+∠ACB＝∠ACE+∠ACB＝90°，∴∠BCE＝90°＝∠ECD，∴Rt△DCE中，CE2+CD2＝DE2，∴BD2+CD2＝DE2；②∵Rt△BCE中，BE＝10，BC＝6，∴CE＝＝＝8，∴BD＝CE＝8，∴CD＝8﹣6＝2，∴Rt△DCE中，DE＝＝＝，∵△ADE是等腰直角三角形，∴．3．解：（1）∵n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0，∴（n﹣4）2+|n﹣2m|＝0，∵（n﹣4）2≥0，|n﹣2m|≥0，∴（n﹣4）2＝0，|n﹣2m|＝0，∴m＝2，n＝4，∴点A为（2，0），点B为（0，4）；（2）延长DE交x轴于点F，延长FD到点G，使得DG＝DF，连接BG，设OE＝x，∵OC平分∠AOB，∴∠BOC＝∠AOC＝45°，∵DE∥OC，∴∠EFO＝∠FEO＝∠BEG＝∠BOC＝∠AOC＝45°，∴OE＝OF＝x，在△ADF和△BDG中，，∴△ADF≌△BDG（SAS），∴BG＝AF＝2+x，∠G＝∠AFE＝45°，∴∠G＝∠BEG＝45°，∴BG＝BE＝4﹣x，∴4﹣x＝2+x，解得：x＝1，∴OE＝1；（3）如图2，分别过点F、P作FM⊥y轴于点M，PN⊥y轴于点N，设点E为（0，m），∵点P的坐标为（x，﹣2x+4），∴PN＝x，EN＝m+2x﹣4，∵∠PEF＝90°，∴∠PEN+∠FEM＝90°，∵FM⊥y轴，∴∠MFE+∠FEM＝90°，∴∠PEN＝∠MFE，在△EFM和△PEN中，，∴△EFM≌△PEN（AAS），∴ME＝NP＝x，FM＝EN＝m+2x﹣4，∴点F为（m+2x﹣4，m+x），∵F点的横坐标与纵坐标相等，∴m+2x﹣4＝m+x，解得：x＝4，∴点P为（4，﹣4）．4．（1）①证明：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB＝∠EAC，在△ABD和△ACE中，∵，∴△BAD≌△CAE（SAS）．②当AC⊥DE时，∵AC平分∠DAE，∴∠DAB＝∠CAE＝∠CAD，∴AD平分∠CAB，∴BD＝CD，∴当点D在BC中点时，或AD⊥BC时，AC⊥DE；（2）解：当CE∥AB时，则有∠ABC＝∠ACE＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，①如图1：此时∠BAD＝28°，∴∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣∠B＝180°﹣28°﹣60°＝92°．②如图2，此时∠ADB＝28°，③如图3，此时∠BAD＝28°，∠ADB＝60°﹣28°＝32°．④如图4，此时∠ADB＝28°．综上所述，满足条件的∠ADB的度数为28°或32°或92°．5．解：探究结论（1）∵CE是AB边上的中线，∴CE＝AE＝AB，∵AC＝AB，∴AC＝CE＝AE，∴△ACE是等边三角形．故答案为：等边；（2）如图2中，结论：ED＝EB．理由：取AB的中点P，连接CP、PE．∵△ACP，△ADE都是等边三角形，∴AC＝AP＝PC，AD＝AE＝DE，∠CAP＝∠DAE＝60°，∴∠CAD＝∠PAE，∴△CAD≌△PAE（SAS），∴∠ACD＝∠APE＝90°，∴EP⊥AB，∵PA＝PB，∴EA＝EB，∵DE＝AE，∴ED＝EB．拓展应用：如图3中，作AH⊥x轴于H，CF⊥OB于F，连接OA．∵A（﹣，1），∴∠AOH＝30°，由（2）可知，CO＝CB，∵CF⊥OB，∴OF＝FB＝1，∴可以假设C（1，n），∵OC＝BC＝A B，∴1+n2＝1+（+2）2，∴n＝2+，∴C（1，2+）．6．解：（1）如图1，作∠DCH＝10°，CH交BD的延长线于H，∵∠BAO＝60°，∴∠ABO＝30°，∴AB＝2OA＝4，∵∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，∴∠ABC＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD＝40°，∴∠CBD＝∠DCB，∠OBD＝40°﹣30°＝10°，∴DB＝DC，在△OBD和△HCD中，，∴△OBD≌△HCD（ASA），∴OB＝HC，在△AOB和△FHC中，，∴△AOB≌△FHC（ASA），∴CF＝AB＝4，故答案为：4；（2）∵△ABD和△BCQ是等边三角形，∴∠ABD＝∠CBQ＝60°，∴∠ABC＝∠DBQ，在△CBA和△QBD中，，∴△CBA≌△QBD（SAS），∴∠BDQ＝∠BAC＝60°，∴∠PDO＝60°，∴PD＝2DO＝4，∵PD＝DC，∴DC＝6，即OC＝OD+CD＝8，∴点C的坐标为（8，0）；（3）如图3，以OA为对称轴作等边△ADE，连接EP，并延长EP交x轴于点F．由（2）得，△AEP≌△ADB，∴∠AEP＝∠ADB＝120°，∴∠OEF＝60°，∴OF＝OA＝2，∴点P在直线EF上运动，当OP⊥EF时，OP最小，∴OP＝OF＝1，则OP的最小值为1．7．解：（1）如图1，过点E作EF∥BC，交AC于点F，∵△ABC为等边三角形，∴∠AFE＝∠ACB＝∠ABC＝60°，△AEF为等边三角形，∴∠EFC＝∠EBD＝120°，EF＝AE，∵ED＝EC，∴∠EDB＝∠ECB，∠ECB＝∠FEC，∴∠EDB＝∠FEC，在△BDE和△FEC中，，∴△BDE≌△FEC（AAS），∴BD＝EF，∴AE＝BD，故答案为：＝；（2）解答过程如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，∵△ABC为等边三角形，∴∠AFE＝∠ACB＝∠ABC＝60°，△AEF为等边三角形，∴∠EFC＝∠EBD＝120°，EF＝AE，∵ED＝EC，∴∠EDB＝∠ECB，∠ECB＝∠FEC，∴∠EDB＝∠FEC，在△BDE和△FEC中，∴△BDE≌△FEC（AAS），∴BD＝EF，∴AE＝BD．故答案为：AE＝DB．（3）解：分为四种情况：如图3，∵AB＝AC＝1，AE＝2，∴B是AE的中点，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝1，△ACE是直角三角形（根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），∴∠ACE＝90°，∠AEC＝30°，∴∠D＝∠ECB＝∠BEC＝30°，∠DBE＝∠ABC＝60°，∴∠DEB＝180°﹣30°﹣60°＝90°，即△DEB是直角三角形．∴BD＝2BE＝2（30°所对的直角边等于斜边的一半），即CD＝1+2＝3．如图4，过A作AN⊥BC于N，过E作EM⊥CD于M，∵等边三角形ABC，EC＝ED，∴BN＝CN＝BC＝，CM＝MD＝CD，AN∥EM，∴△BAN∽△BEM，∴，∵△ABC边长是1，AE＝2，∴，∴MN＝1，∴CM＝MN﹣CN＝1﹣＝，∴CD＝2CM＝1；如图5，∵∠ECD＞∠EBC（∠EBC＝120°），而∠ECD不能大于120°，否则△EDC不符合三角形内角和定理，∴此时不存在EC＝ED；如图6，∵∠EDC＜∠ABC，∠ECB＞∠ACB，又∵∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠ECD＞∠EDC，即此时ED≠EC，∴此时情况不存在，答：CD的长是3或1．故答案为：1或3．8．（1）证明：如图1，过点C作CG⊥OA于G，CH⊥OB于H，∵O C平分∠AOB，∴CG＝CH∵∠AOB＝90°，∠DCE＝90°，∴∠CDO+∠CEO＝180°，∵∠CDG+∠CDO＝180°，∴∠CDG＝∠CEO，在△CDG与△CEH中，∴△CDG≌△CEH（AAS），∴CD＝CE；（2）解：由（1）得△CDG≌△CEH，∴DG＝HE，由题易得△OCG与△OCH是全等的等腰直角三角形，且OG＝OH，∴OD+OE＝OD+OH+HE＝OG+OH＝2OH，设OH＝CH＝x，在Rt△OCH中，由勾股定理，得：OH2+CH2＝OC2∴x2+x2＝32∴（舍负）∴OH＝∴OD+OE＝2OH＝；（3）解：如图，过点C作CG⊥OA于G，CH⊥OB于H，∵OC 平分∠AOB ，∴CG ＝CH ，∵∠A 0B ＝120°，∠DCE ＝60°，∴∠CDO +∠CEO ＝180°，∵∠CDG +∠CDO ＝180°，∴∠CDG ＝∠CEO ，在△CDG 与△CEH 中，∴△CDG ≌△CEH （AAS ），∴DG ＝HE ，由题易得△OCG 与△OCH 是全等的直角三角形，且OG ＝OH ，∴OD +OE ＝OD +OH +HE ＝OG +OH ＝2OH ，∴S 四边形OECD ＝S 四边形OHCG ＝2S △OCG在Rt △OCH 中，有∠COH ＝60°，OC ＝3，∴OH ＝，CH ＝∴，∴S 四边形OECD ＝2S △OCG ＝． 9．（ 1 ）解：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝30°，∵∠ACM ＝∠ACB ，∴∠ACM ＝∠ABC ，在△ABD 和△ACE 中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE，∠CAE＝∠BAD，∴∠DAE＝∠BAC＝120°，∴∠ADE＝30°；（2）（1）中的结论成立证明：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝30°．∵∠ACM＝∠ACB，∴∠B＝∠ACM＝30°．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE．∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．∴∠CAE+∠DAC＝∠BAD+∠DAC＝∠BAC＝120°．即∠DAE＝120°．∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝30°．10．（1）证明：∵AC平分钝角∠BAE，BD平分∠ABC，∴∠BAE＝2∠BAD，∠ABC＝2∠ABD，∴∠BAE+∠ABC＝2（∠BAD+∠ABD）＝2×90°＝180°，∴AE∥BC；（2）解：（ⅰ）BF＝（2+）CF；理由如下：∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴BD⊥AC，∴∠CBD+∠BCD＝90°，∵∠ABD＝∠CBD，∴∠BAD＝∠BCD，∴AB＝BC，过点A作AH⊥BC于H，如图1所示：∵∠ABC＝45°，AF⊥AB，∴△ABH、△BAF是等腰直角三角形，∴AH＝BH＝HF，BC＝AB＝BH，BF＝AB＝×BH＝2BH，∴CF＝BF﹣BC＝2BH﹣BH＝（2﹣）BH，∴BH＝＝（1+）CF，∴BF＝2（1+）CF＝（2+）CF；（ⅱ）当点F在点C的左侧时，如图2所示：同（ⅰ）得：∠BAD＝∠BCD，∴AB＝BC＝10，∵∠CAF＝∠ABD，∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠BCD+∠CAF＝90°，∴∠AFC＝90°，∴AF⊥BC，＝BC•AF＝×10×AF＝30，则S△ABC∴AF＝6，∴BF＝＝8，∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝2，∴AC＝＝2，＝AC•BD＝×2×BD＝30，∵S△ABC∴BD＝3，作PG⊥AB于G，则PG＝PF，在Rt△BPG和Rt△BPF中，，∴Rt△BPG≌Rt△BPF（HL），∴BG＝BF＝8，∴AG＝AB﹣BG＝2，∵AB＝CB，BD⊥AC，∴AD＝CD＝AC＝，设AP＝x，则PG＝PF＝6﹣x，在Rt△APG中，由勾股定理得：22+（6﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴AP＝，∴PD＝＝＝，∴BP＝BD﹣PD＝3﹣＝；当点F在点C的右侧时，则∠CAF＝∠ACF'，∵BD⊥AC，∴∠APD＝∠AP'D，∴AP＝AP'，PD＝P'D＝，∴BP＝+2×＝；综上所述，线段BP的长为或．11．解：类比猜想：①图1中的结论仍然成立，理由如下：∵△ABC和△FDC都是等边三角形，∴CB＝CA，CD＝CF，∠ACB＝∠FCD＝60°，∴∠ACB+∠ACD＝∠FCD+∠ACD，即∠BCD＝∠ACF，在△BCD和△ACF中，，∴△BCD≌△ACF（SAS）∴BD＝AF；深入探究：②AF+BF′＝AB，理由如下：如图3，由①可知，△BCD≌△ACF，∴BD＝AF，同理，△BCF′≌△ACD，∴BF′＝AD，∴AF+BF′＝BD+AD＝AB；③AF，BF′与AB在上题②中的结论不成立，AF﹣BF′＝AB，理由如下：如图4，同理可证，△BCD≌△ACF，∴BD＝AF，同理，△BCF′≌△ACD，∴BF′＝AD，∴AF﹣BF′＝BD﹣AD＝AB．12．解：（1）∵|m﹣3|+（n﹣5）2＝0．∴|m﹣3|＝0，（n﹣5）2＝0．∴m＝3，n＝5，∴B（1，3），C（5，0），∴AB＝3，AC＝4，∴三角形ABC的面积＝；（2）①如图1，当点P在线段AC上时，PC＝t，AP＝4﹣t，三角形ABP的面积为＝＝6﹣．②如图2，当点P在线段AC的延长线上时，PC＝t，AP＝t﹣4，三角形ABP的面积为3＝．（3）①当点P在线段AC上时，6﹣．解得t＝﹣1（舍去）．②如图3，当点P在线段AC的延长线上时，．解得t＝9．∴OP＝4，PA＝5，∵∠BAC＝90°＝∠DOA，∴OD∥AB，∴．解得OD＝．∵点D在y轴上且在原点O的上方，∴点D的坐标为（0，）．13．（1）①证明：如图1，∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°．∴AC＝BC，CD＝CE，∠A＝∠ABC＝45°，∠ACB﹣∠DCB＝∠ECD﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS）．②解：∵△ACD≌△BCE．∴AD＝BE，∠CBE＝∠A＝45°，∴∠DBE＝90°，∴BD2+BE2＝DE2，即BD2+AD2＝DE2，（2）①证明：如图2，∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°．∴由（1）易知△ACD≌△BCE．∴∠DAC＝∠CBE，∴∠ABF+∠BAF＝∠ABC+∠CBE+∠BAF＝∠ABC+∠BAF+∠DAC＝∠ABC+∠BAC＝90°．∴∠AFB＝90°，即AF⊥BE．②如图3，∵△BDE为等边三角形，DF⊥BE，∴∠DEF＝60°，设EF＝BF＝a，则DE＝2a，∴a，∵BD＝BE，DC＝CE，∴BC是DE的垂直平分线，∴NE＝a，BN＝a，∴BC＝．∴．即△DCE与△ABC的边长之比为．14．（1）解：如图1中，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4，∴BC＝AB＝2，AC＝＝＝2．故答案为2，（2）证明：如图1中，∵DE垂直平分AB，∴AE＝EB＝2，AD＝DB＝＝4，∴AB＝BD＝AD＝4，∴△ABD是等边三角形．（3）解：如图2中，∵△ABD是等边三角形，∴∠BAD＝60°，∵∠BAC＝30°，∴∠CAD＝90°，∴CD＝＝＝2，∵S△BCD ＝S△ABC+S△ABD﹣S△ACD，∴•2•BF＝×2×2+×42﹣×4×2，∴BF＝．（4）如图3中，延长DE交AC于P，连接PB．∵DP垂直平分线段AB，∴PB＝PA，∵∠PBC＝30°，∠C＝90°，∴PB＝2PC，∴PA＝2PC，∴PC＝AC满足条件，∴PE＝AE•tan30°＝．当CP′＝AC时，作E H⊥AC于H．则EH＝AE＝1，PH＝，P′H＝++＝，∴P′E＝＝＝．15．解：（1）①如图1中，连接AQ，BD．BD交PQ于O．∵△PQD是由△PQB翻折得到，∴PQ垂直平分线段BD，∴OB＝OD，∵PQ∥AC，∴BQ＝QC，∵AB＝AC，∴AQ⊥BC．②如图2中，设PA＝x，则AB＝AC＝x+3，AD＝AC﹣CD＝x+1，∵PB＝PD＝3，PD⊥AB，∴∠APD＝90°，∴AD2＝PA2+PD2，∴（x+1）2＝x2+32，解得x＝4，∵BQ＝DQ，∴△ABC的周长﹣△QDC的周长＝AB+AC+BC﹣（QD+QC+CD）＝2AB﹣CD＝14﹣2＝12．（2）如图3中，结论：S△ADC ＝S△ABC＝定值．理由：连接BD．∵△APD与△CPB关于直线PQ对称，∴BD⊥PQ，∵AC⊥PQ，∴BD∥AC，∴S△ADC ＝S△ABC＝定值．。

2021年九年级数学中考一轮复习相似三角形培优提升训练1．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接CD、BE交于点O，且DE∥BC，OD＝1，OC＝3，AD＝2，则AB的长为（ ）A．3B．4C．6D．82．如图，直线l1∥l2∥l3，直线l4被l1，l2，l3所截得的两条线段分别为CD、DE，直线l5被l1，l2，l3所截得的两条线段分别为FG、GH．若CD＝1，DE＝2，FG＝1.2，则GH 的长为（ ）A．0.6B．1.2C．2.4D．3.63．如图，小明（用CD表示）站在旗杆（用AB表示）的前方8m处，某一时刻小明在地面上的影子比EC恰好与旗杆在地面上的影子EA重合．若CD＝1.6m，CE＝2m，则旗杆AB的高度为（ ）A．6.4m B．8m C．9.6m D．10m4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为（ ）A．B．C．D．5．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2，2）、B（3，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，则端点C的坐标为（ ）A．（4，4）B．（3，3）C．（3，1）D．（4，1）6．如图，△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE∥AB交BC于E，EC＝6，BE＝4，则AB长为（ ）A．6B．8C．D．7．如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则NM：MC等于（ ）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：58．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点E、F分别在CB的延长线和反向延长线上，∠EAF＝135°，若CE＝3，BF＝4，则BC的长为（ ）A．1B．2C．2D．39．如图，CD是△ABC的高，CD2＝AD•BD，M是CD的中点，BM交AC于E，EF⊥AB 于F．若，则AB的长为（ ）A．B．C．D．10．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AC上，点E在AB上，∠EDB＝90°，则BE的最小值是（ ）A．B．C．D．11．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，tan B＝，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C重合），以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，若BD＝4，则AE＝ ．12．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），B（8，0），点C是线段AB的中点，过点C的直线l将△AOB截成两部分，直线l交折线A﹣O﹣B于点P．当截成两部分中有三角形与△AOB相似时，则点P的坐标为 ．13．在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当△ADE∽△ABC时，AE＝ ．14．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝7，点D，E分别在AB，BC上，将△BDE 沿ED折叠，点B的对应点F刚好落在AC上．当△CEF与△ABC相似时，BE的长为 ．15．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC上一点，BE：EC＝1：2，AE与BD相交于F，则S△ADF：S△EBF＝ ．16．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝1，AD平分∠BAC，点E在BA的延长线上，ED＝EC，DE交AC于点F，则图中与△AFE相似的三角形为 ；AF的长为 ．17．黄金分割是指把一条线段分割为两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，其比值等于．如图，在正方形ABCD中，点G为边BC延长线上一动点，连接AG交对角线BD于点H，△ADH的面积记为S1，四边形DHCG的面积记为S2．如果点C是线段BG的黄金分割点，则的值为 ．18．如图，△ABC中，AB＝10，BC＝12，AC＝8，点D是边BC上一点，且BD：CD＝2：1，联结AD，过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为 ．19．如图，点A、B、C、D在⊙O上，AD是⊙O的直径，且AD＝3，若∠ABC＝∠CAD，BC交AD于点E，则CE•BC为 ．20．如图，已知矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝ ．21．如图1，平直的公路旁有一灯杆AB，在灯光下，小丽从灯杆的底部B处沿直线前进4m到达D点，在D处测得自己的影长DE＝1m．小丽身高CD＝1.2m．（1）求灯杆AB的长；（2）若小丽从D处继续沿直线前进4m到达G处（如图2），求此时小丽的影长GH的长．22．如图，在▱ABCD中，点E在AB上，AE＝AB，ED和AC相交于点F，过点F作FG∥AB，交AD于点G．（1）求FG：AE的值．（2）若AB：AC＝：2，①求证：∠AEF＝∠ACB．②求证：DF2＝DG•DA．23．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，E为BC上一点，∠BDE＝∠BAD＝90°．（1）求证：BD2＝BA•BE；（2）求证：△CDE∽△CBD；（3）若AB＝6，BE＝8，求CD的长．24．如图，已知矩形ABCD与矩形AEFG，，连接GD，BE相交于点Q．（1）求证：△GAD∽△EAB；（2）猜想GD与BE之间的位置关系，并证明你的结论；（3）请连接DE，BG，若AB＝6，AE＝3，求DE2+BG2的值．25．（1）阅读下列材料，填空：如图1，已知点C为线段AB的中点，AD＝BE．求证：∠D＝∠BEC．证明：作BF∥AD交DC延长线于点F，则 ＝∠F，∠A＝∠CBF．∵C为AB中点，∴AC＝BC．∴△ADC≌△BFC（AAS）．∴AD＝BF．∵AD＝BE，∴BE＝ ．∴∠BEC＝∠F＝∠D．（2）如图2，AD为△ABC的中线，E为线段AD上一点，∠BED＝∠BAC，F为线段AD上一点，且CF＝BE．①求证：△AEB∽△CFA．②若AD＝4，CD＝2，当△ABC是以AB为腰的等腰三角形时，求线段AF的长．26．问题背景：如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；尝试运用：如图（2），在△ABC中，点D是BC边上一动点，∠BAC＝∠DAE＝90°，且∠ABC＝∠ADE，AB＝4，AC＝3，AC与DE相交于点F，在点D运动的过程中，当tan∠EDC＝时，求DE的长度；拓展创新：如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD，tan∠BAD＝，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2．求AD的长．27．在△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC上一点，连接BE．（1）如图1，当AC＝BC时，将△BCE绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，点E的对应点F落在BC延长线上，求证：BE⊥AF；（2）过点C作CP⊥BE，垂足为P，连接AP并延长交BC于点Q．①如图2，若AC＝BC，求证：＝；②如图3，若AC＝3a，AE＝2EC，BC＝kAC，求AP的长（用含a、k的式子表示）．答案1．解：∵DE∥BC，∴＝＝，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∴AB＝3AD＝6，故选：C．2．解：∵直线l1∥l2∥l3，∴＝，∵CD＝1，DE＝2，FG＝1.2，∴＝，∴GH＝2.4，故选：C．3．解：∵CD⊥AE，AB⊥AE，∴DC∥AB，∵AC＝8m，EC＝2m，∴AE＝AC+EC＝2+8＝10（m），∴△DCE∽△BAE，∴，即，解得：AB＝8，故选：B．4．解：连接DE，如图所示：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，∴AB＝AC＝4，∵CD⊥AB，∴AD＝BD，∴CD＝AB＝2，∵E为BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC，DE＝AC＝2，∴△DEF∽△CAF，∴＝＝，∴DF＝CD＝，故选：C．5．解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，∴A点与C点是对应点，∵C点的对应点A的坐标为（2，2），位似比为1：2，∴点C的坐标为：（4，4）故选：A．6．解：∵DE∥AB，∴∠BDE＝∠ABD，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠DBE，∴∠DBE＝∠EDB，∴BE＝DE，∵BE＝4，∴DE＝4，∵DE∥AB，∴△DEC∽△ABC，∴＝，∴＝，∴AB＝，故选：C．7．解：∵DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，∴DM∥BC，DM＝ME＝BC．∴△NDM∽△NBC，＝＝．∴＝．故选：B．8．解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ABE＝∠ACF＝135°，∵∠EAF＝135°，∴∠EAB+∠CAF＝45°，∵∠A+∠CAF＝45°，∴∠EAB＝∠F，∴△ABE∽△FCA，∴＝，即AC2＝BE•CF，设AB＝BC＝x，则BC＝x，∵EC＝3，BF＝4，∴BE＝3﹣x，CF＝4﹣x，∴x2＝（3﹣x）（4﹣x），解得x＝和6（舍弃），∴BC＝x＝2，故选：B．9．解：如图，延长BC交FE的延长线于H．∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵CD2＝DA•DB，∴，∴△ADC∽△CDB，∴∠A＝∠BCD，∵∠A+∠ACD＝90°，∴∠BCD+∠ACD＝90°，∴∠ACB＝90°．∴AB⊥CD，∵EF⊥AB，∴CD∥FH，∴，，∴，∵DM＝CM，∴HE＝EF＝4，在Rt△CEH中，CH＝＝＝2.4，∵△AEF∽△HEC，∴，∴，∴AE＝5，∴AC＝AE+EC＝8.2，∵△HEC∽△ABC，∴，∴，∴AB＝．故选：C．10．解：作△BDE的外接圆圆F，当圆F与AC相切时，由切线的性质知FD为垂线段，此时FD最小，则BE最小，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，连接FD，∴FD⊥AC，∵∠C＝90°，∴FD∥BC，∴△AFD∽△ABC，∴，设BF＝a，则AF＝5﹣a，∴，解得：a＝，∴．故选：C．11．解：作AF⊥BC于点F，∵AB＝10，tan B＝，∴AF＝6，BF＝8，∵AB＝AC＝10，BD＝4，∴BC＝16，∠B＝∠C，∴CD＝12，∵∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠B+∠BAD，∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE，∴△ABD∽△DCE，∴，即，解得CE＝，∴AE＝AC﹣CE＝10﹣＝，故．12．解：当PC∥OB时，△APC∽△AOB，由点C是AB的中点，可得P为OA的中点，此时P点坐标为（0，3）；当PC∥OA时，△BCP∽△BAO，由点C是AB的中点，可得P为OB的中点，此时P点坐标为（4，0）；当PC⊥AB时，如图，∵∠CBP＝∠OBA，∴Rt△BPC∽Rt△BAO，∴＝，∵点B（8，0）和点A（0，6），∴AB＝＝10，∵点C是AB的中点，∴BC＝5，∴＝，∴BP＝，∴OP＝OB﹣BP＝8﹣＝，此时P点坐标为（，0），综上所述，满足条件的P点坐标为（0，3）、（4，0）、（，0）．故（0，3）、（4，0）、（，0）．13．解：当＝时，△ADE∽△ABC此时AE＝＝＝；故．14．解：∵将△BDE沿DE翻折得到△FDE，∴BE＝EF，∵BC＝8，∴CE＝8﹣BE，当△CEF与△ABC相似时，＝或＝，即＝或＝，解得：BE＝或，故答案是：或．15．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴△ADF∽△EBF，∵BE：EC＝1：2，∴BE：BC＝1：3，∴BE：AD＝1：3，∴AD：BE＝3：1，∴S△ADF：S△EBF＝32：12＝9．故9．16．解：（1）∵AB＝AC，ED＝EC，∴∠ABC＝∠ACB，∠EDC＝∠ECD，∵∠EDC＝∠ABC+∠BED，∠ECD＝∠ACB+∠ACE ∴∠ECA＝∠FEA，∵∠FAE＝∠EAC，∴△AFE∽△AEC．（2）如图，作EG⊥CD交CD于点G，∵ED＝EC，∴，∵AD∥EG，∴，∴＝2，解得，∵△AFE∽△AEC，∴，∴＝，解得．故．17．解：设△ADH的AD边上的高为h，△GBH的边BG上的高为h'，分两种情况：①点C是线段BG的黄金分割点，BC＞CG，则BC＝BG，∴BG＝BC，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝AD，AD∥BC，∴△ADH∽△GBH，∴＝＝，∴h＝h'，∵△ADH的面积记为S1＝AD•h，四边形DHCG的面积记为S2＝△BDG的面积﹣△BCH的面积＝BG•CD﹣BC•h'，∴＝＝＝＝；②点C是线段BG的黄金分割点，BC＜CG，则BC＝BG，∴BG＝BC，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝AD，AD∥BC，∴△ADH∽△GBH，∴＝＝，∴h＝h'，∵△ADH的面积记为S1＝AD•h，四边形DHCG的面积记为S2＝△BDG的面积﹣△BCH的面积＝BG•CD﹣BC•h'，∴＝＝＝＝；综上所述，如果点C是线段BG的黄金分割点，则的值为或；故或．18．解：如图，∵点D是BC上一点，BC＝12，∴BD：CD＝2：1，∴BD＝8，CD＝4，过点M作MH∥AC交CD于H，∴△DHM∽△DAC，∴＝＝，∴点M是AD的中点，∴AD＝2DM，∵AC＝8，∴＝＝，∴MH＝4，DH＝2，过点M作MG∥AB交BD于G，同理得，BG＝DE＝4，∵AB＝10，BC＝12，AC＝8，∴△ABC的周长为10+12+8＝30，∵过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，∴CE+CF＝15，设BE＝x，则CE＝12﹣x，∴CF＝15﹣（12﹣x）＝3+x，EH＝CE﹣CH＝CE﹣（CD﹣DH）＝12﹣x﹣2＝10﹣x，∵MH∥AC，∴△EHM∽△ECF，∴，∴，∴x＝2或x＝9，当x＝9时，CF＝12＞AC，点F不在边AC上，此种情况不符合题意，即BD＝x＝2，故2．19．解：∵∠ABC＝∠CAD，∠ABC＝∠D，∴∠D＝∠CAD，∴CA＝CD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，在Rt△ACD中，由勾股定理得：CA2+CD2＝AD2，∵AD＝3，CA＝CD，∴2CA2＝18，解得：CA＝3．∵∠ABC＝∠CAD，∠ACB＝∠ECA，∴△ACB∽△ECA，∴BC：AC＝AC：CE，∴CE•BC＝AC•AC＝9．故9．20．解：由折叠的性质可知，AB＝AF＝1，∵矩形EFDC与矩形ABCD相似，∴＝，即＝，整理得，AD2﹣AD﹣1＝0，AD＝，由题意得，AD＝，故．21．（1）解：如图1，根据题意得：AB∥CD，BE＝1+4＝5（米），∴△EAB∽△ECD，∴＝，即＝，解得：AB＝6（米）；答：灯杆AB的高度为6m；（2）如图2，根据题意得：AB∥FG，BE＝1+4＝5（米），∴△HGF∽△HBA，∴＝，即＝，解得：GH＝2（米）；答：此时小丽的影长GH的长是2m．22．（1）解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵AE＝AB，∴＝，∵AB∥CD，∴△AFE∽△CFD，∴＝＝，∴＝，∵FG∥AB，∴△DFG∽△DEA，∴＝＝；（2）证明：①设AC＝2a，则AB＝a，∴AE＝a，由（1）可知，△AFE∽△CFD，∴＝＝，∴AF＝a，∴＝＝，∵∠EAF＝∠CAB，∴△EAF∽△CAB，∴AEF＝∠ACB；②∵GF∥AB，∴∠DFG＝∠DEA，∵∠AEF＝∠ACB，∴∠DFG＝∠ACB，∵AD∥AC，∴∠ACB＝∠FAD，∴∠DFG＝∠FAD，∵∠FDG＝∠ADF，∴△DFG∽△DAF，∴＝，∴DF2＝DG•DA．23．（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBE，又∵∠A＝∠BDE，∴△BAD∽△BDE，∴＝，∴BD2＝BA•BE；（2）证明：∵△BAD∽△BDE，∴∠ADB＝∠DEB，∵∠BDE＝90°，∴∠DBE+∠BED＝90°，∠ADB+∠EDC＝90°，∴∠DBE＝∠EDC，又∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CBD；（3）解：由（1）得：BD2＝BA•BE，∵AB＝6，BE＝8，∴BD2＝6×8＝48，∴BD＝4，∴cos∠ABD＝＝＝，∴∠ABD＝30°，∴∠ABD＝∠DBE＝30°，∴∠C＝90°﹣30°﹣30°＝30°，∴∠C＝∠DBE，∴BD＝CD＝4．24．（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG是矩形，∴∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAD+∠BAG＝∠EAG+∠BAG，∴∠DAG＝∠BAE，∵，∴＝，∴△GAD∽△EAB；（2）GD⊥BE，理由：由（1）知，△GAD∽△EAB，∴∠ADG＝∠ABE，DG与AB的交点记作H，如图，∴∠ADG+∠AHD＝∠ABE+∠BHQ，∴∠BAD＝∠BQH＝90°，∴GD⊥BE；（3）∵＝，AB＝6，AE＝3，∴AD＝8，AG＝4，如图，连接BD，EG，在Rt△ABD中，根据勾股定理得，BD＝＝10，在Rt△AEG中，根据勾股定理得，EG＝＝5，由（2）知，GD⊥BE，在Rt△BDQ中，DQ2+BQ2＝BD2＝100，在Rt△EGQ中，EQ2+GQ2＝EG2＝25，在Rt△DQE中，DE2＝DQ2+EQ2，在Rt△BQG中，BG2＝BQ2+GQ2，∴DE2+BG2＝DQ2+EQ2+BQ2+GQ2＝（EQ2+EQ2）+（BQ2+GQ2）＝100+25＝125．25．（1）证明：作BF∥AD交DC延长线于点F，则∠D＝∠F，∠A＝∠CBF．∵C为AB中点，∴AC＝BC．∴△ADC≌△BFC（AAS）．∴AD＝BF．∵AD＝BE，∴BE＝BF．∴∠BEC＝∠F＝∠D；（2）①∵∠BED＝∠BAC，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，∴∠BED＝∠BAE+∠CAF，∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∴∠ABE＝∠CAF，同（1）的方法得，∠BED＝∠CFD，∴180°﹣∠BED＝180°﹣∠CFD，∴∠AEB＝∠CFA，∴△AEB∽△CFA；②∵AD为△ABC的中线，∴BD＝CD＝2，BC＝2CD＝4，∵△ABC是以AB为腰的等腰三角形，Ⅰ、当AB＝BC时，如图2﹣1，∴AB＝4，∵AD＝4，∴AB＝AD，过点A作AH⊥BD于H，∴BH＝DH＝BD＝1，在Rt△ABH中，根据勾股定理得，AH＝＝＝，在Rt△ACH中，CH＝CD+DH＝3，根据勾股定理得，AC＝＝＝＝2，∵AB＝CB，∴∠BAC＝∠BCA，由①知，△AEB∽△CFA，∴∠BAE＝∠ACF，∴∠BAC﹣∠BAE＝∠ACB﹣∠ACF，∴∠CAF＝∠DCF，∵∠ADC＝∠CDF，∴△CDF∽△ADC，∴＝，∴，∴DF＝1，∴AF＝AD﹣DF＝4﹣1＝3；Ⅱ、当AB＝AC时，如图2﹣2，∵AD是△ABC的中线，∴∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC，BD＝CD，∴AD是BC的垂直平分线，∵BE＝CF，∴点E，F重合，由①知，∠ABE＝∠CAD，∴∠ABE＝∠BAE，∴AE＝BE，设DE＝x，则AE＝AD﹣DE＝4﹣x，∴BE＝4﹣x，在Rt△BDE中，根据勾股定理得，BE2﹣DE2＝BD2，∴（4﹣x）2﹣x2＝4，∴x＝，∴AF＝AE＝4﹣＝，即满足条件的AF的长为3或．26．证明：问题背景：∵△ABC∽△ADE，∴，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，，∴△ABD∽△ACE；尝试应用：如图2，连接CE，∵AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，∴BC＝＝＝5，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE，∴△ABC∽△ADE，∴＝，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，∴∠B＝∠ACE，，∴设BD＝4x，CE＝3x，∴CD＝5﹣4x，∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠ACB＝90°，∴∠DCE＝90°，∵tan∠EDC＝＝，∴，∴x＝，∴EC＝，CD＝3，∴DE＝＝＝；拓展创新：过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，∴∠BAM＝∠ADM＝∠BDC＝90°，∵∠BAD＝∠DBC，∴∠DAM＝∠BCD，又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，∴△BDC∽△MDA，∴，又∠BDC＝∠ADM，∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠CDM，即∠BDM＝∠CDA，∴△BDM∽△CDA，∴＝，∵tan∠BAD＝＝，∴BD＝2CD，∴BM＝2AC＝4，DM＝2AD，∴AM＝＝＝4，∵AD2+DM2＝AM2，∴AD＝．27．证明：（1）如图1，延长BE交AF于点Q，由题可得：∠FAC＝∠EBC，∠ACB＝90°，∴∠EBC+∠CEB＝90°，∵∠CEB＝∠AEQ，∴∠AEQ+∠FAC＝90°，∴∠BQA＝90°，∴BE⊥AF；（2）过点A作AH∥CB交CP的延长线于点H，如图2，∵∠ACB＝∠CPB＝90°，∴∠CBP+∠PCB＝90°，∠PCB+∠ECP＝90°，∴∠ECP＝∠CBP，∵AH∥CB，∴∠CAH＝∠ACB＝90°，∵AC＝BC，在△ACH与△CBE中，，∴△ACH≌△CBE（ASA），∴AH＝CE，∵AH∥CQ，∴△APH∽△QPC，∴，∴；（3）∵AC＝3a，AE＝2EC，∴CE＝a，∴BC＝kAC＝3ka，∴BE＝，∵△ACH∽△CBE，∴，∴AH＝，∴CH＝，CP＝，∵由（2）知，＝，即＝．∴CQ＝3k2．∴AQ＝＝．∵，∴＝∴AP＝．。

2021年中考九年级数学第三轮冲刺：三角形综合题专项练习1、如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点M，Q分别是边AB，BC上的动点（点M不与A，B重合），且MQ⊥BC，过点M作BC的平行线MN，交AC 于点N，连接NQ，设BQ为x．（1）试说明不论x为何值时，总有△QBM∽△ABC；（2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由；（3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值．2、在△ABC中，∠BAC =90°，AB =AC，AD⊥BC于点D．（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN =90°，当∠AMN =30°，AB＝2时，求线段AM的长；（2）如图2，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF =90°，求证：BE =AF；（3）如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN=90°，求证：AB+AN =AM．3、在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；（2）若α＝60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形．4、如图，等边△ABC中，AB＝6，点D在BC上，BD＝4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE．（1）当点F在AC上时，求证：DF∥AB；（2）设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S＝S1﹣S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当B，F，E三点共线时．求AE的长．5、阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，点D、E在BC上，AD＝AB，AB＝kBD（其中＜k＜1）∠ABC＝∠ACB+∠BAE，∠EAC 的平分线与BC相交于点F，BG⊥AF，垂足为G，探究线段BG与AC的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自已的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠BAE与∠DAC相等．”小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段BG与AC的数量关系．”……老师：“保留原题条件，延长图1中的BG，与AC相交于点H（如图2），可以求出的值．”（1）求证：∠BAE＝∠DAC；（2）探究线段BG与AC的数量关系（用含k的代数式表示），并证明；（3）直接写出的值（用含k的代数式表示）．6、性质探究如图①，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，则底边AB与腰AC的长度之比为．理解运用（1）若顶角为120°的等腰三角形的周长为8+4，则它的面积为；（2）如图②，在四边形EFGH中，EF＝EG＝EH．①求证：∠EFG+∠EHG＝∠FGH；②在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN．若∠FGH＝120°，EF＝10，直接写出线段MN的长．类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为（用含α的式子表示）．7、阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC 的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN．求证：∠AMN=60°．点拨：如图②，作∠CBE=60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM=EM，∠1=∠2；又AM=MN，则EM=MN，可得∠3=∠4；由∠3+∠1=∠4+∠5=60°，进一步可得∠1=∠2=∠5，又因为∠2+∠6=120°，所以∠5+∠6=120°，即：∠AMN=60°．问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1=M1N1．求证：∠A 1M1N1=90°．8、如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以lcm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为以t（s）．过点P 作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长；（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．9、阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN．求证：∠AMN＝60°．点拨：如图②，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM＝EM，∠1＝∠2；又AM＝MN，则EM＝MN，可得∠3＝∠4；由∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，进一步可得∠1＝∠2＝∠5，又因为∠2+∠6＝120°，所以∠5+∠6＝120°，即：∠AMN＝60°．问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1＝M1N1．求证：∠A 1M1N1＝90°．10、如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，AD，CE相交于点G，求证：＝＝证明：连结ED．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD 交于点F．（1）如图②，若▱ABCD为正方形，且AB＝6，则OF的长为．（2）如图③，连结DE交AC于点G，若四边形OFEG的面积为，则▱ABCD的面积为．11、已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E．（1）如图1，当∠CA′D＝15°时，作∠A′EC的平分线EF交BC于点F．①写出旋转角α的度数；②求证：EA′+EC＝EF；（2）如图2，在（1）的条件下，设P是直线A′D上的一个动点，连接PA，PF，若AB＝，求线段PA+PF的最小值．（结果保留根号）12、在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＜∠ABC，D是AC边上一点，且DA＝DB，O是AB的中点，CE是△BCD的中线．（1）如图a，连接OC，请直接写出∠OCE和∠OAC的数量关系：；（2）点M是射线EC上的一个动点，将射线OM绕点O逆时针旋转得射线ON，使∠MON＝∠ADB，ON与射线CA交于点N．①如图b，猜想并证明线段OM和线段ON之间的数量关系；②若∠BAC＝30°，BC＝m，当∠AON＝15°时，请直接写出线段ME的长度（用含m的代数式表示）．13、在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．（1）观察猜想如图1，当α＝60°时，的值是，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是．（2）类比探究如图2，当α＝90°时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．14、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，点M是线段AD上的动点，连结BM 并延长分别交DE，AC于点F、G．（1）求CD的长．（2）若点M是线段AD的中点，求的值．（3）请问当DM的长满足什么条件时，在线段DE上恰好只有一点P，使得∠CPG＝60°？参考答案2021年中考九年级数学第三轮冲刺：三角形综合题专项练习1、如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点M，Q分别是边AB，BC上的动点（点M不与A，B重合），且MQ⊥BC，过点M作BC的平行线MN，交AC 于点N，连接NQ，设BQ为x．（1）试说明不论x为何值时，总有△QBM∽△ABC；（2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由；（3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值．【解答】解：（1）∵MQ⊥BC，∴∠MQB＝90°，∴∠MQB＝∠CAB，又∠QBM＝∠ABC，∴△QBM∽△ABC；（2）当BQ＝MN时，四边形BMNQ为平行四边形，∵MN∥BQ，BQ＝MN，∴四边形BMNQ为平行四边形；（3）∵∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝＝5，∵△QBM∽△ABC，∴＝＝，即＝＝，解得，QM＝x，BM＝x，∵MN∥BC，∴＝，即＝，解得，MN＝5﹣x，则四边形BMNQ的面积＝×（5﹣x+x）×x＝﹣（x﹣）2+，∴当x＝时，四边形BMNQ的面积最大，最大值为．2、在△ABC中，∠BAC =90°，AB =AC，AD⊥BC于点D．（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN =90°，当∠AMN =30°，AB＝2时，求线段AM的长；（2）如图2，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝90°，求证：BE =AF；（3）如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN=90°，求证：AB+AN =AM．【解答】（1）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，∴AD＝BD＝DC，∠ABC＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°，∵AB＝2，∴AD＝BD＝DC＝，∵∠AMN＝30°，∴∠BMD＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴∠MBD＝30°，∴BM＝2DM，由勾股定理得，BM2﹣DM2＝BD2，即（2DM）2﹣DM2＝（）2，解得，DM＝，∴AM＝AD﹣DM＝﹣；（2）证明：∵AD⊥BC，∠EDF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA）∴BE＝AF；（3）证明：过点M作ME∥BC交AB的延长线于E，∴∠AME＝90°，则AE＝AM，∠E＝45°，∴ME＝MA，∵∠AME＝90°，∠BMN＝90°，∴∠BME＝∠AMN，在△BME和△AMN中，，∴△BME≌△AMN（ASA），∴BE＝AN，∴AB+AN＝AB+BE＝AE＝AM．3、在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；（2）若α＝60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形．【解答】（1）解：如图1，∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在AC上，∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，∵CA＝CD，∴∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠ADE＝90°﹣75°＝25°；（2）证明：如图2，∵点F是边AC中点，∴BF＝AC，∵∠ACB＝30°，∴AB＝AC，∴BF＝AB，∵△ABC绕点A顺时针旋转60得到△DEC，∴∠BCE＝∠ACD＝60°，CB＝CE，DE＝AB，∴DE＝BF，△ACD和△BCE为等边三角形，∴BE＝CB，∵点F为△ACD的边AC的中点，∴DF⊥AC，易证得△CFD≌△ABC，∴DF＝BC，∴DF＝BE，而BF＝DE，∴四边形BEDF是平行四边形．4、如图，等边△ABC中，AB＝6，点D在BC上，BD＝4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE．（1）当点F在AC上时，求证：DF∥AB；（2）设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S＝S1﹣S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当B，F，E三点共线时．求AE的长．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形∴∠A＝∠B＝∠C＝60°由折叠可知：DF＝DC，且点F在AC上∴∠DFC＝∠C＝60°∴∠DFC＝∠A∴DF∥AB；（2）存在，过点D作DM⊥AB交AB于点M，∵AB＝BC＝6，BD＝4，∴CD＝2∴DF＝2，∴点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，∴当点F在DM上时，S△ABF最小，∵BD＝4，DM⊥AB，∠ABC＝60°∴MD＝2∴S△ABF的最小值＝×6×（2﹣2）＝6﹣6∴S最大值＝﹣（6﹣6）＝3+6（3）如图，过点D作DG⊥EF于点G，过点E作EH⊥CD于点H，∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE∴DF＝DC＝2，∠EFD＝∠C＝60°∵GD⊥EF，∠EFD＝60°∴FG＝1，DG＝FG＝∵BD2＝BG2+DG2，∴16＝3+（BF+1）2，∴BF＝﹣1∴BG＝∵EH⊥BC，∠C＝60°∴CH＝，EH＝HC＝EC∵∠GBD＝∠EBH，∠BGD＝∠BHE＝90°∴△BGD∽△BHE∴∴∴EC＝﹣1∴AE＝AC﹣EC＝7﹣5、阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，点D、E在BC上，AD＝AB，AB＝kBD（其中＜k＜1）∠ABC＝∠ACB+∠BAE，∠EAC 的平分线与BC相交于点F，BG⊥AF，垂足为G，探究线段BG与AC的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自已的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠BAE与∠DAC相等．”小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段BG与AC的数量关系．”……老师：“保留原题条件，延长图1中的BG，与AC相交于点H（如图2），可以求出的值．”（1）求证：∠BAE＝∠DAC；（2）探究线段BG与AC的数量关系（用含k的代数式表示），并证明；（3）直接写出的值（用含k的代数式表示）．【解答】证明：（1）∵AB＝AD∴∠ABD＝∠ADB∵∠ADB＝∠ACB+∠DAC，∠ABD＝∠ABC＝∠ACB+∠BAE∴∠BAE＝∠DAC（2）设∠DAC＝α＝∠BAE，∠C＝β∴∠ABC＝∠ADB＝α+β∵∠ABC+∠C＝α+β+β＝α+2β＝90°，∠BAE+∠EAC＝90°＝α+∠EAC∴∠EAC＝2β∵AF平分∠EAC∴∠FAC＝∠EAF＝β∴∠FAC＝∠C，∠ABE＝∠BAF＝α+β∴AF＝FC，AF＝BF∴AF＝BC＝BF∵∠ABE＝∠BAF，∠BGA＝∠BAC＝90°∴△ABG∽△BCA∴∵∠ABE＝∠BAF，∠ABE＝∠AFB∴△ABF∽△BAD∴，且AB＝kBD，AF＝BC＝BF∴k＝，即∴（3）∵∠ABE＝∠BAF，∠BAC＝∠AGB＝90°∴∠ABH＝∠C，且∠BAC＝∠BAC∴△ABH∽△ACB∴∴AB2＝AC×AH设BD＝m，AB＝km，∵∴BC＝2k2m∴AC＝＝km∴AB2＝AC×AH（km）2＝km×AH∴AH＝∴HC＝AC﹣AH＝km﹣＝∴6、性质探究如图①，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，则底边AB与腰AC的长度之比为．理解运用（1）若顶角为120°的等腰三角形的周长为8+4，则它的面积为4；（2）如图②，在四边形EFGH中，EF＝EG＝EH．①求证：∠EFG+∠EHG＝∠FGH；②在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN．若∠FGH＝120°，EF＝10，直接写出线段MN的长．类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为2sinα（用含α的式子表示）．【解答】性质探究解：作CD⊥AB于D，如图①所示：则∠ADC＝∠BDC＝90°，∵AC＝BC，∠ACB＝120°，∴AD＝BD，∠A＝∠B＝30°，∴AC＝2CD，AD＝CD，∴AB＝2AD＝2CD，∴＝＝；故答案为：；理解运用（1）解：如图①所示：同上得：AC＝2CD，AD＝CD，∵AC+BC+AB＝8+4，∴4CD+2CD＝8+4，解得：CD＝2，∴AB＝4，∴△ABC的面积＝AB×CD＝×4×2＝4；故答案为：4（2）①证明：∵EF＝EG＝EH，∴∠EFG＝∠EGF，∠EGH＝∠EHG，∴∠EFG+∠EHG＝∠EGF+∠EGH＝∠FGH；②解：连接FH，作EP⊥FH于P，如图②所示：则PF＝PH，由①得：∠EFG+∠EHG＝∠FGH＝120°，∴∠FEH＝360°﹣120°﹣120°＝120°，∵EF＝EH，∴∠EFH＝30°，∴PE＝EF＝5，∴PF＝PE＝5，∴FH＝2PF＝10，∵点M、N分别是FG、GH的中点，∴MN是△FGH的中位线，∴MN＝FH＝5；类比拓展解：如图③所示：作AD⊥BC于D，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝α，∵sinα＝，∴BD＝AB×sinα，∴BC＝2BD＝2AB×sinα，∴＝＝2sinα；故答案为：2sinα．7、阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC 的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN．求证：∠AMN=60°．点拨：如图②，作∠CBE=60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM=EM，∠1=∠2；又AM=MN，则EM=MN，可得∠3=∠4；由∠3+∠1=∠4+∠5=60°，进一步可得∠1=∠2=∠5，又因为∠2+∠6=120°，所以∠5+∠6=120°，即：∠AMN=60°．问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1=M1N1．求证：∠A 1M1N1=90°．解：延长A1B1至E，使EB1=A1B1，连接EM1C、EC1，如图所示：则EB1=B1C1，∠EB1M1中=90°=∠A1B1M1，∴△EB1C1是等腰直角三角形，∴∠B1EC1=∠B1C1E=45°，∵N 1是正方形A 1B 1C 1D 1的外角∠D 1C 1H 1的平分线上一点， ∴∠M 1C 1N 1=90°+45°=135°， ∴∠B 1C 1E +∠M 1C 1N 1=180°， ∴E 、C 1、N 1，三点共线，在△A 1B 1M 1和△EB 1M 1中，{A 1B 1=EB 1∠A 1B 1M 1=∠EB 1M 1B 1M 1=B 1M 1，∴△A 1B 1M 1≌△EB 1M 1（SAS ）， ∴A 1M 1=EM 1，∠1=∠2， ∵A 1M 1=M 1N 1， ∴EM 1=M 1N 1， ∴∠3=∠4，∵∠2+∠3=45°，∠4+∠5=45°， ∴∠1=∠2=∠5， ∵∠1+∠6=90°， ∴∠5+∠6=90°，∴∠A 1M 1N 1=180°-90°=90°．8、如图，在等边△ABC 中，AB ＝6cm ，动点P 从点A 出发以lcm /s 的速度沿AB 匀速运动．动点Q 同时从点C 出发以同样的速度沿BC 的延长线方向匀速运动，当点P 到达点B 时，点P 、Q 同时停止运动．设运动时间为以t （s ）．过点P 作PE ⊥AC 于E ，连接PQ 交AC 边于D ．以CQ 、CE 为边作平行四边形CQFE ． （1）当t 为何值时，△BPQ 为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t ，使点F 在∠ABC 的平分线上？若存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长；（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴当BQ＝2BP时，∠BPQ＝90°，∴6+t＝2（6﹣t），∴t＝3，∴t＝3时，△BPQ是直角三角形．（2）存在．理由：如图1中，连接BF交AC于M．∵BF平分∠ABC，BA＝BC，∴BF⊥AC，AM＝CM＝3cm，∵EF∥BQ，∴∠EFM＝∠FBC＝∠ABC＝30°，∴EF＝2EM，∴t＝2•（3﹣t），解得t＝3．（3）如图2中，作PK∥BC交AC于K．∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠A＝60°，∵PK∥BC，∴∠APK＝∠B＝60°，∴∠A＝∠APK＝∠AKP＝60°，∴△APK是等边三角形，∴PA＝PK，∵PE⊥AK，∴AE＝EK，∵AP＝CQ＝PK，∠PKD＝∠DCQ，∠PDK＝∠QDC，∴△PKD≌△QCD（AAS），∴DK＝DC，∴DE＝EK+DK＝（AK+CK）＝AC＝3（cm）．（4）如图3中，连接AM，AB′∵BM＝CM＝3，AB＝AC，∴AM⊥BC，∴AM＝＝3，∵AB′≥AM﹣MB′，∴AB′≥3﹣3，∴AB′的最小值为3﹣3．9、阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN．求证：∠AMN＝60°．点拨：如图②，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM＝EM，∠1＝∠2；又AM＝MN，则EM＝MN，可得∠3＝∠4；由∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，进一步可得∠1＝∠2＝∠5，又因为∠2+∠6＝120°，所以∠5+∠6＝120°，即：∠AMN＝60°．问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1＝M1N1．求证：∠A 1M1N1＝90°．【解答】解：延长A1B1至E，使EB1＝A1B1，连接EM1C、EC1，如图所示：则EB1＝B1C1，∠EB1M1中＝90°＝∠A1B1M1，∴△EB1C1是等腰直角三角形，∴∠B1EC1＝∠B1C1E＝45°，∵N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，∴∠M1C1N1＝90°+45°＝135°，∴∠B1C1E+∠M1C1N1＝180°，∴E、C1、N1，三点共线，在△A1B1M1和△EB1M1中，，∴△A1B1M1≌△EB1M1（SAS），∴A1M1＝EM1，∠1＝∠2，∵A1M1＝M1N1，∴EM1＝M1N1，∴∠3＝∠4，∵∠2+∠3＝45°，∠4+∠5＝45°，∴∠1＝∠2＝∠5，∵∠1+∠6＝90°，∴∠5+∠6＝90°，∴∠A1M1N1＝180°﹣90°＝90°．10、如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，AD，CE相交于点G，求证：＝＝证明：连结ED．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD 交于点F．（1）如图②，若▱ABCD为正方形，且AB＝6，则OF的长为．（2）如图③，连结DE交AC于点G，若四边形OFEG的面积为，则▱ABCD的面积为 6 ．【解答】教材呈现：证明：如图①，连结ED．∵在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，∴DE∥AC，DE＝AC，∴△DEG∽△ACG，∴＝＝＝2，∴＝＝3，∴＝＝；结论应用：（1）解：如图②．∵四边形ABCD为正方形，E为边BC的中点，对角线AC、BD交于点O，∴AD∥BC，BE＝BC＝AD，BO＝BD，∴△BEF∽△DAF，∴＝＝，∴BF＝DF，∴BF＝BD，∵BO＝BD，∴OF＝OB﹣BF＝BD﹣BD＝BD，∵正方形ABCD中，AB＝6，∴BD＝6，∴OF＝．故答案为；（2）解：如图③，连接OE．由（1）知，BF＝BD，OF＝BD，∴＝2．∵△BEF与△OEF的高相同，∴△BEF与△OEF的面积比＝＝2，同理，△CEG与△OEG的面积比＝2，∴△CEG的面积+△BEF的面积＝2（△OEG的面积+△OEF的面积）＝2×＝1，∴△BOC的面积＝，∴▱ABCD的面积＝4×＝6．故答案为6．11、已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E．（1）如图1，当∠CA′D＝15°时，作∠A′EC的平分线EF交BC于点F．①写出旋转角α的度数；②求证：EA′+EC＝EF；（2）如图2，在（1）的条件下，设P是直线A′D上的一个动点，连接PA，PF，若AB＝，求线段PA+PF的最小值．（结果保留根号）【解答】（1）①解：旋转角为105°．理由：如图1中，∵A′D⊥AC，∴∠A′DC＝90°，∵∠CA′D＝15°，∴∠A′CD＝75°，∴∠ACA′＝105°，∴旋转角为105°．②证明：连接A′F，设EF交CA′于点O．在EF时截取EM＝EC，连接CM．∵∠CED＝∠A′CE+∠CA′E＝45°+15°＝60°，∴∠CEA′＝120°，∵FE平分∠CEA′，∴∠CEF＝∠FEA′＝60°，∵∠FCO＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∴∠FCO＝∠A′EO，∵∠FOC＝∠A′OE，∴△FOC∽△A′OE，∴＝，∴＝，∵∠COE＝∠FOA′，∴△COE∽△FOA′，∴∠FA′O＝∠OEC＝60°，∴△A′OF是等边三角形，∴CF＝CA′＝A′F，∵EM＝EC，∠CEM＝60°，∴△CEM是等边三角形，∠ECM＝60°，CM＝CE，∵∠FCA′＝∠MCE＝60°，∴∠FCM＝∠A′CE，∴△FCM≌△A′CE（SAS），∴FM＝A′E，∴CE+A′E＝EM+FM＝EF．（2）解：如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．由②可知，∠EA′F＝′EA′B′＝75°，A′E＝A′E，A′F＝A′B′，∴△A′EF≌△A′EB′，∴EF＝EB′，∴B′，F关于A′E对称，∴PF＝PB′，∴PA+PF＝PA+PB′≥AB′，在Rt△CB′M中，CB′＝BC＝AB＝2，∠MCB′＝30°，∴B′M＝CB′＝1，CM＝，∴AB′＝＝＝．∴PA+PF的最小值为．12、在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＜∠ABC，D是AC边上一点，且DA＝DB，O是AB的中点，CE是△BCD的中线．（1）如图a，连接OC，请直接写出∠OCE和∠OAC的数量关系：∠OCE＝∠OAC；（2）点M是射线EC上的一个动点，将射线OM绕点O逆时针旋转得射线ON，使∠MON＝∠ADB，ON与射线CA交于点N．①如图b，猜想并证明线段OM和线段ON之间的数量关系；②若∠BAC＝30°，BC＝m，当∠AON＝15°时，请直接写出线段ME的长度（用含m的代数式表示）．【解答】解：（1）结论：∠ECO＝∠OAC．理由：如图1中，连接OE．∵∠BCD＝90°，BE＝ED，BO＝OA，∵CE＝ED＝EB＝BD，CO＝OA＝OB，∴∠OCA＝∠A，∵BE＝ED，BO＝OA，∴OE∥AD，OE＝AD，∴CE＝EO．∴∠EOC＝∠OCA＝∠ECO，∴∠ECO＝∠OAC．故答案为：∠OCE＝∠OAC．（2）如图2中，∵OC＝OA，DA＝DB，∴∠A＝∠OCA＝∠ABD，∴∠COA＝∠ADB，∵∠MON＝∠ADB，∴∠AOC＝∠MON，∴∠COM＝∠AON，∵∠ECO＝∠OAC，∴∠MCO＝∠NAO，∵OC＝OA，∴△COM≌△AON（ASA），∴OM＝ON．②如图3﹣1中，当点N在CA的延长线上时，∵∠CAB＝30°＝∠OAN+∠ANO，∠AON＝15°，∴∠AON＝∠ANO＝15°，∴OA＝AN＝m，∵△OCM≌△OAN，∴CM＝AN＝m，在Rt△BCD中，∵BC＝m，∠CDB＝60°，∴BD＝m，∵BE＝ED，∴CE＝BD＝m，∴EM＝CM+CE＝m+m．如图3﹣2中，当点N在线段AC上时，作OH⊥AC于H．∵∠AON＝15°，∠CAB＝30°，∴∠ONH＝15°+30°＝45°，∴OH＝HN＝m，∵AH＝m，∴CM＝AN＝m﹣m，∵EC＝m，∴EM＝EC﹣CM＝m﹣（m﹣m）＝m﹣m，综上所述，满足条件的EM的值为m+m或m﹣m．13、在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．（1）观察猜想如图1，当α＝60°时，的值是 1 ，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°．（2）类比探究如图2，当α＝90°时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．【解答】解：（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．∵∠PAD＝∠CAB＝60°，∴∠CAP＝∠BAD，∵CA＝BA，PA＝DA，∴△CAP≌△BAD（SAS），∴PC＝BD，∠ACP＝∠ABD，∵∠AOC＝∠BOE，∴∠BEO＝∠CAO＝60°，∴＝1，线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°，故答案为1，60°．（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．∵∠PAD＝∠CAB＝45°，∴∠PAC＝∠DAB，∵＝＝，∴△DAB∽△PAC，∴∠PCA＝∠DBA，＝＝，∵∠EOC＝∠AOB，∴∠CEO＝∠OABB＝45°，∴直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为45°．（3）如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．∵CE＝EA，CF＝FB，∴EF∥AB，∴∠EFC＝∠ABC＝45°，∵∠PAO＝45°，∴∠PAO＝∠OFH，∵∠POA＝∠FOH，∴∠H＝∠APO，∵∠APC＝90°，EA＝EC，∴PE＝EA＝EC，∴∠EPA＝∠EAP＝∠BAH，∴∠H＝∠BAH，∴BH＝BA，∵∠ADP＝∠BDC＝45°，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AH，∴∠DBA＝∠DBC＝22.5°，∵∠ADB＝∠ACB＝90°，∴A，D，C，B四点共圆，∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∠DCA＝∠ABD＝22.5°，∴∠DAC＝∠DCA＝22.5°，∴DA＝DC，设AD＝a，则DC＝AD＝a，PD＝a，∴＝＝2﹣．如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：DA＝DC，设AD＝a，则CD ＝AD＝a，PD＝a，∴PC＝a﹣a，∴＝＝2+．14、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，点M是线段AD上的动点，连结BM 并延长分别交DE，AC于点F、G．（1）求CD的长．（2）若点M是线段AD的中点，求的值．（3）请问当DM的长满足什么条件时，在线段DE上恰好只有一点P，使得∠CPG＝60°？【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝∠BAC＝30°，在Rt△ADC中，DC＝AC•tan30°＝6×＝2．（2）由题意易知：BC＝6，BD＝4，∵DE∥AC，∴∠FDM＝∠GAM，∵AM＝DM，∠DMF＝∠AMG，∴△DFM≌△AGM（ASA），∴DF＝AG，∵DE∥AC，∴＝＝，∴＝＝＝＝．（3）∵∠CPG＝60°，过C，P，G作外接圆，圆心为Q，∴△CQG是顶角为120°的等腰三角形．①当⊙Q与DE相切时，如图3﹣1中，作QH⊥AC于H，交DE于P．连接QC，QG．菁优网设⊙Q的半径为r．则QH＝r，r+r＝2，∴r＝，∴CG＝×＝4，AG＝2，由△DFM∽△AGM，可得＝＝，∴DM＝AD＝．②当⊙Q经过点E时，如图3﹣2中，延长CO交AB于K，设CQ＝r．∵QC＝QG，∠CQG＝120°，∴∠KCA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠AKC＝90°，在Rt△EQK中，QK＝3﹣r，EQ＝r，EK＝1，∴12+（3﹣r）2＝r2，解得r＝，∴CG＝×＝，由△DFM∽△AGM，可得DM＝．③当⊙Q经过点D时，如图3﹣3中，此时点M，点G与点A重合，可得DM＝AD＝4．观察图象可知：当DM＝或＜DM≤4时，满足条件的点P只有一个．。

2021中考数学几何专项：三角形培优训练一、选择题1. 下列式子错误．．的是()A. cos40°＝sin50°B. tan15°·tan75°＝1C. sin225°＋cos225°＝1D. sin60°＝2sin30°2. 如图，一块三角形玻璃碎成了4块，现在要到玻璃店去配一块与原来的三角形玻璃完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪块玻璃碎片去玻璃店()A.①B.②C.③D.④3. 如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD=90°，BD平分∠ABC，AB=6，BC=9，CD=4，则四边形ABCD的面积是()A.24B.30C.36D.424. △ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是()A. 120°B. 125°C. 135°D. 150°5. 长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有()A．1种B．2种C．3种D．4种6. 如图,考古学家发现在地下A处有一座古墓,古墓上方是煤气管道,为了不影响管道,准备在B,C处开工挖出“V”字形通道.如果∠DBA=130°,∠ECA=135°,那么∠A的度数是()A.75°B.80°C.85°D.90°7. 如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，点O是AB的中点，且AB＝6，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC、BC相交，交点分别为D、E，则CD＋CE等于()A. 2B. 3C. 2D. 68. 如图,在△ABC中,BC边不动,点A竖直向上运动,∠A越来越小,∠B,∠C越来越大.若∠A减小x°,∠B增加y°,∠C增加z°,则x,y,z之间的关系是()A.x=y+zB.x=y-zC.x=z-yD.x+y+z=1809. 如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B=∠C=x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是()10. 如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为()A．70°B．108°C．110°D．125°二、填空题11. 如图，已知在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，BF＝CE，点B，F，C，E在同一条直线上，若使△ABC≌△DEF，则还需添加的一个条件是________(只填一个即可)．12. 长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了________m.13. 如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E.若∠AFD=158°，则∠EDF=°.14. 如图，等边三角形ABC内有一点P，分别连接AP，BP，CP，若AP=6，BP=8，CP=10，则S△ABP+S△BPC=.15. 如图所示，已知AD∥BC，则∠1＝∠2，理由是________________；又知AD ＝CB，AC为公共边，则△ADC≌△CBA，理由是______，则∠DCA＝∠BAC，理由是__________________，则AB∥DC，理由是________________________________．三、解答题16. 如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一面同时施工，工人师傅在AC上取一点B，在小山外取一点D，连接BD并延长，使DF＝BD，过点F作AB的平行线FM，连接MD并延长，在延长线上取一点E，使DE＝DM，在点E开工就能使A，C，E三点成一条直线，你知道其中的道理吗？17. 如图①，点A，B，C，D在同一直线上，AB=CD，作EC⊥AD于点C，FB ⊥AD于点B，且AE=DF.(1)求证:EF平分线段BC;(2)若将△BFD沿AD方向平移得到图②，其他条件不变，(1)中的结论是否仍成立?请说明理由.18. 如图，已知∠C＝60°，AE，BD是△ABC的角平分线，且交于点P.(1)求∠APB的度数．(2)求证：点P在∠C的平分线上．(3)求证：①PD＝PE；②AB＝AD＋BE.19. 如图所示，∠BAC＝∠BCA，AD为△ABC中BC边上的中线，延长BC至点E，使CE＝AB，连接AE.求证：∠CAD＝∠CAE.20. 在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程x2－5x＋2＝0，操作步骤是：第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点A(0，1)，B(5，2)；第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B；第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C的横坐标m即为该方程的一个实数根(如图①)；第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D的横坐标n既为该方程的另一个实数根．(1)在图②中，按照“第四步”的操作方法作出点D(请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹)；(2)结合图①，请证明“第三步”操作得到的m就是方程x2－5x＋2＝0的一个实数根；(3)上述操作的关键是确定两个固定点的位置．若要以此方法找到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；(4)实际上，(3)中的固定点有无数对，一般地，当m1，n1，m2，n2与a，b，c之间满足怎样的关系时，点P(m1，n1)．Q(m2，n2)就是符合要求的一对固定点？2021中考数学几何专项：三角形培优训练-答案一、选择题选项逐项分析正误A cos40°＝sin(90°－40°)＝sin50°√ B tan15°·tan75°＝1tan75°×tan75°＝1√ C sin 2A ＋cos 2A ＝1√ D ∵sin60°＝32，2sin30°＝2×12＝1，∴sin60°≠2sin30°×2. 【答案】D [解析] 第①块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这块玻璃碎片不能配一块与原来完全一样的玻璃;第②③块只保留了原三角形的部分边，根据这两块玻璃碎片中的任一块均不能配一块与原来完全一样的玻璃;第④块玻璃碎片不仅保留了原来三角形的两个角，还保留了一条完整的边，则可以根据“ASA”来配一块完全一样的玻璃.最省事的方法是带④去.3. 【答案】B[解析]过点D 作DH ⊥AB 交BA 的延长线于H.∵BD 平分∠ABC ，∠BCD=90°， ∴DH=CD=4，∴四边形ABCD 的面积=S △ABD +S △BCD =AB ·DH +BC ·CD=×6×4+×9×4=30.4. 【答案】C 【解析】由CD 为腰上的高，I 为△ACD 的内心，则∠IAC ＋∠ICA ＝12(∠DAC ＋∠DCA)＝12(180°－∠ADC)＝12(180°－90°)＝45°，所以∠AIC ＝180°－(∠IAC ＋∠ICA)＝180°－45°＝135°.又可证△AIB ≌△AIC ，得∠AIB ＝∠AIC ＝135°.5. 【答案】C6. 【答案】C[解析] ∵∠DBA=130°,∠ECA=135°,∴∠ABC=180°-∠DBA=50°,∠ACB=180°-∠ECA=45°.∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50°-45°=85°.7. 【答案】B【解析】如解图，连接OC ，由已知条件易得∠A ＝∠OCE ，CO ＝AO ，∠DOE ＝∠COA ，∴∠DOE －∠COD ＝∠COA －∠COD ，即∠AOD ＝∠COE ，∴△AOD ≌△COE (ASA)，∴AD ＝CE ，进而得CD ＋CE ＝CD ＋AD ＝AC＝22AB ＝3，故选B.8. 【答案】A[解析] 根据题意,得∠A+∠ABC+∠ACB=180°①,变化后的三角形的三个角的度数分别是∠A-x°,∠ABC+y°,∠ACB+z°,∴∠A-x°+∠ABC+y°+∠ACB+z°=180°②,①②联立整理可得x=y+z.9. 【答案】C[解析] 选项A中由全等三角形的判定定理“SAS”证得图中两个小三角形全等.选项B中由全等三角形的判定定理“SAS”证得图中两个小三角形全等.选项C中，如图①，∵∠DEC=∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC=x°+∠BDE.∴∠FEC=∠BDE.这两个角所对的边是BE和CF，而已知条件给的是BD=CF=3，故不能判定两个小三角形全等.选项D中，如图②，∵∠DEC=∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC=x°+∠BDE.∴∠FEC=∠BDE.又∵BD=CE=2，∠B=∠C，∴△BDE≌△CEF.故能判定两个小三角形全等.10. 【答案】C[解析] ∵在△ABC中，∠ACB＝70°，∠1＝∠2，∴∠2＋∠BCP＝∠1＋∠BCP＝∠ACB＝70°.∴∠BPC＝180°－∠2－∠BCP＝180°－70°＝110°.二、填空题11. 【答案】答案不唯一，如AB ＝DE[解析] ∵BF ＝CE ，∴BC ＝EF.在△ABC 和△DEF 中，⎩⎨⎧AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，BC ＝EF ，∴△ABC ≌△DEF(SAS)．12. 【答案】2(3－2) 【解析】开始时梯子顶端离地面距离为4×sin 45°＝4×22＝22，移动后梯子顶端离地面距离为4×sin 60°＝4×32＝23，故梯子顶端沿墙面升高了 23－22＝2(3－2)m .13. 【答案】68[解析] ∵∠AFD=158°，∴∠CFD=180°-∠AFD=180°-158°=22°. ∵FD ⊥BC ， ∴∠FDC=90°.∴∠C=180°-∠FDC-∠CFD=180°-90°-22°=68°. ∵∠B=∠C ，DE ⊥AB ，∴∠EDB=180°-∠B-∠DEB=180°-68°-90°=22°. ∴∠EDF=180°-90°-22°=68°.14. 【答案】16+24 [解析]将△ABP 绕点B 顺时针旋转60°到△CBP'，连接PP'，所以P'C=P A=6，BP=BP'，∠PBP'=60°，所以△BPP'是等边三角形，其边长BP 为8，所以PP'=8，S △BPP'=16，因为PC=10，所以PP'2+P'C 2=PC 2， 所以△PP'C是直角三角形，S △PP'C =24，所以S △ABP +S △BPC =S △BPP'+S △PP'C =16+24.15. 【答案】两直线平行，内错角相等SAS 全等三角形的对应角相等 内错角相等，两直线平行三、解答题16. 【答案】解：在△BDE 和△FDM 中，⎩⎨⎧BD ＝FD ，∠BDE ＝∠FDM ，DE ＝DM ，∴△BDE ≌△FDM(SAS)． ∴∠BEM ＝∠FME.∴BE ∥MF. 又∵AB ∥MF ，∴A ，C ，E 三点在一条直线上．17. 【答案】解:(1)证明:∵EC ⊥AD ，FB ⊥AD ，∴∠ACE=∠DBF=90°.∵AB=CD ，∴AB+BC=BC+CD ， 即AC=DB.在Rt △ACE 和Rt △DBF 中，∴Rt △ACE ≌Rt △DBF (HL).∴EC=FB. 在△CEG 和△BFG 中，∴△CEG ≌△BFG (AAS). ∴CG=BG ，即EF 平分线段BC. (2)EF 平分线段BC 仍成立. 理由:∵EC ⊥AD ，FB ⊥AD ，∴∠ACE=∠DBF=90°.∵AB=CD，∴AB-BC=CD-BC，即AC=DB.在Rt△ACE和Rt△DBF中，∴Rt△ACE≌Rt△DBF(HL).∴EC=FB.在△CEG和△BFG中，∴△CEG≌△BFG(AAS).∴CG=BG，即EF平分线段BC.18. 【答案】解：(1)∵AE，BD是△ABC的角平分线，∴∠BAP＝12∠BAC，∠ABP＝12∠ABC.∴∠BAP＋∠ABP＝12(∠BAC＋∠ABC)＝12(180°－∠C)＝60°.∴∠APB＝120°.(2)证明：如图，过点P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，垂足分别为F，G，H.∵AE，BD分别平分∠BAC，∠ABC，∴PF＝PG，PF＝PH.∴PH＝PG.又∵PG⊥AC，PH⊥BC，∴点P在∠C的平分线上．(3)证明：①∵∠C＝60°，PG⊥AC，PH⊥BC，∴∠GPH＝120°.∴∠GPE＋∠EPH＝120°.又∵∠APB ＝∠DPE ＝∠DPG ＋∠GPE ＝120°，∴∠EPH ＝∠DPG .在△PGD 和△PHE 中，⎩⎨⎧∠PGD ＝∠PHE ＝90°，PG ＝PH ，∠DPG ＝∠EPH ，∴△PGD ≌△PHE.∴PD ＝PE.②如图，在AB 上截取AM ＝AD.在△ADP 和△AMP 中，⎩⎨⎧AD ＝AM ，∠DAP ＝∠MAP ，AP ＝AP ，∴△ADP ≌△AMP.∴∠APD ＝∠APM ＝60°.∴∠EPB ＝∠MPB ＝60°.在△EBP 和△MBP 中，⎩⎨⎧∠EPB ＝∠MPB ，BP ＝BP ，∠EBP ＝∠MBP ，∴△EBP ≌△MBP.∴BE ＝BM.∴AB ＝AM ＋BM ＝AD ＋BE.19. 【答案】证明：如图，延长AD 到点F ，使得DF ＝AD ，连接CF.∵AD 为△ABC 中BC 边上的中线，∴BD ＝CD.在△ADB 和△FDC 中，⎩⎨⎧AD ＝FD ，∠ADB ＝∠FDC ，BD ＝CD ，∴△ADB ≌△FDC(SAS)．∴AB ＝CF ，∠B ＝∠DCF.∵CE ＝AB ，∴CE ＝CF.∵∠ACE ＝∠B ＋∠BAC ，∠ACF ＝∠DCF ＋∠BCA ，∠BAC ＝∠BCA ， ∴∠ACE ＝∠ACF.在△ACF 和△ACE 中，⎩⎨⎧AC ＝AC ，∠ACF ＝∠ACE ，CF ＝CE ，∴△ACF ≌△ACE(SAS)．∴∠CAD ＝∠CAE.20. 【答案】【思路分析】(1)因为点C 是x 轴上的一动点，且∠ACB ＝90°保持不变，所以由圆周角的性质得，点C 必在以AB 为直径的圆上，所以以AB 为直径画圆，与x 轴相交于两点，除点C 的另一点就是所求；(2)因为∠ACB ＝90°，∠AOC ＝90°，所以过点B 作BE ⊥x 轴，垂足为E ，则构造了一个“K”字型的基本图形，再由相似三角的性质得出比例式，化简后得m 2－5m ＋2＝0，问题得证；(3)由(2)中的证明过程可知，一个二次项系数为1的一元二次方程，一次项系数是点A 的横坐标与点B 的横坐标的和的相反数；常数项是点A 的纵坐标与点B 的纵坐标的积，先把方程ax 2＋bx ＋c ＝0，化为 x 2＋b a x ＋c a ＝0，再根据上述关系写出一对固定点的坐标；(4)由(2)的证明中知，本题的关键点在“K”字型的构造，所以本小题解题的关键是要抓住图②中的“K”字型，只要P 、Q 两点分别在AD 、BD 上，过P 、Q 分别作x 轴垂线，垂足为M 、N ，这样就构造出满足条件的基本图形，再应用相似三角形的性质，可得相应的关系式．图① 图②(1)解：如解图①，先作出AB 的中点O 1，以O 1为圆心，12AB 为半径画圆．x 轴上另外一个交点即为D 点；(4分)(2)证明：如解图①，过点B 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，∵∠ADB ＝90°，∴∠ADO ＋∠BDE ＝90°，∵∠OAD ＋∠ADO ＝90°，∴∠OAD ＝∠BDE ，∵∠AOD ＝∠DEB ＝90°，∴△AOD ∽△DEB ，(6分)∴AO DE ＝OD EB ，即15－m＝m 2， ∴m 2－5m ＋2＝0，∴m 是x 2－5x ＋2＝0的一个实根；(8分)(3)解：(0，1)，(－b a ，c a )或(0，1a )，(－b a ，c )；(10分)(4)解：在解图②中，P 在AD 上，Q 在BD 上，过P ，Q 分别作x 轴的垂线交x 轴于M ，N.由(2)知△PMD ∽△DNQ ，∴n 1m 2－x ＝x －m 1n 2，(12分) ∴x 2－(m 1＋m 2)x ＋m 1m 2＋n 1n 2＝0与ax 2＋bx ＋c ＝0同解，∴－b a ＝m 1＋m 2；c a ＝m 1m 2＋n 1n 2.(14分)【难点突破】本题是一道考查数形结合思想的题．本题解题的突破口要抓住∠ACB ＝90°保持不变的特征，构造相似三角形中的基本图形，通过数形结合的方法，以相似三角形的比例式为桥梁，以此获得关于m 的等量关系，从而使问题得以解决．。

2021年九年级数学中考二轮复习基于问题探究的三角形全等培优专题1.如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形．问题探究与发现（1）△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．拓展运用（2）若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长．（3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD 的面积及AD的长．2.如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．【问题解决】如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；【类比探究】如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．3.问题1：如图①，在四边形中，，是上一点，，.ABCD 90B C ∠=∠=︒P BC PA PD =90APD ∠=︒求证：.AB CD BC +=问题2：如图②，在四边形中，，是上一点，，.ABCD 45B C ∠=∠=︒P BC PA PD =90APD ∠=︒求的值.AB CCD B +4.问题：如图，在△ABD 中，BA =BD ．在BD 的延长线上取点E ，C ，作△AEC ，使EA =EC ，若∠BAE =90°，∠B =45°，求∠DAC 的度数．答案：∠DAC =45°．思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B =45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC 的度数会改变吗？说明理由；（2）如果把以上“问题”中的条件“∠B =45°”去掉，再将“∠BAE =90°”改为“∠BAE =n °”，其余条件不变，求∠DAC 的度数．5．性质探究如图（1），在等腰三角形ABC 中，∠ACB ＝120°，则底边AB 与腰AC 的长度之比为________．理解运用（1）若顶角为120°的等腰三角形的周长为4＋，则它的面积为________；3（2）如图（2），在四边形EFGH 中，EF ＝EG ＝EH ．在边FG ，GH 上分别取中点M ，N ，连接MN ．若∠FGH ＝120°，EF ＝20，求线段MN 的长．类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为________．（用含α的式子表示）6.勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今.(1)①请叙述勾股定理；②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理：(以下图形均满足证明勾股定理所需的条件)(2)①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有 个；321S S S =+②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为，直角三角形面积为，请判断的关系并证明；21S S 、3S 321S S S 、、(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”.在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M 的边长为定值m ，四个小正方形A ，B ，C ，D 的边长分别为a ，b ，c ，d ，已知∠1=∠2=∠3=∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：(结果可用含m 的式子表示)① ；=+++2222d c b a ②b 与c 的关系为，a 与d 的关系为 .7. 如图，AB∥CD,以点A 为圆心，以小于AC 长为半径作圆弧，分别交AC 、AB 于E 、F 两点，再分别以点E 、F 为圆心，以大于EF 长为半径作圆弧，两条圆12弧交于点P ，作射线AP ，交CD 于点M.（1）若∠ACD=124°,求∠MAB 的度数；（2）若CN⊥AM，垂足为N ，求证：△CAN≌△MCN.8. 如图①，将一个边长为2的正方形ABCD 和一个长为2，宽为1的矩形CEFD 拼在一起，构成一个大的矩形ABEF 。

九年级数学中考2021年复习分类压轴大题专题：三角形综合题1．在平面直角坐标系中，B（2，2），以OB为一边作等边△OAB（点A在x轴正半轴上）．（1）若点C是y轴上任意一点，连接AC，在直线AC上方以AC为一边作等边△ACD．①如图1，当点D落在第二象限时，连接BD，求证：AB⊥BD；②若△ABD是等腰三角形，求点C的坐标；（2）如图2，若FB是OA边上的中线，点M是FB一动点，点N是OB一动点，且OM+NM 的值最小，请在图2中画出点M、N的位置，并求出OM+NM的最小值．2．在△ABC中，AB＝AC，CD是AB边上的高，若AB＝10，BC＝．（1）求CD的长．（2）动点P在边AB上从点A出发向点B运动，速度为1个单位/秒；动点Q在边AC上，从点A出发向点C运动，速度为v个单位/秒（v＞1）．设运动的时间为t（t＞0），当点Q到点C时，两个点都停止运动．①若当v＝2时，CP＝BQ，求t的值．②若在运动过程中存在某一时刻，使CP＝BQ成立，求v关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．3．如图1，直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点，OC平分∠AOB交AB于点C，点D为线段AB上一点，过点D作DE∥OC交y轴于点E，已知AO＝m，BO＝n，且m、n满足n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0．（1）求A、B两点的坐标；（2）若点D为AB中点，求OE的长；（3）如图2，若点P（x，﹣2x+4）为直线AB在x轴下方的一点，点E是y轴的正半轴上一动点，以E为直角顶点作等腰直角△PEF，使点F在第一象限，且F点的横、纵坐标始终相等，求点P的坐标．4．在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD 的下方作等边△CDE，连结BE．（1）若点D在线段AM上时（如图1），则AD BE（填“＞”、“＜”或“＝”），∠CAM＝度；（2）设直线BE与直线AM的交点为O．①当动点D在线段AM的延长线上时（如图2），试判断AD与BE的数量关系，并说明理由；②当动点D在直线AM上时，试判断∠AOB是否为定值？若是，请直接写出∠AOB的度数；若不是，请说明理由．5．提出问题：如图1，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，点A正好落在直线l上，则∠1、∠2的关系为．探究问题：如图2，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点A正好落在直线l上，分别作BD⊥l 于点D，CE⊥l于点E，试探究线段BD、CE、DE之间的数量关系，并说明理由．解决问题：如图3，在△ABC中，∠CAB、∠CBA均为锐角，点A、B正好落在直线l上，分别以A、B为直角顶点，向△ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF，分别过点E、F 作直线l的垂线，垂足为M、N．①试探究线段EM、AB、FN之间的数量关系，并说明理由；②若AC＝3，BC＝4，五边形EMNFC面积的最大值为．6．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D、E分别在AC、BC上，连接AE、BD交于点O，且CD＝CE．（1）如图1，求证：AO＝BO．（2）如图2，F是BD的中点，试探讨AE与CF的位置关系．（3）如图3，F、G分别是BD、AE的中点，若AC＝，CE＝，求△CGF的面积．7．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，P是直线AC上的一点，连接BP，过点C作CD⊥BP，交直线BP于点D．（1）当点P在线段AC上时，如图①，求证：BD﹣CD＝AD；（2）当点P在直线AC上移动时，位置如图②、图③所示，线段CD，BD与AD之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．8．几何探究题（1）发现：在平面内，若AB＝a，BC＝b，其中b＞a．当点A在线段BC上时，线段AC的长取得最小值，最小值为；当点A在线段CB延长线上时，线段AC的长取得最大值，最大值为．（2）应用：点A为线段BC外一动点，如图2，分别以AB、AC为边，作等边△ABD和等边△ACE，连接CD、BE．①证明：CD＝BE；②若BC＝5，AB＝2，则线段BE长度的最大值为．（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（7，0），点P为线AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°．请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．9．如图1，平面直角坐标系xOy中，若A（0，4）、B（1，0）且以AB为直角边作等腰Rt △ABC，∠CAB＝90°，AB＝AC．（1）如图1，求C点坐标；（2）如图2，在图1中过C点作CD⊥x轴于D，连接AD，求∠ADC的度数；（3）如图3，点A在y轴上运动，以OA为直角边作等腰Rt△OAE，连接EC，交y轴于F，试问A点在运动过程中S△AOB ：S△AEF的值是否会发生变化？如果没有变化，请说明理由．10．已知，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点．（1）问题发现如图①，若点E、F分别是AB，AC的中点，连接DE，DF，EF，则线段DE与DF的数量关系是，线段DE与DF的位置关系是；（2）拓展探究如图②，若点E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，连接DE，DF，EF，上述结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）解决问题当点E，F分别为AB，CA延长线上的点，且BE＝AF＝AB＝2，连接DE，DF，EF，直接写出△DEF的面积．参考答案1．（1）①证明：∵△OAB和△ACD是等边三角形，∴BO＝AO＝AB，AC＝AD，∠OAB＝∠CAD＝60°，∴∠BAD＝∠OAC，在△ABD和△AOC中，，∴△ABD≌△AOC（SAS），∴∠ABD＝∠AOC＝90°，∴AB⊥BD；②解：存在两种情况：当点D落在第二象限时，如图1所示：作BM⊥OA于M，∵B（2，2），∴OM＝2，BM＝2，∵△OAB是等边三角形，∴AO＝2OM＝4，同①得：△ABD≌△AOC（SAS），∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，∴OC＝AB＝OA＝4，∴C（0，﹣4）；当点D落在第一象限时，如图1﹣1所示：作BM⊥OA于M，∵B（2，2），∴OM＝2，BM＝2，∵△OAB是等边三角形，∴AO＝2OM＝4，同①得：△ABD≌△AOC（SAS），∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，∴OC＝AB＝OA＝4，∴C（0，4）；综上所述，若△ABD是等腰三角形，点C的坐标为（0，﹣4）或（0，4）；（2）解：作ON'⊥AB于N'，作MN⊥OB于N，如图2所示：∵△OAB是等边三角形，ON'⊥AB，FB是OA边上的中线，∴AN'＝AB＝2，BF⊥OA，BF平分∠ABO，∵ON'⊥AB，MN⊥OB，∴MN＝MN'，∴N'和N关于BF对称，此时OM+MN的值最小，∴OM+MN＝OM+MN'＝ON，∵ON＝＝＝2，∴OM+MN＝2；即OM+NM的最小值为2．2．解：（1）如图，作AE⊥BC于点E，∵AB＝AC∴BE＝BC＝2在Rt△ABE中，AE＝＝＝4∵S＝BC•AE＝AB•CD△ABC∴CD＝＝＝8答：CD的长为8．（2）过点B作BF⊥AC于点F，当点Q在AF之间时，如图所示：＝AC•BF＝AB•CD∵S△ABC∵AB＝AC∴BF＝CD在Rt△CDP和Rt△BQF中，∵CP＝BQ，CD＝BF∴Rt△CDP≌Rt△BQF（HL）∴PD＝QF在Rt△ACD中，CD＝8，AC＝AB＝10 ∴AD＝＝6同理可得AF＝6∴PD＝AD＝AP＝6﹣t，QF＝AF﹣AQ＝6﹣2t由PD＝QF得6﹣t＝6﹣2t，解得t＝0 ∵t＞0，此种情况不符合题意，舍去；当点Q在FC之间时，如图所示：此时PD＝6﹣t，QF＝2t﹣6，由PD＝QF，得6﹣t＝2t﹣6解得t＝4综上得t的值为4．②同①可知：v＞1时，Q在AF之间不存在CP＝BQ，Q在FC之间存在CP＝BQ，Q在F点时，显然CP不等于BQ．∵运动时间为t，则AP＝t，AQ＝vt，∴PD＝6﹣t，QF＝vt﹣6，由DP＝QF，得6﹣t＝vt﹣6整理得v＝∵Q在FC之间，即AF＜AQ≤AC∴6＜vt≤10，代入v＝得6＜12﹣t≤10，解得2≤t＜6所以v＝（2≤t＜6）．3．解：（1）∵n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0，∴（n﹣4）2+|n﹣2m|＝0，∵（n﹣4）2≥0，|n﹣2m|≥0，∴（n﹣4）2＝0，|n﹣2m|＝0，∴m＝2，n＝4，∴点A为（2，0），点B为（0，4）；（2）延长DE交x轴于点F，延长FD到点G，使得DG＝DF，连接BG，设OE＝x，∵OC平分∠AOB，∴∠BOC＝∠AOC＝45°，∵DE∥OC，∴∠EFO＝∠FEO＝∠BEG＝∠BOC＝∠AOC＝45°，∴OE＝OF＝x，在△ADF和△BDG中，，∴△ADF≌△BDG（SAS），∴BG＝AF＝2+x，∠G＝∠AFE＝45°，∴∠G＝∠BEG＝45°，∴BG＝BE＝4﹣x，∴4﹣x＝2+x，解得：x＝1，∴OE＝1；（3）如图2，分别过点F、P作FM⊥y轴于点M，PN⊥y轴于点N，设点E为（0，m），∵点P的坐标为（x，﹣2x+4），∴PN＝x，EN＝m+2x﹣4，∵∠PEF＝90°，∴∠PEN+∠FEM＝90°，∵FM⊥y轴，∴∠MFE+∠FEM＝90°，∴∠PEN＝∠MFE，在△EFM和△PEN中，，∴△EFM≌△PEN（AAS），∴ME＝NP＝x，FM＝EN＝m+2x﹣4，∴点F为（m+2x﹣4，m+x），∵F点的横坐标与纵坐标相等，∴m+2x﹣4＝m+x，解得：x＝4，∴点P为（4，﹣4）．4．解：（1））∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE∴∠ACD＝∠BCE．在△ADC和△BEC中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°．∵线段AM为BC边上的中线∴∠CAM＝∠BAC，∴∠CAM＝30°．故答案为：＝，30；（2）①AD＝BE，理由如下：∵△ABC和△CDE都是等边三角形∴AB＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∵∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB，∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE．②∠AOB是定值，∠AOB＝60°，理由如下：当点D在线段AM上时，如图1，由①知△ACD≌△BCE，则∠CBE＝∠CAD＝30°，又∠ABC＝60°，∴∠CBE+∠ABC＝60°+30°＝90°，∵△ABC是等边三角形，线段AM为BC边上的中线∴AM平分∠BAC，即，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．当点D在线段AM的延长线上时，如图2，∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠ACB+∠DCB＝∠DCB+∠DCE∴∠ACD＝∠BCE在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠CBE＝∠CAD＝30°，同理可得：∠BAM＝30°，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．5．解：（1）∵∠BAC＝90°，∴∠1+∠2＝90°；故答案为：∠1+∠2＝90°；（2）DE＝CE+BD，理由如下：∵BD⊥l于点D，CE⊥l，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∴∠1+∠ABD＝90°，又∵∠1+∠2＝90°，∴∠2＝∠ABD，又∵AB＝AC，∠BDA＝∠AEC，∴△ABD≌△CAE（AAS）∴BD＝AE，CE＝AD，∴DE＝AD+AE＝CE+BD；（3）①AB＝EM+FN，理由如下：如图，过点C作CH⊥AB于H，∵△AEC是等腰直角三角形，∴AE＝AC，∠EAC＝90°，∵∠EAM+∠CAH＝90°，∠ACH+∠CAH＝90°，∴∠ACH＝∠EAM，又∵AE＝AC，∠EMA＝∠AHC＝90°，∴△AEM≌△CAH（AAS），∴EM＝AH，AM＝CH，同理可得：△BCH≌△FBN（AAS），∴BH＝FN，CH＝BN，∴AB＝AH+BH＝EM+FN；②∵△AEM≌△CAH，△BCH≌△FBN，∴S△AEM ＝S△CAH，S△BCH＝S△FBN，∴五边形EMNFC面积＝S△AEC +S△BCF+2S△ABC＝+2S△ABC，∵当AC⊥BC时，△ABC的最大面积为6，∴五边形EMNFC面积的最大值＝+12＝，故答案为：．6．解：（1）如图1中，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CAE＝∠CBD，∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠CBA，∴∠OAB＝∠OBA，∴OA＝OB．（2）如图2，设AE与CF的交点为M，在Rt△BCD中，点F是BD的中点，∴CF＝BF，∴∠BCF＝∠CBF，由（1）知，∠CAE＝∠CBD，∴∠BCF＝∠CAE，∴∠CAE+∠ACF＝∠BCF+∠ACF＝∠ACB＝90°，∴∠AMC＝90°，∴AE⊥CF；（3）如图3，设AE与CF的交点为M，∵AC＝，∴BC＝AC＝，∵CE＝，∴CD＝CE＝，在Rt△BCD中，根据勾股定理得，BD＝＝，∵点F是BD中点，∴CF＝DF＝BD＝，同理：EG＝AE＝，连接EF，过点F作FH⊥BC，∵∠ACB＝90°，点F是BD的中点，∴FH＝CD＝，＝CE•FH＝××＝，∴S△CEF由（2）知，AE⊥CF，＝CF•ME＝×ME＝ME，∴S△CEF∴ME＝，∴ME＝，∴GM＝EG﹣ME＝﹣＝，＝CF•GM＝××＝．∴S△CFG7．解：（1）证明：如图1，在BD上截取BE＝CD，∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∴∠ABP+∠APB＝90°，∠ACD+∠DPC＝90°．∵∠APB＝∠DPC，∴∠ABP＝∠ACD．又AB＝AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴AE＝AD，∠BAE＝∠CAD．∴∠EAD＝∠EAP+∠CAD＝∠EAP+∠BAE＝90°．在Rt△AED中，DE2＝AE2+AD2＝2AD2，∴∴；（2）如图2，CD﹣BD＝AD．在CD上截取CE＝BD，连接AE，由（1）可知△ADB≌△AEC，∴AE＝AD，∠BAD＝∠CAE，∴∠EAD＝∠BAE+∠BAD＝∠BAE+∠CAE＝90°，在Rt△AED中，DE2＝AE2+AD2＝2AD2，∴DE＝AD，∴CD﹣BD＝CD﹣CE＝DE＝AD，∴CD﹣BD＝AD．如图3，CD+BD＝AD．延长DC至点E，使得CE＝BD，连接AE，∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠ACE＝180°，∴∠ABD＝∠ACE，在△ABD和△ACE中，，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴AE＝AD，∠BAD＝∠CAE，∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝∠BAD+∠CAD＝90°，在Rt△AED中，DE2＝AE2+AD2＝2AD2，∴DE＝AD，∴CD+BD＝CD+CE＝DE＝AD．8．解：（1）∵当点A在线段BC上时，线段AC的长取得最小值，最小值为BC﹣AB，∵BC＝b，AB＝a，∴BC﹣AB＝b﹣a，当点A在线段CB延长线上时，线段AC的长取得最大值，最大值为BC+AB，∵BC＝b，AB＝a，∴BC+AB＝b+a，故答案为：b﹣a，b+a；（2）①CD＝BE，理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴CD＝BE；②∵线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，∴由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，∴最大值为BE＝CD＝BD+BC＝AB+BC＝5+2＝7；故答案为：7．（3）最大值为5+2；∴P（2﹣，）．如图1，连接BM，∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，∴PN＝PA＝2，BN＝AM，∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（7，0），∴AO＝2，OB＝7，∴AB＝5，∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值＝AB+AN，∵AN＝AP＝2，∴最大值为 5+2；如图2，过P作PE⊥x轴于E，∵△APN是等腰直角三角形，∴PE＝AE＝，∴OE＝OA﹣AE＝2﹣，∴P（2﹣，）．9．解：（1）如图①，∵A（0，4）、B（1，0），∴OA＝4，OB＝1，过点C作CG⊥y轴于G，∴∠AGC＝90°＝∠BOA，∴∠OAB+∠OBA＝90°∵∠CAB＝90°，∴∠OAB+∠GAC＝90°，∴∠OBA＝∠GAC，∵AB＝AC，∴△AOB≌△CGA（AAS），∴CG＝OA＝4，AG＝OB＝1，∴OG＝OA+AG＝5，∴C（4，5）；（2）由（1）知，OA＝4，点C（4，5），∵CD⊥x轴，∴点D（4，0），∴OD＝4，∴OA＝OD，∠OAD ＝45°，∵CD ⊥x 轴，∴CD ∥y 轴，∴∠ADC ＝∠OAD ＝45°；（3）A 点在运动过程中S △AOB ：S △AEF 的值不会发生变化，理由：设点A 的坐标为（0，a ），①当点A 在y 轴正半轴上时，连接CE 交y 轴于F ，∴点C ，E 在y 轴的两侧，即点E 在y 轴左侧，同（1）的方法得，C （a ，a +1），∵△OAE 是等腰直角三角形，∴AE ⊥OA ，∴E （﹣a ，a ），∴直线CE 的解析式为y ＝x +a +，∴F （0，a +）， ∴AF ＝a +﹣a ＝， ∵OB ＝1， ∴＝2；②当点A 在y 轴负半轴上时，同①的方法得，C （﹣a ，a ﹣1），E （a ，a ）， ∴直线CE 的解析式为y ＝x +a ﹣，∴F （0，a ﹣）， ∴AF ＝， ∴＝2．即A 点在运动过程中S △AOB ：S △AEF 的值不会发生变化．10．解：（1）结论：DE＝DF，DE⊥DF．理由：连接AD，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴AD＝BD＝CD，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵AE＝EB，AF＝FC，∴DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝AB，DF＝AC，∴DE＝DF．∵∠DEA＝∠EAF＝∠DFA＝90°，∴∠EDF＝90°，∴DE⊥DF，故答案为：DE＝DF，DE⊥DF．（2）结论成立，DE＝DF；DE⊥DF．证明：如解图①，连接AD，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，∴，且AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝45°，在△BDE和△ADF中，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，∵∠BDE+∠ADE＝90°，∴∠ADF+∠ADE＝90°，即∠EDF＝90°，即DE⊥DF；（3）如图③，连接AD，∵AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形，∵∠BAC＝90°，点D为BC的中点，∴AD＝BD，AD⊥BC，∴∠DAC＝∠ABD＝45°，∴∠DAF＝∠DBE＝135°，又∵AF＝BE，∴△DAF≌△DBE（SAS），∴DF＝DE，∠FDA＝∠EDB，∴∠EDF＝∠EDB+∠FDB＝∠FDA+∠FDB＝∠ADB＝90°，∴△DEF为等腰直角三角形，∵，∴AE＝CF＝2+4＝6，在Rt△AEF中，EF2＝AF2+AE2＝22+62＝40，∴，∴．。

2021年中考复习数学专题训练：《三角形》选择题专项培优（一）1．已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，若S △AOB ＝4，S △COD ＝9，则四边形ABCD 的面积S 四边形ABCD 的最小值为（ ） A ．21B ．25C ．26D ．362．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．103．三角形的周长小于13，且各边长为互不相等的整数，则这样的三角形共有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个4．已知△A 1B 1C 1，△A 2B 2C 2的周长相等，现有两个判断： ①若A 1B 1＝A 2B 2，A 1C 1＝A 2C 2，则△A 1B 1C 1≌△A 2B 2C 2； ②若∠A 1＝∠A 2，∠B 1＝∠B 2，则△A 1B 1C 1≌△A 2B 2C 2， 对于上述的两个判断，下列说法正确的是（ ） A ．①正确，②错误 B ．①错误，②正确 C ．①，②都错误D ．①，②都正确5．如图，在钝角△ABC 中，分别以AB 和AC 为斜边向△ABC 的外侧作等腰直角三角形ABE 和等腰直角三角形ACF ，EM 平分∠AEB 交AB 于点M ，取BC 中点D ，AC 中点N ，连接DN 、DE 、DF ．下列结论：①EM ＝DN ；②S △CDN ＝S 四边形ABDN ；③DE ＝DF ；④DE ⊥DF ．其中正确的结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，正方形ABCD 中，点E 是AD 边中点，BD 、CE 交于点H ，BE 、AH 交于点G ，则下列结论：①AG ⊥BE ；②BG ＝4GE ；③S △BHE ＝S △CHD ；④∠AHB ＝∠EHD ． 其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 、F 分别在AB ，AD 上，若CE ＝3，且∠ECF ＝45°，则CF 的长为（ ）A ．2B ．3C ．D ．8．如图，已知l 1∥l 2∥l 3，相邻两条平行直线间的距离相等，等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，三角形的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sin α的值是（ ）A ．B ．C ．D ．9．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，则BD 的长为（ ）A．B．C．D．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（）A．B．C．D．211．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD于点C，点M在AB上，MN垂直平分AC，垂足为点N，若AB＝8，sin∠BMC＝，则BM的长为（）A．3 B．5 C．4 D．612．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝α，且AE＝AD，则∠EDC＝（）A．αB．αC．αD．α13．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，），M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（）A．4 B．5 C．6 D．814．如图，在网格中有一个直角三角形（网格中的毎个小正方形的边长均为1个单位1长度），若以该三角形一边为公共边画一个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形，要求新三角形与原来的直角三角形除了有一条公共边外，没有其它的公共点，新三角形的顶点不一定在格点上．那么符合要求的新三角形有（）A．4个B．6个C．7个D．9个15．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，2），点Q在y轴上，△PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有（）A．5个B．4个C．3个D．2个16．如图，在△ABC中，AC＝BC＞AB，点P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC的任意两个顶点构成△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为（）A．3 B．4 C．6 D．717．将边长为3cm的正三角形的各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，再顺次连接这个正六边形的各边中点，又形成一个新的正六边形，则这个新的正六边形的面积等于（）A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2 18．附加题：下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm 时，这个六边形的周长为（）cm．A．30 B．40 C．50 D．6019．如图，已知点A（﹣1，0）和点B（1，2），在坐标轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足这样条件的点P共有（）A．2个B．4个C．6个D．7个20．已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8，则边BC的长为（）A．21 B．15C．6 D．以上答案都不对21．在△ABC中，∠C＝90°，AC，BC的长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，△ABC内一点P到三边的距离都相等．则PC为（）A．1 B．C．D．22．如图，在△ABC中，∠A＝90°，P是BC上一点，且DB＝DC，过BC上一点P，作PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，已知：AD：DB＝1：3，BC＝，则PE+PF的长是（）A．B．6 C．D．23．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，0），B（2，0），若点C在一次函数y＝﹣x+2的图象上，且△ABC为直角三角形，则满足条件的点C有（）A．1个B．2个C．3个D．4个24．如图，已知正方形ABED与正方形BCFE，现从A，B，C，D，E，F六个点中任取三个点，使得这三个点能作为直角三角形的三个顶点，则这样的直角三角形共有（）A．10个B．12个C．14个D．16个25．如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）A．（3+2）cm B．cm C．cm D．cm参考答案1．解：设点A到边BD的距离为h．如图，任意四边形ABCD中，S△AOB ＝4，S△COD＝9；∵S△AOD ＝OD•h，S△AOB＝OB•h＝4，∴S△AOD ＝OD•＝4×，S△BOC＝OB•＝9×；设＝x，则S△AOD ＝4x，S△BOC＝；∴S四边形ABCD＝4x++13≥2•+13＝12+13＝25；故四边形ABCD的最小面积为25．故选：B．2．解：已知4条木棍的四边长为2、3、4、6；①选2+3、4、6作为三角形，则三边长为5、4、6；5﹣4＜6＜5+4，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为6；②选3+4、6、2作为三角形，则三边长为2、7、6；6﹣2＜7＜6+2，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为7；③选4+6、2、3作为三角形，则三边长为10、2、3；2+3＜10，不能构成三角形，此种情况不成立；④选6+2、3、4作为三角形，则三边长为8、3、4；而3+4＜8，不能构成三角形，此种情况不成立；综上所述，任两螺丝的距离之最大值为7．故选：C．3．解：根据三角形的两边之和大于第三边以及三角形的周长小于13，则其中的任何一边不能超过5；所有的情况有：1、1、1；1、2、2；1、3、3；1、4、4；1、5、5；2、2、2；2、2、3；2、3、3；2、3、4；2、4、4；2、4、5；2、5、5；3、3、3；3、3、4；3、3、5；3、4、4；3、4、5；4、4、4，再根据两边之差小于第三边，则这样的三角形共有3，4，2；4，5，2；3，4，5三个． 故选：B ．4．解：∵△A 1B 1C 1，△A 2B 2C 2的周长相等，A 1B 1＝A 2B 2，A 1C 1＝A 2C 2， ∴B 1C 1＝B 2C 2，∴△A 1B 1C 1≌△A 2B 2C 2（SSS ），∴①正确； ∵∠A 1＝∠A 2、∠B 1＝∠B 2， ∴△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2， 设相似比为k ，即＝＝＝k ，∴＝k ，∵△A 1B 1C 1，△A 2B 2C 2的周长相等， ∴k ＝1，即A 1B 1＝A 2B 2，B 1C 1＝B 2C 2，A 1C 1＝A 2C 2， ∴△A 1B 1C 1≌△A 2B 2C 2，∴②正确； 故选：D ．5．解：∵D 是BC 中点，N 是AC 中点， ∴DN 是△ABC 的中位线， ∴DN ∥AB ，且DN ＝；∵三角形ABE 是等腰直角三角形，EM 平分∠AEB 交AB 于点M ， ∴M 是AB 的中点， ∴EM ＝， 又∵DN ＝，∴EM ＝DN ， ∴结论①正确；∵DN ∥AB ， ∴△CDN ∽ABC ，∵DN＝，∴S△CDN ＝S△ABC，∴S△CDN ＝S四边形ABDN，∴结论②正确；如图1，连接MD、FN，，∵D是BC中点，M是AB中点，∴DM是△ABC的中位线，∴DM∥AC，且DM＝；∵三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中点，∴FN＝，又∵DM＝，∴DM＝FN，∵DM∥AC，DN∥AB，∴四边形AMDN是平行四边形，∴∠AMD＝∠AND，又∵∠EMA＝∠FNA＝90°，∴∠EMD＝∠DNF，在△EMD和△DNF中，，∴△EMD≌△DNF，∴DE＝DF，∴结论③正确；如图2，连接MD，EF，NF，，∵三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB，∴M是AB的中点，EM⊥AB，∴EM＝MA，∠EMA＝90°，∠AEM＝∠EAM＝45°，∴，∵D是BC中点，M是AB中点，∴DM是△ABC的中位线，∴DM∥AC，且DM＝；∵三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中点，∴FN＝，∠FNA＝90°，∠FAN＝∠AFN＝45°，又∵DM＝，∴DM＝FN＝FA，∵∠EMD＝∠EMA+∠AMD＝90°+∠AMD，∠EAF＝360°﹣∠EAM﹣∠FAN﹣∠BAC＝360°﹣45°﹣45°﹣（180°﹣∠AMD）＝90°+∠AMD∴∠EMD＝∠EAF，在△EMD和△∠EAF中，∴△EMD∽△∠EAF，∴∠MED＝∠AEF，∵∠MED+∠AED＝45°，∴∠AED+∠AEF＝45°，即∠DEF＝45°，又∵DE＝DF，∴∠DFE＝45°，∴∠EDF＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴DE⊥DF，∴结论④正确．∴正确的结论有4个：①②③④．故选：D．6．证明：∵四边形ABCD是正方形，E是AD边上的中点，∴AE＝DE，AB＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，在△BAE和△CDE中∵，∴△BAE≌△CDE（SAS），∴∠ABE＝∠DCE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADB＝∠CDB＝45°，∵在△ADH和△CDH中，，∴△ADH≌△CDH（SAS），∴∠HAD＝∠HCD，∵∠ABE＝∠DCE∴∠ABE＝∠HAD，∵∠BAD＝∠BAH+∠DAH＝90°，∴∠ABE+∠BAH＝90°，∴∠AGB＝180°﹣90°＝90°，∴AG⊥BE，故①正确；∵tan∠ABE＝tan∠EAG＝，∴AG ＝BG ，GE ＝AG ，∴BG ＝4EG ，故②正确；∵AD ∥BC ，∴S △BDE ＝S △CDE ，∴S △BDE ﹣S △DEH ＝S △CDE ﹣S △DEH ，即；S △BHE ＝S △CHD ，故③正确；∵△ADH ≌△CDH ，∴∠AHD ＝∠CHD ，∴∠AHB ＝∠CHB ，∵∠BHC ＝∠DHE ，∴∠AHB ＝∠EHD ，故④正确；故选：D ．7．解：如图，延长FD 到G ，使DG ＝BE ；连接CG 、EF ；∵四边形ABCD 为正方形，在△BCE 与△DCG 中，，∴△BCE ≌△DCG （SAS ），∴CG ＝CE ，∠DCG ＝∠BCE ，∴∠GCF ＝45°，在△GCF 与△ECF 中，，∴△GCF ≌△ECF （SAS ），∴GF＝EF，∵CE＝3，CB＝6，∴BE＝＝＝3，∴AE＝3，设AF＝x，则DF＝6﹣x，GF＝3+（6﹣x）＝9﹣x，∴EF＝＝，∴（9﹣x）2＝9+x2，∴x＝4，即AF＝4，∴GF＝5，∴DF＝2，∴CF＝＝＝2，故选：A．8．解：如图，过点A作AD⊥l1于D，过点B作BE⊥l1于E，设l1，l2，l3间的距离为1，∵∠CAD+∠ACD＝90°，∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴CD＝BE＝1，在Rt△ACD中，AC＝＝＝，在等腰直角△ABC中，AB＝AC＝×＝，∴sinα＝＝．故选：D．9．解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝＝＝5，∴BC边上的高＝3×4÷5＝，∵AD平分∠BAC，∴点D到AB、AC上的距离相等，设为h，则S＝×3h+×4h＝×5×，△ABC解得h＝，S＝×3×＝BD•，△ABD解得BD＝．故选：A．10．解：∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，根据勾股定理得：AB＝5，而AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，∴∠BDE＝90°，∠B＝∠B，∴△ACB∽△EDB，∴BC：BD＝AB：（BC+CE），又∵BC＝3，AC＝4，AB＝5，∴3：2.5＝5：（3+CE），从而得到CE＝．解法二：连接AE．∵DE垂直平分线段AB，∴AE＝BE，设AE＝BE＝x，则EC＝x﹣3，在Rt△ACE中，∵AE2＝AC2+EC2，∴x2＝42+（x﹣3）2，解得x＝，∴EC＝﹣3＝．故选：B．11．解：在Rt△BCM中，根据sin∠BMC＝，设BC＝4x，CM＝5x．根据勾股定理，得BM＝3x．根据线段的垂直平分线的性质，得AM＝CM＝5x．则3x+5x＝8，x＝1．∴BM＝3．故选：A．12．解：根据题意：在△ABC中，AB＝AC∴∠B＝∠C∵AE＝AD∴∠ADE＝∠AED，即∠B+∠α﹣∠EDC＝∠C+∠EDC化简可得：∠α＝2∠EDC∴∠EDC＝α．故选：A．13．解：如图，满足条件的点M的个数为6．分别为：（﹣2，0），（2，0），（0，2），（0，2），（0，﹣2），（0，）．故选：C．14．解：如图所示：∵根据题意可知：以4为腰的等腰三角形有2个，以5为腰的三角形有4个，以5为底边的等腰三角形有1个，∴符合要求的新三角形有2+4+1＝7个．故选：C．15．解：如上图：满足条件的点Q共有（0，2）（0，2）（0，﹣2）（0，4）．故选：B．16．解：如图所示，作AB 的垂直平分线，①△ABC 的外心P 1为满足条件的一个点， ②以点C 为圆心，以AC 长为半径画圆，P 2、P 3为满足条件的点，③分别以点A 、B 为圆心，以AC 长为半径画圆，P 4为满足条件的点，④分别以点A 、B 为圆心，以AB 长为半径画圆，P 5、P 6为满足条件的点，综上所述，满足条件的所有点P 的个数为6．故选：C ．17．解：∵新的正六边形有三个顶点在正三角形的三边上，且是三边的中点，∴连接AH ，CF ，BN ，可以看出新的正六边形EFGHMN 的面积是六个小正三角形的面积之和， ∴小正三角形的边长为cm ，∴每个小正三角形的面积是cm 2，∴新的正六边形的面积等于×6＝． 故选：B ．18．解：设AB＝x，∴等边三角形的边长依次为x，x，x，2，x+2，x+2，x+2×2，x+2×2，x+3×2，∴六边形周长是2x+2（x+2）+2（x+2×2）+（x+3×2）＝7 x+18，∵AF＝2AB，即x+6＝2x，∴x＝6cm，∴周长为7x+18＝60cm．故选：D．19．解：①以A为直角顶点，可过A作直线垂直于AB，与坐标轴交于一点，这一点符合点P 的要求；②以B为直角顶点，可过B作直线垂直于AB，与坐标轴交于两点，这两点也符合P点的要求；③以P为直角顶点，可以AB为直径画圆，与坐标轴共有3个交点．所以满足条件的点P共有6个．故选：C．20．解：在直角三角形ABD中，根据勾股定理，得BD＝15；在直角三角形ACD中，根据勾股定理，得CD＝6．当AD在三角形的内部时，BC＝15+6＝21；当AD在三角形的外部时，BC＝15﹣6＝9．则BC的长是21或9．故选：D．21．解：根据“AC，BC的长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两个根”可以得出：AC+BC＝7，AC•BC＝12，AB2＝AC2+BC2＝25，AB＝5，△ABC内一点P到三边的距离都相等，即P为△ABC内切圆的圆心，设圆心的半径为r，根据三角形面积表达式：三角形周长×内切圆的半径÷2＝三角形的面积，可得出，AC•BC÷2＝（AC+BC+AB）×r÷2，12÷2＝（7+5）×r÷2，r＝1，根据勾股定理PC＝＝，故选：B．22．解：（1）作PM⊥AC于点M，可得矩形AEPM∴PE＝AM，利用DB＝DC得到∠B＝∠DCB∵PM∥AB．∴∠B＝∠MPC∴∠DCB＝∠MPC又∵PC＝PC．∠PFC＝∠PMC＝90°∴△PFC≌△CMP∴PF＝CM∴PE+PF＝AC∵AD：DB＝1：3∴可设AD＝x，DB＝3x，那么CD＝3x，AC＝2x，BC＝2x∵BC＝∴x＝2∴PE+PF＝AC＝2×2＝4．（2）连接PD，PD把△BCD分成两个三角形△PBD，△PCD，S＝BD•PE，△PBDS＝DC•PF，△PCDS＝BD•AC，△BCD所以PE+PF＝AC＝2×2＝4．故选：C．23．解：由题意知，直线y＝﹣x+2与x轴的交点为（4，0），与y轴的交点为（0，2），如图：过点A作垂线与直线的交点W（﹣4，4），过点B作垂线与直线的交点S（2，1），过AB中点E（﹣1，0），作垂线与直线的交点为F（﹣1，2.5），则EF＝2.5＜3，所以以3为半径，以点E为圆心的圆与直线必有两个交点∴共有四个点能与点A，点B组成直角三角形．故选：D．24．解：可得到14个直角三角形，分别为△ABE、△ADE、△ABD、△BED、△BCE、△CFE、△BCF、△BEF、△ACF、△ADF、△ACD、△CDF、△AEC、△DBF．故选：C．25．解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是9和4，则所走的最短线段是＝；第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是7和6，所以走的最短线段是＝；第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是10和3，所以走的最短线段是＝；三种情况比较而言，第二种情况最短．故选：C．21。

2021年九年级数学中考复习分类专题：等腰三角形的判定与性质培优练（一）一．选择题1．如图，在等腰三角形ABC中，顶角∠A＝36°．若BD平分∠ABC，则图中等腰三角形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝5，BC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E，交AC于点F．则△AEF的周长为（）A．9 B．11 C．12 D．133．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝5，BC ＝3，则BD的长为（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.54．如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②∠DFB＝∠EFC；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF＝CF．其中正确的是（）A．①②③B．①②③④C．①③D．①5．在下列命题中，假命题是（）A．一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形B．一个直角三角形必能分成两个等腰三角形C．两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形D．两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形6．在△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°，点D、E在BC边上，且AD和AE把∠BAC三等分，则图中的等腰三角形的个数是（）A．2 B．4 C．6 D．87．如图，已知点O是△ABC的∠ABC和∠ACB平分线的交点，过O作EF平行于BC交AB于E，交AC于F，AB＝12，AC＝18，则△AEF的周长是（）A．15 B．18 C．24 D．308．如图，等腰三角形ABC中，∠BAC＝90°，在底边BC上截取BD＝AB，过D作DE ⊥BC交AC于E，连接AD，则图中等腰三角形的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．49．如图，已知D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝9，BC＝5，则CD的长为（）A．B．4 C．D．510．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG＝2，ED＝6，则EB+DC的值为（）A．6 B．7 C．8 D．9二．填空题11．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，在矩形内部有一点P，同时满足PC＝BC，∠APB＝90°，延长CP交AD于点E，则CE＝．12．在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F．若AB＝5，AC＝4，那么△AEF的周长为．13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，点D是BC边上一点，且DF∥AB，DE∥AC，则四边形DEAF的周长为．14．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．若△ABC的周长为15，BC＝6，则△AMN的周长为．15．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：①EF＝BE+CF；②∠BOC＝90°+∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn．其中正确的结论是．（填序号）三．解答题16．如图，△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，∠DBC＝36°．（1）求∠ABD的度数．（2）求证：BC＝AD．17．如图，在△ABC中，已知∠ABC和△ABC的外角∠ACG的平分线交于点F，过点F 作FD∥BC，FD分别交AB、AC于点D、E．（1）求证：DE＝BD﹣CE．（2）若∠ACB＝60°，试判断△ECF的形状，并说明理由．18．已知△ABC的两个外角∠CBD和∠BCE的平分线的交于点O．（1）如图1，若BO∥AE，试说明△ABC的等腰三角形；（2）如图2，若∠A＝90°，求∠O的度数；（3）如图3，试探索∠O与∠A之间存在的数量关系（直接写出结论，不说明理由）．19．已知BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）如图1，求证：BE＝DE．（2）如图2，在过点D作DF∥AB，连接EF，过点E作EG⊥BC，若EG＝3，BF＝5，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出面积等于的所有三角形．20．如图1和2，△ABC中，BE平分∠ABC交AC边于点E，（1）过点E作DE∥BC交AB于点D，求证：△BDE为等腰三角形；（2）若AB＝AC，AF⊥BD，∠ACD＝∠ABC，判断BF、CD、DF的数量关系，并说明理由．21．（1）如图1，已知：在△ABC中，AB＝AC＝10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则图中共有个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是，△AEF的周长是（2）如图2，若将（1）中“△ABC中，AB＝AC＝10”改为“若△ABC为不等边三角形，AB＝8，AC＝10”其余条件不变，则图中共有个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出△AEF的周长（3）已知：如图3，D在△ABC外，AB＞AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则EF与BE、CF之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明．参考答案一．选择题1．解：由图可知，∵AB＝BC，∴△ABC为等腰三角形，∵∠A＝36°，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝∠A＝36°∴△ABD为等腰三角形，∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°＝∠C∴△BCD均为等腰三角形，∴题中三角形共有三个．故选：C．2．解：∵BD是∠ABC的平分线，∴∠EBD＝∠DBC，∵过点D作BC的平行线交AB于点E，∴∠EDB＝∠EBD，∴BE＝ED，∴∠EDB＝∠EBD，同理可得DF＝FC，∴△AEF的周长即为AB+AC＝7+5＝12．故选：C．3．解：延长BD与AC交于点E，∵∠A＝∠ABD，∴BE＝AE，∵BD⊥CD，∴BE⊥CD，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ECD，∴∠EBC＝∠BEC，∴△BEC为等腰三角形，∴BC＝CE，∵BE⊥CD，∴2BD＝BE，∵AC＝5，BC＝3，∴CE＝3，∴AE＝AC﹣EC＝5﹣3＝2，∴BE＝2，∴BD＝1．故选：A．4．解：①∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB，∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线，∴∠FBC＝∠DFB，∠FCE＝∠FCB，∵∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF，∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．∴①正确②∵△ABC不是等腰三角形，∴②∠DFB＝∠EFC，是错误的；③∵△DFB，△FEC都是等腰三角形．∴DF＝DB，FE＝EC，即有DE＝DF+FE＝DB+EC，∴△ADE的周长AD+AE+DE＝AD+AE+DB+EC＝AB+AC．∴③正确，共2个正确的．④∵△ABC不是等腰三角形，∴∠ABC≠∠ACB，∴∠FBC≠∠FCB，∴BF＝CF是错误的，故选：C．5．解：A、一个等腰三角形底边上的高把等腰三角形分成两个全等的直角三角形，所以A 选项正确；B、一个直角三角形斜边上中线把直角三角形分成两个等腰三角形；所以B选项正确；C、任意两个等腰三角形不一定能拼成一个直角三角形，所以C选项错误；D、两个全等的等腰直角三角形一定能拼成一个等腰三角形，所以D选项正确．故选：C．6．解：∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD和AE把∠BAC三等分，∴∠BAD＝∠DAE＝∠EAC＝20°，∴∠ADE＝∠BAD+∠B＝60°+20°＝80°，∠AED＝∠EAC+∠C＝60°+20°＝80°，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴△ADE是等腰三角形，∴一共有2个等腰三角形．故选：A．7．解：∵EF∥BC∴∠OCB＝∠OCF，∠OBC＝∠OBE又BO、CO分别是∠BAC和∠ACB的角平分线∴∠OCF＝∠FCO，∠OBC＝∠OBE∴OF＝CF，OE＝BE∴△AEF的周长＝AF+OF+OE+AE，＝AF+CF+BE+AE＝AB+AC＝12+18＝30．故选：D．8．解：∵三角形ABC是等腰三角形，且∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵DE⊥BC，∴∠EDB＝∠EDC＝90°∴∠DEC＝∠C＝45°，∴△EDC是等腰三角形，∵BD＝AB，∴△ABD是等腰三角形，∴∠BAD＝∠BDA，而∠EAD＝90°﹣∠BAD，∠EDA＝90°﹣∠BDA，∴∠EAD＝∠EDA，∴△EAD是等腰三角形，因此图中等腰三角形共4个．故选：D．9．解：延长BD与AC交于点E，∵∠A＝∠ABD，∴BE＝AE，∵BD⊥CD，∴BE⊥CD，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ECD，∴∠EBC＝∠BEC，∴△BEC为等腰三角形，∴BC＝CE，∵BE⊥CD，∴2BD＝BE，∵AC＝9，BC＝5，∴CE＝5，∴AE＝AC﹣EC＝9﹣5＝4，∴BE＝4，∴BD＝2．∴CD＝＝＝，故选：C．10．解：∵ED∥BC，∴∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠FCB，∵∠GBC＝∠GBE，∠FCB＝∠FCD，∴∠EGB＝∠EBG，∠DCF＝∠DFC，∴BE＝EG，CD＝DF，∵FG＝2，ED＝6，∴EB+CD＝EG+DF＝EF+FG+FG+DG＝ED+FG＝8，故选：C．二．填空题（共5小题）11．解：如图，延长AP交CD于F，∵∠APB＝90°，∴∠FPB＝90°，∴∠CPF+∠CPB＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠ABC＝90°，BC＝AD＝3，∴∠EAP+∠BAP＝∠ABP+∠BAP＝90°，∴∠EAP＝∠ABP，∵PC＝BC＝3，∴∠CPB＝∠CBP，∴∠CPF＝∠ABP＝∠EAP，∵∠APE＝∠CPF，∴∠EAP＝∠APE，∴AE＝PE，∴DE＝3﹣PE，∵CD2+DE2＝CE2，CD＝AB＝4，CE＝3+PE，∴42+（3﹣PE）2＝（3+PE）2，解得：PE＝，∴CE＝3+＝，故答案为：．12．解：由∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，得∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB．由EF∥BC，得∠EOB＝∠BOC，∠FOC＝∠OCB，∠EOB＝∠EBO，∠FOC＝∠FCO，∴EO＝BE，OF＝FC．C△AEF＝AE+EF+AF＝AE+BE+AF+CF＝AB+AC＝9．故答案为：9．13．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DE∥AB，∴∠B＝∠CDF，∴∠CDF＝∠C，∴DF＝CF∴CE＝DE，同理可得BE＝DE，∴四边形DEAF的周长＝AF+DF+DE+AE＝AF+BF+CE+AE＝AB+AC，∵AB＝AC＝8，∴四边形DEAF的周长＝8+8＝16．故答案为：16．14．解：如图，∵OB、OC分别是∠ABC与∠ACB的平分线，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，又∵MN∥BC，∴∠2＝∠5，∠6＝∠4，∴BM＝MO，NO＝CN，∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝MA+AN+MO+ON＝AB+AC，又∵AB+AC+BC＝15，BC＝6，∴AB+AC＝9，∴△AMN的周长＝9，故答案为9．15．解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠OBC+∠OCB＝90°﹣∠A，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A；故②正确；∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC＝∠OBE，∠OCB＝∠OCF，∵EF∥BC，∴∠OBC＝∠EOB，∠OCB＝∠FOC，∴∠EOB＝∠OBE，∠FOC＝∠OCF，∴BE＝OE，CF＝OF，∴EF＝OE+OF＝BE+CF，故①正确；过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴ON＝OD＝OM＝m，∴S△AEF＝S△AOE+S△AOF＝AE•OM+AF•OD＝OD•（AE+AF）＝mn；故④错误；∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴点O到△ABC各边的距离相等，故③正确．故答案是：①②③三．解答题（共6小题）16．（1）解：在△ABC中，∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝72°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝36°；（2）证明：在△BCD中，∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝72°，∴BD＝BC，又∠ABD＝∠A，∴BD＝AD，∴BC＝BD＝AD．17．解：（1）∵∠ABC的平分线和外角∠ACF的平分线交于点F，∴∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠GCF；∵FD∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠GCF，∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，∴BD＝FD，EC＝EF；∴DE＝BD﹣CE；（2）△ECF是等边三角形，∵∠ACB＝60°，∴∠ACG＝120°，∵CF平分∠ACG，∴∠ECF＝60°，∵EF＝CF，∴△ECF是等边三角形．18．解：（1）如图1中，∵OB∥AE，∴∠DBO＝∠A，∠CBO＝∠ACB，∵OB平分∠CBD，∴∠A＝∠ACB，∴BA＝BC，∴△ABC是等腰三角形．（2）如图2中，∵∠CBD、∠BCE的平分线相交于点O，∴∠1＝（∠A+∠ACB），∠2＝（∠A+∠ABC），∴∠1+∠2＝（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A），∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∴∠1+∠2＝90°+∠A，在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A，∵∠A＝90°，∴∠BOC＝90°﹣×90°＝90°﹣45°＝45°．（3）由（2）可知：∠BOC＝90°﹣∠A．19．（1）证明：∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠EBD＝∠DBC，∴∠EBD＝∠EDB，（2）∵ED∥BF，DF∥BE，∴四边形EBFD是平行四边形，∵EG⊥BC，且EG＝3，∴S＝BF•EG＝3×5＝15，▱EBFD∴S△EFD＝S△BEF＝S△BED＝S△BFD＝．20．（1）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠EBC＝∠ABE，∴BD＝ED，∴△DBE为等腰三角形；（2）解：在图2中，延长CD到M，使得CM＝BD，连接AM，过点A作AN⊥CM 于点N，∵BE平分∠ABC，∠ACD＝∠ABC，∴∠ACM＝∠ABD．在△ABD和△ACM中，，∴△ABD≌△ACM（SAS），∴AD＝AM，∠ADB＝∠AMC，∴∠AMD＝∠ADM，∴∠ADF＝ADN．∵AN⊥DM，∴DN＝MN．在△ADF和△ADN中，，∴△ADF≌△ADN（AAS），∴DF＝DN＝MN．∴BF＝BC﹣DF＝CM﹣MN＝CN＝CD+DN＝CD+DF．即BF＝CD+DF．21．解：（1）BE+CF＝EF．理由如下：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，∴∠DBC＝∠DCB，∴DB＝DC∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB，∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，∴BE＝DE，CF＝DF，AE＝AF，∴等腰三角形有△ABC，△AEF，△DEB，△DFC，△BDC共5个，∴BE+CF＝DE+DF＝EF，即BE+CF＝EF，△AEF的周长＝AE+EF+AF＝AE+BE+AF+FC＝AB+AC＝20．故答案为：5；BE+CF＝EF；20；（2）BE+CF＝EF，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，∴BE＝DE，CF＝DF，∴等腰三角形有△BDE，△CFD，∴BE+CF＝DE+DF＝EF，即BE+CF＝EF．可得△AEF的周长为18．（3）BE﹣CF＝EF，由（1）知BE＝ED，∵EF∥BC，∴∠EDC＝∠DCG＝∠ACD，∴CF＝DF，又∵ED﹣DF＝EF，∴BE﹣CF＝EF．。

2021中考数学培优复习专题突破【三角形】专题一．选择题1．在△ABC中，∠B＝35°，∠C的外角等于110°，则∠A的度数是（）A．35°B．65°C．70°D．75°2．点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于m，点Q是OB边上的一个动点，则PQ与m的大小关系是（）A．PQ＜m B．PQ＞m C．PQ≤m D．PQ≥m3．已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且M＝（a+b+c）（a+b﹣c）（a﹣b﹣c），那么（）A．M＞0B．M≥0C．M＝0D．M＜04．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（）A．1，，2B．4，5，6C．5，12，13D．1，2，5．如图，已知AC＝AD，再添加一个条件仍不能判定△ABC≌△ABD的是（）A．∠C＝∠D＝90°B．∠BAC＝∠BAD C．BC＝BD D．∠ABC＝∠ABD6．一个三角形的两边长分别是2和4，则第三边的长可能是（）A．1B．2C．4D．77．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AC＝2，则AB的长是（）A．1B．C．2D．8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则△ABC的面积为（）A．5B．60C．45D．309．如图，在△ABC中，∠B＝60°，AD是△ABC的外角的平分线，DE⊥AC，则∠γ＝（）A．120°﹣∠βB．90°﹣∠βC．60°﹣∠βD．2∠β﹣60°10．如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为22cm，AB比AC长3cm，则△ACD的周长为（）A．19cm B．22cm C．25cm D．31cm二．填空题11．如图，已知O为△ABC内任意一点，且∠A＝40°，∠1＝25°，∠2＝35°，则∠BOC＝．12．点A（﹣3，4）在第象限，到x轴的距离为，到y轴的距离为，到原点的距离为．13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若AC＝3，AB＝5，则DE等于．14．已知在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点G为重心，那么GA＝．15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为S1，S2，S3，已知S1＝6，S2＝8，则S3＝．三．解答题16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边上的高线，CE是∠ACB的角平分线，且∠CEB ＝105°，分别求∠ECB，∠ECD的大小．17．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝4，求AC的长．18．如图，AB＝AC，BE与CF是△ABC的高线，且BE与CF相交于点H．（1）求证：HB＝HC；（2）不添加辅助线，直接写出图中所有的全等三角形．19．在△ABC和△DBE中，CA＝CB，EB＝ED，点D在AC上．（1）如图1，若∠ABC＝∠DBE＝60°，求证：∠ECB＝∠A；（2）如图2，设BC与DE交于点F．当∠ABC＝∠DBE＝45°时，求证：CE∥AB；（3）在（2）的条件下，若tan∠DEC＝时，求的值．20．（1）发现如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，连接CE．填空：①∠DCE的度数是；②线段CA、CE、CD之间的数量关系是．（2）探究如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC边上，连接CE．请判断∠DCE的度数及线段CA、CE、CD之间的数量关系，并说明理由．（3）应用如图3，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，AB＝6．若点D满足DB＝DC，且∠BDC＝90°，请直接写出DA的长．参考答案一．选择题1．解：∵∠B＝35°，∠C的外角等于110°，∴∠A＝110°﹣35°＝75°．故选：D．2．解：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于m，∴点P到OB的距离等于m，∵点Q是OB边上的一个动点，∴PQ≥m．故选：D．3．解：∵△ABC的三边长分别为a、b、c，且M＝（a+b+c）（a+b﹣c）（a﹣b﹣c），∴a+b+c＞0，a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0，∴M＜0．故选：D．4．解：A、12+（）2＝22，符合勾股定理的逆定理，故此选项不合题意；B、42+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，故此选项符合题意；C、52+122＝132，符合勾股定理的逆定理，故此选项不合题意；D、12+22＝（）2，符合勾股定理的逆定理，故此选项不合题意．故选：B．5．解：A、根据HL可判定△ABC≌△ABD，故本选项不符合题意；B、根据SAS可判定△ABC≌△ABD，故本选项不符合题意；C、根据SSS可判定△ABC≌△ABD，故本选项不符合题意；D、根据SSA不能判定△ABC≌△ABD，故本选项符合题意；故选：D．6．解：设第三边的长为x，由题意得：4﹣2＜x＜4+2，2＜x＜6，故选：C．7．解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AC＝2，∴AB＝＝＝，故选：B．8．解：∵AB＝13，AC＝12，∠C＝90°，∴BC＝＝5．∴△ABC的面积＝×12×5＝30，故选：D．9．解：∠FAC＝∠B+∠ACB＝60°+∠β，∵AD是△ABC的外角的平分线，∴∠DAC＝∠FAC＝（60°+∠β），∴∠γ＝90°﹣（60°+∠β）＝60°﹣∠β，故选：C．10．解：由题意得，AB＝AC+3，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝DC，∵△ABD的周长为22，∴AB+BD+AD＝AC+3+DC+AD＝22，则AC+DC+AD＝19，∴△ACD的周长＝AC+DC+AD＝19（cm），故选：A．二．填空题11．解：连接AO，延长AO交BC于点D，如图所示．∵∠BOD＝∠1+∠BAO，∠COD＝∠2+∠CAO，∴∠BOC＝∠BOD+∠COD＝∠1+∠BAO+∠2+∠CAO＝∠BAC+∠1+∠2＝40°+25°+35°＝100°．故答案为：100°．12．解：点（﹣3，4）在第二象限，到x轴的距离为4，到y轴的距离为3；到原点的距离是＝5，故答案为：二，4，3，5．13．解：在Rt△ACB中，由勾股定理得：BC＝＝4，连接AE，从作法可知：DE是AB的垂直平分线，根据性质得出AE＝BE，在Rt△ACE中，由勾股定理得：AC2+CE2＝AE2，即32+（4﹣AE）2＝AE2，解得：AE＝，在Rt△ADE中，AD＝AB＝，由勾股定理得：DE2+（）2＝（）2，解得：DE＝．故答案为：．14．解：延长AG交BC于D，∵G为△ABC的重心，∴D为BC的中点，AG＝AD，∵AB＝AC＝10，BC＝16，∴BD＝CD＝8，AD⊥BC，∴AD＝，∴AG＝4．故答案为4．15．解：∵∠ACB＝90°，S1＝6，S2＝8，∴AC2＝6，BC2＝8，∴AB2＝14，∴S3＝14，故答案为：14．三．解答题16．解：∵∠ACB＝90°，CE是∠ACB的角平分线，∴∠ECB＝∠ACB＝×90°＝45°．∵∠AEC+∠CEB＝180°，∴∠AEC＝180°﹣∠CEB＝75°．在△CDE中，∠CDE+∠CED+∠ECD＝180°，∴∠ECD＝180°﹣∠CDE﹣∠CED＝180°﹣90°﹣75°＝15°．17．解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∵AC+AB＝10，BC＝4，设AC＝x，则AB＝10﹣x，∴x2+42＝（10﹣x）2，解得：x＝，答：AC的长为．18．（1）证明：∵BE与CF是△ABC的高线，∴∠BEC＝∠BFC＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠BEC+∠ACB+∠EBC＝180°，∠CFB+∠ABC+∠BCF＝180°，∴∠EBC＝∠BCF，∴HB＝HC；（2）解：全等三角形有△AEB≌△AFC，△BEC≌△CFB，△BFH≌△CEH，△AEB≌△AFC．19．（1）证明：∵CA＝CB，EB＝ED，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴△ABC和△DBE都是等边三角形，∴AB＝BC，DB＝BE，∠A＝60°．∵∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，∴△ABD≌△CBE（SAS）．∴∠A＝∠ECB；（2）证明：∵∠ABC＝∠DBE＝45°，CA＝CB，EB＝ED，∴△ABC和△DBE都是等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°，∴，∴，∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABD＝∠CBE，∴△ABD∽△CBE，∴∠BAD＝∠BCE＝45°，∵∠ABC＝45°，∴∠ABC＝∠BCE，∴CE∥AB；（3）解：过点D作DM⊥CE于点M，过点D作DN∥AB交CB于点N，∵∠ACB＝90°，∠BCE＝45°，∴∠DCM＝45°，∴∠MDC＝∠DCM＝45°，∴DM＝MC，设DM＝MC＝a，∴a，∵DN∥AB，∴△DCN为等腰直角三角形，∴DN＝DC＝2a，∵tan∠DEC＝，∴ME＝2DM，∴CE＝a，∴，∵CE∥DN，∴△CEF∽△NDF，∴．20．（1）发现解：①∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，∴∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝60°，∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝120°；故答案为：120°，②∵△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝EC+CD，∴CA＝BC＝CE+CD；故答案为：CA＝CE+CD．（2）探究∠DCE＝90°；CA＝CD+CE．理由：∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．∴△BAD≌△CAE（SAS）．∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°．∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°．在等腰直角三角形ABC中，CB＝CA，∵CB＝CD+DB＝CD+CE，∴CA＝CD+CE．（3）应用DA＝5或．作DE⊥AB于E，连接AD，∵在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝4，∠BAC＝90°，∴BC＝＝＝2，∵∠BDC＝90°，DB＝DC，∴DB＝DC＝，∠BCD＝∠CBD＝45°，∵∠BDC＝∠BAC＝90°，∴点B，C，A，D四点共圆，∴∠DAE＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝DE，∴BE＝6﹣DE，∵BE2+DE2＝BD2，∴DE2+（6﹣DE）2＝26，∴DE＝1，DE＝5，∴AD＝或AD＝5．。

2021年九年级中考数学三轮综合复习专题：三角形专项（一）1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CD为中线，延长CB至点E，使BE ＝BC，连接DE，F为DE的中点，连接BF，若BF＝3，则BC的长为（）A．6B．3C．8 D．62．如图，已知△ABC中，AB＝AC，点D，E是射线AB上的两个动点（点D在点E的右侧），且CE＝DE，连接CD，若∠ACE＝x°，∠BCD＝y°，则y关于x的函数关系式是（）A．y＝90﹣x（0＜x＜180°）B．y＝x（0＜x＜180°）C．y＝90﹣x（0＜x＜180°）D．y＝x（0＜x＜180°）3．如图，△ABC的面积为280cm2，AE＝ED，BD＝3DC，则图中四边形EDCF的面积等于（）A．50 B．55 C．60 D．654．如图，AD和BE是△ABC的中线，AD与BE交于点O，下列结论正确的有（）个．（1）S△ABE＝S△ABD（2）AO＝2OD（3）S△ABO＝S四边形DOECA．0个B．1个C．2个D．3个5．如图，在△ABC中，BC＝2，∠C＝45°，若D是AC的三等分点（AD＞CD），且AB＝BD，则AB的长为（）A．2 B．C．D．6．如图，在直线AC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD交于点H，AE与DB交于点G，BE与CD交于点F，下列结论：（1）△ABE≌△DBC；（2）∠AHD＝60°；（3）△AGB≌△DFB；（4）BH平分∠GBF；（5）GF∥AC；（6）点H是线段DC的中点．正确的有（）A．6个B．5个C．4个D．3个7．如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，且A、C、B在同一直线上，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN；④PC平分∠APB；⑤∠APD＝60°．其中不正确的结论是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，△ABC是不等边三角形，DE＝BC，以D、E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．49．如图，C为线段AE上一点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，连接AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ、OC，以下四个结论：①△BOC≌△EDO；②DE＝DP；③∠AOC＝∠COE；④OC⊥PQ．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在边AC和AB上，AE＝CD，CE与BD 交于点P，BF⊥CE于点F，若AP⊥BP，则下列结论：①∠ACE＝∠CBD，②∠BPE ＝60°，③△APB≌△BFC．其中正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个11．如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，∠E＝∠F＝90°，BE＝CF，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠EAC＝∠FAB．有下列结论：①∠B＝∠C；②CD＝DN；③CM＝BN；④△ACN≌△ABM．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF＝BC．若AB＝12，求EF的长（）A．5 B．6 C．8 D．713．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如图，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若大正方形面积是9，小正方形面积是1，则ab的值是（）A．4 B．6 C．8 D．1014．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连接EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则tan∠ADE的值是（）A．B．C．D．15．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S、S2、S3、1 S，则S1+S2+S3+S4等于（）4A．20 B．18 C．16 D．1416．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE＝BE，点F是CD的中点，且AF⊥AB，若AD＝2.6，AF＝4，AB＝6，则CE的长为（）A．2.4 B．2.6 C．2D．2﹣1 17．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．148 B．100 C．196 D．14418．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于（）A．23 B．46 C．65 D．6919．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，∠CEG＝2∠DCB，且∠DFB＝∠CGE．下列结论：①EG∥BC，②CG⊥EG，③∠ADC＝∠GCD，④CA 平分∠BCG．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．420．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D．∠ABD的角平分线BF所在直线与射线AE相交于点G，若∠ABC＝3∠C，且∠G＝20°，则∠DFB的度数为（）A．50°B．55°C．60°D．65°参考答案1．解：∵BE＝BC，∴点B为CE的中点，∵点F为DE的中点，∴BF为△CDE的中位线，∴CD＝2BF＝2×3＝6，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，CD为中线，∴CD＝AD＝BD＝6，∴AB＝BD+AD＝6+6＝12，在Rt△ABC中，∵AB2＝BC2+AC2，AC＝6，AB＝12，∴BC＝＝＝6．故选：A．2．解：在△ABC中，AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝x°+∠BCE，∵CE＝DE，∴∠ADC＝∠DCE＝y°+∠BCE，∵∠ABC＝∠ADC+∠BCD，即x°+∠BCE＝y°+∠BCE+y°，即x＝2y，∴y关于x的函数关系式为y＝x（0＜x＜180°）．故选：B．3．解：连接CE，如图．∵△ABC的面积为280cm2，BD＝3DC，∴S△ADC＝280×＝70cm2，S△ABD＝＝210cm2．又AE＝DE，∴S△ABE＝S△BDE＝＝105cm2，∴S△AEC＝S△DEC＝＝35．∴S△BEC＝S△BDE+S△DEC＝140，∴△ABE与△BEC面积比为105：140＝3：4，∴△ABE与△BEC高之比为3：4，即△AEF与△CEF的高之比为3：4，∴S△CEF＝S△AEC＝＝20，∴四边形EDCF的面积为S△DEC+S△CEF＝35+20＝55．故选：B．4．解：∵AD和BE是△ABC的中线，∴，S△ABD＝S△ADC＝．∴S△ABE＝S△ABD，故（1）正确；连接CO，设S△AOE＝a，由E为AC中点，如图所示．∴S△AOE＝S△COE＝a，又D为BC中点，∴S△ABE＝S△ABD＝•S△ABC，又S△AOE＝a，∴S△BOD＝a＝S△COD，∴S四边形DOEC＝S△COD+S△COE＝2a．又因为S△ABE＝S△ADC＝•S△ABC，且S△AOE＝a，∴S△ABO＝S四边形DOEC＝2a，故（3）正确；∵△ABO与△BOD等高，面积比为2：1，故底之比AO：OD＝2：1，即AO＝2OD，故（2）正确．故选：D．5．解：过B作BE⊥AC于E，∵AB＝BD，BE⊥AC，∴∠AEB＝∠BEC＝90°，AE＝DE，∵D是AC的三等分点（AD＞CD），∴AE＝DE＝DC，在Rt△BEC中，BC＝2，∠C＝45°，∴∠EBC＝∠C＝45°，∴BE＝CE，由勾股定理得：2BE2＝DC2＝（2）2＝8，解得：BE＝EC＝2，∴AE＝1，在Rt△AEB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，故选：B．6．解：连接GF，过点B作BM⊥AE于M，BN⊥CD于N．∵△ABD，△BCE都是等边三角形，∴∠ABD＝∠EBC＝60°，BA＝BE，BE＝BC，∴∠ABE＝∠DBC，在△ABE和△DBC中，，∴△ABE≌△DBC（SAS），故（1）正确，∴∠BAE＝∠BDC，∵∠AGB＝∠DGH，∴∠AHD＝∠ABG＝60°，故（2）正确，在△AGB和△DFB中，，∴△AGB≌△DFB（ASA），故（3）正确，∴BG＝BF，∵∠GBF＝60°，∴△BGF是等边三角形，∴∠FGB＝∠ABD＝60°，∴FG∥AC，故（5）正确，∵△ABE≌△DBC，BM⊥AE，BN⊥CD，∴BM＝BN，∴BH平分∠AHC，但不一定平分∠GBF，故（4）错误，无法判断DH＝CH，故（6）错误，故选：C．7．解：∵△DAC和△EBC都是等边三角形，∴∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠ACE＝∠DCB＝120°，在△ACE与△DCB中，，∴△ACE≌△DCB（SAS），故①正确；∴∠CAM＝∠CDN，在△ACM与△DCN中，∴△ACM≌△DCN（ASA），∴CM＝CN，故②正确；DN＝AM，在△AMC中，AC＞AM，∴AC≠DN，故③错误；如图，过C作CQ⊥DB于Q，CH⊥AE于H，∵△ACM≌△DCN，∴△ACM和△DCN的面积相等，∵DN＝AM，∴由三角形面积公式得：CQ＝CH，∴CP平分∠APB，∴④正确；∵△ACE≌△DCB，∴∠AEC＝∠DBC，∵∠ECB＝60°，∴∠EAC+∠AEC＝∠ECB＝60°，∴∠APD＝∠EAC+∠ABP＝∠EAC+∠AEC＝60°，∴⑤正确；故选：A．8．解：当B和D是对应点，C和E是对应点，此时△ABC≌△FDE，当B和E是对应点，C和D是对应点，此时△ABC≌△FED，即有2个，故选：B．9．解：∵△ABC和△CDE是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴180°﹣∠ECD＝180°﹣∠ACB，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD与△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，∴∠AOB＝∠CAD+∠CEB＝∠CBE+∠CEB＝∠ACB＝60°，∴∠AOE＝120°，作CG⊥AD于G，CH⊥BE于H，如图所示：在△ACG和△BCH中，，∴△ACG≌△BCH（AAS），∴CG＝CH，∴OC平分∠AOE，∴∠AOC＝∠COE，③正确；∵∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝120°，∠DOC＝∠DOQ+∠COE＝120°，∴∠ODC+∠OCD＝60°，∴∠ODC＜60°，∴∠EDO＝∠CDE+∠ODC＜120°，∴∠BOC≠∠EDO，∴△BOC与△EDO不全等，①错误；∵∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠BCQ＝180°﹣60°×2＝60°，∴∠ACB＝∠BCQ＝60°，在△ACP与△BCQ中，，∴△ACP≌△BCQ（ASA），∴AP＝BQ，PC＝QC，∵AD＝BE，∴AD﹣AP＝BE﹣BQ，∴DP＝QE，∵∠DQE＝∠ECQ+∠CEQ＝60°+∠CEQ，∠CDE＝60°，∴∠DQE≠∠CDE，故②错误．∵PC＝QC，∠PCQ＝60°，∴△PCQ是等边三角形，∴∠CPQ＝60°，∴∠ACB＝∠CPQ，∴PQ∥AE，∵∠AOC＝60°，当OC⊥AE时，∠OAC＝30°，则AP平分∠BAC，而AP不是∠BAC的平分线，∴OC与AE不垂直，∴OC与PQ不垂直，④错误；正确的结论有1个，故选：A．10．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BCD＝∠CAE＝60°，在△ACE和△CBD中，，∴△ACE≌△CBD（SAS），∴∠ACE＝∠CBD，故①正确，∵∠BPE＝∠PCB+∠CBD＝∠PCB+∠ACE＝∠ACB＝60°，故②正确，∵AP⊥BD，BF⊥CE，∴∠APB＝∠BFC＝90°，∵∠ACB＝∠ABC＝60°，∠ACE＝∠CBD，∴∠BCF＝∠ABP，在△APB和△BFC中，，∴△APB≌△BFC（AAS），故③正确，故选：D．11．解：∵∠EAC＝∠FAB，∴∠EAB＝∠CAF，在△ABE和△ACF，，∴△ABE≌△ACF（AAS），∴∠B＝∠C．AE＝AF．由△AEB≌△AFC知：∠B＝∠C，AC＝AB；在△ACN和△ABM，，∴△ACN≌△ABM（ASA）（故④正确）；∴CM＝BN，由于条件不足，无法证得②CD＝DN；综上所述，正确的结论是①③④，共有3个．故选：C．12．解：如图，连接DC，∵点D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE∥BC，DC＝AB，∵CF＝BC，∴DE∥FC，∴四边形DEFC是平行四边形，∴DC＝EF，∴EF＝AB＝6．故选：B．13．解：∵直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，大正方形面积是9，∴a2+b2＝9，∵小正方形面积是1，∴（a﹣b）2＝1，∴a2+b2﹣2ab＝1，∴9﹣2ab＝1，∴ab＝4，故选：A．14．解：∵四边形EFGH为正方形，∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°，∵OG＝GP，∴∠GOP＝∠OPG＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠PBG＝90°﹣67.5°＝22.5°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBC＝45°，∴∠GBC＝22.5°，∴∠PBG＝∠GBC，在△BPG和△BCG中，，∴△BPG≌△BCG（ASA），∴PG＝CG，设OG＝PG＝CG＝x，∵O为EG、BD的交点，∴EG＝2x，FG＝x，∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，∴AE＝BF＝CG＝x，DE＝BG＝x+x，∴tan∠ADE＝＝＝﹣1，故选：C．15．解：连接PF，过点F作FD⊥AK于点D，∵AB＝EB，∠ACB＝∠ENB＝90°，而∠CBA+∠CBE＝∠EBN+∠CBE＝90°，∴∠CBA＝∠EBN，∴△CBA≌△NBE（AAS），故S4＝S△ABC；又∵FA＝AB，∠FDA＝∠ACB＝90°，而∠FAD+∠CAB＝∠CAB+∠ABC＝90°，∴∠FAD＝∠ABC，∴△FAD≌△ABC（AAS），同理可证△ACT≌△FDK，∴S2＝S△FDK＝S△ABC，同理可证△TPF≌△KME，△AQF≌△ABC，∴S1+S3＝S△ADF＝S△ABC，综上所证：S1+S2+S3+S4＝3S△ABC＝3×＝18．故A、C、D错误，故选：B．16．解：如图所示，延长AF至BC延长线上交于G点，∵AD∥BG，∴∠D＝∠GCF，而点F是CD的中点，∴DF＝CF，在△ADF和△GCF中：，∴△ADF≌△GCF（ASA），∴AF＝FG，AD＝CG，又∵AE＝BE，∴∠B＝∠EAB，而AF⊥AB，∴∠G+∠B＝90°，∠EAB+∠EAF＝90°，∴∠G＝∠EAF，即△AEG为等腰三角形，AE＝GE，EF⊥AG，在Rt△ABG中，E为斜边的中点，∴EF为Rt△ABG的中位线，∴EF＝＝3，又∵AF＝4，∴AG＝8，∴BG＝＝＝10，又∵△EFG也为直角三角形，∴EG＝＝＝5，而CG＝AD＝2.6，∴CE＝EG﹣CG＝5﹣2.6＝2.4，故选：A．17．解：设将CA延长到点D，连接BD，根据题意，得CD＝12×2＝24，BC＝7，∵∠BCD＝90°，∴BC2+CD2＝BD2，即72+242＝BD2，∴BD＝25，∴AD+BD＝12+25＝37，∴这个风车的外围周长是37×4＝148．故选：A．18．解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2＝AB2﹣AD2，CD2＝AC2﹣AD2，在Rt△BDM和Rt△CDM中，BM2＝BD2+MD2＝AB2﹣AD2+MD2，MC2＝CD2+MD2＝AC2﹣AD2+MD2，∴MC2﹣MB2＝（AC2﹣AD2+MD2）﹣（AB2﹣AD2+MD2）＝AC2﹣AB2＝132﹣102＝69．故选：D．19．解：①∵CD平分∠ACB，∴∠BCA＝2∠DCB，∵∠CEG＝2∠DCB，∴∠CEG＝∠BCA，∴EG∥BC，故①正确；②∵△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∴∠CBF＝∠CBA，∠BCF＝∠BCA，∵∠A＝90°，∴∠CBA+∠BCA＝90°，∴∠CBF+∠BCF＝45°，即∠DFB＝45°，∵∠DFB＝∠CGE，∴∠CGE＝90°，即CG⊥EG．故②正确；③∵CG⊥EG，∴∠G＝90°，∴∠GCE+∠CEG＝90°，∵∠A＝90°，∴∠BCA+∠ABC＝90°，∵∠CEG＝∠ACB，∴∠ECG＝∠ABC，∵∠ADC＝∠ABC+∠DCB，∠GCD＝∠ECG+∠ACD，∠ACD＝∠DCB，∴∠ADC＝∠GCD，故③正确；④假设CA平分∠BCG，则∠ECG＝∠ECB＝∠CEG，∴∠ECG＝∠CEG＝45°，显然不符合题意，故④错误．故选：C．20．解：如图：∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABD，∴∠CAE＝∠BAE，∠1＝∠2，设∠CAE＝∠BAE＝x，∠C＝y，∠ABC＝3y，由外角的性质得：∠1＝∠BAE+∠G＝x+20，∠2＝∠ABD＝（2x+y）＝x+y，∴x+20＝x+y，解得y＝40°，∴∠1＝∠2＝（180°﹣∠ABC）＝×（180°﹣120°）＝30°，∴∠DFB＝60°．故选：C．。

2021中考数学培优复习考点突破三角形（考点训练）一．选择题1．如图，∠1、∠2、∠3是△ABC的外角，若∠1：∠2：∠3＝4：3：2，则∠ABC的度数为（）A．60°B．80°C．90°D．100°2．如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE＝4，点F是射线OB上的任意一点，则DF的长度不可能是（）A．3B．4C．5D．63．下列每组数分别表示三条线段的长，将三条线段首尾连接后．能构成三角形的一组是（）A．3，6，3B．2，3，3C．1，3，4D．1，3，54．在三边分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的为（）A．4，，5B．2，3，C．5，13，12D．1，，5．根据下列已知条件，不能唯一画出△ABC的是（）A．AB＝5，BC＝3，AC＝6B．AB＝4，BC＝3，∠A＝50°C．∠A＝50°，∠B＝60°，AB＝4D．AB＝10，BC＝20，∠B＝80°6．已知三角形的两边长分别为3cm和4cm，则该三角形第三边的长不可能是（）A．1cm B．3cm C．5cm D．6cm7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，且c＝4，若a＝3，那么b的值是（）A．1B．5C．D．8．一直角三角形两直角边长分别为4和3，则斜边长为（）A．8B．7C．6D．59．如图，下列哪种说法不正确（）A．∠B+∠ACB＜180°B．∠B+∠ACB＝180°﹣∠AC．∠B＞∠ACD D．∠HEC＞∠B10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，DE⊥AB，垂足为E，则△ABD的BD边上的高是（）A．AD B．DE C．AC D．BC二．填空题11．如图，在△ABC中，∠A＝27°，∠B＝48°，∠ACD是△ABC的一个外角，则∠ACD的大小为°．12．在直角坐标系中，点P（2，3）到原点的距离是．13．直角三角形两直角边分别为5cm和12cm，则斜边上的中线为，斜边上的高线为．14．如图△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，G是△ABC的重心，GH⊥AB于H，则GH的长为．15．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝12cm，则Rt△ABC的面积为．三．解答题16．如图，△ABC中，∠B＝38°，∠C＝74°，AD是BC边上的高，D为垂足，AE平分∠BAC，交BC于点E，DF⊥AE，求∠ADF的度数．17．如图在平静的湖面上，有一支红莲BA，高出水面的部分AC为1米，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面（即AB＝DB），已知红莲移动的水平距离CD为3米，则湖水深CB为多少？18．如图，AB＝AC，D为△ABC内部一点，且BD＝CD．连接AD并延长，交BC于点E．①请写出图中两组全等的三角形；②任选其一说明全等的理由．19．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P 从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连结AP．（1）当t＝3秒时，求AP的长度（结果保留根号）；（2）填空：在运动过程中，当t＝秒时，△ABP为等腰三角形；（3）过点D做DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？20．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm．动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s．（1）几秒后△PCQ是等腰三角形？（2）几秒后P、Q两点相距25cm？（3）设△CPQ的面积为S1，△ABC的面积为S2，在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S1：S2＝2：5？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由．参考答案一．选择题1．解：设∠1、∠2、∠3的度数分别为4x、3x、2x，则4x+3x+2x＝360°，解得，x＝40°，∴∠2＝3x＝120°，∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°，故选：A．2．解：过D点作DH⊥OB于H，如图，∵OD平分∠AOB，DE⊥AO，DH⊥OB于H，∴DH＝DE＝4，∴DF≥4．故选：A．3．解：A、3+3＝6，不能组成三角形，故此选项不合题意；B、2+3＞3，能组成三角形，故此选项符合题意；C、1+3＝4，不能组成三角形，故此选项不合题意；D、1+3＜5，不能组成三角形，故此选项不合题意；故选：B．4．解：A、42+（）2≠52，不能构成直角三角形，故此选项符合题意；B、22+（）2＝32，能构成直角三角形，故此选项不合题意；C、52+122＝132，能构成直角三角形，故此选项不合题意；D、12+（）2＝（）2，能构成三角形，故此选项不合题意；故选：A．5．解：A、已知三边，且AB与BC两边之和AC，故能作出三角形，且能唯一画出△ABC；B、∠A不是AB，BC的夹角，故不能唯一画出△ABC；C、AB是∠A，∠B的夹边，故可唯一画出△ABC；D、∠B是AB，BC的夹角，故不能唯一画出△ABC；故选：B．6．解：∵三角形的两边长分别为3cm和4cm，∴1＜第三边的长＜7，故该三角形第三边的长不可能是1cm．故选：A．7．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理得，b＝＝＝，故选：C．8．解：由勾股定理得，斜边长＝＝＝5，故选：D．9．解：A、在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴∠B+∠ACB＜180°，本选项说法正确，不符合题意；B、在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴∠B+∠ACB＝180°﹣∠A，本选项说法正确，不符合题意；C、∵∠ACD是△ACB的一个外角，∴∠B＜∠ACD，本选项说法错误，符合题意；D、∵∠HEC＞∠ACD，∠ACD＞∠B，∴∠HEC＞∠B，本选项说法正确，不符合题意；故选：C．10．解：∵∠C＝90°，∴AC⊥BD，∴△ABD的BD边上的高是AC，故选：C．二．填空题11．解：∵在△ABC中，∠A＝27°，∠B＝48°，∴∠ACD＝∠A+∠B＝27°+48°＝75°．故答案为：75．12．解：如图所示：过点P作PA⊥x轴于点A，则AO＝2，PA＝3，故OP＝＝，故答案为：．13．解：∵直角三角形的两条直角边分别为5cm，12cm，∴斜边为：＝13cm，∴斜边上的中线为：×13＝（cm），设斜边上的高为h，则直角三角形的面积为×5×12＝×13•h，∴h＝（cm），故答案为：cm，cm．14．解：连接AD并延长交BC于D，∵G是△ABC的重心，∴BD＝DC＝BC＝4，∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，∴AD＝＝3，∵G是△ABC的重心，∴AG＝AD＝2，∵∠GAH＝∠BAD，∠AHG＝∠ADB＝90°，∴△AHG∽△ADB，∴＝，即＝，解得，GH＝，故答案为：．15．解：∵∠C＝90°，∴a2+b2＝c2＝144，∴（a+b）2﹣2ab＝144，∴196﹣2ab＝144，∴ab＝26，＝ab＝13cm2；∴S△ABC故答案为：13cm2．三．解答题16．解：∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∠B＝38°，∠C＝74°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝68°．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝×68°＝34°．∵AD⊥BC，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣38°＝52°，∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝52°﹣34°＝18°．∵DF⊥AE，∴∠ADF＝90°﹣∠EAD＝90°﹣18°＝72°．17．解：设BC为h米，Rt△BCD中，BC＝h，AB＝BD＝h+1，DC＝3，由勾股定理得：BD2＝DC2+BC2，即（h+1）2＝h2+32，解得：h＝4．因此湖深BC为4米．18．解：①△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE（写出两组即可）；②△ABD≌△ACD；理由：在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS）．19．解：（1）根据题意，得BP＝2t，PC＝16﹣2t＝16﹣2×3＝10，AC＝8，在Rt△APC中，根据勾股定理，得AP＝＝2．答：AP的长为2．（2）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝16，根据勾股定理，得AB＝＝8，若BA＝BP，则2t＝8，解得t＝4；若AB＝AP，则BP＝32，2t＝32，解得t＝16；若PA＝PB，则（2t）2＝（16﹣2t）2+82，解得t＝5．故答案为：4或16或5．（3）若P在C点的左侧，CP＝16﹣2t．AP＝20﹣2t，∴（20﹣2t）2＝（16﹣2t）2+82，解得：t＝5，若P在C点的右侧，CP＝2t﹣16．AP＝2t﹣12；∴（2t﹣12）2＝（2t﹣16）2+82，解得：t＝11．答：当t为5或11时，能使DE＝CD．20．解：（1）依题意得PC＝2xcm，CQ＝（25﹣x）（cm）．设t秒后△PCQ为等腰三角形，则CQ＝CP，∴25﹣x＝2x，解得x＝．答：秒后△PCQ为等腰三角形；（2）设a秒后P，Q两点相距25cm．根据勾股定理，得（25﹣x）2+4x2＝252，解得x＝10．答：10秒后P，Q两点相距25cm；（3）△CPQ的面积为S1＝×CQ×CP＝×2t×（25﹣t）＝﹣t2+25t，△ABC的面积为S2＝×AC×BC＝375，由题意得，5（﹣t2+25t）＝375×2，解得，t1＝10，t2＝15，故运动10秒或15秒时，S1：S2＝2：5．。

2021年中考第三轮冲刺数学专题复习：三角形 综合练习1、若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,则我们把这个三角形叫做比例三角形．(1)已知△ABC 是比例三角形,AB=2, BC=3,请直接写出所有满足条件的AC 的长; (2)如图1,在四边形△BCD 中,AD// BC,对角线BD 平分∠ABC,∠BAC=∠ADC. 求证:△ABC 是比例三角形;(3)如图2,在（2）的条件下,当∠ADC =90°时,求BDAC 的值.2、如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，若点P 从点A 出发，以每秒2cm 的速度沿折线A ﹣C ﹣B ﹣A 运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）．（1）若点P 在AC 上，且满足PA ＝PB 时，求出此时t 的值； （2）若点P 恰好在∠BAC 的角平分线上，求t 的值．3、如图，在等边三角形ABC 右侧作射线CP ，∠ACP =（0°<<60°），点A 关于射线CP 的对称点为点D ，BD 交CP 于点E ，连接AD ，AE ．αα（1）求∠DBC 的大小（用含的代数式表示）；（2）在（0°<<60°）的变化过程中，∠AEB 的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出变化的范围；如果不发生变化，请直接写出∠AEB 的大小； （3）用等式表示线段AE ，BD ，CE 之间的数量关系，并证明．4、⑴.问题发现：如图1，△ACB 与△DCE 均为等边三角形，点A D E 、、在同一直线上，连接BE ,求∠AEB 的度数.⑵.拓展探究：如图2，，△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形，∠=∠=ACB DCE 90,点A D E 、、在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ,求∠AEB 的度数以及线段CM AE BE 、、之间的数量关系.ααα5、在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=1,BC=2,D 是BC 边上的点.[基础巩固](1)如图1,∠DAC=∠B,求ABAD的值;[尝试应用](2)如图2,若∠DAC=2∠B,求BD 长; [拓展提高](3)如图3,E 是△ABC 外一点,∠AEB=∠BAC,35AE BE ,直接写出AE 的长.图1 图2 图36、在△ABC 和△ADE 中，AC =BC ，AD =AE ，∠ACB =∠DAE =90°，点E 在AB 上，点F 在EB 上， ∠BCF =∠BDE ．（1）如图①，若E 是AB 中点，CE 延长线交BD 于点G ，求证：△CEF ≌△BEG ； （2）如图②，若E 不是AB 中点，①求证：CF =21BD ；②求证：EF =BF ．7、已知△BAD 和△BCE 均为等腰直角三角形，BAD BCE 90∠=∠= ,M 为DE 的中点，过点E 与AD 的平行的直线EN 交射线AM 于点N .⑴.当A B C 、、 三点在同一直线上时，如图1，求证：M 为AN 的中点； ⑵.将图1中△BCE 绕点B 旋转，当A B E 、、 三点在同一直线上时，如图2；求证：△CAN 为等腰直角三角形.⑶.将图1中△BCE 绕点B 旋转，当A B E 、、 三点不在同一直线上时，如图3，⑵中的结论是否仍然成立（不需证明）？8、点D,E,F 分别在△ABC 的三边上,且∠DEF=∠ACB.(1)基本模型:如图1,若AB=AC,求证:CEBDEF DE =；(2)已知∠BAC=90°.①模型运用:如图2,求证：CE BDB EF DE ⋅=tan ; ②拓展延伸:如图3,若34=AC AB ,DE=EF,且FD 平分∠AFE,直接写出FCAF的值.9、数学课上，老师出示了如下的题目：在等边⊿ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED EC =,如图①，试确定线段AE 与DB 的大小关系，并说明理由. 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： ⑴.特殊情况,探索结论当点E 为AB 的中点时，如图②，确定线段AE 与DB 的大小关系，请你直接写出结论：AE DB （填“> ”, “< ”或“= ”）. ⑵.特列启发，解答题目解：题目中，AE 与DB 的大小关系是AE DB （（填“> ”, “< ”或“= ”）. 理由如下：如图③，过点E 作EF ∥BC ,交AC 于点F （请你完成以下解答过程）. ⑶.拓展讨论，设计新题在等边等边⊿ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED BC =,若⊿ABC 的边长为1 ，AE 2=,求CD 的长（请直接写出结果．．．．．．．）.图3图2图1A B D EF AB D E FD )10、如图1，在等腰直角△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =8，点E 是BC 边上一点，∠DEF =45°且角的两边分别与边AB ，射线CA 交于点P ，Q ． ⑴ 求证：△BPE ∽△CEQ ；⑵ 如图2，若点E 为BC 中点，将∠DEF 绕着点E 逆时针旋转，DE 与边AB 交于点P ，EF 与CA 的延长线交于点Q ,BP =3，求AQ 的长.⑶ 如图3，点E 在边BC 上沿B 到C 的方向运动（不与B ，C 重合），且DE 始终经过点A ，EF 与边AC 交于Q 点．探究：在∠DEF 运动过程中，△AEQ 能否构成等腰三角形，若能，直接写出BE 的长；若不能，请说明理由．11、在△ABC 中，∠A=90°，点D 在线段BC 上，∠EDB=21∠C ，BE ⊥DE,垂足为E ，DE 与AB 相交于点F.探究：：当AB=AC 且C ，D 两点重合时（如图1）,探究（1）线段BE 与FD 之间的数量关系，直接写出结果 ；（2）∠EBF= .证明：当AB=AC 且C ，D 不重合时，探究线段BE 与FD 的数量关系，并加以证明.计算：当AB=k AC 时，如图，求FDBE的值 （用含k 的式子表示）.12、如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，D 为BC 边的中点，点E 在直线BC 上（不与点D 重合），连接AE ，过点C 作直线AE 的垂线，垂足为点F ，交直线AD 于点G ，连接EG .⑴ 如图1，当点E 在线段BD 上时，请直接写出三条线段BE 、AB 、EG 之间的数量关系是______________；⑵ 如图2，当点E 在线段BC 的延长线上时，请写出三条线段BE 、AB 、EG 之间的数量关系，并证明你的结论；13、阅读材料：等腰三角形具有性质“等边对等角”．事实上，不等边三角形也具有类似性质“大边对大角”：如图1，在△ABC 中，如果AB ＞AC ，那么∠ACB ＞∠ABC ．证明如下：将AB 沿△ABC 的角平分线AD 翻折（如图2），因为AB ＞AC ，所以点B 落在AC 的延长线上的点B ′处．于是，由∠ACB ＞∠B ′，∠ABC ＝∠B ′，可得∠ACB ＞∠ABC ．（1）灵活运用：从上面的证法可以看出，折纸常常能为证明一个命题提供思路和方法．由此小明想到可用类似方法证明“大角对大边”：如图3，在△ABC 中，如果∠ACB ＞∠ABC ，那么AB ＞AC ．小明的思路是：沿BC 的垂直平分线翻折……请你帮助小明完成后面的证明过程．（2）拓展延伸：请运用上述方法或结论解决如下问题：如图4，已知M 为正方形ABCD 的边CD 上一点（不含端点），连接AM 并延长，交BC 的延长线于点N ．求证：AM ＋AN ＞2BD14、定义：若一个三角形存在两个内角之差是第三个内角的两倍，则称这个三角形为关于第三个内角的“差倍角三角形”．例如，在ABC ∆中，100A ∠=︒，60B ∠=︒，20C ∠=︒，满足2A B C ∠-∠=∠，所以ABC ∆是关于C ∠的“差倍角三角形”．（1）若等腰ABC ∆是“差倍角三角形”，求等腰三角形的顶角A ∠的度数； （2）如图1，ABC ∆中，3AB =，8AC =，9BC =，小明发现这个ABC ∆是关于C ∠的“差倍角三角形”．他的证明方法如下：证明：在BC 上取点D ，使得1BD =，连结AD ，（请你完成接下去的证明） （3）如图2，五边形ABCDE 内接于圆，连结AC ，AD 与BE 相交于点F ，G ，AB BC DE ==，ABE ∆是关于AEB ∠的“差倍角三角形”． ①求证：四边形CDEF平行四边形；②若1BF =，设AB x =，CDEF AEGS y S ∆=四边形，求y 关于x 的函数关系式．15、对于△ABC 及其边上的点P ，给出如下定义：如果点，，，……,是1M 2M 3M都在△ABC 的边上，且 ，那么称点，，，……,为△ABC 关于点P 的等距点，线段，，，……,为△ABC 关于点P 的等距线段.（1）如图1，△ABC 中，∠A ＜90°，AB ＝AC ，点P 是BC 的中点.①点B ，C △ABC 关于点P 的等距点，线段PA ，PB △ABC 关于点P 的等距线段；（填“是”或“不是”）②△ABC 关于点P 的两个等距点，分别在边AB ，AC 上，当相应的等距线段最短时，在图1中画出线段，；（2）△ABC 是边长为4的等边三角形，点P 在BC 上，点C ，D 是△ABC 关于点P 的等距点，且PC=1,求线段DC 的长；（3）如图2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°.点P 在BC 上，△ABC 关于点P 的等距点恰好有四个，且其中一个是点. 若，直接写出长的取值范围.（用含的式子表示）图 1 图 2n M 123n PM PM PM PM ====1M 2M 3M n M 1PM 2PM 3PM n PM 1M 2M 1PM 2PM C BC a =PCa。