相似三角形培优专题讲义

初三上数学培优专题讲义九AB 相似三角形提高训练一.相似三角形中的几个基本图形：两个三角形相似，一般说来必须具备下列六种图形之一：二、典例分析：考点（一）-------有关三角形的内接矩形或正方形的计算问题例题1、已知：如图，正方形DEFG 内接于△ABC ，AM ⊥BC 于M 交DG 于N ，BC=18，AM=12。

求正方形边长.变式：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，试比较图中正方形CDEF 和正方形PQRS 的面积的大小考点（二）------ 两个三角形相似的判定 例题2.如图，四边形ABCD 是平行四边形，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F.(1)ΔABE 与ΔADF 相似吗？说明理由.(2)ΔAEF 与ΔABC 相似吗？说说你的理由.变式：如图,⊿ABC 是等边三角形,点D,E 分别在BC,AC 上,且BD=CE,AD 与BE 相交于点F.(1)试说明⊿ABD≌⊿BCE。

(2)⊿AEF 与⊿ABE 相似吗?说说你的理由。

(3)BD 2=AD·DF 吗?请说明理由。

考点（三）------相似三角形中的面积问题EF AFFC FD +例题3. 如图，在□ABCD 中，E 为CD 中点，AE 与BD 相交于点O ，S △DOE ＝12cm 2，求S △AOD 、 S △AOB ．变式：（2011•丹东，16，3分）已知：如图，DE 是△ABC 的中位线，点P 是DE 的中点，CP 的延长线交AB 于点Q ，求S △DPQ ：S △ABC ．考点（四）------作平行线构造相似三角形例题4.如图，E 是ABC ∆中线AD 上的一点，CE 交AB 于F ，已知AE ：ED=1：2，求AF ：BF 的值。

变式：如图，已知△ABC 中，AE:EB=1:4,BD:DC=2:1，AD 与CE 相交于F.求： 的值.考点（5）------利用相似三角形测高例5. 某测量工作人员眼睛A 与标杆顶端F 、电视塔顶端E 在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.5米，标杆为3米，且BC=1米，CD=6米，求电视塔的高ED 。

知识梳理相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注意：①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．相似三角形的基本定理定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：用数学语言表述是：BC DE // ，ADE ∽ABC ． 相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC 有ABC ∽ABC ．(2)对称性：若ABC ∽'''C B A ，则'''C B A ∽ABC ．(3)传递性：若ABC ∽C B A ''，且C B A ''∽C B A ，则ABC ∽C B A ． 三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．（在遇到两个三角形的三边都知道的情况优先考虑，把边长分别从小到大排列，然后分别计算他们的比值是否相等来判断是否相似）6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

《相似三角形》讲义一、相似三角形的定义如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就叫做相似三角形。

相似三角形是初中数学中非常重要的一个概念，它在几何证明、计算以及实际生活中都有着广泛的应用。

二、相似三角形的判定1、两角分别相等的两个三角形相似如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

这是因为三角形的内角和为 180 度，当两个角相等时，第三个角也必然相等。

例如，在三角形ABC 和三角形A'B'C'中，如果∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B'，那么三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'。

2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

例如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果AB/A'B' ＝ AC/A'C'，且∠A ＝∠A'，那么三角形 ABC 相似于三角形A'B'C'。

3、三边成比例的两个三角形相似如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

例如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果 AB/A'B' ＝ BC/B'C' ＝AC/A'C'，那么三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'。

三、相似三角形的性质1、相似三角形的对应角相等这是相似三角形的基本性质之一。

因为相似三角形是通过对应角相等来定义的，所以相似三角形的对应角必然相等。

2、相似三角形的对应边成比例相似三角形的对应边的比值是相等的，这个比值称为相似比。

例如，如果三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'，相似比为 k，那么 AB/A'B' ＝BC/B'C' ＝ AC/A'C' ＝ k。

第1讲相似三角形讲义学习目标解三角形相似的判定方法学习重点：能够运用三角形相似判定方法解决数学问题及实际问题．学习难点：运用三角形相似判定方法解决数学问题的思路学习过程一、证明三角形相似例1：已知，如图，D为△ABC内一点连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD 求证：△DBE∽△ABC例2、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。

下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形EC(2)如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形。

ABCDE12AABB C CDDEE12412(3)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。

观察本题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，及△EAF与△ECA二、相似三角形证明比例式和乘积式例3、△ABC中，在AC上截取AD，在CB延长线上截取BE，使AD=BE，求证：DF∙AC=BC∙FEAB CDE FAB CDEFK例4：已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=900，M 是BC 的中点，DM ⊥BC 于点E ，交BA 的延长线于点D 。

求证：（1）MA 2=MD ∙ME ；（2）MD MEADAE =22三、相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。

例5：已知：如图E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 和AD 上的点，且31==AD AF AB EB 。

求证：∠AEF=∠FBD例6、直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，BCDE 是正方形，AE 交BC 于F ，FG ∥AC 交AB 于G ，求证：FC=FG例7、Rt △ABC 锐角C 的平分线交AB 于E ，交斜边上的高AD 于O ，过O 引BC 的平行线交AB 于F ，求证：AE=BFABCDEM12A B CD E F GA B C D F G E AB C DE F O123E 图2目标训练 一、填空题1、 两个相似三角形的面积比S 1:S 2与它们对应高之比h 1:h 2之间的关系为 ．2、 如图2，平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ，如果23BE BC =，那么BF FD= ．233、如图，点1234A A A A ，，，在射线OA 上，点123B B B ，，在射线OB 上，且112233A B A B A B ∥∥，213243A B A B A B ∥∥．若212A B B △，323A B B △的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为 ．4. △ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，且AD ：1，则S △ADE ：S 四边形DFGE ：S 四边形FBCG =二、选择题1.已知△ABC∽△DEF，且AB ：DE=1：2，则△ABC 的面积与△DEF 的面积之比为（ ）(A)1：2 (B)1：4 (C)2：1 (D)4：12.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x ，那么x 的值（ ）A ．只有1个B ．可以有2个C ．有2个以上但有限D ．有无数个3.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm ，下半身长x与身高l 的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ） A ．4cm B ．6cm C ．8cm D ．10cm4、如图，△ABC 是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的 （ ） Ａ．91 Ｂ．92 Ｃ．31Ｄ．94（第3题图）1 2 345、 如图，直角梯形ABCD 中，∠BCD ＝90°，AD ∥BC ，BC ＝CD ，E 为梯形内一点，且∠BEC ＝90°，将△BEC 绕C 点旋转90°使BC 与DC 重合，得到△DCF ，连EF 交CD 于M ．已知BC ＝5，CF ＝3，则DM:MC 的值为 （ ） A.5:3 B.3:5 C.4:3 D.3:46、 如图，在Rt △ABC 内有边长分别为,,a b c 的三个正方形，则,,a b c 满足的关系式是（ ） A 、b a c =+ B 、b ac = C 、222b ac =+ D 、22b a c ==7、如图,Rt △ABAC 中,AB ⊥AC ,AB =3,AC =4,P 是BC 边上一点,作PE ⊥AB 于E,PD ⊥AC 于 D ,设BP =x ,则PD+PE =（ ） A.35x + B.45x -C.72D.21212525x x -三、解答题1、如图5，在△ABC 中，BC>AC ， 点D 在BC 上，且DC ＝AC,∠ACB 的平分线CF 交AD 于F ，点E 是AB 的中点，连结EF.（1）求证：EF ∥BC.（2）若四边形BDFE 的面积为6，求△ABD 的面积.2、 （本小题满分10分）如图：在等腰△ABC 中，CH 是底边上的高线，点P 是线段CH 上不与端点重合的任意一点，连接AP 交BC 于点E,连接BP 交AC 于点F. (1) 证明：∠CAE=∠CBF; (2) 证明：AE=BF;(3) 以线段AE ，BF 和AB 为边构成一个新的三角形ABG （点E 与点F 重合于点G ），记△ABC 和△ABG 的面积分别ABCDE P为S △ABC 和S △ABG ,如果存在点P,能使得S △ABC =S △ABG ,求∠C 的取之范围。

相似之类比探究（讲义）一、 知识点睛● 类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由简单情形到复杂情形）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主． ● 解决类比探究问题的通常思路解决类比探究问题的核心思想是类比（照搬），类比上一问的思路方法（如照搬字母，照搬辅助线等）．探究变化过程中的不变特征（如常见结构），是类比的前提．● 类比探究中的常见结构平行结构：由比例找平行，构造A 字型或X 型； 直角结构：由斜置的直角通过作垂线构造相似三角形．二、 精讲精练1. 类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．原题：如图1，在□ABCD 中，点E 是BC 边的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G ，若3AFEF=，求CD CG 的值． （1）尝试探究：在图1中，过点E 作EH ∥AB 交BG 于点H ， 则AB 和EH 的数量关系是_____________，CG 和EH 的数量关系是_____________，CDCG的值是_________．（2）类比延伸：如图2，在原题的条件下，若AFm EF=（m >0）， 则CD CG的值是_________（用含m 的代数式表示），试写出 解答过程．图3BFE CDA图2ADE F G图1ABCDE F G（3）拓展迁移：如图3，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，点E是BC 的延长线上一点，AE 和BD 相交于点F ．若ABa CD=，BCb BE=（a >0，b >0），则AF EF 的值是________（用含a ，b 的代数式表示）．2. 数学课上，魏老师出示图1和下面框中条件：（1）①当点C 与点F 重合时，如图2所示，可得AMDM的值为___________；②在平移过程中，AMDM的值为___________（用含x 的代数 式表示）．（2）将图2中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变．当点A 落在线段DF 上时，如图3所示，请计算AMDM的值． （3）将图1中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转m 度，090m <≤，原题中的其他条件保持不变，如图4所示，请计算AMDM的值（用含x 的代数式表示）．如图1，两个等腰直角三角板ABC 和DEF 有一条边在同一条直线l 上，∠ABC =∠DEF =90°，AB =1，DE =2．将直线EB 绕点E 逆时针旋转45°，交直线AD 于点M ．将图1中的三角板ABC 沿直线l 向右平移，设C ，E 两点间的距离为x ．图2l图1图4图3图3FECDA3. 如图1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正方形ABCD 的顶点A 重合，三角板的一边交CD 于点F ，另一边交CB 的延长线于点G ．（1）求证：EF =EG ．（2）如图2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成 立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”， 且使三角板的一边经过点B ，其他条件不变，若AB =a ，BC =b ，求EFEG的值．E (A )BCD FGG FD CBAEEACD FG (B )图1图2图34. 如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 在AC 上，BE 交CD 于点G ，EF ⊥BE 交AB 于点F ，AC =mBC ，CE =nEA （m ，n 为实数）.试探究线段EF 与EG 的数量关系．（1）如图2，当m =1，n =1时，EF 与EG 的数量关系是 ____________．（2）如图3，当m =1，n 为任意实数时，EF 与EG 的数量关 系是______________，并证明你的结论．（3）如图1，当m ，n 均为任意实数时，EF 与EG 的数量关 系是______________．（写出关系式，不必证明）三、 回顾与思考__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________D A B图1GC E图2G D FEC图3C GBA D F E【参考答案】1.（1）AB =3EH ；CG =2EH ；32（2）2m；提示：过点E 作EH ∥AB 交BG 于点H （3）ab ；提示：过点E 作EH ∥AB 交BD 的延长线于点H2.（1）①1；②2x（2）提示：过点B 作BE 的垂线交EM 的延长线于点G ，连接AG ，证AG ∥DE ，得△AMG ∽△DME ，所以212AM AG DM DE ===（3）提示：过点B 作BE 的垂线交EM 的延长线于点G ，连接AG ，证AG ∥DE ，得△AMG ∽△DME ，所以2AM AG xDM DE ==．3.（1）提示：证明Rt △FED ≌Rt △GEB (ASA)，所以EF =EG ； （2）成立．理由如下： 证明：如图，I HEAB CD FG过点E 分别作BC ，CD 的垂线，垂足分别为H ，I ， 证明Rt △FEI ≌Rt △GEH (ASA)，所以EF =EG ； （3）解：如图，MN G (B )FD CAE过点E 分别作BC ，CD 的垂线，垂足分别为M ，N ， 证明△GME ∽△FNE ，所以EF bEG a． 4. （1）EF =EG ．（2）EF =1nEG ；作EM ⊥AB 于点M ，EN ⊥CD 于点NN MEC FAG（3）EF =1mnEG ． I H C EF DA BG相似之类比探究（每日一题） 姓名_________1． 在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O ，某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：（1）当11211==+AE AC 时，有22321==+AO AD ； （2）当11312==+AE AC 时，有22422==+AO AD ； （3）当11413==+AE AC 时，有22523==+AO AD ； （4）当11=+AE AC n 时，参照上述研究结论，请你猜想用n 表示AOAD的一般结 论，并给出证明（其中n 是正整数）．OE D CBA2． 在图1至图3中，直线MN 与线段AB 相交于点O ，∠1=∠2=45°． （1）如图1，若AO =OB ，请写出AO 与BD 的数量关系和位置关系． （2）将图1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到图2，其中AO =OB ． 求证：AC =BD ，AC ⊥BD ．（3）将图2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到图3，求BDAC的值． ABD OM NC 1221NM O D BA21C NMO D BA图1图2图33． 已知：线段OA ⊥OB ，点C 为OB 中点，D 为线段OA 上一点．连接AC ，BD 交于点P ．（1）如图1，当D 为OA 中点时，求APPC 的值； （2）如图2，当AD :DO =1:m 时，求APPC的值；（3）如图3，把题目中“点C 为OB 中点”改为“BC :CO =1:n ”，当AD :DO =1:m 时，直接写出APPC的值． ABC DOPPODC BA PODC BA 图1图2图34． （1）如图1，已知正方形ABCD ，E 是AD 上一点，F 是BC 上一点，G 是AB 上一点，H 是CD 上一点，线段EF ，GH 交于点O ，∠EOH =∠C ．求证：EF =GH ．（2）如图2，若将“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”，且AD =mAB ，其他 条件不变，探索线段EF 与线段GH 的数量关系并加以证明．（3）根据前面的探究，你能否将本题推广到一般的平行四边形情况？若能， 写出推广命题，画出图形，并证明；若不能，说明理由．A BCD EFG HOOHG F EDCBA图1图25． 在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，点F 在BC 的延长线上，CM 平分∠DCF ，连接AE ，作EM ⊥AE 交CM 于点M ．（1）如图1，当AB =BC 时，请判断AE 与EM 的数量关系并证明； （2）如图2，当AB =nBC 时，请判断AE 与EM 的数量关系并证明； （3）如图3，把题目中“E 是BC 的中点”改为“BE =mEC ”，当AB =nBC 时， 请判断AE 与EM 的数量关系并证明．图3图2图1ABCDFEM ABCDFE MME FDCBA【参考答案】1．解：当11=+AE AC n 时，2=2AO AD n+ FOEDCBA证明如下：过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于点F ∵ 11=+AE AC n ∴1AE EC n =∵ AF ∥BC∴ △AEF ∽△CEB ，△AOF ∽△DOB ∴1AF AE BC EC n ==，AF AOBD OD =∵ D 为BC 的中点 ∴ BD =DC∴2212AF AF AFBD BC nBC===∴2=AOOD n，即：2=2AOAD n+2．解：（1）由题意知∠BOD=∠1=45°，此时△OBD是等腰直角三角形∴OB=BD，OB⊥BD∴AO=BD，AO⊥BD（2）如图2，EFC21NMODBA图2过点B作BE//AC交CD于点E，延长AC，DB交于点F．∴∠DEB=∠DCF=∠1=45°，∠ACO=∠BEO，∠OAC=∠OBE ∴△BED，△FCD是等腰直角三角形∴BD=BE，AC⊥BD∵AO=BO∴△AOC≌△BOE，∴AC=BE∴AC=BD，AC⊥BD（3）如图3，EF21CNMODBA图3过点B作BE//AC交CD于点E，延长AC，DB交于点F．∴∠DEB=∠DCF=∠1=45°，∠ACO=∠BEO，∠OAC=∠OBE ∴△BED、△FCD是等腰直角三角形，且△AOC∽△BOE∴BD=BE，BE OB AC OA=∵OB是OA的k倍∴BE AC=k∴BDk AC=3．解：（1）如图1，E图1BPODCA过点D作DE∥OB交AC于点E，∠ADE=∠O，∠AED=∠ACO∴△ADE∽△AOC∴12 AE AD DE DE AC AO OC BC====又∵DE∥OB∴∠EDP=∠B，∠DEP=∠BCP ∴△DEP∽△BCP∴12 EP DE PC BC==∴AP PC=2（2）如图2，E图2OADPB过点D作DE∥OB交AC于点E，∠ADE=∠O，∠AED=∠ACO ∴△ADE∽△AOC∴11AE AD DE DEAC AO OC BC m====+，1AE ADEC DO m==∵DE∥OB∴∠EDP=∠B，∠DEP=∠BCP ∴△DEP∽△BCP∴11 EP DEPC BC m==+∴12 EPEC m=+设AE =k ，则EC =mk ∴ EP =2mkm + ∴ AP =AE +EP =2222mk mk kk m m ++=++，PC =EC －EP =222mk m k mk mk m m +-=++ ∴AP PC =2m（3）1n m+ 4．证明：（1）如图1，Q N MR 图1OHG FED C BA过点F 作FM ⊥AD 于M ，过点G 作GN ⊥CD 于N则FM =GN =CD =BC ，且GN ⊥FM ，设它们的垂足为Q ，EF ，GN 交于点R ∵ ∠EOH =∠GOF =∠C =90°，∴ ∠OGR =90°-∠GRO =90°-∠QRF =∠OFM ． ∵ ∠GNH =∠FME =90°，FM =GN ， ∴ △GNH ≌△FME ． ∴ EF =GH（2）GH=mEF证明如下：如图2，MNRQ图2AB CDEFGHO过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥CD于N，设EF，GN交于点R，GN，MF交于点Q∵∠EOH=∠GOF=∠C=90°，∴∠OGR=90°-∠GRO=90°-∠QRF =∠OFM．∵∠GNH=∠FME=90°，∴△GNH∽△FME．∴GH ADEF AB=m，即：GH=mEF（3）A E M DHNCQORFGB如图，已知平行四边形ABCD，E是AD上一点，F是BC上一点，G是AB上一点，H是CD上一点，线段EF，GH交于点O，∠EOH=∠C，AD=mAB，则GH=mEF．证明：如图，过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥CD于N，设EF，GN交于点R、GN，MF交于点Q，在四边形MQND中，∠QMD=∠QND=90°∴∠ADC+∠MQN=180°．∴∠MQN=∠C=∠EOH=∠GOF．∵∠ORG=∠QRF，∴∠HGN=∠EFM．∵∠FME=∠GNH=90°，∴△GNH∽△FME．∴GH GN EF MF=∵AB⋅GN=AD⋅MF∴GN AD FM AB==m∴GHmEF=，即：GH=mEF5．解：（1）AE=EM，理由如下：如图1，G图1ME FDCBA取AB的中点G，连接GE．∵∠AEM=90°∴∠MEC+∠AEB=90°∵∠B=90°∴∠EAG+∠AEB=90°∴∠EAG=∠MEC∵点E，G分别为正方形ABCD的边BC和AB的中点∴AG=EC∵△BGE是等腰直角三角形∴∠AGE=135°∵CM平分∠DCF∴∠ECM=135°∴△AEG≌△EMC∴AE=EM（2）当AB=nBC时，AE=(2n-1)EM，理由如下：如图2，G图2AB CDFEM在AB上截取BG=BE，连接GE，则△BGE为等腰直角三角形∴∠BGE=45°∴∠AGE=∠ECM=135°∵∠AEM=90°∴∠MEC+∠AEB=90°∵∠B=90°∴∠EAG+∠AEB=90°∴∠EAG=∠MEC∴△AEG∽△EMC∴AE AG EM EC=∵AB=nBC，BC=2BE=2EC，BG=BE ∴AG+BG=2nEC∴AG=(2n-1)EC∴AE AGEM EC==(2n-1)∴AE=(2n-1)EM（3）当AB=nBC，BE=mEC时，AE=(mn+n-m)EM，理由如下：如图3，ME FDCBA图3G在AB上截取BG=BE，连接GE，则△BGE为等腰直角三角形∴∠BGE=45°∴∠AGE=∠ECM=135°∵∠AEM=90°∴∠MEC+∠AEB=90°∵∠B=90°∴∠EAG+∠AEB=90°∴∠EAG=∠MEC∴△AEG∽△EMC∴AE AG EM EC=∵BE=mEC∴BC=BE+EC=(m+1)EC ∵AB=nBC，BG=BE∴AG+BG=n(m+1)EC∴AG+mEC=n(m+1)EC ∴AG=(mn+n-m)EC∴AE AGEM EC==(mn+n-m)∴AE=(mn+n-m)EM相似之类比探究（随堂测试）1． 已知：在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，∠A =30°，点P 在AC 上，且∠MPN =90°．当点P 为线段AC 的中点，点M ，N 分别在线段AB ，BC 上时（如图1），过点P 作PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥BC 于点F ，可证Rt △PME ∽Rt △PNF ，得出PN（不需证明）．当PCP A ，点M ，N 分别在线段AB ，BC 或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，请写出线段PN ，PM 之间的数量关系，并任选一种情况给予证明．图3B NAPMC【参考答案】如图2，如图3中都有结论：PNPM ．理由略HG AMBPCI QC MPANB图1AEFMCPB 图2CPBMA相似之类比探究（作业）2. 原题：如图1，D 是△ABC 的边BC 上一点，过点D 的一条直线交AC 于点F ，交BA 的延长线于点E ．若BD =CD ，CF =2AF ，则EAEB的值是_____________．（1）如图2，在原题的条件下，若BD =CD ，CF =mAF ，则EAEB的值是__________（用含m 的代数式表示），试写出解答过程．（2）如图3，若将原题改为“过点D 的一条直线交AC 的延长线于点F ，交AB 于点E ”，且BD =aCD ，CF =bAF ，则EAEB的值是__________（用含a ，b的代数式表示）．图1BD FEA图2FAE B 图3BCD E A3. 如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D ，点O 是AC 边上一点，连接BO ，交AD 于点F ，OE ⊥OB 交BC 于点E ． （1）求证：△ABF ∽△COE ； （2）如图2，当O 为边AC 中点，2AC AB =时，求OFOE的值； （3）如图3，当O 为边AC 中点，ACn AB=时，请直接写出OFOE的值．DEFBA图2A CED F B图3图1BF D O ECA4. 如图，在△ABC 中，∠A =60°，BD ，CE 分别是AC ，AB 上的高．求证：（1）△ABD ∽△ACE ；（2）△ADE ∽△ABC ； （3）BC =2ED ．DCAEB【参考答案】1. 原题：12； （1）1m ； （2）1ab；2. 解：（1）略（2）2OF OE=．提示：如图，过点O 作OG ∥AB 交BC 于点G ，证明△AOF ∽△GOEGDEOCFBA（3）OFn OE = 3.（1）略；（2）略；（3）略。

相似21、数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），其影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米，则树高为 米．2、（2009年淄博市）如图，梯形ABCD 中，∠ABC 和∠DCB 的平分线相交于梯形中位线EF 上的一点P ，若EF =3，则梯形ABCD 的周长为（ ）A ．9B ．10.5C ．12D ．153、(2009年鄂州)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =DC =5，点P 在BC 上移动，则当PA +PD 取最小值时，△APD 中边AP 上的高为（ ）A 、17172B 、17174 C 、 17178D 、3 4、（2009年重庆市江津区）在△ABC 中，BC =10，B 1 、C 1分别是图①中AB 、AC 的中点，在图②中，2121、C 、C 、B B 分别是AB ,AC 的三等分点，在图③中921921;C 、C C B 、、B B 分别是AB 、AC的10等分点，则992211C B C B C B +++ 的值是 （ ）A . 30B . 45C .55D .60① ② ③5、(2009年陕西省)小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E 处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD ＝1.2m ，CE ＝0.8m ，CA ＝30m （点A 、E 、C 在同一直线上）．已知小明的身高EF 是1.7m ，请你帮小明求出楼高AB ．A BCD EF P6、如图,已知△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC,点E 、F 在AB 上,∠ECF=45°.（1）求证:△ACF ∽△BEC ；（2）设△ABC 的面积为S ，求证:AF ·BE=2S.7、如图,在△ABC 中,AB=AC,AD ⊥BC,DE ⊥AC,M 为DE 的中点,AM 与BE 相交于N,AD 与BE 相交于F.求证:（1）DE CE =AD CD ；（2）△BCE ∽△ADM ；（3）AM 与BE 互相垂直.45°A EFBC ADBFE N MC8、（2009年中山）正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直， （1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△；（2）设BM x ，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；（3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求x 的值．9．如图，已知矩形ABCD 的边长AB=2，BC=3，点P 是AD 边上的一动点（P 异于A 、D ），Q 是BC 边上的任意一点. 连AQ 、DQ ，过P 作PE ∥DQ 交AQ 于E ，作PF ∥AQ 交DQ 于F. （1）求证：△APE ∽△ADQ ；（2）设AP 的长为x ，试求△PEF 的面积S △PEF 关于x 的函数关系式，并求当P 在何处时，S △PEF 取得最大值？最大值为多少？（3）当Q 在何处时，△ADQ 的周长最小？（须给出确定Q 在何处的过程或方法，不必给出证明）A BCD PEFQ10、(2009年宁德市)如图（1），已知正方形ABCD 在直线MN 的上方，BC 在直线MN 上，E 是BC 上一点，以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG ． （1）连接GD ，求证：△ADG ≌△ABE ；（2）连接FC ，观察并猜测∠FCN 的度数，并说明理由； （3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD 改为矩形ABCD ，AB =a ，BC =b （a 、b 为常数），E 是线段BC 上一动点（不含端点B 、C ），以AE 为边在直线MN 的上方作矩形AEFG ，使顶点G 恰好落在射线CD 上．判断当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小是否总保持不变，若∠FCN 的大小不变，请用含a 、b 的代数式表示tan ∠FCN 的值；若∠FCN图（2）NM B E C DFG图（1）A巩固练习1、(2009年温州)一张等腰三角形纸片，底边长l5cm，底边上的高长22．5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( ) A．第4张 B．第5张 C.第6张 D．第7张2、（2009年孝感）如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是．3、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=40cm，BC=48cm，动点P从A开始沿AD边向D以每秒2cm的速度运动，动点Q开始沿CB边向B以每秒6cm的速度运动.P、Q分别从点A、C同时出发，设运动时间为t秒，则（1）t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2）t为何值时四边形PQCD为等腰梯形？4、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AD=3,BC=7,∠B=60°P为下底BC上一点（不与B,C重合），连接AP,过点P作PE交DC于E，使∠APE=∠B(1)求证：△AB P∽△PCE (2)求等腰梯形的腰AB的长（3）在底边BC上是否存在点P，使得DE：EC=5:3，如果存在，求BP的长，如果不存在，说明理由PAB CDQ证:△ABP∽△DPC；（2）如果点P在AD边上移动（P与点A、D不重合），且满足∠BPE=∠A,PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q,那么,当点Q在线段DC的延长线上时,设AP=x，CQ=y，求关于的函数解析式,并写出函数的取值范围.6、如图，在平面直角坐标系内，已知点A(0，6)、点B(8，0)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段DA上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P、Q移动的时间为t秒，(1)求直线AB的解析式；(2)当t为何值时，△APQ与△AOB相似?并求出此时点P与点Q的坐标；(3)当t为何值时，△APQ的面积为245个平方单位?B CDAPEQB CDA P。

九年级上册第四章相似三角形培优生讲义一．解答题（共40小题）1．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E、F在AB边上，且E是BF 中点，连接DE，CF交AD于G，．（1）求证：△AFG∽△AED；（2）若FG=3，G为AD中点，求CG的长．2．如图，一位同学想利用树影测量树AB的高，他在某一时刻测得直立于地面上的一根长为1m的竹竿影长为0.9m，但他马上测量树AB的影长时，因树AB 靠近一幢建筑物，有一部分影子落在建筑物的墙上，他先测得落在建筑物墙上的影高CD为1.2m，又测得落在地面上的影长为2.7m，求树AB的高．3．如图，某测量人员的眼睛A与标杆顶端F、电视塔顶端E在同一条直线上，已知此人的眼睛到地面的距离AB=1.6m，标杆FC=2.2m，且BC=1m，CD=5m，标杆FC、ED垂直于地面．求电视塔的高ED．4．如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，QR∥BA，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q 运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），当t为何值时，△APR∽△PRQ？5．如图，点D是等边△ABC中BC边上一点，过点D分别作DE∥AB，DF∥AC，交AC，AB于E，F，连接BE，CF，分别交DF，DE于点N，M，连接MN．试判断△DMN的形状，并说明理由．6．如图，已知：△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，DE与AC交于点F（1）写出图中的相似三角形；（2）求证：AE2=AF•AC．7．对于平行线，我们有这样的结论：如图1，AB∥CD，AD，BC交于点O，则=．请利用该结论解答下面的问题：如图2，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长．8．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB，求∠APB的度数．9．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，求证：△ABE∽△DEF．10．如图，已知∠1=∠2，∠AED=∠C，求证：△ABC∽△ADE．11．已知：如图，△ABC中，∠ACD=∠B，求证：△ABC∽△ACD．12．如图，在△ABC和△CDE中，∠B=∠D=90°，C为线段BD上一点，且AC⊥CE，证明：△ABC∽△CDE．13．如图，在菱形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足E为BC中点，连接DE，F 为DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=2，求AF的长．14．如图，九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD=3m，标杆与旗杆的水平距离BD=15m，人的眼睛与地面的高度EF=1.6m，人与标杆CD的水平距离DF=2m，人的眼睛E、标杆顶点C和旗杆顶点A在同一直线，求旗杆AB的高度．15．如图，在三角形ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AD：DB=3：2，BC=25，求FC 的长．16．如图，AC∥BD，AD、BC相交于E，EF∥BD，求证：+=．17．已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F（AB＞AE）．问：△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由．18．已知，如图在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P由点A出发沿AB方向向终点点B匀速移动，速度为1cm/s，点Q由点B出发沿BC方向向终点点C匀速移动，速度为2cm/s．如果动点P，Q同时从A，B出发，当P或Q 到达终点时运动停止．几秒后，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似？19．如图，在正方形ABCD中，E为BC上任意一点（与B、C不重合）∠AEF=90°．观察图形：（1）△ABE与△ECF是否相似？并证明你的结论．（2）若E为BC的中点，连结AF，图中有哪些相似三角形？并说明理由．20．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF=3FD，求证：△ABE∽△DEF．21．已知：如图，△ABC中，AB=2，BC=4，D为BC边上一点，BD=1．求证：△ABD∽△CBA．22．如图，△ABC是等边三角形，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上点，且∠DAE=120°（1）求证：△ADB∽△EAC；（2）求证：BD•EC=BC2．23．已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．（1）求证：△ABC∽△FCD；（2）若△FCD的面积为7.5，BC=10，求DE的长．24．一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=12cm，高AD=8cm，把它加工成矩形零件如图，要使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．且矩形的长与宽的比为3：2，求这个矩形零件的边长．25．如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AD=4，BD=8，DE=5，求BF的长．26．如图，矩形ABCD∽矩形ECDF，且AB=BE，求BC与AB的比值．27．在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的三棵树的高度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4米（如图1）．小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得此影子长为0.3米，一级台阶高为0.3米，落在地面上的影长为4.5米．（1）在横线上直接填写甲树的高度为米．（2）求出乙树的高度．（3）请选择丙树的高度为A、6.5米B、5.5米C、6.3米D、4.9米．28．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯CD的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD 的长．（结果精确到0.1m）．29．如图，地面上直立着的两根高压电线杆相距50m（CD的长度），分别在高为30m的A处和20m的B处用钢索将两电线杆固定．（1）求钢索AD和钢索BC的交点E处离地面的高度．（2）若两电线杆的距离（CD的长度）发生变化，点E离地面的高度是否随之发生变化？说明理由．30．以定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上（AM＞MD），如图所示．（1）求证：M是线段AD的黄金分割点．（2）如果AB=，求AM的长．（3）作PN⊥PD交BC于N连ND．△BPN与△PDN是否相似．若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由．31．一块直角三角形木块的面积为1.5m2，直角边AB长1.5m，想要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面，甲、乙两人的加工方法分别如图①、图②所示．你能用所学知识说明谁的加工方法更符合要求吗？32．如图，已知BD、CE都是△ABC的高，CE交BD于O，（1）请你写出图中的相似三角形；（2）从中挑选其中的一对进行证明．33．在△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点：求证：（1）DE∥BC且DE=BC；（2）若△ABC面积为S，求证：S=．△DEF34．如图，已知正方形ABCD和正方形DEFG，点G在AD上．连接AE交FG于点M，连接CG并延长交AE于点N，（1）写出图中所有与△EFM相似的三角形；（2）证明：EF2=FM•CD．35．求比例式的值常用的方法有“设参消参法”“代入消元法”“特殊值法”．例：已知==，求的值．方法1：设===k，则x=2k，y=5k，z=7k，所以===．方法2：由==，得y=x，z=x，代入，得===．方法3：取x=2，y=5，z=7，则==．参考上面的资料解答下面的问题．已知a，b，c为△ABC的三条边，且（a﹣c）：（a+b）：（c﹣b）=﹣2：7：1，a+b+c=24．（1）求a，b，c的值；（2）判断△ABC的形状．。

第1讲相似三角形讲义学习目标解三角形相似的判定方法学习重点：能够运用三角形相似判定方法解决数学问题及实际问题．学习难点：运用三角形相似判定方法解决数学问题的思路学习过程一、证明三角形相似例1：已知，如图，D为△ABC内一点连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD 求证：△DBE∽△ABC例2、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。

下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形EC(2)如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形。

ABCDE12AABB C CDDEE12412(3)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。

观察本题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，及△EAF与△ECA二、相似三角形证明比例式和乘积式例3、△ABC中，在AC上截取AD，在CB延长线上截取BE，使AD=BE，求证：DF∙AC=BC∙FEAB CDE FAB CDEFK例4：已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=900，M 是BC 的中点，DM ⊥BC 于点E ，交BA 的延长线于点D 。

求证：（1）MA 2=MD ∙ME ；（2）MD MEADAE =22三、相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。

例5：已知：如图E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 和AD 上的点，且31==AD AF AB EB 。

求证：∠AEF=∠FBD例6、直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，BCDE 是正方形，AE 交BC 于F ，FG ∥AC 交AB 于G ，求证：FC=FG例7、Rt △ABC 锐角C 的平分线交AB 于E ，交斜边上的高AD 于O ，过O 引BC 的平行线交AB 于F ，求证：AE=BFABCDEM12A B CD E F GA BC DF G E AB C DEF O123E图2目标训练一、填空题1、两个相似三角形的面积比S1:S2与它们对应高之比h1:h2之间的关系为．2、如图2，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果23BEBC=，那么BFFD=．233、如图，点1234A A A A，，，在射线OA上，点123B B B，，在射线OB上，且112233A B A B A B∥∥，213243A B A B A B∥∥．若212A B B△，323A B B△的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为．4. △ABC中，DE∥FG∥BC，且AD：1，则S△ADE：S四边形DFGE：S四边形FBCG=二、选择题1.已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（）(A)1：2 (B)1：4 (C)2：1 (D)4：12.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x 的值（）A．只有1个 B．可以有2个C．有2个以上但有限 D．有无数个3.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm4、如图，△ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的（）Ａ．91Ｂ．92Ｃ．31Ｄ．94（第3题图）1 2 3 45、 如图，直角梯形ABCD 中，∠BCD ＝90°，AD ∥BC ，BC ＝CD ，E 为梯形内一点，且∠BEC ＝90°，将△BEC 绕C 点旋转90°使BC 与DC 重合，得到△DCF ，连EF 交CD 于M ．已知BC ＝5，CF ＝3，则DM:MC 的值为 （ ） A.5:3 B.3:5 C.4:3 D.3:46、 如图，在Rt △ABC 内有边长分别为,,a b c 的三个正方形，则,,a b c 满足的关系式是（ ） A 、b a c =+ B 、b ac = C 、222b ac =+ D 、22b a c ==7、如图,Rt △ABAC 中,AB ⊥AC ,AB =3,AC =4,P 是BC 边上一点,作PE ⊥AB 于E,PD ⊥AC 于 D ,设BP =x ,则PD+PE =（ ） A.35x + B.45x -C.72D.21212525x x -三、解答题1、如图5，在△ABC 中，BC>AC ， 点D 在BC 上，且DC ＝AC,∠ACB 的平分线CF 交AD 于F ，点E 是AB 的中点，连结EF.（1）求证：EF ∥BC.（2）若四边形BDFE 的面积为6，求△ABD 的面积.2、 （本小题满分10分）如图：在等腰△ABC 中，CH 是底边上的高线，点P 是线段CH 上不与端点重合的任意一点，连接AP 交BC 于点E,连接BP 交AC 于点F. (1) 证明：∠CAE=∠CBF; (2) 证明：AE=BF;(3) 以线段AE ，BF 和AB 为边构成一个新的三角形ABG （点E 与点F 重合于点G ），记△ABC 和△ABG 的面积分别为S △ABC 和S △ABG ,如果存在点P,能使得S △ABC =S △ABG ,求∠C 的取之范围。

图形的相似辅导讲义【知识点拨及配套练习】形状相同的图形叫做相似图形。

（1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到；（2）全等的图形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同；（3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其他因素无关。

（2011年海宁市盐官片一模）视力表对我们来说并不陌生．如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“E”之间的变换是（ ）A 、平移B 、旋转C 、对称D 、相似在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。

（1）若四条线段a 、b 、c 、d 成比例，则记作a cb d=或::a b c d =。

（2）四条线段a 、b 、c 、d 的单位应一致（3）判断四条线段是否成比例：①将四条线段按从小到大（或从大到小）的顺序排列；②分别计算第一和第二、第三和第四线段的比；若相等则是成比例线段，否则就不是。

（4）拓展：比例式中，a c b d=或()a b c d =：：中，a 、d 叫外项，b 、c 叫内项，a 、c 叫前项，b 、d 叫后项，如果b c =，那么b 叫做a 、d 的比例中项。

把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。

下列各组线段中，能组成比例线段的是（ ）A 、3、6、7、9B 、2、5、6、8、C 、3、6、9、18D 、1、2、3、4（1）相似多边形对应角相等，对应边的比相等。

（2）相似比：相似多边形对应边的比称为相似比。

如果一个矩形对折后和原来的矩形相似，则此矩形的长边与短边之比为（ ）A 、2：1B 、4：11C 、2：1D 、1.5：11、相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。

三角形相似具有传递性。

2、相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。

第2讲 相似三角形培优讲义学习重点 ：相似三角形综合应用学习难点：应用相似三角形性质判定综合证明几何题的方法 学习过程 典型例题例1.已知：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝900，AD ⊥BC 于D ，E 是AB 上一点，AF ⊥CE 于F ， AD 交CE 于G 点，求证：∠B ＝∠CFD 证明：∵在Rt △AEC 中，AF ⊥EC ，∴AC ²=CF •CE ．【没学射影定理的话也可以根据△ACF ∽△ECA 得到AC/CE=CF/AC 来证】∵在Rt △ABC 中，AD ⊥BC ，∴AC ²=CD •CB ．∴CF •CE=CD •CB ．∴CF/CB=CD/CE ． ∵∠DCF=∠ECB ，∴△DCF ∽△ECB ．∴∠B=∠CFD ．2例3、如图，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴，轴的正半轴上，10OA -=．（1）求点A ，点B 的坐标．（2）若点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB 运动，连结AP ．设ABP △的面积为S ，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围．（3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使以点AB P ，，为顶点的三角形与AOB △相似？A B C DE FG若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）∵∴OB2∴OB= ，OA=1．点A，点B分别在x轴，y轴的正半轴上，∴A（1，0），B（0，）．（2）由（1），得AC=4，=12+()2=2，=()2+(3)2=2，∴AB2+BC2=22+（2）2=16=AC2．∴△ABC为直角三角形，∠ABC=90°．设CP=t，过P作PQ⊥CA于Q，由△CPQ∽△CBO，易得PQ= ，∴S=S△ABC-S△APC= ×4×-×4×= 2-t（0≤t＜23）．（3）P(-3,0), (-1,), (1,), (3, )例4、如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，点O是AC边上一点，连接BOxAOCB交AD于F，OE⊥BO交BC边于点E．（1）求证：△ABF∽△COE；（2）当O为AC边中点，2=ABAC时，如图2，求OEOF的值；（3）当O为AC边中点，nABAC=时，请直接写出OEOF的值．解：(1)∵AD⊥BC，∴∠DAC+∠C =90°∵∠BAC =90°∴∠BAF=∠C．∵OE⊥OB，∠BOA+∠COE =90°，∴∠BOA+ ∠ABF= 90°∴∠ABF= ∠COE∴△ABF∽△COE．(2)作OG⊥AC，交AD的延长线于G，∵AC= 2AB，O是AC边的中点，∴AB= OC= OA．由(1)有△ABF∽△COE,∴△ABF≌△COE.∴BF= OE，∠BAD+∠DAC =90°，∠DAB+ ∠ABD =90°，∴∠DAC =∠ABD．又∠BAC= ∠AOG= 90°，AB= OA，△ABC≌△OAG.∴OG =AC= 2AB，∵OG⊥OA，∴△ABC≌△OAG.∴OC =AC= 2AB，∵OG⊥OA∴AB∥OG∴△ABF∽△GOF，∴(3)．例5、如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是DC中点，点F在BC边上，且CF=1，在△AEF中作正方形A1B1C1D1，使边A1B1在AF上，其余两个顶点C1、D1分别在EF和AE上．（1）请直接写出图中两直角边之比等于1：2的三个直角三角形（不另添加字母及辅助线）；（2）求AF的长及正方形A1B1C1D1的边长；（3）在（2）的条件下，取出△AEF，将△EC1D1沿直线C1D1、△C1FB1沿直线C1B1分别向正方形A1B1C1D1内折叠，求小正方形A1B1C1D1未被两个折叠三角覆BBA ACOEDDECOF图1 图2F盖的四边形面积．解：（1）Rt△CEF、Rt△ADE、Rt△AEF、Rt△AA1D1、Rt△ED1C1、Rt△C1B1F．（写出其中三个即可）（2）AF==5过E作EM⊥AF，垂足为M，交D1C1于N，则∵AD=4，DE=EC=2，CF=1，∴EF=，AE==2，∵EM×AF=AE×EF=2S△AEF，即5EM=×2，∴EM=2，∵四边形A1B1C1D1是正方形∴D1C1∥AF∴△D1C1E∽△AFE∴设正方形A1B1C1D1的边长为x，则解得x=∴正方形A1B1C1D1的边长为．（3）∵D1C1=，EN=2-=∴S△D1EC1=××=∴=，C1B1=∴B1F=∴S△C1B1F1=××=∵∠1=∠2，∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°∴∠3=∠4∴E1点在C1F1上又∵=（）2=∴S未被覆盖四边形=--=．例6、如图，在边长为8厘米的正方形ABCD内，贴上一个边长为4厘米的正方形AEFG，正方形ABCD未被盖住的部分为多边形EBCDGF．动点P从点B出发，沿B?C?D方向以1厘米/秒速度运动，到点D停止，连接PA，PE．设点P运动x秒后，△APE与多边形EBCDGF 重叠部分的面积为y厘米2．（1）当x=5时，求y的值；（2）当x=10时，求y的值；（3）求y与x之间的函数关系式；（4）在给出的直角坐标系中画出y与x之间的函数图象．解：设AP与EF（或GF）交于点Q．（1）在正方形ABCD和正方形AEFG中，E为AB中点，∴EQ∥BP，即EQ为△ABP的中位线．当x=5时，PB=5，∴QE=PB=，∵BE=4，∴y=EQ•EB=×4=5．（2）当x=10时，如图2，PD=6，GQ=3，QF=FG-GQ=1，AE=4．∴S梯形AQFE=×4=10．S△PAE=AE•BC=×4×8=16，∴y=S△PAE-S梯形AQFE=16-10=6．（3）当0≤x≤8时，y=x；当8≤x≤12时，y=-x+16；当12≤x≤16时，y=4．（4）图象如下：分析：（1）由于图1中的重叠部分为△PQE，∴y=S△PQE=12EQ•EB．（2）图2中的重叠部分y=S△PAE-S梯形QFEA．（3）由题意知y与x之间的函数关系式写为0≤x≤8，8≤x≤12，12≤x≤16三段分别求解．（4）根据题意直接作图即可．点评：此题是一个动点问题，考查正方形的性质，中位线的性质及图形面积的求法．作为压轴题，综合了初中阶段的重点知识，能够培养同学们综合运用知识的能力．目标训练一、选择题：1、如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴的夹角为60°,且点A坐标为(- 2,0),点B在x轴上方,设AB=a,那么点B的横坐标为( D )A、2-2aB、2+2aC、-2-2aD、-2+2a分析：本题本题可先根据三角函数求出AC和BC的值，由此即可得出B点的坐标．解：∵∠BAC=60°，∠BCA=90°，AB=a，则AC=AB×cos60°=a，BC=AB×sin60°=a，∴点B的横坐标为a-2，纵坐标为a．故选D．2、如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）A．B．12C．D．分析：求得阴影部分的面积与正方形ABCD的面积的比即可求得小鸟在花圃上的概率；解：设正方形的ABCD的边长为a，则BF=BC=，AN=NM=MC=a，∴阴影部分的面积为（）2+（a）2=a2，∴小鸟在花圃上的概率为=故选C．3、如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE 并延长交DC于点F，则DF：FC=（）A．1：4 B．1：3 C．2：3 D．1：2分析：首先证明△DFE∽△BAE，然后利用对应变成比例，E为OD的中点，求出DF：AB 的值，又知AB=DC，即可得出DF：FC的值．解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，则△DFE∽△BAE，∴=，∵O为对角线的交点，∴DO=BO，又∵E为OD的中点，∴DE=DB，则DE：EB=1：3，∴DF：AB=1：3，∵DC=AB，∴DF：DC=1：3，∴DF：FC=1：2．故选D．4、如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值（）.BA. 只有1个B. 可以有2个C. 可以有3个D. 有无数个解：当直角边为6，8时，且另一个与它相似的直角三角形3，4也为直角边时，x的值为5，当8，4为对应边且为直角三角形的斜边时，x的值为7，故x的值可以为5或7.两种情况。