连续时间傅立叶变换与离散时间傅里叶变换之间的关系

第3章 离散时间傅里叶变换在信号与系统中，分析连续时间信号可以采用时域分析方法和频域分析方法，它们之间是通过连续时间的傅里叶变换来完成从时域到频域的变换，它们之间是完成了一种域的变换，从而拓宽了分析连续时间信号的途径。

与连续时间系统的分析类似，在离散时间系统中，也可以采用离散傅里叶变换，将时间域信号转换到频率域进行分析，这样，不但可以得到离散时间信号的频谱，而且也可以使离散时间信号的分析方法更具有多元化。

本章将介绍离散时间系统的频域分析方法。

3.1 非周期序列的傅里叶变换及性质3.1.1 非周期序列傅里叶变换1．定义一个离散时间非周期信号与其频谱之间的关系，可用序列的傅里叶变换来表示。

若设离散时间非周期信号为序列)(n x ，则序列)(n x 的傅里叶变换(DTFT)为：正变换： ∑∞-∞=ω-ω==n nj j en x e X n x DTFT )()()]([ (3-1-1)反变换： ⎰ππ-ωωω-ωπ==d e e X n x e X DTFT n j j j )(21)()]([1 (3-1-2)记为：)()(ω−→←j Fe X n x当然式(3-1-2)等式右端的积分区间可以是)2,0(π或其它任何一个周期。

[例3-1] 设序列)(n x 的波形如图3-1所示，求)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X 解：由定义式(3-1-1)可得ωω=--=--===ω-ω-ωω-ω-ωω-ω-ω-ω-=ω-∞-∞=ω∑∑21sin 3sin )()(11)()(25212121333656j j j j j j j j j nj n nj n j ee e e e e e e e een R e X 2．离散时间序列傅里叶变换存在的条件：图3-1离散时间序列)(n x 的傅里叶变换存在且连续的条件为)(n x 满足绝对可和。

即：∞<∑∞-∞=)(n x n （3-1-3）反之，序列的傅里叶变换存在且连续，则序列一定是绝对可和的。

傅里叶变换关系
傅里叶变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理、图像处理、声学、光学等领域。

它可以将一个连续或离散的信号分解为一系列不同频率的正弦波，并得到每个正弦波的振幅和相位信息。

傅里叶变换关系指的是连续时间信号和离散时间信号之间的傅
里叶变换公式。

对于连续时间信号x(t)，它的傅里叶变换X(ω)定义为：
X(ω) = ∫[0,∞) x(t) e^(-jωt) dt
其中，ω是频率，j是虚数单位。

这个公式表示，将连续时间信号x(t)分解为无穷多个频率为ω的正弦波后，每个正弦波的振幅为X(ω)，相位为-e^(-jωt)。

对于离散时间信号x(n)，它的傅里叶变换X(k)定义为：
X(k) = Σ[n=0,N-1] x(n) e^(-j2πnk/N)
其中，N是信号的采样点数，k是频率。

这个公式表示，将离散时间信号x(n)分解为N个频率为k的正弦波后，每个正弦波的振幅为X(k)，相位为-e^(-j2πnk/N)。

傅里叶变换关系的重要性在于，它使我们能够将信号从时域转换到频域，并对信号进行频域分析。

通过分析信号在不同频率上的响应，我们可以了解信号的特性和结构，从而更好地理解和处理信号。

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离散时间傅⾥叶变换1. 离散时间傅⾥叶变换的导出针对离散时间⾮周期序列，为了建⽴它的傅⾥叶变换表⽰，我们将采⽤与连续情况下完全类似的步骤进⾏。

考虑某⼀序列x[n]，它具有有限持续期；也就是说，对于某个整数N1和N2，在 −N1⩽以外，x[n]=0。

下图给出了这种类型的⼀个信号。

由这个⾮周期信号可以构成⼀个周期序列\tilde x[n]，使x[n]就是\tilde x[n]的⼀个周期。

随着N的增⼤，x[n]就在⼀个更长的时间间隔内与\tilde x[n]相⼀致。

⽽当N\to \infty，对任意有限时间值n⽽⾔，有\tilde x[n]=x[n]。

现在我们来考虑⼀下\tilde x[n]的傅⾥叶级数表⽰式\tag{1}\tilde x[n] = \sum_{k=(N)}a_ke^{jk{(2\pi/N)}n}\tag{2}a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=(N)} \tilde x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n}因为在-N_1 \leqslant N \leqslant N_2区间的⼀个周期上\tilde x[n]=x[n]，因此我们将上式的求和区间就选在这个周期上\tag{3}a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=-N_1}^{N_2} x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n} = \frac{1}{N} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n}现定义函数\tag{4}X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]e^{-j\omega n}可见这些系数a_k正⽐于X(e^{j\omega})的各样本值，即\tag{5}a_k = \frac{1}{N}X(e^{jk\omega_0})式中，\omega_0=2\pi/N⽤来记作在频域中的样本间隔。

傅里叶变换一、傅里叶变换的表述在数学上，对任意函数f（x），可按某一点进行展开，常见的有泰勒展开和傅里叶展开.泰勒展开为各阶次幂函数的线性组合形式,本质上自变量未改变,仍为x,而傅里叶展开则为三角函数的线性组合形式,同时将自变量由x变成ω,且由于三角函数处理比较简单,具有良好的性质,故被广泛地应用在信号分析与处理中,可将时域分析变换到频域进行分析。

信号分析与处理中常见的有CFS（连续时间傅里叶级数)、CFT （连续时间傅里叶变换）、DTFT（离散时间傅里叶变换)、DFS(离散傅里叶级数）、DFT（离散傅里叶变换)。

通过对连续非周期信号x c（t)在时域和频域进行各种处理变换,可推导出以上几种变换,同时可得出这些变换之间的关系。

以下将对上述变换进行简述，同时分析它们之间的关系。

1、CFS(连续时间傅里叶级数）在数学中，周期函数f(x）可展开为由此类比，已知连续周期信号x（t)，周期为T0，则其傅里叶级数为其中，为了简写，有其中，为了与复数形式联系，先由欧拉公式e j z=cos z+jsin z得故有令则对于D n，有n≤0时同理.故CFS图示如下：Figure 错误!未定义书签。

理论上，CFS对于周期性信号x（t）在任意处展开都可以做到无误差，只要保证n从-∞取到+∞就可以。

在实践中，只要n取值范围足够大,就可以保证在某一点附近对x(t）展开都有很高的精度。

2、CFT（连续时间傅里叶变换)连续非周期信号x（t），可以将其看成一连续周期信号的周期T0→∞。

当然，从时域上也可以反过来看成x（t)的周期延拓。

将x（t)进行CFS展开,有若令则有T0→∞使得Ω0→0，则由此,定义傅里叶变换与其逆变换如下CFT:CFT-1：x（t)是信号的时域表现形式,X（jΩ）是信号的频域表现形式，二者本质上是统一的，相互间可以转换。

CFT即将x（t）分解,并按频率顺序展开,使其成为频率的函数。

上式中，时域自变量t的单位为秒（s），频域自变量Ω的单位为弧度/秒（rad/s）.CFS中的D n与CFT中的X（jΩ）之间有如下关系即从频域上分析,D n是对X（jΩ)的采样（可将Figure 1与Figure 2进行对比）.CFT图示如下：Figure 错误!未定义书签。

傅里叶变换的变换对对于N点序列{x[n ]} 0 ≤ n < N ，它的离散傅里叶变换（DFT）为? x [k ] = N - 1 Σ n = 0 e - i 2 π –––––N n k x[n ] k = 0,1, …,N-1. 其中e 是自然对数的底数，i 是虚数单位。

通常以符号F表示这一变换，即? x = Fx 离散傅里叶变换的逆变换（IDFT）为：x[n ] = 1 ––N N - 1 Σ k = 0 e i 2 π –––––N nk ? x [k ] n = 0,1, …,N-1. 可以记为：x = F -1 ? x 实际上，DFT和IDFT变换式中和式前面乘上的归一化系数并不重要。

在上面的定义中，DFT和IDFT前的系数分别为 1 和1/N。

有时会将这两个系数都改成1/ √ ––N ，这样就有x = FFx，即DFT成为酉变换。

从连续到离散连续时间信号x(t) 以及它的连续傅里叶变换（CT）? x ( ω) 都是连续的。

由于数字系统只能处理有限长的、离散的信号，因此必须将x 和? x 都离散化，并且建立对应于连续傅里叶变换的映射。

数字系统只能处理有限长的信号，为此假设x(t)时限于[0, L]，再通过时域采样将x(t) 离散化，就可以得到有限长的离散信号。

设采样周期为T，则时域采样点数N=L/T。

x discrete (t) = x (t) N - 1 Σ n = 0 δ(t-nT) = N - 1 Σ n = 0 x (nT) δ(t-nT) 它的傅里叶变换为? x discrete ( ω) = N - 1 Σ n = 0 x (nT)F δ(t-nT) = 1 ––T N - 1 Σ n = 0 x (nT)e - i 2 π n ω T 这就是x(t)时域采样的连续傅里叶变换，也就是离散时间傅里叶变换，它在频域依然是连续的。

类似的，频域信号也应当在带限、离散化之后才能由数字系统处理。