§5-6 离散时间傅里叶变换----DTFT

《信号与系统》
Electronic Technology Teaching & Research Section
二、离散时间傅里叶变换的举例
1、单边指数序列 于是
X (e ) =
jω ∞ n = −∞
x ( n)
a>0 0
1 2 3 45
x ( n) = a n u ( n)
− jω n
a <1
n − jωቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn
π
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于是，我们得到一对变换关系：
X ( e ) = DTFT { x ( n )} =
jω − jω n x ( n ) e -------DTFT变换式 ∑ ∞
n = −∞
π
1 jω jω jωn x(n) = IDTFT{X (e )} = X ( e ) e dω -------DTFT反变换式 ∫ 2π −π
5、奇、偶、虚、实性 设
DTFT x ( n ) = x r ( n ) + jx i ( n ) ←⎯ ⎯→ X ( e jω ) = X R ( ω) + jX I ( ω)
= X ( e jω ) e jϕ ( ω )
当x(n)是实序列，即 则
x(n) = x* (n)
X ( e jω ) = X * ( e − jω )
ω
0
π
2π
ω
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DTFT x ( n ) ← ⎯ ⎯→ X ( e jω ) 例题：设
x(n)
X ( e jω )
0 1
2
3 4
n
− 2π
−π
0
π
2π
ω
则由频移性
DTFT ( − 1) n x ( n ) = e jnπ x ( n ) ←⎯ ⎯→ X ( e j ( ω − π ) )
j Im{z}
z>a
a 1
当|a|<1，单位圆被包含在收敛域中，所以
1 1 − ae − jω
Re{ z}
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2、双边指数序列 于是 其中
X ( e jω ) =
−1
x ( n) = a n
− jω N / 2
x ( n) = R4 ( n)
1
0
N ) − jω N −1 2 e 2 = X (e jω ) e jϕ( ω) = ω sin( ) 2 sin(ω
N=4
1 2 3 45
n
X ( e jω )
X (e jω ) =
sin(ω
sin( ) 2
N⎤ ⎡ ⎢ sin ω 2 ⎥ N −1 + arg⎢ ϕ (ω ) = −ω ω ⎥ 2 ⎢ sin ⎥ 2 ⎦ ⎣
即序列是时域离散的，其离散时间傅里叶变换是以2π为周期 的周期信号。注意，连续时间周期信号，其连续时间傅里叶变换是 离散的。 1 jω n 例如：单边指数序列 X ( e ) = DTFT {a u ( n )} = 1 − ae − jω 1 1 1 = = − jω − j ( ω± 2 π ) 1 − ae 1 − ae 1 − ae − jω e m j 2 π 2、线性
DTFT ⎯→ X i ( e jω ) 设 xi ( n ) ←⎯
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则
DTFT jω C x ( n ) ← ⎯ ⎯ → C X ( e ∑ ii ∑ i i ) i i
ϕ (ω)
π
2π
ω
π − 45
0
π
2π
ω
则RN(n)左移(N-1)/2后，是一个偶对称的序列, 根据时移性
x(n +
1
N −1 ) 2
− 3− 2 − 1
1 2 3
n
N ) N −1 DTFT 2 ⎯→ RN (n + ) ←⎯ ω 2 sin( ) 2 sin( ω
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sin(ω
X ( e jω )
因为，此时序列是一偶对称信号， 与连续时间傅氏变换相同，其变换应是 纯实函数。变换的波形如图所示。 离散时间信号的傅立叶变换是以2π 为周期的连续函数，其幅度函数的波形 是以π偶对称的，相位函数是奇对称的。
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0
ϕ (ω)
π −π
π
2π
X ( e jω ) e jϕ ( ω ) = X R ( ω) + jX I ( ω) = X R ( − ω) − jX I ( − ω) = X ( e − jω ) e − jϕ ( − ω )
即实序列的离散时间傅里叶变换，实部是偶对称的，虚部是奇 对称的，模是偶对称的，相位是奇对称的。 当x(n)是实偶序列，即
− jω n = x ( n ) e ∑ ∞ −1
a <1
− n − jω n n − jω n a e + a ∑ ∑ e n=0 ∞
n = −∞
n = −∞
n = −∞
− n − jω n a ∑ e =
n jω n a ∑ e n =1
∞
ae jω = 1 − ae jω
所以
ae jω 1 1− a2 X (e ) = + jω − jω = 1 − ae 1 − ae 1 − 2 a cos ω + a 2
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x(n) = x* (n) = x(− n)
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则
X ( e jω ) = X * ( e − jω ) = X ( e − jω )
X R (ω) + jX I (ω) = X R (− ω) − jX I (− ω) = X R (− ω) + jX I (− ω)
例如：双边指数序列 则
x(n) = a − nu (− n − 1) + a nu (n)
a <1
X ( e jω ) = DTFT {a − n u ( − n − 1)} + DTFT {a n u ( n )} 1− a2 ae jω 1 = = + jω − jω 1 − 2 a cos ω + a 2 1 − ae 1 − ae
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例题：设矩形窗序列RN(n)的宽度N为奇数，
x (n) = R5 (n)
1
X ( e jω )
N =5
0
1 2 3 45
n
0
4π 5
我们已知
N ) − jω N −1 DTFT 2 e 2 R N ( n ) ←⎯ ⎯→ ω sin( ) 2 sin( ω
n
∑ x ( n )e
DTFT
=
∑a e
n=0
∞
1 = 1 − ae − jω
0
x ( n)
a<0
1 2
即
1 a u ( n ) ←⎯ ⎯→ 1 − ae − jω
n
3
4
5
n
以上序列的z变换为 1 X ( z) = 1 − az −1
X ( e j ω ) = X ( z ) z = e jω =
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记为
DTFT x ( n ) ←⎯ ⎯→ X ( e jω )
物理含义： 1 DTFT是将序列x(n)分解为不同角频率ω的复指数序列ejωn的组合; 2 X(ejω)是不同分量的复振幅的相对大小，习惯上，称X(ejω)是序列 x(n)的频谱; 3 X(ejω)是连续的，并且以2π为周期
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− jω N
1− e X (e ) = 1 − e − jω
jω
(e −e )e = ( e jω / 2 − e − jω / 2 ) e − jω / 2
jω N / 2
− jω N / 2
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ω
N ) 2
0
ϕ (ω)
3π 4
π
2π
ω
− 34π
0
π
2π
ω
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三、离散时间傅里叶变换的基本性质
1、周期性
X ( e jω ) = X ( e j ( ω ± 2 π ) )
3、时移与频移性 设 则有
DTFT x ( n ) ←⎯ ⎯→ X ( e jω ) DTFT x ( n − m ) ←⎯ ⎯→ X (e jω ) e − jωm DTFT x ( n ) e jω0 n ←⎯ ⎯→ X ( e j ( ω − ω0 ) )