2
奇偶信号的FS:
(i) 偶信号的FS:
2 a n
f (t)cosn T] T 1
Fn 弘
1tdt ；
bn 2 T1 f (t)sin n 1tdt
c
n
d
n
a
n
(ii )
jbn an 2 2
偶的周期信号的 奇信号的FS:
F n ( Fn 实, 偶对称)；n
FS 系数只有直流项和余弦项。 2
T
f(t)sinn 1tdt ； 5 dn T| 11
1
Fn
F n jbn ( Fn 纯虚，奇对称)；
a
a
n 0
；
b
n
b
n
2jFn 第二章连续时间傅里叶变换
1周期信号的频谱分析 一一傅里叶级数FS
(1)
狄义赫利条件：在同一个周期 T1内，间断点的个数有限；极大值和极小值的数目有限；信号绝
为T i ,角频率为 ,2 f ,—。
Ti
(3)任何满足狄义赫利条件周期函数都可展成傅里叶级数。 ⑷三角形式的FS:
(i) 展开式：f(t) a 0 (ancon it bn sin n ,t) n 1
(ii) 系数计算公式：
(a) 直流分量： ao
f (t)dt
T 1 T 1
(b) n 次谐波余弦分量： a n - f (t) cosn 1tdt, n N
T1 T 1 2
(c) n 次谐波的正弦分量： bn — f (t)sinn 1tdt, n N
T1 T 1
(iii) 系数an 和bn 统称为三角形式的傅里叶级数系数，简称傅里叶系数。 (iv) 称f1 1/T1为信号的基波、基频； nf1为信号的n 次谐波。
(V)
合并同频率的正余弦项得：
n 和n 分别对应合并后 门次谐波的余弦项和正弦项的初相位。
(vi) 傅里叶系数之间的关系：
(5)复指数形式的FS:
(i) 展开式：f (t) Fne
jn 1t
n
(ii) 系数计算：Fn 丄 f(t)e jn 1t
dt, n Z
T] T 1
(iii) 系数之间的关系：
(iv) Fn 关于
n 是共扼对称的，即它们关于原点互为共轭。
(v)
正负n (n 非零)处的Fn 的幅度和等于Cn 或dn 的幅度。
对可积 丁 f(t)dt 。
(2)傅里叶级数：正交函数线性组合。
正交函数集可以是三角函数集
{1,cosn *,sinn 1t ：n
N}或复指数函数集
{e jn 术:n Z},函数周期
(i) 称Fn 为信号的傅里叶复数频谱，简称傅里叶级数谱或 FS 谱。
(ii) 称Fn 为信号的傅里叶复数幅度频谱，简称 FS 幅度谱。
(iii) 称n 为傅里叶复数相位频谱，简称 FS 相位谱。
(iv) 周期信号的FS 频谱仅在一些离散点角频率
n"或频率nf 1)上有值。 (v) FS 也被称为傅里叶离散谱，离散间隔为
i 2 /Ti 。
(vi) F S 谱、FS 幅度谱和相位谱图中表示相应频谱、频谱幅度和频谱相位的离散线段被称为谱
线、幅度谱线和相位谱线，分别表示 FS 频谱的值、幅度和相位 (vii) 连接谱线顶点的虚曲线称为包络线， 反映了各谐波处FS 频谱、幅度谱和相位谱随分量的 变化情况。
(viii)称cn 为单边谱，表示了信号在谐波处的实际分量大小。
(ix)称Fn 为双边谱，其负频率项在实际中是不存在的。正负频率的频谱幅度相加，才是实际 幅度。 (8)
周期矩形脉冲序列的 FS 谱的特点： (i)
谱线包络线为Sa 函数；
(ii ) 谱线包络线过零
点：
(其中
2 一 1 为谱线间隔)
n
k ，或 n 1
T1
2k
，k
Z,k 0
即当 n 1 2k /
时，a
n c
n F n 0。
(iii) 在频域，能量集中在第一个过零点之内。 (iv) 带宽 2 /或f 1/只与矩形脉冲的脉宽
有关，而与脉高和周期均无关。
(定义
0~2 /为周期矩形脉冲信号的频带宽度，简称带宽
)
(9) 周期信号的功率：P f(t) |F n |2
n
2
(10) 帕斯瓦尔方程： 丄 f 2
(t)dt
F n T
1 Tl
n
2非周期信号的频谱分析一傅里叶变换(FT)
(1)信号f (t )的傅里叶变换：
是信号f(t)的频谱密度函数或 FT 频谱，简称为频谱(函数)。 ⑵ 频谱密度函数F()的逆傅里叶变换为：f(t) 1
F( )e
j t
d ?F 1 F()
2
⑶ 称e j t 为FT 的变换核函数，e j t 为IFT 的变换核函数。 ⑷FT 与IFT 具有唯一性。如果两个函数的
FT 或IFT 相等，则这两个函数必然相等。
⑸FT 具有可逆性。如果 F f (t) F()，则必有F 1 F( ) f(t);反之亦然。
(i) 称F()为幅度频谱密度函数， 简称幅度谱，表示信号的幅度密度
随频率变化的幅频特性;
(ii)
称()Arg F()为相位频谱密度函数，简称相位谱函数，表示信号的相位随频率变化 的相频特性。
(7) FT 频谱可分解为实部和虚部：
F( ) F r ( ) jF i ()
(8) FT 存在的充分条件：时域信号
f (t)绝对可积，即
f(t)dt
注意：这不必要条件。有一些并非绝对可积的信号也有 FT 。
(9) FT 及IFT 在赫兹域的定义：
F(f) f (t)e j2 ft dt ； f (t) F(f )e j2 ft df
(10)
比较FS 和FT :
(6)信号的傅里叶变换一般为复值函数，可写成
F( ) F( )e j ()
