离散时间序列的傅里叶变换

第3章 离散时间傅里叶变换在信号与系统中，分析连续时间信号可以采用时域分析方法和频域分析方法，它们之间是通过连续时间的傅里叶变换来完成从时域到频域的变换，它们之间是完成了一种域的变换，从而拓宽了分析连续时间信号的途径。

与连续时间系统的分析类似，在离散时间系统中，也可以采用离散傅里叶变换，将时间域信号转换到频率域进行分析，这样，不但可以得到离散时间信号的频谱，而且也可以使离散时间信号的分析方法更具有多元化。

本章将介绍离散时间系统的频域分析方法。

3.1 非周期序列的傅里叶变换及性质3.1.1 非周期序列傅里叶变换1．定义一个离散时间非周期信号与其频谱之间的关系，可用序列的傅里叶变换来表示。

若设离散时间非周期信号为序列)(n x ，则序列)(n x 的傅里叶变换(DTFT)为：正变换： ∑∞-∞=ω-ω==n nj j en x e X n x DTFT )()()]([ (3-1-1)反变换： ⎰ππ-ωωω-ωπ==d e e X n x e X DTFT n j j j )(21)()]([1 (3-1-2)记为：)()(ω−→←j Fe X n x当然式(3-1-2)等式右端的积分区间可以是)2,0(π或其它任何一个周期。

[例3-1] 设序列)(n x 的波形如图3-1所示，求)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X解：由定义式(3-1-1)可得ωω=--=--===ω-ω-ωω-ω-ωω-ω-ω-ω-=ω-∞-∞=ω∑∑21sin 3sin )()(11)()(25212121333656j j j j j j j j j nj n nj n j ee e e e e e e e een R e X 2．离散时间序列傅里叶变换存在的条件：离散时间序列)(n x 的傅里叶变换存在且连续的条件为)(n x 满足绝对可和。

即：∞<∑∞-∞=)(n x n （3-1-3）反之，序列的傅里叶变换存在且连续，则序列一定是绝对可和的。

离散时间傅⾥叶变换1. 离散时间傅⾥叶变换的导出针对离散时间⾮周期序列，为了建⽴它的傅⾥叶变换表⽰，我们将采⽤与连续情况下完全类似的步骤进⾏。

考虑某⼀序列x[n]，它具有有限持续期；也就是说，对于某个整数N1和N2，在 −N1⩽以外，x[n]=0。

下图给出了这种类型的⼀个信号。

由这个⾮周期信号可以构成⼀个周期序列\tilde x[n]，使x[n]就是\tilde x[n]的⼀个周期。

随着N的增⼤，x[n]就在⼀个更长的时间间隔内与\tilde x[n]相⼀致。

⽽当N\to \infty，对任意有限时间值n⽽⾔，有\tilde x[n]=x[n]。

现在我们来考虑⼀下\tilde x[n]的傅⾥叶级数表⽰式\tag{1}\tilde x[n] = \sum_{k=(N)}a_ke^{jk{(2\pi/N)}n}\tag{2}a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=(N)} \tilde x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n}因为在-N_1 \leqslant N \leqslant N_2区间的⼀个周期上\tilde x[n]=x[n]，因此我们将上式的求和区间就选在这个周期上\tag{3}a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=-N_1}^{N_2} x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n} = \frac{1}{N} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n}现定义函数\tag{4}X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]e^{-j\omega n}可见这些系数a_k正⽐于X(e^{j\omega})的各样本值，即\tag{5}a_k = \frac{1}{N}X(e^{jk\omega_0})式中，\omega_0=2\pi/N⽤来记作在频域中的样本间隔。

n(sin(w0n))离散傅里叶变换傅里叶变换是一种信号处理中常用的数学工具，它可以将一个连续时间域的信号转换为频域的表示。

在离散信号处理中，也存在一种类似的变换，称为离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）。

离散傅里叶变换可以将一个离散的时间序列信号转换为离散频域表示，是数字信号处理中最为重要的数学工具之一。

在离散信号处理中，我们通常将离散时间域的信号表示为一个有限长的序列。

假设给定一个长度为N的离散序列x(n)，其中n表示样本点的索引，取值范围是0到N-1。

离散傅里叶变换可以将这个离散序列转换为具有相同长度N的离散频域表示X(k)，其中k表示频域的索引，取值范围也是0到N-1。

离散傅里叶变换的数学表达式如下：X(k) = Σ[n=0 to N-1] x(n) exp(-j2πnk/N)其中，exp(-j2πnk/N)是欧拉公式的应用，它表示了借助于复指数函数的旋转算子。

这个旋转算子可以将时间序列信号的每一个样本点按照不同的频率进行不同的旋转，就相当于将其转换到了频域进行表示。

求和部分则是将所有关于时间序列的样本点进行叠加，并赋予相应的旋转权重。

在上述的离散傅里叶变换表达式中，exp(-j2πnk/N)的含义非常重要。

n表示时间域的样本点索引，k表示频域的索引，N表示样本点的总数。

exp(-j2πnk/N)是一个复数，具有幅度和相位两个方面的信息。

幅度表示了频率成分在频域上的大小，相位则表示了频率成分在时间序列中的相对位置。

对于离散傅里叶变换的结果X(k)，可以分别提取出幅度谱和相位谱。

幅度谱表示了频率成分在频域上的大小，而相位谱则表示了频率成分在时间序列中的相对位置。

幅度谱和相位谱包含了对原始信号的完整描述，它们确定了频域上的频率成分和时间序列上的时序关系。

离散傅里叶变换的计算复杂度比较高，通常需要借助于快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，简称FFT）算法来进行高效的计算。

离散时间傅里叶变换和离散傅立叶变换离散时间傅里叶变换（DTFT）和离散傅立叶变换（DFT）听上去是不是有点吓人？别担心，咱们慢慢聊，绝对不会让你觉得像在读枯燥的教科书。

就好比喝茶，得先泡好，慢慢品味，才能领略到其中的滋味。

好，我们开始吧！想象一下，你在一场音乐会上，舞台上的乐队正在演奏，音乐的每一个音符就像是在时光里跳动。

离散时间傅里叶变换，就是把这些音符从时间的维度转到频率的维度。

其实简单点说，DTFT就像是你把一首歌的旋律变成了不同的音频频率。

这玩意儿可不是随便的把声音拆开，而是要根据每一个音符的特征，把它们分类整理。

就像你把零食放进不同的罐子，巧克力放一边，薯片放一边，听起来是不是很有趣？现在我们再说说离散傅立叶变换。

DFT就像是DTFT的一个小变种，简单直接。

想象一下你在一个大型派对上，音乐轰鸣，人们在热烈交谈。

DFT就好比你在这个喧闹的环境中，试图找出某个特定的声音。

它将一组离散的信号转换成频率成分。

说白了，DFT就是一种把信号“提炼”出来的方式，就像把果汁榨出来，只留下最纯粹的部分。

说到这里，可能有人会问，DTFT和DFT到底有什么不同呢？其实啊，这俩的主要区别在于信号的周期性。

DTFT就像是一个无尽的循环，把所有的信号都视为周期信号。

就像一个循环播放的音乐视频，永远在重复。

而DFT呢，是对信号进行有限采样，只有在一定的时间范围内。

这就好比在咖啡店点了一杯饮料，喝完了就没了，不会再自动续杯。

再聊聊计算方面。

DFT的计算过程相对复杂，尤其是当信号长度增加的时候，计算量也是水涨船高。

但好在现在有很多工具和算法，比如快速傅立叶变换（FFT），让这项工作变得轻松多了。

就像你找到了一个绝佳的搬家助手，让搬家变得轻松愉快。

而DTFT相对来说，虽然计算上没有那么复杂，但要处理的信号范围大，也需要不少时间。

两个方法都有各自的优缺点，就看你想做什么了。

在实际应用中，DTFT常常用于信号分析、滤波等领域，而DFT则是数字信号处理的“王牌”。

离散傅里叶变换离散傅里叶变换（DFT），是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式，将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换（DTFT）频域的采样。

在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。

即使对有限长的离散信号作DFT，也应当将其看作经过周期延拓成为周期信号再作变换。

在实际应用中通常采用快速傅里叶变换以高效计算DFT。

目录对换实例离散傅里叶变换的基本性质对换实例离散傅里叶变换的基本性质展开编辑本段对换实例傅里叶变换的变换对对于N点序列{x[n ]} 0 ≤ n < N ，它的离散傅里叶变换（DFT）为?x[k ] = N - 1Σn = 0 e - i 2 π–––––N n k x[n ] k = 0,1, …,N-1.其中e 是自然对数的底数，i 是虚数单位。

通常以符号F表示这一变换，即?x= Fx离散傅里叶变换的逆变换（IDFT）为：x[n ] = 1––N N - 1Σk = 0 e i 2 π–––––N nk ?x[k ] n = 0,1, …,N-1.可以记为：x = F -1 ?x实际上，DFT和IDFT变换式中和式前面乘上的归一化系数并不重要。

在上面的定义中，DFT和IDFT前的系数分别为1 和1/N。

有时会将这两个系数都改成1/ √––N，这样就有x = FFx，即DFT成为酉变换。

从连续到离散连续时间信号x(t) 以及它的连续傅里叶变换（CT）?x( ω)都是连续的。

由于数字系统只能处理有限长的、离散的信号，因此必须将x 和?x都离散化，并且建立对应于连续傅里叶变换的映射。

数字系统只能处理有限长的信号，为此假设x(t)时限于[0, L]，再通过时域采样将x(t) 离散化，就可以得到有限长的离散信号。

设采样周期为T，则时域采样点数N=L/T。

x discrete (t) = x (t) N - 1Σn = 0 δ(t-nT) = N - 1Σn = 0 x (nT) δ(t-nT)它的傅里叶变换为?xdiscrete ( ω) = N - 1Σn = 0 x (nT)F δ(t-nT) = 1––T N - 1Σn = 0 x (nT)e - i 2 π n ω T这就是x(t)时域采样的连续傅里叶变换，也就是离散时间傅里叶变换，它在频域依然是连续的。

离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换摘要本文主要介绍了离散时间信号的离散时间傅里叶变换及离散傅里叶变换，说明其在频域的具体表示和分析，并通过定义的方法和矩阵形式的表示来给出其具体的计算方法。

同时还介绍了与离散时间傅里叶变换（DTFT ）和离散傅里叶变换（DFT ）相关的线性卷积与圆周卷积，并讲述它们之间的联系，从而给出了用圆周卷积计算线性卷积的方法，即用离散傅里叶变换实现线性卷积。

1. 离散时间傅里叶变换1.1离散时间傅里叶变换及其逆变换离散时间傅里叶变换为离散时间序列x[n]的傅里叶变换，是以复指数序列｛｝的序列来表示的（可对应于三角函数序列），相当于傅里叶级数的展n j e ω-开，为离散时间信号和线性时不变系统提供了一种频域表示，其中是实频率ω变量。

时间序列x[n]的离散时间傅里叶变换定义如下：)(ωj e X （1.1）∑∞-∞=-=nnj j e n x e X ωω][)(通常是实变量的复数函数同时也是周期为的周期函数，并且)(ωj e X ωπ2的幅度函数和实部是的偶函数，而其相位函数和虚部是的奇函数。

)(ωj e X ωω这是由于：（1.2）)()()(tan )()()()(sin )()()(cos )()(222ωωωωωωωωωωθωθωθj re j im j im j re j j j im j j re e X e X e X e X e X e X e X e X e X =+===由于式（1.1）中的傅里叶系数x[n]可以用下面给出的傅里叶积分从中算出：)(ωj e X 1（1.3）ωπωππωd e eX n x n j j )(21][⎰-=故可以称该式为离散时间傅里叶逆变换（IDTFT ），则式（1.1）和（1.3）构成了序列x[n]的离散时间傅里叶变换对。

上述定义给出了计算DTFT 的方法，对于大多数时间序列其DTFT 可以用收敛的几何级数形式表示，例如序列x[n]=,此时其傅里叶变换可以写成简单n α的封闭形式。

离散时间傅里叶变换对介绍离散时间傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）是信号处理中常用的一种变换方法，它将时域中的离散信号转换到频域中，通过分析信号在频域上的特性，可以揭示信号中隐藏的信息。

离散时间傅里叶变换对作为傅里叶变换对的一种形式，在数字图像处理、通信系统等领域有着广泛的应用。

一级标题DFT的定义离散时间傅里叶变换对将离散时间域序列x[n]（n为整数）转换为离散频率域序列X[k]（k为整数）。

其数学定义如下：其中，N为序列的长度，k为频率序列的索引。

DFT的计算复杂度较高，通常采用快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）算法来加速计算。

DFT的性质DFT具有一些重要的性质，它们对于理解和应用DFT至关重要。

1.线性性质：DFT是线性的，即对信号的线性组合的DFT等于DFT的线性组合。

2.循环移位性质：对于输入信号x[n]，将其向右循环移位m个单位，得到新的信号x_m[n]=x[(n-m) mod N]，则x_m[n]的DFT等于x[n]的DFT乘以旋转因子的m次幂。

3.对称性质：当输入信号x[n]是实数序列时，其DFT具有共轭对称性，即X[k]=X^*[N-k]。

4.周期性质：对于周期为N的信号，其DFT为离散频率域上的周期函数，频率分辨率为1/N。

DFT的应用DFT在信号处理中有着广泛的应用，如下所示：1.频谱分析：通过计算信号的DFT，可以将信号转换到频域中，从而分析信号中各个频率成分的强度和相位，揭示信号的频域特性。

2.信号压缩：DFT可以将时域信号转换为频域信号，在频域中进行处理，然后再通过逆变换将频域信号转换为时域信号，实现信号的压缩。

3.滤波器设计：DFT可以用来设计滤波器，通过将滤波器的频率响应转换为时域响应，从而得到滤波器的系数。

4.信号恢复：通过对信号的部分采样数据进行DFT，可以恢复出信号的完整信息，实现信号的恢复。