[配套K12]2018版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.7 双曲线试题 理 北师大版

9．7 抛物线1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉______)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．2．抛物线的标准方程及几何性质自查自纠1．l焦点准线2．①⎝⎛⎭⎪⎫p2，0③⎝⎛⎭⎪⎫0，p2⑥x＝p2⑧y＝p2⑩x≤0，y∈R⑪y≥0，x∈R⑬x轴⑯e＝1 ⑰向右⑳向下抛物线y＝2x2的焦点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫18，0 B.⎝⎛⎭⎪⎫12，0C.⎝⎛⎭⎪⎫0，18D.⎝⎛⎭⎪⎫0，12解：由抛物线的标准方程为x2＝12y，可知p2＝18，所以焦点坐标是⎝⎛⎭⎪⎫0，18.故选C.(2016·安徽模拟)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x2-y2＝20的两条渐近线围成的三角形的面积等于45，则抛物线的方程为( )A．y2＝4x B．y2＝8xC．x2＝4y D．x2＝8y解：抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，故排除C，D.设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则抛物线的准线方程为x＝-p2，且双曲线的渐近线方程为y＝±5x，由面积为45可得12×p2×5p＝45，所以p＝4.故选B.(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点，已知|AB|＝42，|DE|＝25，则C的焦点到准线的距离为( )A．2 B．4 C．6 D．8解：不妨设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，点A在得点A 的纵坐标为22，代入抛物线方程得x ＝4p，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22.易知点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫-p 2，5，由于点A ，D 都在以坐标原点为圆心的圆上，所以16p 2＋8＝p 24＋5，解得p ＝4，此即为抛物线的焦点到准线的距离．故选B .(2015·陕西)若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2-y 2＝1的一个焦点，则p ＝____________．解：抛物线的准线方程为x ＝-p2，因为p >0，所以x ＝-p2必经过双曲线x 2-y 2＝1的左焦点(-2，0)，所以-p2＝-2，p ＝2 2.故填22. (2016·浙江)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是____________．解：由题意可知焦点F 的坐标为(1，0)，则准线方程为x ＝-1，设M (x M ，y M )，则x M ＋1＝10，所以x M ＝9，即M 到y 轴的距离是9.故填9.类型一 抛物线的定义及标准方程(1)已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知抛物线上一点A (m ，-3)到焦点F 的距离为5，求m 的值，并写出抛物线的方程．解：因为抛物线过点A (m ，-3)，所以抛物线的开口向下、向右或向左．①当抛物线开口向下时，设抛物线的方程为x 2＝-2py (p ＞0)，准线方程为y ＝p 2，由抛物线的定义得p2-(-3)＝5，解得p ＝4，抛物线的方程为x 2＝-8y .因为点A (m ，-3)在抛物线上，所以代入得m 2＝24，m ＝±2 6.②当抛物线开口向右或向左时，设抛物线的方程为y 2＝2ax (a ≠0)，准线方程可统一为x ＝-a2.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＋m ＝5，2am ＝9， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，m ＝92， 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝-1，m ＝-92， 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，m ＝12， 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝-9，m ＝-12. 所以当m ＝92时，抛物线的方程为y 2＝2x ；当m ＝-92时，抛物线的方程为y 2＝-2x ；当m ＝12时，抛物线的方程为y 2＝18x ；当m ＝-12时，抛物线的方程为y 2＝-18x .(2)已知直线l 1：4x -3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝-1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3C.115D.3716解：易知直线l 2：x ＝-1为抛物线y 2＝4x 的准线，由抛物线的定义知，点P 到l 2的距离等于点P 到抛物线的焦点F (1，0)的距离，因此原问题可转化为在抛物线y 2＝4x 上找一个点P 使得P到点F (1，0)和直线l 1的距离之和最小．因此最小值为F (1，0)到直线l 1：4x -3y ＋6＝0的距离，即d min ＝|4-0＋6|42＋（-3）2＝2.故选A .【点拨】(1)用数形结合的方法判断抛物线的开口方向，以便选择抛物线方程的具体形式．注意利用代高解题效率．(2)把“数”“方程”向“形”的方向转化，运用运动变化的观点和几何的方法进行研究比直接代数化更简洁．(1)F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B 是抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝6，则线段AB 的中点到y 轴的距离为____________．(2)已知点P 是抛物线y 2＝4x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是(4，a )，则当|a |＞4时，|PA |＋|PM |的最小值是____________．(3)(2016·浙江模拟)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线方程为()A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3xD ．y 2＝3x解：(1)过A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为D ，E ，由|AF |＋|BF |＝6及抛物线的定义知|AD |＋|BE |＝6，所以线段AB 的中点到准线的距离为12(|AD |＋|BE |)＝3.又抛物线的准线为x ＝-12，所以线段AB 的中点到y 轴的距离为52.故填52.(2)将x ＝4代入抛物线方程y 2＝4x ，得y ＝±4，因为|a |＞4，所以A 在抛物线的外部，如图．由题意知F (1，0)，抛物线上点P 到准线l ：x ＝-1的距离为|PN |，由定义知，|PA |＋|PM |＝|PA |＋|PN |-1＝|PA |＋|PF |-1.当A ，P ，F 三点共线时，|PA |＋|PF |取最小值，此时|PA |＋|PM |也最小，所以最小值为|AF |-1＝9＋a 2-1. 故填9＋a 2-1.(3)如图，分别过A ，B 两点作AE ，BD ⊥准线于点E ，D .因为|BC |＝2|BF |，所以由抛物线的定义可知∠BCD ＝30°，且|AE |＝|AF |＝3，所以|AC |＝6. 即F 为AC 的中点，所以p ＝12|AE |＝32，故抛物线方程为y 2＝3x .故选C .类型二 抛物线焦点弦的性质如图，AB 为过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，点A ，B 在抛物线准线上的射影分别为A 1，B 1，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．求证：(1)||AB ＝x 1＋x 2＋p ； (2)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝-p 2；(3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切； (4)1||AF ＋1||BF ＝2p.证明：(1)由抛物线的定义知||AB ＝||AF ＋||BF ＝||AA 1＋||BB 1＝x 1＋x 2＋p .(2)当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为x ＝p 2，x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝-2px 1·2px 2＝-p 2；当直线AB 的斜率存在时， 设直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -p 2，联立抛物线方程，消x 得y 2-2p ky -p 2＝0，所以y 1y 2＝-p 2，x 1x 2＝y 212p ·y 222p ＝p 24.(3)设AB 的中点为M ，M 到准线的距离为d ， 则d ＝||AA 1＋||BB 12＝||AF ＋||BF 2＝||AB 2，所以以AB 为直径的圆与准线相切． (4)当直线AB 的斜率不存在时，1|AF |＋1|BF |＝1|AA 1|＋1|BB 1|＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝1p ＋1p ＝2p；当直线AB 的斜率存在时，因为x 1＋x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1k ＋p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2k ＋p2＝y 1＋y 2k＋p ＝2p k 2＋p ，x 1x 2＝p 24，所以1||AF ＋1||BF ＝1||AA 1＋1||BB 1＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2（x 1＋x 2）＋p 24＝2pk 2＋2p p 2＋p 2k2＝2p .【点拨】本题小结了抛物线的焦点弦的有关性质，当抛物线的坐标方程形式发生变化时，性质(3)、(4)不变，性质(1)、(2)略有变化，如对于抛物线x 2＝2py ，性质(1)应为|AB |＝y 1＋y 2＋p ，性质(2)应为x 1x 2＝-p 2，y 1y 2＝p 24，其余情况可自行推导．本题与变式2分别从数与形的角度描述了抛物线的某些性质．设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，求证：(1)若点A ，B 在准线上的射影分别为M ，N ，则∠MFN ＝90°；(2)取MN 的中点R ，则∠ARB ＝90°；(3)以MN 为直径的圆必与直线AB 相切于点F ； (4)若经过点A 和抛物线顶点O 的直线交准线于点Q ，则BQ 平行于抛物线的对称轴．证明：(1)由抛物线的定义知|AM |＝|AF |，|BN |＝|BF |，所以∠AMF ＝∠AFM ，∠BNF ＝∠BFN.因为AM ∥x 轴，BN ∥x 轴， 所以∠AMF ＝∠KFM ，∠BNF ＝∠KFN .所以∠MFN ＝∠KFM ＋∠KFN ＝12(∠KFA ＋∠KFB ) ＝90°.(2)证法一：取P 为AB 的中点，连接PR ，有|PR |＝12(|MA |＋|NB |)＝12|AB |，则∠ARB ＝90°.证法二：易知R ⎝ ⎛⎭⎪⎫-p 2，y 1＋y 22，则RA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2，y 1-y 22，RB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2，y 2-y 12， 因为RA →·RB →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2-14(y 1-y 2)2＝x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24-14(y 21＋y 22)＋12y 1y 2＝0，所以∠ARB ＝90°.(3)因为∠MFN ＝90°，所以F 在以MN 为直径的圆上．因为|AF |＝|AM |，|MR |＝|FR |， 所以∠MFA ＝∠AMF ，∠MFR ＝∠FMR .所以∠AFR ＝∠MFA ＋∠MFR ＝∠AMF ＋∠FMR ＝90°，即RF ⊥AB ，F 为垂足．因此，以MN 为直径的圆必与直线AB 相切于点F .(4)易知直线AO 的方程为y ＝y 1x 1x ，则Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫-p 2，-py 12x 1.因为y 1y 2＝-p 2，所以-py 12x 1＝-p 2·y 1y 212p＝-p 2y 1＝y 2，于是Q ⎝⎛⎭⎪⎫-p 2，y 2与点N 重合．因此，BQ 平行于x 轴，即BQ 平行于抛物线的对称轴．1．抛物线的定义、标准方程和性质是解决有关抛物线问题的基础，应当熟练掌握．2．求抛物线的标准方程的常用方法是待定系数法或轨迹法．若抛物线的开口不确定，为避免多种情况分类求解的麻烦，可以设抛物线方程为y 2＝mx 或x 2＝ny (m ≠0，n ≠0)．若m ＞0，开口向右；若m ＜0，开口向左．m 有两解时，则抛物线的标准方程有两个．对n ＞0与n ＜0，有类似的讨论．3．抛物线的离心率e ＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题时，要看到焦点想准线(看到准线想焦点)，优先考虑利用抛物线的定义，将其转化为点到准线的距离，这样往往可以使问题简单化．4．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．5．抛物线的几个常用结论(1)抛物线上的点P (x 0，y 0)与焦点F 之间的线段长度(一般叫做抛物线的焦半径)记作r ＝||PF .①y 2＝2px (p ＞0)，r ＝x 0＋p2；②y 2＝-2px (p ＞0)，r ＝-x 0＋p2；③x 2＝2py (p ＞0)，r ＝y 0＋p2；④x 2＝-2py (p ＞0)，r ＝-y 0＋p2.(2)若AB 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点弦，A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，||AB ＝l .则：①x 1x 2＝p 24；②y 1y 2＝-p 2；③弦长l ＝x 1＋x 2＋p ，因x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ，故当x 1＝x 2时，l 取得最小值，最小值为2p ，此时弦AB 垂直于x 轴，所以抛物线的焦点弦中通径最短(垂直于抛物线对称轴的焦点弦叫做抛物线的通径)．1．(2016·河北唐山一模)已知抛物线的焦点F (a ，0)(a <0)，则抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝2ax B ．y 2＝4ax C ．y 2＝-2axD ．y 2＝-4ax解：由题意可令抛物线的标准方程为y 2＝-2px (p >0)，由-p2＝a 可知p ＝-2a ，则抛物线的标准方程为y 2＝4ax .故选B .2．(2016·东北三省三校一联)点M (1，1)到抛物2A.14B ．-112C.14或-112D ．-14或112解：抛物线y ＝ax 2的准线方程为y ＝-14a ，依题意有⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋14a ＝2，解得a ＝14或a ＝-112.故选C .3．(2016·西安模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线，交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |＝( )A ．10B ．8C ．6D ．4解：由2p ＝4得p ＝2，根据焦点弦公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.故选B .4．(2016·运城期末)已知抛物线x 2＝ay 与直线y ＝2x -2相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为3，则此抛物线的方程为( )A ．x 2＝32yB ．x 2＝6y C ．x 2＝-3yD ．x 2＝3y解：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，y ＝2x -2消去y 得x 2-2ax ＋2a ＝0， 所以x 1＋x 22＝2a2＝3，即a ＝3，因此所求的抛物线的方程为x 2＝3y .故选D . 5．(2016·大连模拟)设F 为抛物线y 2＝6x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点．若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA→|＋|FB →|＋|FC →|＝( )A ．4B ．6C ．9D ．12解：由题意得抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，准线方程为x ＝-32.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，因为FA→＋FB →＋FC →＝0，所以点F 是△ABC 的重心，即x 1＋x 2＋x 3＝92.由抛物线的定义可得|FA |＝x 1＋32，|FB |＝x 2＋32，|FC |＝x 3＋32， 所以|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋32＋x 2＋32＋x 3＋32＝9.故选C .6．(2016·甘肃模拟)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值等于( )A.13B.23C.34 D.43解：记抛物线y 2＝2px 的准线为l ′，如图，作AA 1⊥l ′，BB 1⊥l ′，AC ⊥BB 1，垂足分别是A 1，B 1，C .则有cos ∠ABB 1＝||BC ||AB ＝|BB 1|-|AA 1||AF |＋|BF |＝|BF |-|AF ||AF |＋|BF |，即cos60°＝|BF |-|AF ||AF |＋|BF |＝12，由此得||AF ||BF ＝13.故选A .7．(2016·贵州模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点作倾斜角为45°的直线l 交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为____________．解：由题意知，抛物线焦点的坐标为(1，0)，直线l 的方程为y ＝x -1，与抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x -1，y 2＝4x消去x 得y 2-4y -4＝0，设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝-4，所以|y 1-y 2|＝（y 1＋y 2）2-4y 1y 2＝42，则S △OAB ＝12×1×|y 1-y 2|＝2 2.故填22.8．(2016·河南模拟)已知F 1，F 2分别是双曲线3x 2-y 2＝3a 2(a >0)的左、右焦点，P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若|PF 1|＋|PF 2|＝12，则抛物线的准线方程为__________． 解：将双曲线方程化为标准方程得x 2a 2-y 23a2＝1，则其焦点坐标为(±2a ，0)，且(2a ，0)与抛物线的焦点重合，联立抛物线与双曲线方程⎩⎪⎨⎪⎧3x 2-y 2＝3a 2，y 2＝8ax ，解得x＝3a (负值舍去)，即P 点横坐标为3a ，而由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝12，|PF 1|-|PF 2|＝2a 得|PF 2|＝6-a ，则|PF 2|＝3a ＋2a ＝6-a ，解得a ＝1，所以抛物线的方程为y 2＝8x ，其准线方程为x ＝-2.故填x ＝-2.9．(2014·福建)已知曲线Γ上的点到点F (0，1)的距离比它到直线y ＝-3的距离小2，求曲线Γ的方程．解法一：设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点， 依题意，点S 到F (0，1)的距离与它到直线y ＝-1的距离相等，所以曲线Γ是以点F (0，1)为焦点，直线y ＝-1为准线的抛物线，其方程为x 2＝4y .解法二：设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点，则 |y -(-3)|-（x -0）2＋（y -1）2＝2，依题意，点S (x ，y )只能在直线y ＝-3的上方，所以y >-3.所以（x -0）2＋（y -1）2＝y ＋1，化简得曲线Γ的方程为x 2＝4y .10．(2014·全国)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |，求C 的方程．解：设Q (x 0，4)，代入y 2＝2px 得x 0＝8p，所以|PQ |＝8p ，所以|QF |＝x 0＋p 2＝8p ＋p2.又因为|QF |＝54|PQ |，所以8p ＋p 2＝54·8p ，解得p ＝2(舍去负值)．所以C 的方程为y 2＝4x .11．(2016·武汉模拟)已知抛物线E ：x 2＝4y . (1)若直线y ＝x ＋1与抛物线E 相交于P ，Q 两点，求|PQ |弦长；(2)已知△ABC 的三个顶点在抛物线E 上运动．若点A 在坐标原点，BC 边过定点N (0，2)，点M 在BC 上且AM →·BC →＝0，求点M 的轨迹方程．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝x ＋1消去y 整理得x 2-4x -4＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝-4， 所以||PQ ＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2-4x 1x 2＝2·42-4·（-4）＝8.另解：由直线过焦点得|PQ |＝y 1＋y 2＋p ＝8. (2)设点M 的坐标为(x ，y )， 则AM →＝(x ，y )，MN →＝(-x ，2-y )．因为AM →·BC →＝0，且B ，M ，N ，C 四点共线，即AM →·MN →＝0，所以-x ·x ＋y (2-y )＝0，即点M 的轨迹方程为x 2＋y 2-2y ＝0(y ≠0)．(2016·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ； (2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．解：由题知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12，b ，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x -(a ＋b )y ＋ab ＝0.(1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a -b 1＋a 2＝a -b a 2-ab ＝1a ＝-aba＝-b ＝k 2. 所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1，0)，则S △ABF ＝12|b -a |·|FD |＝12|b -a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1-12，S △PQF ＝|a -b |2. 由题设可得|b -a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1-12＝|a -b |2，所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时， 由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx -1(x ≠1)． 而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x -1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合． 所以，所求轨迹方程为y 2＝x -1.。

9．7 抛物线1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉______)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．2．抛物线的标准方程及几何性质自查自纠1．l焦点准线2．①⎝⎛⎭⎪⎫p2，0③⎝⎛⎭⎪⎫0，p2⑥x＝p2⑧y＝p2⑩x≤0，y∈R⑪y≥0，x∈R⑬x轴⑯e＝1 ⑰向右⑳向下抛物线y＝2x2的焦点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫18，0 B.⎝⎛⎭⎪⎫12，0C.⎝⎛⎭⎪⎫0，18D.⎝⎛⎭⎪⎫0，12解：由抛物线的标准方程为x2＝12y，可知p2＝18，所以焦点坐标是⎝⎛⎭⎪⎫0，18.故选C.(2016·安徽模拟)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x2-y2＝20的两条渐近线围成的三角形的面积等于45，则抛物线的方程为( )A．y2＝4x B．y2＝8xC．x2＝4y D．x2＝8y解：抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，故排除C，D.设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则抛物线的准线方程为x＝-p2，且双曲线的渐近线方程为y＝±5x，由面积为45可得12×p2×5p＝45，所以p＝4.故选B.(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点，已知|AB|＝42，|DE|＝25，则C的焦点到准线的距离为( )A．2 B．4 C．6 D．8解：不妨设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，点A在(标轴上，又知抛物线上一点，0)到直线l1＋6|＝2.故选＋（-3）2用数形结合的方法判断抛物线的开口B ．yD ．y 分别作准线的垂线，及抛物线的定义知的中点到准线的距离为又抛物线的准线为x ＝-12，所以线段.代入抛物线方程y 2＝3，所以|AC |＝6. 的中点，32，故抛物线方程为抛物线焦点弦的性质AB 为过抛物线y 2＝的弦，点在抛物线准线上的射影分别为y 2)．求证：x 2＋p ； y 2＝-p 2；为直径的圆与抛物线的准线相切；|＝2p.由抛物线的定义知||AB ＋x 2＋p .BN ∥x 轴， KFM ，∠BNF ＝∠KFM ＋∠KFN KFB ) 为AB 的中点，连接AB |，则∠ARB知R ⎝ ⎛-p 2，y 1＋⎭⎪⎫x 2＋p 2，y 2-y 12，⎭⎪⎫＋p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2-14(＋p 24-14(y 21＋y 22.90°，所以F 在以|MR |＝|FR |，AMF ，∠MFR ＝∠MFA ＋∠MFR ＝为垂足．为直径的圆必与直线的方程为y ＝y 1x 1＝-p 2y 1＝y 2，与点N 重合．因此，平行于抛物线的对称轴．．抛物线的定义、标准方程和性质是解决有关抛物线问题的基础，应当熟练掌握．求抛物线的标准方程的常用方法是待定系数法或轨迹法．若抛物线的开口不确定，为避免多种情况分类求解的麻烦，可以设抛物线方程为＞0，开口向右；若有两解时，则抛物线的标准方程有两个．对，有类似的讨论．抛物线的离心率e ＝1，体现了抛物线上的点到BF |-|AF ||＋|BF |＝12，由此得2016·贵州模拟)过抛物线y 2交抛物线于A ，的面积为____________解：由题意知，抛物线焦点的坐标为，与抛物线方程联立，设A ，B 的坐标分别为＝4，y 1y 2＝-442，则S △OAB ＝的焦点为F，＋b )y ＋ab ＝0.(1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a -b 1＋a 2＝a -b a 2-ab ＝1a ＝-aba＝-b ＝k 2. 所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1，0)，则S △ABF ＝12|b -a |·|FD |＝12|b -a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1-12，S △PQF ＝|a -b |2. 由题设可得|b -a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1-12＝|a -b |2，所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时， 由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx -1(x ≠1)． 而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x -1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合． 所以，所求轨迹方程为y 2＝x -1.。

A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．(2017·衡水模拟)已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过椭圆右焦点F 2且斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆C 相交于E ，F 两点，△EFF 1的周长为8，且椭圆C 与圆x 2＋y 2＝3相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设A 为椭圆的右顶点，直线AE ，AF 分别交直线x ＝4于点M ，N ，线段MN 的中点为P ，记直线PF 2的斜率为k ′，求证：k ·k ′为定值．【解析】 (1)因为△EFF 1的周长为8， 所以4a ＝8，所以a 2＝4，又椭圆C 与圆x 2＋y 2＝3相切，故b 2＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明 由题意知过点F 2(1，0)的直线l 的方程为y ＝k (x －1)，设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，将直线l 的方程y ＝k (x －1)代入椭圆C 的方程x 24＋y 23＝1，整理得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， Δ＝64k 4－4(4k 2＋3)(4k 2－12)＞0恒成立， 且x 1＋x 2＝8k24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.直线AE 的方程为y ＝y 1x 1－2(x －2)，令x ＝4，得点M ⎝⎛⎭⎪⎫4，2y 1x 1－2， 直线AF 的方程为y ＝y 2x 2－2(x －2)．令x ＝4，得点N ⎝⎛⎭⎪⎫4，2y 2x 2－2， 所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，y 1x 1－2＋y 2x 2－2. 所以直线PF 2的斜率为k ′＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2－04－1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1x 1－2＋y 2x 2－2＝13·y 2x 1＋x 2y 1－2（y 1＋y 2）x 1x 2－2（x 1＋x 2）＋4 ＝13·2kx 1x 2－3k （x 1＋x 2）＋4k x 1x 2－2（x 1＋x 2）＋4， 将x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3代入上式得：k ′＝13·2k ·4k 2－124k 2＋3－3k ·8k 24k 2＋3＋4k4k 2－124k 2＋3－2×8k 24k 2＋3＋4＝－1k， 所以k ·k ′为定值－1.2．(2015·四川雅安重点中学1月月考)已知椭圆C ：x 2a ＋y 2b＝1(a ＞b ＞0)的两焦点在x轴上，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形．(1)求椭圆的方程；(2)过点S ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－13的动直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q ，使得以线段AB 为直径的圆恒过点Q ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】 (1)∵椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴b ＝c ，又斜边长为2，即2c ＝2，故c ＝b ＝1，a ＝2，椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)当l 与x 轴平行时，以线段AB 为直径的圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132＝169；当l 与y 轴平行时，以线段AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1. 由⎩⎨⎧x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132＝169，x 2＋y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，故若存在定点Q ，则Q 的坐标只可能为Q (0，1)． 下面证明Q (0，1)为所求：若直线l 的斜率不存在，上述已经证明． 若直线l 的斜率存在，设直线l ：y ＝kx －13，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －13，x 2＋2y 2－2＝0，得(9＋18k 2)x 2－12kx －16＝0，Δ＝144k 2＋64(9＋18k 2)＞0，x 1＋x 2＝12k 18k 2＋9，x 1x 2＝－1618k 2＋9， QA →＝(x 1，y 1－1)，QB →＝(x 2，y 2－1)， QA →·QB →＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)＝(1＋k 2)x 1x 2－4k 3(x 1＋x 2)＋169＝(1＋k 2)·－169＋18k 2－4k 3·12k 9＋18k 2＋169＝0， ∴QA →⊥QB →，即以线段AB 为直径的圆恒过点Q (0，1)．3．(2017·河南郑州二模)已知曲线C 的方程是mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0)，且曲线C 过A ⎝⎛⎭⎪⎫24，22，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫66，33两点，O 为坐标原点． (1)求曲线C 的方程；(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)是曲线C 上的两点，且OM ⊥ON ，求证：直线MN 恒与一个定圆相切．【解析】 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧18m ＋12n ＝1，16m ＋13n ＝1，解得m ＝4，n ＝1.所以曲线C 的方程为y 2＋4x 2＝1.(2)证明 由题意得y 21＋4x 21＝1，y 22＋4x 22＝1，x 1x 2＋y 1y 2＝0， 原点O 到直线MN 的距离d ＝|OM |·|ON ||MN |＝（x 21＋y 21）（x 22＋y 22）（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝ （x 21＋y 21）（x 22＋y 22）x 21＋x 22＋y 21＋y 22 ＝ （1－3x 21）（1－3x 22）2－3（x 21＋x 22） ＝1－3（x 21＋x 22）＋9x 21x 222－3（x 21＋x 22）.由x 1x 2＋y 1y 2＝0得x 21x 22＝y 21y 22＝(1－4x 21)(1－4x 22)＝1－4(x 21＋x 22)＋16x 21x 22，所以x 21x 22＝415(x 21＋x 22)－115，所以d ＝－3（x 21＋x 22）＋125（x 21＋x 22）＋252－3（x 21＋x 22）＝25－35（x 21＋x 22）2－3（x 21＋x 22）＝55. 所以直线MN 恒与定圆x 2＋y 2＝15相切．B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)4．(2017·河南洛阳模拟)设M 是焦距为2的椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点，A ，B是椭圆E 的左、右顶点，直线MA 与MB 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2＝－12.(1)求椭圆E 的方程；(2)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上点N (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝1.若点P是直线x ＝2上任意一点，从P 向椭圆E 作切线，切点分别为C ，D ，求证：直线CD 恒过定点，并求出该定点的坐标．【解析】 (1)设A (－a ，0)，B (a ，0)，M (m ，n )，则m 2a 2＋n 2b 2＝1，即n 2＝b 2·a 2－m 2a2.由k 1k 2＝－12，即n m ＋a ·n m －a ＝－12，故n 2m 2－a 2＝－12，则a 2＝2b 2，又c 2＝a 2－b 2＝1，解得a 2＝2，b 2＝1.所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 设点P (2，t )，切点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 则两切线PC ，PD 的方程分别为x 1x2＋y 1y ＝1，x 2x2＋y 2y ＝1.由于点P 在切线PC ，PD 上，故P (2，t )满足x 1x2＋y 1y ＝1，x 2x2＋y 2y ＝1，得x 1＋y 1t ＝1，x 2＋y 2t ＝1，故C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)均满足方程x ＋ty ＝1，即x ＋ty ＝1为直线CD 的方程．令y ＝0，得x ＝1，故直线CD 过定点(1，0)．5．(2017·湖北黄冈二模)如图，已知点F 1，F 2是椭圆C 1：x 22＋y 2＝1的两个焦点，椭圆C 2：x 22＋y 2＝λ经过点F 1，F 2，点P 是椭圆C 2上异于F 1，F 2的任意一点，直线PF 1和PF 2与椭圆C 1的交点分别是A ，B 和C ，D .设AB ，CD 的斜率分别为k ，k ′.(1)求证：k ·k ′为定值； (2)求|AB |·|CD |的最大值．【解析】 (1)证明 因为点F 1，F 2是椭圆C 1的两个焦点，故F 1，F 2的坐标是F 1(－1，0)，F 2(1，0)．而点F 1，F 2是椭圆C 2上的点，将F 1，F 2的坐标代入C 2的方程得，λ＝12.设点P 的坐标是(x 0，y 0)，∵直线PF 1和PF 2的斜率分别是k ，k ′(k ≠0，k ′≠0)， ∴kk ′＝y 0x 0＋1·y 0x 0－1＝y 20x 20－1，①又点P 是椭圆C 2上的点，故x 202＋y 20＝12，②联立①②两式可得kk ′＝－12，即k ·k ′为定值．(2)直线PF 1的方程可表示为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)， 与椭圆C 1的方程联立，得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x 22＋y 2＝1， 由方程组得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝22（1＋k 2）1＋2k2.同理可求得|CD |＝2（1＋4k 2）1＋2k 2， 则|AB |·|CD |＝4（4k 4＋5k 2＋1）（1＋2k 2）2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋11k 2＋4k 2＋4≤92， 当且仅当k ＝±22时等号成立． 故|AB |·|CD |的最大值等于92.6．(2016·豫北名校4月联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆与直线2x －2y ＋6＝0相切．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点A ，B 为动直线y ＝k (x －2)(k ≠0)与椭圆C 的两个交点，问在x 轴上是否存在定点E ，使得EA →2＋EA →·AB →为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．【解析】 (1)由e ＝63，即c a ＝63， 得c ＝63a ，(*) 由已知得圆的方程为x 2＋y 2＝a 2， 又圆与直线2x －2y ＋6＝0相切， 所以a ＝622＋（－2）2＝6，代入(*)式得c ＝2， 所以b 2＝a 2－c 2＝2.所以椭圆C 的标准方程为x 26＋y 22＝1.(2)存在．由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1，y ＝k （x －2）得(1＋3k 2)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝12k 21＋3k 2，x 1x 2＝12k 2－61＋3k2，假设在x 轴上存在定点E (m ，0)，使得EA →2＋EA →·AB →＝(EA →＋AB →)·EA →＝EA →·EB →为定值， 则EA →·EB →＝(x 1－m ，y 1)·(x 2－m ，y 2) ＝(x 1－m )(x 2－m )＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2－(2k 2＋m )(x 1＋x 2)＋(4k 2＋m 2) ＝（3m 2－12m ＋10）k 2＋（m 2－6）1＋3k 2的值与k 无关， ∴3m 2－12m ＋10＝3(m 2－6)，得m ＝73.此时，EA →2＋EA →·AB →＝m 2－6＝－59，所以在x 轴上存在定点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0，使得EA →2＋EA →·AB →为定值，且定值为－59.。

第九章平面解析几何1.平面解析几何初步(1)直线与方程①在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素．②理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．④掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．⑤能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标．⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．(2)圆与方程①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系．③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．④初步了解用代数方法处理几何问题的思想．2．圆锥曲线与方程(1)掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程和简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．(2)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．(3)了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．(4)理解数形结合的思想．(5)了解圆锥曲线的简单应用．9．1 直线与方程1．平面直角坐标系中的基本公式(1)数轴上A ，B 两点的距离：数轴上点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则A ，B 两点间的距离|AB |＝____________．(2)平面直角坐标系中的基本公式：①两点间的距离公式：在平面直角坐标系中，两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)之间的距离公式为d (A ，B )＝|AB |＝__________________________．②线段的中点坐标公式：若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ ，y ＝ . 2．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴____________与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴________或________时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为__________________．(2)斜率：一条直线的倾斜角α的____________叫做这条直线的斜率，常用小写字母k 表示，即k ＝______(α≠______)．当直线平行于x 轴或者与x 轴重合时，k ______0；当直线的倾斜角为锐角时，k ______0；当直线的倾斜角为钝角时，k ______0；倾斜角为______的直线没有斜率．倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度．(3)经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝．3．直线方程的几种形式(1)截距：直线l 与x 轴交点(a ，0)的____________叫做直线l 在x 轴上的截距，直线l 与y 轴交点(0，b )的____________叫做直线l 在y 轴上的截距．注：截距____________距离(填“是”或“不是”)．(2)直线方程的五种形式：的特例．(3)过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线方程 ①若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为____________；②若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为____________；③若x 1＝x 2＝0，且y 1≠y 2时，直线即为y 轴，方程为____________；④若x 1≠x 2，且y 1＝y 2＝0，直线即为x 轴，方程为____________．自查自纠1．(1)|x 2-x 1| (2)①()x 2-x 12＋()y 2-y 12②x 1＋x 22y 1＋y 222．(1)正向 平行 重合 0°≤α<180° (2)正切值 tan α 90° ＝ > < 90°解：由图可知，α2＝α1＋90°＝1＝tan30°＝33，直线tan120°＝- 3.故填33；【点拨】①直线的倾斜角与斜率均是反映直线倾斜程度的量．倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程解法一：设直线l 的方程为x a ＋y b＝1(代入得3a ＋2b ＝1≥26ab，得，当且仅当3a ＝2b时等号成立，这时，从而所求直线l 的方程为2x 解法二：依题意知，直线l 的斜率的方程为y -2＝k (x -3)(，B (0，2-3k )，)⎝ ⎛⎭⎪⎫3-2k＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋（-9k ）＋4-k ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2（-9k ）·4-k＝12×(12＋12)＝12，当且仅当-9k ＝4-k ，即k ＝-23时，等号成立．所以△ABO 的面积的最小值为12，所求直线l 的方程为2x ＋3y -12＝0.已知△ABC 中，顶点A (4，5)，点B 在直线l ：2x -y ＋2＝0上，点C 在x 轴上，求△ABC 周长的最小值．解：设点A 关于直线l ：2x -y ＋2＝0的对称点为A 1(x 1，y 1)，点A 关于x 轴的对称点为A 2(x 2，y 2)，连接A 1A 2交l 于点B ，交x 轴于点C ，则此时△ABC 的周长取最小值，且最小值为||A 1A 2.因为A 1与A 关于直线l ：2x -y ＋2＝0对称，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1-5x 1-4×2＝-1，2×x 1＋42-y 1＋52＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝7.所以A 1(0，7)．易求得A 2(4，-5)，所以△ABC 周长的最小值为||A 1A 2＝（4-0）2＋（-5-7）2＝410.。

2018版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第7讲 抛物线试题 理 新人教版基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2016·全国Ⅱ卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝k x(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( ) A.12B.1C.32D.2解析 由题可知抛物线的焦点坐标为(1，0)， 由PF ⊥x 轴知，|PF |＝2，所以P 点的坐标为(1，2). 代入曲线y ＝k x(k >0)得k ＝2，故选D. 答案 D2.点M (5，3)到抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( ) A.y ＝12x 2B.y ＝12x 2或y ＝－36x 2C.y ＝－36x 2D.y ＝112x 2或y ＝－136x 2解析 分两类a >0，a <0可得y ＝112x 2，y ＝－136x 2.答案 D3.(2017·张掖诊断)过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝( ) A.9B.8C.7D.6解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.故选B. 答案 B4.已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点.若FP →＝4FQ →，则|QF |等于( ) A.72B.52C.3D.2解析 ∵FP →＝4FQ →，∴|FP →|＝4|FQ →|，∴|PQ ||PF |＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′， 设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4，∴|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF |＝34，∴|QQ ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3，故选C. 答案 C5.(2017·衡水金卷)已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4，0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值为( )A.12B.24C.16D.32解析 当直线的斜率不存在时，其方程为x ＝4，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y 2＝4x ，得y 1＝－4，y 2＝4，∴y 21＋y 22＝32. 当直线的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k （x －4），得ky 2－4y －16k ＝0，∴y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－16，∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k2＋32＞32，综上可知，y 21＋y 22≥32. ∴y 21＋y 22的最小值为32.故选D. 答案 D 二、填空题6.(2016·兰州诊断)抛物线y 2＝－12x 的准线与双曲线x 29－y 23＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于________.解析 由图可知弦长|AB |＝23，三角形的高为3， ∴面积为S ＝12×23×3＝3 3.答案 3 37.(2017·四川四校三联)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦长|AB |为________.解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).易得抛物线的焦点是F (1，0)，所以直线AB 的方程是y ＝x －1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －1，消去y 得x 2－6x ＋1＝0，所以x 1＋x 2＝6，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8. 答案 88.(2017·江西九校联考)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线y 2－x 2＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.解析 y 2＝2px 的准线为x ＝－p2.由于△ABF 为等边三角形.因此不妨设A ⎝⎛⎭⎪⎫－p 2，p 3，B ⎝⎛⎭⎪⎫－p 2，－p 3，又点A ，B 在双曲线y 2－x 2＝1上，从而p 23－p 24＝1，所以p ＝2 3.答案 2 3 三、解答题9.(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x －y －2＝0，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0).(1)若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； (2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )； ②求p 的取值范围.(1)解 ∵l ：x －y －2＝0，∴l 与x 轴的交点坐标为(2，0). 即抛物线的焦点为(2，0)，∴p2＝2，∴p ＝4.∴抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)①证明 设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2).则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝y 212p，x 2＝y 222p ，∴k PQ ＝y 1－y 2y 212p －y 222p＝2py 1＋y 2， 又∵P ，Q 关于l 对称.∴k PQ ＝－1，即y 1＋y 2＝－2p ， ∴y 1＋y 22＝－p ，又∵PQ 的中点一定在l 上， ∴x 1＋x 22＝y 1＋y 22＋2＝2－p .∴线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p ). ②解 ∵PQ 的中点为(2－p ，－p )，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2p ，x 1＋x 2＝y 21＋y 222p ＝4－2p ， 即⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2p ，y 21＋y 22＝8p －4p 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2p ，y 1y 2＝4p 2－4p ， 即关于y 的方程y 2＋2py ＋4p 2－4p ＝0，有两个不等实根.∴Δ＞0. 即(2p )2－4(4p 2－4p )＞0，解得0＜p ＜43，故所求p 的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43. 10.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)1|AF |＋1|BF |为定值； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. 证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(p2，0).由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2＝2p (my ＋p2)，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*)则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根， 所以y 1y 2＝－p 2.因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2，所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24.(2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2 ＝x 1＋x 2＋px 1x 2＋p 2（x 1＋x 2）＋p 24.因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝|AB |－p ，代入上式，得1|AF |＋1|BF |＝|AB |p 24＋p 2（|AB |－p ）＋p 24＝2p(定值). (3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ， 则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |. 所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.(2017·合肥模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于( )A.－4B.4C.p 2D.－p 2解析 ①若焦点弦AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝p 2，则x 1x 2＝p 24；②若焦点弦AB 不垂直于x 轴，可设AB ：y ＝k (x －p2)，联立y 2＝2px 得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋p 2k 24＝0，则x 1x 2＝p 24.又y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，∴y 21y 22＝4p 2x 1x 2＝p 4，又∵y 1y 2＜0，∴y 1y 2＝－p 2. 故y 1y 2x 1x 2＝－4. 答案 A12.(2016·四川卷)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33B.23C.22D.1解析如图，由题可知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0(y 0＞0)， 则OM →＝OF →＋FM →＝OF →＋13FP →＝OF →＋13(OP →－OF →)＝13OP →＋23OF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 206p ＋p 3，y 03，k OM ＝y 03y 06p ＋p 3＝2y 0p ＋2p y 0≤222＝22，当且仅当y 20＝2p 2等号成立.故选C. 答案 C13.(2016·湖北七校联考)已知抛物线方程为y 2＝－4x ，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，在抛物线上有一动点A ，点A 到y 轴的距离为m ，到直线l 的距离为n ，则m ＋n 的最小值为________.解析 如图，过A 作AH ⊥l ，AN 垂直于抛物线的准线，则|AH |＋|AN |＝m ＋n ＋1，连接AF ，则|AF |＋|AH |＝m ＋n ＋1，由平面几何知识，知当A ，F ，H 三点共线时，|AF |＋|AH |＝m ＋n ＋1取得最小值，最小值为F 到直线l 的距离，即65＝655，即m ＋n 的最小值为655－1.答案655－1 14.(2017·南昌模拟)已知抛物线C 1：y 2＝4x 和C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点分别为F 1，F 2，点P (－1，－1)，且F 1F 2⊥OP (O 为坐标原点). (1)求抛物线C 2的方程；(2)过点O 的直线交C 1的下半部分于点M ，交C 2的左半部分于点N ，求△PMN 面积的最小值. 解 (1)由题意知F 1(1，0)，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，∴F 1F 2→＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，p 2，∵F 1F 2⊥OP ，∴F 1F 2→·OP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，p 2·(－1，－1)＝1－p 2＝0，∴p ＝2，∴抛物线C 2的方程为x 2＝4y . (2)设过点O 的直线为y ＝kx (k ＜0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝4x 得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2，4k ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx .x 2＝4y得N (4k ，4k 2)，从而|MN |＝1＋k 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k2－4k ＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k2－4k ，又点P 到直线MN 的距离d ＝|k －1|1＋k2，进而S △PMN ＝12·|k －1|1＋k 2·1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－4k ＝2·（1－k ）（1－k 3）k 2＝2（1－k ）2（1＋k ＋k 2）k2＝2⎝⎛⎭⎪⎫k ＋1k－2⎝⎛⎭⎪⎫k ＋1k＋1， 令t ＝k ＋1k(t ≤－2)，则有S △PMN ＝2(t －2)(t ＋1)，当t ＝－2时，此时k ＝－1，S △PMN 取得最小值.即当过点O 的直线为y ＝－x 时，△PMN 面积的最小值为8.。

第九章平面解析几何1.平面解析几何初步(1)直线与方程①在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素．②理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．④掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．⑤能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标．⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．(2)圆与方程①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系．③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．④初步了解用代数方法处理几何问题的思想．2．圆锥曲线(1)了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．(2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．(4)了解曲线与方程的对应关系．(5)理解数形结合的思想．(6)了解圆锥曲线的简单应用．9．1 直线与方程1．平面直角坐标系中的基本公式 (1)数轴上A ，B 两点的距离：数轴上点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则A ，B 两点间的距离|AB |＝____________．(2)平面直角坐标系中的基本公式： ①两点间的距离公式：在平面直角坐标系中，两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)之间的距离公式为d (A ，B )＝|AB |＝_____________________．②线段的中点坐标公式：若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ ，y ＝ . 2．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴____________与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴________或________时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为__________________．(2)斜率：一条直线的倾斜角α的____________叫做这条直线的斜率，常用小写字母k 表示，即k ＝______(α≠______)．当直线平行于x 轴或者与x 轴重合时，k ______0；当直线的倾斜角为锐角时，k ______0；当直线的倾斜角为钝角时，k ______0；倾斜角为______的直线没有斜率．倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度．(3)经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝．3．直线方程的几种形式(1)截距：直线l 与x 轴交点(a ，0)的____________叫做直线l 在x 轴上的截距，直线l 与y 轴交点(0，b )的____________叫做直线l在y 轴上的截距．注：截距____________距离(填“是”或“不是”)．(2)直线方程的五种形式：________的特例．(3)过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线方程 ①若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为____________；②若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为____________；③若x 1＝x 2＝0，且y 1≠y 2时，直线即为y 轴，方程为____________；④若x 1≠x 2，且y 1＝y 2＝0，直线即为x 轴，方程为____________．自查自纠： 1．(1)|x 2－x 1| (2)①()x 2－x 12＋()y 2－y 12②x 1＋x 22y 1＋y 222．(1)正向 平行 重合 0°≤α<180°(2)正切值 tan α 90° ＝ > < 90° (3)y 2－y 1x 2－x 13．(1)横坐标a 纵坐标b 不是 (2)①y －y 0＝k (x －x 0) ②y ＝kx ＋b ③y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 ④x 1≠x 2且y 1≠y 2 ⑤x a ＋y b＝1 ⑥Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0) 点斜式 两点式(3)①x ＝x 1 ②y ＝y 1 ③x ＝0 ④y ＝0直线x tan π3＋y ＋2＝0的倾斜角α是( )A.π3 B.π6 C.2π3 D ．－π3解：由已知可得tan α＝－tanπ3＝－3，因为α∈；⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.(2)如图所示，直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1与l 2垂直，则直线l 1的斜率k 1＝________，直线l 2的斜率k 2＝________．解：由图可知，α2＝α1＋90°＝120°，则直线l 1的斜率k 1＝tan α1＝tan30°＝33，直线l 2的斜率k 2＝tan α2＝tan120°＝－ 3.故填33；－ 3. 点拨：①直线的倾斜角与斜率均是反映直线倾斜程度的量．倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，两者由公式k ＝tan α联系．②在使用过两点的直线的斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1时，注意同一直线上选取的点不同，直线的斜率不会因此而发生变化，同时还要注意两点横坐标是否相等，若相等，则直线的倾斜角为90°，斜率不存在，但并不意味着直线的方程也不存在，此时直线的方程可写为x ＝x 1.③在已知两点坐标，求倾斜角α的值或取值范围时，用tan α＝k ＝y 2－y 1x 2－x 1转化，其中倾斜角α∈时，直线l 不经过第四象限，所以k ≥0.③由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0，1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k>0，解得k>0. 因为S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·（1＋2k ）2k＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k 且k>0，即k ＝12时等号成立，所以S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.1．直线的倾斜角和斜率的关系，可借助k ＝tan α的图象(如图)来解决．这里，α∈2＋(y －3)2＝25上，从而圆(x －6)2＋(y －7)2＝25与圆2＋(y －3)2＝25有公共点，所以5－5≤[（t ＋4）－6]2＋（3－7）2≤5＋5，解得2－221≤t ≤2＋221.因此，实数t 的取值范围是． 点拨：直线与圆中三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线的距离公式及弦长公式，其核心都是将问题转化到与圆心、半径的关系上，这是解决与圆有关的综合问题的根本思路．对于多元问题，也可先确定主元，如本题以P 为主元，揭示P 在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一位置关系，这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆的位置关系．(2015·广东)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程； (3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)C 1：(x －3)2＋y 2＝4，圆心C 1(3，0)． (2)由垂径定理知，C 1M ⊥AB ，故点M 在以OC 1为直径的圆上，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94.故线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94在圆C 1：(x －3)2＋y 2＝4内部的部分，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53<x ≤3.(3)联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，y ＝±253.不妨设其交点为P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫53，253，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－253， 设直线L ：y ＝k (x －4)所过定点为P (4，0)， 则1PP k ＝－257，2PP k ＝257.当直线L 与圆C 相切时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪32k －4k k 2＋1＝32，解得k ＝±34.故当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34∪⎝⎛⎭⎪⎫－257，257∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34时，直线L 与曲线C 只有一个交点．1．注意应用圆的几何性质解题圆的图形优美，定理、性质丰富，在学此节时，重温圆的几何性质很有必要，因为使用几何性质，能简化代数运算的过程，拓展解题思路．2．圆的方程的确定由圆的标准方程和圆的一般方程，可以看出方程中都含有三个参数，因此必须具备三个独立的条件，才能确定一个圆，求圆的方程时，若能根据已知条件找出圆心和半径，则可用直接法写出圆的标准方程，否则可用待定系数法．3．求圆的方程的方法(1)几何法：即通过研究圆的性质，以及点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系，求得圆的基本量(圆心坐标和半径长)，进而求得圆的方程．确定圆心的位置的方法一般有：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在圆的任意弦的垂直平分线上；③圆心在圆的任意两条不平行的弦的中垂线的交点上；④两圆相切时，切点与两圆圆心共线．确定圆的半径的主要方法是构造直角三角形(即以弦长的一半，弦心距，半径组成的三角形)，并解此直角三角形．(2)代数法：即设出圆的方程，用“待定系数法”求解．1．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为( )A．2 B.22C．1 D. 2解：已知圆的圆心是(1，－2)，则圆心到直线x－y＝1的距离是|1＋2－1|12＋（－1）2＝22＝ 2.故选D.2．(2016·山西模拟)若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫a，－32b，则a<0，b>0.直线y＝－1ax－ba，则k＝－1a>0，－ba>0，所以直线不经过第四象限．故选D.3．(2015·北京西城期末)若坐标原点在圆(x －m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围是( )A．(－1，1) B．(－3，3)C．(－2，2) D.⎝⎛⎭⎪⎫－22，22解：因为(0，0)在(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，所以(0－m)2＋(0＋m)2<4，解得－2 <m< 2.故选C.4．(2016·安徽模拟)若圆x2＋y2－2x＋6y ＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a －b的取值范围是( )A．(－∞，4) B．(－∞，0)C．(－4，＋∞) D．(4，＋∞)解：将圆的方程变形为(x－1)2＋(y＋3)2＝10－5a，可知，圆心为(1，－3)，且10－5a>0，即a<2.因为圆关于直线y＝x＋2b对称，所以圆心在直线y＝x＋2b上，即－3＝1＋2b，解得b＝－2，所以a－b<4.故选A.5．(2016·南阳模拟)已知圆C与直线y＝x 及x－y－4＝0都相切，圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为( )A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2解：由题意知直线x－y＝0 和x－y－4＝0之间的距离为|4|2＝22，所以圆C的半径r＝2，又因为y＝－x与x－y＝0，x－y－4＝0均垂直，所以由y＝－x和x－y＝0联立得交点坐标为(0，0)，由y ＝－x 和x －y －4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，则圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.故选D.6．(2015·沈阳联考)已知点A (－2，0)，B (0，2)，实数k 是常数，M ，N 是圆x 2＋y 2＋ kx ＝0上两个不同点，P 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上的动点，若M ，N 关于直线x －y －1＝0对称，则△PAB 面积的最大值是( )A ．3－ 2B ．4C ．3＋ 2D ．6 解：依题意得圆x 2＋y 2＋kx ＝0的圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2，0位于直线x －y －1＝0上，于是有－k 2－1＝0，即k ＝－2，因此圆心坐标是(1，0)，半径是1.由题意可得|AB |＝22，直线AB 的方程是x －2＋y2＝1，即x －y ＋2＝0，圆心(1，0)到直线AB 的距离为|1－0＋2|2＝322，点P 到直线AB 的距离的最大值是322＋1，所以△PAB 面积的最大值为12×22×32＋22＝3＋ 2.故选C.7．(2016·柳州模拟)若方程x 2＋y 2－2x ＋2my ＋2m 2－6m ＋9＝0表示圆，则m 的取值范围是____________；当半径最大时，圆的标准方程为____________．解：原方程可化为(x －1)2＋(y ＋m )2＝ －m 2＋6m －8，则r 2＝－m 2＋6m －8＝－(m －2)(m －4)>0，所以2<m <4.当m ＝3时，r 最大为1，此时圆的方程为 (x －1)2＋(y ＋3)2＝1.故填(2，4)；(x －1)2＋ (y ＋3)2＝1.8．(2015·全国Ⅰ)一个圆经过椭圆x216＋y24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为__________．解：依题意，可知该圆过椭圆的三个顶点(0，－2)，(0，2)，(4，0)．设圆心为(a ，0)，其中a>0，由4－a ＝a 2＋4，解得a ＝32，所以该圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.9．已知圆经过A (2，－3)和B (－2，－5)两点，若圆心在直线x －2y －3＝0上，求圆的方程．解法一：线段AB 中垂线的方程为2x ＋y ＋ 4＝0，它与直线x －2y －3＝0的交点(－1，－2)为圆心，由两点间的距离公式得r 2＝10，所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.解法二：设方程(两种形式均可以)，由待定系数法求解．10．已知圆C 和直线x －6y －10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9，6)，求圆C 的方程．解：因为圆C 和直线x －6y －10＝0相切于点(4，－1)，所以过点(4，－1)的直径所在直线的斜率为－116＝－6，其方程为y ＋1＝－6(x －4)，即y ＝ －6x ＋23.又因为圆心在以(4，－1)，(9，6)两点为端点的线段的中垂线y －52＝－57⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132上，即5x＋7y －50＝0上，所以由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－6x ＋23，5x ＋7y －50＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5，即圆心为(3，5)，从而半径为（9－3）2＋（6－5）2＝37， 故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －5)2＝37. 11．已知定点A (4，0)，P 点是圆x 2＋y 2＝4上一动点，Q 点是AP 的中点，求Q 点的轨迹方程．解：设Q 点坐标为(x ，y )，P 点坐标为(x P ，y P )，则x ＝4＋x P 2且y ＝0＋y P2，即x P ＝2x －4，y P＝2y，又点P在圆x2＋y2＝4上，所以x2P＋y2P＝4，将x P＝2x－4，y P＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.故所求轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1.在平面直角坐标系xOy中，二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)与两坐标轴有三个交点．记过三个交点的圆为圆C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)圆C是否经过定点(与b的取值无关)？证明你的结论．解：(1)令x＝0，得抛物线与y轴的交点是(0，b)．令f(x)＝0，得x2＋2x＋b＝0，由题知b≠0，且Δ>0，解得b<1且b≠0.(2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b.令x＝0，得y2＋Ey＋b＝0，此方程有一个根为b，代入得E＝－b－1.所以圆C的轨迹方程是x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.(3)圆C过定点，证明如下：假设圆C过定点(x0，y0)(x0，y0不依赖于b)，将该点的坐标代入圆C的方程，并变形为x20＋y20＋2x0－y0＋b(1－y0)＝0.(*)为使(*)式对所有满足b<1且b≠0的b都成立，必须有1－y0＝0，结合(*)式得x20＋2x0＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝0，y0＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x0＝－2，y0＝1.经检验知，点(0，1)，(－2，1)均在圆C上．因此，圆C过定点．9．4 直线、圆的位置关系1．0 d>r 1 两组相同实数解 d <r 两组不同实数解2．d>R ＋r d ＝R ＋r R －r <d <R ＋rd ＝R －r d <R －r(2015·安徽联考)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2＝－2y ＋3，直线l的方程为ax ＋y －1＝0，则直线l 与圆C 的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．相切D ．相切或相交解：圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，直线l 过定点(0，1)，易知点(0，1)在圆C 上，所以直线l 与圆C 相切或相交．故选D.圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离 解：两圆圆心分别为O 1(－2，0)，O 2(2，1)，半径长分别为r 1＝2，r 2＝3.因为||O 1O 2＝[2－（－2）]2＋（1－0）2＝17，3－2<17< 3＋2，所以两圆相交．故选B.(2015·山东)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34解：点A (－2，－3)关于y 轴的对称点为A ′(2，－3)，因此可设反射光线所在直线的方程为y ＋ 3＝k (x －2)，化为kx －y －2k －3＝0.因为反射光线与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，所以圆心(－3，2)到直线的距离d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，即12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－43或－34.故选D.(2016·郑州模拟)已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0上的一点，直线l ：3x －4y －5＝0.若点P 到直线l 的距离为2，则符合题意的点P 有____________个．解：由题意知圆的标准方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝42，可知圆心为(－2，3)，半径为4，则圆心到直线l 的距离d ＝|－6－12－5|5＝235>4，故直线与圆相离，又d <4＋2，则满足题意的点P 有2个．故填2.(2016·山东模拟)过点M (1，2)的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程是____________．解：点M 在圆C 内，依题意，当∠ACB 最小时，圆心C (3，4)到直线l 的距离最大，此时直线l 与直线CM 垂直，又直线CM 的斜率k ＝4－23－1＝1，因此所求的直线l 的方程是y －2＝ －(x －1)，即x ＋y －3＝0.故填x ＋y －3＝0.类型一 直线与圆的位置关系(1)已知点M (x 0，y 0)为圆x 2＋y 2＝a 2(a ＞0)内异于圆心的一点，则直线x 0x ＋y 0y ＝ a 2与该圆的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．相切或相离解：因为M (x 0，y 0)为圆x 2＋y 2＝a 2(a ＞0)内异于圆心的一点，所以x 20＋y 20<a 2.又圆心到直线x 0x ＋y 0y ＝a 2的距离d ＝|a 2|x 20＋y 20＞|a 2||a |＝a ，所以直线与圆相离．故选C.(2)直线y ＝－33x ＋m 与圆x 2＋y 2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是( )A ．(3，2)B ．(3，3)C.⎝⎛⎭⎪⎫33，233D.⎝⎛⎭⎪⎫1，233解：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－33x ＋m ，x 2＋y 2＝1，得43x 2－233mx ＋m 2－1＝0，设直线与圆在第一象限内交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则有⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－233m 2－4×43×（m 2－1）>0，x 1＋x 2＝－－233m 43>0，x 1x 2＝m 2－143>0，得1<m <233.故选D.点拨：在处理直线与曲线的位置关系时，一般用二者联立所得方程组的解的情况进行判断(即代数方法)，但若曲线是圆，则属例外情形，此时我们一般用圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判断(即几何方法)，判断的具体方法详见“考点梳理”栏目．另外，近几年高考中考查直线与圆的位置关系的题目有所增多，应予以重视．(1)在同一坐标系下，直线ax ＋by ＝ab 和圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(ab ≠0，r>0)的图象可能是( )解：直线方程可化为x b ＋ya＝1，且由A ，B ，C ，D 选项知a>0，b <0，满足圆心()a ，b (a>0，b <0)的只有选项D.故选D.(2)(2014·安徽)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 解：由题意可知直线l 的斜率存在，设其为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)－1，要使直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，只需圆心(0，0)到直线l 的距离d ＝|3k －1|k 2＋1≤1，解得0≤k ≤ 3.所以直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.故选D. 类型二 圆的切线已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，点P (2，－1)，过P 点作圆C 的切线PA ，PB ，A ，B为切点．(1)求PA ，PB 所在直线的方程； (2)求切线PA 的长．解：(1)如图，易知切线PA ，PB 的斜率存在，设切线的斜率为k .由于切线过点P (2，－1)，所以可设切线的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.又因为圆心C (1，2)，半径r ＝2， 所以由点到直线的距离公式，得 2＝||k －2－2k －1k 2＋（－1）2，解得k ＝7或k ＝－1.故所求切线PA ，PB 的方程分别是x ＋y －1＝0和7x －y －15＝0.(2)连接AC ，PC ，则AC ⊥AP .在Rt △APC 中，||AC ＝2，||PC ＝（2－1）2＋（－1－2）2＝10，所以||PA ＝|PC |2－|AC |2＝10－2＝2 2.点拨：求过定点的圆的切线方程时，首先要判断定点在圆上还是在圆外，若在圆上，则该点为切点，切线仅有一条；若在圆外，切线应该有两条；若用切线的点斜式方程，不要忽略斜率不存在的情况．求切线长要利用切线的性质：过切点的半径垂直于切线．(2016·绥化模拟)已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a2＋1b2的最小值为( )A ．2B ．4C ．8D ．9解：圆C 1的标准方程为(x ＋2a )2＋y 2＝4，其圆心为(－2a ，0)，半径为2.圆C 2的标准方程为x 2＋(y －b )2＝1，其圆心为(0，b )，半径为1.因为圆C 1和圆C 2只有一条公切线，所以圆C 1与圆C 2内切，所以（－2a －0）2＋（0－b ）2＝2－1，得4a 2＋b 2＝1，所以1a 2＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2(4a 2＋b 2)＝5＋b 2a 2＋4a 2b2≥5＋2b 2a 2·4a 2b 2＝9，当且仅当b 2a2＝4a2b 2，且4a 2＋b 2＝1，即a 2＝16，b 2＝13时等号成立．所以1a 2＋1b2的最小值为9.故选D.类型三 圆的弦长(1)(2015·全国Ⅱ)过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10解：因为k AB ＝－13，k BC ＝3，所以k AB ·k BC ＝－1，即AB ⊥BC ，所以AC 为圆的直径．所以圆心为(1，－2)，半径r ＝|AC |2＝102＝5，圆的标准方程为(x－1)2＋(y ＋2)2＝25.令x ＝0，得y ＝±26－2，所以|MN |＝4 6.故选C .(2)过点(3，1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为____________．解：最短弦为过点(3，1)，且垂直于点(3，1)与圆心(2，2)的连线的弦，易知弦心距d ＝（3－2）2＋（1－2）2＝2，所以最短弦长为l ＝2r 2－d 2＝222－（2）2＝2 2.故填2 2.点拨：(1)一般来说，直线与圆相交，应首先考虑圆心到直线的距离、弦长的一半、圆的半径构成的直角三角形，由此入手求解．(2)圆O 内过点A 的最长弦即为过该点的直径，最短弦为过该点且垂直于直径的弦．(3)圆锥曲线的弦长公式为1＋k2·||x 1－x 2，运用这一公式也可解此题，但运算量较大．(1)(2014·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为____________．解：因为圆心(2，－1)到直线x ＋2y －3＝0的距离d ＝|2＋2×（－1）－3|12＋22＝35，所以直线被圆截得的弦长为l ＝222－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝2555.故填2555.(2)已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )A．10 6 B．20 6C．30 6 D．40 6解：易知过点(3，5)的最长弦AC为圆的直径，过点(3，5)的最短弦BD为垂直于直径AC的弦，所以点(3，5)为AC与BD的交点．将圆的一般方程化为标准方程(x－3)2＋(y－4)2＝25，得圆心(3，4)，半径r＝5，圆心到直线BD的距离d＝1，||BD＝2r2－d2＝252－12＝46，||AC＝2r＝10，所以四边形ABCD的面积S＝12|| AC·||BD＝20 6.故选B.类型四圆与圆的位置关系已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－ 5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，问：m 为何值时，(1)圆C1和圆C2相外切？(2)圆C1和圆C2内含？解：易知圆C1，C2的标准方程分别为C1：(x －m)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4，(1)如果圆C1与圆C2相外切，则两圆圆心距等于两圆半径之和，即有（m＋1）2＋（m＋2）2＝3＋2，解得m＝－5或2.故当m＝－5或2时，圆C1和圆C2相外切．(2)如果圆C1与圆C2内含，则只可能是较大圆C1含较小圆C2，此时两圆圆心距小于两圆半径之差，即（m＋1）2＋（m＋2）2<3－2，解得－2<m<－1.当－2<m<－1时，圆C1和圆C2内含．点拨：与判断直线与圆的位置关系一样，利用几何方法判定两圆的位置关系比用代数方法要简捷些．其具体方法是：利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d和两圆的半径R和r，再根据d与R＋r，d与R－r的大小关系来判定(详见“考点梳理”栏目)．(2014·湖南)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( ) A．21 B．19 C．9 D．－11解：圆心C1(0，0)，半径r1＝1，圆心C2(3，4)，半径r2＝25－m，因为圆C1与圆C2外切，所以32＋42＝r1＋r2＝1＋25－m，解得m＝9.故选C.类型五两圆的公共弦及圆系方程求以相交两圆C1：x2＋y2＋4x＋y＋1＝0及C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的公共弦为直径的圆的方程．解：两个圆的方程相减，得2x－y＝0，即为公共弦所在的直线方程，显然圆C2的圆心(－1，－1)不在此直线上，故可设所求圆的方程为x2＋y2＋4x＋y＋1＋λ(x2＋y2＋2x＋2y＋1)＝0(λ∈R，λ≠－1)，即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋2(2＋λ)x＋(1＋2λ)y＋(1＋λ)＝0，其圆心O的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2＋λ1＋λ，－1＋2λ2（1＋λ）.因为点O在直线2x－y＝0上，所以－2（2＋λ）1＋λ＋1＋2λ2（1＋λ）＝0，解得λ＝－72.故所求方程为－52x2－52y2－3x－6y－52＝0，即5x2＋5y2＋6x＋12y＋5＝0.点拨：具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫做圆系方程，常见的圆系方程有以下几种：①同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．其中的a，b是定值，r是参数．②半径相等的圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．其中r是定值，a，b是参数．③过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey ＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)．④过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，因此应用时注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．当λ＝－1时，圆系方程表示直线l：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.若两圆相交，则l为两圆相交弦所在直线；若两圆相切，则l为公切线．在以k为参数的圆系：x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋10k＋20＝0中，试证两个不同的圆相内切或相外切．证明：将原方程转化为(x＋k)2＋(y＋2k＋5)2＝5(k＋1)2.设两个圆的圆心分别为O1(－k1，－2k1－5)，O2(－k2，－2k2－5)，半径分别为5|k1＋1|，5|k2＋1|，由于圆心距|O1O2|＝（k2－k1）2＋4（k2－k1）2＝5|k2－k1|.当k1＞－1且k2＞－1或k1＜－1且k2＜－1时，两圆半径之差的绝对值等于5|k2－k1|，即两圆相内切．当k1＞－1且k2＜－1或k1＜－1且k2＞－1时，两圆半径之和的绝对值等于5|k2－k1|，即两圆相外切．类型六圆的综合应用(2016·黑龙江双鸭山模拟) 已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x－4y＋7＝0相切，且被y 轴截得的弦长为23，圆C的面积小于13.(1)求圆C的标准方程；(2)设过点M(0，3)的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB(O 为坐标原点)．是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．解：(1)设圆C：(x－a)2＋y2＝R2(a>0)，R为半径，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|3a＋7|32＋42＝R，a2＋3＝R，解得a＝1或a ＝138，又S＝πR2<13，所以a＝1，R＝2，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋y2＝4.(2)当斜率不存在时，直线l为x＝0，不满足题意．当斜率存在时，设直线l：y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，又l与圆C相交于不同的两点，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y＝kx＋3，（x－1）2＋y2＝4，消去y得(1＋k2)x2＋(6k－2)x＋6＝0，所以Δ＝(6k－2)2－24(1＋k2)＝12k2－24k－20>0，解得k<1－263或k>1＋263，且x1＋x2＝－6k－21＋k2，则y1＋y2＝k(x1＋x2)＋6＝2k＋61＋k2.OD →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，MC →＝(1，－3)，假设OD →∥MC →，则－3(x 1＋x 2)＝y 1＋y 2，即3×6k －21＋k 2＝2k ＋61＋k 2，解得k ＝34∉⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－263∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋263，＋∞，故假设不成立，所以不存在这样的直线l .点拨：处理圆的综合问题，首先考虑数形结合及应用圆的几何性质，在必要时联立方程，涉及的主要问题有：最值(范围)、定值(定点)、弦长(距离、面积)、平行(垂直)及轨迹等问题，注意借助向量工具．(2016·河南六市一联)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋ 3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.(1)若直线l 过点A (4，0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程；(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等．试求所有满足条件的点P 的坐标．解：(1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，圆C 1的圆心到直线l 的距离为d ，则d ＝22－（3）2＝1.由点到直线的距离公式得d ＝|－3k －1－4k |1＋k 2，即|7k ＋1|1＋k 2＝1，化简得k (24k ＋7)＝0，所以k ＝0或k ＝－724，所以直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0.(2)设点P (a ，b )满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，k ≠0，则直线l 2的方程为y －b ＝－1k(x －a )．因为圆C 1和C 2的半径相等，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即|1－b ＋k （3＋a ）|1＋k2＝|5－b ＋1k （4－a ）|1＋1k2， 整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |， 从而1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk 或1＋ 3k ＋ak －b ＝－5k －4＋a ＋bk ，即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5，因为k 的取值有无穷多个，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －2＝0，b －a ＋3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋8＝0，a ＋b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝132，这样的点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－12或⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，132.经检验，上述坐标均满足题中条件．1．在解决直线和圆的位置关系问题时，一定要联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征以简化运算；讨论直线与圆的位置关系时，一般不讨论Δ>0，Δ＝0，Δ<0，而用圆心到直线的距离d 与圆的半径r 之间的关系，即d <r ，d ＝r ，d>r ，分别确定相交、相切、相离．2．两圆相交，易只注意到d ＜R ＋r 而遗漏掉d ＞R －r .3．要特别注意利用圆的性质，如“垂直于弦的直径必平分弦”“圆的切线垂直于过切点的半径”“两圆相切时，切点与两圆圆心三点共线”等等．可以说，适时运用圆的几何性质，将明显减少代数运算量，请同学们切记．4．涉及圆的切线时，要考虑过切点与切线垂直的半径，过圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外一点M (x 0，y 0)引圆的切线，T 为切点，切线长公式为||MT ＝x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F .5．计算弦长时，要利用半径、弦心距(圆心到弦所在直线的距离)、半弦长构成的直角三角形．当然，不失一般性，圆锥曲线的弦长公式|AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2](A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为弦的两个端点)也应重视．6．已知⊙O 1：x 2＋y 2＝r 2；⊙O 2：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2； ⊙O 3：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.若点M (x 0，y 0)在圆上，则过M 的切线方程分别为x 0x ＋y 0y ＝r 2；(x －a )(x 0－a )＋(y －b )(y 0－b )＝r 2；x 0x ＋y 0y ＋D ·x 0＋x2＋E ·y 0＋y2＋F ＝0.若点M (x 0，y 0)在圆外，过点M 引圆的两条切线，切点为M 1，M 2，则切点弦(两切点的连线段)所在直线的方程分别为x 0x ＋y 0y ＝r 2；(x －a )(x 0－a )＋(y －b )(y 0－b )＝r 2；x 0x ＋y 0y ＋D ·x 0＋x 2＋E ·y 0＋y2＋F ＝0.圆x 2＋y 2＝r 2的斜率为k 的两条切线方程分别为y ＝kx ±r 1＋k 2.掌握这些结论，对解题很有帮助． 7．研究两圆的位置关系时，要灵活运用平面几何法、坐标法．两圆相交时可由两圆的方程消去二次项求得两圆公共弦所在的直线方程．8．对涉及过直线与圆、圆与圆的交点的圆的问题，可考虑利用过交点的圆系方程解决问题，它在运算上往往比较简便．1．(2015·安徽)直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( )A ．－2或12B ．2或－12C ．－2或－12D ．2或12解：圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，依题意得圆心(1，1)到直线3x ＋4y ＝b 的距离d ＝|3＋4－b |32＋42＝1，即|b －7|＝5，解得b ＝12或b ＝2.故选D .2．(2015·重庆)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210解：圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝22，圆心为C (2，1)，半径r ＝2，由直线l 是圆C 的对称轴，可知直线l 过点C ，所以2＋a ×1－1＝0，即a ＝－1，所以A (－4，－1)，于是 |AC |2＝40，所以|AB |＝|AC |2－22＝40－4＝6.故选C.3．(2016·南昌模拟)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定 解：因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2>1，从而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝1a 2＋b2<1，即直线与圆相交．故选B.4．(2016·武汉模拟)过点P (3，1)作圆 (x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解：如图，令圆心坐标为C (1，0)，易知A (1，1)．又k AB ·k PC ＝－1，且k PC ＝1－03－1＝12，则k AB ＝－2.故直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)， 即2x ＋y －3＝0.故选A.5．与直线x －y －4＝0和圆x 2＋y 2＋2x － 2y ＝0都相切的半径最小的圆的方程是( )A ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝4解：由已知圆的圆心C (－1，1)向直线x －y －4＝0作垂线，垂足为H ，当所求圆的圆心位于CH 上时，所求圆的半径最小，此时所求圆与直线和已知圆都外切．易知垂线CH 的方程为 x ＋y ＝0，分别求出垂线x ＋y ＝0与直线x －y － 4＝0的交点(2，－2)及与已知圆的交点(0，0)，所以要求的圆的圆心为(1，－1)，半径r ＝ 2.所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.故选C.6．(2016·浙江丽水模拟)若过点A (a ，a )可作圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋2a －3＝0的两条切线，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 C ．(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 D ．(－3，＋∞)解：圆的方程可化为(x －a )2＋y 2＝3－2a ，则3－2a>0，①，因为过点A (a ，a )可作圆的两条切线，所以点A 在圆外，即(a －a )2＋a 2>3－2a ，②，由①②解得a <－3或1<a <32，即a 的取值范围为(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.故选C.7．(2016·浙江六校联考)已知点M (2，1)及圆x 2＋y 2＝4，则过M 点的圆的切线方程为____________；若直线ax －y ＋4＝0与该圆相交于A ，B 两点，且|AB |＝23，则a ＝__________．解：若过M 点的圆的切线斜率不存在，则切线方程为x ＝2，经验证满足条件．若切线斜率存在，可设切线方程为y ＝k (x －2)＋1，由圆心到切线的距离等于半径得|－2k ＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝－34，故切线方程为y ＝－34(x －2)＋1，即3x ＋ 4y －10＝0.综上，过M 点的圆的切线方程为x ＝2或3x ＋4y －10＝0.由4a 2＋1＝4－（3）2得a ＝±15.故填x ＝2或3x ＋4y －10＝0；±15.8．(2016·云南名校联考)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线x －2y ＋5＝0上有一动点P ，过点P作圆O 的一条切线，切点为A ，则|PA |的最小值为____________．解：过O 作OP 垂直于直线x －2y ＋5＝0，再过P 作圆O 的切线PA ，连接OA ，易知此时|PA |的值最小．由点到直线的距离公式得|OP |＝|1×0－2×0＋5|12＋（－2）2＝5，又|OA |＝1，所以 |PA |＝|OP |2－|OA |2＝2.故填2.9．过点P (－3，－4)作直线l ，当斜率为何值时，直线l 与圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝4有公共点．解：由题意可设直线l 的方程为y ＋4＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －4＝0.要使直线l 与圆C 有公共点，只须d ≤r ，即圆心(1，－2)到直线l 的距离d ＝|k ＋2＋3k －4|1＋k 2≤2，整理得3k 2－4k ≤0，解得0≤k ≤43.10．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切； (2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0，4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切， 则有|4＋2a |a 2＋1＝2，解得a ＝－34.(2)设圆心C (0，4)到直线l 的距离为d ， 则有⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝r 2， 即(2)2＋d 2＝4，得d ＝ 2. 又d ＝|2a ＋4|a 2＋1，所以|2a ＋4|a 2＋1＝2，解得a ＝－1或a ＝－7.所以直线l 的方程为x －y ＋2＝0或7x －y ＋14＝0.(2014·全国卷Ⅰ)已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，圆心C (0，4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝ (2－x ，2－y )．由题设知CM →·MP →＝0，有x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0， 变形得(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2. (2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故点O 在线段PM 的垂直平分线上．又点P 在圆N 上，所以ON ⊥PM . 因为ON 的斜率为3， 所以直线l 的斜率为－13.所以直线l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝22，点O 到直线l 的距离d ＝83⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋12＝4105，|PM |＝2|OP |2－d 2＝4105， 所以S △POM ＝12×|PM |×d ＝12×4105×4105＝165. 所以△POM 的面积为165.1．(2016·四川模拟)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋ 1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2016·锦州月考)过点(-1，3)且平行于直线x -2y ＋3＝0的直线方程为( )A ．x -2y ＋7＝0B ．2x ＋y -1＝0C ．x -2y -5＝0D ．2x ＋y -5＝0解：设与直线x -2y ＋3＝0平行的直线方程为x -2y ＋C ＝0(C ≠3)，过点(-1，3)，则-1-6＋C ＝0，得C ＝7，故所求直线方程为x -2y ＋7＝0.另解：利用点斜式．故选A .2．(2016·济南模拟)点P (4，-2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x -2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x -2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y -2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y -1)2＝1解：设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，则x 2＋y 20＝4，连线的中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0-2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x -4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4得(x -2)2＋(y ＋1)2＝1.故选A .3．(2016·泉州模拟)若抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解：由2p ＝1得p 2＝14，且|AF |＝x 0＋14＝54x 0，解得x 0＝1.故选A .4．(2016·南阳模拟)设F 1，F 2是椭圆E 的两个焦点，P 为椭圆E 上的点，以PF 1为直径的圆经过F 2，若tan ∠PF 1F 2＝2515，则椭圆E 的离心率为( )A.56B.55C.54D.53解：由题意可知∠PF 2F 1＝90°，且F 1F 2＝2c ，因为tan ∠PF 1F 2＝2515，所以PF 2＝2515×2c ，由勾股定理可得PF 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2515×2c 2＋（2c ）2＝2c ×7515，依据椭圆的定义可得PF 1＋PF 2＝2a ，即2a ＝9515×2c ，即a ＝355c ，故离心率e ＝53.或由tan ∠PF 1F 2＝b 2a 2c求解．故选D .5．(2016·四川模拟)已知焦点在y 轴上的双曲线C 的中心是原点O ，离心率等于52，以双曲线C 的一个焦点为圆心，1为半径的圆与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为( )A.x 24-y 2＝1 B. y 24-x 2＝1C ．y 2-x 24＝1D. y 216-x 24＝1 解：令双曲线C 的方程为y 2a 2-x 2b2＝1(a >0，b >0)，由以焦点为圆心且半径为1的圆与双曲线的渐近线相切，且焦点到渐近线y ＝±a b x 的距离为b ，得b ＝1.由c a＝52，则令c ＝5t ，a ＝2t ，t >0，故b ＝c 2-a 2＝t ＝1，所以a ＝2.故选B .6．(2016·济南模拟)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线与双曲线x 2-y 23＝1的一条渐近线平行，并交抛物线于A ，B 两点，若|AF |>|BF |，且|AF |＝2，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝2x B ．y 2＝3x C ．y 2＝4xD ．y 2＝x解法一：抛物线y 2＝2px 的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程为x ＝-p2，且双曲线x 2-y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x .可设直线AB 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x -p 2，令A (x 0，y 0)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0>p 2，则|AF |＝x 0＋p 2＝2，即x 0＝2-p 2，由x 0>p 2可得0<p <2，且y 0＝3(2-p )，由3(2-p )2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫2-p 2得p＝1或p ＝3(舍去)，所以抛物线的方程为y 2＝2x .解法二：设A (x 0，y 0)．由题意易知x 0>p2，因为直线AB 与双曲线x 2-y 23＝1的一条渐近线平行，可令k AB＝3，则直线AB 的倾斜角为60°，所以|AF |·cos60°＋p ＝2，所以p ＝1，则抛物线的方程为y 2＝2x .故选A .7．(2016·甘肃模拟)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF |＝5，则双曲线的离心率为( )A. 5B. 3C.233D.2解：易知抛物线y 2＝8x 的焦点F 的坐标为(2，0)，则c ＝2，令P (m ，n )在第一象限，由抛物线的定义知|PF |＝m ＋p 2＝m ＋2＝5，所以m ＝3，则点P 的坐标为(3，26)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝4，9a 2-24b2＝1，解得a 2＝1，b 2＝3，所以双曲线的离心率e ＝c a＝2.故选D .8．(2016·福州模拟)直线l 与抛物线C ：y 2＝2x交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若直线OA ，OB 的斜率k 1，k 2满足k 1k 2＝23，则l 的横截距( )A ．为定值-3B ．为定值3C ．为定值-1D ．不是定值解：令直线l 的方程为x ＝ky ＋b ，代入y 2＝2x 得y 2-2ky -2b ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2k ，y 1y 2＝-2b .因为k 1k 2＝23，所以y 1y 2x 1x 2＝23，即y 1y 2（ky 1＋b ）（ky 2＋b ）＝y 1y 2k 2y 1y 2＋kb （y 1＋y 2）＋b 2＝-2b，即b ＝-3.所以直线l 的方程为x ＝ky -3，当y ＝0时，x ＝-3，即l 的横截距为-3.故选A .9．(2016·广西模拟)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫72p ，0，AF 与BC 相交于点E ，若|CF |＝2|AF |，且△ACE 的面积为32，则p 的值为( )A. 6B.2C.3D. 2解：依题意可知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，不妨令点A 在第一象限，设点A (x 0，y 0)，因为|CF |＝3p ，所以由|CF |＝2|AF |可得|AF |＝3p2，再由抛物线的定义可得|AF |＝|AB |＝3p 2，即x 0＋p 2＝3p2，所以x 0＝p ，y 0＝2p ，即A (p ，2p )，所以△AFC 的面积为12×3p ×2p ＝322p 2，由相似比可知△ACE 的面积为13×322p 2＝22p 2＝32，所以p 2＝6，即p ＝ 6.故选A .10．(2016·武汉模拟)设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2-y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使得(OP →＋OF 2→)·F 2P →＝0，其中O 为坐标原点，且|PF 1→|＝2|PF 2→|，则该双曲线的离心率为( )A.233B.3＋1C.52D. 5 解：由(OP →＋OF 2→)·F 2P →＝(OP →＋OF 2→)·(OP →-OF 2→)＝0⇒OP ＝OF 2＝c .由PF 1-PF 2＝2a 及PF 1＝2PF 2⇒PF 1＝4a ，PF 2＝2a .由OF 2＝OF 1＝OP ＝c ，得∠F 1PF 2＝90°，所以(4a )2＋(2a )2＝(2c )2，得e ＝ 5.故选D .11．(2015·兰州模拟)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝2px (p >0)有一个共同的焦点F ，点M是双曲线与抛物线的一个交点，若|MF |＝54p ，则此双曲线的离心率等于( )A ．2B ．3C. 2D. 3解：因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，所以c ＝p2>a ，①所以双曲线方程为x 2a 2-y2p 24-a2＝1.因为点M 是双曲线与抛物线的一个交点，且|MF |＝54p ， 所以x M ＋p 2＝54p ，x M ＝5p 4-p 2＝3p4，代入抛物线y 2＝2px 得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3p 4，±6p 2，代入双曲线方程得9p 4-148p 2a 2＋64a 4＝0，解得p ＝4a 或p ＝23a ，因为p >2a ，所以p ＝4a .②联立①②两式得c ＝2a ，即e ＝2.故选A . 12．(2016·枣庄模拟)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若|AB |∶|BF 2|∶|AF 2|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为( )A.13B.15C ．2D. 3解：因为|AB |∶|BF 2|∶|AF 2|＝3∶4∶5，不妨设|AB |＝3t ，|BF 2|＝4t ，|AF 2|＝5t ，因为|AB |2＋|BF 2|2＝|AF 2|2，所以∠ABF 2＝90°，又由双曲线的定义得|BF 1|-|BF 2|＝2a ，|AF 2|-|AF 1|＝2a ，所以|AF 1|＋|AB |-|BF 2|＝2a ，即|AF 1|＝2a ＋t ，又5t -(2a ＋t )＝2a ，即t ＝a .所以|BF 1|＝3t ＋(2a ＋t )＝6a ，|BF 2|＝4a ，且|F 1F 2|＝2c ，在Rt △BF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|BF 1|2＋|BF 2|2，即(2c )2＝(6a )2＋(4a )2，所以e ＝c a＝13.故选A .二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2016·重庆模拟)双曲线y 22-x 24＝1的离心率为__________．解：由双曲线的标准方程知a 2＝2，b 2＝4，则c2＝a 2＋b 2＝6，所以e ＝c a＝62＝ 3.故填3.14．(2015·重庆)若点P (1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为____________．解：由题意，得k OP ＝2-01-0＝2，则该圆在点P 处的切线的斜率为-12，所求切线方程为y -2＝-12(x -1)，即x ＋2y -5＝0.故填x ＋2y -5＝0.15．(2016·云南模拟)设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果AF 的倾斜角为2π3，则|PF |＝____________．解法一：设l 与x 轴交于点Q ，由条件易知△PFA 为等边三角形，∠QAF ＝30°，所以|PF |＝|AF |＝2|QF |＝8.解法二：因为抛物线方程为y 2＝8x ，所以焦点F (2，0)，准线l 的方程为x ＝-2.又因为直线AF 的倾斜角为2π3，所以直线AF 的方程为y ＝-3(x -2)，由⎩⎨⎧x ＝-2，y ＝-3（x -2）可得A 点坐标为(-2，43)，即P 点纵坐标为43，代入抛物线方程得P 点坐标为(6，43)，所以|PF |＝|PA |＝6-(-2)＝8.故填8.16．(2016·金华模拟)已知双曲线x 2a 2-y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，等边三角形PF 1F 2与双曲线交于M ，N 两点，若M ，N 分别为线段PF 1，PF 2的中点，则该双曲线的离心率为_____________．解：由题意得MF 1＝c ，MF 2＝3c ⇒2a ＝MF 2-MF 1＝(3-1)c ⇒ca＝23-1＝3＋1，所以双曲线的离心率为3＋1.故填3＋1.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)(2016·集美模拟)已知双曲线与椭圆x 249＋y 224＝1共焦点，且以y ＝±43x 为渐近线，求双曲线方程．解：由椭圆x 249＋y 224＝1⇒c ＝5.设双曲线方程为x 2a 2-y 2b2＝1(a >0，b >0)，由渐近线为y ＝±43x ，得b a ＝43，且a 2＋b 2＝25，则a 2＝9，b 2＝16.故所求双曲线方程为x 29-y216＝1. 18．(12分)(2016·深圳模拟)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，P 为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点．(1)当|PF |＝2时，求点P 的坐标；(2)求点P 到直线y ＝x -10的距离的最小值．解：(1)依题意可设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 24(a >0)，易知F (0，1)，因为|PF |＝2，结合抛物线的定义得a 2＋1＝2，即a ＝2，所以点P 的坐标为(2，1)．(2)设点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 24(a >0)， 则点P 到直线y ＝x -10的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a -a 24-102＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 24-a ＋102.因为a 24-a ＋10＝14(a -2)2＋9，所以当a ＝2时，a 24-a ＋10取得最小值9，故点P 到直线y ＝x -10的距离的最小值d min ＝92＝922. 19．(12分)(2016·石家庄模拟)已知：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，过点A (-a ，0)，B (0，b )的直线倾斜角为π6，原点到该直线的距离为32. (1)求椭圆的方程；(2)斜率大于零的直线过D (-1，0)与椭圆交于E ，F 两点，若ED →＝2DF →，求直线EF 的方程．解：(1)由题意知ba ＝33，12ab ＝12×32×a 2＋b 2，得a ＝3，b ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设直线EF 的方程为x ＝my -1(m >0)，代入x 23＋y 2＝1，得(m 2＋3)y 2-2my -2＝0，设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，由ED →＝2DF →得y 1＝-2y 2. 由y 1＋y 2＝-y 2＝2m m 2＋3，y 1y 2＝-2y 22＝-2m 2＋3可得⎝ ⎛⎭⎪⎫-2m m 2＋32＝1m 2＋3，所以m ＝1或m ＝-1(舍去)， 所以直线EF 的方程为x ＝y -1，即x -y ＋1＝0.20．(12分)(2016·南京模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，椭圆C 上任意一点到椭圆左右两个焦点的距离之和为4.(1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆C 与x 轴负半轴交于点A ，直线过定点(-1，0)交椭圆于M ，N 两点，求△AMN 面积的最大值．解：(1)由题意可知a ＝2b ， 且2a ＝4，所以a ＝2，b ＝1， 则椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)易知A 点坐标为(-2，0)，直线MN 过定点D (-1，0)，即可令直线MN 的方程为x ＝my -1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my -1，x 24＋y 2＝1消去x 得(m 2＋4)y 2-2my -3＝0， 令M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2mm 2＋4， y 1y 2＝-3m 2＋4， 所以S △AMN ＝12|AD ||y 1-y 2|＝12（y 1＋y 2）2-4y 1y 2＝124m 2（m 2＋4）2＋12m 2＋4＝2m 2＋3（m 2＋4）2， 令t ＝m 2＋3，则t ≥3， 所以S △AMN ＝2t（t ＋1）2＝21t ＋1t＋2≤213＋13＋2＝32， 所以当且仅当t ＝m 2＋3＝3，即m ＝0时，△AMN 的面积取最大值，最大值为32. 21．(12分)(2016·黄冈模拟)已知椭圆C ：x 2a2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的左顶点B 且互相垂直的两直线l 1，l 2分别交椭圆C 于点M ，N (点M ，N 均异于点B )，试问直线MN 是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，说明理由．解：(1)依题意有e ＝ca ＝32，a 2-b 2＝c 2， 点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆C 上，可得1a 2＋34b 2＝1， 解方程得a ＝2，b ＝1，c ＝3， 所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)直线MN 过定点，且定点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫-65，0. 证明：椭圆的左顶点B 的坐标为(-2，0)， 令M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，由题意可知直线BM 的斜率存在且不为0. 设直线BM 的方程为y ＝kx ＋2k ， 则直线BN 的方程为y ＝-1k(x ＋2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2k ，x 2＋4y 2＝4得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2-4＝0，由-2x M ＝16k 2-41＋4k 2，解得x M ＝2-8k21＋4k2，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2-8k 21＋4k 2，4k 1＋4k 2， 同理将k 换为-1k ，可得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2-84＋k 2，-4k 4＋k 2.所以直线MN 的斜率k MN ＝y M -y N x M -x N ＝5k4（1-k 2）， 所以直线MN 的方程为y -4k 1＋4k 2＝5k 4（1-k 2）⎝ ⎛⎭⎪⎫x -2-8k 21＋4k 2，即y ＝5k 4（1-k 2）x ＋3k2（1-k 2）， 即y ＝5k 4（1-k 2）⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋65，所以直线MN 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫-65，0. 22．(12分)(2016·南通模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(-2，0)，F 2(2，0)，以椭圆短轴为直径的圆经过点M (1，0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点M 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，设点N (3，2)，记直线AN ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，问k 1＋k 2是否为定值？并证明你的结论．解：(1)由已知得c ＝2，a 2-b 2＝2，且b ＝|OM |＝1，解得a ＝3，则椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)①当直线l 的斜率不存在时，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x 23＋y 2＝1得x ＝1，y ＝±63，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，63，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，-63，则k 1＋k 2＝2-632＋2＋632＝2.②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x -1)，将y ＝k (x -1)代入x 23＋y 2＝1，化简整理得(3k 2＋1)x 2-6k 2x ＋3k 2-3＝0，依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6k 23k 2＋1，x 1x 2＝3k 2-33k 2＋1，又y 1＝k (x 1-1)，y 2＝k (x 2-1)， 所以k 1＋k 2＝2-y 13-x 1＋2-y 23-x 2＝（2-y 1）（3-x 2）＋（2-y 2）（3-x 1）（3-x 1）（3-x 2）＝[2-k （x 1-1）]（3-x 2）＋[2-k （x 2-1）]（3-x 1）9-3（x 1＋x 2）＋x 1x 2＝12-2（x 1＋x 2）＋k [2x 1x 2-4（x 1＋x 2）＋6]9-3（x 1＋x 2）＋x 1x 2＝12-2×6k 23k 2＋1＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×3k 2-33k 2＋1-4×6k 23k 2＋1＋69-3×6k 23k 2＋1＋3k 2-33k 2＋1＝ ＝2.综上得k 1＋k 2为定值2.。

第九章 平面解析几何 9.7 抛物线教师用书 理 苏教版1.抛物线的概念平面内到一个定点F 和一条定直线l (F 不在l 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程与几何性质【知识拓展】1.抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离PF ＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径.2.y 2＝ax 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4.3.设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦， 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长AB ＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角). (3)以弦AB 为直径的圆与准线相切.(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( × ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是(a4，0)，准线方程是x ＝－a4.( × )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( × )(4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F (p 2，0)的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长AB ＝x 1＋x 2＋p .( √ )1.(2016·四川改编)抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是______. 答案 (1,0)解析 ∵对于抛物线y 2＝ax ，其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，∴对于y 2＝4x ，焦点坐标为(1,0).2.过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则PQ ＝________. 答案 8解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，PQ ＝PF ＋QF ＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.3.(2016·苏州模拟)设坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA →·OB →＝________. 答案 －34解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由题意知过焦点的直线斜率不为0，设其直线方程为x ＝ky ＋12，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋12，y 2＝2x ，得y 2－2ky －1＝0，y 1y 2＝－1，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝y 1y 224＋y 1y 2＝14－1＝－34.4.(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________________. 答案 y 2＝－8x 或x 2＝－y解析 设抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)或x 2＝2py (p ≠0).将P (－2，－4)代入，分别得方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y .5.(2017·南京月考)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为________. 答案 2解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2， 圆x 2＋y 2－6x －7＝0，即(x －3)2＋y 2＝16， 则圆心为(3,0)，半径为4.又因为抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切， 所以3＋p2＝4，解得p ＝2.题型一 抛物线的定义及应用例1 设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，若B (3,2)，则PB ＋PF 的最小值为________. 答案 4解析 如图，过点B 作BQ 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1，则P 1Q ＝P 1F .则有PB ＋PF ≥P 1B ＋P 1Q ＝BQ ＝4. 即PB ＋PF 的最小值为4.引申探究1.若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求PB＋PF的最小值.解由题意可知点(3,4)在抛物线的外部.因为PB＋PF的最小值即为B，F两点间的距离，所以PB＋PF≥BF＝42＋22＝16＋4＝25，即PB＋PF的最小值为2 5.2.若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值.解由题意知，抛物线的焦点为F(1,0).点P到y轴的距离d1＝PF－1，所以d1＋d2＝d2＋PF－1.易知d2＋PF的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋PF的最小值为|1＋5|12＋－2＝32，所以d1＋d2的最小值为32－1.思维升华与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________.答案 5解析如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小，显然，连结AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为[1－－2＋－2＝ 5.题型二 抛物线的标准方程和几何性质 命题点1 求抛物线的标准方程例2 已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为__________. 答案 x 2＝16y解析 ∵x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为2，∴c a ＝2，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，∴b 2a 2＝3，ba＝ 3. x 2＝2py (p >0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，x 2a 2－y2b2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±3x .由题意得p21＋32＝2，∴p ＝8.故C 2的方程为x 2＝16y . 命题点2 抛物线的几何性质例3 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)1AF ＋1BF为定值；(3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. 证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(p2，0).由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫my ＋p 2，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*)则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2. 因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2，所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24.(2)1AF ＋1BF ＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2＝x 1＋x 2＋px 1x 2＋p 2x 1＋x 2＋p 24.因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝AB －p ，代入上式，得1AF ＋1BF ＝ABp24＋p2AB －p ＋p24＝2p(定值).(3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则MN ＝12(AC ＋BD )＝12(AF ＋BF )＝12AB . 所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.思维升华 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.(1)(2016·全国乙卷改编)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知AB ＝42，DE ＝25，则C 的焦点到准线的距离为________.(2)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，已知点A 、B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为______. 答案 (1)4 (2)33解析 (1)不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，则圆的方程可设为x 2＋y 2＝r 2(r >0)，如图，又可设A (x 0,22)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5， 点A (x 0,22)在抛物线y 2＝2px 上，∴8＝2px 0， ① 点A (x 0,22)在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴x 20＋8＝r 2，②点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＝r 2， ③联立①②③，解得p ＝4，即C 的焦点到准线的距离为4. (2)设AF ＝a ，BF ＝b ，分别过A 、B 作准线的垂线， 垂足分别为Q 、P .由抛物线的定义知，AF ＝AQ ，BF ＝BP ， 在梯形ABPQ 中，2MN ＝AQ ＋BP ＝a ＋b .AB 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab .又ab ≤(a ＋b2)2，所以(a ＋b )2－ab ≥(a ＋b )2－14(a ＋b )2＝34(a ＋b )2，得AB ≥32(a ＋b )， 所以MN AB≤12a ＋b 32a ＋b ＝33， 即MN AB的最大值为33.题型三 直线与抛物线的综合问题 命题点1 直线与抛物线的交点问题例4 已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点.若MA →·MB →＝0，则k ＝________. 答案 2解析 抛物线C 的焦点为F (2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).则x 1＋x 2＝4＋8k2，x 1x 2＝4.所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16.因为MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋8＝0，将上面各个量代入，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2. 命题点2 与抛物线弦的中点有关的问题例5 (2016·全国丙卷)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点. (1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.(1)证明 由题意知，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ， R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. 由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a ＝－b ＝b －0－12－12＝k 2. 所以AR ∥FQ .(2)解 设过AB 的直线为l ，设l 与x 轴的交点为D (x 1，0)， 则S △ABF ＝12|b －a |·FD ＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12， S △PQF ＝|a －b |2. 由题意可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝1，x 1＝0(舍去). 设满足条件的AB 的中点为E (x ，y ). 当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1).而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1). 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1,0)，所以所求轨迹方程为y 2＝x －1(x ≠1).思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式AB ＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.(2016·南京、盐城、徐州二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：x2＝4y 的焦点为F ，定点A (22，0)，若射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与抛物线C 的准线相交于点N ，则FM ∶MN ＝________. 答案 1∶3解析 由题意得F (0,1)， ∴直线AF 的方程为x 22＋y1＝1，将它与抛物线方程联立解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝12或⎩⎨⎧x ＝－22，y ＝2，又交点在第一象限，∴M (2，12)，准线方程为y ＝－1.故易求得N (42，－1).∴由三角形相似性质得FM MN ＝1－1212－－＝13.7.直线与圆锥曲线问题的求解策略典例 (16分)已知抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q . (1)求抛物线C 的焦点坐标；(2)若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.思维点拨 (3)中证明QA →·QB →＝0. 规范解答解 (1)∵抛物线C ：x 2＝1m y ，∴它的焦点F (0，14m ).[2分] (2)∵RF ＝y R ＋14m ，∴2＋14m ＝3，得m ＝14.[4分](3)存在实数m ，使△ABQ 定以Q 为直角顶点的直角三角形.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0，消去y ，得mx 2－2x －2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)>0⇒m >－12.[7分]设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m，x 1·x 2＝－2m. (*)∵P 是线段AB 的中点，∴P (x 1＋x 22，mx 21＋mx 222)，即P (1m ，y P )，∴Q (1m ，1m ).[9分]得QA →＝(x 1－1m ，mx 21－1m)，QB →＝(x 2－1m ，mx 22－1m)，若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则QA →·QB →＝0， 即(x 1－1m )·(x 2－1m )＋(mx 21－1m )(mx 22－1m)＝0，[12分]结合(*)化简得－4m 2－6m＋4＝0，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12，而2∈(－12，＋∞)，－12∉(－12，＋∞).∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形. [16分]解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤 第一步：联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范 围(或指出直线过曲线内一点)；第三步：根据题目要求列出关于x 1x 2，x 1＋x 2(或 y 1y 2，y 1＋y 2)的关系式，求得结果； 第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况.1.已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过F 的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，如果OA →·OB →＝－12，那么抛物线C 的方程为____________.答案 y 2＝8x解析 由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，直线方程为x ＝my ＋p2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＝my ＋p2，消去x 得y 2－2pmy －p 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2，得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1＋p 2)(my 2＋p 2)＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋pm 2(y 1＋y 2)＋p 24＋y 1y 2＝－34p 2＝－12⇒p ＝4，即抛物线C 的方程为y 2＝8x .2.已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为______________. 答案 x ＝－1解析 ∵y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为(p2，0)，∴过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p2，即x ＝y ＋p2，将其代入y 2＝2px ，得y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝2p ，∴y 1＋y 22＝p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.3.(2016·苏北四市联考)设抛物线C ：y 2＝3px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，MF ＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C 的方程为____________.答案 y 2＝4x 或y 2＝16x解析 ∵抛物线C ：y 2＝3px (p >0)的焦点为F (3p 4，0)，∴OF ＝3p 4，∵以MF 为直径的圆过点(0,2)，设A (0,2)，连结AF ，AM ，可得AF ⊥AM ，在Rt△AOF 中，AF ＝4＋9p 216，∴sin∠OAF ＝OF AF＝3p 44＋9p 216，根据抛物线的定义，得直线AO 切以MF 为直径的圆于点A ，∴∠OAF ＝∠AMF ，可得在Rt△AMF 中，sin∠AMF ＝AF MF＝3p 44＋9p 216，∵MF ＝5，AF ＝4＋9p 216，∴4＋9p 2165＝3p 44＋9p 216，整理得4＋9p 216＝15p 4，解得p ＝43或p ＝163，∴C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .4.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于________. 答案 －4解析 ①若焦点弦AB ⊥x 轴， 则x 1＝x 2＝p 2，∴x 1x 2＝p 24， ∴y 1＝p ，y 2＝－p ，∴y 1y 2＝－p 2， ∴y 1y 2x 1x 2＝－4. ②若焦点弦AB 不垂直于x 轴，可设AB 的直线方程为y ＝k (x －p2)，联立y 2＝2px ，得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋p 2k 24＝0，则x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝p ＋2pk 2，∴y 1y 2＝－p 2.故y 1y 2x 1x 2＝－4. 5.如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线l 于点C ，若BC ＝2BF ，且AF ＝3，则此抛物线的方程为____________.答案 y 2＝3x解析 如图，分别过A 、B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定义知：AF ＝AA 1，BF ＝BB 1，∵BC ＝2BF ，∴BC ＝2BB 1，∴∠BCB 1＝30°，∴∠AFx ＝60°，连结A 1F ，则△AA 1F 为等边三角形，过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x 轴于K ，则KF ＝A 1F 1＝12AA 1＝12AF ，即p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x .6.抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P (x ，y )为该抛物线上的动点，若点A (－1,0)，则PF PA的最小值是______. 答案22解析 抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，如图，过P 作PN 垂直直线x ＝－1于N ， 由抛物线的定义可知PF ＝PN ，连结PA ， 在Rt△PAN 中，sin∠PAN ＝PN PA， 当PN PA ＝PF PA最小时，sin∠PAN 最小， 即∠PAN 最小，即∠PAF 最大，此时，PA 为抛物线的切线，设PA 的方程为y ＝k (x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，所以Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＝0，解得k ＝±1，所以∠PAF ＝∠NPA ＝45°，PF PA ＝PN PA ＝cos∠NPA ＝22. 7.设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则AB ＝________. 答案 12解析 焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0.方法一 直线AB 的斜率为33， 所以直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34， 即y ＝33x －34，代入y 2＝3x ，得13x 2－72x ＋316＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212，所以AB ＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12.方法二 由抛物线焦点弦的性质可得AB ＝2p sin 2θ＝3sin 230°＝12. 8.(2016·宿迁模拟)已知抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，过抛物线上一点M (p ，2p )和抛物线的焦点F 作直线l 交抛物线于另一点N ，则NF ∶FM ＝________. 答案 1∶2解析 由题意知直线l 的方程为y ＝22(x －p2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝22x －p2，得4x 2－5px ＋p 2＝0，∴N (p 4，－22p )，∴NF ＝p 4＋p 2＝34p ，MF ＝p ＋p 2＝32p ，∴NF ∶FM ＝1∶2.9.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)已知点F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A 到其准线的距离为5，则直线AF 的斜率为________. 答案 43解析 抛物线y 2＝4x 的准线为x ＝－1，焦点F (1,0)，设点A (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，由题意得x 0＋1＝5，所以x 0＝4，所以y 20＝4x 0＝16，y 0＝4，从而点A (4,4)，直线AF 的斜率为k ＝4－04－1＝43.10.已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB ＝________.答案 6解析 抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)， 准线方程为x ＝－2.设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意，c ＝2，c a ＝12，可得a ＝4，b 2＝16－4＝12. 故椭圆方程为x 216＋y 212＝1.把x ＝－2代入椭圆方程，解得y ＝±3. 从而AB ＝6.11.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A 的坐标为__________. 答案 (2，±22)解析 如图所示，由题意，可得OF ＝1，由抛物线的定义，得AF ＝AM ，∵△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1， ∴S △AMFS △AOF＝12·AF ·AM ·sin∠MAF 12·OF ·AF π－∠MAF＝3，∴AF ＝AM ＝3，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0， ∴y 204＋1＝3，∴y 204＝2，y 0＝±22，∴点A 的坐标是(2，±22).*12.设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是________________.答案 (2,4) 解析 如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2).当l 的斜率k 不存在时，符合条件的直线l 必有两条. 当k 存在时，x 1≠x 2， 则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2， 又y 1＋y 2＝2y 0，所以y 0k ＝2.由CM ⊥AB ，得k ·y 0－0x 0－5＝－1， 即y 0k ＝5－x 0，因此2＝5－x 0，x 0＝3， 即M 必在直线x ＝3上.将x ＝3代入y 2＝4x ， 得y 2＝12，则有－23<y 0<2 3.因为点M 在圆上，所以(x 0－5)2＋y 20＝r 2， 故r 2＝y 20＋4<12＋4＝16.又y 20＋4>4(为保证有4条，在k 存在时，y 0≠0)， 所以4<r 2<16，即2<r <4.13.(2016·江苏苏北四市期中)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)过点(2,1)，直线l 过点P (0，－1)与抛物线C 交于A ，B 两点，点A 关于y 轴的对称点为A ′，连结A ′B.(1)求抛物线C 的标准方程；(2)问直线A ′B 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 解 (1)将点(2,1)代入抛物线C 的方程得2p ＝4， 解得p ＝2，∴抛物线C 的标准方程为x 2＝4y .(2)若直线l 斜率不存在，则显然不成立，则直线l 的斜率k 一定存在. 设直线l 的方程为y ＝kx －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则A ′(－x 1，y 1).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x 2，y ＝kx －1，得x 2－4kx ＋4＝0，则Δ＝16k 2－16>0，x 1x 2＝4，x 1＋x 2＝4k ，∴k A ′B ＝y 2－y 1x 2－－x 1＝x 224－x 214x 1＋x 2＝x 2－x 14，于是直线A ′B 的方程为y －x 224＝x 2－x 14(x －x 2)，∴y ＝x 2－x 14(x －x 2)＋x 224＝x 2－x 14x ＋1，当x ＝0时，y ＝1，∴直线A ′B 过定点(0,1).14.(2015·福建)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且AF ＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切.方法一 (1)解 由抛物线的定义得AF ＝2＋p2.因为AF ＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明 因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22). 由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1).由⎩⎨⎧y ＝22x －，y 2＝4x得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1,0)，所以k GA ＝22－02－－＝223，k GB ＝－2－012－－＝－223.所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切. 方法二 (1)解 同方法一.(2)证明 设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r .因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22). 由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1). 由⎩⎨⎧y ＝22x －，y 2＝4x得2x 2－5x ＋2＝0.解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2.又G (－1,0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0. 从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217.又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0. 所以点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r .这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切.。

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文北师大版1．双曲线定义平面内到两定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2｜)的点的集合叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．其中a,c为常数且a>0，c>0。

（1)当2a<｜F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；（2)当2a＝|F1F2｜时,P点的轨迹是两条射线；（3）当2a>|F1F2|时,P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程错误!－错误!＝1(a〉0，b>0)错误!－错误!＝1（a〉0，b〉0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性对称轴:坐标轴对称中心：原点顶点A1（－a，0)，A2(a,0）A1（0,－a），A2(0，a）渐近线y＝±错误!x y＝±错误!x离心率e＝错误!，e∈(1,＋∞），其中c＝错误!实虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2｜＝2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴,它的长｜B 1B2｜＝2b;a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2（c〉a>0，c>b>0）【知识拓展】巧设双曲线方程（1）与双曲线错误!－错误!＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为错误!－错误!＝t(t≠0）．（2）过已知两个点的双曲线方程可设为错误!＋错误!＝1(mn<0)．【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√"或“×”)（1)平面内到点F1（0,4)，F2（0,－4）距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．（×) (2）方程错误!－错误!＝1(mn〉0)表示焦点在x轴上的双曲线．( ×)(3)双曲线方程错误!－错误!＝λ（m〉0，n〉0，λ≠0）的渐近线方程是错误!－错误!＝0，即错误!±yn＝0.（√)(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于错误!。

9．2 两条直线的位置关系1．两条直线的位置关系(1)平行：对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，有l 1∥l 2⇔____________，特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2的关系为____________．(2)垂直：如果两条直线l 1，l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔____________，特别地，若直线l 1：x ＝a ，直线l 2：y ＝b ，则l 1与l 2的关系为____________．2．两条直线的交点坐标一般地，将两条直线的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0. 若方程组有唯一解，则两条直线__________，此解就是__________；若方程组无解，则两条直线____________，此时两条直线____________．3．距离公式(1)点到直线的距离：点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝____________．(2)两条平行直线间的距离：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)间的距离d ＝____________________．4．过两直线交点的直线系方程若已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0相交，则方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(其中λ∈R ，这条直线可以是l 1，但不能是l 2)表示过l 1和l 2交点的直线系方程．自查自纠1．(1)k 1＝k 2 l 1∥l 2 (2)k 1k 2＝-1 l 1⊥l 2 2．相交 交点的坐标 无公共点 平行3．(1)||Ax 0＋By 0＋C A 2＋B 2(2)||C 1-C 2A 2＋B 2(2016·金华月考)直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．不能确定解：两直线的斜率分别为k 1＝-2和k 2＝-12，由k 1≠k 2知两直线不平行，由k 1k 2≠-1知两直线不垂直，因此两直线的位置关系为相交但不垂直．故选C .(2015·北京海淀区期末)已知直线l 1：x ＋2y -1＝0与直线l 2：mx -y ＝0平行，则实数m 的值为( )A ．-12B ．12C ．2D ．-2解：因为直线l 1：x ＋2y -1＝0与直线l 2：mx -y ＝0平行，所以m 1＝-12≠0，解得m ＝-12.故选A .(2016·丽江月考)直线mx ＋4y -2＝0与直线2x -5y ＋n ＝0垂直，垂足为(1，p )，则n 的值为( )A ．-12B ．-2C ．0D ．10解：因为两直线的斜率分别为-m 4和25，则-m 4×25＝-1，所以m ＝10，则直线mx ＋4y -2＝0可以写成5x ＋2y -1＝0，过点(1，p )，有5＋2p -1＝0，则p ＝-2，且点(1，-2)又在2x -5y ＋n ＝0上，则2＋10＋n ＝0，所以n ＝-12.故选A .(2016·苍南月考)已知平行直线l 1：2x ＋y -1＝0，l 2：2x ＋y ＋1＝0，则l 1与l 2的距离是__________．解：利用两条平行直线间的距离公式得d ＝|C 1-C 2|A 2＋B2＝|-1-1|22＋12＝255.故填255.(2016·吉安月考)设直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＋(a -1)y ＋a 2-1＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝__________．解：l 1⊥l 2，则a ×1＋2×(a -1)＝0，解得a ＝23.故填23.类型一 两条直线平行、重合或相交 已知两条直线：l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m -2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m 为何值时，l 1与l 2：(1)相交；(2)平行；(3)重合． 解：联立两直线方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋my ＋6＝0，（m -2）x ＋3y ＋2m ＝0.当m ＝0或m ＝2时两直线相交；当m ≠0且m ≠2时，此时A 1A 2＝1m -2，B 1B 2＝m 3，C 1C 2＝62m ，当A 1A 2＝B 1B 2时，即1m -2＝m3，解得m ＝-1或m ＝3； 当A 1A 2＝C 1C 2时，即1m -2＝62m，解得m ＝3. (1)当m ≠-1且m ≠3时，A 1A 2≠B 1B 2，方程组有唯一一组解．所以l 1与l 2相交．(2)当m ＝-1时，A 1A 2＝B 1B 2且A 1A 2≠C 1C 2，方程组无解． 所以l 1与l 2平行．(3)当m ＝3时，A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2，方程组有无穷多组解．所以l 1与l 2重合．【点拨】由直线的一般式直接判断两条直线是否平行时，可直接应用本题的结论，即：若A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2，则直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行，这是一个很实用的结论，但要注意分母不能为零．当实数m 为何值时，三条直线l 1：3x ＋my -1＝0，l 2：3x -2y -5＝0，l 3：6x ＋y -5＝0不能围成三角形．解：当m ＝0时，直线l 1，l 2，l 3可以围成三角形，要使直线l 1，l 2，l 3不能围成三角形，则m ≠0.记l 1，l 2，l 3三条直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3， 则k 1＝-3m ，k 2＝32，k 3＝-6.若l 1∥l 2，或l 1∥l 3，则k 1＝k 2＝32，或k 1＝k 3＝-6，解得m ＝-2或m ＝12；若三条直线交于一点，由⎩⎪⎨⎪⎧3x -2y -5＝0，6x ＋y -5＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝-1， l 2与l 3交于点(1，-1)，将点(1，-1)代入3x ＋my -1＝0，得m ＝2.所以当m ＝±2或12时，l 1，l 2，l 3不能围成三角形．类型二 两条直线垂直(1)已知两条直线l 1：ax -by ＋4＝0和l 2：(a -1)x ＋y ＋b ＝0，若l 1⊥l 2，且l 1过点(-3，-1)，求a ，b 的值；(2)已知两直线l 1：x ＋y sin α-1＝0和l 2：2x ·sin α＋y ＋1＝0，若l 1⊥l 2，求α的值．解：(1)解法一：由已知可得l 2的斜率k 2存在，且k 2＝1-a .若k 2＝0，则1-a ＝0，a ＝1.因为l 1⊥l 2，所以直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0.又因为l 1过点(-3，-1)，所以-3a ＋4＝0，得a ＝43(矛盾)． 所以此种情况不存在，所以k 2≠0， 所以k 1，k 2都存在．因为k 2＝1-a ，k 1＝ab，l 1⊥l 2， 所以k 1k 2＝-1，即ab(1-a )＝-1.①又因为l 1过点(-3，-1)，所以-3a ＋b ＋4＝0.② 联立①②可得a ＝2，b ＝2.解法二：因为l 1⊥l 2，所以a (a -1)＋(-b )·1＝0， 即b ＝a 2-a .①又因为l 1过点(-3，-1)， 所以-3a ＋b ＋4＝0.②联立①②可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.经验证，符合题意．故a ＝2，b ＝2.(2)因为A 1A 2＋B 1B 2＝0是l 1⊥l 2的充要条件， 所以2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0，α＝k π，k ∈Z .所以当α＝k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2.【点拨】判定两直线垂直的方法：(1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k 1·k 2＝-1，则两直线垂直；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则两直线也垂直．(2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论．设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.(3)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．“m ＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m -3)y ＋7-5m ＝0与直线l 2：(m -3)x ＋2y -5＝0垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解：由l 1⊥l 2，得2(m ＋1)(m -3)＋2(m -3)＝0， 解得m ＝3或m ＝-2.所以m ＝3是l 1⊥l 2的充分不必要条件．故选A .类型三 对称问题已知直线l ：2x -3y ＋1＝0，点A (-1，-2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标； (2)直线m ：3x -2y -6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程；(3)直线l 关于点A (-1，-2)对称的直线l ′的方程．解：(1)设A ′(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1·23＝-1，2×x -12-3×y -22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝-3313，y ＝413，所以A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫-3313，413.(2)在直线m 上取一点，如M (2，0)，则M (2，0)关于直线l 的对称点必在m ′上．设对称点为M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22-3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b -0a -2×23＝-1，解得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x -3y ＋1＝0，3x -2y -6＝0，得N (4，3)．又因为m ′经过点N (4，3)，所以由两点式得直线m ′的方程为9x -46y ＋102＝0.(3)解法一：在l ：2x -3y ＋1＝0上任取两点，如P (1，1)，N (4，3)．则P ，N 关于点A 的对称点P ′，N ′均在直线l ′上．易知P ′(-3，-5)，N ′(-6，-7)，由两点式可得l ′的方程为2x -3y -9＝0.解法二：设Q (x ，y )为l ′上任意一点， 则Q (x ，y )关于点A (-1，-2)的对称点为Q ′(-2-x ，-4-y )，因为Q ′在直线l 上，所以2(-2-x )-3(-4-y )＋1＝0，即2x -3y -9＝0.【点拨】(1)关于中心对称问题的处理方法： ①若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a -x 1，y ＝2b -y 1.②求直线关于点的对称直线的方程，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用两直线平行，由点斜式得到所求直线方程，当然，斜率必须存在．(2)关于轴对称问题的处理方法：①点关于直线的对称．若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，则线段P 1P 2的中点在l 上，且连接P 1P 2的直线垂直于l ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2-y 1x 2-x 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫-A B ＝-1，可得到点P 1关于l对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)．②直线关于直线的对称．此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．已知直线l ：x ＋2y -2＝0，试求： (1)点P (-2，-1)关于直线l 的对称点坐标； (2)直线l 1：y ＝x -2关于直线l 对称的直线l 2的方程；(3)直线l 关于点A (1，1)对称的直线方程． 解：(1) 设点P 关于直线l 的对称点为P ′(x 0，y 0)，则线段PP ′的中点M 在对称轴l 上，且PP ′⊥l .所以⎩⎪⎨⎪⎧y 0＋1x 0＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫-12＝-1，x 0-22＋2·y 0-12-2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝25，y 0＝195，即P ′坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，195.(2)直线l 1：y ＝x -2关于直线l 对称的直线为l 2，则l 2上任一点P (x ，y )关于l 的对称点P ′(x ′，y ′)一定在直线l 1上，反之也成立．由⎩⎪⎨⎪⎧y -y ′x -x ′·⎝ ⎛⎭⎪⎫-12＝-1，x ＋x ′2＋2·y ＋y ′2-2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x -4y ＋45，y ′＝-4x -3y ＋85.把(x ′，y ′)代入方程y ＝x -2并整理得7x -y -14＝0，即直线l 2的方程为7x -y -14＝0.(3)设直线l 关于点A (1，1)的对称直线为l ′，则直线l 上任一点P (x 1，y 1)关于点A 的对称点P ′(x ，y )一定在直线l ′上，反之也成立．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x12＝1，y ＋y 12＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2-x ，y 1＝2-y ， 将(x 1，y 1)代入直线l 的方程得x ＋2y -4＝0. 所以直线l ′的方程为x ＋2y -4＝0.类型四 距离问题(1)已知点P (4，a )到直线4x -3y -1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是____________．(2)若两平行直线3x -2y -1＝0，6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值是____________．解：(1)由题意得，点P 到直线的距离为|4×4-3×a -1|5＝|15-3a |5.又|15-3a |5≤3，即|15-3a |≤15， 解之得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是．故填． (2)依题意知，63＝a -2≠c-1，解得a ＝-4，c ≠-2，即直线6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x -2y ＋c2＝0，又两平行线之间的距离为21313，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋132＋（-2）2＝21313，解得c ＝2或-6. 故填2或-6.【点拨】距离的求法： (1)点到直线的距离．可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．(2)两平行直线间的距离．①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公式d ＝|C 1-C 2|A 2＋B 2.直线l 经过点P (2，-5)且与点A (3，-2)和点B (-1，6)的距离之比为1∶2，求直线l 的方程．解：当直线l 与x 轴垂直时，此时直线l 的方程为x ＝2，点A 到直线l 的距离为d 1＝1，点B 到直线l 的距离为d 2＝3，不符合题意，故直线l 的斜率必存在．设直线l 的方程为y ＋5＝k (x -2)，即kx -y -2k -5＝0，则点A (3，-2)到直线l 的距离d 1＝|3k -（-2）-2k -5|k 2＋1＝|k -3|k 2＋1，点B (-1，6)到直线l 的距离d 2＝|-k -6-2k -5|k 2＋1＝|3k ＋11|k 2＋1，因为d 1∶d 2＝1∶2，所以|k -3||3k ＋11|＝12，解得k ＝-1或k ＝-17.所以所求直线方程为x ＋y ＋3＝0和17x ＋y -29＝0.类型五 直线系及其应用求证：动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m -m 2)y ＋3m 2＋1＝0(其中m ∈R )恒过定点，并求出定点坐标．证法一：令m ＝0，则直线方程为3x ＋y ＋1＝0，①再令m ＝1时，直线方程为6x ＋y ＋4＝0，②联立①②，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋1＝0，6x ＋y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝-1，y ＝2. 将点A (-1，2)代入动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m -m 2)y ＋3m 2＋1＝0中，(m 2＋2m ＋3)×(-1)＋(1＋m -m 2)×2＋3m 2＋1 ＝(3-1-2)m 2＋(-2＋2)m ＋2＋1-3＝0，故点A (-1，2)的坐标恒满足动直线方程，所以动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m -m 2)y ＋3m 2＋1＝0恒过定点A .证法二：将动直线方程按m 降幂排列整理得，m 2(x -y ＋3)＋m (2x ＋y )＋3x ＋y ＋1＝0，①不论m 为何实数，①式恒为零，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x -y ＋3＝0，2x ＋y ＝0，3x ＋y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝-1，y ＝2.故动直线恒过点(-1，2)．【点拨】此题属于数学中恒成立问题，所以证法一是先赋给m 两个特殊值得两条直线，那么这两条直线的交点就是那个定点，但m 只是取两个特殊值，是否m ∈R 时都成立，则要进行代入检验；证法二是将动直线方程按m 的降幂排列，由于∀m ∈R 恒成立，所以得关于x ，y 的方程组，解此方程组便得定点坐标．直线系也称直线束，是具有某一共同性质的直线的集合．常见直线系方程有：(1)过定点(x 1，y 1)的直线系：y -y 1＝k (x -x 1)和x ＝x 1.(2)平行于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系：Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C )．(3)垂直于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系：Bx -Ay ＋λ＝0.(4)过A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不包括直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0)．(2016·湖南模拟改编)设直线系M ：x cos θ＋(y -2)sin θ＝1(0≤θ<2π)，对于下列四个命题：①当直线垂直y 轴时，θ＝0或π； ②当θ＝π6时，直线的倾斜角为120°；③M 中所有直线均经过一个定点；④存在定点P 不在M 中的任意一条直线上． 其中真命题的代号是____________．(写出所有真命题的代号)解：当直线垂直y 轴时，则cos θ＝0，解得θ＝π2或3π2，故①错；当θ＝π6时，直线方程为3x ＋y -4＝0，则直线的斜率为-3，所以直线的倾斜角为120°，故②正确；根据直线系M 知所有直线都为圆心为(0，2)，半径为1的圆的切线，所以没有过定点，故③错；存在定点(0，2)不在M 中的任意一条直线上，故④正确．故填②④.1．当直线的方程中含有字母参数时，不仅要考虑斜率存在与不存在的情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．2．两条直线的位置关系一般用斜率和截距来判定，但当直线方程用一般式给出且系数中有参数时，往往需要繁琐地讨论．但也可以这样避免：设两直线为A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则两直线垂直的条件为⎝ ⎛⎭⎪⎫-A 1B 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫-A 2B 2＝-1，由此得A 1A 2＋B 1B 2＝0，但后者适用性更强，因为当B 1＝0或B 2＝0时前者不适用但后者适用．3．运用直线系方程，有时会使解题更为简单快捷，常见的直线系方程有：(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )；(2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx -Ay ＋m ＝0(m ∈R )；(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.4．运用公式d ＝||C 1-C 2A 2＋B 2求两平行直线间的距离时，一定要将两条直线方程中x ，y 的系数化成相等的系数，求两平行直线间的距离也可化归为点到直线的距离，即在一条直线上任取一点(如直线与坐标轴的交点)，求该点到另一条直线的距离即为两平行直线间的距离．这一方法体现了化归思想的应用．5．对称主要分为中心对称和轴对称两种，中心对称仅用中点坐标公式即可，轴对称因对称点连线的中垂线就是对称轴，所以根据线段的中点坐标公式和两条直线垂直的条件即可解决．1．过点A (2，3)且垂直于直线2x ＋y -5＝0的直线方程为( )A ．x -2y ＋4＝0B ．2x ＋y -7＝0C ．x -2y ＋3＝0D ．x -2y ＋5＝0解：由点斜式得所求直线方程为y -3＝12(x -2)，即x -2y ＋4＝0.故选A .2．过点(1，0)且与直线x -2y -2＝0平行的直线方程是( )A ．x -2y -1＝0B ．x -2y ＋1＝0C ．2x ＋y -2＝0D ．x ＋2y -1＝0解：设所求直线方程为x -2y ＋c ＝0，将(1，0)代入得c ＝-1.所以所求直线方程为x -2y -1＝0.故选A .3．两平行线3x ＋4y -9＝0和6x ＋my ＋2＝0之间的距离是( )A.85B ．2C.115D.75解：因为两直线平行，所以m ＝8，所以后一条直线方程可化为3x ＋4y ＋1＝0，由两平行直线间的距离公式得d ＝|1＋9|5＝2.故选B .4．(2015·武汉调研)直线x -2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( )A ．x ＋2y -1＝0B ．2x ＋y -1＝0C ．2x ＋y -3＝0D ．x ＋2y -3＝0解：设直线x -2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线为l 2，则l 2的斜率为-12，且过直线x -2y ＋1＝0与x＝1的交点(1，1)，则l 2的方程为y -1＝-12(x -1)，即x ＋2y -3＝0.故选D .5．(2015·洛阳统考)已知点P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示( )A ．过点P 且与l 垂直的直线B ．过点P 且与l 平行的直线C ．不过点P 且与l 垂直的直线D ．不过点P 且与l 平行的直线解：因为点P (x 0，y 0)不在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，所以Ax 0＋By 0＋C ≠0，所以直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0不经过点P .又直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0平行．故选D .6．(2016·宜春统考)已知直线l 过点P (3，4)且与点A (-2，2)，B (4，-2)等距离，则直线l 的方程为( )A ．2x ＋3y -18＝0B ．2x -y -2＝0C ．3x -2y ＋18＝0或x ＋2y ＋2＝0D ．2x ＋3y -18＝0或2x -y -2＝0解：显然直线l 的斜率存在，依题意，设直线l ：y -4＝k (x -3)，即kx -y ＋4-3k ＝0，则有|-5k ＋2|k 2＋1＝|k ＋6|k 2＋1，因此-5k ＋2＝k ＋6或-5k ＋2＝-(k ＋6)， 解得k ＝-23或k ＝2，故直线l 的方程为2x ＋3y -18＝0或2x -y -2＝0.故选D .7．(2016·山西模拟改编)已知a ，b 满足a ＋2b ＝1，则直线ax ＋3y ＋b ＝0必过定点____________．解：由a ＋2b ＝1知ax ＋3y ＋b ＝0等价于(1-2b )x＋3y ＋b ＝0，即(x ＋3y )＋(1-2x )b ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝0，1-2x ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝-16，即定点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，-16.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫12，-16.8．(2016·湖北模拟)设直线l 经过点A (-1，1)，则当点B (2，-1)与直线l 的距离最远时，直线l 的方程为__________．解：设点B 到直线l 的距离为d ，当d ＝|AB |时取得最大值，此时直线l 垂直于直线AB ，则k l ＝-1k AB ＝32，所以直线l 的方程为y -1＝32(x ＋1)，即3x -2y ＋5＝0.故填3x -2y ＋5＝0.9．已知两直线l 1：x ＋y sin θ-1＝0和l 2：2x sin θ＋y ＋1＝0，试求θ的值，使得：(1)l 1∥l 2； (2)l 1⊥l 2.解：(1)由12sin θ＝sin θ≠-11，得sin θ＝±22.由sin θ＝±22，得θ＝k π±π4(k ∈Z )． 所以当θ＝k π±π4(k ∈Z )时，l 1∥l 2.(2)由2sin θ＋sin θ＝0，得sin θ＝0，θ＝k π(k ∈Z )，所以当θ＝k π(k ∈Z )时，l 1⊥l 2.10．求直线l ：x -2y ＋6＝0关于点M (-1，1)对称的直线l ′的方程．解法一：取l 上的两点A (0，3)，B (-6，0)，求出它们关于点M 的对称点，A ′(-2，-1)，B ′(4，2)，再用两点式求出l ′的方程为x -2y ＝0.解法二：设点P ′(x ′，y ′)为所求直线l ′上的任意一点，则点P ′关于点M 在直线l 上的对称点为P (x ，y )．由⎩⎪⎨⎪⎧-1＝x ＋x ′2，1＝y ＋y ′2得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝-2-x ′，y ＝2-y ′， 代入直线l的方程得(-2-x ′)-2(2-y ′)＋6＝0，得x ′-2y ′＝0，即x -2y ＝0为所求直线l ′的方程．11．设一直线l 经过点(-1，1)，此直线被两平行直线l 1：x ＋2y -1＝0和l 2：x ＋2y -3＝0所截得线段的中点在直线x -y -1＝0上，求直线l 的方程．解法一：设直线x -y -1＝0与l 1，l 2的交点分别为C (x C ，y C )，D (x D ，y D )，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y -1＝0，x -y -1＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x C ＝1，y C＝0， 所以C (1，0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y -3＝0，x -y -1＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x D＝53，y D＝23，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，23.所以CD 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13. 又l 过点(-1，1)，由两点式得l 的方程为： y -131-13＝x -43-1-43，即2x ＋7y -5＝0. 解法二：因为与l 1，l 2平行且与它们距离相等的直线方程为x ＋2y ＋-1-32＝0，即x ＋2y -2＝0，所以由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y -2＝0，x -y -1＝0 得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13.(以下同解法一)解法三：过中点且与两直线平行的直线方程为x ＋2y -2＝0，设所求方程为(x -y -1)＋λ(x ＋2y -2)＝0，① 因为(-1，1)在此直线上，所以-1-1-1＋λ(-1＋2-2)＝0，解得λ＝-3，代入①得2x ＋7y -5＝0.解法四：设所求直线与两平行线l 1，l 2的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋2y 1-1＝0，x 2＋2y 2-3＝0得(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)-4＝0.①又AB 的中点在直线x -y -1＝0上， 所以x 1＋x 22-y 1＋y 22-1＝0.②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 22＝43，y 1＋y 22＝13.(以下同解法一)(2016·湖南模拟改编)已知抛物线y ＝x 2上存在两个不同的点M ，N 关于直线y ＝-kx ＋92对称，求实数k 的取值范围．解：设M (x 1，x 21)，N (x 2，x 22)关于已知直线对称，显然k ≠0，所以x 21-x 22x 1-x 2＝1k ，即x 1＋x 2＝1k.又线段MN 的中点在直线y ＝-kx ＋92上，所以x 21＋x 222＝-k ·x 1＋x 22＋92＝-k ·12k ＋92＝4. 由于线段MN 的中点必在抛物线内，有x 21＋x 222>⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222，即4>⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2，所以k 2>116，解得k <-14或k >14.所以实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞，-14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞.。