2020版高考数学(理)新探究大一轮分层演练：第二章 函数概念与基本初等函数 第4讲 含解析

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第3讲函数的奇偶性、对称性［基础达标］1．（2019·舟山市普陀三中高三期中）下列函数既是奇函数，又在（0，＋∞)上单调递增的是（）A．y＝－x2B．y＝x3C．y＝log2x D．y＝－3－x解析：选B。

A.函数y＝－x2为偶函数，不满足条件．B．函数y＝x3为奇函数，在（0，＋∞）上单调递增，满足条件．C．y＝log2x的定义域为（0,＋∞),为非奇非偶函数,不满足条件．D．函数y＝－3－x为非奇非偶函数，不满足条件．2．（2019·衢州高三年级统一考试）已知f（x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x）＝x3＋ln(1＋x)，则当x＜0时，f（x）＝（)A．－x3－ln（1－x）B．x3＋ln(1－x）C．x3－ln(1－x）D．－x3＋ln（1－x）解析:选C。

当x<0时，－x>0，f(－x）＝（－x)3＋ln(1－x)，因为f（x)是R上的奇函数,所以当x＜0时，f(x)＝－f(－x）＝－[（－x）3＋ln（1－x)],所以f(x)＝x3－ln（1－x）．3．若f（x)＝（e x－e－x）(ax2＋bx＋c)是偶函数,则一定有（)A．b＝0 B．ac＝0C．a＝0且c＝0 D．a＝0,c＝0且b≠0解析：选C。

创新导向题
二次函数图象的应用
6.已知“0<t<m(m>0)”是“函数f(x)＝－x2－tx＋3t在区间(0，2)上只有一个零点”的充分不必要条件，则m的取值范围是( )
A.(0，2)
B.(0，2]
C.(0，4)
D.(0，4]
解析由f(x)在区间(0，2)上只有一个零点得f(0)·f(2)<0，解得0<t<4，由题意得(0，m)(0，4)，所以0<m<4，故选C.
答案C
专项提升测试
模拟精选题
一、选择题
7.(20xx·山东滨州模拟)定义在R上的函数f(x)，当x∈(－1，1]时，f(x)＝x2－x，且对任意的x满足f(x－2)＝af(x)(常数a>0)，则函数f(x)在区间(5，7]上的最小值是( )
A.－a3
B.a3
C.
D.－1
4a3
解析f(x－2)＝af(x)⇒f(x－4)＝af(x－2)＝a2f(x)⇒f(x－6)＝af(x－4)＝a3f(x)，x∈(5，7]⇒x－6∈(－1，1]，则f(x)＝f(x－6)＝[(x－6)2－(x－6)]＝－，当x－6＝时，f(x)有最小值为－.
答案D
8.(20xx·广东湛江模拟)已知幂函数f(x)的图象经过点，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1<x2)是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：①x1f(x1)>x2f(x2)；②x1f(x2)<x2f(x1)；③>；④<.
其中正确结论的序号是( )
A.①②
B.①③
C.②④
D.②③。

第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示一、基础知识1．函数与映射的概念2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．求函数定义域的策略(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．(2)如果函数y＝f(x)是用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．(3)如果函数y＝f(x)是用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同．(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．关于分段函数的3个注意(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．(3)各段函数的定义域不可以相交．考点一函数的定义域[典例] (1)(2019·长春质检)函数y ＝ln (1－x )x ＋1＋1x 的定义域是( )A ．[－1,0)∪(0,1)B ．[－1,0)∪(0,1]C ．(－1,0)∪(0,1]D ．(－1,0)∪(0,1)(2)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝⎛⎭⎫12，1[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋1>0，x ≠0，解得－1<x <0或0<x <1.所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)．(2)令u ＝2x ＋1，由f (x )的定义域为(－1,0)，可知－1<u <0，即－1<2x ＋1<0， 得－1<x <－12.[答案] (1)D (2)B [解题技法]1．使函数解析式有意义的一般准则 (1)分式中的分母不为0； (2)偶次根式的被开方数非负； (3)y ＝x 0要求x ≠0；(4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1； (5)正切函数y ＝tan x ，x ≠k π＋π2(k ∈Z)；(6)实际问题中除考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求． 2．抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域．[题组训练]1.函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，ln (x ＋1)≠0，4－x 2≥0，得－1<x ≤2，且x ≠0.2.若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是________________．解析：因为y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，所以若g (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋1≤2 019，x －1≠0，所以0≤x ≤2 018，且x ≠1.因此g (x )的定义域是{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}． 答案：{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}考点二 求函数的解析式[典例] (1)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，求f (x )； (2)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )． [解] (1)法一：待定系数法因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法二：换元法令2x ＋1＝t (t ∈R)，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝⎛⎭⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R)，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法三：配凑法因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9， 所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)．(2)解方程组法由f (－x )＋2f (x )＝2x ， ① 得f (x )＋2f (－x )＝2－x ，②①×2－②，得3f (x )＝2x ＋1－2－x .即f (x )＝2x ＋1－2－x3.故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3(x ∈R)．[解题技法] 求函数解析式的4种方法及适用条件 (1)待定系数法先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数．(2)换元法对于形如y ＝f (g (x ))的函数解析式，令t ＝g (x )，从中求出x ＝φ(t )，然后代入表达式求出f (t )，再将t 换成x ，得到f (x )的解析式，要注意新元的取值范围．(3)配凑法由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式．(4)解方程组法已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[提醒] 由于函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R ，一定要注明函数的定义域．[题组训练]1.[口诀第2句]已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，则f (x )＝________________.解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx . 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R)．答案：12x 2＋12x (x ∈R)2.[口诀第3句]已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________________.解析：令2x ＋1＝t ，得x ＝2t －1，则f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg2x －1(x >1)． 答案：lg2x －1(x >1) 3.[口诀第4句]已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________. 解析：∵2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，①把①中的x 换成1x ，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x.② 联立①②可得⎩⎨⎧2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x，解此方程组可得f (x )＝2x －1x(x ≠0)．答案：2x －1x (x ≠0)考点三 分段函数考法(一) 求函数值[典例] (2019·石家庄模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0(0<a <1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3[解析] 由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，① f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0<a <1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2. [答案] B[解题技法] 求分段函数的函数值的策略(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；(2)当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值；(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．考法(二) 求参数或自变量的值(或范围)[典例] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)[解析] 法一：分类讨论法①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)<f (2x )，即为2－(x ＋1)<2－2x，即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1. 因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x ≤0，即－1<x ≤0时，f (x ＋1)<f (2x )，即为1<2－2x，解得x <0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x >0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)． 法二：数形结合法∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示． 结合图象知，要使f (x ＋1)<f (2x )， 则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0， ∴x <0，故选D. [答案] D[解题技法]已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)的方法(1)根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，最后将各段的结果合起来(求并集)即可；(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．[题组训练]1．设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2(x －1)，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ， 解得a ＝14或a ＝0(舍去)．∴f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6.当a ≥1时，a ＋1≥2，f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴2(a －1)＝2a ，无解． 综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤1，f (x －1)，x >1，则f (f (3))＝________.解析：由题意，得f (3)＝f (2)＝f (1)＝21＝2，∴f (f (3))＝f (2)＝2. 答案：23．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________．解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12讨论．①当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，故－14<x ≤0.②当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立．③当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立．综上可知，所求x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是____________．解析：若a <0，则f (a )<1⇔⎝⎛⎭⎫12a －7<1⇔⎝⎛⎭⎫12a <8，解得a >－3，故－3<a <0； 若a ≥0，则f (a )<1⇔a <1，解得a <1，故0≤a <1. 综上可得－3<a <1. 答案：(－3,1)[课时跟踪检测]1．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ①中当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．故选B.2．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( ) A ．[0,2)B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0，且x ≠2.3．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A.74 B ．－74C.43D ．－43解析：选A 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.4．(2019·贵阳检测)下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝ln x C ．y ＝13x －1D ．y ＝x ＋1x －1解析：选D 对于A ，定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，不满足题意；对于B ，定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足题意；对于C ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于D ，y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)．5．(2018·福建期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x >0，4x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3，则f (a －2)＝( )A ．－1516B ．3C ．－6364或3D ．－1516或3解析：选A 当a >0时，若f (a )＝3，则log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2(满足a >0)；当a ≤0时，若f (a )＝3，则4a －2－1＝3，解得a ＝3，不满足a ≤0，所以舍去．于是，可得a ＝2.故f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－1516.6．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，则函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)的定义域是( )A ．[1,2]B ．(－1,1] C.⎣⎡⎦⎤－12，0 D ．(－1,0)解析：选D 由f (2x －1)的定义域是[0,1]， 得0≤x ≤1，故－1≤2x －1≤1， ∴f (x )的定义域是[－1,1]， ∴要使函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2x ＋1≤1，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0.7．下列函数中，不满足f (2 018x )＝2 018f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋2D ．f (x )＝－2x解析：选C 若f (x )＝|x |，则f (2 018x )＝|2 018x |＝2 018|x |＝2 018f (x )；若f (x )＝x －|x |，则f (2 018x )＝2 018x －|2 018x |＝2 018(x －|x |)＝2 018f (x )；若f (x )＝x ＋2，则f (2 018x )＝2 018x ＋2，而2 018f (x )＝2 018x ＋2 018×2，故f (x )＝x ＋2不满足f (2 018x )＝2 018f (x )；若f (x )＝－2x ，则f (2 018x )＝－2×2 018x ＝2 018×(－2x )＝2 018f (x )．故选C.8．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.9．(2019·青岛模拟)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1.所以该函数的定义域为(0,1]． 答案：(0,1]10．(2019·益阳、湘潭调研)若函数f (x )＝⎩⎨⎧lg (1－x )，x <0，－2x ，x ≥0，则f (f (－9))＝________.解析：∵函数f (x )＝⎩⎨⎧lg (1－x )，x <0，－2x ，x ≥0，∴f (－9)＝lg 10＝1，∴f (f (－9))＝f (1)＝－2.答案：－211．(2018·张掖一诊)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．解析：∵f (1)＝2，且f (1)＋f (a )＝0，∴f (a )＝－2＜0，故a ≤0. 依题知a ＋1＝－2，解得a ＝－3. 答案：－312．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－(x －1)2≥－1， 解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2， 故所求x 的取值范围是[－4,2]． 答案：[－4,2]13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)在如图所示的直角坐标系中画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，2x ，x ≥0.(2)函数f (x )的图象如图所示．第二节函数的单调性与最值一、基础知识1．增函数、减函数定义：设函数f(x)的定义域为I：(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．(2)减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征一是任意性；二是有大小，即x1<x2(x1>x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．2．单调性、单调区间若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.有关单调区间的两个防范(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．3．函数的最值设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．二、常用结论在公共定义域内：(1)函数f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)＋g(x)是增函数；(2)函数f (x )单调递减，g (x )单调递减，则f (x )＋g (x )是减函数； (3)函数f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )是增函数； (4)函数f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )是减函数；(5)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (6)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f (x )的单调性相反；(7)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性有关．简记：“同增异减”．考点一 确定函数的单调性(区间))[典例] (1)求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间． (2)试讨论函数f (x )＝ax x －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．[解] (1)易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x <0. 画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)法一：定义法 设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，则f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1).由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0， 故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上单调递增． 法二：导数法f ′(x )＝(ax )′(x －1)－ax (x －1)′(x －1)2＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a(x －1)2. 当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1,1)上单调递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．[解题技法] 判断函数单调性和求单调区间的方法(1)定义法：一般步骤为设元―→作差―→变形―→判断符号―→得出结论．(2)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性及区间．(4)性质法：对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及复合函数单调性性质进行判断；复合函数单调性，可用同增异减来确定．[题组训练]1．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝|x －1| C ．f (x )＝1x－xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选C 由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 、D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x 与y＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．2．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)解析：选D 令t ＝x 2－4，则y ＝log 12t .因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．3．判断函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，＋∞)上的单调性．解：设x 1，x 2是任意两个正数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )． 当0<x 1<x 2≤a 时，0<x 1x 2<a ，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数； 当a ≤x 1<x 2时，x 1x 2>a ，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．综上可知，函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．考点二 求函数的值域(最值))[典例] (1)(2019•深圳调研)函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________．(2)若函数f (x )＝－ax＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝________，b ＝________. (3)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x ，x ≤0，sin x ，x >0的最大值为________．[解析] (1)图象法函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x <2，2x －1，x ≥2.作出函数的图象如图所示．根据图象可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞)． (2)单调性法∵f (x )＝－ax ＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (x )max ＝f (2)＝2.即⎩⎨⎧－2a ＋b ＝12，－a2＋b ＝2，解得a ＝1，b ＝52.(3)当x ≤0时，f (x )＝－x 2－4x ＝－(x ＋2)2＋4，而－2∈(－∞，0]，此时f (x )在x ＝－2处取得最大值，且f (－2)＝4；当x >0时，f (x )＝sin x ，此时f (x )在区间(0，＋∞)上的最大值为1.综上所述，函数f (x )的最大值为4.[答案] (1)[3，＋∞) (2)1 52 (3)4[提醒] (1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域．(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．[题组训练]1．函数f (x )＝x 2＋4x 的值域为________．解析：当x >0时，f (x )＝x ＋4x ≥4，当且仅当x ＝2时取等号； 当x <0时，－x ＋⎝⎛⎭⎫－4x ≥4， 即f (x )＝x ＋4x ≤－4，当且仅当x ＝－2取等号，所以函数f (x )的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)． 答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞)2．若x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3，则函数y ＝4sin 2x －12sin x －1的最大值为________，最小值为________．解析：令t ＝sin x ，因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3， 所以t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1，y ＝f (t )＝4t 2－12t －1， 因为该二次函数的图象开口向上，且对称轴为t ＝32，所以当t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1时，函数f (t )单调递减，所以当t ＝－12时，y max ＝6；当t ＝1时，y min ＝－9. 答案：6 －93．已知f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1.若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立等价于x 2＋2x ＋a >0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即a >－x 2－2x 在x ∈[1，＋∞)上恒成立．又函数y ＝－x 2－2x 在[1，＋∞)上单调递减， ∴(－x 2－2x )max ＝－3，故a >－3，又∵a ≤1，∴－3<a ≤1. 答案：(－3,1]考点三 函数单调性的应用考法(一) 比较函数值的大小[典例] 设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )A ．f (π)>f (－3)>f (－2)B ．f (π)>f (－2)>f (－3)C ．f (π)<f (－3)<f (－2)D ．f (π)<f (－2)<f (－3)[解析] 因为f (x )是偶函数，所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)． 又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数． 所以f (π)>f (3)>f (2)，即f (π)>f (－3)>f (－2)． [答案] A[解题技法] 比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．考法(二) 解函数不等式[典例] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <2，x 2，x ≥2.若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，2]C ．[2,6]D ．[2，＋∞)[解析] 易知函数f (x )在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，∵f (a ＋1)≥f (2a －1)， ∴a ＋1≥2a －1，解得a ≤2.故实数a 的取值范围是(－∞，2]． [答案] B[解题技法] 求解含“f ”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g (x )>h (x )(或g (x )<h (x ))．考法(三) 利用单调性求参数的范围(或值)[典例] (2019•南京调研)已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．[解析] 设1<x 1<x 2，∴x 1x 2>1. ∵函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数， ∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a2－⎝⎛⎭⎫x 2－a x 2＋a 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1＋a x 1x 2<0.∵x 1－x 2<0，∴1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2.∵1<x 1<x 2，x 1x 2>1，∴－x 1x 2<－1，∴a ≥－1. ∴a 的取值范围是[－1，＋∞)． [答案] [－1，＋∞)[解题技法]利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．[题组训练]1．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c解析：选D 由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b >a >c .2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫14，12 B.⎣⎡⎦⎤14，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎭⎫12，1解析：选B 由对数函数的定义可得a >0，且a ≠1.又函数f (x )在R 上单调，而二次函数y ＝ax 2－x －14的图象开口向上，所以函数f (x )在R 上单调递减，故有⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，12a≥1，a ×12－1－14≥log a1－1，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，0<a ≤12，a ≥14.所以a ∈⎣⎡⎦⎤14，12.[课时跟踪检测]A 级1．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．2．若函数f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，则函数g (x )＝a (x 2－4x ＋3)的单调递增区间是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(4，＋∞)D ．(－∞，4)解析：选B 因为f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，所以a <0. 而g (x )＝a (x 2－4x ＋3)＝a (x －2)2－a .因为a <0，所以g (x )在(－∞，2)上单调递增．3．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23解析：选D 因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13. 所以0≤2x －1＜13，解得12≤x ＜23.4．(2019·菏泽模拟)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由题意知当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，又f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在相应的定义域内都为增函数，且f (1)＝－1，f (2)＝6，∴f (x )的最大值为6.5．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)( )A ．(－1,2)B ．(1,4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)解析：选D 由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f (x ＋1)＜1即为f (0)＜f (x ＋1)＜f (3)，所以0＜x ＋1＜3，所以－1＜x ＜2，故不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax －5，x ≤1，a x ，x >1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3,0)B ．(－∞，－2]C ．[－3，－2]D ．(－∞，0)解析：选C 若f (x )是R 上的增函数，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧－a2≥1，a <0，－12－a ×1－5≤a 1，解得－3≤a ≤－2.7．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为________．解析：设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3，所以函数f (x )的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t ＝x 2－2x －3在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．解析：当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.答案：29．若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，则a ＝________.解析：由f (x )＝1x 的图象知，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上是减函数，∵[2，a ]⊆(0，＋∞)，∴f (x )＝1x 在[2，a ]上也是减函数，∴f (x )max ＝f (2)＝12，f (x )min ＝f (a )＝1a ，∴12＋1a ＝34，∴a ＝4. 答案：410．(2019·甘肃会宁联考)若f (x )＝x ＋a －1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：f (x )＝x ＋a －1x ＋2＝x ＋2＋a －3x ＋2＝1＋a －3x ＋2，要使函数在区间(－2，＋∞)上是增函数，需使a －3<0，解得a <3.答案：(－∞，3)11．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值． 解：(1)证明：任取x 1＞x 2＞0， 则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，∵x 1＞x 2＞0，∴x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2， 解得a ＝25.12．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝xx ＋2.任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). 因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). 因为a ＞0，x 2－x 1＞0，又由题意知f (x 1)－f (x 2)＞0， 所以(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立，所以a ≤1. 所以0＜a ≤1.所以a 的取值范围为(0,1]．B 级1．若f (x )＝－x 2＋4mx 与g (x )＝2mx ＋1在区间[2,4]上都是减函数，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(0,1]B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0，＋∞)D ．(0,1]解析：选D 函数f (x )＝－x 2＋4mx 的图象开口向下，且以直线x ＝2m 为对称轴，若在区间[2,4]上是减函数，则2m ≤2，解得m ≤1；g (x )＝2m x ＋1的图象由y ＝2mx 的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[2,4]上是减函数，则2m >0，解得m >0.综上可得，m 的取值范围是(0,1]．2．已知函数f (x )＝ln x ＋x ，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则正数a 的取值范围是________． 解析：因为f (x )＝ln x ＋x 在(0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >a ＋3，a 2－a >0，a ＋3>0，解得－3<a <－1或a >3.又a >0，所以a >3. 答案：(3，＋∞)3．已知定义在R 上的函数f (x )满足：①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1，②当x >0时，f (x )>－1. (1)求f (0)的值，并证明f (x )在R 上是单调增函数; (2)若f (1)＝1，解关于x 的不等式f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4. 解：(1)令x ＝y ＝0，得f (0)＝－1.在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，f (x 1－x 2)>－1. 又f (x 1)＝f [(x 1－x 2)＋x 2]＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)＋1>f (x 2)， 所以函数f (x )在R 上是单调增函数． (2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5.由f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4得f (x 2＋x ＋1)>f (3)， 又函数f (x )在R 上是增函数，故x 2＋x ＋1>3， 解得x <－2或x >1，故原不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．第三节 函数的奇偶性与周期性一、基础知1．函数的奇偶性函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．若f (x )≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：(1)f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝1⇔f (x )为偶函数；(2)f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝－1⇔f (x )为奇函数．2．函数的周期性 (1)周期函数对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．周期函数定义的实质存在一个非零常数T ，使f (x ＋T )＝f (x )为恒等式，即自变量x 每增加一个T 后，函数值就会重复出现一次．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．二、常用结论1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有定义，则一定有f (0)＝0；如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性常用结论 对f (x )定义域内任一自变量x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)． (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a (a >0)． (3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a >0)．3．函数图象的对称性(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，即f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，即f (－x ＋b )＋f (x ＋b )＝0，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．考点一 函数奇偶性的判断[典例] 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝36－x 2|x ＋3|－3；(2)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (3)f (x )＝log 2(1－x 2)|x －2|－2；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0.[解] (1)由f (x )＝36－x 2|x ＋3|－3，可知⎩⎪⎨⎪⎧ 36－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－6≤x ≤6，x ≠0且x ≠－6，故函数f (x )的定义域为(－6,0)∪(0,6]，定义域不关于原点对称，故f (x )为非奇非偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，x 2－1≥0⇒x 2＝1⇒x ＝±1，故函数f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f (x )＝0，所以f (－x )＝f (x )＝－f (x )，所以函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x －2|－2≠0⇒－1<x <0或0<x <1，定义域关于原点对称．此时f (x )＝log 2(1－x 2)|x －2|－2＝log 2(1－x 2)2－x －2＝－log 2(1－x 2)x ，故有f (－x )＝－log 2[1－(－x )2]－x ＝log 2(1－x 2)x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数． (4)法一：图象法画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0的图象如图所示，图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数．法二：定义法易知函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，－x >0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x >0时，－x <0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )，故原函数是偶函数．法三：f (x )还可以写成f (x )＝x 2－|x |(x ≠0)，故f (x )为偶函数．[题组训练]1．(2018·福建期末)下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 B ．y ＝x 2＋e |x | C ．y ＝x cos xD ．y ＝ln|x |－sin x解析：选B 对于选项A ，易知y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4为非奇非偶函数；对于选项B ，设f (x )＝x 2＋e |x |，则f (－x )＝(－x )2＋e |－x |＝x 2＋e |x |＝f (x )，所以y ＝x 2＋e |x |为偶函数；对于选项C ，设f (x )＝x cos x ，则f (－x )＝－x cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，所以y ＝x cos x 为奇函数；对于选项D ，设f (x )＝ln|x |－sin x ，则f (2)＝ln 2－sin 2，f (－2)＝ln 2－sin(－2)＝ln 2＋sin 2≠f (2)，所以y ＝ln|x |－sin x 为非奇非偶函数，故选B.2．设函数f (x )＝e x －e －x2，则下列结论错误的是( )A ．|f (x )|是偶函数B ．－f (x )是奇函数C ．f (x )|f (x )|是奇函数D ．f (|x |)f (x )是偶函数解析：选D ∵f (x )＝e x －e －x2，则f (－x )＝e －x －e x2＝－f (x )．∴f (x )是奇函数． ∵f (|－x |)＝f (|x |)，∴f (|x |)是偶函数，∴f (|x |)f (x )是奇函数．考点二 函数奇偶性的应用[典例] (1)(2019·福建三明模拟)函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝2x ，则当x >0时，f (x )＝( )A ．－2xB ．2－xC ．－2－xD ．2x(2)(2018·贵阳摸底考试)已知函数f (x )＝a －2e x ＋1(a ∈R)是奇函数，则函数f (x )的值域为( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－3,3)D ．(－4,4)[解析] (1)当x >0时，－x <0，∵x <0时，f (x )＝2x ，∴当x >0时，f (－x )＝2－x .∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x .(2)法一：由f (x )是奇函数知f (－x )＝－f (x )，所以a －2e －x＋1＝－a ＋2e x ＋1，得2a ＝2e x＋1＋2e －x ＋1，所以a ＝1e x ＋1＋e x e x ＋1＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1.因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)．法二：函数f (x )的定义域为R ，且函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝a －1＝0，即a ＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1.因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)．[答案] (1)C (2)A[解题技法]应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．(3)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．[题组训练]1．(2019·贵阳检测)若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－1，则f (－6)＝( )A ．2B ．4C ．－2D ．－4解析：选C 根据题意得f (－6)＝－f (6)＝1－log 2(6＋2)＝1－3＝－2.2．已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为________．解析：法一：当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x .又因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋122＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14. 法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14，最小值为－14，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14.答案：143．(2018·合肥八中模拟)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 解析：∵f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即－x ln(a ＋x 2－x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)，从而ln[(a ＋x 2)2－x 2]＝0，即ln a ＝0，故a ＝1.答案：1考点三 函数的周期性[典例] (1)(2018·开封期末)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (2 019)＝( )A ．5 B.12C ．2D ．－2(2)(2018·江苏高考)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f (f (15))的值为________．[解析] (1)由f (x )＝－f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－(2＋0)＝－2.(2)由函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)， 可知函数f (x )的周期是4， 所以f (15)＝f (－1)＝⎪⎪⎪⎪－1＋12＝12， 所以f (f (15))＝f ⎝⎛⎭⎫12＝cos π4＝22. [答案] (1)D (2)22[题组训练]1．(2019·山西八校联考)已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫－112＝________. 解析：∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )， ∴f ⎝⎛⎭⎫－112＝f ⎝⎛⎭⎫52，又2≤x ≤3时，f (x )＝x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫52＝52，∴f ⎝⎛⎭⎫－112＝52. 答案：522．(2019·哈尔滨六中期中)设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0<x <1，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫214＝________. 解析：由题意可得f ⎝⎛⎭⎫214＝f ⎝⎛⎭⎫6－34＝f ⎝⎛⎭⎫－34＝4×⎝⎛⎭⎫－342－2＝14，f ⎝⎛⎭⎫14＝14.答案：14[课时跟踪检测]A 级1．下列函数为奇函数的是( ) A ．f (x )＝x 3＋1 B ．f (x )＝ln 1－x1＋xC ．f (x )＝e xD ．f (x )＝x sin x解析：选B 对于A ，f (－x )＝－x 3＋1≠－f (x )，所以其不是奇函数；对于B ，f (－x )＝ln 1＋x 1－x＝－ln1－x 1＋x＝－f (x )，所以其是奇函数；对于C ，f (－x )＝e －x ≠－f (x )，所以其不是奇函数；对于D ，f (－x )＝－x sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以其不是奇函数．故选B.2．(2019·南昌联考)函数f (x )＝9x ＋13x 的图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝x 对称解析：选B 因为f (x )＝9x ＋13x ＝3x ＋3－x ，易知f (x )为偶函数，所以函数f (x )的图象关于y轴对称．3．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0，则f (－7)＝( )A ．3B ．－3C ．2D ．－2解析：选B 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0，所以f (－7)＝－f (7)＝－log 2(7＋1)＝－3.4．若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( ) A ．e x －e －xB.12(e x ＋e －x )C.12(e －x －e x ) D.12(e x －e －x )解析：选D 因为f (x )＋g (x )＝e x ，所以f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x ， 所以g (x )＝12(e x －e －x )．。

第7讲 函数的图象1．函数y ＝x 2－2|x |的图象是( )解析：选B.由y ＝x 2－2|x |知是偶函数，故图象关于y 轴对称，排除C.当x ≥0时，y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1.即当x ＝0时，y ＝0，当x ＝1时，y ＝－1，排除A 、D ，故选B.2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1ln （x ＋a ），x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)等于( )A ．－12B ．－54C ．－1D ．－2解析：选 C.由图象可得a (－1)＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，得a ＝2，b ＝5，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x <－1ln （x ＋2），x ≥－1，故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故选C. 3．已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1，1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)解析：选C.将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．4.已知函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，则函数y ＝f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝e xln xB ．f (x )＝e －xln|x | C ．f (x )＝e xln|x | D ．f (x )＝e |x |ln|x |解析：选C.如题干图所示，函数定义域中有负数，排除选项A.函数不是偶函数，排除选项D.当x →＋∞时，f (x )增长速度越来越快，与B 选项不符合，故排除选项B.当x →－∞时，由f (x )增长速度放缓，也可以排除选项B ，D.5．已知函数y ＝f (1－x )的图象如图所示，则y ＝f (1＋x )的图象为( )解析：选B.因为y ＝f (1－x )的图象过点(1，a )，故f (0)＝a .所以y ＝f (1＋x )的图象过点(－1，a )，选B.6.如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f ⎝⎛⎭⎪⎫1f （3）的值等于________．解析：由图象知f (3)＝1，所以1f （3）＝1.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f （3）＝f (1)＝2.答案：2 7．若函数f (x )＝ax －2x －1的图象关于点(1，1)对称，则实数a ＝________． 解析：函数f (x )＝ax －2x －1＝a ＋a －2x －1，当a ＝2时， f (x )＝2(x ≠1)，函数f (x )的图象不关于点(1，1)对称，故a ≠2，其图象的对称中心为(1，a )，所以a ＝1.答案：18．设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：如图，作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知：当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)． 答案：[－1，＋∞) 9．已知函数f (x )＝x1＋x. (1)画出f (x )的草图； (2)指出f (x )的单调区间．解：(1)f (x )＝x 1＋x ＝1－1x ＋1，函数f (x )的图象是由反比例函数y ＝－1x的图象向左平移1个单位后，再向上平移1个单位得到的，图象如图所示．(2)由图象可以看出，函数f (x )有两个单调增区间： (－∞，－1)，(－1，＋∞)．10．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值； (2)作出函数f (x )的图象；(3)若方程f (x )＝a 只有一个实数根，求a 的取值范围．解：(1)因为f (4)＝0，所以4|m －4|＝0，即m ＝4. (2)f (x )＝x |x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －4）＝（x －2）2－4，x ≥4，－x （x －4）＝－（x －2）2＋4，x <4， f (x )的图象如图所示．(3)从f (x )的图象可知，当a >4或a <0时，f (x )的图象与直线y ＝a 只有一个交点，方程f (x )＝a 只有一个实数根，即a 的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是( ) A ．f (x 1)＋f (x 2)<0 B ．f (x 1)＋f (x 2)>0 C ．f (x 1)－f (x 2)>0D ．f (x 1)－f (x 2)<0解析：选D.函数f (x )的图象如图所示：且f (－x )＝f (x )，从而函数f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数． 又0<|x 1|<|x 2|，所以f (x 2)>f (x 1)， 即f (x 1)－f (x 2)<0.2．已知函数f (x )＝x 2＋e x －12(x <0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1eB ．(－∞，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，eD.⎝⎛⎭⎪⎫－e ，1e解析：选B.由题意知，设x 0∈(－∞，0)，使得f (x 0)＝g (－x 0)，即x 20＋e x 0－12＝(－x 0)2＋ln(－x 0＋a )，所以e x0－ln(－x 0＋a )－12＝0.令y 1＝e x－12，y 2＝ln(－x ＋a )，要使得函数图象的交点A 在y 轴左侧，如图，则ln a <12＝ln e 12，所以a <e 12.3．(2019·辽宁沈阳模拟)已知函数f (x )＝ln(x ＋m )的图象与g (x )的图象关于x ＋y ＝0对称，且g (0)＋g (－ln 2)＝1，则m ＝________．解析：设点(x ，y )在g (x )的图象上，因为函数f (x )的图象与g (x )的图象关于x ＋y ＝0对称，则(－y ，－x )在f (x )的图象上，所以－x ＝ln(－y ＋m )，即y ＝m －e －x，因此g (x )＝m －e －x.又因为g (0)＝m －1，g (－ln 2)＝m －2，所以m －1＋m －2＝1，解得m ＝2. 答案：24．设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －a |的图象关于直线x ＝1对称，则实数a 的值为________． 解析：法一：因为f (2－x )＝|3－x |＋|2－x －a |＝|x ＋a －2|＋|x －3|.又函数y ＝f (x )关于直线x ＝1对称． 故f (x )＝f (2－x )，即|x ＋1|＋|x －a |＝|x ＋a －2|＋|x －3|对x ∈R 恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，a －2＝1，即a ＝3.法二：由绝对值的几何意义知函数图象的两个“转折”点的横坐标分别为－1和a ，x ＝－1，x ＝a 关于x ＝1对称，故a －1＝2，则a ＝3.答案：35．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0，1)对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x，且g (x )在区间(0，2]上为减函数，求实数a 的取值范围． 解：(1)设f (x )图象上任一点P (x ，y )，则点P 关于(0，1)点的对称点P ′(－x ，2－y )在h (x )的图象上，即2－y ＝－x －1x＋2，即y ＝f (x )＝x ＋1x(x ≠0)．(2)g (x )＝f (x )＋a x ＝x ＋a ＋1x， g ′(x )＝1－a ＋1x2.因为g (x )在(0，2]上为减函数，所以1－a ＋1x 2≤0在(0，2]上恒成立， 即a ＋1≥x 2在(0，2]上恒成立， 所以a ＋1≥4，即a ≥3，故实数a 的取值范围是[3，＋∞)． 6．已知函数f (x )＝2x，x ∈R .(1)当m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？ (2)若不等式[f (x )]2＋f (x )－m >0在R 上恒成立，求m 的取值范围．解：(1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x－2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示，由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个解． (2)令f (x )＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，因为H (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H (t )>H (0)＝0.因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立， 应有m ≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0]．。

教学资料范本2020高考数学一轮复习第2章函数的概念与基本初等函数第4讲二次函数分层演练文-精装版编辑：__________________时间：__________________【精选】20xx 最新高考数学一轮复习 第2章 函数的概念与基本初等函数 第4讲 二次函数分层演练 文一、选择题1．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为( )A ．g(x)＝2x2－3xB ．g(x)＝3x2－2xC ．g(x)＝3x2＋2xD ．g(x)＝－3x2－2x 解析：选B.法一：设g(x)＝ax2＋bx ＋c(a≠0)，因为g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，所以，解得，所以g(x)＝3x2－2x ，故选B.法二：设g(x)＝a(x －k)2＋h(a≠0)，由已知得，解得，所以g(x)＝3－，即g(x)＝3x2－2x.2．已知函数f(x)＝x2＋(a ＋1)x ＋ab ，若不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x ≤4}，则a ＋2b 的值为( )A ．－2B ．3C ．－3D ．2 解析：选A.依题意，－1，4为方程x2＋(a ＋1)x ＋ab ＝0的两根，所以解得所以a ＋2b 的值为－2，故选A.3．已知函数f(x)＝－2x2＋bx ，若对任意的实数t 都有f(4＋t)＝f(4－t)，则f(－2)，f(4)，f(5)的大小关系为( ) A ．f(5)>f(－2)>f(4) B ．f(4)>f(5)>f(－2) C ．f(4)>f(－2)>f(5) D ．f(－2)>f(4)>f(5) 解析：选B.因为对任意的实数t 都有f(4＋t)＝f(4－t)，所以函数f(x)＝－2x2＋bx 的图象关于直线x ＝4对称，所以f(－2)＝f(10)，又函数f(x)＝－2x2＋bx 的图象开口向下，所以函数f(x)在[4，＋∞)上是减函数，因为4<5<10，所以f(4)>f(5)>f(10)，即f(4)>f(5)>f(－2)．4．(20xx ·南昌模拟)已知函数f(x)＝x2＋ax ＋b 的图象过坐标原点，且满足f(－x)＝f(－1＋x)，则函数f(x)在[－1，3]上的值域为( ) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，1212] B.，[0．A⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，12D. ．C解析：选B.因为函数f(x)＝x2＋ax ＋b 的图象过坐标原点，所以f(0)＝0，所以b ＝0.因为f(－x)＝f(－1＋x)，所以函数f(x)的图象的对称轴为x ＝－，所以a ＝1，所以f(x)＝x2＋x ＝－，所以函数f(x)在上为减函数，在上为增函数，故当x ＝－时，函数f(x)取得最小值－.又f(－1)＝0，f(3)＝12，故函数f(x)在[－1，3]上的值域为，故选B.5．(20xx ·衡阳模拟)若不等式x2－2x ＋5≥a2－3a 对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．[－2，5)D ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)解析：选A.令f(x)＝x2－2x ＋5＝(x －1)2＋4, 则f(x)的最小值为4，若不等式x2－2x ＋5≥a2－3a 对任意的实数x 恒成立，则a2－3a≤4，解得－1≤a≤4，故选A.6．若函数y ＝x2－3x －4的定义域为[0，m]，值域为，则m 的取值范围是( )4] ，[0．A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4B.．C ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3D. 解析：选D.二次函数图象的对称轴为x ＝，且f ＝－，f(3)＝f(0)＝－4，由图得m∈.二、填空题7．已知二次函数的图象与x 轴只有一个交点，对称轴为x ＝3，与y 轴交于点(0，3)．则它的解析式为________．解析：由题意知，可设二次函数的解析式为y ＝a(x －3)2，又图象与y 轴交于点(0，3)，所以3＝9a ，即a ＝.所以y ＝(x －3)2＝x2－2x ＋3.答案：y ＝x2－2x ＋38．已知函数f(x)＝x2－2ax ＋2a ＋4的定义域为R ，值域为[1，＋∞)，则a 的值为________．解析：由于函数f(x)的值域为[1，＋∞)，所以f(x)min ＝1.又f(x)＝(x －a)2－a2＋2a ＋4，当x∈R 时，f(x)min ＝f(a)＝－a2＋2a ＋4＝1，即a2－2a －3＝0，解得a ＝3或a ＝－1.答案：－1或3 9．(20xx·吉林模拟)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3在(－∞，1]上单调递减，当x∈[a＋1，1]时，f(x)的最大值与最小值之差为g(a)，则g(a)的最小值为________．解析：函数f(x)＝x2＋2ax＋3的图象的对称轴是x＝－a，因为函数f(x)在(－∞，1]上单调递减，所以－a≥1，即a≤－1，且函数f(x)＝x2＋2ax＋3在区间[a＋1，1]上单调递减，所以f(x)max＝f(a＋1)＝(a＋1)2＋2a(a＋1)＋3＝3a2＋4a＋4，f(x)min＝f(1)＝2a＋4，所以g(a)＝f(a＋1)－f(1)＝3a2＋2a，a∈(－∞，－1]，且函数g(a)的图象的对称轴为a＝－，所以g(a)在(－∞，－1]上单调递减，所以g(a)min＝g(－1)＝1.答案：1 10．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．解析：根据函数f(x)＝x2＋ax＋b≥0，得到a2－4b＝0，又因为关于x的不等式f(x)<c，可化为：x2＋ax＋b－c<0，它的解集为(m，m＋6)，设函数g(x)＝x2＋ax＋b－c的图象与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，则|x2－x1|＝m＋6－m＝6，从而(x2－x1)2＝36，即(x1＋x2)2－4x1x2＝36，又因为x1x2＝b－c，x1＋x2＝－a，a2－4(b－c)＝a2－4b＋4c＝36，代入a2－4b＝0得到c＝9.答案：9三、解答题11．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数，a≠0，x∈R)．(1)若函数f(x)的图象过点(－2，1)，且方程f(x)＝0有且只有一个根，求f(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，当x∈[－1，2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围．解：(1)因为f(－2)＝1，即4a－2b＋1＝1，所以b＝2a.因为方程f(x)＝0有且只有一个根，所以Δ＝b2－4a＝0.所以4a2－4a＝0，所以a＝1，b＝2.所以f(x)＝x2＋2x＋1. (2)g(x)＝f(x)－kx＝x2＋2x＋1－kx＝x2－(k－2)x＋1＝＋1－.由g(x)的图象知，要满足题意，则≥2或≤－1，即k≥6或k≤0，所以所求实数k的取值范围为(－∞，0]∪[6，＋∞)．12．已知函数f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2，2]时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．解：要使f(x)≥0恒成立，则函数在区间[－2，2]上的最小值不小于0，设f(x)的最小值为g(a)．f(x)的对称轴为x＝－.(1)当－<－2，即a>4时，g(a)＝f(－2)＝7－3a≥0，得a≤，故此时a 不存在；(2)当－∈[－2，2]，即－4≤a≤4时，g(a)＝f＝3－a－≥0，得－6≤a≤2，又－4≤a≤4，故－4≤a≤2；(3)当－>2，即a<－4时，g(a)＝f(2)＝7＋a≥0，得a≥－7，又a<－4，故－7≤a<－4，综上得－7≤a≤2.。

§2.1函数及其表示1．函数的基本概念(1)函数的定义设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域函数y＝f(x)，x∈A中，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域，所有函数值构成的集合{y|y ＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．(3)确定一个函数的两个要素：定义域和对应法则．2．设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x)．于是y＝f(x)，x称作y的原象．映射f也可记为：f：A→B，x→f(x)．其中A叫做映射f的定义域(函数定义域的推广)，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域，通常记作f(A)．3．函数解析式的求法求函数解析式常用方法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法． 4．函数的表示法(1)函数的常用表示方法：列表法、图象法、解析法．(2)分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数． 概念方法微思考请你概括一下求函数定义域的类型．提示 (1)分式型；(2)根式型；(3)对数式型；(4)指数函数、对数函数型；(5)三角函数型．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于函数f ：A →B ，其值域就是集合B .( × )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( × ) (3)函数f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点．( √ )(4)若A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |，其对应是从A 到B 的映射．( × ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( × ) 题组二 教材改编 2．函数f (x )＝4－xx －1的定义域是________． 答案 (－∞，1)∪(1,4]3．函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x 值与之对应的y 值的范围是________．答案 [－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5] 题组三 易错自纠4．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列各对应关系f 不能表示从P 到Q 的函数的是________．(填序号)①f ：x →y ＝12x ；②f ：x →y ＝13x ；③f ：x →y ＝23x ；④f ：x →y ＝x .答案 ③解析 对于③，因为当x ＝4时，y ＝23×4＝83∉Q ，所以③不是从P 到Q 的函数．5．已知f (x )＝x －1，则f (x )＝____________.答案 x 2－1(x ≥0)解析 令t ＝x ，则t ≥0，x ＝t 2，所以f (t )＝t 2－1(t ≥0)，即f (x )＝x 2－1(x ≥0)．6．设函数f (x )＝⎩⎨⎧(x ＋1)2，x <1，4－x －1，x ≥1，则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为___________．答案 (－∞，－2]∪[0,10]解析 ∵f (x )是分段函数，∴f (x )≥1应分段求解．当x <1时，f (x )≥1⇒(x ＋1)2≥1⇒x ≤－2或x ≥0，∴x ≤－2或0≤x <1.当x ≥1时，f (x )≥1⇒4－x －1≥1，即x －1≤3，∴1≤x ≤10.综上所述，x ≤－2或0≤x ≤10，即x ∈(－∞，－2]∪[0,10].题型一 函数的定义域命题点1 求函数的定义域例1 (1)(2018·江苏)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________． 答案 {x |x ≥2}解析 由log 2x －1≥0，即log 2x ≥log 22，解得x ≥2， 满足x >0，所以函数f (x )＝log 2x －1的定义域为{x |x ≥2}．(2)函数f (x )＝1x ln x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4的定义域为________________．答案 [－4,0)∪(0,1) 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x 2－3x ＋2>0，－x 2－3x ＋4≥0，解得－4≤x <0或0<x <1，故函数f (x )的定义域为[－4,0)∪(0,1)．(3)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2 020]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是( )A ．[－1,2 019]B ．[－1,1)∪(1,2 019]C ．[0,2 020]D ．[－1,1)∪(1,2 020]答案 B解析 使函数f (x ＋1)有意义，则0≤x ＋1≤2 020，解得－1≤x ≤2 019，故函数f (x ＋1)的定义域为[－1，2 019]．所以函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2 019，x －1≠0， 解得－1≤x <1或1<x ≤2 019.故函数g (x )的定义域为[－1,1)∪(1,2 019]． 引申探究本例(3)中，若将“函数y ＝f (x )的定义域为[0,2 020]”，改为“函数f (x －1)的定义域为 [0,2 020]”，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域为________．答案 [－2,1)∪(1,2 018]解析 由函数f (x －1)的定义域为[0,2 020]， 得函数y ＝f (x )的定义域为[－1,2 019]，令⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋1≤2 019，x ≠1， 则－2≤x ≤2 018且x ≠1. 所以函数g (x )的定义域为[－2,1)∪(1,2 018]． 命题点2 已知定义域求参数的值或范围例2 (1)若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________． 答案 －92解析 函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，1＋2＝－b ，1×2＝b a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92.(2)设f (x )的定义域为[0,1]，要使函数f (x －a )＋f (x ＋a )有定义，则a 的取值范围为____________． 答案 ⎣⎡⎦⎤－12，12 解析 函数f (x －a )＋f (x ＋a )的定义域为[a ,1＋a ]∩[－a ,1－a ]，当a ≥0时，应有a ≤1－a ，即0≤a ≤12；当a <0时，应有－a ≤1＋a ，即－12≤a <0.所以a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，12. 思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍．(2)求抽象函数的定义域①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域； ②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域． (3)已知函数定义域求参数的值或范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解． 跟踪训练1 (1)若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( )A ．[0,1)B ．[0,1]C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)答案 A解析 函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，要使函数g (x )有意义，可得⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x <1，故选A.(2)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 答案 (0,1]解析 函数的定义域满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，1＋1x >0，1－x 2≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >0或x <－1，－1≤x ≤1，∴0<x ≤1.(3)记函数f (x )＝2－x ＋3x ＋1的定义域为A ，g (x )＝lg[(x －a －1)(2a －x )](a <1)的定义域为B .若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为________________． 答案 (－∞，－2]∪⎣⎡⎭⎫12，1解析 由已知得A ＝{x |x <－1或x ≥1}，B ＝{x |(x －a －1)(x －2a )<0}，由a <1得a ＋1>2a ，∴B ＝{x |2a <x <a ＋1}．∵B ⊆A ，∴a ＋1≤－1或2a ≥1，∴a ≤－2或12≤a <1.∴a 的取值范围为a ≤－2或12≤a <1.题型二 求函数的解析式1．若f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x1－x ，则当x ≠0，且x ≠1时，f (x )等于( ) A.1x B.1x －1 C.11－x D.1x －1 答案 B解析 f (x )＝1x1－1x＝1x －1(x ≠0且x ≠1)．2．已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________. 答案 12x 2－32x ＋2解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.3．定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )＝________________. 答案 23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )(－1<x <1)解析 当x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① 将x 换成－x ，则－x 换成x ，得 2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．②由①②消去f (－x )得，f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )(－1<x <1)．思维升华 函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)消去法：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )． 题型三 常见函数的值域求下列函数的值域： (1)y ＝3x 2－x ＋2，x ∈[1,3]； (2)y ＝3x ＋1x －2；(3)y ＝x ＋41－x ； (4)y ＝2x 2－x ＋12x －1⎝⎛⎭⎫x >12. 解 (1)(配方法)因为y ＝3x 2－x ＋2＝3⎝⎛⎭⎫x －162＋2312， 所以函数y ＝3x 2－x ＋2在[1,3]上单调递增． 当x ＝1时，原函数取得最小值4； 当x ＝3时，原函数取得最大值26.所以函数y ＝3x 2－x ＋2(x ∈[1,3])的值域为[4,26]． (2)(分离常数法)y ＝3x ＋1x －2＝3(x －2)＋7x －2＝3＋7x －2，因为7x －2≠0，所以3＋7x －2≠3，所以函数y ＝3x ＋1x －2的值域为{y |y ≠3}．(3)(换元法)设t ＝1－x ，t ≥0，则x ＝1－t 2，所以原函数可化为y ＝1－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋5(t ≥0)，所以y ≤5， 所以原函数的值域为(－∞，5]． (4)(均值不等式法) y ＝2x 2－x ＋12x －1＝x (2x －1)＋12x －1＝x ＋12x －1＝x －12＋12x －12＋12，因为x >12，所以x －12>0，所以x －12＋12x －12≥2⎝⎛⎭⎫x －12·12⎝⎛⎭⎫x －12＝2，当且仅当x －12＝12x －12，即x ＝1＋22时取等号．所以y ≥2＋12，即原函数的值域为⎣⎡⎭⎫2＋12，＋∞.思维升华 配方法、分离常数法和换元法是求函数值域的有效方法，但要注意各种方法所适用的函数形式，还要注意函数定义域的限制．换元法多用于无理函数，换元的目的是进行化归，把无理式转化为有理式来解．二次分式型函数求值域，多采用分离出整式再利用均值不等式求解．题型四 分段函数命题点1 求分段函数的函数值例3 (1)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f (f (－3))等于( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3 答案 B解析 由题意得f (0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2，解得b ＝1； f (－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3，解得a ＝12.故f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9， 从而f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x ，x ≥3，f (x ＋1)，x <3，则f (2＋log 32)的值为________．答案154解析 ∵2＋log 31<2＋log 32<2＋log 33，即2<2＋log 32<3，∴f (2＋log 32)＝f (2＋log 32＋1)＝f (3＋log 32)，又3<3＋log 32<4，∴f (3＋log 32)＝33log 213⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＝⎝⎛⎭⎫133×3log 213⎛⎫⎪⎝⎭＝127×3log 21(3)－＝127×3log 23－＝127×31log 23＝127×12＝154，∴f (2＋log 32)＝154. 命题点2 分段函数与方程、不等式问题例4 (1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝12的x 的集合为__________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22解析 由题意知，若x ≤0，则2x ＝12，解得x ＝－1；若x >0，则|log 2x |＝12，解得x ＝122或x ＝122-.故x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22. (2)已知函数f (x )＝13log ,02,0xx x x ⎧⎪⎨⎪⎩＞，≤，若f (a )>12，则实数a 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫－1，33解析 当a ≤0时，令2a >12，解得－1<a ≤0；当a >0时，令13log a >12，解得0<a <33.∴a ∈(－1,0]∪⎝⎛⎭⎫0，33，即a ∈⎝⎛⎭⎫－1，33. 思维升华 (1)分段函数的求值问题的解题思路①求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．跟踪训练2 (1)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．答案 －34解析 当a >0时，1－a <1,1＋a >1， 由f (1－a )＝f (1＋a )，可得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ， 解得a ＝－32，不合题意；当a <0时，1－a >1,1＋a <1， 由f (1－a )＝f (1＋a )，可得 －(1－a )－2a ＝2(1＋a )＋a ， 解得a ＝－34，符合题意．综上，a ＝－34.(2)(2018·全国Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)答案 D解析 方法一 ①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)<f (2x )即为2－(x ＋1)<2－2x ，即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1.因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，2x ≤0，即－1<x ≤0时，f (x ＋1)<f (2x )即1<2－2x ，解得x <0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x >0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)． 故选D.方法二 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示．由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数，故f (x ＋1)<f (2x )转化为x ＋1>2x . 此时x ≤－1.当2x <0且x ＋1>0时，f (2x )>1，f (x ＋1)＝1， 满足f (x ＋1)<f (2x )． 此时－1<x <0.综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1,0)＝(－∞，0)． 故选D.1．下列图象可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的是( )答案 C解析 A 选项中的值域不满足，B 选项中的定义域不满足，D 选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项C 正确．2．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝e ln x ，g (x )＝x B ．f (x )＝x 2－4x ＋2，g (x )＝x －2C ．f (x )＝sin 2x2cos x，g (x )＝sin xD ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2答案 D解析 A ，B ，C 的定义域不同，所以答案为D. 3．函数f (x )＝1x －2＋ln(3x －x 2)的定义域是( ) A ．(2，＋∞) B ．(3，＋∞) C ．(2,3) D ．(2,3)∪(3，＋∞)答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，3x －x 2>0，解得2<x <3， 则该函数的定义域为(2,3)，故选C.4．(2018·营口联考)若函数f (x 2＋1)的定义域为[－1,1]，则f (lg x )的定义域为( ) A ．[－1,1] B ．[1,2] C ．[10,100] D ．[0，lg 2] 答案 C解析 因为f (x 2＋1)的定义域为[－1,1]，则－1≤x ≤1，故0≤x 2≤1，所以1≤x 2＋1≤2.因为f (x 2＋1)与f (lg x )是同一个对应关系，所以1≤lg x ≤2，故10≤x ≤100，所以函数f (lg x )的定义域为[10,100]．故选C.5．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A ．－74 B.74 C.43 D ．－43答案 B解析 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，所以f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1， 所以f (a )＝4a －1＝6，即a ＝74.6.如图，△AOD 是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD 是四分之一圆的扇形，点P 在线段AB 上，PQ ⊥AB ，且PQ 交AD 或交弧DB 于点Q ，设AP ＝x (0<x <2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ (或APQD )的面积为y ，则函数y ＝f (x )的大致图象是( )答案 A解析 观察可知阴影部分的面积y 的变化情况为：(1)当0<x ≤1时，y 随x 的增大而增大，而且增加的速度越来越快．(2)当1<x <2时，y 随x 的增大而增大，而且增加的速度越来越慢．分析四个答案中的图象，只有选项A 符合条件．7．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝x1＋x 2(x ≠－1)B ．f (x )＝－2x1＋x 2(x ≠－1) C ．f (x )＝2x1＋x 2(x ≠－1)D ．f (x )＝－x1＋x 2(x ≠－1) 答案 C解析 令1－x 1＋x ＝t ，则x ＝1－t 1＋t ，所以f (t )＝(1＋t )2－(1－t )2(1＋t )2＋(1－t )2＝2t 1＋t 2，故函数f (x )的解析式为f (x )＝2x1＋x 2(x ≠－1)，故选C.8．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x 2＋t )，x <0，3(t －1)x ，x ≥0，且f ⎝⎛⎭⎫12＝6，则f (f (－2))的值为( ) A ．27 B ．243 C.127 D.1243答案 B解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫12＝3×12(1)t －＝6，∴t ＝5，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x 2＋5)，x <0，3×4x，x ≥0， ∴f (－2)＝log 2[(－2)2＋5]＝log 29>0， f (f (－2))＝f (log 29)＝3×2log 94＝3×22log 92＝3×22log 92＝3×81＝243.故选B.9．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. 答案 2x ＋7解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝ax ＋5a ＋b ，所以ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17对任意实数x 都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，5a ＋b ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，所以f (x )＝2x ＋7. 10．函数y ＝x 2x 2－x ＋1的值域是________．答案 ⎣⎡⎦⎤0，43解析 若x ＝0，则y ＝0；若x ≠0，则y ＝1⎝⎛⎭⎫1x 2－⎝⎛⎭⎫1x ＋1＝1⎝⎛⎭⎫1x －122＋34∈⎝⎛⎦⎤0，43. 故所求值域为⎣⎡⎦⎤0，43. 11．(2018·呼和浩特模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋log 2x ，x >0，x 2－x －1，x ≤0，则不等式f (x )≤5的解集为________．答案 [－2,4]解析 由于f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋log 2x ，x >0，x 2－x －1，x ≤0，当x >0时，令3＋log 2x ≤5， 即log 2x ≤2＝log 24，解得0<x ≤4； 当x ≤0时，令x 2－x －1≤5， 即(x －3)(x ＋2)≤0，解得－2≤x ≤3，∴－2≤x ≤0.∴不等式f (x )≤5的解集为[－2,4]．12．定义新运算“★”：当m ≥n 时，m ★n ＝m ；当m <n 时，m ★n ＝n 2.设函数f (x )＝(2★x )x －(4★x )，x ∈[1,4]，则函数f (x )的值域为____________． 答案 [－2,0]∪(4,60]解析 由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，x ∈[1，2]，x 3－4，x ∈(2，4]，当x ∈[1,2]时，f (x )∈[－2,0]； 当x ∈(2,4]时，f (x )∈(4,60]，故当x ∈[1,4]时，f (x )∈[－2,0]∪(4,60]．13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x <0，x 2－2x ，x ≥0，若f (f (－2))>f (t )，则实数t 的取值范围是____________．答案 (－4,4)解析 f (－2)＝4，f (4)＝8，不等式f (f (－2))>f (t )可化为f (t )<8.当t <0时，－2t <8，得－4<t <0；当t ≥0时，t 2－2t <8，即(t －1)2<9，得0≤t <4.综上所述，t 的取值范围是(－4,4)．14．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称f (x )为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是____________．(填序号) 答案 ①③解析 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足； 对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x＝1，－x ，1x>1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足．综上，满足“倒负”变换的函数是①③.15．已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ()1＋x ＋f ()1－x ＝4成立，则f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋f ⎝⎛⎭⎫38＋…＋f ⎝⎛⎭⎫158＝________. 答案 30解析 由f ()1＋x ＋f ()1－x ＝4， 得f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫158＝4，f ⎝⎛⎭⎫28＋f ⎝⎛⎭⎫148＝4， …，f ⎝⎛⎭⎫78＋f ⎝⎛⎭⎫98＝4， 又f ⎝⎛⎭⎫88＝2，∴f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋f ⎝⎛⎭⎫38＋…＋f ⎝⎛⎭⎫158 ＝4×7＋2＝30.16.如图为一木制框架，框架的下部是边长分别为x ，y (单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为4 m 2，设用x 表示y 的表达式为f (x )，则f (x )＝______________.答案 4x －x4(0<x <4)解析 由已知x ·y ＋12·x ·12x ＝4，∴y ＝4x －14x ，即f (x )＝4x －x 4.又⎩⎪⎨⎪⎧x >0，4x －x 4>0，得0<x <4.。

第 9 讲 函数模型及其应用1．在某种新式资料的研制中，实验人员获取了以下一组实验数据，现准备用以下四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，此中最靠近的一个是( )x 1.992345.156.126y1.5174.041 8 7.51218.01A ． y ＝2x － 2B ． y ＝ 1( x 2－1)2C ． y ＝log2xD ． y ＝ log 1x2分析：选B ．由题中表可知函数在(0 ，＋∞ ) 上是增函数，且y 的变化随 x的增大而增大得愈来愈快，剖析选项可知B 切合，应选B ．2．某工厂 6 年来生产某种产品的状况是：前年产量保持不变， 则该厂 6 年来这类产品的总产量3 年年产量的增添速度愈来愈快，后 3 年C 与时间 t ( 年 ) 的函数关系图象正确的选项是( )分析：选 A ．前 3 年年产量的增添速度愈来愈快，说明呈高速增添，只有A 、 C 图象符合要求，尔后 3 年年产量保持不变，应选 A ．3．一种放射性元素的质量按每年10%衰减，这类放射性元素的半衰期 ( 节余质量为最先 质量的一半所需的时间叫作半衰期 ) 是( 精准到0.1 ，已知 lg 2 ＝ 0.301 0， lg 3 ＝ 0.4771)()A ． 5.2B ． 6.6C ． 7.1D ． 8.3分析：选 B ．设这类放射性元素的半衰期是x1 x1 x 年，则 (1 － 10%)＝ ，化简得 0.9＝ ，即2211lg 2－ lg 2－ 0.301 0x ＝ log 0.9 2＝ lg 0.9＝2lg 3 －1＝ 2×0.477 1 － 1≈6.6( 年 ) ．应选 B ．4．某单位为鼓舞员工节俭用水，作出了以下规定：每位员工每个月用水不超出10 m 3 的，按每立方米元收费；用水超出10 m 3 的，超出部分加倍收费．某员工某月缴水费16 元，mm则该员工这个月实质用水为 ( )33A． 13 m B． 14 mC． 18 m3D． 26 m 3分析：选 A．设该员工用水x m3时，缴纳的水费为y 元，由题意得mx(0< x≤10)，y＝10m＋ ( x－10) ·2m( x>10) ，则 10m＋ ( x－10) ·2m＝ 16m，解得 x＝13.5. 某厂有很多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低耗费，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片( 如图中暗影部分) 备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y 应为()A．x＝15，y＝ 12B．x＝ 12，y＝ 15C．x＝14，y＝ 10D．x＝ 10，y＝ 14分析：选 A．由三角形相像得24－y x. 得x5y) ，所以＝5y－ 12)2＋＝＝ (24－＝－ (24－ 8 204S xy4180，所以当 y＝12时， S 有最大值，此时 x＝15.查验切合题意．6．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的状况．加油时间加油量 (升)加油时的累计里程(千米)2016年 5月1日1235 0002016 年 5月 15 日4835 600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的行程．在这段时间内，该车每100 千米均匀耗油量为________升．分析：由于每次都把油箱加满，第二次加了48 升油，说明这段时间总耗油量为48 升，而行驶的行程为 35 600 － 35 000＝ 600( 千米 ) ，故每 100 千米均匀耗油量为48÷6＝ 8( 升 ) ．答案： 87．某市出租车收费标准以下：起步价为8 元，起步里程为 3 km(不超出 3 km 按起步价付费 ) ；超出 3 km 但不超出8 km 时，超出部分按每千米 2.15 元收费；超出8 km 时，超出部分按每千米 2.85 元收费，另每次乘坐需付燃油附带费 1 元．现某人乘坐一次出租车付费22.6 元，则此次出租车行驶了________km.分析：设出租车行驶 x km时，付费 y 元，9，0＜x≤3，则 y＝8＋2.15(x－3)＋1，3＜x≤8，8＋2.15 ×5＋ 2.85( x－8) ＋ 1，x＞ 8，由 y＝22.6，解得 x＝9.答案： 98．里氏震级M的计算公式为： M＝lg A－lg A0，此中 A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅， 0 是相应的标准地震的振幅．假定在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是 1 000，A此时标准地震的振幅为0.001 ，则此次地震的震级为________ 级； 9 级地震的最大振幅是 5级地震最大振幅的________倍．分析：＝ lg 1 000 － lg 0.001＝3－( －3)＝6.M设 9 级地震的最大振幅和 5 级地震的最大振幅分别为A，A，1210A A9则 9＝lg A－ lg A ＝lg11，，则＝ 10A0A0A A5A45＝ lg A2－ lg A0＝ lg221，则＝10 ，所以＝10 .A0A0A2即 9 级地震的最大振幅是 5 级地震最大振幅的10 000 倍．答案： 6 10 0009．某医药研究所开发的一种新药，假如成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间 t (小时)之间近似知足以下图的曲线．(1)写出第一次服药后 y 与 t 之间的函数关系式；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量许多于 0.25 微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．kt ，0≤ t ≤1，解： (1) 由题图，设y＝ 1 t－a， t ＞1，2当 t ＝1时，由 y＝4得 k＝4，11－a由＝ 4 得a＝ 3.24t， 0≤t≤ 1，所以 y＝1 t －32， t ＞1.0≤t≤ 1，t ＞1，(2) 由y≥0.25得或1t －34 ≥0.25t2≥0.25 ，1解得≤ t ≤5.1 79所以服药一次后治疗疾病有效的时间是5－16＝16( 小时 ) ．10．某自来水厂的蓄水池存有400 吨水，水厂每小时可向蓄水池中灌水60 吨，同时蓄水池又向居民小区不中断供水，t小时内供水总量为120 6t吨(0 ≤t≤24) ，(1)从供水开始到第几小不时，蓄水池中的存水量最少？最少存水量是多少吨？(2) 若蓄水池中水量少于80 吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24 小时内，有几小时出现供水紧张现象．解： (1)设 t小时后蓄水池中的存水量为y 吨，则 y＝400＋60t －1206t；令 6t＝x，则x2＝ 6t，即y＝ 400＋10x2－ 120x＝ 10( x－ 6) 2＋ 40，所以当 x＝6，即 t ＝6时， y min＝40，即从供水开始到第 6 小不时，蓄水池存水量最少，只有40 吨．(2) 令 400＋ 10x2－120x<80，即x2－ 12x＋ 32<0，832解得 4<x<8，即 4< 6t <8，3<t < 3 .32 8由于3－3＝ 8，所以每天约有8 小时出现供水紧张现象．1．某食品的保鲜时间y( 单位：小时 ) 与储蓄温度x( 单位：℃ ) 知足函数关系y＝e kx＋b(e ＝2.718 为自然对数的底数，k， b 为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 ℃的保鲜时间是 ()A． 16 小时B． 20 小时C． 24 小时D． 28 小时分析：选 C．由已知得192＝ e b，①48＝ e22k＋b＝ e22k· e b，②22k111k1将①代入②得e＝4，则 e＝2，当 x＝33时，y＝e 33k＋ b33k b13＝ e·e ＝2×192＝ 24，所以该食品在 33 ℃的保鲜时间是 24小时．应选C．2．某类产品按工艺共分10 个品位，最低品位产品每件利润为8 元．每提升一个品位，每件利润增添 2 元．用相同工时，能够生产最低品位产品60 件，每提升一个品位将少生产3 件产品，则每天获取利润最大时生产产品的品位是()A． 7B． 8C． 9D． 10分析：选 C．由题意，当生产第k 品位的产品时，每天可赢利润为y＝[8＋2( k－1)][60－3( k－ 1)] ＝－ 6k2＋ 108k＋378(1 ≤k≤10，k∈ N* ) ，配方可得y＝－ 6( k－ 9) 2＋864，所以当k＝9时，获取利润最大．选C．3．制定甲、乙两地通话m 分钟的电话费(单位：元)由 f ( m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，此中 m＞0，[ m]是不超出 m的最大整数(如[3]＝ 3，[3.7] ＝ 3，[3.1] ＝ 3) ，则甲、乙两地通话 6.5 分钟的电话费为 ________元．分析：由于 m＝6.5，所以[ m]＝6，则 f ( m)＝1.06×(0.5× 6＋ 1) ＝ 4.24.答案： 4.244．某汽车销售企业在A、 B两地销售同一种品牌的汽车，在 A 地的销售利润(单位：万2，在 B 地的销售利润(单位：万元 ) 为y＝ 2x，此中x为销售量 ( 单位：元) 为 y ＝ 4.1 x－ 0.1 x12辆) ，若该企业在两地共销售16 辆该种品牌的汽车，则能获取的最大利润是________万元．分析：设企业在 A地销售该品牌的汽车x 辆，则在 B 地销售该品牌的汽车(16 －x) 辆，22212212所以可得利润 y＝4.1 x－0.1 x ＋2(16－ x)＝－0.1 x ＋2.1 x＋32＝－0.1 x－2＋0.1 ×4＋32. 由于x∈[0 ， 16] 且x∈N，所以当x＝ 10 或 11 时，总利润获得最大值43 万元．答案： 435． ( 2019·山西孝义模考 ) 为了迎接世博会，某旅行区倡导低碳生活，在景区供给自行车出租．该景区有 50 辆自行车供旅客租借使用，管理这些自行车的花费是每天115 元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超出 6 元，则自行车能够所有租出；若超出 6 元，则每超出 1 元，租不出的自行车就增添 3 辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，而且要求出租自行车一日的总收入一定高于这一日的管理花费，用 y(元)表示出租自行车的日净收入( 即一日中出租自行车的总收入减去管理花费后的所得) ．(1)求函数 y＝ f ( x)的分析式及其定义域；(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？解： (1) 当x≤6时，y＝ 50x－ 115. 令 50x－115>0，解得x>2.3.由于 x∈N*，所以3≤ x≤6， x∈N*.当 x>6时， y＝[50－3( x－6)] x－115.令 [50 － 3( x－ 6)] x－ 115>0，有 3x2－68x＋ 115<0.又 x∈N*，所以6<x≤20( x∈N*)，*50x－ 115( 3≤x≤ 6，x∈ N ) ，故y＝－ 3x2＋ 68x－ 115(6< x≤20，x∈ N* ).(2) 关于y＝*x＝6时， y＝ 185.50x－115(3 ≤ x≤6， x∈ N ) ，明显当max关于y ＝－ 3x2＋ 68 － 115＝－ 3 x－342811x≤20，x*＋ (6<∈N)，x33当 x＝11时， y max＝270.又由于270>185，所以当每辆自行车的日租金定为11 元时，才能使一日的净收入最多．6． ( 2019·辽宁抚顺一模) 食品安全问题愈来愈惹起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民民众的健康带来必定的危害，为了给花费者带来放心的蔬菜，某乡村合作社每年投入200 万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚起码要投入20 万元，此中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，依据过去的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收1入 Q与投入 a(单位：万元)知足 P＝80＋42a，Q＝4a＋ 120，设甲大棚的投入为x(单元：万元) ，每年两个大棚的总利润为 f ( x)(单位：万元)．(1)求 f(50) 的值；(2)试问怎样安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总利润 f ( x)最大？解： (1)由题意知甲大棚投入50 万元，则乙大棚投入 150 万元，所以 f (50)＝80＋412×50＋4×150＋ 120＝ 277.5(万元)．(2)() ＝80＋4 21－) ＋ 120＝－1＋ 42＋ 250，f＋ (2004xx x x4xx≥20，? 20≤x≤ 180，依题意得200－x≥201故 f ( x)＝－4x＋4 2x ＋250(20≤ x≤180)．令t ＝x，则t∈[2 5，6 5] ，＝－12＋ 42t＋250＝－1(t－ 8 2) 2＋ 282，y4t4当 t ＝82，即x＝ 128 时，f ( x) 获得最大值，f ( x) max＝ 282.所以甲大棚投入128 万元，乙大棚投入72 万元时，总利润最大，且最大总利润为282万元．。

1．函数f (x )＝1x －2＋ln(3x －x 2)的定义域是( ) A ．(2，＋∞) B ．(3，＋∞) C ．(2，3)D ．(2，3)∪(3，＋∞)解析：选C ．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，3x －x 2＞0，解得2＜x ＜3，则该函数的定义域为(2，3)，故选C ． 2．已知函数f (x )＝x |x |，x ∈R ，若f (x 0)＝4，则x 0的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－2或2D ． 2解析：选B ．当x ≥0时，f (x )＝x 2，f (x 0)＝4， 即x 20＝4，解得x 0＝2.当x ＜0时，f (x )＝－x 2，f (x 0)＝4， 即－x 20＝4，无解． 所以x 0＝2，故选B ．3．(2019·广州综合测试(一))已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤01－log 2x ，x ＞0，则f (f (3))＝( )A ．43B ．23C ．－43D ．－3解析：选A ．因为f (3)＝1－log 23＝log 2 23＜0，所以f (f (3))＝f (log 223)＝2log 223＋1＝2log 243＝43，故选A ．4．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝x1＋x 2B ．f (x )＝－2x1＋x 2C ．f (x )＝2x1＋x 2D ．f (x )＝－x1＋x 2解析：选C ．令1－x 1＋x ＝t ，则x ＝1－t 1＋t ，所以f (t )＝(1＋t )2－(1－t )2(1＋t )2＋(1－t )2＝2t1＋t 2，故函数f (x )的解析式为f (x )＝2x1＋x 2，故选C ． 5．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( )A ．－74B ．74C ．43D ．－43解析：选B ．令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，所以f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1 所以f (a )＝4a －1＝6，即a ＝74.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：选A ．因为f (1)＝2，所以f (a )＝－f (1)＝－2， 当a ＞0时，f (a )＝2a ＝－2，无解； 当a ≤0时，f (a )＝a ＋1＝－2，所以a ＝－3. 综上，a ＝－3，选A ．7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ＞0，1，x ＜0，则(a ＋b )＋(a －b )·f (a －b )2(a ≠b )的值为( )A ．aB ．bC ．a ，b 中较小的数D ．a ，b 中较大的数解析：选C ．若a －b ＞0，即a ＞b ，则f (a －b )＝－1， 则(a ＋b )＋(a －b )·f (a －b )2＝12[(a ＋b )－(a －b )]＝b (a ＞b )；若a －b ＜0，即a ＜b ，则f (a －b )＝1， 则(a ＋b )＋(a －b )·f (a －b )2＝12[(a ＋b )＋(a －b )]＝a (a ＜b )．综上，选C ．8．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝2x 2－3x B ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2xD ．g (x )＝－3x 2－2x解析：选B ．用待定系数法，设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，因为g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0，所以g (x )＝3x 2－2x .9．已知函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[－2，3]，则y ＝f (2x －1)的定义域为( ) A ．[－3，7]B ．[－1，4]C ．[－5，5]D ．⎣⎡⎦⎤0，52 解析：选D.因为y ＝f (x ＋1)的定义域为[－2，3]， 所以－1≤x ＋1≤4.由－1≤2x －1≤4，得0≤x ≤52，即y ＝f (2x －1)的定义域为⎣⎡⎦⎤0，52. 10．(2019·石家庄质量检测(一))设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋n ，x ＜1log 2x ，x ≥1，若f (f (34))＝2，则实数n 为( )A ．－54B ．－13C ．14D ．52解析：选D.因为f (34)＝2×34＋n ＝32＋n ，当32＋n ＜1，即n ＜－12时，f (f (34))＝2(32＋n )＋n ＝2，解得n ＝－13，不符合题意；当32＋n ≥1，即n ≥－12时，f (f (34))＝log 2(32＋n )＝2，即32＋n ＝4，解得n ＝52，故选D.11．(2019·石家庄质量检测(一))已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x ＜1x 3＋x ，x ≥1，则f (f (x ))＜2的解集为( )A ．(1－ln 2，＋∞)B ．(－∞，1－ln 2)C ．(1－ln 2，1)D ．(1，1＋ln 2)解析：选B ．因为当x ≥1时，f (x )＝x 3＋x ≥2，当x ＜1时，f (x )＝2e x －1＜2，所以f (f (x ))＜2等价于f (x )＜1，即2e x －1＜1，解得x ＜1－ln 2，所以f (f (x ))＜2的解集为(－∞，1－ln 2)，故选B ．12．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称f (x )为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B ．对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x＝1，－x ，1x>1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足． 13．函数f (x )，g (x )分别由下表给出．x 1 2 3x 1 2 3 f (x )131g (x )321则f (g (1))的值为解析：因为g (1)＝3，f (3)＝1，所以f (g (1))＝1.当x ＝1时，f (g (1))＝f (3)＝1，g (f (1))＝g (1)＝3，不合题意． 当x ＝2时，f (g (2))＝f (2)＝3，g (f (2))＝g (3)＝1，符合题意． 当x ＝3时，f (g (3))＝f (1)＝1，g (f (3))＝g (1)＝3，不合题意． 答案：1 214．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (1)＝________． 解析：令x ＝1，得2f (1)－f (－1)＝4，① 令x ＝－1，得2f (－1)－f (1)＝－2，② 联立①②得f (1)＝2. 答案：215．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x <0.若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围为________．解析：易知a ≠0.由题意得，当a >0时，则－a <0，故a [f (a )－f (－a )]＝a (a 2＋a －3a )>0，化简可得a 2－2a >0，解得a >2或a <0.又因为a >0，所以a >2.当a <0时，则－a >0，故a [f (a )－f (－a )]＝a [－3a －(a 2－a )]>0，化简可得a 2＋2a >0，解得a >0或a <－2，又因为a <0，所以a <－2.综上可得，实数a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)16．已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2成立，则f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝________．解析：由f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2，得f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2，f ⎝⎛⎭⎫28＋f ⎝⎛⎭⎫68＝2，f ⎝⎛⎭⎫38＋f ⎝⎛⎭⎫58＝2， 又f ⎝⎛⎭⎫48＝12⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫48＋f ⎝⎛⎭⎫48＝12×2＝1， 所以f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2×3＋1＝7. 答案：71．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则( )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn|x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x解析：选D.当x <0时，|x |＝－x ，x |sgn x |＝x ，x ·sgn|x |＝x ，|x |sgn x ＝(－x )·(－1)＝x ，排除A ，B ，C ，故选D.2．设f (x )，g (x )都是定义在实数集上的函数，定义函数(f ·g )(x )：∀x ∈R ，(f ·g )(x )＝f (g (x ))．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ＞0，x 2，x ≤0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x ＞0，则( ) A ．(f ·f )(x )＝f (x ) B ．(f ·g )(x )＝f (x ) C ．(g ·f )(x )＝g (x )D ．(g ·g )(x )＝g (x )解析：选A ．对于A ，(f ·f )(x )＝f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )＞0，f 2(x )，f (x )≤0，当x ＞0时，f (x )＝x ＞0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x ；当x ＜0时，f (x )＝x 2＞0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x 2；当x ＝0时，(f ·f )(x )＝f 2(x )＝0＝02，因此对任意的x ∈R ，有(f ·f )(x )＝f (x )，故A 正确，选A ．3．已知函数f (x )＝x 3－32x 2＋34x ＋18，则∑k ＝12 018f ⎝⎛⎭⎫k 2 019的值为( ) A ．0 B ．504.5 C ．1 009D ．2 018解析：选B ．因为f (1－x )＝(1－x )3－32(1－x )2＋34(1－x )＋18＝1－3x ＋3x 2－x 3－32＋3x －32x 2＋34－34x＋18＝－x 3＋32x 2－34x ＋38，所以f (x )＋f (1－x )＝x 3－32x 2＋34x ＋18－x 3＋32x 2－34x ＋38＝12，所以∑k ＝12 018f ⎝⎛⎭⎫k 2 019＝f ⎝⎛⎭⎫12 019＋f ⎝⎛⎭⎫22 019＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0182 019＝1 009×⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫12 019＋f ⎝⎛⎭⎫2 0182 019＝1 009×12＝504.5.故选B ． 4．已知定义在D ＝[－4，4]上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，－4≤x ≤02|x －2|，0＜x ≤4，对任意x ∈D ，存在x 1，x 2∈D ，使得f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为________．解析：作出函数f (x )的图象如图所示，由任意x ∈D ，f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)知，f (x 1)，f (x 2)分别为f (x )的最小值和最大值，由图可知|x 1－x 2|max ＝8，|x 1－x 2|min ＝1，所以|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为9.答案：95．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求f (x )的解析式； (2)画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x <0，2x ，x ≥0.(2)f (x )的图象如图：6．已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝－2f (x ＋1)，且f (x )在区间[0，1]上有表达式f (x )＝x 2. (1)求f (－1)，f (1.5)；(2)写出f (x )在区间[－2，2]上的表达式．解：(1)由题意知f (－1)＝－2f (－1＋1)＝－2f (0)＝0， f (1.5)＝f (1＋0.5)＝－12f (0.5)＝－12×14＝－18.(2)当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 2；当x ∈(1，2]时，x －1∈(0，1]，f (x )＝－12f (x －1)＝－12(x －1)2；当x ∈[－1，0)时，x ＋1∈[0，1)， f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2(x ＋1)2； 当x ∈[－2，－1)时，x ＋1∈[－1，0)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2×[－2(x ＋1＋1)2]＝4(x ＋2)2.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12(x －1)2，x ∈（1，2]x 2，x ∈[0，1]－2(x ＋1)2，x ∈[－1，0）4(x ＋2)2，x ∈[－2，－1）.。