第5讲数量场的方向导数与梯度

f x f y o( ) x y
cos
cos
f f ( x x , y y ) f ( x , y ) lim 0 l
f f cos cos . x y
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例 1 求函数 z xe 2 y 在点 P (1,0) 处沿从点
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方向导数与偏导数
若偏导数 f , f 存在， 则 x y f f 其中 l (1,0) i x l f f 其中 l (0,1) j y l
X轴正向
Y轴正向
f ( x0 cos , y0 cos ) f ( x0 , y0 ) f lim l 0
解
P (1,0) 到点Q( 2,1) 的方向的方向导数. 这里方向 l 即为 PQ {1,1}, 1 1 与 l 同向的单位向量为（ ） ,
z 2 xe 2 y (1, 0 ) 2, y ( 1 , 0 )
2 2
z e 2 y (1, 0 ) 1; x (1, 0 )
所求方向导数
1 1 z 2 1 2 ( ) . 2 2 2 l
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例 2 求函数 f ( x , y ) x 2 xy y 2 在点（1，1） 沿与 x 轴方向夹角为 的方向射线 l 的方向导数.并 问在怎样的方向上此方向导 数有 （1）最大值； （2）最小值； （3）等于零？
f l
f x (1,1)cos f y (1,1)cos
(1,1)
2 sin( ), 4

3）在球面坐标系中：
3、 梯度的性质
1） 标量场的梯度是矢量场，它在空间某点
的 方向表示该点场变化最大（增大）的 方向，其数值表示变化最大方向上场的空 间变化率。
2） 标量场在某个方向上的方向导数，是梯
度在该方向上的投影。
3）标量场的梯度垂直
于通过该点的等值 面（或切平面）
4、梯度运算的基本公式
5.
梯度的重要性质
0
证：
ˆ x x x ˆ y y y
标量场梯度的旋度恒等于零。
ˆ z z z
2 2 2 2 2 ˆ( ˆ( ˆ( x F F) y F F) z F F) yz zy zx xz xy yx
2.2 标量场的方向导数和梯度
一、方向导数 1、定义：在实际应用中不仅需要宏观上了解场在空间 的数值，还需要知道场在不同方向上场变化的情况。应 用方向性导数可以描述标量场在空间某个方向上变化的 情况。
方向性导数表示场沿 l 方向的空间变化率。
u u lim | l M l 0 l
l
3、梯度的运算
1）在直角坐标系中：
u u u u ex ey ez x y z u 1 u u u er e ez r r z u 1 u 1 u u er e e r r r sin
2）在柱面坐标系中：
=0
例题：
若 R r r ' ，R R
在处理相对坐标的函数的 梯度运算时，算子 与算 子 ' 可以互换，但改变 其前的正负号。
证明：
1 1 ( ) '( ) R R
ex ey ez 说明： x y z ' ex ey ez x ' y ' z '

从方向导数的表达式可以看到，方向s的方向余弦 表示了所取的方向，而三个偏导数则由数量场唯 一确定。
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2014年5月11日星期日
2.2 数量场的方向导数和梯度 u u u u cos cos cos l x y z
在直角坐标系中，令
l cos i cos j cos k
2 cos 2 2 2 3 1 2 2
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2.2 数量场的方向导数和梯度
而
u 2 x u 2 y u ( x 2 y 2 ) , , x z y z z z2
数量场在l方向的方向导数为
u u u u cos cos cos l x y z 2 2 1 2x 2 2 y 2 x y 3 z 3 z 3 z2
当

趋于零时对上式取极限，可得
u u u u cos cos cos l x y z
实际应用：计算函数u(M)在给定点处沿某个方 向的变化率（定点且定向）．
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2.2 数量场的方向导数和梯度
若方向导数存在，则偏 导数未必存在 . 方向导数与偏导数有什么关系 ? 2 2 例如，z x y 在O 0,0 处沿l i 方向的 z f 而 偏 导 数 0 , 0 不 存 在 . 方向导数 1 ， 0 0， x l z f ( x , y ) f (0,0) ( 0 , 0 ) lim 原因： 0 l 方向导数是单侧极限，而偏导数是双侧极限 . ( x ) 2 ( y ) 2 lim 1 2 2 0 ( x ) ( y ) 函数可微是方向导数存在的充分条件，

并指出z在该点沿哪个方向的方向导数最大？该最
大的方向导数是多少？z沿哪个方向减小得最快？
解
gradz(M0 )
z , z x y
M0 2x y, 2 y x (1,1)
(3, 3)
l 1 2, 1
l
5
z l
( 1,1)
gradf (M 0 )
l l
1 (6 3) 3
5
5

z在该点沿梯度方向，即 3，3的方向导数最大，
lim z
l
M0
t 0
f (x0 t cos, y0 t cos ) f (x0, y0 )
t
f x (x0, y0 ) cos f y (x0, y0 ) cos
z l
M0
z x
M0
cos
z y
M0 cos grad f (M 0 )
l l
grad f (M 0 ) cos 这里为grad f (M 0）与l 的夹角。
l l
证明：若 z f (x, y)在点M 0 (x0, y0 )可微,
z f (x0 t cos, y0 t cos ) f (x0, y0 )
fx (x0, y0 )t cos f y (x0, y0 )t cos o( (t cos )2 (t cos )2 )
f x (x0, y0 )t cos f y (x0, y0 )t cos o( t )
当 0，即 l 与grad f (M 0 )同方向时， z在M 0的方向
导数取最大值，且最大 值 grad f (M 0 )
当
，即
l 与grad
f
2
(M 0 )垂直时， z在M 0的方向导数