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方向导数与梯度

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8-7-1方向导数与梯度

8-7-1方向导数与梯度


（ 其中 ( x )2 ( y )2 ( z )2 ）
设方向 L 的方向角为 , ,
x cos ,
y cos ,
z cos ,
同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点沿任 意方向 L 的方向导数都存在，且有
f f f f cos cos cos . l x y z
例如, 函数 z sin xy 图形及其等高线图形．
梯度与等高线的关系：
函数 z f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 的梯度的方向与点 P 的等高线 f ( x , y ) c 在这点的法线的一个方 向相同，且从数值较低 的等高线指向数值较高 的等高线，而梯度的模 等于函数在 这个法线方向的方向导 数．
设 e cos i sin j 是方向 l 上的单位向量，
由方向导数公式知
f f f f f cos sin { , } {cos , sin } l x y x y gradf ( x, y ) e | gradf ( x, y ) | cos ,
两边同除以 , 得到
f ( x x , y y ) f ( x , y )

故有方向导数
f x f y o( ) x y
cos
sin
f f f ( x x , y y ) f ( x , y ) f lim cos sin . l 0 x y
设函数 z f ( x , y )在平面区域 D 内具有一阶连续偏导 f f 数， 则对于每一点 P ( x, y ) D ， 都可定出一个向量 i j， x y 这向量称为函数 z f ( x , y )在点 P ( x, y ) 的梯度，记为 f f j. gradf ( x , y ) i x y 定义
高等数学第九章第七节 方向导数与梯度

高等数学第九章第七节 方向导数与梯度


| PP | (x)( x, y), 考虑 z ,
当 P沿着 l 趋于P时，
lim f ( x x, y y) f ( x, y) 是否存在？
0
1、定义
函数的增量 f (x x, y y) f (x, y) 与
2、设 f ( x, y, z) x 2 2 y 2 3z 2 xy 3 x 2 y 6z ,
则gradf (0,0,0) __________________.
3、已 知 场 u( x,
y, z)
x2 a2
y2 b2
z2 c2
,则u沿
场的梯度
方向的方向导数是__________________.
4、称向量场 a 为有势场,是指向量a 与某个函数
u( x, y, z)的梯度有关系__________________.
练习题答案
一、1、1 2 3；
2、3 i 2 j 6 k ；
3、
(
2 a
x
2
)
2
(
2 b
y
2
)
2
(
2z c2
)
2
gradu ；
4、a gradu.
四、小结
1、方向导数的概念
（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）
2、梯度的概念
（注意梯度是一个向量）
3、方向导数与梯度的关系
梯度的方向就是函数 f ( x, y) 在这点增长 最快的方向.
练习题
一、填空题:
1、函数z x 2 y 2 在点(1,2) 处沿从点(1,2) 到点
(2,2 3)的方向的方向导数为_____________.
(1,1)
(1,1)
cos sin 2 sin( ), 4
第六节 方向导数与梯度

第六节 方向导数与梯度


f x ( x, y) , f y ( x, y) 是 沿 x 轴正向 及 y 轴正向的变化率 .
讨论函数 z f ( x , y ) 在一点 P0 沿任意方
向的变化率问题就是方向导数问题．
设函数 z f ( x , y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的某一邻域U ( P ) 内有定义． 设 e cos i cos j 为一单位
1 3
f l
( 0,0 )
f ( ta , tb) f (0,0) ( t 2ab) lim lim . t 0 t 0 t t
此例同时也说明函数在一点连续也未必能推 出函数在该点处沿各方向的方向导数都存在.
(2) 函数在一点处沿各方向的方向导数都存在，
也未必在该点处连续.
z f ( x t cos , y t cos ) f ( x , y ), 考虑
当 P 沿着 l 趋于P0 时，
z
t
,
f ( x t cos , y t cos ) f ( x , y ) 是否存在？ lim t 0 t
1、方向导数的定义
定义 设函数 z f ( x , y ) 在点P ( x0 , y0 )的某个邻 域内有定义 , l 是一非零向量 , el (cos , cos ) 是与 l 同方向的单位向量 , 如果极限 f ( x0 t cos , y0 t cos ) f ( x0 , y0 ) lim t 0 t 存在 , 则称这极限为函数 z f ( x , y ) 在点 P 沿 f 方向 l 的方向导数 , 记为 ,即 l ( x0，y0 )
有何意义?
二阶方向导数几何意义：
2 f 的近旁 的 0 ，则说明在 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) l l 2 切线斜率沿 el 方向单调增加，曲线为下凸；
9.7 方向导数与梯度(新)

9.7 方向导数与梯度(新)


， 不 存 在.
同理，
( 0 ,0 )
不 存 在 ， 故 两 个 偏 导 数 均 不 存 在.
沿 任 意 方 向 l { x , y}的 方 向 导 数 z l
( 0 ,0 )
lim
f ( x , y ) f (0 , 0 )
(1) 0， 即 ， 向 量 e l 与 梯 度 g r a d f ( x 0 , y 0 ) 方 向 相 同 时 ， z f ( x, y ) 在 此 方 向 的 方 向 导 数 达 到 最 大 值 ， 且 最 大 值 为 | grad f ( x0 , y0 ) | .
12
( 2 ) ， 即 ， 向 量 el 与 梯 度 g r a d f ( x 0 , y 0 ) 方 向 相 反 时 ， z f ( x, y) 在 此 方 向 的 方 向 导 数 达 到 最 小 值 ， 且 最 小 值 为 | g ra d f ( x0 , y0 ) | .

2 2 2
,
( x) ( y ) ( z ) ，
设 方 向 l 的 方 向 角 为 , , ， x co s ， y co s ， z co s .
同 理 ： 当 f ( x, y, z ) 在 此 点 可 微 时 ， 则 在 该 点 沿 任 意 方 向 l的 方 向 导 数 都 存 在 ， 且 f l f x co s f y co s f z co s .

3 4
或
7 4
.
15
梯度的概念可以推广到三元函数
三 元 函 数 u f ( x, y, z ) 在 空 间 区 域 G 内 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ， 则 对 于 每 一 点 P ( x , y , z ) G， 都 可 定 义 一 个 向 量 (梯 度 )
方向导数和梯度

方向导数和梯度

f y tan f x
要点： 1）点 P 在 D 上的任一向量 2）如果存在一 L 方向的射线，则可以引入方向导数 与梯度的关系 2） 三元函数 u f ( x , y , z )
gradf ( x , y , z )
f f f i j k y z x
3） 对于三元函数 u
f ( x, y, z )
f f ( x x, y y ) f ( x, y ) lim l 0
f f cos cos cos l x y z
2、 梯度 1） 二元函数 z f ( x , y ) 在平面区域 D 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点 P∈D,都可以定出一个向量：
= gradf ( x , y ) e = gradf ( x , y ) cos[ gradf ( x , y ), e ]
f 上式表示方向导数 l
影。 由梯度的定义可知：
即为梯度在射线 L 上的投
gradf ( x , y )
(
f 2 f 2 ) ( ) x x
f 0 则 x 轴到梯度的转角正切为： 如果 x
距离（ (x) (y) ）的比值，当 P 沿着 L 趋向 P 点时，
2 2
这个比值的极限存在，则这个极限为函数 z f ( x , y ) 在点 P 延 L 方向的方向导数，记作：
f l
f f ( x x, y y ) f ( x, y ) lim 且： l 0
方向导数和梯度
1、 方向导数
1） 定义：
现在讨论 z
f ( x , y ) 所确定的空间曲面在一点 P 沿
L
某一方向的变化率问题。
P
8-7 方向导数与梯度

8-7 方向导数与梯度


fx (1, 1, 1) =1 , fy(1, 1, 1)=2 , fz(1, 1, 1)=3
f ∴ l
P
2 1 1 2 = 1 + 2 ( ) + 3 = 3 3 3 3
f f f f cos α + cos β + cos γ = 方向导数公式 l x y z
二,梯度
f = G l 0 = G cos( G , l 0 ) ( l 0 = 1 ) l 0 方向导数取最大值: 当 l 与 G 方向一致时 , 方向导数取最大值:
ρ
的方向导数. 则称 f 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数 l
定理: 定理 若函数 f ( x, y) 在点P( x, y) 处可微, 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有
f f f cosα + cos β = l x y
l
证明: 证明 由函数 f ( x, y) 在点 P 可微 , 得
f f f= x+ y + o(ρ ) x y
=ρ (
P′ ρ P( x, y)
) + o (ρ )
f f f f = lim 故 l ρ →0 ρ = x cosα + y cos β
对于可微的函数 f ( x, y),在点P( x, y)处沿方向l (向角为α , β ) 的方向导数为 的方向导数为 向角为
内容小结 1. 方向导数 三元函数 在点 沿方向 l (方向角 方向角
为α, β, γ ) 的方向导数为 f f f f = cosα + cos β + cosγ l x y z
二元函数 在点 沿方向 l (方向角为 方向角为
α, β )的方向导数为
方向导数和梯度

方向导数和梯度

方向导数和梯度
本节的研究目的
研究标量场的变化率。最大变化率？
本节的研究内容
一、方向导数 二、梯度
一、方向导数
1. 方向导数的定义
l
P
P0
l
u lim u lim u(P) u(P0 )
l l PP0 P0
P P0
l
方向导数：表示标量场中 u(P)在给定点处沿某一方
向 l 的变化率。
一、方向导数
方向导数：表示标量场中 u(P)在给定点处沿某一方
向 l 的变化率。
u u cos u cos u cos
l x
y
z
函数 u(P) 从给定点出发有无穷多个变化方向，其 中哪个方向的变化率最大？
最大变化率是多少？
一、方向导数
u u cos u cos u cos
l x
y
z
令：
g
u x
ex
u y
ey
u z
ez
el
ex
cos
ey
cos
ez
cos
u l
g
el
g el cos(g, el ) g cos(g, el )
cos(g, el ) 1
u g 方向导数取得最大值
l
二、梯度
gradu
u x
ex
u y
ey
u z
ez
梯度小结：
1. 标量场的梯度是一个矢量，是空间坐导数；
3. 梯度的方向为该点方向导数最大的方向；
二、梯度
gradu
u x
ex
u y
ey
u z
ez
梯度小结：
4. 梯度描述标量场中任一点函数值在该点附近增 减性质的量，沿着梯度的方向，函数值增加或 减小得最快；
方向导数与梯度

方向导数与梯度


其中
e l = (cos α , cos β , cos γ )
例3 n 是2 x 2 + 3 y 2 + z 2 = 6 在 (1,1,1) 处指向外侧的法向量， 处指向外侧的法向量，
6 x 2 + 8 y 2 在该点沿 的方向导数. 求u = n 的方向导数. z | n |= 14 n = ( 2 x ,3 y , z ) (1,1,1) = ( 2,3,1) 解 1 2 3 cos α = cos γ = cos β = 14 14 14 6 8 6x 6x 8y u x ( 1 ,1 , 1 ) = = = uy = ( 1 , 1 ,1 ) 14 14 z 6x2 + 8 y2 z 6x2 + 8 y2
zx
( 1, 0 )
=e
2y
=1
zy
( 1, 0 )
= 2 xe 2 y
( 1, 0 )
=2
∂f ∂l
( 1, 0 )
1 1 2 = 1⋅ ) =− − + 2 ⋅ (− 2 2 2
例2 求 z = 3 x 2 y − y 2 切线方向（ 增大方向） 沿曲线在该点处切线方向（ x 增大方向）的 方向导数. 方向导数. 解
l = (1,0)
∂f ∂l ∂f
l = (−1,0) −
∂l
f x (0,0) = lim t →0
lim f ( t ,0) − f (0,0) = lim t = 1 t →0+ t →0+ t t ( 0,0 ) lim f ( − t ,0) − f (0,0) = lim t = 1 = t →0+ t →0+ t t ( 0,0 ) f ( t ,0) − f (0,0) = lim | t | 不存在 t →0+ t t
高等数学课件第八章方向导数与梯度

高等数学课件第八章方向导数与梯度

M (1,1,1) 处切线的方向向量
2. P73 题 16
P51 2，3，6，7，8，9，10
作业
备用题 1.
函数
在点
处的梯度
解:
则
注意 x , y , z 具有轮换对称性
(92考研)
指向 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是 .
在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A
记作
(gradient),
在点
处的梯度
说明:
函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.
向量
2. 梯度的几何意义
函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) ,
称为函数 f 的等值线 .
则L*上点P 处的法向量为
同样, 对应函数
有等值面(等量面)
当各偏导数不同时为零时,
其上
点P处的法向量为
指向函数增大的方向.
偏导数存在
•
• 可微
梯度在方向 l 上的投影.
思考与练习
1. 设函数
(1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线
在该点切线方向的方向导数;
(2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向
的夹角 .
2. P73 题 16
曲线
1. (1)
在点
解答提示:
函数沿 l 的方向导数
得
故
对于二元函数
为, ) 的方向导数为
特别:
• 当 l 与 x 轴同向
• 当 l 与 x 轴反向
向角
例1. 求函数
在点 P(1, 1, 1) 沿向量
3) 的方向导数 .
解: 向量 l 的方向余弦为
2.5 方向导数与梯度

2.5 方向导数与梯度

| y | ( 0 , 0 ) lim y 0 y
z 同理： y
故两个偏导数均不存在.
沿任意方向l { x, y}的方向导数,
z l
( 0,0 )
lim
f ( x , y ) f (0,0)
0

( x ) 2 ( y ) 2 lim 1 2 2 0 ( x ) ( y )
显然f x , f y是f ( x , y )沿x , y轴的方向导数 沿x , y轴正向时为f x , f y ;负向时为 f x , f y .
f 2. 的存在定理 l 若z f ( x , y)在P ( x , y)可微,
则函数在该点沿任一方向 l 的方向导数存在，且 f f x cos f y cos , l 其中cos , cos 为方向l 的方向余弦. y Proof. z f ( x, y)可微, P y1 z f x x f y y o( ), P x z x y o( ) fx fy , o
u cos cos l (1,1)
此时

2
u 从而 2 cos( ) l (1,1) 4
u 显然当 时, 4 l (max)

2,
u 当 时, 0, 4 2 l


而gradu i j ,
即
r cos cos sin sin cos( ) l r r 且当 时, 1;当 时, 0. l 2 l
二. 梯度
定义 设函数 z f ( x , y ) 在平面区域 D 内具有 一阶连续偏导数，则对于每一点 P ( x , y ) D ，
方向导数与梯度

方向导数与梯度

17
三、物理意义
数性函数) 数量场 (数性函数 数性函数 函数 场 温度场, 如: 温度场 电位场等 向量场(矢性函数 矢性函数) 向量场 矢性函数 如: 力场 速度场等 力场,速度场等 可微函数 f (P) (势) 梯度场 grad f (P) (向量场 向量场) 向量场 (物理量的分布 物理量的分布) 物理量的分布
∂f ∂f ∂f , , = ∂ x ∂ y ∂z
同样可定义二元函数 在点P( x, y)处的梯度
说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影. 说明 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影 方向导数为梯度在该方向上的投影 2. 梯度的几何意义
12
z = f ( x, y) 对函数 z = f ( x, y), 曲线 在 xoy 面上的投 z =C * 影L : f ( x, y) = C 称为函数 f 的等值线 .
二.梯度
, 方向导数取最大值： 当l 0 与G方向一致时 方向导数取最大值： ∂f )= G m ( ax ∂l 方向： 方向：f 变化率最大的方向 这说明 G : 模 : f 的最大变化率之值
11
1. 定义 向量 G 称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 (gradient), 处的梯度 记作 grad f , 即
grad f (r) = f ′(r)r 0
gradu = (
q 4π ε r
)′
r =−
0
q 4π ε r
r 0 = −E 2
这说明场强: 垂直于等位面, 这说明场强 垂直于等位面 且指向电位减少的方向. 且指向电位减少的方向
19
2. 梯度 • 三元函数
在点
处的梯度为
∂f ∂f ∂f grad f = , , ∂x ∂ y ∂z • 二元函数 在点 处的梯度为 grad f = ( f x ( x, y) , f y ( x, y))

高等数学方向导数与梯度


cos 1 , cos 4
17
17
y
P
O 1 2 x
60 17
例3. 设 n 是曲面
在点 P(1, 1, 1 )处
指向外侧的法向量, 求函数
在点P 处沿
方向 n 的方向导数.
解: n (4x , 6 y , 2z) P 2(2 , 3 , 1)
方向余弦为 cos 2 , cos 3 , cos 1
14
14
14
而
u x P z
6x 6x2 8y2
P
6 14
同理得
u 1 6 2 8 3 141 11
n P 14
7
二、梯度
方向导数公式 f f cos f cos f cos
l x
y
z
令向量
G
f, x
f, y
f z
l (cos , cos , cos )
当 l 与 G 方向一致时, 方向导数取最大值：
第七节
第八章
方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度 三、物理意义
一、方向导数
l
定义: 若函数 f (x, y, z) 在点 P(x, y, z) 处
沿方向 l (方向角为 , , ) 存在下列极限:
P
lim f
0
P(x, y, z)
lim
0
f
(x
x,
y
y, z
z)
f
(x,
y,
z)
记作
f l
则称 f 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.
l
定理: 若函数 f (x, y, z) 在点 P(x, y, z) 处可微 ,

8.5 方向导数与梯度

§8.5 方向导数与梯度
一 方向导数 二 梯度
一 方向导数
1 定义
定义1 设函数
f ( x , y ) 在点 P0 ( x 0 , y 0 )
的某个邻域内有
定义，设 l 是一单位向量，记为 l
P P0
cos , cos .

y
若极限
lim
f ( P ) f ( P0 ) PP 0
lim
0
f ( x 0 cos , y 0 cos ) f ( x 0 , y 0 )
则称此极限值为 f ( x , y ) 在点 P0 处 存在，
沿方向 l 的方向导数， 记为
f l
P0
P


。
o



P0
x
注：
f x
P0
存在
f ( x, y )
在点 P0 处沿 x 轴正方向
) (2)

4 3 3
.
例3 设 n 是椭球面 2 x 2 3 y 2 z 2 处的内法向量，求u 的方向导数。 解
u x 6x z 6x 8y
2 2
6
在点 P (1, 1, 1)

6x 8y
2
2
z
在点 P 处沿方向 n
,
u x
P ( 1 ,1 , 1 )
grad f
2 x 3 , 4 y 2 , 6 z ,
5 , 2 , 12 .
grad f
P

2 x 3 , 4 y 2 , 6 z (1,1, 2 )
（2） f ( x , y , z ) 在点 P 处沿梯度方向的方向导数是

梯度与方向导数

P (xx，yy) 为 l 上的另一点且P U(P)．
考虑 lim f (x x, y y) f (x, y) ，
r 0
r
y
若此极限存在， 则称此极限为函数
f (x，y)在点P 沿方向 l 的方向导数，
记作 f ，即
l
P
f lim f (x x, y y) f (x, y) ，
l r0
r y
y x2 y2
y r
sin
q
．
(x, y) j
r
q
所以
r
cos
q
cos
j
sin
q
sin
j
O
cos(qj)．
x
l
讨论：jq 和j q 时的方向导数．
2
三元函数的方向导数：
对于三元函数uf (x，y，z) ，定义它在空间一点P (x，y，z)
着方向(设方向的方向角为a 、b 、g )的方向导数如下
三元函数的梯度： 设函数uf (x，y，z)在空间区域G 内具有一阶连续偏导数，
对于每一点P (x，y，z) G ，函数 uf (x，y，z)在该点的梯度 grad f (x，y，z) 定义为：
grad
f
(x，y，z) fx
i
f + y
j
f + z
k
．
结论： 三元函数的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向
数量场与向量场：
如果对于空间区域G内的任一点M，都有一个确定的数量
f(M)，则称在这空间区域G内确定了一个数量场(例如温度场、
密度场等)．一个数量场可用一个数量函数f(M)来确定． 如果与点M相对应的是一个向量 F (M)，则称在这空间区域G

87方向导数与梯度


y0

y
故两个偏导数均不存在.
沿任意方向 l(x,y,z)的方向导数,
z l(0,0)l i0m f(x,y)f(0,0)
lim(x)2(y)2 1 0 (x)2(y)2
故, 沿任意方向的方向导数均存在且相等.
l x
y
其中为x轴到方向 l 的转角.
证明: 由于函数z=f(x, y)在点P(x, y)可微, 则函数
z=f(x, y)在点P(x, y)处沿 l 方向的增量可表示为:
f ( x tc, o y ts si ) f n ( x ,y ) ftco ftsi o n () x y
§8.7 方向导数与梯度
实例: 一块长方形的金属板, 四个顶点的坐标是 (1, 1), (5, 1), (1, 3), (5, 3). 在坐标原点处有一个火焰, 它 使金属板受热. 假定板上任意一点处的温度与该点到 原点的距离成反比. 在(3, 2)处有一个蚂蚁, 问这只蚂蚁 应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点?
l t 0
t
fcosfsin.
x
y
例1: 求函数 z = xe2y 在点P(1, 0)处沿从点P(1, 0)
到点Q(2, –1)的方向的方向导数.

转角解 :这 里.方向 l即为PQ=(1, –1),故x轴到方向 l 的
而 所求方向xz导|(41数,0)e2zy|(1,c0)o1;s() yz2|s(1,0i) n 2(x)e2y|(1,02). 2,
f(x,y)c f(x,y)c1 等高线
x
梯度的概念可以推广到三元函数
三元函数u=f(x, y, z)在空间区域G内具有一阶连续 偏导数, 则对于每一点P(x, y, z)G, 都可定义一个向量 (称为梯度)g : rf(a x,yd ,z)fif jfk .

方向导数与梯度

方向导数与梯度在多变量微积分和优化理论中，方向导数和梯度是两个重要的概念。

它们提供了函数在某一点处关于不同方向的信息，以及函数在该点处的变化率和方向。

理解这两个概念对于解决各种实际问题，如最优控制、机器学习、图像处理等都至关重要。

方向导数是函数在某一点处沿特定方向的变化率。

给定一个函数f(x)在点x0，对于任意的方向v = (h1, h2,..., hn)，方向导数Df(x0)v 是f(x)在x0处沿v方向的变化率。

具体地，Df(x0)v = lim(h->0) [f(x0 + hv) - f(x0)] / h。

方向导数的重要性在于它提供了函数在某一点处对不同方向的敏感度。

例如，如果你在山峰上沿着不同的方向行走，方向导数可以告诉你哪个方向更容易攀登，哪个方向更困难。

梯度是函数在某一点处所有方向导数的向量。

给定一个函数f(x)在点x0，梯度gradf(x0)是一个向量，其方向是f(x)在x0处增加最快的方向，而其大小是f(x)在该方向的导数。

具体地，gradf(x0) = (f'(x01), f'(x02),..., f'(xn))。

梯度是一个非常重要的概念，因为它提供了函数在某一点处的最大变化率方向。

在很多实际问题中，找到这个最大变化率方向往往能够指引我们找到最优解。

例如，如果你在山峰上寻找攀登最快的方式，梯度可以告诉你应该沿着哪个方向前进。

梯度是方向导数的最大值。

换句话说，对于任意给定的方向v，方向导数Df(x0)v都不超过梯度的长度。

这是因为梯度是所有方向导数向量的范数，即||gradf(x0)|| = max{Df(x0)v : ||v|| = 1}。

这个性质表明，梯度不仅提供了函数在某一点处的最大变化率方向，还给出了沿这个方向的导数（即变化率）。

这使得梯度在优化问题中具有特别的重要性，因为它可以用来找到使函数值下降最快的方向。

方向导数和梯度是多变量微积分和优化理论中的重要概念。

方向导数与梯度

方向导数与梯度
1. 基本概念
方向导数：是一个数；反映的是f(x,y)在P0点沿方向v 的变化率。

偏导数：是多个数（每元有一个）；是指多元函数沿坐标轴方向的方向导数，因此二元函数就有两个偏导数。

偏导函数：是一个函数；是一个关于点的偏导数的函数。

梯度：是一个向量；每个元素为函数对一元变量的偏导数；它既有大小（其大小为最大方向导数），也有方向。

2. 方向导数
反映的是f(x,y)在P0点沿方向v的变化率。

例子如下：
2.0 方向导数计算公式
2.1 偏导数
2.2 二元函数偏导数的几何意义
2.3 偏导函数
偏导数与偏导函数的关系：
偏导数是偏导函数在指定点的函数值，因此在求偏导数时，也可先求出偏导函数，然后再将点代入偏导函数，从而求出函数在此点的偏导数。

3. 全微分
4. 梯度
梯度是一个向量；既有大小，也有方向。

4.1 几何意义
函数z=f(x,y)在点P0处的梯度方向是函数变化率(即方向导数)最大的方向。

梯度的方向就是函数f(x,y)在这点增长最快的方向，梯度的模为方向导数的最大值。

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f f cos f cos f cos
l x
y
z
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2. 梯度
二元函数
在点
处的梯度为
grad f ( fx , f y )
三元函数
在点
处的梯度为
grad f f , f , f x y z
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练习
1. 设函数 (1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线
x
y
o( )
故
f l
lim f
0
f cos f cos
x
y
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二元函数 f ( x, y)
f f cos f cos
l x
y
其中 , 为方向l的方向角
特别:
• 当 l 与 x 轴同向 0, 时,有 f f
2
l x
• 当 l 与 x 轴反向 , 时,有 f f
max f G
l
这说明
G:
方向：f 变化率最大的方向 模 : f 的最大变化率之值
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1. 定义
向量 G 称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 (gradient),
记作grad f , 即
f , f , f x y z
同样可定义二元函数
在点P(x, y) 处的梯度
故 gradu(1,1,2) (5, 2, 1) 5i 2 j 12k
在
P0
(
3 2
,
1 2
,0)
处梯度为
0.
内容小结
1. 方向导数
• 二元函数
在点
沿方向 l (方向角为
, )的方向导数为
f f cos f cos
l x
y
• 三元函数
在点
为 , , ) 的方向导数为
沿方向 l (方向角
一、方向导数
l
定义: 若函数 f ( x, y) 在点 P( x, y) 处
沿方向 l (方向角为 , )存在下列极限:
P1
lim f
0
P(x, y)
lim f ( x x, y y) f ( x, y)

则称 f 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.
方向余弦为 cos 2 , cos 3 , cos 1
14
14
14
而
u
x
P
z
6x
6x2 8y2 P
6 14
同理得
u 1 6 2 8 3 141 11
n P 14
7
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问题：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是 (1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个 火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的 温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一 个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快 到达较凉快的地点？
问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向 （即梯度方向）爬行
函数在点 P 沿哪一方向变化率最大?
二、梯度
方向导数公式 f f cos f cos f cos
l x
y
z
令向量 G f , f , f x y z
l 0 (cos , cos , cos )
当 l 0 与 G 方向一致时, 方向导数取最大值：
的方向导数 .
解: 向量 l 的方向余弦为
u 2x yz 2
l P
14
x2 y 3 14
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例2. 设 n 是曲面
在点 P(1, 1, 1 )处
指向外侧的法向量, 求函数
在点P 处沿
方向 n 的方向导数.
解: n (4x , 6 y , 2z) P 2(2 , 3 , 1)
gradf方向就是 f变化最快的方向 gradf 就是 f最大变化率的值
例 求函数 u x2 2 y2 3z2 3x 2 y 在点 (1,1,2)处的梯度，并问在 哪些点处梯度为零？
解 由梯度计算公式得
gradu( x, y, z) (u , u , u) x y z
(2x 3, 4 y 2, 6z)
2
l x
f f cos f cos
l x
y
例 1 求z xe2 y 在点P(1,0)处沿从点 P(1,0)
到点Q(2,1)的方向的方向导数
解: 方向l 即为PQ 1,1
z e2 y 1
x (1,0)
(1,0)
z 2xe2 y 2
y
(1,0)
(1,0)
z 1 cos 2 cos 2
l
2
二元函数 f ( x, y)
f f cos f cos
l x
y
其中 , 为方向l的方向角
三元函数 f ( x, y, z)
f l
f cos f cos f cos
x
y
z
其中 , , 为方向l 的方向角
f f cos f cos f cos
l x
y
z
例2. 求函数
在点 P(1, 1, 1) 沿向量
在该点切线方向的方向导数; (2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向
的夹角 .
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解:
1. (1)
曲线
M (1,1,1) 处切线的方向向量
在点
l
函数沿 l 的方向导数
f l
M fx cos f y cos fz cos (1,1,1)
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(2) grad f M (2 , 1 , 0)
cos
l
l
arccos 6
130
f l M
grad f M
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第七 节 方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度
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复习偏导数定义: z f (P) f x , y
f x, y
f x x, y f x, y
lim
x
x0
x
f x , y lim f x , y y f x , y
y
y0
y
偏导数反映了函数 f P沿坐标轴方向上的变化率 .
l
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定理: 若函数 f ( x, y) 在点 P( x, y) 处 可微 ,
则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有
f f cos f cos
l x
y
l
P
证明: 由函数 f ( x, y) 在点 P 可微 , 得
P(x, y)
f f x f y o( )