高等数学 8-7.方向导数与梯度

第八章第七节方向导数与梯度,PlϕP lαT lz =f (x ,y )•Mρ本质上，方向导数计算可归结为一元函数导数计算14 1414)e ()()e (i i f i if l l r rr rr −=−∂∂=∂∂存在，且时，当i l r r =e ;x f i f ∂∂=∂∂时，当i l r r −=e .)(xf i f ∂∂−=−∂∂)e ()()e (i i fi ifl l r r r r −=−∂∂=∂∂存在可微可偏导沿任意方向的方向导数存在处沿任意方向在)0,0(),(22y x y x f +==均不存在，)0,0()0,0(),(在从而y x f 1oα=5π/4的方向导数达沿梯度相反方向，∂f ∂l取得最小值： min (∂f ) = l ∂l− gradf (x, y)≤0f ( x, y)减小最快 .方向：是函数值增加最快的方向 grad f :模 : 等于函数的方向导数最大值2º 梯度的概念可以推广到三元函数 u = f ( x, y, z)grad f (x, y,z) = { ∂f , ∂f , ∂f } ∂x ∂y ∂z类似于二元函数，三元函数的梯度也有上述性质.例5 求函数 u = ln( x2 + y2 + z2 ) 在点 M (1,2, −2)处的梯度。

解grad uM= ⎜⎛ ⎝∂u, ∂u, ∂u ∂x ∂y ∂z⎟⎞ ⎠(1,2,−2)令r=x2 +y2 + z2,则∂u = ∂x1 r2⋅ 2x注意 x , y , z 具有轮换对称性= ⎜⎛ ⎝2 rx2,2 ry2,2z r2⎟⎞ ⎠ (1,2,−2)= 2 (1, 2, − 2) 93. 梯度的几何意义(1) 等高线z对函数 z = f ( x, y),曲线⎧ ⎨ ⎩z z= =f c(x,y)xoyL*在xOy面上的投影 L* : f ( x, y) = c称为函数 z = f (x, y)的等高(值)线 .z z =2−(x2+y2)z =c2ygrad f ( x, y)o xz =c1yf (x, y) =c1 f (x, y) =c2o x(c1 < c2 )(2) 等高线 f (x, y) = c 的法向量等高线 L∗：f ( x, y) = c⎩⎨⎧x y= =x y(x)L∗在点 P ( x, y)处的切向量：r T={1,d y } = {1, −fx }dxfy=1 fy{fy,−fx}( fy ≠ 0)L∗在点 P ( x , y )处的法向量：nr = ± { f x , f y }(nr ⋅r T=0)(3) 等高线上的法向量与梯度的关系L∗在点 P ( x, y)处的法向量为 nr, 则① nr // grad f ( x, y)②∂f=gradf ( x, y) cos(gradf(x,y)∧,nr)∂n = ± grad f ( x, y)= 0或π当 nr 与 grad f ( x, y)同方向时，∂f ∂n=gradf(x,y)=maxl∂f ∂l当 nr 与 grad f ( x, y )同方向时，∂f = ∂ngradf(x,y)=maxl∂f ∂l≥0沿梯度方向， f ( x, y)的值增加最快.故 z = f (x, y) 在点 P( x, y )的梯度恰为等高线 f (x, y) = c 在这点的一个法向量，其指向为：从数值较低的等高线到数值较高的等高线，而梯度的模等于函数沿这个法线方向的方向导数．梯度为等高线上yf ( x, y) = c2 grad f ( x, y) 的一个法向量，P其指向为：从数值较低的等高线f ( x, y) = c1到数值较高的等ox高线.(c1 < c2 )f (x, y) = c等高线同样, 对应三元函数 u = f ( x, y, z), 有等值面(等量面)f (x, y,z) = c, 当各偏导数不同时为零时, 等值面上 点P处的法向量为 grad f P . 函数在一点的梯度垂直于该点等值面,指向函数 增大的方向.类似地,设曲面c z y x f =),,(为函数),,(z y x f u = 的等量面，此函数在点),,(z y x P 的梯度的方向与 过点P 的等量面c z y x f =),,(在这点的法线的一 个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较 高的等量面，而梯度的模等于函数沿这个法线方 向的方向导数.4. 梯度的基本运算公式grad (1)r=C u C u C grad )(grad (2)=v u v u grad grad )(grad (3)±=±u v v u v u grad grad )(grad (4)+=uu f u f grad )()(grad (5)′=5. 梯度的应用梯度的应用非常广泛，如：(1) 计算方法中求解非线性方程组的最速下降法；(2) 在热力学中，引出热流向量：U k q grad −=r(其中U (P )为温度函数)表示物体中各点处热流动的方向和强度；(3) 在电磁场学中的电位u 与电场强度有关系：E ruE grad −=r这说明场强:垂直于等位面,且指向电位减少的方向.),z y 沿方向l (γzfβcos cos ∂∂+)沿方向l (方向角为可微时方可用。

梯度与方向导数
梯度与方向导数是微积分中的两个重要概念。

梯度是一个向量，它指向一个函数在某一点上增加最快的方向。

方向导数是一个标量，它描述了在某一点上沿着某个方向变化的速率。

梯度和方向导数都有广泛的应用，例如在优化问题中，可以使用梯度来找到函数的极大值或极小值，并使用方向导数来确定函数在某个方向上的渐近行为。

此外，梯度和方向导数还可以用于描述流体力学和电磁学中的物理现象，例如速度和电场的变化。

因此，深入理解梯度和方向导数的概念对于学习微积分和应用数学都是非常重要的。

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⽅向导数、梯度、法线间的关系
在读书时候，数学⾥的好多东西记不清楚了感觉很模糊，所以为了加深印象防⽌遗忘所以记录⼀下，博客中参考的资料已在⽂末标明。

博客中要是有啥错误，或者不好的地⽅欢迎指出⼀起探讨，嘿嘿。

⽅向导数：
函数在点P处，沿着⽅向V的变化率⼤⼩，得到结果是⼀个数值。

对于⼀个⼆元函数,其⽅向导数为（word⾥⾯写好公式复制不上来，⽓⼈只能截图）
证明如下：由
两边同时除以得到下式⼦：
梯度：
梯度这个东东是⼀个向量，既有⼤⼩也有⽅向。

设函数在平⾯区域D内具有⼀阶连续偏导数，那么对于每⼀个点，都可以求出⼀个向量：这个向量就是在点处的梯度。

为什么梯度的⽅向是函数变化最快的⽅向？
对于点由上⾯可知其⽅向导数为，由此可以推出下式⼦：
为两个梯度与所选⽅向间的夹⾓，明显可以看出时即⽅向⼀致时所得到的⽅向导数最⼤即函数变化率最⼤。

梯度与法线的关系：
对于⼀个曲⾯，法线为与切平⾯垂直的直线。

那么对⼀般的⼆元函数,这个曲⾯被平⾯z=c所截下来的曲线L在平⾯xOy上⾯的投影为等⾼线。

由于所以两边同时对x求微分可得下式⼦：
然后我们通过求切线的⽅式来求得法线：
这正好也是梯度⽅向，所以说等⾼线上点P的法向量与该点的梯度⽅向相同。

方向导数与梯度在多变量微积分和优化理论中，方向导数和梯度是两个重要的概念。

它们提供了函数在某一点处关于不同方向的信息，以及函数在该点处的变化率和方向。

理解这两个概念对于解决各种实际问题，如最优控制、机器学习、图像处理等都至关重要。

方向导数是函数在某一点处沿特定方向的变化率。

给定一个函数f(x)在点x0，对于任意的方向v = (h1, h2,..., hn)，方向导数Df(x0)v 是f(x)在x0处沿v方向的变化率。

具体地，Df(x0)v = lim(h->0) [f(x0 + hv) - f(x0)] / h。

方向导数的重要性在于它提供了函数在某一点处对不同方向的敏感度。

例如，如果你在山峰上沿着不同的方向行走，方向导数可以告诉你哪个方向更容易攀登，哪个方向更困难。

梯度是函数在某一点处所有方向导数的向量。

给定一个函数f(x)在点x0，梯度gradf(x0)是一个向量，其方向是f(x)在x0处增加最快的方向，而其大小是f(x)在该方向的导数。

具体地，gradf(x0) = (f'(x01), f'(x02),..., f'(xn))。

梯度是一个非常重要的概念，因为它提供了函数在某一点处的最大变化率方向。

在很多实际问题中，找到这个最大变化率方向往往能够指引我们找到最优解。

例如，如果你在山峰上寻找攀登最快的方式，梯度可以告诉你应该沿着哪个方向前进。

梯度是方向导数的最大值。

换句话说，对于任意给定的方向v，方向导数Df(x0)v都不超过梯度的长度。

这是因为梯度是所有方向导数向量的范数，即||gradf(x0)|| = max{Df(x0)v : ||v|| = 1}。

这个性质表明，梯度不仅提供了函数在某一点处的最大变化率方向，还给出了沿这个方向的导数（即变化率）。

这使得梯度在优化问题中具有特别的重要性，因为它可以用来找到使函数值下降最快的方向。

方向导数和梯度是多变量微积分和优化理论中的重要概念。