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第七节 方向导数与数量场的梯度

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2.2 方向导数与梯度

2.2 方向导数与梯度


从方向导数的表达式可以看到，方向s的方向余弦 表示了所取的方向，而三个偏导数则由数量场唯 一确定。
华北科技学院基础部 17
2014年5月11日星期日
2.2 数量场的方向导数和梯度 u u u u cos cos cos l x y z
在直角坐标系中，令
l cos i cos j cos k
2 cos 2 2 2 3 1 2 2
2014年5月11日星期日
2
华北科技学院基础部
11
2.2 数量场的方向导数和梯度
而
u 2 x u 2 y u ( x 2 y 2 ) , , x z y z z z2
数量场在l方向的方向导数为
u u u u cos cos cos l x y z 2 2 1 2x 2 2 y 2 x y 3 z 3 z 3 z2
当

趋于零时对上式取极限，可得
u u u u cos cos cos l x y z
实际应用：计算函数u(M)在给定点处沿某个方 向的变化率（定点且定向）．
2014年5月11日星期日
华北科技学院基础部
8
2.2 数量场的方向导数和梯度
若方向导数存在，则偏 导数未必存在 . 方向导数与偏导数有什么关系 ? 2 2 例如，z x y 在O 0,0 处沿l i 方向的 z f 而 偏 导 数 0 , 0 不 存 在 . 方向导数 1 ， 0 0， x l z f ( x , y ) f (0,0) ( 0 , 0 ) lim 原因： 0 l 方向导数是单侧极限，而偏导数是双侧极限 . ( x ) 2 ( y ) 2 lim 1 2 2 0 ( x ) ( y ) 函数可微是方向导数存在的充分条件，

(整理)第七节方向导数与梯度

(整理)第七节方向导数与梯度

第七节 方向导数与梯度要求：了解方向导数与梯度的概念，会计算方向导数与梯度方法。

重点：方向导数与梯度的计算。

难点：梯度的几何意义，方向导数与梯度的联系。

作业：习题8－7（60P ）2,4,6,8,10一．方向导数问题提出：在许多实际问题中，常常需要知道函数),(y x f z =在点(,)P x y 沿任意方向或某个方向的变化率．例如预报某地的风向和风力就必须知道气压在该处沿着哪个方向的变化率，在数学上就是多元函数在一点沿给定方向的方向导数问题．1．方向导数定义设函数),(y x f z =在点(,)P x y 的某一邻域内有定义，自P 点引有向直线L ，x 轴正向与直线L 夹角为ϕ，在L 上任取一点'(,)P x x y y +∆+∆，若'P 沿着L 趋近于P 时，即当0)()(22→∆+∆=y x ρ时，极限ρρ),(),(limy x f y y x x f -∆+∆+→ 存在则称此极限值为函数在点P 沿着L 方向的方向导数．记作ρρ),(),(lim 0y x f y y x x f L f -∆+∆+=∂∂→． 说明（1）规定逆时针方向旋转生成的角是正角0>ϕ，顺时针方向旋转生成的角是负角0<ϕ；2．方向导数的计算定理 若函数),(y x f z =在点(,)P x y 可微分，那么函数),(y x f z =在点(,)P x y 沿任一方向L 的方向导数都存在，且有计算公式ϕϕsin cos y f x f L f ∂∂+∂∂=∂∂{},cos ,sin ,f f f f e x y x y ϕϕ⎧⎫⎧⎫∂∂∂∂=⋅=⋅⎨⎬⎨⎬∂∂∂∂⎩⎭⎩⎭． 其中ϕ为x 轴到方向L 的转角，e 是与L 同方向的单位向量．证明：因为函数),(y x f z =在点(,)P x y 可微分，所以有()f ff x y o x yρ∂∂∆=∆+∆+∂∂， 上式两边同除以ρ，得()()cos sin ff x f y o f f o x y x y ρρϕϕρρρρρ∆∂∆∂∆∂∂=++=++∂∂∂∂，则0lim cos sin f f f f L x yρϕϕρ→∂∆∂∂==+∂∂∂ 例1．求函数yxe z 2=在点(1,0)P 处沿从点(1,0)P 到点)1,2(-Q 的方向的方向导数．解 这里方向L 即向量{}1,1PQ =-的方向，因此x 轴到L 方向的转角4πϕ=,又因为y e x z 2=∂∂，y xe y z 22=∂∂，所以在点)0,1(处，1=∂∂xz，2=∂∂y z ，于是方向导数为22)4sin(2)4cos(1-=-+-⋅=∂∂ππL z ． 另一方法．例2. 设由原点到点),(y x 的向径为r ，x 轴到r的转角为θ，x 轴到射线L 的转角为ϕ，求Lr ∂∂，其中22y x r r +== )0(≠r ． 解 因为θcos 22==+=∂∂r x y x x xr ，θsin 22==+=∂∂ryy x y yr 所以)cos(sin sin cos cos ϕθϕθϕθ-=+=∂∂Lr， 讨论：当θϕ=时，1=∂∂L r,即沿着向径本身方向的方向导数为1,当2πθϕ±=时，0=∂∂Lr,即沿着与向径垂直的方向导数为零．3．三元函数的方向导数三元函数),,(z y x f u =在空间一点(,,)P x y z 沿方向L (设方向L 的方向角为γβα,,)的方向导数，同样定义为ρρ),,(),,(lim 0z y x f z z y y x x f L f -∆+∆+∆+=∂∂→．其中222)()()(z y x ∆+∆+∆=ρ，γρβραρcos ,cos ,cos =∆=∆=∆z y x ．若函数),,(z y x f 在点(,,)P x y z 可微分，则在该点方向导数计算公式为cos cos cos {,,}{cos ,cos ,cos }f f f f f f fL x y z x y zαβγαβγ∂∂∂∂∂∂∂=++=⋅∂∂∂∂∂∂∂ {,,}f f fe x y z∂∂∂=⋅∂∂∂． 其中{cos ,cos ,cos }e αβγ=是与L 同方向的单位向量．例3．求函数u xyz =在点(5,1,2)P 处沿从点(5,1,2)P 到点(9,4,14)Q 的方向的方向导数．解 因为u yz x ∂=∂，,u u xz xy y z ∂∂==∂∂，所以2,10,5PPPu uu xyz∂∂∂===∂∂∂，而且{95,41,142}{4,3,12}PQ =---=，2||413PQ ==，于是 4312cos ,cos ,cos 131313αβγ===，从而431298cos cos cos 210513131313f f f f L x y z αβγ∂∂∂∂=++=⨯+⨯+⨯=∂∂∂∂． 二．梯度1．梯度定义设函数),(y x f z =在平面区域D 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点(,)P x y D∈都可确定出一个向量j yf i x f∂∂+∂∂，这个向量称为函数),(y x f z =在点(,)P x y D ∈的梯度，记作⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂∂∂=∂∂+∂∂=x f x f j y f i x f y x gradf ,),( ． 2．梯度与方向导数关系设cos sin e i j ϕϕ=+是与L 同方向的单位向量，则由方向导数的计算公式得{}cos sin ,cos ,sin f f ff f L x y x y ϕϕϕϕ⎧⎫∂∂∂∂∂=+=⋅⎨⎬∂∂∂∂∂⎩⎭(,)(,)cos(^)gradf x y e gradf x y e gradf e =⋅=⋅),(y x gradf prj L =． 可见，方向导数Lf∂∂就是梯度在方向L 上的投影． 当L 方向与梯度方向一致时，有1)^cos(=e gradf，从而方向导数(,)f gradf x y L∂=∂有最大值，所以沿梯度方向的方向导数达到最大值，也就是说，梯度的方向是函数),(y x f 在这点增长最快的方向．结论：函数在某点的梯度方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值，即(,)max()f gradf x y L∂=∂ 3．梯度的计算梯度的模为 22)()(),(xfx f y x gradf ∂∂+∂∂=， 梯度方向为 当0≠∂∂xf时，x 轴到梯度转角的正切xf y f∂∂∂∂=θtan ． 4．梯度的几何意义曲面),(y x f z =被平面c z =所截得曲线L 的方程为⎩⎨⎧==c z y x f z ),(这条曲线L 在xoy 面上的投影是一条平面曲线*L ，它在xoy 平面上的直角坐标方程为c y x f =),(对于曲线*L 上一切点，对应的函数值都是c ，所以称曲线*L 为函数),(y x f z =的等高线， 等高线*L 上任一点(,)P x y 处法线斜率为11tan ()y x x yf dy f f dx f θ-=-==-，梯度j yf i x f ∂∂+∂∂为等高线上点P 处的法向量．梯度与等高线关系：函数),(y x f z =在点),(y x p 的梯度的方向与过点p 的等高线c y x f =),(在该点的法线方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数，这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向．5．三元函数的梯度k zf j y f i x f z y x gradf∂∂+∂∂+∂∂=),,(等高线对应等量面．例3．求221y x grad+．解 因为221),(yx y x f +=，所以22)(2y x x x f +-=∂∂，22)(2y x yy f +-=∂∂， 于是j y x yi y x x y x grad 22222222)(2)(21+-+-=+．例4．设222),,(z y x z y x f ++=，求)2,1,1(-gradf ．解 因为k z j y i x z y x gradf222),,(++=，所以k j i gradf422)2,1,1(+-=-．6.数量场与向量场如果对于空间区域G 内的任一点M ，都有一个确定的数量)(M f ，则称在这空间区域G 内确定了一个数量场，一个数量场可由一个数量函数)(M f 来确定，如果与点M 相对应的是一个向量()F M ，则称在空间区域内确定了一个向量场，一个向量场可用一个向量函数()F M 来确定．思考题1．2．方向导数与梯度有何区别？又有何联系？（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

方向导数与梯度

方向导数与梯度

P0
方向导数与梯度
问在怎样的方向上此方向导数有 最小值; (1) 最大值 (2) 最小值 (3) 等于零 最大值; 等于零?
f l = cosα + sinα = 2 sin(α + ) 4
π
故 (1) 当α = π 时, 方向导数达到最大值 2; 4 5π ( 2) 当α = 时, 方向导数达到最小值 2; 4 7π 3π ( 3) 当α = 时, 方向导数等于 0. 和α = 4 4
2
方向导数与梯度
定义 如果极限 lim
f ( P′) f ( P )
P ′→ P
= lim
f ( x + x , y + y ) f ( x , y )
ρ
y
β
ρ →0
ρ
ρ
x
l
P′
y
存在, 存在 则将这个极限值称为函数
α
沿方向l 在点 P沿方向 的方向导数, O f ,即 记为 l f ( x + x , y + y ) f ( x , y ) f = lim l ρ → 0 ρ 注 方向导数是函数沿半直线方向的变化率 方向导数是函数沿半直线方向的变化率.
1. 方向导数的定义
由点P发出的一条射线 l , 发出的一条射线 射线是指有方向的半直线, 射线是指有方向的半直线, 在点 P ( x , y )附近于 l方向上取 一点P ′( x + x , y + y ), 记 | PP ′ |= ρ . 即
y
β
ρ
x
l
P′
y
α
O
x
ρ = ( x ) 2 + ( y ) 2 ,
e1 = (1,0) 的方向导数存在 且值为 f x .事实上 的方向导数存在, 事实上,

第七节 方向导数与梯度课件

第七节 方向导数与梯度课件

到点 Q ( 2 , 1 ) 的方向的方向导数. 解
r 即为 PQ { 1 , 1 } , 这里方向 l r 故 x 轴到方向 l 的转角 . 4 z e 2 y (1, 0 ) 1; z 2 xe 2 y (1, 0 ) 2, x (1, 0 ) y ( 1 , 0 )
设 x 轴正向到射线
l 的转角
P U ( p ). o
为 , 并设 P ( x + x , y + y )
P



x
y
为 l 上的另一点且
（如图）
x
扬州环境资源职业技术学院基础部
| PP | ( x )2 + ( y )2 ,
且 z f ( x + x , y + y ) f ( x , y ),
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梯度的概念可以推广到三元函数 三元函数 u f ( x , y , z ) 在空间区域 G 内具有 P ( x, y,z) G ， 一阶连续偏导数，则对于每一点 都可定义一个向量(梯度)
f r f r f r gradf ( x , y , z ) i + j + k. x y z
因为
f 2x 2 , 2 2 x (x + y )
1 2x 2y gradu 2 2 i 2 j 2 2 2 2 2 x +y (x + y ) (x + y )
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小结
1、方向导数的概念
（注意方向导数与一般所说偏导数的区别） 2、梯度的概念 （注意梯度是一个向量） 3、方向导数与梯度的关系 梯度的方向就是函数 f ( x , y ) 在这点增长最快的方向.

高等数学 8-7.方向导数与梯度

高等数学 8-7.方向导数与梯度

π 方向导数达到最大值 2 ; 故 1）当α = 时， （ 4 5π π （2）当α = 时， 方向导数达到最小值− 2 ; 4 3π 7π π π （3）当α = 和α = 时，方向导数等于 0. 4 4
推广可得三元函数方向导数的定义
对于三元函数 u = f ( x, y, z )，它在空间一点 P( x0 , y0 , z0 ) 沿着方向 l = (cosα ,cos β ,cos γ ) 的方 向导数 ，可定义为 f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y, z0 + ∆z ) − f ( x0 , y0 , z0 ) ∂f = lim ρ ∂l ρ →0
方向导数仍可理解 为曲线上一点处右 切线在新坐标系下 的斜率. 的斜率
y
t
P = ( x 0 , y0 )
v = (cos α ,sin α )
方向导数的物理意义：
设一质点 P 在三维空间的运动轨迹为 (时间t) 时间
x = x0 + t cos α , y = y0 + t sin α , z = f ( x0 + t cos α , y0 + t sin α )
y
l
• P′
•
•
ϕ
∆x
∆y
x
（如图） 如图）
ρ f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y ) 是否存在？ 是否存在？ lim ρ →0 ρ
上述极限若存在, 定义: 上述极限若存在 则称此极限为函数 f 在 P处沿方向 l 的方向导数 记为 方向导数, 处沿方向
∵ | PP ′ |= ρ = ( ∆x )2 + ( ∆y )2 , 且 ∆z = f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y ), ∆z 考虑 , 当 P′沿着 l 趋于 P时，

北林高数下9(7)-方向导数与梯度

北林高数下9(7)-方向导数与梯度
f f • 当 l 与 x 轴同向 α 0 , β 时, 有 2 l x f f • 当 l 与 x 轴反向 α , β 时, 有 2 l x
l
x

4
f f f 注 (1) cos cos l x y
其中cos , cos 为l 方向的方向余弦,
0
6
例 . 求函数
在点 P(1, 1, 1) 沿向量 的方向导数 .
解: 向量 l 的方向余弦为
u l
P
2 2 x yz 14
3 x y 14
2
7
练习 求函数 u
的方向导数.
x
x2 y2 z2 曲线 x t , y 2t 2 , z 2t 4 在此点的切线方向上
10
求函数
在点P( 2, 3 )沿曲线
y
3
朝x增大方向的方向导数.
解 将已知曲线 用参数方程表示为

P ( 2,3)
xx
O
1
2
x
它在点P 的切向量为(1 , 2 x )
1 4 cos , cos 17 17
x2
( f f cos cos cos 方向导数公式 l x y z f f f 令向量 G x , y , z l (cos , cos , cos ) f max 当 l 与 G 方向一致时, 方向导数取最大值： l 方向：f 变化率最大的方向 说明 G : 模 : f 的最大变化率之值
注意: 对三元函数, 与 f ( P) 垂直的方向 有无穷多!
19
3. 梯度的基本运算公式
(2) grad (c u) c grad u 或 (c u) c u (4) grad ( u v ) u grad v v grad u

高等数学(下册)第八章第七节——方向导数与梯度

高等数学(下册)第八章第七节——方向导数与梯度

ky − 2 2 32 (x + y )
等值线方程为 x2 + y2 = (k / c)2. BUCT
结论: 结论:
蚂蚁应沿着负梯度方向爬行才能最快到达较凉快的地点 蚂蚁应沿着负梯度方向爬行才能最快到达较凉快的地点
4 3.5 3 2.5 -grad f 2 1.5 1 0.5 0 grad f y
第七节
第八章
方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度 三、物理意义
BUCT
一、问题的提出
一块长方形的金属板， 实例一 一块长方形的金属板，四个顶点的坐 标是(1,1) (5,1)，(1,3)，(5,3)． (1,1)， 标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点 处有一个火焰，它使金属板受热． 处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意 一点处的温度与该点到原点的距离成反比． 一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在 (3,2)处有一只蚂蚁 处有一只蚂蚁， (3,2)处有一只蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬 行才能最快到达较凉快的地点？ 行才能最快到达较凉快的地点？
BUCT
示意图
3 2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
实质： 实质：应沿由热变冷变化最剧烈的方向爬行 问题：何为温度变化最剧烈的方向？ 问题：何为温度变化最剧烈的方向？ BUCT
实例二
观 察 支 流 的 流 动 方 向
西点军校地形图
BUCT
一、方向导数 定义: 定义 若函数 f (x, y, z) 在点 P(x, y, z) 处 沿方向 l (方向角为 α , β , γ ) 存在下列极限:

《方向导数与梯度》课件

《方向导数与梯度》课件

方向导数在优化中的应用
总结词
方向导数是优化算法中常用的工具，它可以用于求解无约束和约束优化问题，以及用于 梯度下降法和牛顿法的实现。
详细描述
方向导数是优化算法中常用的工具，它可以用于求解无约束和约束优化问题。在无约束 优化问题中，方向导数可以用于梯度下降法和牛顿法的实现，通过不断沿着负梯度方向 搜索，找到函数的极小值点。在约束优化问题中，方向导数可以用于确定搜索方向和步
长，以避免进入不可行区域或避免目标函数的增加。
02
梯度
定义与性质
01
基本概念
02 梯度是标量场中某一点的方向导数最大的。
04
梯度的大小表示函数在该点的斜率，方向 表示函数在该点的增长方向。
计算方法
计算步骤
计算函数在这一点沿各个 方向的变化量。
确定函数在某一点的值。
计算方法
总结词
计算方向导数需要用到偏导数和方向余弦，常用的计算方法有解析法、数值法和图解法。
详细描述
计算方向导数需要用到函数的偏导数和方向余弦。首先求出函数的偏导数，然后根据方向余弦计算出方向导数。 常用的计算方法有解析法、数值法和图解法。解析法适用于数学函数，数值法适用于复杂函数，图解法适用于直 观理解。
05
实际应用案例
在机器学习中的应用
机器学习算法优化
方向导数和梯度在机器学习中用于优化算法，例如梯度下降法。通过计算梯度，可以找到函数值下降最 快的方向，从而更新模型的参数，使模型在训练数据上的表现更好。
方向导数和梯度的计算对于深度学习尤为重要，因为深度学习模型通常具有大量的参数，需要使用梯度 下降等优化算法进行训练。
在机器学习中的应用
01
特征选择与降维
02

高数7方向导数和梯度

高数7方向导数和梯度
数，则对于每一点P(x,y)∈D，都可定义一个向量( fx, fy )
这个向量称为函数z=f(x,y)在P(x,y)的梯度，记为
grad f (x, y) ( fx , f y ).
el=(cosα,cosβ)是方向l上的单位向量，即l的方向余弦.
f l
fx
cos
fy
cos
( fx , f y ) (cos , cos )
f l
lim
0
f ( x x, y y)
f (x, y) .
( (x)2 (y)2 )
函数f(x,y)在点P沿着x轴正方向、y轴正方向的方 向导数分别为fx，fy； 沿着x轴负方向、y轴负方向的方向导数分别为-fx，-fy.
2、方向导数的计算公式
定理 如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)是可微分的，则 函数在该点沿任意方向l的方向导数都存在，且有
3、方向导数与梯度的关系 梯度的方向就是函数f (x, y) 在这点增长最 快的方向. 梯度的模为方向导数的最大值。
f f cos f cos
l x
y
其中cosα,cosβ是方向l的方向余弦.
例 1 求函数 z xe2 y 在点 P(1, 0) 处沿从点 P(1, 0)
到点 Q(2, 1) 的方向的方向导数.
解 PQ (1, 1)
z e2 y 1;
x (1,0)
(1, 0 )
z 2xe2 y 2,
gradf (x, y, z) ( fx , f y , fz ).
类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与 取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的 最大值.
例 4 求函数 u x2 2 y2 3z2 3x 2 y在点 (1, 1, 2) 处的梯度，并问在 哪些点处梯度为零向量？

《矢量分析与场论》数量场的方向导数和梯度

《矢量分析与场论》数量场的方向导数和梯度
(2) gradcu cgradu C为常数
(3) grad(u v) gradu gradv
(4) grad(uv) ugradv vgradu
u 1 (5) grad ( v ) v 2 (vgradu ugradv )
' gradf ( u ) f (u) gradu (6)
3.梯度的应用 例：设有位于坐标原点的点电荷 q ，在空间任何 一点 M ( x, y, z ) 处产生的电位为： q v 4r r xi yj zk，r r ，试求电位 v 的梯度。 解：
E q 4r
3
r
E gradv
电场中的电场强度等于电位的负梯度。电场 强度垂直于等位面，且指向电位减小的方向。
的模，试 r
r gradr r r
x r x2 y 2 z 2 x
r y y r
r z z r
r r r gradr i j k x y z x y z r i j k r r r r r
t 证明 u cons tan （习题 3第10题）。
证： 因 gradu 0 ，得
u u u 0, 0, 0 x y z
积分得： u cons tan t 表明：数量场等值面的梯度为0。
3.梯度的应用
例：若在数量场 u u(M ) 在 M 0处可微，且满 足 u(M ) u(M 0 ) ，证明在 M 0处有 gradu 0。 （习题3第11题） 证：因 u u(M ) 可微，且 u(M ) u(M 0 ) ， 则 u(M ) 在 M 0 处取得极大值，有：
2 2 2
欲使 gradu M 平行 OZ 轴且模为32，则应有：
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定理1 若u u( x , y , z )在点M ( x , y , z )处可微, 方向l的单 位向量l 0 cos , cos , cos , 则u沿 l方向的方向导数
u u u u 0 gradu( M ) l cos cos cos l x y z
' '
例4 : 设 r x i y j z k , r r , 求 1 (1) gradr; ( 2) grad ( r 0). r
练习 : 设f ( r ) C (1) , r x 2 y 2 z 2 , 求f ( r ).
下面的两个例子是梯度 在热学和电学中的应用 .
在(1.1)中给常数c不同的值, 就得到 不同的等值面, 如图2 1
这族等值面充满了数量 场所在的 空间, 这是因为场中每一点 M 0 ( x0 , y0 , z 0 )都有一个 等值面 u( x , y , z ) u( x0 , y0 , z 0 ) 通过,由于u是单值函数, 一个点只能在一个等值 面上.
第七节 方向导数与数量场的梯度
• 场的概念 • 方向导数和梯度 • 梯度的物理意义与几何意义 • 梯度的运算性质
10 场 : 场是物理量在空间和时间的分布。
20 数量场：若它的值取数量, 如温度、电位等, 可表示为u u( x , y , z , t )等;
30 矢量场：若它的值取矢量, 可表示为 A A( x , y , z , t )等.其中x , y , z刻划空间位置, t 表示时间；
M M0
它刻划了u( M ) u( x , y, z )在点沿l方向的变化率.
记x x x0 , y y y0 , z z z0 , u u( M ) u( M 0 ),
M 0 M ( x ) 2 ( y ) 2 ( z ) 2 , 则 u u u u( x , y , z )在M 0可微, u x y z o( ) x y z u( M ) u( M 0 ) u lim lim M M0 0 M0 M u x u y u z o( ) lim[ ] 0 x y z


dx dy dz Ax Ay Az
这就是向量线所满足的微分方程组, 解之可得过点
(7.2)
M ( x , y , z )的向量线, 让M 在场中变动, 可得向量线族. 当 A( x , y , z )单值且 C (1)时, 这族向量线可充满向量 场所在的空间, 且互不相交.
对于一向量场 A A( M )中的任一曲线C (非向量线)在其上每一点处有且仅有一条 向量线通过, 这些向量线全体构成一张通 过曲线C的曲面, 称为场 A过曲线C的向量面.
图6-15
特别地,当C为一封闭曲线, 通过C的向量面 就构成一个管形曲面 , 称之为场A通过C的向 量管(图6 16).
图6-16
例2 : 求向量场 A xzi yz j ( x y )k
2 2
过点M (2, 1,1)的向量线方程.
40 平行平面场 平行平面场是一种常见 的具有一定几何特点的 场, 平 行平面场亦有数量场和 向量场, 分述如下.
u u u u cos cos cos l x y z
(7.5)
图6-18
u u u 0 u u u u 或 , , cos ,cos ,cos , , l l x y z x y z
例 3 : 设有一根无限长的均匀 带电直线l，其上电 荷分布的线密度为q，则在l周围的空间里所产生 的电场中，由电场强度 E ( M )所构成的向量场是一 与l相垂直的平行平面向量 场，若任取一块与 l相垂 直的平面作为 xoy平面，原点O取在垂足处，则由 q 物理学知 E r，其中为介电系数， 2 2r r OM x i y j , r r 。
利用Hamilton算子 , 梯度的性质可写成 (1)' C 0 ( 2) (u v ) u v
'
( 3)' ( uv ) vu uv (4) f ( u) f ( u)u u 1 ' (5) ( ) 2 (vu uv ) v v
( 2) 平行平面数量场
如果数量场u u( M )具有这样的几何特点 :就 是在垂直于场中某一直 线l的所有平行平面上 ,数 量u的分布都相同 , 或者说, 在场中与直线 l平行的 任一条直线的所有点上 , 数量u都相同, 则称此数 量场为平行平面数量场 .
和平行平面矢量场一样 ，平行平面数量场也可 简化为一平面数量场来 研究。一般就任取一张 与 直线l 相垂直的平面作为 xoy平面，来研究数量 u 在其上的情况，此时 u u( x , y )。
二、 方向导数与梯度
设u u( x , y , z )在点M 0 ( x0 , y0 , z0 )处可微, 取定方向l , 其单位向量 l 0 cos ,cos ,cos 作由M 0沿 l 0方向的射线, 在其上任取一点M ( x , y , z ), 观 察极限 lim u( M ) u( M 0 ) M0 M
x2 y2 6 例1 : 求数量场u 中与平面x y 2 z 2 z 相切的等值面方程 .
30 向量场的向量线
设 A是一向量场, A Ax ( x , y, z )i Ay ( x , y, z ) j Az ( x , y, z )k 为了直观地表示向量场的分布情况,引入向
定义2 设数量场u u( x , y , z )在点M ( x , y , z )处可偏导, u u u 称向量 , , 为场u在点M处的梯度, 记为gradu( M ) x y z M ,即 u u u gradu( M ) , , x y z (7.6)
换句话说, u在点M 0 处的梯度就是u过点M 0的等值面 u 在点M 0 处的法向量,由定理1,当l与gradu同向时( ) M 0 l u 取得最大值, Max( ) M 0 gradu l l
例 3 : 求数量场u xy 2 yz 3 在M ( 2,1,1)处的梯度 及沿l 2,2,1的方向导数.
40 稳定场：如果场与时间t无关, 也称为恒稳场, 否则称 50不稳定场：如果场与时间t有关。
以下讨论稳定场，所得到的结果通常也适合于不稳定 场的每一瞬间的情况.
数量场的等值面
场u u( x , y , z )取同一数值的点全体通 常组成 一曲面 :
u( x, y, z ) c, (c为常数 )
(7.7)
若引进Hamilton算子 : , , x y z
它是一向量微分算子 , 作用于数量函数 u得到 u u u u , , u记 , , gradu. x y z x y z
(1.1)
称为场u u( x , y , z )的一个等值面，温度场 的等值面就是由温度相 同的点所组成的等温 面，电位场中的等值面 就是由电位相同的点 所组成的等位面。
由隐函数存在定理知 ,当u( x , y, z )为单值函数且 ux , u y , uz 不全为零时, 这种等值面一定存在 .
量线的概念,向量线是指这样的曲线, 在它上 面每一点M ( x , y , z )处,曲线都和对应于该点 的向量场 A的值 A( x , y , z )相切, 如图6 14.
图6-14
例如静电场中的电力线 , 磁场中的磁力线 , 流速场中 的流线等 , 都是向量线的例子 .
设M ( x , y , z )为某向量线上的任一点, 该点处的向径 为 r xi y j zk , 则 d r dx , dy , dz 应与该向量线在 M 处的切向量平行, 根据向量线的定义, 它与 A Ax , Ay , Az 平行,因此有
练习: 数量场u x 2 yz 3在点M (2,1, 1)处沿哪个方向的方向 导数最大，最大值是多少.
四、 梯度的运算性质
(1)设C为常数, 则gradC 0 ( 2)设 , 为常数, 则grad(u v ) gradu gradv ( 3) grad( uv ) vgradu ugradv (4) gradf ( u) f ' ( u) gradu u 1 (5) grad( ) 2 (vgradu ugradv) v v
(1) 平行平面向量场
如果向量场 A A( M场中所有的向量 A都平行于某一平面 ;
(2)在垂直于 的任一直线的所有点上,向量 A的大小和 方向都相同, 则称此向量场为平行平面场(图6 17).
显然，在这种场中每一 个与平面平行的平面上， 场中矢量的分布都相同 。因此，只要知道场在 其中 一个平面上的情况，则 场在整个空间里的情况 里就 知道了。 这就是说，平行平面矢 量场可简化为一平面矢 量 场来研究。一般就在平 行于的平面中任取一块作 为xoy平面，来研究矢量场A 在其上的情况，此时 A Ax i Ay j 。
u u u cos cos cos x y z
cos x

, cos
y

, cos
z
.
u( M ) u( M 0 ) 定义1 称极限 lim 为u( x , y , z )在点 M M0 M0 M u M 0 ( x0 , y0 , z0 )处沿方向l的方向导数, 记为 , 即 l u u( M ) u( M 0 ) lim (7.4) l M M 0 M0 M
场u中的每一点M对应一个向量gradu( M ),因此gradu( M ) 是一向量场, 称为由u产生的梯度场.