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第七章无穷级数(数学二不要求)§1 常数项级数【考试要求】1. 理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件.2. 掌握几何级数与p级数的收敛与发散的条件.3. 掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法.4. 掌握交错级数的莱布尼茨判别法.1831845. 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛之间的关系.一、基本概念1. 级数收敛与发散:若级数1nn u∞=∑的部分和序列{}n s 有极限，即lim n n s s →∞=，则称级数1n n u ∞=∑收敛，并称s 为该级数的和，记作1nn us ∞==∑;若{}n s 的极限不存在，则称级数1n n u ∞=∑发散.1852. 正项级数:若012(,,)n u n ≥=，则称1n n u ∞=∑为正项级数.3. 交错级数:若012(,,)n u n >=，则称111()n nn u ∞-=-∑为交错级数.4. 绝对收敛与条件收敛:对任意项级数1n n u ∞=∑，若1nn u∞=∑收敛，则称1n n u ∞=∑绝对收敛;若1nn u∞=∑发散，而1nn u ∞=∑收敛，则称1nn u ∞=∑条件收敛.186二、重要结论 1. 收敛级数的性质 (1) (级数收敛的必要条件)若1n n u ∞=∑收敛，则0lim nn u→∞=.注1 0lim n n u →∞=仅是级数1n n u ∞=∑收敛的必要条件，并不是充分条件.注2 利用此结果可以求数列的极限0lim n n u →∞=.187(2) 若11nn us ∞==∑，21n n v s ∞==∑，1k 与2k 为常数，则1211221()n n n k uk v k s k s ∞=+=+∑. (3) 任意去掉级数的有限项，不改变其敛散性.(4) 收敛级数任意添加括号后仍收敛(即发散级数去括号后仍发散). 2. 几何级数与p -级数的收敛性(1) 几何级数1nn q ∞=∑当1q <时收敛，其和为1qq -;当1q ≥时发188散.(2)p -级数11p n n∞=∑当1p >时收敛;当1p ≤时发散.3. 正项级数审敛法 (1) 比较法:设1n n u ∞=∑与1nn v∞=∑均为正项级数，0k >，若()n nu kv n N ≤>，则当1n n v ∞=∑收敛时， 1n n u ∞=∑也收敛;若()n n u kv n N ≥>，则当1n n v ∞=∑发散时， 1n n u ∞=∑也发散.189比较法的极限形式: 如果lim nn nu l v →∞=，那么当0l <<+∞时，1n n u ∞=∑与1n n v∞=∑的敛散性相同;当0l =时，若1n n v ∞=∑收敛，则1n n u ∞=∑也收敛;当l =+∞时，若1n n v ∞=∑发散，则1n n u ∞=∑也发散.注1 比较法中的1nn v∞=∑通常选取几何级数或p 级数.190注2 极限形式可从同阶或等价无穷小的角度考虑1n n v∞=∑的取法.(2) 比值法(达朗贝尔判别法): 对正项级数1nn u∞=∑，设1limn n nu u ρ+→∞=，则当1ρ<时， 1n n u ∞=∑收敛;当1ρ>时， 1n n u ∞=∑发散;当1ρ=时， 1n n u ∞=∑的敛散性不确定.注 当n u中含有na，!n 时使用此方法较好，当n u 为n 的有理式时失。
第八章 常数项级数的概念与性质授课序号01)，将数列){}n u 中的各项用加号连接的形式n u ++常数项无穷级数，简称级数，记为1nn u∞=∑，其中是求和记号，称为下标变量，第对数列123,,,,n u u u u ，取它的前1nn i i u u =+=∑，n 项之和）.若级数的部分和数列{}n S()0n aq a ++≠()1++1n n +⎪⎭⎫ ⎝⎛+11n 的敛散性. 11n++ 的和.授课序号02n u ++，其中()n u 为任意实数，那么该级数叫做∑∞=1||nu也收敛，则称级数n 绝对收敛；2,)，则有)； 则交错级数收敛，且收敛和1s u ≤.nu收敛，则任意项级数);11(1)n n-+-+是收敛的.114n nn -⋅的敛散性.授课序号03()()1n n n u x u x ∞=++=∑()01nn u x ∞=∑就是常数项级数. 的收敛点，收敛点的全体组成的数集称为()u x ∞∑的收敛域()0nn a x x +-+nn a x∞=∑，因此不失一般性，我们仅讨论这个形，则幂级数称为一个常数项级数a ∞∑n n a x ++，n n b x ++22,)R R -，其和函数分别为11(,),x R R ∈-0110(),(,).n n n n a b a b a b x x R R -+++++∈-（和函数的连续性）设幂级数0nn n a x∞=∑的收敛域为区间I ，则它的和函数授课序号04,cos ,sin ,nx nx该三角函数系中的任何不同的两个函数的乘积的在[]π,π-上的积分等于零.1,2,n =就叫做的傅里叶级数.1,2,，，即只含有正弦项的傅里叶级数；，余弦级数，即只含有常数项及余弦项的傅里叶级数Dirichlet）充分条件），1,2,.的周期函数，它在。
