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常数项级数

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常数项级数的概念和

常数项级数的概念和

n(n 2
1)
.
ln im snln im n(n21), ∴所给级数是发散的. 3

定 义 如 果 级un数 的 部 分{和 sn}有 数极 列 s， 限
n1


则 称 级 un数 收 敛 ， 并 un且 s.
n1
n1
例2 判定级数1 的收敛 . 性
课堂练习 判别级数1 的敛散. 性
P255.4(3)
n2 n 3
解ln im un
1 lim
3 nn


级数
1 发散.
lim
n
1
1
3n
1 1 0. 1
|q|1,
该级数收敛,

并且

4
n


n0 5

1
1
4
5.
5
9
二、收敛级数的基本性质


性质1 设常k数 0,则kun与un有相同的敛
n1
n1

证 设u n的部sn 分 u 1 和 u 2 为 u n;
n 1
则knu 的 部n 分 k1 u 和 k2u 为 knu ksn . n 1
( u 1 u 2 u n ) ( v 1 v 2 v n ) snn,
ln i m nln i (m snn)s,

(un vn)收敛，且其和s为 ．
n1
11


性质2 如果级 数 un、 vn分别收敛s、 于 , 和

例3 讨 论 等a比 nq aa 级 qa数 2q anq
n0

7.1常数项级数的概念和性质

7.1常数项级数的概念和性质

| an – a |
3. 有关性质： (1) 单调有界数列必收敛.
(2) 如果一数列收敛于S，那么其任一子数列 均收敛于S.
lim s2 n1 = S， 则 (3) 若 lim s2 n = S， n
n n n
1
lim sn = S
n
2
(4) 设 lim sn = S1， lim sn = S2， 若S1≠S2， 则数列Sn发散； 若 S 1= S 2， 则数列Sn 可能收敛也可能发散.
二、级数的基本性质
性质 1 级数 an 与任一余项级数
n 1


an ( k 1) n k 1

有相同的敛散性.
证明
a n a k 1 a k 2 a k n n k 1
n ak 1 ak 2 ak n sn k sk ,
性质 3

设两收敛级数 a n s , bn ,则级数
n 1 n 1


(an bn ) 收敛,其和为 s . n 1
结论: 收敛级数可以逐项相加或逐项相减.
思考:
1. 若级数 an 与 bn 一个收敛一个发散 , 级数
n 1 n 1
(an bn ) 敛散性如何? n 1
级数发散.
综上
当 | q | 1 时 , 收敛 aq 当 | q | 1 时 , 发散 n 0
n
例4 一个球从a米高下落到地平面上.球每次落下距
离h后碰到地平面再弹起的距离为rh,其中r是小于1的正
数.求这个球上下的总距离.
2ar a(1 r ) . s a 2ar 2ar 2ar a 1 r 1 r

常数项级数的概念与性质

常数项级数的概念与性质

性质1
如果级数
un
n1
收敛于和S，则它的各项同乘以一
个常数k所得的级数 kun 也收敛，且其和为kS。
n1
性质2 如果级数 un、 vn 收敛于和S1, S2 ，则级数 n1 n1
un vn 也收敛，且其和为S1 ± S2 。
n1
性质3 若级数 un收敛，则对该级数的项任意加（或去）
4
3 5
0
所以，由级数收敛的必要条件知，该级数发散。
高等数学
性质4 在一个级数中任意去掉、增加或改变有限项后，级 数的收敛性不会改变，但对于无穷级数收敛级数，其和将受 到影响。
性质5
如果
lim
n
un
0
（包括极限不存在），则级数
un
n1
必发散。
例4 判定级数
3n 的敛散性。
n1 5n 4
解 级数的一般项
un
3n 5n
4
因为
lim
n
un
lim
n
3n 5n
3 103
，
可以得到如下的表达式
33 3
3
0.33 3 10 102 103 10n
显然，如果n →∞，那么我们就得到
0.3
1 3
3 10
13 3 3
3
3 10 102 103 10n
二、常数项级数的概念
定义1 如果给定一个数列u1, u2, u3, …, un, …，则由这数列 构成的表达式
定义2 如果级数 un 的部分和数列{Sn} 的极限存在，即 n 1
lim
n
Sn
S
则称级数un 收敛，S为级数的和，记为 n 1

常数项级数的概念和性质

常数项级数的概念和性质

3
幂级数求和法的优点是适用于特定的幂级数，可 以快速得到级数的和。然而，对于非幂级数，这 种方法不适用。
04 常数项级数的应用
在数学分析中的应用
数学分析中的极限理论
常数项级数在数学分析中用于研究函数的极限行为，例如通过级数的收敛性来研究函数的连续性和可 积性。
函数逼近
常数项级数可以用来逼近复杂的函数，通过将复杂的函数展开成级数的形式，可以更方便地研究函数 的性质和进行近似计算。
常数级数的概念和性质
contents
目录
• 常数项级数的定义 • 常数项级数的性质 • 常数项级数的求和 • 常数项级数的应用 • 常数项级数的扩展
01 常数项级数的定义
有限级数和无穷级数
有限级数
级数的项数是有限的，可以表示为几 个常数相加的形式。
无穷级数
级数的项数是无限的，可以表示为无 穷多个常数相加的形式。
在物理中的应用
热力学中的熵
在热力学中，常数项级数用于计算熵，熵是系统无序度的量度，对于理解系统的热力学 行为具有重要意义。
波动方程的解
在物理中，常数项级数用于求解波动方程，例如在声学和电磁学中，通过级数的形式来 表示波的传播。
在工程中的应用
电路分析
在电路分析中，常数项级数用于表示和 计算电路中的电流、电压和功率等参数 ，有助于理解和优化电路的性能。
应用
复数项级数在数学、物理和工程 等领域有广泛的应用，如傅里叶 分析、量子力学和电路分析等。
函数项级数
定义
函数项级数是各项为函数的级数，可以表示为 $sum_{n=0}^{infty} f_n(x)$，其中$f_n(x)$是函数。
性质
函数项级数的收敛性取决于函数的性质和级数的收敛条件，如一致 收敛、逐点收敛等。

常数项级数基本概念以及性质

常数项级数基本概念以及性质



1 4 p

1 4p

1 4p

1 4p


1 4 p1

1 2 2 p1
1 8 p
1
9p


1 15 p



1 8p
1 8p


1 8p


1 8 p1

1 2 p1
3
……………………………………
x2 2n 2

x2 ，
n
1
n 1
2
n2
n2
即 x2 0 (x 0)
2
而
1
n1 n 2
是n=2的P一级数，它是收敛的，故原级数
( 1 cos x )收敛.
n1
n
5. 达朗贝尔比值判别法

设 un
n 1
3. 性质 3
在一个级数的前面加上或者去掉有限项后， 所得到的新的级数与原级数的敛散性相同. (但对 收敛级数来说，它的和将改变.)

证 设级数 un 的部分和为Sn,去掉级数的前 n 1

面m项后得到的级数uk 的部分和为S 'k: k m1
S
' k
um1 um2

umk
u
，
k
n 1
k 1

cun 的部分和为
n1
Sn
n
cuk
n
c
uk
cSn ,
k 1
k 1
故
lim
n
S
n

lim
n
cS

常数项级数

常数项级数

n=1
ρ > 1 时, lim an ≠ 0,因而 an发散 ∑
n→∞ n=1
∞
根值判别法
设
∑a
n=1
∞
n 为正项级数
, 且 lim
n
n
n→ ∞
an = ρ
则 (1 ) ρ < 1 时 ,
∑a
n=1 ∞
∞
收敛 ,
( 2 ) ρ > 1 时 , ∑ a n 发散 . n=1 ρ 1 , 注 : 根值判别法对 = 1的情形没有下任何结论
, 比值判别法无效 且比值判别法不是充要 . 条件 2 : 由根值判别法的证明过 程可见： 程可见：
ρ > 1 时, lim an ≠ 0,因而 an发散 ∑
n→∞ n=1
∞
积分判别法
且单减， 设 (1) f在[1,+∞ )上连续 , f ≥ 0且单减， ( 2) an = f ( n) ( n = 1,2,K),
与条件收敛 常数项级数的绝对收敛
定义： 定义：
, , 若绝对值级数 an 收敛 则称级数 an绝对收敛 ∑ ∑
n=1 n=1
∞
∞
, , 若级数 an收敛 但绝对值级数 an 发散 则称级 ∑ ∑
n=1 n=1
∞
∞
. 数∑an条件收敛
n=1
∞
定理
, 若级数 an绝对收敛 则级数 an收敛. ∑ ∑
n=1 n=1
n
为正项级数 , 且
∞
an+1 lim = ρ n→ ∞ a n
则 (1) ρ < 1 时 , ∑ a n 收敛 .
n=1 ∞
( 2 ) ρ > 1 时 , ∑ a n 发散 .

第一节常数项级数的概念与性质


性质4 若级数 un收敛，则对级数的项任意加括号后所成
n 1

的级数仍然收敛，且其和不变. 即 若s u1 u2 un1 un1 1 un2 成立，则
s u1 u2 un1 un1 1 un2 也成立
n 1

如果级数 un的部分和数列sn 没有极限，则称级数 un发散.
n 1 n 1
记 rn s sn un1 un2 ，称为级数的余项.
1 例1 判别级数 的敛散性. n 1 n n 1

解 级数的一般项可变形为 1 1 1 un n n 1 n n 1 所以级数的部分和为
性质2 若级数 un , vn分别收敛于s与 ，则级数
n 1 n 1

u
n 1

n
vn 收敛于s ；级数 un vn 收敛于s .


n 1
性质3 在级数 un的前面部分去掉或添加有限项，
n 1
级数的收敛性不变. 但级数的和会改变！
可见改变级数的有限项，不改变级数的敛散性， 但改变级数的和！
1 例4 证明：调和级数 发散. n 1 n 1 证明：假设调和级数 收敛于s. n 1 n 则应有 lim sn s, lim s2 n sn n Nhomakorabea
所以有 lim s2n sn 0
n
而 s2n sn un1 un2 u2n
n
2 当公比 q 1时，
若q 1 ，则级数的部分和为sn na n ；
若q 1，则级数的部分和为sn a 1
n 1 n 1

常数项级数的概念和性质

n
sn
存在(不存在)
余项 rn s sn un1 un2 uni
i 1
即 sn s
误差为 rn
(lim n
rn
0)
例 1 讨论等比级数(几何级数)
aqn a aq aq2 aqn (a 0)
n0
的收敛性.
解 如果q 1时
sn a aq aq2 aqn1
设
un
是正项级数,如果lim n
n
un
n1
(为数或 ), 则 1时级数收敛;
1时级数发散; 1时失效.
例如, 设级数 1 ,
nn
n1
n
un
n
1 nn
1 n
0 (n )
级数收敛.
习惯塑造人生
从自己旳经历谈什么事先做起来 • 教育就是养成习惯——叶圣陶.
• 一种人不想做某事，能够找出千万条理由，下 决心做一件事情时，有一条理由就足够了。
1111
发散
四、级数收敛旳必要条件
设收敛级数
S
un ,
n1
则必有 lim
n
un
0.
证: un Sn Sn1
lim
n
un
lim
n
S
n
lim
n
Sn1
S
S
0
可见: 若级数旳一般项不趋于0 , 则级数必发散 .
例如, 1 2 3 4 (1)n1 n , 其一般项为
2345
n 1
un
(1)n1
(1) lim nsin 1
n
n
n1
3
n
;
n sin 1
lim n 1,
n 1

常数项级数的概念和性质


的说法．从数学的角度上看，这就是
111 248
1 2n
1．
1.1 常数项级数的概念
再如，计算半径为 R 的圆面积 A，具体做法如下：如图所示，作圆的内接正六 边形，算出这六边形的面积 a1 ，它是圆面积 A 的一个粗糙的近似值．为了比较准确 地计算出 A 的值，我们以这个六边形的每一边为底分别作一个顶点在圆周上的等腰 三角形，算出这六个等腰三角形的面积之和为 a2 ，那么 a1 a2 （即内接正十二边形 的面积）就是 A 的一个较好的近似值．同样地，再在正十二边形的每一边上分别作 一个顶点在圆周上的等腰三角形，算出这十二个等腰三角形的面积之和为 a3 ，那么 a1 a2 a3 （即内接正二十四边形的面积）是 A 的一个更好的近似值．如此继续下 去，内接正 n 边形的面积就逐步逼近圆的面积，即
高等数学
常数项级数的概念和性质
无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，是表示函数、研究函数性质以 及用简单函数逼近复杂函数进行数值计算的有力工具．无穷级数在自然科学、 工程技术和数学的许多分支中都有着广泛的应用．像其他数学理论一样，无穷 级数理论也是在科学技术的发展和推动下，逐渐形成和完善起来的．早在魏晋 时代，我国数学家刘徽就已经用无穷级数的思想来计算圆的面积了．直到19世 纪，极限理论的建立，才给无穷级数奠定了理论基础．
a
；如果| q |
1，则级数 aqn
n0
1 q
n0
发散．
1.1 常数项级数的概念
例 2 证明级数
1 2 3 n 是发散的．
证明 此级数的部分和为
Sn 1 2 3
n n(n 1) ． 2
显然，
lim
n
Sn
，因此所给级数是发散的．

常数项级数的概念和性质


则式子 u1 u2 u3 un
称为(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数。
记作
u ， 即 u
n
Hale Waihona Puke nn 1n 1
u1 u2 un
其中 un 称为级数的一般项（或通项），
问题： un 存在不存在？ (即有没有和数)
n 1

2 . 部分和数列 一数列中有限项相加总是有和数的，
用 Sn 近似代替 S 产生的误差为 | rn | ,
且因为 n 时, Sn S， 所以 rn 0 .
例
题
例1. 讨论等比级数 (几何级数) 的敛散性：


aq n 1 a aq aq 2 ... aq n ...
(a 0, q为公比）
n 1
n 1
, un Sn Sn1 ,
n 1
un

{ Sn }
现通过研究 { Sn } 来研究级数。
3. 级数的收敛和发散
定义： 设级数
n
un ， 对应的部分和数列 Sn ，
n 1

若 lim S n S 存在， 则称
un 收敛 ,
n 1

(C)
convergence
n 1 n 1

则
(un vn ) s un vn .
n 1
收敛级数可逐项相加减。
推论： 若
则
un (C ) , vn ( D) , n 1
n 1


(un vn )
n 1

( D) .
推论： (C) + (D) => (D)
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n1 n(n 1)
证明
1
1 ,
n(n 1) n 1
而级数
1 发散,
n1 n 1
由比较审敛法,
级数
1
发散.
n1 n(n 1)
例2 讨论p级数 的收敛性 ( p
1 0).
1 2p
1 3p
1 4p
1 np
解
设 p 1,
1 np
1, n
则p级数发散.
设 p 1, 由图:
而
1 发散,
n1 y
lim
k
tk
lim
n
sn
s.
注意
收敛级数去括弧后所成的级数 不一定收敛.
例如 (1 1) (1 1)
1111
收敛 发散
如果加括弧后所成的级数发散，原级数发散.
4.1.3 正项级数及其审敛法
判断级数
1
n2
n1
的敛散性. 单调有界数列必有极限
1
1
sn 1 22 n2
1 1 1 + 1
又 un vn ,则 n sn ， n不是有界数列，
所以 vn发散. 定理证毕.
n1
推论 若 vn 收敛 (发散)， n1
且 un kvn(n N ,k 0),
(vn kun )
则 un 收敛(发散).
n1
去掉级数前面部分的有限项 不会影响级数的收敛性
例1 证明级数
1
是发散的.
1 2n
的和.
解
sn
n k 1
5 k(k
1)
5(1
1 n
) 1
5
n1
5 n(n
收敛， 1)
n1
1 也收敛. 2n
由线性性质,
n1
5 n(n
1)
1 2n
收敛.
n1
5 n(n
1)
1 2n
5 n1 n(n 1)
n1
1 2n
5 =5，
n1 n(n 1)
1
u1 u2 un
称为(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数,
记为 un , 即 un u1 u2 un ，
n1
n1
其中第n项un称为一般项或通项.
例如 0.05 0.05 3 0.05 ( 3)2
4
4
0.05 ( 3)n1
n1
4
0.05 ( 3)n1 4
故级数发散.
因此
aq
n
当
q
1时,收敛,和为 a ; 1q
n0 当 q 1时,发散.
例2 判别级数
的敛散性:
解
2 sn ln 1
ln 3 ln 4 23
ln n 1 n
(ln 2 ln1) (ln 3 ln 2)
ln(n 1) ln n
ln(n 1) ( n ）
un
n1
收敛,
这时极限 s 叫做级数的和.并写成
s u1 u2 un .
如果 sn 没有极限,则称无穷级数 un发散.
n1
常数项级数收敛(发散)
lim n
sn存在(不存在)
当级数收敛时, 称差值
rn s sn un1 un2
为级数的余项. 显然
lim
n
rn
0.
引例中
0.05 0.05 3 0.05 ( 3)2 0.05 ( 3)n1
2.正项级数收敛的充要条件
定理1
正项级数收敛 部分和数列 {sn }有界.
注意：正项级数发散,那么部分和 sn为无穷大.
3. 正项级数的基本审敛法
定理2 （比较审敛法）
设 un和vn均为正项级数，
n1
n1
且un vn (n 1, 2, ).
大收小收 小发大发
若 vn 收敛,则 un 收敛；
注意
如果 un收敛， vn发散， 则 (un vn )一定发散.
n1
n1
n1
如果 un发散， vn发散，则 (un vn )不一定发散.
n1
n1
n1
例如,
un (1)2n
n1
n1
vn (1)2n1
n1
n1
(un vn ) 0 0.
n1
n1
例1
求级数
5
n1 n(n 1)
12 23
(n 1) n
1 (1 1) (1 1 )+ ( 1 1 )
2 23
n1 n
2 1
n
2
所以级数
n1
1 n2
是收敛的.
1.定义 如果级数 un中各项均有 un 0， n1 则级数称为正项级数.
正项级数的部分和数列{ sn } 满足
s1 s2 sn
即部分和数列为单调增加数列.
n n1
n1
n
证：令 sn ui， n kui，则 n ksn .
i 1
i 1
lim
n
n
lim
n
ksn
k
lim
n
sn
ks.
这说明 kun 收敛 , 其和为 ks.
n1
级数的每一项同乘一个不为零的常数,
敛散性不变.
性质3 如果级数 un与 vn 分别收敛于s与，
n1
n1
则级数 (un vn ) 收敛,其和为 s .
注意
必要条件的逆否命题
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;
例如 1 + 2 3 + n
23 4
n1
n un n 1
n
lim
n
un
lim
n
n1
1
0,
故级数发散.
2.一般项趋于零,则级数不一定收敛. 逆命题
例如 1 1 1 1 调和级数
23
n
有
lim
n
un
0,
级数是否收敛?
• 级数的部分和 n
sn u1 u2 un ui
i 1
• 部分和数列 {sn }
s1 u1 , s2 u1 u2 ,
sn u1 u2 un ,
当 n 时 sn
？
级数的收敛与发散
定义 如果 un 的部分和数列 sn有极限 s,
即
lim
n
sn
n1s， 则称无穷级数
aqn1 a(1 qn ) a lim
n 1 q
1q
| q | 1
| q | 1
当q 1时, sn na , 级数发散.
当q 1时, 级数变为a a a a
a(asn(aa)a0,,an(n)a为为奇 偶(aa数数)时时a)，，sn0极限a 不存在,
2 2n 1 2n 1
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
1 (1 1 ), 2 2n 1
lim
n
sn
1 lim (1 n 2
1) 2n 1
1, 2
级数收敛, 和为 1 . 2
对于无穷级数我们关心的是级数是否 收敛,即:和是否存在(sn的极限是否存在)?
判断
n1
1 3n3
的敛散性. 2
1
3n3
2
1 3n3
1 n3
,
而
n1
1 n3
收敛,
由比较审敛法，
n1
1 3n3
收敛. 2
1 的敛散性？
n1 3n3 2
1
1
3n3 2 3n3
比较审敛法的不便: 不能判定收敛
须有合适的参考级数.
定理3 （比较审敛法的极限形式）
设 un和vn均为正项级数，
4
4
4
sn
0.05
0.05
3 4
0.05
( 3)2 4
0.05 ( 3)n1 4
lim
n
sn
0.2,
故
0.05 ( 3 )n1
n1
4
收敛,和为0.2.
例1 讨论等比级数(几何级数)
aqn1 a aq aq2 aqn1
n1
的收敛性.
(a 0)
解 如果q 1时,
sn a aq aq2
n 1
2 p
21 1 x p dx
1
y
1 xp
(p
1)
sn
1
1 2p
1 3p
1 np
2p
x
0 1 234 n
1 +
21 1 x p dx
+
31 2 x p dx +
+
n n1
1 xp
dx
1
n1 1 x p dx
n1
sn 1 1 x p dx
1
1
1
p
1
p
(1 1
n p1
)
1
p1
n1 2n =1.
aqn
a
( q 1),
n0
1q
n1
5 n(n
1)
1 2n
5
1
6.
性质4 若级数 un 收敛,则 un (k 1)也收敛
n1
n k 1
且其逆亦真.
证明
un uk1 uk2 ukn ,
n k 1
n uk1 uk2 ukn skn sk .
假设调和级数收敛, 其和为s.
于是lim( s2n sn ) s s 0
n
s2n 便有
sn n 1
0
1 1 (n
1 n2