下载文档原格式
考研数学⾼等数学强化习题-常数项级数模块⼗三常数项级数Ⅰ经典习题⼀．具体级数收敛性的判别1、判断下列级数的收敛性（1）21ln n nn ∞=∑ （2）)11n ∞=∑（3）1n ∞=∑ （4）2211ln 1n n n ∞=+-∑ （5）()()()2111...1nnn a a a a ∞=+++∑ （6）()211212n n n ∞+=??+-??∑ （7）21nn n e∞-=∑ （8）ln 1n n x dx ∞=+∑?2、判断下列级数的收敛性（包括绝对收敛与条件收敛）（1）()22ln 1nn nn ∞=-∑ （2）11nn ∞=-（3）()11111...2nn n∞=-+++∑（4）()2111nnnn a a ∞=-+∑，（1a >）3、下列级数中不⼀定收敛的是（）（A ）12!n n n n n ∞=∑ （B ）()1111n n n n n -∞+=+∑ （C ）11,0,0n a b anbn c α∞=>>++∑（D ）1,01nn np p ∞=<<∑ 4、下列级数条件收敛的是（）（A ）()211nn k n n ∞=+-∑ （B ）1(2)sin 3nnn π∞=-∑ （C ）()11nn ∞=-∑，其中21n n a ∞=∑收敛. （D ）121nn n n ∞=-?? ?+??∑ 5、对于常数0k>，级数1211(1)tan()n n kn n∞-=-+(C)条件收敛 (D)收敛性与k 的取值有关 6、设a为常数，则级数21sin()[).n na n ∞=-∑ （A ）绝对收敛（B ）条件收敛（C ）发散（D ）收敛性与a 的取值有关7、判别级数111[ln ]n n nn ∞=+-∑的敛散性，并证明1112lim1.ln n n n →∞+++= ⼆．抽象级数收敛性的判别8、131sin (1)1nn n kxdx x ∞=-+∑?(k 为常数) （）（A ）绝对收敛（B ）条件收敛（C ）发散（D ）敛散性有k 有关9、设()f x 是微分⽅程2(1)xy xy x e '+=+满⾜初始条件(0)0y =的特解，则⽆穷级数1(1)()nf n-∑ ( ) （A ）绝对收敛（B ）条件收敛（C ）发散（D ）敛散性不定 10、设函数()f x 在区间(0,1)内可导，且导函数()f x '有界：()f x M '≤，证明（1）级数111()()1n f f n n ∞=??- ?+??∑绝对收敛；（2）1lim ()n f n11、设函数()y y x =是微分⽅程'y x y =+当()01y =时的⼀个特解，试讨论级数1111n f n n ∞=-- ??∑的收敛性. 12、设()f x 在[)1,+∞上单调增加，且()lim .x f x A →+∞= （1）证明级数()()11n f n f n ∞=+-∑收敛，并求其和；（2）进⼀步设()f x 在[)1,+∞上⼆阶可导，且()0,f x ''<证明级数()1n f n ∞='∑收敛。
1．写出下列级数的一般项： ⑴13572468++++；【解】分析级数各项的表达规律：分子为奇数数列21n -，分母为偶数数列2n ， 于是得级数的一般项为212n n u n-=，1,2,3,....n =。
⑵1111112349827++++++；【解法一】分析级数各项的表达规律：分子不变恒为1，分母的变化中，奇数项为2的乘幂，幂指数为项数+1的一半，即122n +，偶数项为3的乘幂，幂指数为项数的一半，即23n ，于是有1221, 2121, 23n n n n k u n k +⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，k J ∈，1,2,3,....n =。
也可为1221(1)11(1)12223n n n n n u +--+-=⋅+⋅，1,2,3,....n =。
【解法二】分析级数各项的表达规律：分子不变恒为1，但分母的变化按奇数项和偶数项有不同的变化规律，可以视为两个级数的和，也可以视为级数的一个项由两个分数的和构成，若将级数的一个项看成由两个分数的和构成，则有11123u =+， 21149u =+221123=+，311827u =+331123=+，......于是得1123n n nu =+，1,2,3,....n =。
⑶345622345-+-+-。
【解】分析数列各项的表达规律：各项顺次正负相间，有符号函数，注意到第一项是正的，应为1(1)n +-，从第二项起，各项分式都是分子比分母大1，而分母恰为序数n于是得11(1)n n n u n++=-，2,3,....n =， 检验当1n =时，11111(1)21u ++=-=，说明第一项也符合上面一般项的规律，从而得 11(1)n n n u n++=-，1,2,3,....n =。
2．根据级数收敛与发散的定义判断下列级数的敛散性： ⑴11(21)(21)n n n ∞=-+∑；【解】级数前n 项和为11(21)(21)nn i S i i ==-+∑1111()22121nn i i ==--+∑1111()22121n n i i ==--+∑11[(1)()(1152)]22113113n n =-+-+-+-+11(1)221n =-+， 由于lim n n S →∞11lim (1)221n n→∞=-+12=，知级数收敛，收敛于12。
习题 9-21.判断下列级数的敛散性.<1）； <2）； <3）；<4）； <5）； <6）<）．解：<1）；方法一：<利用正项级数的比较判别法）因为，而调和级数发散，从而也发散；由正项级数的比较判别法，得级数发散。
方法二：<利用正项级数的比较判别法的极限形式）因为，而调和级数发散，则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数发散。
<2）；方法一：<利用正项级数的比较判别法）因为，而级数收敛<级数的结论）；由正项级数的比较判别法，得级数收敛。
方法二：<利用正项级数的比较判别法的极限形式）因为，而级数收敛<级数的结论），则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数收敛。
<3）；方法一：<利用正项级数的比较判别法）因为<），且调和级数发散；则由正项级数的比较判别法，得级数发散。
方法二：<利用正项级数的比较判别法的极限形式）因为，而，所以，即，又调和级数发散，则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数发散。
<4）；方法一：<利用正项级数的比较判别法）因为，而级数收敛<级数的结论），由正项级数的比较判别法，得级数收敛。
方法二：<利用正项级数的比较判别法的极限形式）因为，而级数收敛<级数的结论），则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数收敛。
<5）；因为，而调和级数发散，则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数发散。
注：本题中，级数的一般项要进行适当的缩小不易，所以采用正项级数的比较判别法做起来相对比较困难一些，而采用正项级数的比较判别法的极限形式相对容易一些。
<6）<）．当时，，则由级数收敛的必要条件，得级数<）发散；当时，，则由级数收敛的必要条件，得级数<）发散；当时，，且级数是公比为<）的等比级数，是收敛的，则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数收敛。
第十一章 无穷级数§11.1 常数项级数的概念与性质一、判断题 1．∑∞=1n n u 收敛，则3)3(lim 2=+-∞→n n n u u （ ）2．若0lim ≠∞→n n u ，∑∞=1n nu发散。
（ ）3.∑∞=1n nu收敛,则∑∞=+1)10(n nu收敛。
（ ）4．∑∞=1n nu发散，∑∞=1n nv发散，则)(1n n nv u-∑∞=也发散。
（ ）5．若∑∞=1n nu收敛，则∑∞=+12n n u也收敛。
（ ）二、填空题1．∑∞=⋅⋅-⋅⋅⋅1)2(642)12(531n n n 该级数的前三项是 。
2．级数⋅⋅⋅-+-+-5645342312的一般项是 。
3．级数⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+86426424222x x x x x 的一般项为 。
4．级数)21)1(1(1n n n n -+∑∞=的和为 。
三、选择题1． 下列级数中收敛的是（ ）（A ）∑∞=+1884n n n n （B ）∑∞=-1848n n nn （C ）∑∞=+1842n n nn （D ）∑∞=⋅1842n nn n2． 下列级数中不收敛的是（ ）（A ）)11(ln 1n n +∑∞= （B ）∑∞=131n n （C ）∑∞=+1)2(1n n n （D ）∑∞=-+14)1(3n nnn3． 如果∑∞=1n nu收敛，则下列级数中（ ）收敛。
（A ）∑∞=+1)001.0(n n u （B ）∑∞=+11000n n u （C ）∑∞=12n n u (D) ∑∞=11000n nu4． 设∑∞=1n n u =2，则下列级数中和不是1的为（ ）（A ）∑∞=+1)1(1n n n （B ）∑∞=121n n （C ）∑∞=22n n u (D)∑∞=12n nu 四、求下列级数的和1．∑∞=+1523n nnn 2. ∑∞=+-1)12)(12(1n n n3.)122(1n n n n ++-+∑∞= 4.)1()12(11<-∑∞=-q qn n n五、判断下列级数的收敛性。
