常数项级数的概念

一. 无穷级数的概念 二. 级数收敛的必要条件 三. 无穷级数的基本性质
一.无穷级数的概念
1.无穷级数的定义
设有数列 {un}: u1 , u2 , …, un , … 则称表达式
un u1 u2 un
n1
为一个无穷级数, 简称为级数.
称 un 为级数的一般项或通项.
若级数 un 的每一项 un 均为常数,
.
当公比 r =1时,
lim
n
Sn
lim
n
na
.
当公比 r = 1时, Sn=
a, n为奇数
0,
, n为偶数
故
lim
n
Sn
不存在.
综上所述,
当公比 | r | < 1 时, 等比级数收敛；
当公比 | r | 1 时, 等比级数发散.
例4
讨论级数
1
的敛散性.
n1 (2n 1)(2n 1)
解
(2n
1 1)(2n
1)
1 2
1 2n 1
1 2n
1
Sn
1 2
1
1 3
1 2
1 3
1 5
1 2
1 5
1 7
1 2
1 2n 1
1 2n
1
1 2
1
1 2n 1
1 1 1 13 35 57
而
lim
n
Sn
lim
n
1 2
1
1 2n
1
1 2
故
1
1
n1 (2n 1)(2n 1) 2
即该级数收敛, 其和为 S 1 . 2
n1
解 等比级数的部分和为：
n
Sn ar k 1
k 1
a ar n1 r 1 r
a(1 r n ) 1 r
当公比 | r | < 1 时,
lim
n
Sn
lim
n
a (1 rn ) 1 r
a
1 r
,
此时等比级数收敛, 其和为： S a 。 1 r
当公比
|
r
|
>
1
时,
lim
n
Sn
lim a (1 rn ) n 1 r
解 由于
lim
n
|
un
|
lim
n
(1)n1 n n 1
1,
lim
n
un
0,
故该级数发散.
证明调和级数是发散的:
例6
1 1 1 1 1 .
n1 n
23
n
证 调和级数的部分和有：
S1
1， 0 2
S2
S 21
1
1， 2
若
1 2
1 a
1 c
1 b
,
则称 b 为 a 与 c 的
调和中项.
n1
则称该级数为常数项级数.
若级数的每一项均为同一个变量的
函数 : un un (x), 则称级数 un (x) 为函
n1
数项级数.
例1 下列各式均为常数项级数
1
n1 2n
1 1 24
1 2n
;
n 1 2 n ;
n1
(1)n1 1111 (1)n1 ;
n1
cosn cos1 cos2 cosn .
n1
k 1
k 1
故
lim
n
Sn
lim
n
cSn
c
lim
n
Sn
即
un 与 cun 同时收敛或同时发散,
n1
n1
且有 cun cun.
n1
n1
2. 性质 2
若 un 与 vn 收敛, 其和分别为S1 和 S2,
n1
n1
则级数 (un vn ) 也收敛, 且
n1
(un vn ) S1 S2 un vn.
而
lim
k
1
k 2
故
lim
n
Sn
不存在,
即调和级数发散.
三.无穷级数的基本性质
1. 性质 1
若 c 0 为常数, 则 un 与 cun
n1
n1
有相同的敛散性, 且 cun c un
n1
n1
证
n
un 的部分和为 Sn
u
，
k
n1
k 1
n
n
cun的部分和为 Sn cuk c uk cSn ,
n1
n1
n1
证
(un vn ) 的部分和为：
n1
n
Sn (uk vk ) (u1 v1) (u2 v2 ) (un vn ) k 1
(u1 u2 un ) (v1 v2 vn ) S1n S2n
故
lim
n
Sn
nlim(S1n
S2n )
lim
n
S1n
lim
第八章 无 穷 级 数
本章学习要求： 理解常数项级数概念和性质。掌握级数收敛的必要条 件以及收敛级数的基本性质。 熟悉常数项级数的收敛判别法。掌握交错级数收敛判 别法。 熟悉等比级数、调和级数、P－级数的敛散性。
理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法。
第八章 无穷级数
第一节 常数项级数的概念和性质
1 1 1
1
1
13 35 57
(2n 1)(2n 1)
2
二. 级数收敛的必要条件
定理
若级数 un
n1
收敛,
则必有
lim
n
un
0.
证
设 un S,
n1
则
lim
n
Sn
S
.
lim
n
un
lim
n
(Sn
Sn1)
lim
n
Sn
lim
n
Sn1
SS 0
例5
判别级数 (1)n1
n
的敛散性.
n1
n 1
n1
例2 下列各式均为函数项级数
Байду номын сангаас
(1)n1 xn1 1 x x2 (1)n1 xn1 , x R.
n1
anxn a0 a1x a2x2 anxn , | x | 1.
n0
sin nx sin x sin 2x sin nx , x R.
n1
2. 级数的敛散性定义
n
S2
n
S1
S2
即 级数 (un vn ) 收敛, 且
n1
(un vn ) un vn S1 S2
n1
n1
n1
例7
因为等比级数
1 n1 2n
与
1 n1 3n
收敛,
所以级数
1 n1 2n
1 3n
也收敛.
一个收敛级数与 一个发散级数的和是 收敛的还是发散的？
是发散的
S4
S22
1
1 2
1 3
1 4
1
1 2
1 2
1 2， 2
S8
S23
1 1 1 1 1 1 1 1 2345678
1
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
1 7
1 8
1
1 2
1 2
1 2
1 3 2
S2k
1 k 2
?
由数学归纳法, 得
S 2k
1 k， 2
k = 0, 1, 2,
问题
两个发散的级数 之和是收敛的还是发 散的？
不一定
看看 (1)n 与 (1)n1 之和.
n1
n1
问题
3. 性质 3
在一个级数的前面加上或者去掉 有限项后, 所得到的新的级数与原级 数的敛散性相同.
但对收敛级数来说, 它的和将改变.
证 设级数 un 的部分和为 Sn , 去掉级数的前 n1 面 m 项后得到的级数 uk 的部分和为 Sk : k m1
无穷级数 un 的前 n 项之和：
n1
n
Sn uk u1 u2 un , k 1
称为级数的部分和.
若
lim
n
S
n
S
存在,
则称级数 un
n1
收敛.
S 称为级数的和：un S .
n1
若
lim
n
Sn
不存在 ( 包括为 ) ,
则称级数 un 发散.
n1
例3 讨论等比级数 arn1 的敛散性.