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恒成立问题常见类型及解法重庆清华中学 张忠在近年高考试题中，常见条件中出现“恒”、“都”、“总”、“永远”、“一切”等关键词的试题，我们习惯上称之为恒成立问题。
对此类题，许多学生常常一筹莫展，但如果了解它的题型，选择合适的对策，解决问题就会游刃有余。
高中数学中的恒成立问题，总体上分为两种典型类型：等式的恒成立和不等式的恒成立。
一、等式的恒成立问题（恒等问题）【例】 是否存在常数a 、b 、c 使得等式：122311122222··…++++=+++n n n n an bn c ()()()对一切自然数n 都成立？证明你的结论。
(一). 利用多项式恒等定理，建立方程组求参数多项式f(x)g(x)的充要条件是：对于a 的任意一个取值，都有f (a )g (a )；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
解法一：因为3222)1(n n n n n ++=+所以12231222··…++++n n ()=++++++++++++=++++++=+++()()()()()()()()()1232121212131211411231110222333222………n n n n n n n n n n n n n n显然当a b c ===31110，，时等式对一切自然数n 都成立。
(二). 待定系数法和数学归纳法对策：先用待定系数法探求a 、b 、c 的值，再利用数学归纳法证明等式对一切自然数n 都成立。
解法二：令n=1，n=2，n=3可得，解得。
以下用数学归纳法证明：等式1·22+2·32+…+n(n+1)=(3n 2+11n+10)对一切自然数n 都成立(证略)。
(三)、根据函数的奇偶性、周期性等性质若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x ,f(-x)=-f(x)((f(-x)=f(x))恒成立；若函数y=f(x)的周期为T ，则对一切定义域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。
浅析“有解”与“恒成立”问题作者：邓卫和来源：《中学课程辅导高考版·教师版》2014年第24期摘要：在近年的高考中经常出现“有解”与“恒成立”问题，许多同学混淆了这两个概念，在解题时出错。
现对这两个概念进行阐述：“有解”是指“至少有一个满足条件的值使式子成立，则称该问题有解”。
“恒成立”是指“在某一范围内所有的变量值都使该问题成立，则称该问题恒成立”。
本文现通过具体问题进行阐述。
关键词：“有解”;“恒成立”;例析中图分类号：G427文献标识码：A ; ; 文章编号：1992-7711（2014）24-125-1一、有解问题例1方程x2-a|x|+4=0在x∈[-2，2]上有解，求a的范围。
分析：方程x2-a|x|+4=0在x∈[-2，2]上有解，可能有一解，也可能有两解，讨论比较复杂。
可通过分离变量a，转化为求函数的值域来解。
解：x2-a|x|+4=0当x=0时，方程不成立，因此x≠0故方程两边同除以|x|得a=|x|+4|x|≥2|x|·4|x|=4（当且仅当|x|=2时取到“=”）此时x=±2∈[-2，2]，所以：当a≥4时该方程x2-a|x|+4=0在x∈[-2，2]上有解。
点评：本题通过“分离变量a”求值域，方法简单易行，在以后的学习中经常用到这一方法。
例2（2013重庆.理.16）若关于x的不等式|x-5|+|x+3|<a无解，则实数a的取值范围是。
分析：要使|x-5|+|x+3|<a无解，只要求|x-5|+|x+3|<a有解时实数a的范围，然后求a的补集即可。
要使|x-5|+|x+3|<a有解，则至少有一个或一个以上的x值使要|x-5|+|x+3|<a成立，因此，只要求a大于代数式|x-5|+|x+3|的最小值。
解：函数y=|x-5|+|x+3|=2-2xx≤-38-3<x<52x-2x≥5由此可知，该函数的值域为[8，+∞），因此：当a>8时，不等式|x-5|+|x+3|<a有解。
高中数学不等式恒成立与有解问题不等式恒成立与有解问题一直是中学数学的重要内容. 它是函数、数列、不等式等内容交汇处的一个较为活跃的知识点，随着中学数学引进导数，它为我们更广泛、更深入地研究函数、不等式提供了强有力的工具. 在近几年的高考试题中，涉及不等式恒成立与有解的问题，有时在同一套试题中甚至有几道这方面的题目。
其中，特别是一些含自然对数和指数函数的不等式恒成立与有解问题，将新增内容与传统知识有机融合，用初等方法难以处理，而利用导数来解，思路明确，过程简捷流畅，淡化繁难的技巧，它不仅考查函数、不等式等有关的传统知识和方法，而且还考查极限、导数等新增内容的掌握和灵活运用. 它常与思想方法紧密结合，体现能力立意的原则，带有时代特征，突出了高考试题与时俱进的改革方向. 因此，越来越受到高考命题者的青睐. 下面通过一些典型实例作一剖析.1．不等式恒成立与有解的区别不等式恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一团.（1）不等式f(x)<k 在x ∈I 时恒成立•k•x f ,)(max <⇔x ∈I. 或f(x)的上界小于或等于k ；（2）不等式f(x)<k 在x ∈I 时有解•k•x f ,)(min <⇔x ∈I. 或f(x)的下界小于k ；（3）不等式f(x)>k 在x ∈I 时恒成立•k•x f ,)(min >⇔x ∈I. 或f(x)的下界大于或等于k ；（4）不等式f(x)>k 在x ∈I 时有解•k•x f ,)(max >⇔x ∈I. 或f(x)的上界大于k ；解决不等式恒成立和有解解问题的基本策略常常是构作辅助函数，利用函数的单调性、最值（或上、下界）、图象求解；基本方法包括：分类讨论，数形结合，参数分离，变换主元等等.例1 已知两函数f(x)=8x 2+16x-k ，g(x)=2x 3+5x 2+4x ，其中k 为实数.（1）对任意x ∈[-3，3]，都有f （x)≤g(x)成立，求k 的取值范围；（2）存在x ∈[-3，3]，使f （x)≤g(x)成立，求k 的取值范围；（3）对任意x 1x 2∈[-3，3]，都有f （x 1)≤g(x 2)，求k 的取值范围.解析 （1）设h(x)=g(x)-f(x)=2x 2-3x 2-12x+k ，问题转化为x ∈[-3，3]时，h(x)≥0恒成立，故h m in (x)≥0.令h′ (x)=6x 2-6x-12=0，得x= -1或2.由h(-1)=7+k ，h(2)=-20+k ，h(-3)=k-45，h(3)=k-9，故h m in (x)=-45+k ，由k-45≥0，得k≥45.（2）据题意：存在x ∈[-3，3]，使f （x)≤g(x)成立，即为：h(x)=g(x)-f(x)≥0在x ∈[-3，3]有解，故h m ax (x)≥0，由（1）知h m ax （x ）=k+7，于是得k≥-7.（3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意x 1x 2∈[-3，3]，都有f （x 1)≤g(x 2)成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，x 1，x 2的取值在[-3，3]上具有任意性，因而要使原不等式恒成立的充要条件是：]3,3[,)()(min max ••x •x g x f -∈≤，由g′(x)=6x 2+10x+4=0，得x=-32或-1，易得21)3()(min -=-=g x g ，又f(x)=8(x+1)2-8-k ，]3,3[•x -∈. 故.120)3()(max k f x f -==令120-k≤-21，得k≥141.点评 本题的三个小题，表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件2.不等式有解问题例3 设x=3是函数f(x)=(x 2+ax+b)e x -3,x ∈R 的一个极值点.(1)求a 与b 的关系（用a 表示b ），并求f(x)的的单调区间；（2）设a>0，g(x)=x e a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4252，若存在S 1，S 2∈[0，4]，使得|f(S 1)-g(S 2)|<1成立，求a 的取值范围.解析 （1）x e a b x a x x f --+-+-='32])2([)(，由)3(f '=0得b=-2a-3. 故f(x)=(x 2+ax-2a-3)x e -3. 因为)(x f '=-[x 2+(a-2)x-3a-3] x e -3=-(x-3)(x+a+1) x e -3. 由)(x f '=0得：x 1=3，x 2==-a-1. 由于x=3是f(x)的极值点，故x 1≠x 2，即a≠-4.当a<-4时，x 1<x 2，故f(x)在(]3,•∞-上为减函数，在[3，-a-1]上为增函数，在[)+∞--,1•a 上为减函数.当a>-4时，x 1>x 2，故f(x)在(]1,--∞-a •上为减函数，在[-a-1，3]上为增函数，在[)+∞,3•上为减函数.(2)由题意，存在S 1，S 2∈[0，4]，使得|f(S 1)-g(S 2)|<1成立，即不等式|f(S 1)-g(S 2)|<1在S 1，S 2∈[0，4]上有解.于是问题转化为|f(S 1)-g(S 2)|m in <1，由于两个不同自变量取值的任意性，因此首先要求出f(S 1)和g(S 2)在[0，4]上值域.因为a>0，则-a-1<0，由（1）知：f(x)在[0，3]递增；在[3，4]递减. 故f(x)在[0，4]上的值域为[min{f(0),f(4)},f(3)]=[-(2a+3)e 3,a+6]，而g(x)=x e a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4252在[0，4]上显然为增函数，其值域⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++422425,425e a •a . 因为4252+a -（a+6）=⎪⎭⎫ ⎝⎛-21a 2≥0, 故4252+a ≥(a+6).|f(S 1)-g(S 2)|m in =4252+a -(a+6)从而解230,01)6(4252<<⎪⎩⎪⎨⎧><+-+a ••••a a a 得. 故a 的取值范围为⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0••. 假若问题变成：“对任意的S 1，S 2∈[0，4]，使得|f(S 1)-g(S 2)|<1都成立，求a 的取值范围.”则可将其转化为|f(S 1)-g(S 2)|m ax <1点评 函数、不等式、导数既是研究的对象，又是决问题的工具. 本题从函数的极值概念入手，借助导数求函数的单调区间，进而求出函数 闭区间上的值域，再处理不等式有解问题. 这里传统知识与现代方法交互作用，交相辉映，对考生灵活运用知识解决问题的能力是一个极好的考查.3．不等式恒成立问题例2 设函数f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有x≥0，都有f(x)≥ax 成立，求实数a 的取值范围.解析 构作辅助函数g(x)=f(x)-ax=(x+1)ln(x+1)-ax ，原问题变为g(x)≥0对所有的 x≥0恒成立，注意到g(0)=0，故问题转化为g(x)≥g(0)在x≥0时恒成立，即函数g(x)在[)∞+••,0为增函数.于是可通过求导判断g(x)的单调性，再求出使g(x)≥g(0)成立的条件.g′(x)=l n(x+1)+1-a ，由g′(x)=0，得x=e1-a -1. 当x>e 1-a -1时，g′(x)>0，g(x)为增函数.当-1<x<e 1-a -1时，g′(x)<0，g(x)为减函数.那么对所有的x≥0，都有g(x)≥g(0)，其充要条件是e 1-a -1≤0，故得a 的取值范围是(]1,••∞-.假若我们没有注意到g(0)=0，那么在解g(x)≥0对所有的x≥0恒成立时，也可转化为)0(0)(min ≥≥x x g ，再以导数为工具，稍作讨论即可得解.值得一提的是，本题还有考生采用参数分离法求解：由f(x)=(x+1)ln(x+1)≥ax 对所有的x≥0恒成立可得：（1）当x=0时，a ∈R . （2）当x>0时，.)1ln()1(x x x a ++≤设g(x)=xx x )1ln()1(++,问题转化为求g(x)在开区间（0，+∞）上最小值或下界，2)1ln()(x x x x g +-='，试图通过g′(x)=0直接解得稳定点，困难重重！退一步令h(x)=x-ln(x+1)，因为0,111)(>+-='•x •x x h ，故)(x h '>0，则h(x)在（0，+∞）单调递增，即h(x)>h(0)=0，从而)(x g '>0，于是g(x)在（0，+∞）单调递增，故g(x)无最小值，此时，由于g(0)无意义，g(x)的下界一时也确定不了，但运用极限知识可得：)(lim )(0x g x g x →>，然而求此极限却又超出所学知识范围，于是大部分考生被此难关扫落下马，无果而终. 事实上采用洛比达法则可得：1]1)1[ln(lim )1ln()1(lim )(lim 000=++=++=→→→x xx x x g x x x ，故x>0时，g(x)>1，因而a≤1.综合（1）（2），得a 的取值范围是：(]1,••∞-. 点评 采用参数分离法求解本题，最大的难点在于求分离后所得函数的下界.它需要考生拥有扎实的综合素质和过硬的极限、导数知识，并能灵活地运用这些工具来研究函数的性态，包括函数的单调性，极值（最值）或上下界.突出考查了函数与方程思想、有限与无限的思想.。
恒建立问题的种类和能建立问题及方法办理函数与不等式的恒建立、能建立、恰建立问题是高中数学中的一个要点、难点问题。
这种问题在各种考试以及高考取都层出不穷。
感觉题型变化多端，没有一个固定的思想方法去办理，向来困扰着学生，感觉不知怎样下手。
在此为了更好的正确地掌握迅速解决这种问题，本文经过举例说明这种问题的一些惯例办理。
一、函数法（一）结构一次函数利用一次函数的图象或单一性来解决对于一次函数 f ( x) kx b(k 0), x[ m, n] 有：f ( x)恒建立k 0或 k 0 f (m)0f ( m)0 f (n) 0 f (n)0f ( x)恒建立 f ( m)0 0 f ( n)0例 1 若不等式2x 1 mx 2m 对知足 2 m2的全部m都建立，求 x 的范围。
分析：将不等式化为：m( x21) ( 2x 1)0 ，结构一次型函数：g(m) ( x21)m ( 2x1)原命题等价于对知足 2 m 2 的 m ，使g( m)0 恒建立。
g ( 2)02(x21) (2x1)0由函数图象是一条线段，知应2( x2g (2)01)(2x1)0解得17x13，因此 x 的范围是x (17,1 3)。
2222小结：解题的要点是将看来是解对于x 的不等式问题转变为以m 为变量， x 为参数的一次函数恒建立问题，再利用一次函数的图象或单一性解题。
练习 :(1)若不等式ax 1 0 对x1,2 恒建立，务实数 a 的取值范围。
（2）对于0p 4 的一确实数，不等式x 2px 4 x p 3 恒建立，求x 的取值范围。
（答案：或）（二）结构二次函数利用二次函数的图像与性质及二次方程根的散布来解决。
对于二次函数 f ( x) ax 2bx c 0(a0) 有：（ 1）f (x)0在 x R 上恒建立 a 0且0；（ 2）f (x)0在 x R 上恒建立 a 0且0（ 3）当a0 时，若 f (x)0在 [ , ] 上恒建立b b b2 a或 2 a或2 af ( ) 00 f ( ) 0若 f ( x)0在[ ,f ()0] 上恒建立)0f (f ( )0（ 4）当a0时，若 f ( x)0在[ ,] 上恒建立f ( )0若 f ( x)0在[ ,] 上恒建立b b b2 a或 2 a或2 af ( ) 00 f ( ) 0例 2 若对于x的二次不等式：ax2(a 1) x a 10 的解集为R，求a的取值范围.解：由题意知，要使原不等式的解集为R ，即对一确实数x 原不等式都建立。
数学中的恒成立与有解问题求二次函数的解析式。
若f(x) 2x m 在区间［1,1］上恒成立，求m 的取值范围解题思路：先分离系数，再由二次函数最值确定取值范围.2解析：⑴设f (x) axbx c(a 0) .由 f (0) 1得c21,故 f(x) ax bx 1••• f (x 1) f (x) 2xa(x1)2 b(x 1) 1 (ax 2 bx 1) 2x即2ax a b 2x ,所以2a 2,a b 0,解得a1,b1 二 f(x) x x 15,则g(x)在［1,1］上单调递减.所以g(x)在［1,1］上的最小值为g(1)4所以m 的取值范围是(，1).规律总结：m f(x)对一切x R 恒成立，则m ［f(x)］min ;m f (x)对一切x R 恒成立，则m ［f (x)］max ；注意参数的端点值能否取到需检验。
二、有解问题3、方程的有解问题例题3:题干与例题 2相同 同例题2.(2)若f(x) 2x m 在区间［1,1］上恒成立，求m 的取值范围、恒成立问题若不等式 f xA 在区间 D 上恒成立 ，则等价于在区间 D 上 f x minA 若不等式 f xB 在区间 D 上恒成立 ，则等价于在区间 D 上 f x max B 常用方法1、分离变量法；2、数形结合法；3、 利用函数的性质；4、变更主元等；1、由二次函数的性质求参数的取值范围 2例题1.若关于X 的不等式ax 2x 2 0在R 上恒成立，求实数a 的取值范围. 解题思路：结合二次函数的图象求解 解析：当a 0时,不等式2x 2 0解集不为0不满足题意；a 当a 0时,要使原不等式解集为 R ,只需…222a，解得a -0 21综上，所求实数a 的取值范围为(一，)2 2、转化为二次函数的最值求参数的取值范围 例题2 :已知二次函数满足f (0) 1，而且f (x1) f(x) 2x ，请解决下列问题2⑵由⑴知x x 12x m 在［1,1］恒成立，即m 2x 3x 1在［1,1］恒成立.令 g(x) x 2 3x 1 (x 3)22解题思路：先分离系数，再由二次函数值域确定取值范围.解析：⑴解法同例题22 2⑵由⑴知x x 1 2x m在［1,1］恒成立，即m x 3x 1在［1,1］恒成立.3 252令g(x) x2 3x 1 (x -)2-，则g(x)在［1,1］上单调递减.所以g(x)在［1,1］上的最大值为2 4g( 1) 5，最小值为g(1) 1，所以m的取值范围是1,5。
高中数学中的恒成立与有解问题作者：姜越来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2009年第11期摘要:含参数不等式恒成立问题与有解问题是高考的热点、难点,这样的题目综合性强,可考查函数、导数、不等式等高中数学的主干知识,考查学生的综合解题能力. 在培养学生思维的灵活性、创造性方面起到了积极的作用.关键词:不等式恒成立问题;不等式有解问题含参数不等式恒成立问题与有解问题是高考的热点、难点,这样的题目综合性强,可考查函数、导数、不等式等高中数学的主干知识,考查学生的综合解题能力. 在培养学生思维的灵活性、创造性方面起到了积极的作用. 这类题目往往出现在压轴题中,令很多学生望而却步. 下面通过一些典型例题作一剖析.不等式恒成立问题例1 (2008安徽)设函数f(x)=(x>0且x≠1).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)已知2>xa对任意x∈(0,1)恒成立,求实数a的取值范围.解析(1)f ′(x)=-,令f ′(x)=0,则x=.列表如下:所以f(x)的单调增区间为0,,单调减区间为,1,(1,+∞).(2)在2>xa两边取对数得ln2>alnx. 由于0ln2•. 因为2>xa对任意x∈(0,1)恒成立,所以a>ln2•对任意x∈(0,1)恒成立. 所以a>ln2•f(x)max. 由(1)可知当x∈(0,1)时,f(x)max=f=-e,所以a>-eln2.点评本题采用分离变量法来解,关键是如何将变量分离,本题还采用了取对数,然后利用导数求出函数f(x)的最大值,从而求出a的取值范围.不等式有解问题例2 (2009苏北四市第二次模拟考试)已知函数f(x)=alnx+x2(a为实数),若存在x∈[1,e],使得f(x)≤(a+2)x成立,求a的取值范围.解析不等式f(x)≤(a+2)x可化为a(x-lnx)≥x2-2x. 因为x∈[1,e],所以0≤lnx≤1. 所以lnx≤1≤x且等号不能同时取. 所以lnx0. 因而a≥(x∈[1,e]). 令g(x)=(x∈[1,e]),要存在x∈[1,e],使得a≥g(x)成立,当且仅当a≥g(x)min,x∈[1,e].又g′(x)=,当x∈[1,e]时,x-1≥0,lnx≤1,x+2-2lnx>0,从而g′(x)≥0,当且仅当x=1时取等号. 所以g(x)在[1,e]上为增函数. 故g(x)的最小值为g(1)=-1. 所以a的取值范围是[-1,+∞).点评本题将函数、导数、不等式结合在一起,主要思路是采用分离变量法,分离出变量后,利用导数求出函数的最小值. 要存在x∈[1,e],使得a≥g(x)成立,当且仅当a≥g(x)min,x∈[1,e],从而求出a的范围.变式假若问题变成对?坌x∈[1,e],f(x)≤(a+2)x恒成立,求a的取值范围,则问题转化为a≥g(x)max,x∈[1,e],可得a≥.不等式恒成立与有解问题的区别不等式恒成立与有解问题的区别还是比较明显的,只要细心读题,认真思考,便可找出它们的差异.(1)不等式a≥f(x)在x∈I恒成立?圳a≥f(x)max;存在x∈I使得不等式a≥f(x)成立?圳a≥f(x)min.(2)不等式a≤f(x)在x∈I恒成立?圳a≤f(x)min;存在x∈I使得不等式a≤f(x)成立?圳a≤f(x)max .解决不等式恒成立问题与有解问题往往利用函数的单调性、(下转第64页)(上接第59页)导数、最值,基本方法有:一次函数型,二次函数型,分离变量型,数形结合型等.例3 已知函数f(x)=2x2-2m, g(x)=x3+3x2-x,其中m为实数.(1)对任意x∈[-1,6]都有f(x)≤g(x)成立,求m的取值范围;(2)存在x∈[-1,6],使得f(x)≤g(x)成立,求m的取值范围;(3)对任意x1,x2∈[-1,6],都有f(x1)≤g(x2),求m的取值范围.解析 (1)令h(x)=g(x)-f(x)=x3+x2-x+2m,所以对任意x∈[-1,6]都有h(x)≥0恒成立. 故h(x)min≥0. h′(x)=3x2+2x-1,令h′(x)=0得x1=-1,x2=. 由h(-1)=2m+1,f=+2m,f(6)=246+2m,故h(x)min=+2m≥0. 所以m≥.(2)因为存在x∈[-1,6],使得f(x)≤g(x)成立,所以h(x)=g(x)-f(x)≥0在x∈[-1,6]有解. 故h(x)max≥0. 由(1)知h(x)max=246+2m≥0, 所以m≥-123.(3)与(1)虽都是不等式恒成立问题,但是差别很大,对任意x1,x2∈[-1,6],都有f(x1)≤f(x2)成立,不等式两端的自变量不同,x1,x2的取值在[-1,6]上具有任意性,因此要使原不等式恒成立当且仅当f(x)max≤g(x)min,x∈[-1,6]. 由f(x)=2x2-2m,x∈[-1,6]得f(x)max=f(6)=72-2m.?摇令g′(x)=3x2+6x-1=0得x1=,x2=(因为x∈[-1,6],舍去),g(-1)=3,g=,g(6)=318. 所以g(x)min=. 所以72-2m≤. 所以m≥+.点评这3个小题,表面非常相似,容易混为一谈,但实质各有千秋,所以我们应该认真审题,缜密思考,加强训练,准确使用其成立的充要条件.不等式恒成立与有解问题,在近几年的高考题中频频出现,这类试题常与思想方法紧密结合,体现能力立意的原则,突出了高考试题与时俱进的改革方向. 因此越来越受到高考命题者的青睐,希望广大师生高度关注.。
处理方法：解决函数的恒成立与有解问题的基本策略常常是构造辅助函数，利用函数的单调性，最值，图像求解。
基本方法包括：分离参数，数形结合，分类讨论。
重难点：1.辅助函数选择的合理性. 2.转化的等价性一、小题训练1．对任意11x -≤≤，不等式2(4)420x a x a +-+-<恒成立，求a 的取值范围2．若不等式1)21(2)(2<--xx m m 对一切(,1]x ∈-∞-恒成立，则实数m 的取值范围 3.若1||x a x -+≥12对一切x ＞0恒成立，则a 的取值范围是二、典型例题例1．若13)(3+-=x ax x f 对于[]1,1-∈x 总有0)(≥x f 成立，求a 的值.例2．已知函数2()11f x x x =+-- （1）是否存在实数,m k ，使得()()f x f m x k +-=对于定义域内的任意x 都成立； （2）若方程2()(23)f x t x x x =-+有三个解，求实数t 的取值范围．例3已知21()2x f x e x ax =--，1()()2x g x =，存在1[1,0]x ∈-，对于任意212x ≥，使不等式12()()g x f x ≤成立，求a 的取值范围.三、课后作业1．若32()(33)6([0,2])g x ax a x x x =+--∈在x=0处取得最大值，求a 的取值范围2．已知函数2()22(4)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是3.设函数()1f x x x=-．对任意[)1,x ∈+∞，()()0f mx mf x +<恒成立，则实数m 的取值范围是 4.若关于x 的不等式2(20)lg0a ax x -≤对任意的正实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 .2121212121()2ln ,()()2(1)[1,4],[2,1][1,4][2,1]x f x x x m g x m x x x x x x x x =--=+∈∈--≤∈∈--≤5.已知存在对任意，有不等式f()g()成立，求实数m 的取值范围(2)对任意，存在，使不等式f()g()成立，求实数m 的取值范围22121122126.,[12]23x R x x x x x x mx m ∈∈++≥++对任意存在，，使不等式成立，求的取值范围。
数学中的恒成立与有解问题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN数学中的恒成立与有解问题一、恒成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <常用方法1、分离变量法；2、数形结合法；3、利用函数的性质；4、变更主元等；1、由二次函数的性质求参数的取值范围例题1.若关于x 的不等式2220ax x ++>在R 上恒成立,求实数a 的取值范围. 解题思路：结合二次函数的图象求解解析：当0a =时,不等式220x +>解集不为R ,故0a =不满足题意;当0a ≠时,要使原不等式解集为R ,只需202420a a >⎧⎨-⨯<⎩,解得12a >综上,所求实数a 的取值范围为1(,)2+∞2、转化为二次函数的最值求参数的取值范围例题2：已知二次函数满足(0)1f =，而且(1)()2f x f x x +-=，请解决下列问题 （1） 求二次函数的解析式。
（2） 若()2f x x m >+在区间[1,1]-上恒成立 ，求m 的取值范围。
解题思路：先分离系数,再由二次函数最值确定取值范围.解析：(1)设2()(0)f x ax bx c a =++≠.由(0)1f =得1c =,故2()1f x ax bx =++.∵(1)()2f x f x x +-= ∴22(1)(1)1(1)2a x b x ax bx x ++++-++=即22ax a b x ++=,所以22,0a a b =+=,解得1,1a b ==- ∴2()1f x x x =-+ (2)由(1)知212x x x m -+>+在[1,1]-恒成立,即231m x x <-+在[1,1]-恒成立.令2235()31()24g x x x x =-+=--,则()g x 在[1,1]-上单调递减.所以()g x 在[1,1]-上的最小值为(1)1g =-.所以m 的取值范围是(,1)-∞-.规律总结：()m f x ≤对一切x R ∈恒成立,则min [()]m f x ≤;()m f x ≥对一切x R ∈恒成立,则max [()]m f x ≥；注意参数的端点值能否取到需检验。
二、有解问题 3、方程的有解问题例题3：题干与例题2相同 （1） 同例题2.（2）若()2f x x m =+在区间[1,1]-上恒成立 ，求m 的取值范围。
解题思路：先分离系数,再由二次函数值域确定取值范围. 解析：(1)解法同例题2(2)由(1)知212x x x m -+=+在[1,1]-恒成立,即231m x x =-+在[1,1]-恒成立.令2235()31()24g x x x x =-+=--,则()g x 在[1,1]-上单调递减.所以()g x 在[1,1]-上的最大值为(1)5g -=，最小值为(1)1g =-，所以m 的取值范围是[]1,5-。
规律总结：若方程()m f x =在某个区间上有解只需求出()f x 在区间上的值域A 使m A ∈。
4、不等式的有解问题例题4题干与例题2相同 （1） 同例题2.（2） 若()2f x x m >+在区间[1,1]-上有解 ，求m 的取值范围。
解题思路：先分离系数,再由二次函数最值确定取值范围. 解析：(1)解法同例题2(2)由(1)知212x x x m -+>+在[1,1]-有解,即231m x x <-+在[1,1]-有解令2235()31()24g x x x x =-+=--,则()g x 在[1,1]-上单调递减.所以()g x 在[1,1]-上的最大值为(1)5g -=.所以m 的取值范围是(,5)-∞。
. 规律总结：()m f x ≤在区间(),a b 内有解,则[]max ()m f x ≤;()m f x ≥在区间(),a b 内有解,则[]min ()m f x ≥；注意参数的端点值能否取到需检验。
一、确定“主元”思想常量与变量是相对的，一般地，可把已知范围的那个看作自变量，另一个看作常量． 例1.对于满足04≤≤p 的一切实数p ，不等式x 2+px>4x+p-3恒成立，求x 的取值范围． 分析：习惯上把x 当作自变量，记函数y= x 2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当p []4,0∈时y>0恒成立，求x 的范围．解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是相当复杂的．若把x 与p 两个量互换一下角色，即p 视为变量，x 为常量，则上述问题可转化为在[0,4]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题．解：设f(p)=(x-1)p+x 2-4x+3，当x=1时显然不满足题意．由题设知当04≤≤p 时f(p)>0恒成立，∴f(0)>0,f(4)>0即x 2-4x+3>0且x 2-1>0， 解得x>3或x<-1．∴x 的取值范围为x>3或x<-1．二、分离变量对于一些含参数的不等式问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行分离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。
三、数形结合对于含参数的不等式问题，当不等式两边的函数图象形状明显，我们可以作出它们的图象，来达到解决问题的目的．例3．设]04[，-∈x ，若不等式a x x x -+<--134)4(恒成立，求a 的取值范围． 分析与解：若设函数)4(1x x y --=，则)0(4)2(1212≥=++y y x ，其图象为上半圆．设函数a x y -+=1342，其图象为直线． 在同一坐标系内作出函数图象如图，依题意要使半圆恒在直线下方，只有圆心)0,2(-到直线03334=-+-a y x 的距离25|338|>-+-=a d 且01>-a 时成立，即a 的取值范围为5-<a ．例5、不等式(x-1)2<log a x 在x ∈(1,2)上恒成立，求a 的取值范围。
分析：这种类型的不等式对高中学生来说直接求解是很困难的，所以一般来说采用数形结合的方法。
解：设y 1=(x-1)2,y 2=log a x,如右图所示 要使对一切x ∈(1,2),y 1<y 2恒成立， 显然须a>1, 且log a 2≥1。
∴1<a ≤2四、分类讨论当不等式中左、右两边的函数具有某些不确定因素时，应用分类讨论的方法来处理，分类讨论可使原问题中的不确定因素变成确定因素，为问题的解决提供新的条件。
yy 2y 14- O x例4．当]8,2[∈x 时，不等式1log 122->-x a 恒成立，求a 的取值范围． 解：（1）当1122>-a 时，由题设知x a <-1212恒成立，即min 2121x a <-，而]8,2[∈x ∴21212<-a 解得),1()1,(+∞--∞∈ a（2）当11202<-<a 时，由题设知x a >-1212恒成立，即max 2121x a >-，而]8,2[∈x ∴81212>-a 解得)43,22()22,43( --∈a ．∴a 的取值范围是),1()43,22()22,43()1,(+∞----∞∈ a已知函数的单调性求参数范围问题方法：转化为不等式的恒成立问题:即“若函数单调递增,则0)(≥'x f ;若函数单调递减,则 0)(≤'x f ”来求解.例：若函数1)(23+-=ax x x f 在]2,1[上单调递减,求实数a 的取值范围.思路点拨: 先求出导函数,再利用导数与单调性的关系或转化为恒成立问题求解. )23(23)(2a x x ax x x f -=-='解析：方法一：由)(x f 在]2,1[上单调递减知0)(≤'x f ，即0232≤-ax x 在]2,1[上恒成立, 即x a 23≥在]2,1[上恒成立.故只需max )23(x a ≥, 故3≥a . 综上可知，a 的取值范围是［3,+∞).方法二：当0=a 时，0)(≥'x f ,故)(x f y =在),(+∞-∞上单调递增，与)(x f y =在 ]2,1[上单调递减不符，舍去.当0<a 时，由0)(≤'x f 得a 32≤x≤0，即)(x f 的单调递减区间为]0,32[a ，与)(x f 在]2,1[上单调递减不符，舍去.当0>a 时，由0)(≤'x f 得0≤x≤a 32，即)(x f 的减区间为]32,0[a ，由)(x f 在]2,1[上单调递减得232≥a ,得a≥3.综上可知，a 的取值范围是［3,+∞).练习3．(2012·许昌模拟)若不等式ax 2＋bx －2＜0的解集为}412|{<<-x x ，则ab ＝ （ ） A ．－28 B ．－26 C ．28 D ．26解析 ∵x ＝－2，14是方程ax 2＋bx －2＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＝(－2)×14＝－12，－b a ＝－74，∴a ＝4，b ＝7.∴ab ＝28. 答案 C7.若不等式4|3|<-b x 的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b 的取值范围是 .)7,5( 8.设函数|1||4|)(-+-=x x x f ，则)(x f 的最小值是 3 ，若5)(≤x f ，则x 的取值范围 是 . ]5,0[9.不等式a a x x 3|1||3|2-≤--+对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 （ B ） A.),5[]2,(+∞--∞ B.),4[]1,(+∞--∞ C.]2,1[ D.),2[]1,(+∞--∞ 10．不等式ax 2＋2ax ＋1≥0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为________． 解析 当a ＝0时，不等式为1≥0恒成立；当a ≠0时，须⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，4a 2－4a ≤0.∴0＜a ≤1，综上0≤a ≤1. 答案 [0,1]12. 已知关于x 的不等式11ax x -+＜0的解集是1(,1)(,)2-∞--+∞.则a = . 【解析】由不等式判断可得a≠0且不等式等价于1(1)()0a x x a+-<由解集特点可得11022a a a <=-⇒=-且答案：-214.已知不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．[审题视点] 化为标准形式ax 2＋bx ＋c ＞0后分a ＝0与a ≠0讨论．当a ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝b 2－4ac ＜0.解 原不等式等价于(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0对一切实数恒成立，显然a ＝－2时，解集不是R ，因此a ≠－2，从而有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，Δ＝42－4(a ＋2)(a －1)＜0，整理，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞－2，(a －2)(a ＋3)＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＞－2，a ＜－3或a ＞2，所以a ＞2.故a 的取值范围是(2，＋∞)．不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＞0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＜0；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＜0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0.【训练2】 当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________． 解析 法一 当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0可化为：m <－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ， 又函数f (x )＝－⎝⎛⎭⎫x ＋4x 在(1,2)上递增， 则f (x )>－5， 则m ≤－5.法二 设g (x )＝x 2＋mx ＋4 当－m 2≤32，即m ≥－3时，g (x )＜g (2)＝8＋2m ， 当－m 2＞32，即m ＜－3时，g (x )＜g (1)＝5＋m 由已知条件可得：⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥－3，8＋2m ≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－3，5＋m ≤0.解得m ≤－5 答案 (－∞，－5]15.若a ∈［1,3］时,不等式ax 2+(a-2)x-2>0恒成立，求实数x 的取值范围. 15. 【解析】设f(a)=a(x 2+x)-2x-2，则当a ∈［1,3］时f(a)>0恒成立.22(1)20,(3)32021,213f x x f x x x x x x ⎧=-->⎪∴⎨=+->⎪⎩><-⎧⎪∴⎨><-⎪⎩或或 得x>2或x<-1.∴实数x 的取值范围是x>2或x<-1.1.（不等式选做题）若关于x 的不等式|||1||2|a x x ++-存在实数解，则实数a 的取值范围是 ．【分析】先确定|1||2|x x ++-的取值范围，再使得a 能取到此范围内的值即可． 【解】当1x -时，|1||2|12213x x x x x ++-=---+=-+；当12x-<时，|1||2|123x x x x ++-=+-+=；当2x >时，|1||2|12213x x x x x ++-=++-=->； 综上可得|1||2|3x x ++-，所以只要||3a ，解得3a -或3a ，即实数a 的取值范围是(,3][3,)-∞-+∞． 【答案】(,3][3,)-∞-+∞.1不等式22214x a x ax ->++对一切∈x R 恒成立，则实数a 的取值范围是_______． [解析]：不等式22214x a x ax ->++对一切∈x R 恒成立,即 014)2(2>-+++a x x a 对一切∈x R 恒成立 若2+a =0,显然不成立若2+a ≠0，则⎩⎨⎧<∆>+02a ∴2>a2.若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈（0，12）成立，则a 的取值范围是 （ ）A ．0B ． –2C ．-52D ．-3解析：设f （x ）＝x 2＋ax ＋1，则对称轴为x ＝a 2－,若a 2－≥12，即a ≤－1时，则f （x ）在〔0，12〕上是减函数，应有f （12）≥0⇒－52≤x ≤－1若a 2－≤0，即a ≥0时，则f （x ）在〔0，12〕上是增函数，应有f （0）＝1>0恒成立，故a ≥0若0≤a 2－≤12，即－1≤a ≤0，则应有f （a2－）＝222a a a 110424≥－＋＝－恒成立，故－1≤a ≤0． 综上，有－52≤a,故选C ． 4、已知不等式a x x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围______（答：1a >）3、若不等式)1(122->-x m x 对满足2≤m 的所有m 都成立，则x 的取值范围_____（答：（712-,312+））； 5、若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围.（答：12m >-）1．已知y ＝13x 3＋bx 2＋(b ＋2)x ＋3是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是( )A ．b ＜－1或b ＞2B ．b ≤－2或b ≥2C ．－1＜b ＜2D ．－1≤b ≤2解析 D 由题意，得y ′＝x 2＋2bx ＋b ＋2≥0在R 上恒成立，∴Δ＝4b 2－4(b ＋2)≤0， 解得－1≤b ≤2.2．函数f (x )＝13x 3＋12(2－a )x 2－2ax ＋5在区间[－1,1]上不单调，则a 的取值范围是________．解析 f ′(x )＝x 2＋(2－a )x －2a ＝(x ＋2)(x －a )＝0的两根为x 1＝－2，x 2＝a .若f (x )在[－1,1] 上不单调，则－1<a <1.3．已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的最大值是________．解析 由题意知，f ′(x )＝3x 2－a 在[1，＋∞)上有3x 2－a ≥0恒成立，∴a ≤(3x 2)min ，而 (3x 2)min ＝3，∴a ≤3.4．已知f (x )＝e x －ax －1. 若f (x )在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围． 解析 ∵f (x )＝e x －ax －1， ∴f ′(x )＝e x －a .∵f (x )在R 上单调递增， ∴f ′(x )＝e x －a ≥0恒成立，即a ≤e x ，x ∈R 恒成立．∵x ∈R 时，e x ∈(0，＋∞)，∴a ≤0. 即a 的取值范围为(－∞，0]．5．函数f(x)＝24x －mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是________．解析 由题意知m8≤－2，∴m ≤－16，∴f (1)＝9－m ≥25.6.已知函数13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求实数a 的取值范围．解 由题意得f ′(x )＝3ax 2＋6x －1.若f (x )在R 上是减函数，则0)(≤'x f (x ∈R)恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝36＋12a ≤0，解得a ≤－3.故实数a 的取值范围是(－∞，－3]．7.已知函数1)(23+++=x ax x x f 在(－∞，1]上是增函数，试求实数a 的取值范围．解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1，由于函数f (x )在(－∞，1]上是增函数， ∴当x ∈(－∞，1]时，0)(≥'x f (在个别点f ′(x )可以为0)恒成立， 即3x 2＋2ax ＋1≥0在x ≤1时恒成立．令g (x )＝3x 2＋2ax ＋1，∴Δ＝4a 2－12≤0或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->∆≥16200)1(a g ， 即a 2≤3或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－2，a 2>3，a <－3.∴a 2≤3，即－3≤a ≤ 3. 故a 的取值范围是[－3，3]．111已知函数()),0(2R a x x a x x f ∈≠+=若()x f 在区间[)+∞,2是增函数，求实数a 的取值范围。
