关于函数恒成立问题的解题策略
关于恒成立问题的解题策略 整理人:凌彬 一、恒成立问题的基本类型 在数学解题中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题. 函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有: ①在给定区间上某关系恒成立;②某函数的定义域为全体实数R ; ③某不等式的解为一切实数; ④某表达式的值恒大于a ,等等 ┅ 恒成立问题,涉及到一次函数、二次函数的性质、图像,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,有利于考查综合解题能力,是历届高考的热点之一. 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型: ①一次函数型;②二次函数型;③变量分离型;④根据函数的奇偶性、周期性等性质; ⑤直接根据函数的图像. 二、恒成立问题解决的基本策略 A 、两个基本思想解决“恒成立问题” 思路1:()m f x ≥在x D ∈上恒成立max [()]m f x ?≥; 思路2:()m f x ≤在x D ∈上恒成立min [()]m f x ?≤. 如何在区间D 上求函数()f x 的最大值或者最小值问题,可以通过题目的实际情况,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导,等等方法求函数()f x 的最值. 此类问题涉及的知识比较广泛,在处理上也有许多特殊性,希望大家多多注意积累. B 、赋值型——利用特殊值求解 等式中的恒成立问题,常常用赋值法求解,特别是对解决填空题、选择题能很快求得. 例1.由等式43243212341234(1)(1)(1)(1)x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=++++++++; 定义映射f :12341234(, , , )a a a a b b b b →+++,则f :(4,3,2,1)_____→ 解:取0x =,则412341a b b b b =++++,又由已知41a =,所以12340b b b b +++=. 例2.如果函数()sin 2cos2y f x x a x ==+的图像关于直线8x π=- 对称,那么____a = 解:取0x =及4x π=-,则(0)()4 f f π=-,即1a =-. 此法体现了数学中从特殊到一般的转化思想.
求解恒成立问题的常见方法
求解恒成立问题的常见方法 摘要:恒成立问题是高考中常见的一类问题,常见类型有:第一类是关于x的一元二次不等式对任意x∈R恒成立,求参数取值范围;第二类是不等式在给定区间上恒成立求参数的取值范围。因这类问题综合性强,思维容量大,因而成为高考一直常考不衰的热点问题。 关键词:恒成立;参数;解题方法 一、一元二次不等式中的恒成立问题 例1.已知函数f(x)=x2+ax+3对任意x∈R时恒有f(x)≥a成立,求a的取值范围。 解:∵f(x)≥a对x∈R恒成立,∴x2+ax+3-a≥0对x ∈R恒成立 ∵x∈R,∴Δ≥0,即a2-4(3-a)≥0∴a≤-6或a≥2 例2.已知函数y=lg(mx2-6mx+m+8)的定义域为R,求m的取值范围。 解:由已知得mx2-6mx+m+8>0对任意x∈R恒成立 ①当m=0时显然成立 ②当m≠0时有m>0(6m)2+4m(m+8)<0∴00(或f(x)
≥0)对任意x∈R恒成立,则有a>0Δ0Δ≤0),若f(x)<0(或f(x)≤0)对任意x∈R恒成立,则有a<0Δ<0(或a<0Δ≤0)等价转化即可。 二、在给定区间上恒成立问题 例3.已知函数f(x)= (x≠0)在(4,+∞)上恒大于0,求a的取值范围。 解:令f(x)=0则>0,∴a>-(x+ ) 令g(x)=x+ ,易知g(x)在(4,+∞)上为增函数,∴g(x)min=g(4)=5∴g(x)>5 ∴-(x+ )<-5∴a≥-5 例4.已知函数f(x)=x2+2x+a lnx,在区间(0,1]上为单调函数,求实数a的取值范围。 分析:求f ′(x)→由题意转化为恒成立问题→求最值→求得a的取值范围 解:易知f ′(x)=2x+2+ ,∵f ′(x)在f ′(x)上单调 ∴f ′(x)≥0或f ′(x)<0在(0,1]上恒成立, 即2x2+2x+a≥0或2x2+2x+a≤0恒成立 ∴a≥-(2x2+2x)或a≤-(2x2+2x)在(0,1]上恒成立又-(2x2+2x)=-2(x+ )2+ ∈[-4,0) ∴a≥0或a≤-4 方法归纳:解决此类恒成立问题通常分离参变量通过等
函数恒成立存在性与有解问题
函数恒成立存在性问题 知识点梳理 1、恒成立问题的转化:()a f x >恒成立?()max a f x >;()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化:()a f x >能成立?()min a f x >;()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化:()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>???≤??在上恒成立 在上恒成立 另一转化方法:若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立,等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ,若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立,则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ,对任意的[]b a x ,1∈,存在[]d c x ,2∈,使得()()21x g x f ≥,则()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ,对任意的[]b a x ,1∈,存在[]d c x ,2∈,使得()()21x g x f ≤,则()()x g x f max max ≤ 6、设函数()x f 、()x g ,存在[]b a x ,1∈,存在[]d c x ,2∈,使得()()21x g x f ≥,则()()x g x f min max ≥ 7、设函数()x f 、()x g ,存在[]b a x ,1∈,存在[]d c x ,2∈,使得()()21x g x f ≤,则()()x g x f max min ≤ 8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象 上方; 9、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方; 例题讲解: 题型一、常见方法 1、已知函数12)(2 +-=ax x x f ,x a x g = )(,其中0>a ,0≠x . 1)对任意]2,1[∈x ,都有)()(x g x f >恒成立,求实数a 的取值范围; 2)对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ,都有)()(21x g x f >恒成立,求实数a 的取值范围; 2、设函数b x x a x h ++=)(,对任意]2,21[∈a ,都有10)(≤x h 在]1,4 1 [∈x 恒成立,求实数b 的取值范围. 3、已知两函数2 )(x x f =,m x g x -?? ? ??=21)(,对任意[]2,01∈x ,存在[]2,12∈x ,使得()21)(x g x f ≥,则实 数m 的取值范围为 题型二、主参换位法(已知某个参数的范围,整理成关于这个参数的函数)
用导数研究函数的恒成立与存在性问题答案
用导数研究函数的恒成立与存在问题 1.已知函数23()2ln x f x x x a = -+,其中a 为常数. (1)若1a =,求函数()f x 的单调区间; (2)若函数()f x 在区间[1,2]上为单调函数,求a 的取值围. 2.已知函数3 2 ()4()f x x ax a R =-+-∈,'()f x 是()f x 的导函数。 (1)当2a =时,对于任意的[1,1]m ∈-,[1,1]n ∈-,求()()f m f n '+的最小值; (2)若存在0(0,)x ∈+∞,使0()f x >0,求a 的取值围。
3.已知函数x ax x f ln )(+= )(R a ∈. (1)若2=a ,求曲线)(x f y =在点1x =处的切线方程; (2)求)(x f 的单调区间; (3)设22)(2+-=x x x g ,若对任意1(0,)x ∈+∞,均存在[]1,02∈x ,使得)()(21x g x f <, 数a 的取值围.
4.(2016届二模)已知函数()22ln f x x x =-+. (Ⅰ)求函数()f x 的最大值; (Ⅱ)若函数()f x 与()a g x x x =+ 有相同极值点. ①数a 的值; ②对121,,3x x e ???∈???? (e 为自然对数的底数),不等式 ()() 1211 f x g x k -≤-恒成立,数k 的取值围.
5.已知函数2 12 ()()ln ()f x a x x a R =-+∈. (1)当1a =时,01[,]x e ?∈使不等式0()f x m ≤,数m 的取值围; (2)若在区间1(,)+∞,函数()f x 的图象恒在直线2y ax =的下方,数a 的取值围.
高中数学恒成立问题
高中数学不等式的恒成立问题不等式恒成立的问题既含参数又含变量,往往与函数、数列、方程、几何有机结合起来,具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点. 考题通常有两种设计方式:一是证明某个不等式恒成立,二是已知某个不等式恒成立,求其中的参数的取值范围.解决这类问题的方法关键是转化化归,通过等价转化可以把问题顺利解决,下面我就结合自己记得教学经验谈谈不等式的恒成立问题的处理方法。 一、构造函数法 在解决不等式恒成立问题时,一种最重要的思想方法就是构造适当的函数,即构造函数法,然后利用相关函数的图象和性质解决问题,同时注意在一个含多个变量的数学问题中,需要确定合适的变量和参数,从而揭示函数关系,使问题更加面目更加清晰明了,一般来说,已知存在范围的量视为变量,而待求范围的量视为参数. 例1 已知不等式对任意的都成立,求的取值范围. 解:由移项得:.不等式左侧与二次函数非常相似,于是我们可以设则不等式对满足的 一切实数恒成立对恒成立.当时, 即 解得故的取值范围是. 注:此类问题常因思维定势,学生易把它看成关于的不等式讨论,从而因计算繁琐出错或者中途夭折;若转换一下思路,把待求的x为参数,以为变量,令 则问题转化为求一次函数(或常数函数)的值在内恒为负的问题,再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了。
二、分离参数法 在不等式中求含参数范围过程中,当不等式中的参数(或关于参数的代数式)能够与其它变量完全分离出来并,且分离后不等式其中一边的函数(或代数式)的最值或范围可求时,常用分离参数法. 例2已知函数(为常数)是实数集上的奇函数,函数 在区间上是减函数. (Ⅰ)若对(Ⅰ)中的任意实数都有在上恒成立,求实数的取值范围. 解:由题意知,函数在区间上是减函数. 在上恒成立 注:此类问题可把要求的参变量分离出来,单独放在不等式的一侧,将另一侧看成新函数,于是将问题转化成新函数的最值问题:若对于取值范围内的任一个数 都有恒成立,则;若对于取值范围内的任一个数都有 恒成立,则. 三、数形结合法 如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时,可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围. 例 3 已知函数若不等式恒成立,则实数的取值范围是 .
恒成立与有解问题
【例1】 关于x 的不等式2121x x a a -+-++≤的解集为空集,则实数a 的 取值范围是 _ . 【例2】 若不等式1 21x a x + -+≥对一切非零实数x 均成立,则实数a 的最大值是_________. 【例3】 设 函数 2()1 f x x =-,对任意 23x ??∈+∞???? ,, 典例分析 恒成立与有解问题
24()(1)4()x f m f x f x f m m ?? --+ ??? ≤恒成立,则实数 m 的取值范围 是 . 【例4】 若不等式220ax x ++>的解集为R ,则a 的范围是( ) A .0a > B .18 a >- C .18 a > D .0a < 【例5】 已知不等式 ()11112 log 112 2123 a a n n n +++ >-+++对于一切大于1的自然数n 都成立,试求实数a 的取值范围.
【例6】 若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对x ∈R 恒成立,则a 的取值范围 是______. 【例7】 2()1f x ax ax =+-在R 上恒满足()0f x <,则a 的取值范围是( ) A .0a ≤ B .4a <- C .40a -<< D .40a -<≤
【例8】 若对于x ∈R ,不等式2230mx mx ++>恒成立,求实数m 的取值范 围. 【例9】 不等式210x ax ++≥对一切102x ?? ∈ ??? ,成立,则a 的最小值为( ) A .0 B .2- C . 5 2 - D .3- 【例10】 不等式2|3||1|3x x a a +---≤对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值 范围为( ) A .(][)14-∞-+∞,, B .(][)25-∞-+∞,, C .[12], D .(][)12-∞∞, , 【例11】 对任意[11]a ∈-, ,函数2()(4)42f x x a x a =+-+-的值恒大于零,则x 的取值范围为 .
关于函数恒成立问题的解题
恒成立问题 二、恒成立问题解决的基本策略 A 、两个基本思想解决“恒成立问题” 思路1:()m f x ≥在x D ∈上恒成立max [()]m f x ?≥; 思路2:()m f x ≤在x D ∈上恒成立min [()]m f x ?≤. 如何在区间D 上求函数()f x 的最大值或者最小值问题,可以通过题目的实际情况,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导,等等方法求函数()f x 的最值. 此类问题涉及的知识比较广泛,在处理上也有许多特殊性,希望大家多多注意积累. C 、分清基本类型,运用相关基本知识,把握基本的解题策略 1、一次函数型 若原题可化为一次函数型,则由数形结合思想利用一次函数知识求解,十分简捷. 给定一次函数() (0)y f x ax b a ==+≠,若()y f x =在[, ]m n 恒有()0f x >,则等价于:()0()0f m f n >??>?;同理,若在[, ]m n 恒有()0f x <,则等价于:()0()0f m f n ? . 例3.对于满足2a ≤的所有实数a ,求使不等式212x ax a x ++>+恒成立的x 的取值围. 解:原不等式转化为:2(1)210x a x x -+-+>在2a ≤时恒成立, 设2()(1)21f a x a x x =-+-+,则()f a 在[2, 2]-上恒大于0, 故有:(2)0(2)0f f ->??>?即2243010 x x x ?-+>??->??,解得:3111x x x x >?><-?或或; ∴1x <-或3x >,即x ∈(-∞,-1)∪(3,+∞). 2、二次函数型 例4.若函数()f x =R ,数a 的取值围. 解:由题意可知,当x R ∈时,222(1)(1)01 a x a x a -+-+≥+恒成立, ①当210a -=且10a +≠时,1a =;此时,222(1)(1)101a x a x a -+-+ =≥+,适合;
教案高中含参不等式的恒成立问题整理版.doc
高中数学不等式的恒成立问题 一、用一元二次方程根的判别式 有关含有参数的一元二次不等式问题,若能把不等式转化成二次函数或二次方程,通过根的判别式或数形结合思想,可使问题得到顺利解决。 基本结论总结 例1 对于x ∈R ,不等式恒成立,求实数m 的取值范围。 例2:已知不等式04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于x ∈R恒成立,求参数a 的取值范围. 解:要使04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于x ∈R恒成立,则只须满足: (1)???<-+-<-0)2(16)2(4022 a a a 或 (2)?? ? ??<-=-=-0 40)2(20 2a a 解(1)得?? ?<<-<2 22 a a ,解(2)a =2 ∴参数a 的取值范围是-2<a ≤2. 练习 1. 已知函数])1(lg[2 2 a x a x y +-+=的定义域为R ,求实数a 的取值范围。 2.若对于x ∈R ,不等式恒成立,求实数m 的取值范围。 3.若不等式的解集是R ,求m 的范围。 4.x 取一切实数时,使3 47 2+++kx kx kx 恒有意义,求实数k 的取值范围.
例3.设22)(2 +-=mx x x f ,当),1[+∞-∈x 时,m x f ≥)(恒成立,求实数m 的取值范围。 关键点拨:为了使 在 恒成立,构造一个新函数 是解题的关键,再利用二次 函数的图象性质进行分类讨论,使问题得到圆满解决。若二次不等式中x 的取值范围有限制,则可利用根的分布解决问题。 解:m mx x x F -+-=22)(2 ,则当),1[+∞-∈x 时,0)(≥x F 恒成立 当120)2)(1(4<<-<+-=?m m m 即时,0)(>x F 显然成立; 当0≥?时,如图,0)(≥x F 恒成立的充要条件为: ??? ? ??? -≤--≥-≥?1 220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-。 例4 。已知1ax x )x (f 2+-=,求使不等式0)x (f <对任意]2,1[x ∈恒成立的a 的取值范围。 解法1:数形结合 结合函数)x (f 的草图可知]2,1[x ,0)x (f ∈<时恒成立? 25a 0 a 25)2(f 0a 2)1(f >?? ?<-=<-=得。所以a 的取值范围是),25 (+∞。 解法2:转化为最值研究 4a 1)2a x ()x (f 22- +-= 1. 若]2,1[)x (f ,3a 232a 在时即≤≤上的最大值,25a ,0a 25)2(f )x (f max ><-==得3a 25 ≤<所以。 2. 若0a 2)1(f )x (f ]2,1[)x (f ,3a 2 3 2a max <-==>>上的最大值在时即,得2a >,所以3a >。 综上:a 的取值范围是),2 5 (+∞。 注:1. 此处是对参a 进行分类讨论,每一类中求得的a 的范围均合题意,故对每一类中所求得的a 的范围求并集。 2. I x ,m )x (f ∈<恒成立)m (m )x (f max 为常数; )m (m )x (f I x ,m )x (f min 为常数恒成立>?∈> 解法3:分离参数 ]2,1[x ,x 1x a ]2,1[x ,01ax x 2∈+ >?∈<+-。设x 1 x )x (g +=, 注:1. 运用此法最终仍归结为求函数)x (g 的最值,但由于将参数a 与变量x 分离,因此在求最值时避免了分类讨论,使问题相对简化。 2. 本题若将“]2,1[x ∈”改为“)2,1(x ∈”可类似上述三种方法完成。 仿解法1:?∈<)2,1(x ,0)x (f 25a 0 )2(f 0)1(f ≥?? ?≤≤得即),25 [:a +∞的范围是 读者可仿解法2,解法3类似完成,但应注意等号问题,即此处2 5 a = 也合题。 O x y x -1
高中数学不等式恒成立与有解问题
高中数学不等式恒成立与有解问题 不等式恒成立与有解问题一直是中学数学的重要内容. 它是函数、数列、不等式等内容交汇处的一个较为活跃的知识点,随着中学数学引进导数,它为我们更广泛、更深入地研究函数、不等式提供了强有力的工具. 在近几年的高考试题中,涉及不等式恒成立与有解的问题,有时在同一套试题中甚至有几道这方面的题目。 其中,特别是一些含自然对数和指数函数的不等式恒成立与有解问题,将新增内容与传统知识有机融合,用初等方法难以处理,而利用导数来解,思路明确,过程简捷流畅,淡化繁难的技巧,它不仅考查函数、不等式等有关的传统知识和方法,而且还考查极限、导数等新增内容的掌握和灵活运用. 它常与思想方法紧密结合,体现能力立意的原则,带有时代特征,突出了高考试题与时俱进的改革方向. 因此,越来越受到高考命题者的青睐. 下面通过一些典型实例作一剖析. 1.不等式恒成立与有解的区别 不等式恒成立和有解是有明显区别的,以下充要条件应细心思考,甄别差异,恰当使用,等价转化,切不可混为一团. (1)不等式f(x)k 在x ∈I 时恒成立? k ?x f ,)(min >?x ∈I. 或f(x)的下界大于或等于k ; (4)不等式f(x)>k 在x ∈I 时有解? k ?x f ,)(max >?x ∈I. 或f(x)的上界大于k ; 解决不等式恒成立和有解解问题的基本策略常常是构作辅助函数,利用函数的单调性、最值(或上、下界)、图象求解;基本方法包括:分类讨论,数形结合,参数分离,变换主元等等. 例1 已知两函数f(x)=8x 2+16x-k ,g(x)=2x 3+5x 2+4x ,其中k 为实数. (1)对任意x ∈[-3,3],都有f (x)≤g(x)成立,求k 的取值范围; (2)存在x ∈[-3,3],使f (x)≤g(x)成立,求k 的取值范围; (3)对任意x 1x 2∈[-3,3],都有f (x 1)≤g(x 2),求k 的取值范围. 解析 (1)设h(x)=g(x)-f(x)=2x 2-3x 2-12x+k ,问题转化为x ∈[-3,3]时,h(x)≥0恒成立,故h min (x)≥0.令h′ (x)=6x 2-6x-12=0,得x= -1或2. 由h(-1)=7+k ,h(2)=-20+k ,h(-3)=k-45,h(3)=k-9,故h min (x)=-45+k ,由k-45≥0,得k≥45. (2)据题意:存在x ∈[-3,3],使f (x)≤g(x)成立,即为:h(x)=g(x)-f(x)≥0在x ∈[-3,3]有解,故h max (x)≥0,由(1)知h max (x )=k+7,于是得k≥-7. (3)它与(1)问虽然都是不等式恒成立问题,但却有很大的区别,对任意x 1x 2∈[-3,3],都有f (x 1)≤g(x 2)成立,不等式的左右两端函数的自变量不同,x 1,x 2的取值在 [-3,3]上具有任意性,因而要使原不等式恒成立的充要条件是:
恒成立问题 专题
恒成立问题 1.参变分离法 例1:已知函数()ln a f x x x =-,若()2f x x <在()1,+∞上恒成立,则a 的取值范围是 _________. 【答案】1a ≥- 【解析】233ln ln ln a x x x x a x a x x x x - ->-,其中()1,x ∈+∞, ∴只需要() 3max ln a x x x >-. 令()3 ln g x x x x =-,()' 2 1ln 3g x x x =+-,()' 12g =-,()2 '' 11660x g x x x x -=-=<, ()'g x ∴在()1,+∞单调递减,()()()''10g x g g x ∴<>≠对于任意的π0,4x ?? ∈ ???都成立,则实数a 的取值范围 是___________. 【答案】π,14a ?? ∈ ??? 【解析】本题选择数形结合,可先作出sin 2y x =在π0,4x ?? ∈ ??? 的图像,
a 扮演的角色为对数的底数,决定函数的增减,根据不等关系可得01a <<,观察图像进一 步可得只需 π 4 x = 时,log sin 2a x x >, 即πππlog sin 21444a a >?=?>,所以π,14a ??∈ ??? . 3.最值分析法 例3:已知函数()()ln 10f x a x a =+>,在区间()1,e 上,()f x x >恒成立,求a 的取值范围___________. 【答案】e 1a ≥- 【解析】()f x x >恒成立即不等式ln 10a x x -+>恒成立,令()ln 1g x a x x =-+, ∴只需()min 0g x >即可,()10g =, ()'1a a x g x x x -= -=,令()'00a x g x x a x ->?>?<(分析()g x 的单调性) 当1a ≤时 ()g x 在()1,e 单调递减,则()()010g x g <= (思考:为什么以1a =作为分界点讨论?因为找到()10g =,若要不等式成立,那么一定从1x =处起()g x 要增(不一定在()1,e 上恒增,但起码存在一小处区间是增的) ,所以1a ≤时导致()g x 在1x =处开始单减,那么一定不符合条件.由此请体会零点对参数范围所起的作