学而思高中数学7恒成立与有解问题

恒成立问题与有解问题的区别恒成立与有解问题一直是中学数学的重要内容。

它是函数、数列、不等式等内容交汇处的一个较为活跃的知识点，在近几年的高考试题中，越来越受到高考命题者的青睐，涉及恒成立与有解的问题，有时在同一套试题中甚至有几道这方面的题目。

本文就恒成立与有解问题做一比较。

1、恒成立问题1.1恒成立问题与一次函数联系给定一次函数y=f(x)=ax+b(a ≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于ⅰ）⎩⎨⎧>>0)(0m f a 或ⅱ）⎩⎨⎧><0)(0n f a 亦可合并定成⎩⎨⎧>>0)(0)(n f m f 同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有⎩⎨⎧<<0)(0)(n f m f例1、对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x 2+px+1>2p+x 恒成立的x 的取值范围。

分析：在不等式中出现了两个字母：x 及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。

显然可将p 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题。

略解：不等式即(x-1)p+x 2-2x+1>0,设f(p)= (x-1)p+x 2-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0，故有：⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0103422x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或 ∴x<-1或x>3.1.2恒成立问题与二次函数联系若二次函数y=ax 2+bx+c=0(a ≠0)大于0恒成立，则有⎩⎨⎧<∆>00a ，若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。

例2、设f(x)=x 2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞)时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。

学员编号： 年 级： 课 时 数：学员： 辅导科目： 数学 学科教师：授课类型恒成立与有解问题授课日期及时段 教学内容恒成立问题【知识梳理】函数的内容作为高中数学知识体系的核心，也是历年高考的一个热点.函数类问题的解决最终归结为对函数性质、函数思想的应用.恒成立问题，在高中数学中较为常见.这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.〔一〕恒成立问题基本类型1：先别离参数，再求函数的最值〔或值域〕假设不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于:在区间D 上, 函数()A x f >min假设不等式()A x f <在区间D 上恒成立,则等价于:在区间D 上, 函数()A x f <max例1：〔1〕设实数,x y 满足22(1)1x y +-=，假设0x y c ++≥恒成立，则c 的取值范围是______〔2〕不等式a x x >-+-34对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围_____〔3〕a a x x x 恒成立，求实数，不等式对任意实数>--+21的取值范围______方程、不等式有解问题〔存在性问题〕（一）关于方程的实数解的问题方程0)(=x f 有解的问题实际上是求函数)(x f y =零点的问题，判断方程0)(=x f 有几个解的问题实际上就是判断函数)(x f y =有几个零点的问题，这类问题通常有以下处理方法：一、直接法通过因式分解或求根公式直接求方程0)(=x f 的根，此法一般适合于含有一元二次〔三次〕的整式函数，或由此组合的分式函数。

例1函数⎩⎨⎧>+-≤-+=)0(ln 2)0(32)(2x xx x x x f 的零点个数为〔 〕 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3二、图象法对于不能用因式分解或求根公式直接求解的方程0)()(=-x g x f ，可以先转化为方程)()(x g x f =，再在同一坐标系中分别画出函数)(x f y =和)(x g y =的图象，两个图象交点的横坐标就是原函数的零点，有几个交点原函数就有几个零点。

MIMlE典例分析【例1】 关于x 的不等式|x 1 |x 2<a 2 a 1的解集为空集,那么实数 a 的取值范围是... . (1).......................【例2】假设不等式 x 1> a 2 1对一切非零实数 x【例3】 设函数f (x) x 2 1 ,对任意x —,, f —3m成立,那么实数m 的取值范围是 .恒成立与有解问题x 均成立,那么实数 a 的最大值是4m 2f (x)< f(x 1) 4 f (m)恒【例4】假设不等式ax2A. a 0 x 2 0的解集为R ,那么a的范围是(1 _ 1B. aC. a -8 8)D. a 0【例5】不等式—n 1 都成立,试求实数12n1log a a 11222对于一切大于1的自然数3[例6] 【例7】a的取值范围假设不等式(a 2)x2 2(a 2)x 4 0对x R恒成立,那么a的取值范围是f(x) ax2ax 1在R上恒满足f(x) 0,那么a的取值范围是()A a< 0 B. a 4 C. 4 a 0 D. 4 a< 0假设对于x R,不等式mx 2 2mx 3 0恒成立,求实数m 的取值范围.【例9】 不等式x 2 ax 1 > 0对一切x 0」成立,那么a 的最小值为() 2A. 0 B . 2 C .- D . 32( ) A. , 1 U 4,C. [1, 2]围为 ________【例8】 【例10】不等式|x 3||x 1|< a 2 3a 对任意实数x 恒成立,那么实数a 的取值范围为【例11】对任意a [1,1],函数f(x) x 2(a 4)x 4 2a 的值恒大于零,那么x 的取值范【例12】卜寺工'lg 2axlg(a x)1在x [1, 2]时恒成立,试求a的取值范围.【例13】1 , 1 3x a a2 9x 0恒成立,求实数a的取值范围【例14】x2 2ax 2 ,当x 1, 时,都有f x > a恒成立,求a 的取值2【例15】设对所有实数x,不等式x2log24a 12xlog2二± 10g2a 1 0恒成立,a a 1 4a求a的取值范围.a的取值范围. 【例16】不等式ax2 4x 1> 2x2 a对任意实数恒成立,求实数【例17】关于x的不等式x2 x t 0对x R恒成立,那么t的取值范围是【例18】如果|x 1| |x 9| a对任意实数x恒成立,那么a的取值范围是〔〕A. {a|a 8} B . {a |a 8} C . {a|a>8} D . {a|a< 8}x y x(1 y).假设不等式(x a) (x a) 1对任意实数x 成立,那么〔【例20】设不等式x 2 2ax a 2< 0的解集为M ,如果M【例21】如果关于x 的不等式2kx 2 kx 38是.0对一切实数x 都成立,那么k 的取值范围A. C.1 a 1 1 3 a22B. D.0 a 2 3 1 a22【例19］在R 上定义运算［1,4］,求实数a 的取值范围.【例22】函数f (x) x 1g(Jx2 1 x),假设不等式f(m 3x) f (3x 9x 2) 0对任意x R恒成立,求实数m的取值范围.【例23】集合D x i , x2 | x i 0 , x2 0 , x i x2 k 〔其中k为正常数〕.⑴设u xx2 ,求u的取值范围；⑵求证：当k>1时不等式 -立； .......... 1 1 ⑶求使不等式一x1 一x2x x2 围.2k 2x — x2 < ——对任忌x , x2D恒成“ 2 kD恒成立的k2的范【例24］假设关于x 的方程9x (4 a)3x 4 0有解,求实数a 的取值范围【例26］假设关于x 的不等式2x 2 8x 4 a0在1 x 4内有解,那么实数a 的取值范围是C. a 12D. a 12【例25】a R,假设关于x 的方程x 2是.1 ,、一 一.x a - |a 0有头根,那么 a 的取值范围()A. a 4B. a 4Xa -3的解集为x| 1WxW5 ,求实数a 的值； f (x) f (x 5) > m 对一切实数x 恒成立,求实数 m【例27】函数f (x) ⑴假设不等式f(x)W ⑵在⑴的条件下,假设的取值范围.。

高考数学总复习考点知识讲解与练习第7讲恒成立问题与有解问题(2021·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝e x＋ax2－x.(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≥12x3＋1，求a的取值范围．(2)思路分析一❶∀x≥0，f(x)≥12x3＋1↓❷分离参数a≥g(x)↓❸a≥g(x)max,↓❹求g(x)max思路分析二❶∀x≥0，f(x)≥12x3＋1↓❷等价变形↓❸构造新函数↓❹求新函数的最值解(1)当a＝1时，f(x)＝e x＋x2－x，f′(x)＝e x＋2x－1，令φ(x)＝e x＋2x－1，由于φ′(x)＝e x＋2>0，故f′(x)单调递增，注意到f′(0)＝0，故当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．(2)方法一由f(x)≥12x3＋1得，e x＋ax2－x≥12x3＋1，其中x≥0.①当x＝0时，不等式为1≥1，显然成立，符合题意；②当x>0时，分离参数a得，a≥－e x－12x3－x－1x2，记g(x)＝－e x－12x3－x－1x2，g′(x)＝－(x－2)⎝⎛⎭⎪⎫e x－12x2－x－1x3，令h(x)＝e x－12x2－x－1(x≥0)，则h ′(x )＝e x －x －1，令t (x )＝h ′(x )，x ≥0，则t ′(x )＝e x －1≥0， 故h ′(x )单调递增，h ′(x )≥h ′(0)＝0， 故函数h (x )单调递增，h (x )≥h (0)＝0， 由h (x )≥0可得e x －12x 2－x －1≥0恒成立， 故当x ∈(0,2)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增； 当x ∈(2，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减； 因此，g (x )max ＝g (2)＝7－e 24，综上可得，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫7－e 24，＋∞. 方法二f (x )≥12x 3＋1等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3－ax 2＋x ＋1e －x ≤1.设函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3－ax 2＋x ＋1e －x (x ≥0)，则g ′(x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3－ax 2＋x ＋1－32x 2＋2ax －1e －x＝－12x [x 2－(2a ＋3)x ＋4a ＋2]e －x ＝－12x (x －2a －1)(x －2)e －x .①若2a ＋1≤0，即a ≤－12，则当x ∈(0,2)时，g ′(x )>0，所以g (x )在(0,2)上单调递增，而g (0)＝1，故当x ∈(0,2)时，g (x )>1，不符合题意．②若0<2a ＋1<2，即－12<a <12，则当x ∈(0,2a ＋1)∪(2，＋∞)时，g ′(x )<0；当x ∈(2a ＋1,2)时，g ′(x )>0，所以g (x )在(0,2a ＋1)，(2，＋∞)上单调递减，在(2a ＋1,2)上单调递增．由于g (0)＝1，所以g (x )≤1当且仅当g (2)＝(7－4a )e －2≤1， 即a ≥7－e 24.所以当7－e 24≤a <12时，g (x )≤1. ③若2a ＋1≥2，即a ≥12，则g (x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x ＋1e －x .由于0∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫7－e 24，12，故由②可得⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x ＋1e －x ≤1.故当a ≥12时，g (x )≤1.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫7－e 24，＋∞.[子题1](2021·北京模拟)已知函数f (x )＝(x －2)e x －12ax 2＋ax (a ∈R )．(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)当x ≥2时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围． 解(1)当a ＝0时，f (x )＝(x －2)e x ，f (0)＝(0－2)e 0＝－2，f ′(x )＝(x －1)e x ，k ＝f ′(0)＝(0－1)e 0＝－1， 所以切线方程为y ＋2＝－(x －0)，即x ＋y ＋2＝0. (2)方法一f ′(x )＝(x －1)(e x －a )，①当a ≤0时，因为x ≥2，所以x －1>0，e x －a >0，所以f ′(x )>0， 则f (x )在[2，＋∞)上单调递增，f (x )≥f (2)＝0成立． ②当0<a ≤e 2时，f ′(x )≥0，所以f (x )在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )≥f (2)＝0成立．③当a >e 2时，在区间(2，ln a )上，f ′(x )<0；在区间(ln a ，＋∞)上，f ′(x )>0， 所以f (x )在(2，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，f (x )≥0不恒成立，不符合题意．综上所述，a 的取值范围是(－∞，e 2]．方法二当x ≥2时，f (x )≥0恒成立，等价于当x ≥2时，(x －2)e x －12ax 2＋ax ≥0恒成立． 即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x a ≤(x －2)e x 在[2，＋∞)上恒成立. 当x ＝2时，0·a ≤0，所以a ∈R . 当x >2时，12x 2－x >0，所以a ≤(x －2)e x 12x 2－x ＝2e xx 恒成立．设g (x )＝2e xx ，则g ′(x )＝2(x －1)e xx 2，因为x >2，所以g ′(x )>0，所以g (x )在区间(2，＋∞)上单调递增． 所以g (x )>g (2)＝e 2，所以a ≤e 2. 综上所述，a 的取值范围是(－∞，e 2]．[子题2]已知x ＝1e为函数f (x )＝x a ln x 的极值点． (1)求a 的值；(2)设函数g (x )＝kxe x ，若对∀x 1∈(0，＋∞)，∃x 2∈R ，使得f (x 1)－g (x 2)≥0，求k 的取值范围．解(1)f ′(x )＝ax a －1ln x ＋x a ·1x ＝x a －1(a ln x ＋1)， f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e a －1⎝⎛⎭⎪⎫a ln 1e ＋1＝0，解得a ＝2，当a ＝2时，f ′(x )＝x (2ln x ＋1)，函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增， 所以x ＝1e为函数f (x )＝x a ln x 的极小值点，因此a ＝2.(2)由(1)知f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－12e ，函数g (x )的导函数g ′(x )＝k (1－x )e －x .①当k >0时，当x <1时，g ′(x )>0，g (x )在(－∞，1)上单调递增；当x >1时，g ′(x )<0，g (x )在(1，＋∞)上单调递减，对∀x 1∈(0，＋∞)，∃x 2＝－1k ，使得g (x 2)＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ＝1e k -<－1<－12e ≤f (x 1)，符合题意．②当k ＝0时，g (x )＝0，取x 1＝1e，对∀x 2∈R 有f (x 1)－g (x 2)<0，不符合题意． ③当k <0时，当x <1时，g ′(x )<0，g (x )在(－∞，1)上单调递减；当x >1时，g ′(x )>0，g (x )在(1，＋∞)上单调递增， g (x )min ＝g (1)＝ke ，若对∀x 1∈(0，＋∞)，∃x 2∈R ，使得f (x 1)－g (x 2)≥0，只需g (x )min ≤f (x )min ，即k e ≤－12e ，解得k ≤－12.综上所述，k 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪(0，＋∞)．规律方法(1)由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略①求最值法：将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题．②分离参数法：将参数分离出来，进而转化为a >f (x )max 或a <f (x )min 的形式，通过导数的应用求出f (x )的最值，即得参数的范围．(2)不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别．1．(2021·安庆模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋ax (a ∈R )． (1)讨论f (x )的单调区间；(2)若f (x )≤e x －1＋1x －1恒成立，求实数a 的取值范围． 解(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－a －ln xx 2.由f ′(x )>0，即1－a －ln x >0，解得0<x <e 1－a ， 由f ′(x )<0，即1－a －ln x <0，解得x >e 1－a ，故f (x )的单调递增区间为(0，e 1－a )，单调递减区间为(e 1－a ，＋∞)．(2)因为f (x )≤ex －1＋1x －1恒成立，即ln x ＋a x ≤e x －1＋1x －1对x ∈(0，＋∞)恒成立，即a ≤x e x －1－x －ln x ＋1对x ∈(0，＋∞)恒成立， 令u (x )＝x e x －1－x －ln x ＋1，则u ′(x )＝e x －1＋x e x －1－1－1x ＝(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －1－1x ，当x ∈(0,1)时，u ′(x )<0，u (x )在(0,1)上单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，u ′(x )>0，u (x )在(1，＋∞)上单调递增， 故当x ＝1时，u (x )取最小值u (1)＝1，所以a ≤1， 所以实数a 的取值范围是(－∞，1]． 2．(2021·昆明联考)已知函数f (x )＝e ax －x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处切线的斜率为1，求f (x )的单调区间； (2)若不等式f (x )≥e ax ln x －ax 2对x ∈(0，e]恒成立，求a 的取值范围． 解(1)f ′(x )＝a e ax －1，则f ′(0)＝a －1＝1，即a ＝2. ∴f ′(x )＝2e 2x －1，令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 22. 当x <－ln 22时，f ′(x )<0；当x >－ln 22时，f ′(x )>0.故f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－ln 22，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－ln 22，＋∞.(2)由f (x )≥e ax ln x －ax 2，即ax 2－x ≥e ax (ln x －1)，有ax －1e ax ≥ln x －1x ，故仅需ln e ax －1e ax ≥ln x －1x 即可． 设函数g (x )＝ln x －1x ，则ln e ax －1e ax ≥ln x －1x 等价于g (e ax )≥g (x )．∵g ′(x )＝2－ln xx 2，∴当x ∈(0，e]时，g ′(x )>0，则g (x )在(0，e]上单调递增， ∴当x ∈(0，e]时，g (e ax )≥g (x )等价于e ax ≥x ，即a ≥ln xx 恒成立．设函数h (x )＝ln xx ，x ∈(0，e]，则h ′(x )＝1－ln x x 2≥0，即h (x )在(0，e]上单调递增， ∴h (x )max ＝h (e)＝1e ，则a ≥1e 即可， ∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，＋∞.专题强化练1．(2021·新高考全国Ⅰ)已知函数f (x )＝a e x －1－ln x ＋ln a .(1)当a ＝e 时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)若f (x )≥1，求a 的取值范围．解f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x －1－1x . (1)当a ＝e 时，f (x )＝e x －ln x ＋1，f ′(x )＝e x －1x ， 所以f (1)＝e ＋1，f ′(1)＝e －1，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －(e ＋1)＝(e －1)(x －1)， 即y ＝(e －1)x ＋2.直线y＝(e－1)x＋2在x轴，y轴上的截距分别为－2，2.e－1因此所求三角形的面积为2.e－1(2)方法一当0<a<1时，f(1)＝a＋ln a<1.当a＝1时，f(x)＝e x－1－ln x，f′(x)＝e x－1－1x.当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.所以当x＝1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)＝1，从而f(x)≥1.当a>1时，f(x)＝a e x－1－ln x＋ln a≥e x－1－ln x≥1.综上，a的取值范围是[1，＋∞)．方法二∵f(x)≥1恒成立，∴a e x－1－ln x＋ln a≥1恒成立，即e ln a·e x－1＋ln a－1≥ln x，即e ln a＋x－1＋ln a＋x－1≥ln x＋x，又ln x＋x＝ln x＋e ln x，即e ln a＋x－1＋ln a＋x－1≥e ln x＋ln x恒成立，令φ(x)＝e x＋x，∴φ(x)在R上单调递增，∴φ(ln a＋x－1)≥φ(ln x)恒成立，∴ln a＋x－1≥ln x恒成立，即ln a≥ln x－x＋1恒成立，令g(x)＝ln x－x＋1(x>0)，∴g′(x)＝1x－1＝1－xx，当x∈(0,1)时，g′(x)>0，当x∈(1＋∞)时，g′(x)<0，∴g(x)在(0,1)上单调递增，在(1＋∞)上单调递减，∴g(x)max＝g(1)＝0，∴ln a≥0，即a≥1，综上，a的取值范围是[1＋∞)．2．(2021·汕头模拟)已知函数f(x)＝e x－12x2－ax－1，g(x)＝cos x＋12x2－1.(1)当a＝1时，求证：当x≥0时，f(x)≥0；(2)若f(x)＋g(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．(1)证明当a＝1时，f(x)＝e x－12x2－x－1，∴f′(x)＝e x－x－1，令u(x)＝e x－x－1，则u′(x)＝e x－1≥0在[0，＋∞)上恒成立，故f′(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴f′(x)≥f′(0)＝0，∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴f(x)≥f(0)＝0，从而原不等式得证．(2)解∵f(x)＋g(x)＝e x＋cos x－ax－2，令h(x)＝e x＋cos x－ax－2，则h′(x)＝e x－sin x－a，令t(x)＝e x－sin x－a，则t′(x)＝e x－cos x，∵e x≥1，－1≤cos x≤1，故t′(x)≥0，∴h′(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴h′(x)≥h′(0)＝1－a，①当1－a≥0，即a≤1时，h′(x)≥0，故h(x)在[0，＋∞)上单调递增，故h(x)≥h(0)＝0，满足题意；②当1－a<0，即a>1时，∵h′(0)<0，又x→＋∞时，h′(x)→＋∞，∴∃x0∈(0，＋∞)，使得h′(x0)＝0，∴当x∈(0，x0)时，h′(x)<0，∴h(x)在(0，x0)上单调递减，此时h(x)<h(0)＝0，不符合题意．综上，a≤1.。

高中数学恒成立问题的解题方法和思路【摘要】高中数学中的恒成立问题是学生在学习数学时经常会遇到的挑战，掌握恒成立问题的解题方法对于提高数学水平至关重要。

本文首先探讨了理解恒成立问题的重要性和挑战高中数学恒成立问题的意义，引发读者对该问题的关注。

接着介绍了学习恒成立问题的基础知识和常用解题方法，包括代数方法和几何方法。

特别对恒成立问题的特殊情况进行了思考和分析。

在总结了解题方法，并展望了高中数学学习的未来发展。

通过本文的阐述，读者可以更好地理解和掌握高中数学中的恒成立问题，提升自己的数学解题能力。

【关键词】高中数学，恒成立问题，解题方法，思路，理解，挑战，基础知识，常用方法，代数，几何，特殊情况，总结，展望1. 引言1.1 理解恒成立问题的重要性理解恒成立问题的重要性在高中数学学习中起着至关重要的作用。

恒成立问题是数学中的基础概念之一，对建立数学思维和逻辑推理能力具有重要意义。

通过理解和解决恒成立问题，可以深化对数学知识的理解，提升数学推导能力，培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。

理解恒成立问题还能帮助学生更好地应对高考和数学竞赛中的问题，提高解题速度和准确度。

掌握了恒成立问题的解题方法和思路，学生在考试中就能更加游刃有余，更加得心应手。

理解恒成立问题的重要性不仅在于提高数学学习的效果，还在于培养学生的数学素养和解决问题的能力。

应该重视恒成立问题的学习，努力提升解决问题的能力，为未来的学习和发展打下坚实的基础。

1.2 挑战高中数学恒成立问题的意义挑战高中数学恒成立问题的意义在于培养学生的逻辑思维能力和推理能力。

这些恒成立问题往往需要学生灵活运用所学的知识和方法，通过逻辑推理和数学证明找出问题的解决方案。

在挑战这些问题的过程中，学生需要不断思考、分析和总结，从而培养自己的解决问题的能力。

挑战高中数学恒成立问题也可以帮助学生扩展数学思维，拓宽数学应用的范围。

通过解决这些问题，学生可以更深入地理解数学知识的内涵和应用，培养出对数学的兴趣和热爱。

数学中的恒成立与有解问题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN数学中的恒成立与有解问题一、恒成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <常用方法1、分离变量法；2、数形结合法；3、利用函数的性质；4、变更主元等；1、由二次函数的性质求参数的取值范围例题1.若关于x 的不等式2220ax x ++>在R 上恒成立,求实数a 的取值范围. 解题思路：结合二次函数的图象求解解析：当0a =时,不等式220x +>解集不为R ,故0a =不满足题意;当0a ≠时,要使原不等式解集为R ,只需202420a a >⎧⎨-⨯<⎩,解得12a >综上,所求实数a 的取值范围为1(,)2+∞2、转化为二次函数的最值求参数的取值范围例题2：已知二次函数满足(0)1f =，而且(1)()2f x f x x +-=，请解决下列问题 （1） 求二次函数的解析式。

（2） 若()2f x x m >+在区间[1,1]-上恒成立 ，求m 的取值范围。

解题思路：先分离系数,再由二次函数最值确定取值范围.解析：(1)设2()(0)f x ax bx c a =++≠.由(0)1f =得1c =,故2()1f x ax bx =++.∵(1)()2f x f x x +-= ∴22(1)(1)1(1)2a x b x ax bx x ++++-++=即22ax a b x ++=,所以22,0a a b =+=,解得1,1a b ==- ∴2()1f x x x =-+ (2)由(1)知212x x x m -+>+在[1,1]-恒成立,即231m x x <-+在[1,1]-恒成立.令2235()31()24g x x x x =-+=--,则()g x 在[1,1]-上单调递减.所以()g x 在[1,1]-上的最小值为(1)1g =-.所以m 的取值范围是(,1)-∞-.规律总结：()m f x ≤对一切x R ∈恒成立,则min [()]m f x ≤;()m f x ≥对一切x R ∈恒成立,则max [()]m f x ≥；注意参数的端点值能否取到需检验。

数学中的恒成立与有解问题求二次函数的解析式。

若f(x) 2x m 在区间［1,1］上恒成立，求m 的取值范围解题思路：先分离系数，再由二次函数最值确定取值范围.2解析：⑴设f (x) axbx c(a 0) .由 f (0) 1得c21,故 f(x) ax bx 1••• f (x 1) f (x) 2xa(x1)2 b(x 1) 1 (ax 2 bx 1) 2x即2ax a b 2x ,所以2a 2,a b 0,解得a1,b1 二 f(x) x x 15,则g(x)在［1,1］上单调递减.所以g(x)在［1,1］上的最小值为g(1)4所以m 的取值范围是(，1).规律总结：m f(x)对一切x R 恒成立，则m ［f(x)］min ;m f (x)对一切x R 恒成立，则m ［f (x)］max ；注意参数的端点值能否取到需检验。

二、有解问题3、方程的有解问题例题3:题干与例题 2相同 同例题2.(2)若f(x) 2x m 在区间［1,1］上恒成立，求m 的取值范围、恒成立问题若不等式 f xA 在区间 D 上恒成立 ，则等价于在区间 D 上 f x minA 若不等式 f xB 在区间 D 上恒成立 ，则等价于在区间 D 上 f x max B 常用方法1、分离变量法；2、数形结合法；3、 利用函数的性质；4、变更主元等；1、由二次函数的性质求参数的取值范围 2例题1.若关于X 的不等式ax 2x 2 0在R 上恒成立，求实数a 的取值范围. 解题思路：结合二次函数的图象求解 解析：当a 0时,不等式2x 2 0解集不为0不满足题意；a 当a 0时,要使原不等式解集为 R ,只需…222a，解得a -0 21综上，所求实数a 的取值范围为(一，)2 2、转化为二次函数的最值求参数的取值范围 例题2 :已知二次函数满足f (0) 1，而且f (x1) f(x) 2x ，请解决下列问题2⑵由⑴知x x 12x m 在［1,1］恒成立，即m 2x 3x 1在［1,1］恒成立.令 g(x) x 2 3x 1 (x 3)22解题思路：先分离系数，再由二次函数值域确定取值范围.解析：⑴解法同例题22 2⑵由⑴知x x 1 2x m在［1,1］恒成立，即m x 3x 1在［1,1］恒成立.3 252令g(x) x2 3x 1 (x -)2-，则g(x)在［1,1］上单调递减.所以g(x)在［1,1］上的最大值为2 4g( 1) 5，最小值为g(1) 1，所以m的取值范围是1,5。

恒成立与有解问题练习参考答案1.若不等式2kx 2+kx −38<0对一切实数x 都成立，则实数k 的取值范围为A ．(−3,0)B ．(−3,0]C ．(−∞,0]D ．(−∞,−3)∪[0,+∞)【答案】B【解析】【分析】分k =0，k ≠0两种情况，当k =0，−38<0对x ∈R 恒成立，当k ≠0时，需开口向下，判别式小于0，不等式恒成立.【详解】当k =0时，原不等式可化为−38<0，对x ∈R 恒成立；当k ≠0时，原不等式恒成立，需{2k <0Δ=k 2−4×2k ×(−38)<0 ，解得k ∈(−3,0)，综上k ∈(−3,0].故选B.【点睛】本题主要考查了分类讨论思想，二次不等式恒成立的条件，属于中档题.2.若关于x 的不等式221)(1)201k x k x x x -+-+>++（的解集为R ，则k 的范围为____________． 【答案】19k ≤<【解析】 【分析】先判断分母22131024⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭x x x 则问题转化为21)(1)20（-+-+>k x k x 恒成立，再分1k =时，和1k ≠时两种情况分类讨论. 【详解】因为22131024⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭x x x ，所以221)(1)201k x k x x x -+-+>++（等价于21)(1)20（-+-+>k x k x 恒成立，当1k =时，20>成立，当1k ≠时，则()()2101810k k k ->⎧⎪⎨∆=---<⎪⎩，解得19k << ， 综上：19k ≤<.故答案为：19k ≤<.【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.3.若一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( ) A ．(－3,0]B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0) 【答案】D【解析】∵2kx 2＋kx －38<0为一元二次不等式，∴k ≠0，又2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立， 则必有200k <⎧⎨∆<⎩，解得－3<k <0. 4.若函数22log (28)y kx kx =-+的定义域为一切实数，则实数k 的取值范围为____________．【答案】[0,8)【解析】【分析】首先根据题意转化为228kx kx -+>0，对任意的实数x 恒成立，再分别讨论0k =和0k ≠的情况即可.【详解】因为函数22log (28)y kx kx =-+的定义域为一切R ，等价于228kx kx -+>0，对任意的实数x 恒成立.当0k =时，80>，符合条件.当0k ≠时，20084320k k k k >⎧⇒<<⎨∆=-<⎩.综上08k ≤<. 【点睛】本题主要考查对数函数定义域的，同时考查了二次不等式的恒成立问题，属于中档题.5.设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．【分析】本题可转化为二次函数在闭区间上的最值，也可以通过分类参数求解.要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法：令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． （1）当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67； （2）当m ＝0时，－6<0恒成立；（3）当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值范围是{m |m <67}． 6.已知不等式mx 2－2x －m ＋1<0，是否存在实数m 对所有的实数x ，使不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解析】不等式mx 2－2x －m ＋1<0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，1－2x <0，则x >12，不满足题意； 当m ≠0时，f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数，需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解， 即00m <⎧⎨∆<⎩，不等式组的解集为空集，即m 无解． 综上可知，不存在这样的m .7.已知二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+，若在区间[1,1]-内至少存在一个实数x 使()0f x >，则实数p 的取值范围是__________. 【答案】3(3,)2-【解析】因为二次函数()f x 在区间[1,1]-内至少存在一个实数x ，使()0f x >的否定是：“函数()f x 在区间[1,1]-内任意实数x ，使()0f x ≤”，所以(1)0(1)0≤-⎨≤⎧⎩f f ，即2242(2)21042(2)210----+≤+---+≤⎧⎨⎩p p p p p p ，整理得222390210+-≥-⎧⎩-⎨≥p p p p ，解得32p ≥或3p ≤-，所以二次函数在区间[1,1]-内至少存在一个实数x ，使()0f x >的实数p 的取值范围是3(3,)2-.【点晴】本题主要考查了一元二次方程的根的分布与系数的关系，其中解答中涉及到一元二次函数的图象与性质、不等式组的求解、命题的转化等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，其中根据二次函数的图象是开口方向朝上的抛物线，得到对于区间[1,1]-内的任意一个x 都有()0f x >时，得到不等式组是解答的关键，属于中档试题.8.已知函数若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是 ．【答案】(2- 【解析】由题意可得()0f x <对于[,1]x m m ∈+上恒成立，即22()210(1)230f m m f m m m ⎧=-<⎨+=+<⎩，解得0m <<． ,1)(2-+=mx x x f ]1,[+∈m m x 0)(<x f m对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．【答案】(－∞，1)∪(3，＋∞)【解析】由f(x)＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，则原问题转化为关于m 的一次函数问题．由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝(x －2)×(－1)＋x 2－4x ＋4>0，g (1)＝(x －2)＋x 2－4x ＋4>0，解得x<1或x>3. 故当x 的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零．9.不等式22253x x a a -+≥-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为_________.【答案】[]1,4-【解析】【分析】根据二次不等式的恒成立问题,先求解不等式左边的最小值,再求解二次不等式即可.【详解】因为()2225144x x x -+=-+≥,故243a a ≥-恒成立.即()()2340140a a a a --≤⇒+-≤,解得14a -≤≤.实数a 的取值范围为[]1,4-.故答案为：[]1,4-【点睛】本题主要考查了二次不等式恒成立的问题,需要求解二次函数的最值进行分析,属于基础题.10.己知f(x)=x 2+2x +1+a ，∀x ∈R ，f(f(x))≥0恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[√5−12,+∞]B ．[√5−32,+∞]C ．[−1,+∞)D ．[0,+∞)【答案】B【解析】设t =f(x)=(x +1)2+a ≥a ，∴f(t)≥0对任意t ≥a 恒成立，即(t +1)2+a ≥0对任意t ∈[a,+∞)都成立，当a ≤−1时f(t)min =f(−1)=a ，则a +a ≥0即a ≥0与讨论a ≤−1矛盾，当a >−1时，f(t)min =f(a)=a 2+3a +1，则a 2+3a +1≥0，解得a ≥√5−32，故选B ．11.已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是( )A ．－1<b <0B ．b >2C ．b <－1或b >2D ．不能确定【答案】C【解析】由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，则有a 2＝1，故a ＝2.，由f (x )的图象可知f (x )在[－1,1]上为增函数．∴x ∈[－1,1]时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，令b 2－b －2>0，解得b <－1或b >2.12.在R 上定义运算⊗：x ⊗y =x(1−y)，若不等式(x −a)⊗(x +a)<1对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 ( )A ．−1<a <1B ．−12<a <32C ．−32<a <12D ．0<a <2【答案】B【解析】根据题设新定义的运算，可得(x −a)⊗(x +a)=(x −a )(1−x −a )，所以(x −a)⊗(x +a)<1可转化为(x −a )(1−x −a )<1，即x 2−x +(1−a 2+a )>0恒成立，根据二次函数的性质可知Δ=1−4(1−a 2+a )<0，解得−12<a <32，故选B. 13.若对于任意的x ＞0，不等式mx ≤x 2+2x+4恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，4]B ．（﹣∞，6]C ．[﹣2，6]D ．[6，+∞）【答案】B【解析】当x ＞0时，mx ≤x 2+2x +4⇔m ≤x +4x +2对任意实数x ＞0恒成立，令f （x ）＝x +4x +2， 则m ≤f （x ）min ，∵f （x ）＝x +4x +2≥2√x ⋅4x +2＝6，∴m ≤6．故选B ．14.已知不等式xy ≤ax 2+2y 2对于x ∈[1,2],y ∈[2,3]恒成立,则a 的取值范围是A ．[1,+∞)B ．[−1,4)C ．[−1,+∞)D ．[−1,6]【答案】C【解析】不等式xy ≤ax 2+2y 2对于x ∈[1,2],y ∈[2,3]恒成立，等价于a ≥y x −2(y x)2，对于x ∈[1,2],y ∈[2,3]恒成立，令t =y x ，则1≤t ≤3，∴a ≥t −2t 2在[1,3]上恒成立，∵y =−2t 2+t =−2(t −14)2+18，∴t =1时，y max =−1,∴a ≥−1，a 的取值范围是[−1,+∞)，故选C.15.若关于x 的二次不等式01)1(2<-+-+a x a ax 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【分析】利用a 的符号及判别式求解.【解析】由题意知，01)1(2<-+-+a x a ax 恒成立， 所以⇔⎩⎨⎧<∆<00a ⎩⎨⎧<---<0)1(4)1(02a a a a ⇔⎩⎨⎧>--<012302a a a ⇔⎪⎩⎪⎨⎧-<><3110a a a 或⇔31-<a . ∴a 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-31,【评注】本题若无“二．次．不等式”的条件，还应考虑0=a 的情况，但对本题讲0=a 时式子不恒成立.只有定义在R 上的恒二次不等式才能实施判别式法；否则，易造成失解.16.若不等式kx +3k > |x 2−4x −5|对x ∈[−1,5]恒成立，则实数k 的取值范围为______.【答案】k >2【解析】若不等式kx +3k > |x 2−4x −5|对x ∈[−1,5]恒成立，则直线y =k (x +3)在y =|x 2−4x −5|， x ∈[−1,5]图象的上方，如图：联立：{y =k (x +3)y =5+4x −x2 ，可得x 2+(k −4)x +3k −5=0 令∆=(k −4)2−4(3k −5)=0，k =2或18（舍去）∴k >2，故答案为：k >217.设函数2()2f x mx mx =-- （1）若对于一切实数()0f x <恒成立，求m 的取值范围；（2）若对于[1,3],()2(1)x f x m x ∈>-+-恒成立，求m 的取值范围.【答案】（1）(8,0]-（2）2m >【解析】【分析】（1）由不等式220mx mx --<恒成立，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解； （2）要使对于[1,3],()2(1)x f x m x ∈>-+-恒成立，整理得只需221x m x x >-+恒成立，结合基本不等式求得最值，即可求解.【详解】（1）由题意，要使不等式220mx mx --<恒成立，①当0m =时，显然20-<成立，所以0m =时，不等式220mx mx --<恒成立；②当0m ≠时，只需2080m m m <⎧⎨∆=+<⎩，解得80m -<<，综上所述，实数m 的取值范围为(8,0]-.（2）要使对于[1,3],()2(1)x f x m x ∈>-+-恒成立，只需22mx mx m x -+>恒成立，只需()212m x x x -+>，又因为22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，只需221x m x x >-+， 令222211111x y x x x x x x===-+-++-，则只需max m y >即可，因为12x x +>=，当且仅当1x x =，即1x =时等式成立； 因为[1,3]x ∈，所以max 2y =，所以2m >.【点睛】本题主要考查了含参数的不等式的恒成立问题的求解，其中解答中把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及转化思想的应用，属于基础题. 18.已知a ∈R ，函数f （x ）=x 2﹣2ax +5.（1）若a >1，且函数f （x ）的定义域和值域均为[1，a ]，求实数a 的值；（2）若不等式x |f （x ）﹣x 2|≤1对x ∈[13，12]恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）2；（2）2578a ≤≤. 【解析】【分析】（1）根据f （x ）的图象开口向上，对称轴为x =a >1，知f （x ）在[1，a ]上单调递减，所以f （1）=a 求解即可.（2）将不等式x |f （x ）﹣x 2|≤1对x ∈[13，12]恒成立，去绝对值转化为a 2512x x -≥且a 2512x x+≤在 x ∈[13，12]恒成立，分别令g （x ）2251115252228-⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭x x x ，x ∈[13，12]，用二次函数求其最大值，令h （x ）2251115252228+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭x x x ，x ∈[13，12]，求其最小值即可. 【详解】（1）∵f （x ）的图象开口向上，对称轴为x =a >1，∴f （x ）在[1，a ]上单调递减，∴f （1）=a ，即6﹣2a ＝a ，解得a =2.. （2）不等式x |f （x ）﹣x 2|≤1对x ∈[13，12]恒成立， 即x |2ax ﹣5|≤1对x ∈[13，12]恒成立， 故a 2512x x -≥且a 2512x x +≤在x ∈[13，12]恒成立， 令g （x ）2251115252228-⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭x x x ，x ∈[13，12]，所以g （x ）max =g （25）258=，所以258a≥.令h（x）2251115252228+⎛⎫==+-⎪⎝⎭xx x，x∈[13，12]，所以h（x）min=h（12）=7，所以7a≤.综上：2578a≤≤.【点睛】本题主要考查了二闪函数的图象和性质，还考查了转化化归和运算求解的能力，属于中档题.。