学而思高中数学恒成立与有解问题

关于高考数学中的恒成立问题与存在性问题 Last revised by LE LE in 2021“恒成立问题”的解法常用方法：①函数性质法； ②主参换位法； ③分离参数法； ④数形结合法。

一、函数性质法1.一次函数型：给定一次函数()(0)f x ax b a =+≠,若()y f x =在[m,n]内恒有()0f x >，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于⎩⎨⎧>)(0)(n f m f ；同理，若在[m,n]内恒有()0f x <，则有⎩⎨⎧((n f m f 例1.p ,求使不等式2x x 的取值范围。

略解：不等式即为2(1)210x p x x -+-+>,设2()(1)21f p x p x x =-+-+,则()f p 在[2,2]-上恒大于0，故有：⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f ，即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0103422x x x 3111x x x x ><⎧⇒⎨><-⎩或或13x x ⇒<->或.2.二次函数：①.若二次函数2()(0)0f x ax bx c a =++≠>（或0<）在R 上恒成立，则有00a >⎧⎨∆<⎩（或0a <⎧⎨∆<⎩）； ②.若二次函数2()(0)0f x ax bx c a =++≠>（或0<）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解。

例2.已知函数()()()22241,f x mx m x g x mx =--+=，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ )A ．(0，2)B ．(0，8)C ．(2，8)D ．(－∞，0)选B 。

例3.设2()22f x x ax =-+,当[1,)x ∈-+∞时，都有()f x a ≥恒成立，求a 的取值范围。

MIMlE典例分析【例1】 关于x 的不等式|x 1 |x 2<a 2 a 1的解集为空集,那么实数 a 的取值范围是... . (1).......................【例2】假设不等式 x 1> a 2 1对一切非零实数 x【例3】 设函数f (x) x 2 1 ,对任意x —,, f —3m成立,那么实数m 的取值范围是 .恒成立与有解问题x 均成立,那么实数 a 的最大值是4m 2f (x)< f(x 1) 4 f (m)恒【例4】假设不等式ax2A. a 0 x 2 0的解集为R ,那么a的范围是(1 _ 1B. aC. a -8 8)D. a 0【例5】不等式—n 1 都成立,试求实数12n1log a a 11222对于一切大于1的自然数3[例6] 【例7】a的取值范围假设不等式(a 2)x2 2(a 2)x 4 0对x R恒成立,那么a的取值范围是f(x) ax2ax 1在R上恒满足f(x) 0,那么a的取值范围是()A a< 0 B. a 4 C. 4 a 0 D. 4 a< 0假设对于x R,不等式mx 2 2mx 3 0恒成立,求实数m 的取值范围.【例9】 不等式x 2 ax 1 > 0对一切x 0」成立,那么a 的最小值为() 2A. 0 B . 2 C .- D . 32( ) A. , 1 U 4,C. [1, 2]围为 ________【例8】 【例10】不等式|x 3||x 1|< a 2 3a 对任意实数x 恒成立,那么实数a 的取值范围为【例11】对任意a [1,1],函数f(x) x 2(a 4)x 4 2a 的值恒大于零,那么x 的取值范【例12】卜寺工'lg 2axlg(a x)1在x [1, 2]时恒成立,试求a的取值范围.【例13】1 , 1 3x a a2 9x 0恒成立,求实数a的取值范围【例14】x2 2ax 2 ,当x 1, 时,都有f x > a恒成立,求a 的取值2【例15】设对所有实数x,不等式x2log24a 12xlog2二± 10g2a 1 0恒成立,a a 1 4a求a的取值范围.a的取值范围. 【例16】不等式ax2 4x 1> 2x2 a对任意实数恒成立,求实数【例17】关于x的不等式x2 x t 0对x R恒成立,那么t的取值范围是【例18】如果|x 1| |x 9| a对任意实数x恒成立,那么a的取值范围是〔〕A. {a|a 8} B . {a |a 8} C . {a|a>8} D . {a|a< 8}x y x(1 y).假设不等式(x a) (x a) 1对任意实数x 成立,那么〔【例20】设不等式x 2 2ax a 2< 0的解集为M ,如果M【例21】如果关于x 的不等式2kx 2 kx 38是.0对一切实数x 都成立,那么k 的取值范围A. C.1 a 1 1 3 a22B. D.0 a 2 3 1 a22【例19］在R 上定义运算［1,4］,求实数a 的取值范围.【例22】函数f (x) x 1g(Jx2 1 x),假设不等式f(m 3x) f (3x 9x 2) 0对任意x R恒成立,求实数m的取值范围.【例23】集合D x i , x2 | x i 0 , x2 0 , x i x2 k 〔其中k为正常数〕.⑴设u xx2 ,求u的取值范围；⑵求证：当k>1时不等式 -立； .......... 1 1 ⑶求使不等式一x1 一x2x x2 围.2k 2x — x2 < ——对任忌x , x2D恒成“ 2 kD恒成立的k2的范【例24］假设关于x 的方程9x (4 a)3x 4 0有解,求实数a 的取值范围【例26］假设关于x 的不等式2x 2 8x 4 a0在1 x 4内有解,那么实数a 的取值范围是C. a 12D. a 12【例25】a R,假设关于x 的方程x 2是.1 ,、一 一.x a - |a 0有头根,那么 a 的取值范围()A. a 4B. a 4Xa -3的解集为x| 1WxW5 ,求实数a 的值； f (x) f (x 5) > m 对一切实数x 恒成立,求实数 m【例27】函数f (x) ⑴假设不等式f(x)W ⑵在⑴的条件下,假设的取值范围.。

数学中的恒成立与有解问题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN数学中的恒成立与有解问题一、恒成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <常用方法1、分离变量法；2、数形结合法；3、利用函数的性质；4、变更主元等；1、由二次函数的性质求参数的取值范围例题1.若关于x 的不等式2220ax x ++>在R 上恒成立,求实数a 的取值范围. 解题思路：结合二次函数的图象求解解析：当0a =时,不等式220x +>解集不为R ,故0a =不满足题意;当0a ≠时,要使原不等式解集为R ,只需202420a a >⎧⎨-⨯<⎩,解得12a >综上,所求实数a 的取值范围为1(,)2+∞2、转化为二次函数的最值求参数的取值范围例题2：已知二次函数满足(0)1f =，而且(1)()2f x f x x +-=，请解决下列问题 （1） 求二次函数的解析式。

（2） 若()2f x x m >+在区间[1,1]-上恒成立 ，求m 的取值范围。

解题思路：先分离系数,再由二次函数最值确定取值范围.解析：(1)设2()(0)f x ax bx c a =++≠.由(0)1f =得1c =,故2()1f x ax bx =++.∵(1)()2f x f x x +-= ∴22(1)(1)1(1)2a x b x ax bx x ++++-++=即22ax a b x ++=,所以22,0a a b =+=,解得1,1a b ==- ∴2()1f x x x =-+ (2)由(1)知212x x x m -+>+在[1,1]-恒成立,即231m x x <-+在[1,1]-恒成立.令2235()31()24g x x x x =-+=--,则()g x 在[1,1]-上单调递减.所以()g x 在[1,1]-上的最小值为(1)1g =-.所以m 的取值范围是(,1)-∞-.规律总结：()m f x ≤对一切x R ∈恒成立,则min [()]m f x ≤;()m f x ≥对一切x R ∈恒成立,则max [()]m f x ≥；注意参数的端点值能否取到需检验。

数学中的恒成立与有解问题求二次函数的解析式。

若f(x) 2x m 在区间［1,1］上恒成立，求m 的取值范围解题思路：先分离系数，再由二次函数最值确定取值范围.2解析：⑴设f (x) axbx c(a 0) .由 f (0) 1得c21,故 f(x) ax bx 1••• f (x 1) f (x) 2xa(x1)2 b(x 1) 1 (ax 2 bx 1) 2x即2ax a b 2x ,所以2a 2,a b 0,解得a1,b1 二 f(x) x x 15,则g(x)在［1,1］上单调递减.所以g(x)在［1,1］上的最小值为g(1)4所以m 的取值范围是(，1).规律总结：m f(x)对一切x R 恒成立，则m ［f(x)］min ;m f (x)对一切x R 恒成立，则m ［f (x)］max ；注意参数的端点值能否取到需检验。

二、有解问题3、方程的有解问题例题3:题干与例题 2相同 同例题2.(2)若f(x) 2x m 在区间［1,1］上恒成立，求m 的取值范围、恒成立问题若不等式 f xA 在区间 D 上恒成立 ，则等价于在区间 D 上 f x minA 若不等式 f xB 在区间 D 上恒成立 ，则等价于在区间 D 上 f x max B 常用方法1、分离变量法；2、数形结合法；3、 利用函数的性质；4、变更主元等；1、由二次函数的性质求参数的取值范围 2例题1.若关于X 的不等式ax 2x 2 0在R 上恒成立，求实数a 的取值范围. 解题思路：结合二次函数的图象求解 解析：当a 0时,不等式2x 2 0解集不为0不满足题意；a 当a 0时,要使原不等式解集为 R ,只需…222a，解得a -0 21综上，所求实数a 的取值范围为(一，)2 2、转化为二次函数的最值求参数的取值范围 例题2 :已知二次函数满足f (0) 1，而且f (x1) f(x) 2x ，请解决下列问题2⑵由⑴知x x 12x m 在［1,1］恒成立，即m 2x 3x 1在［1,1］恒成立.令 g(x) x 2 3x 1 (x 3)22解题思路：先分离系数，再由二次函数值域确定取值范围.解析：⑴解法同例题22 2⑵由⑴知x x 1 2x m在［1,1］恒成立，即m x 3x 1在［1,1］恒成立.3 252令g(x) x2 3x 1 (x -)2-，则g(x)在［1,1］上单调递减.所以g(x)在［1,1］上的最大值为2 4g( 1) 5，最小值为g(1) 1，所以m的取值范围是1,5。

有解、恒成立问题总结一、规律总结：()m f x ≤对一切x R ∈恒成立,则min [()]m f x ≤;()m f x ≥对一切x R ∈恒成立,则max [()]m f x ≥；注意参数的端点值能否取到需检验。

1、若对任意x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） (A) 1a <- (B) ||1a ≤ (C) ||1a < （D ）1a ≥2、设函数)0(333)(23>---=a a x x x x f 。

(1) 如果1=a ，点P 为曲线)(x f y =上一个动点，求以P 为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；(2) 若]3,[a a x ∈时，0)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围。

二、规律总结：若方程()m f x =在某个区间上有解只需求出()f x 在区间上的值域A 使m A ∈。

利用函数处理方程解的问题，方法如下：（1）方程a x f =)(在区间I 上有解{}I x x f y y a ∈=∈⇔),(⇔)(x f y =与a y =的图象在区间I 上有交点（2）方程a x f =)(在区间I 上有几个解⇔)(x f y =与a y =的图象在区间I 上有几个交点3、已知函数b x x f +=)(的图像与函数23)(2++=x x x g 的图象相切，记).()()(x g x f x F =（1）求实数b 的值及函数F （x ）的极值；（2）若关于x 的方程F （x ）= k 恰有三个不等的实数根，求实数k 的取值范围.4、（2007广东卷理20）已知a 是实数，函数(),3222a x ax x f --+=如果函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点，求实数a 的取值范围。

三、规律总结：()m f x ≤在区间(),a b 内有解,则[]max ()m f x ≤;()m f x ≥在区间(),a b 内有解,则[]min ()m f x ≥；注意参数的端点值能否取到需检验。

恒成立问题与有解问题的区别山东沂源二中 石玉台（256100）恒成立与有解问题一直是中学数学的重要内容。

它是函数、数列、不等式等内容交汇处的一个较为活跃的知识点，在近几年的高考试题中，越来越受到高考命题者的青睐，涉及恒成立与有解的问题，有时在同一套试题中甚至有几道这方面的题目。

本文就恒成立与有解问题做一比较。

1、恒成立问题1.1恒成立问题与一次函数联系给定一次函数y=f(x)=ax+b(a ≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于ⅰ）⎩⎨⎧>>0)(0m f a 或ⅱ）⎩⎨⎧><0)(0n f a 亦可合并定成⎩⎨⎧>>0)(0)(n f m f 同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有⎩⎨⎧<<0)(0)(n f m f 例1、对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x 2+px+1>2p+x 恒成立的x 的取值范围。

分析：在不等式中出现了两个字母：x 及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。

显然可将p 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题。

略解：不等式即(x-1)p+x 2-2x+1>0,设f(p)= (x-1)p+x 2-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0，故有：⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0103422x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或∴x<-1或x>3.1.2恒成立问题与二次函数联系若二次函数y=ax 2+bx+c=0(a ≠0)大于0恒成立，则有⎩⎨⎧<∆>00a ，若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。

恒成立与有解问题练习参考答案1.若不等式2kx 2+kx −38<0对一切实数x 都成立，则实数k 的取值范围为A ．(−3,0)B ．(−3,0]C ．(−∞,0]D ．(−∞,−3)∪[0,+∞)【答案】B【解析】【分析】分k =0，k ≠0两种情况，当k =0，−38<0对x ∈R 恒成立，当k ≠0时，需开口向下，判别式小于0，不等式恒成立.【详解】当k =0时，原不等式可化为−38<0，对x ∈R 恒成立；当k ≠0时，原不等式恒成立，需{2k <0Δ=k 2−4×2k ×(−38)<0 ，解得k ∈(−3,0)，综上k ∈(−3,0].故选B.【点睛】本题主要考查了分类讨论思想，二次不等式恒成立的条件，属于中档题.2.若关于x 的不等式221)(1)201k x k x x x -+-+>++（的解集为R ，则k 的范围为____________． 【答案】19k ≤<【解析】 【分析】先判断分母22131024⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭x x x 则问题转化为21)(1)20（-+-+>k x k x 恒成立，再分1k =时，和1k ≠时两种情况分类讨论. 【详解】因为22131024⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭x x x ，所以221)(1)201k x k x x x -+-+>++（等价于21)(1)20（-+-+>k x k x 恒成立，当1k =时，20>成立，当1k ≠时，则()()2101810k k k ->⎧⎪⎨∆=---<⎪⎩，解得19k << ， 综上：19k ≤<.故答案为：19k ≤<.【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.3.若一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( ) A ．(－3,0]B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0) 【答案】D【解析】∵2kx 2＋kx －38<0为一元二次不等式，∴k ≠0，又2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立， 则必有200k <⎧⎨∆<⎩，解得－3<k <0. 4.若函数22log (28)y kx kx =-+的定义域为一切实数，则实数k 的取值范围为____________．【答案】[0,8)【解析】【分析】首先根据题意转化为228kx kx -+>0，对任意的实数x 恒成立，再分别讨论0k =和0k ≠的情况即可.【详解】因为函数22log (28)y kx kx =-+的定义域为一切R ，等价于228kx kx -+>0，对任意的实数x 恒成立.当0k =时，80>，符合条件.当0k ≠时，20084320k k k k >⎧⇒<<⎨∆=-<⎩.综上08k ≤<. 【点睛】本题主要考查对数函数定义域的，同时考查了二次不等式的恒成立问题，属于中档题.5.设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．【分析】本题可转化为二次函数在闭区间上的最值，也可以通过分类参数求解.要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法：令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． （1）当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67； （2）当m ＝0时，－6<0恒成立；（3）当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值范围是{m |m <67}． 6.已知不等式mx 2－2x －m ＋1<0，是否存在实数m 对所有的实数x ，使不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解析】不等式mx 2－2x －m ＋1<0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，1－2x <0，则x >12，不满足题意； 当m ≠0时，f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数，需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解， 即00m <⎧⎨∆<⎩，不等式组的解集为空集，即m 无解． 综上可知，不存在这样的m .7.已知二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+，若在区间[1,1]-内至少存在一个实数x 使()0f x >，则实数p 的取值范围是__________. 【答案】3(3,)2-【解析】因为二次函数()f x 在区间[1,1]-内至少存在一个实数x ，使()0f x >的否定是：“函数()f x 在区间[1,1]-内任意实数x ，使()0f x ≤”，所以(1)0(1)0≤-⎨≤⎧⎩f f ，即2242(2)21042(2)210----+≤+---+≤⎧⎨⎩p p p p p p ，整理得222390210+-≥-⎧⎩-⎨≥p p p p ，解得32p ≥或3p ≤-，所以二次函数在区间[1,1]-内至少存在一个实数x ，使()0f x >的实数p 的取值范围是3(3,)2-.【点晴】本题主要考查了一元二次方程的根的分布与系数的关系，其中解答中涉及到一元二次函数的图象与性质、不等式组的求解、命题的转化等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，其中根据二次函数的图象是开口方向朝上的抛物线，得到对于区间[1,1]-内的任意一个x 都有()0f x >时，得到不等式组是解答的关键，属于中档试题.8.已知函数若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是 ．【答案】(2- 【解析】由题意可得()0f x <对于[,1]x m m ∈+上恒成立，即22()210(1)230f m m f m m m ⎧=-<⎨+=+<⎩，解得0m <<． ,1)(2-+=mx x x f ]1,[+∈m m x 0)(<x f m对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．【答案】(－∞，1)∪(3，＋∞)【解析】由f(x)＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，则原问题转化为关于m 的一次函数问题．由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝(x －2)×(－1)＋x 2－4x ＋4>0，g (1)＝(x －2)＋x 2－4x ＋4>0，解得x<1或x>3. 故当x 的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零．9.不等式22253x x a a -+≥-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为_________.【答案】[]1,4-【解析】【分析】根据二次不等式的恒成立问题,先求解不等式左边的最小值,再求解二次不等式即可.【详解】因为()2225144x x x -+=-+≥,故243a a ≥-恒成立.即()()2340140a a a a --≤⇒+-≤,解得14a -≤≤.实数a 的取值范围为[]1,4-.故答案为：[]1,4-【点睛】本题主要考查了二次不等式恒成立的问题,需要求解二次函数的最值进行分析,属于基础题.10.己知f(x)=x 2+2x +1+a ，∀x ∈R ，f(f(x))≥0恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[√5−12,+∞]B ．[√5−32,+∞]C ．[−1,+∞)D ．[0,+∞)【答案】B【解析】设t =f(x)=(x +1)2+a ≥a ，∴f(t)≥0对任意t ≥a 恒成立，即(t +1)2+a ≥0对任意t ∈[a,+∞)都成立，当a ≤−1时f(t)min =f(−1)=a ，则a +a ≥0即a ≥0与讨论a ≤−1矛盾，当a >−1时，f(t)min =f(a)=a 2+3a +1，则a 2+3a +1≥0，解得a ≥√5−32，故选B ．11.已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是( )A ．－1<b <0B ．b >2C ．b <－1或b >2D ．不能确定【答案】C【解析】由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，则有a 2＝1，故a ＝2.，由f (x )的图象可知f (x )在[－1,1]上为增函数．∴x ∈[－1,1]时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，令b 2－b －2>0，解得b <－1或b >2.12.在R 上定义运算⊗：x ⊗y =x(1−y)，若不等式(x −a)⊗(x +a)<1对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 ( )A ．−1<a <1B ．−12<a <32C ．−32<a <12D ．0<a <2【答案】B【解析】根据题设新定义的运算，可得(x −a)⊗(x +a)=(x −a )(1−x −a )，所以(x −a)⊗(x +a)<1可转化为(x −a )(1−x −a )<1，即x 2−x +(1−a 2+a )>0恒成立，根据二次函数的性质可知Δ=1−4(1−a 2+a )<0，解得−12<a <32，故选B. 13.若对于任意的x ＞0，不等式mx ≤x 2+2x+4恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，4]B ．（﹣∞，6]C ．[﹣2，6]D ．[6，+∞）【答案】B【解析】当x ＞0时，mx ≤x 2+2x +4⇔m ≤x +4x +2对任意实数x ＞0恒成立，令f （x ）＝x +4x +2， 则m ≤f （x ）min ，∵f （x ）＝x +4x +2≥2√x ⋅4x +2＝6，∴m ≤6．故选B ．14.已知不等式xy ≤ax 2+2y 2对于x ∈[1,2],y ∈[2,3]恒成立,则a 的取值范围是A ．[1,+∞)B ．[−1,4)C ．[−1,+∞)D ．[−1,6]【答案】C【解析】不等式xy ≤ax 2+2y 2对于x ∈[1,2],y ∈[2,3]恒成立，等价于a ≥y x −2(y x)2，对于x ∈[1,2],y ∈[2,3]恒成立，令t =y x ，则1≤t ≤3，∴a ≥t −2t 2在[1,3]上恒成立，∵y =−2t 2+t =−2(t −14)2+18，∴t =1时，y max =−1,∴a ≥−1，a 的取值范围是[−1,+∞)，故选C.15.若关于x 的二次不等式01)1(2<-+-+a x a ax 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【分析】利用a 的符号及判别式求解.【解析】由题意知，01)1(2<-+-+a x a ax 恒成立， 所以⇔⎩⎨⎧<∆<00a ⎩⎨⎧<---<0)1(4)1(02a a a a ⇔⎩⎨⎧>--<012302a a a ⇔⎪⎩⎪⎨⎧-<><3110a a a 或⇔31-<a . ∴a 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-31,【评注】本题若无“二．次．不等式”的条件，还应考虑0=a 的情况，但对本题讲0=a 时式子不恒成立.只有定义在R 上的恒二次不等式才能实施判别式法；否则，易造成失解.16.若不等式kx +3k > |x 2−4x −5|对x ∈[−1,5]恒成立，则实数k 的取值范围为______.【答案】k >2【解析】若不等式kx +3k > |x 2−4x −5|对x ∈[−1,5]恒成立，则直线y =k (x +3)在y =|x 2−4x −5|， x ∈[−1,5]图象的上方，如图：联立：{y =k (x +3)y =5+4x −x2 ，可得x 2+(k −4)x +3k −5=0 令∆=(k −4)2−4(3k −5)=0，k =2或18（舍去）∴k >2，故答案为：k >217.设函数2()2f x mx mx =-- （1）若对于一切实数()0f x <恒成立，求m 的取值范围；（2）若对于[1,3],()2(1)x f x m x ∈>-+-恒成立，求m 的取值范围.【答案】（1）(8,0]-（2）2m >【解析】【分析】（1）由不等式220mx mx --<恒成立，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解； （2）要使对于[1,3],()2(1)x f x m x ∈>-+-恒成立，整理得只需221x m x x >-+恒成立，结合基本不等式求得最值，即可求解.【详解】（1）由题意，要使不等式220mx mx --<恒成立，①当0m =时，显然20-<成立，所以0m =时，不等式220mx mx --<恒成立；②当0m ≠时，只需2080m m m <⎧⎨∆=+<⎩，解得80m -<<，综上所述，实数m 的取值范围为(8,0]-.（2）要使对于[1,3],()2(1)x f x m x ∈>-+-恒成立，只需22mx mx m x -+>恒成立，只需()212m x x x -+>，又因为22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，只需221x m x x >-+， 令222211111x y x x x x x x===-+-++-，则只需max m y >即可，因为12x x +>=，当且仅当1x x =，即1x =时等式成立； 因为[1,3]x ∈，所以max 2y =，所以2m >.【点睛】本题主要考查了含参数的不等式的恒成立问题的求解，其中解答中把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及转化思想的应用，属于基础题. 18.已知a ∈R ，函数f （x ）=x 2﹣2ax +5.（1）若a >1，且函数f （x ）的定义域和值域均为[1，a ]，求实数a 的值；（2）若不等式x |f （x ）﹣x 2|≤1对x ∈[13，12]恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）2；（2）2578a ≤≤. 【解析】【分析】（1）根据f （x ）的图象开口向上，对称轴为x =a >1，知f （x ）在[1，a ]上单调递减，所以f （1）=a 求解即可.（2）将不等式x |f （x ）﹣x 2|≤1对x ∈[13，12]恒成立，去绝对值转化为a 2512x x -≥且a 2512x x+≤在 x ∈[13，12]恒成立，分别令g （x ）2251115252228-⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭x x x ，x ∈[13，12]，用二次函数求其最大值，令h （x ）2251115252228+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭x x x ，x ∈[13，12]，求其最小值即可. 【详解】（1）∵f （x ）的图象开口向上，对称轴为x =a >1，∴f （x ）在[1，a ]上单调递减，∴f （1）=a ，即6﹣2a ＝a ，解得a =2.. （2）不等式x |f （x ）﹣x 2|≤1对x ∈[13，12]恒成立， 即x |2ax ﹣5|≤1对x ∈[13，12]恒成立， 故a 2512x x -≥且a 2512x x +≤在x ∈[13，12]恒成立， 令g （x ）2251115252228-⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭x x x ，x ∈[13，12]，所以g （x ）max =g （25）258=，所以258a≥.令h（x）2251115252228+⎛⎫==+-⎪⎝⎭xx x，x∈[13，12]，所以h（x）min=h（12）=7，所以7a≤.综上：2578a≤≤.【点睛】本题主要考查了二闪函数的图象和性质，还考查了转化化归和运算求解的能力，属于中档题.。

【例1】 关于x 的不等式2121x x a a -+-++≤的解集为空集,则实数a 的取值范围是_ ．【例2】 若不等式121x a x+-+≥对一切非零实数x 均成立,则实数a 的最大值是_________．【例3】 设函数2()1f x x =-，对任意23x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，，24()(1)4()x fm f x f x f m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭≤恒成立，则实数m 的取值范围是 ．典例分析恒成立与有解问题【例4】 若不等式220ax x ++>的解集为R ，则a 的范围是( ）A ．0a >B ．18a >- C ．18a > D ．0a <【例5】 已知不等式()11112log 1122123a a n n n +++>-+++对于一切大于1的自然数n 都成立，试求实数a 的取值范围。

【例6】 若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是______．【例7】 2()1f x ax ax =+-在R 上恒满足()0f x <，则a 的取值范围是（ ）A ．0a ≤B ．4a <-C ．40a -<<D ．40a -<≤【例8】 若对于x ∈R ，不等式2230mx mx ++>恒成立，求实数m 的取值范围．【例9】 不等式210x ax ++≥对一切102x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，成立，则a 的最小值为（ ）A ．0B ．2-C ．52- D ．3-【例10】 不等式2|3||1|3x x a a +---≤对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(][)14-∞-+∞，，B ．(][)25-∞-+∞，， C ．[12]，D ．(][)12-∞∞，，【例11】 对任意[11]a ∈-，,函数2()(4)42f x x a x a =+-+-的值恒大于零，则x 的取值范围为 ．【例12】 若不等式lg 21lg()axa x <+在[1,2]x ∈时恒成立，试求a 的取值范围．【例13】 若(]1x ∈-∞-，，()21390x x a a ++->恒成立，求实数a 的取值范围。

数学中的恒成立与有解问题一、恒成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 常用方法1、分离变量法；2、数形结合法；3、利用函数的性质；4、变更主元等；1、由二次函数的性质求参数的取值范围例题1.若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围. 解题思路：结合二次函数的图象求解解析：当时,不等式解集不为,故不满足题意; 当时,要使原不等式解集为,只需,解得 综上,所求实数的取值范围为2、转化为二次函数的最值求参数的取值范围例题2：已知二次函数满足，而且，请解决下列问题 （1） 求二次函数的解析式。

（2） 若()2f x x m >+在区间上恒成立 ，求的取值范围。

解题思路：先分离系数,再由二次函数最值确定取值范围. 解析：(1)设.由得,故. ∵ ∴即,所以,解得 ∴(2)由(1)知在恒成立,即在恒成立.令,则在上单调递减.所以在上的最小值为.所以的取值范围是.规律总结：对一切恒成立,则;对一切恒成立,则；注意参数的端点值能否取到需检验。

二、有解问题3、方程的有解问题例题3：题干与例题2相同 （1） 同例题2.（2）若()2f x x m =+在区间上恒成立 ，求的取值范围。

解题思路：先分离系数,再由二次函数值域确定取值范围. 解析：(1)解法同例题2(2)由(1)知212x x x m -+=+在恒成立,即231m x x =-+在恒成立.令,则在上单调递减.所以在上的最大值为(1)5g -=，最小值为(1)1g =-，所以的取值范围是[]1,5-。

规律总结：若方程()m f x =在某个区间上有解只需求出()f x 在区间上的值域A 使m A ∈。

4、不等式的有解问题 例题4题干与例题2相同 （1） 同例题2.（2） 若()2f x x m >+在区间上有解 ，求的取值范围。

函数恒成立存在性问题知识点梳理1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立2、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()min a f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨≤⎪⎩在上恒成立在上恒成立另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max .4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；9、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方；例题讲解：题型一、常见方法1、已知函数12)(2+-=ax x x f ，xax g =)(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；2、设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,41[∈x 恒成立，求实数b 的取值范围．3、已知两函数2)(x x f =，m x g x-⎪⎭⎫ ⎝⎛=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，则实数m 的取值范围为题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)1、对于满足2p ≤的所有实数p,求使不等式212x px p x ++>+恒成立的x 的取值范围。

高中数学恒成立或有解问题的解决策略含有参数的方程(或不等式)中的“任意性”与“存在性”问题历来是高考考查的一个热②.若二次函数 f (x) ax2 bx c(a 0) 0（或 0 ）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解.温馨提示： 一、单变量问题 复习是一个很重要学习环节，希望同学们认真的去复习，（把一学）主过参的换知位识法 复习一遍，从而达到温故而知新的效果。

争取在期末考试的时候取得好成绩。

例你1．所对获于得满足每0一 p 4 的一切实数，不等式 x 2 px 4x p 3 恒成立，试求 x 的 分，都是你对知识认知的变现，你所失去的每一分，都是因为对知识的认知有取缺值陷范。

围．点，也是高考复习中的一个难点．破解的关键在于将它们等价转化为熟悉的基本初等函 数的最值或值域问题，而正确区分“任意性”与“存在性”问题也是解题的关键.核心思想:1.恒成立问题的转化:a f x 恒成立 a f x ; maxa f x恒成立 a f x min2.能成立问题的转化:a f x 能成立 a f xmin ;a f x能成立 a f x max解：原不等式等价于 x2＋ax－4x－a＋3>0，∴a(x－1)＋x2－4x＋3>0，令 f(a)＝a(x－1)＋ x2－4x＋3，则函数 f(a)＝a(x－1)＋x2－4x＋3 表示直线，∴要使 f(a)＝a(x－1)＋x2－4x ＋3>0，则有 f(0)>0，f(4)>0，即 x2－4x＋3>0 且 x2－1>0，解得 x>3 或 x<－1，即不等式的 解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)． （二)构造含参函数，分类讨论例23.恰成立问题的转化:若 x D, f (x) A 在 D 上恰成立 f (x) 在 D 上的最小值f min (x) A ; 若 x D, f (x) B 在 D 上恰成立 f (x) 在 D 上的最大值fmax(x) B .4. 设函数 f x , gx ，对任意的 x1 a , b，存在 x2 c , d ，使得 f x1 gx2 ，则 f min x g min x;设函数 f x , gx ，对任意的 x1 a , b，存在 x2 c , d ，使得 f x1 gx2 ，则 fmaxx gm ax x;设函数 f x , gx ，存在 x1 a , b，存在 x2 c , d ，使得 f x1 gx2 ，则 fmaxx gmin x;设函数 f x , gx ，存在 x1 a , b，存在 x2 c , d ，使得 f x1 gx2 ，则 fmin x gmaxx;5.若不等式 f x g x在区间 D 上恒成立，则等价于在区间 D 上函数 y f x 和图象在函数 y g x 图象上方; 若不等式 f x g x在区间 D 上恒成立，则等价于在区间 D 上函数 y f x 和图象在函数 y g x 图象下方.6.常见二次函数①.若二次函数f(x)ax2bxc(a0)0（或0）在R上恒成立，则有a 0 0（或a 0 0）;精选文档（三）分离参数法形如“ a f (x) ”或“ a f (x) ”型不等式，是恒成立问题中最基本的类型，它的理论基础是“ a f (x) 在 x D 上恒成立，则 a [ f (x)]max ( x D ); a f (x) 在x D 上恒成立，则 a [ f (x)]min ( x D )”．许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型．但部分题型利用变量分离法处理时，会出现“00”型或“ ”型的代数式，而这是大学数学中的不定式问题，解决这类问题的有效方法就是洛必达法则．[洛必达法则]法则 1 若函数 f(x)和 g(x)满足下列条件：(1)li m f(x)＝0 及 li m g(x)＝0；x→ax→a(2)在点 a 的去心邻域内，f(x)与 g(x)可导且 g′(x)≠0；(3)li mx→agf′′xx＝l，那么li mx→agfxx＝lixm→agf′′xx＝l.法则 2 若函数 f(x)和 g(x)满足下列条件：(1)li m f(x)＝∞及 li m g(x)＝∞；x→ax→a(2)在点 a 的去心邻域内，f(x)与 g(x)可导且 g′(x)≠0；(3)li mx→agf′′xx＝l，那么li mx→agfxx＝lixm→agf′′xx＝l.1.完全分离，利用洛必达法则进行处理例 1 已知函数 f(x)＝axl＋n 1x＋bx，曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 x＋2y－3＝0.(1)求 a，b 的值；(2)如果当 x>0，且 x≠1 时，f(x)>xln－x1＋xk，求 k 的取值范围．解：(1)f ′(x)＝ax＋xx＋1－1l2n x－xb2.由于直线 x＋2y－3＝0 的斜率为－12，且过点(1,1)，f1＝1，b＝1，a＝1，故 f′1＝－12，即a2－b＝－21，解得 b＝1.(2)由题设可得，当 x>0，x≠1 时，k<21x－lnxx2 ＋1 恒成立． 令 g(x)＝21x－lnxx2 ＋1(x>0，x≠1)，则 g′(x)＝2·x2＋11l－n xx－22x2＋1，再令 h(x)＝(x2＋1)ln x－x2＋1(x>0，x≠1)，则 h′(x)＝2xln x＋x1－x，又 h″(x)＝2ln x＋1－x12，易知 h″(x)＝2ln x＋1－x12在(0，＋∞)上为增函数，且 h″(1)＝0，故当 x∈(0,1)时，h″(x)<0，当 x∈(1，＋∞)时，h″(x)>0，∴h′(x)在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，故 h′(x)>h′(1)＝0，∴h(x)在(0，＋∞)上为增函数．又 h(1)＝0，∴当 x∈(0,1)时，h(x)<0，当 x∈(1，＋∞)时，h(x)>0，∴当 x∈(0,1)时，g′(x)<0，当 x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，∴g(x)在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．由洛必达法则知，( ) li m g(x)＝2li mx→1x→11x－ln xx2＋1＝2lixm→11＋ln －2xx＋1＝2×－21＋1＝0，∴k≤0，故 k 的取值范围为(－∞，0]．2.完全分离，最值点不可求，虚设零点（隐零点问题）（四）数形结合（部分分离，化为切线） 在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”，借助数形结合。

高一数学寒假讲义-恒成立与有解问题一．恒成立①αα>⇔∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切 ② αα<⇔∈<max )()(x f I x x f 恒成立对一切 Tips ：二次函数型恒成立：若c bx a x f ++=2)(①0)(>x f 恒成立⇒0>a 且0<∆ ② 0)(<x f 恒成立⇒0<a 且0<∆二．等式有解方程()()f x g a =有解⇔()g a 的范围=()f x 的值域三．不等式有解（1）若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立，则等价于在区间D 上()max f x A >；（2）若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立，则等价于在区间D 上的()min f x B <。

例题1：已知函数1)1()1(22----=x a x a y 在R x ∈上恒负，求实数a 的取值范围.举一反三1：若函数)10()(<<-=-a a a x f x x ，并有0)4()(2<-++x f tx x f 对任意R x ∈恒成立求t 的取值范围.举一反三2：已知对任意x R ∈，总有222321x tx x x +--<<-+, 求实数的取值范围。

例题2：函数)(4)2(2)2()(2R a x a x a x f ∈--+-=（1）是否存在实数a ，使得]3,1[∈x 时，0)(<x f 恒成立；（2）是否存在实数a ，使得)3,1(∈x 时，0)(<x f 恒成立。

举一反三：已知函数x x x f 212)(-=， 若0)()2(2≥+t mf t f t 对于[]2,1∈t 恒成立，求实数m 的取值范围.例题3：若不等式)1(122->-m x m 对一切]2,2[-∈x 都成立，求实数m 的取值范围.举一反三：若不等式)(1x a a x ->+对⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,41x 恒成立，求实数a 的取值范围.例题4：若对任意x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________.举一反三：若不等式23log 0a x x -<在10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内恒成立，求实数a 的取值范围例题5：关于x 的方程||2(22)20x a ----=有实数根，则实数a 的取值范围是 .举一反三：若关于x 的方程2(1lg )10x x am a +++=（0>a ，且1≠a ）有解，则m 的取值范围是 .例题6：关于x 的方程0324=++⋅-k k x x 只有一个实数解，求实数k 的取值范围.举一反三：上题若改成两解，求实数k 的取值范围.例题7：存在实数x ，使得不等式a a x x 3132-≤-++有解，则实数a 的取值范围为______举一反三：若关于x 的不等式83≤-+-x t x 的解集非空，则t 的取值范围为_____________例题8：已知函数()f x 的值域[0,4]([2,2])x ∈-，函数()1,[2,2]g x ax x =-∈-，[]2,21-∈∀x ， []2,20-∈∃x 使得01()()g x f x =成立，则实数a 的取值范围是 .1. 对任意[2,)x ∈+∞，都有不等式2(1)40x t x +-+>恒成立，求t 的取值范围；2. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++=3421lg )(x x a x f 其中a R ∈，如果(.1)x ∈-∞时，()f x 恒有意义，求a 的取值范围。

恒成立与有解问题一、要点归纳1、恒成立问题的基本类型： 类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a . 类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立2()0b a f αα⎧-<⎪⇔⎨⎪>⎩或20b aαβ⎧≤-≤⎪⎨⎪∆<⎩ 或2()0ba f ββ⎧->⎪⎨⎪>⎩ ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f （2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立2()0baf αα⎧-<⎪⇔⎨⎪>⎩ 或 20b a αβ⎧≤-≤⎪⎨⎪∆<⎩ 或2()0ba f ββ⎧->⎪⎨⎪<⎩类型3：()f x α>对一切x I ∈恒成立min();f x α⇔>()f x α<对一切x I ∈恒成立max ().f x α⇔>类型4：()()f x g x >对一切x I ∈恒成立()f x ⇔的图象在()g x 的图象的上方或m i n m a x ()()()f x g x x I >∈ 【对于函数恒成立问题可以借助于函数图象去解决，二次函数图象及其他函数的利用是解这类题的关键.】2、有解问题的几种常见类型：(1)能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()min a f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立. (2)设函数()x f ，若存在[]d c x ,∈，使得()m x f ≤，则()x f m max ≥.(3)若关于某个不等式，其解集是非空集合，求参数的取值范围，也可以转化为有解问题. (4)设函数()x f 在[]b a x ,∈有零点，求参数的取值范围，可以转化为有解问题.【对于有解问题的理解关键是转化，如何从已知的条件转化为参数与最值的关系.】二、典型例题 例1、已知)1()11()(2>+-=x x x x f （1）求)(1x f-；（2）判断)(1x f -的单调性；（3）若)()()1(1x a a x f x ->--对⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,41x 恒成立，求的范围.【答案】3(1,)2-【解析】（111x x -=+,则1,x x =-=所以得1()(0,1)fx x -=∈（2）任给12,(0,1)x x ∈111212.()()0x x f x f x --<-=-=<且所以1()f x -在(0,1)上单调增.（3）(1(a a >-，则21((11a a a a >+>-得at =，则12t ⎡∈⎢⎣⎦，设2()(1)1g t a t a =+-+.()g t在12⎡⎢⎣⎦恒大于0则必有2211()(1)1022)10g a a g a a ⎧=+-+>⎪⎪⎨⎪=+-+>⎪⎩解得31211a a ⎧-<<⎪⎪⎨⎪-<<+⎪⎩所以3(1,)2a ∈-.【技巧点拨】① 本题综合了求反函数，函数的单调性和不等式的恒成立问题，虽有一定综合性，但难度一般；② 求反函数时不要漏写定义域；③ 判断函数的单调性可以利用定义证明，也可以采用常见函数的单调性证明； ④（3）中不等式的恒成立问题经过换元之后，转化为一次函数类型的恒成立问题即可.例2、已知函数xxx f 212)(-=（1）若2)(=x f ，求x 的值；（2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于[]2,1∈t 恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】[)5,-+∞【解析】（1）0x ≤时，()0f x =；当0x >时，1()22xxf x =-， 由条件可知1222xx -=，即2(2)2210x x -⋅-=则21x=0x >，所以，2log (1x =。

第8讲 恒成立问题与有解问题 母题 (2014·全国Ⅰ)设函数f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为0.(1)求b ；(2)若存在x 0≥1，使得f (x 0)<a a －1，求a 的取值范围． (2)思路分析❶存在x 0≥1，使得f (x 0)<a a －1↓❷f (x )min <a a －1↓❸求f (x )min解 (1)f ′(x )＝a x＋(1－a )x －b . 由题设知f ′(1)＝0，解得b ＝1.(2)f (x )的定义域为(0，＋∞)，由(1)知，f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－x ， f ′(x )＝a x ＋(1－a )x －1＝1－a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 1－a (x －1)． ①若a ≤12，则a 1－a≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(1，＋∞)上单调递增． 所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)<a a －1的充要条件为 f (1)<a a －1，即1－a 2－1<a a －1， 解得－2－1<a <2－1.②若12<a <1，则a 1－a >1，故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 时，f ′(x )<0， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞上单调递增． 所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)<a a －1的充要条件为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a <a a －1. 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ＝a ln a 1－a ＋a 22(1－a )＋a a －1>a a －1， 所以不符合题意．③若a >1，则f (1)＝1－a 2－1＝－a －12<a a －1. 综上，a 的取值范围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞)．[子题1] 已知函数f (x )＝ln x －ax ，g (x )＝x 2，a ∈R .(1)求函数f (x )的极值点；(2)若f (x )≤g (x )恒成立，求a 的取值范围．解 (1)f (x )＝ln x －ax 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a . 当a ≤0时，f ′(x )＝1x－a >0， 所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无极值点；当a >0时，由f ′(x )＝1x －a >0，得0<x <1a， 由f ′(x )＝1x －a <0，得x >1a， 所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减，所以函数f (x )有极大值点1a，无极小值点．(2)由条件可得ln x －x 2－ax ≤0(x >0)恒成立，则当x >0时，a ≥ln x x－x 恒成立， 令h (x )＝ln x x －x ，x >0，则h ′(x )＝1－x 2－ln x x 2，令k (x )＝1－x 2－ln x ，x >0，则当x >0时，k ′(x )＝－2x －1x<0， 所以k (x )在(0，＋∞)上单调递减，又k (1)＝0，所以在(0,1)上，h ′(x )>0，在(1，＋∞)上，h ′(x )<0，所以h (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．所以h (x )max ＝h (1)＝－1，所以a ≥－1.即a 的取值范围为a ≥－1.[子题2] (2020·北京市西城区师范大学附属实验中学模拟)已知x ＝1e 为函数f (x )＝x a ln x 的极值点．(1)求a 的值；(2)设函数g (x )＝kx ex ，若对∀x 1∈(0，＋∞)，∃x 2∈R ，使得f (x 1)－g (x 2)≥0，求k 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝ax a －1ln x ＋x a ·1x＝x a －1(a ln x ＋1)， f ′⎝⎛⎭⎫1e ＝⎝⎛⎭⎫1e a －1⎝⎛⎭⎫a ln 1e ＋1＝0，解得a ＝2， 当a ＝2时，f ′(x )＝x (2ln x ＋1)，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增， 所以x ＝1e为函数f (x )＝x a ln x 的极小值点， 因此a ＝2.(2)由(1)知f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－12e ，函数g (x )的导函数g ′(x )＝k (1－x )e －x . ①当k >0时，当x <1时，g ′(x )>0，g (x )在(－∞，1)上单调递增；当x >1时，g ′(x )<0，g (x )在(1，＋∞)上单调递减，对∀x 1∈(0，＋∞)，∃x 2＝－1k ，使得g (x 2)＝g ⎝⎛⎭⎫－1k ＝1e k −<－1<－12e≤f (x 1)，符合题意． ②当k ＝0时，g (x )＝0，取x 1＝1e ，对∀x 2∈R 有f (x 1)－g (x 2)<0，不符合题意． ③当k <0时，当x <1时，g ′(x )<0，g (x )在(－∞，1)上单调递减；当x >1时，g ′(x )>0，g (x )在(1，＋∞)上单调递增，g (x )min ＝g (1)＝k e ， 若对∀x 1∈(0，＋∞)，∃x 2∈R ，使得f (x 1)－g (x 2)≥0，只需g (x )min ≤f (x )min ，即k e ≤－12e，解得k ≤－12. 综上所述，k ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪(0，＋∞)． 规律方法 (1)由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略 ①求最值法，将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题．②分离参数法，将参数分离出来，进而转化为a >f (x )max 或a <f (x )min 的形式，通过导数的应用求出f (x )的最值，即得参数的范围．(2)不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别．跟踪演练1．(2020·全国Ⅱ改编)已知函数f (x )＝2ln x ＋1.若f (x )≤2x ＋c ，求c 的取值范围．解 设h (x )＝f (x )－2x －c ，则h (x )＝2ln x －2x ＋1－c ，其定义域为(0，＋∞)，h ′(x )＝2x－2. 当0<x <1时，h ′(x )>0；当x >1时，h ′(x )<0.所以h (x )在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．从而当x ＝1时，h (x )取得最大值，最大值为h (1)＝－1－c .故当－1－c ≤0，即c ≥－1时，f (x )≤2x ＋c .所以c 的取值范围为[－1，＋∞)．2．已知函数f (x )＝(1－x )e x －1.(1)求f (x )的极值；(2)设g (x )＝(x －t )2＋⎝⎛⎭⎫ln x －m t 2，存在x 1∈(－∞，＋∞)，x 2∈(0，＋∞)，使方程f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数m 的最小值．解 (1)f ′(x )＝－x e x ，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )<0，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0，∴当x ＝0时，f (x )有极大值f (0)＝e 0－1＝0，f (x )没有极小值．(2)由(1)知f (x )≤0，又因为g (x )＝(x －t )2＋⎝⎛⎭⎫ln x －m t 2≥0， 所以要使方程f (x 1)＝g (x 2)有解，必然存在x 2∈(0，＋∞)，使g (x 2)＝0，所以x ＝t ，ln x ＝m t， 等价于方程ln x ＝m x有解， 即方程m ＝x ln x 在(0，＋∞)上有解，记h (x )＝x ln x ，x ∈(0，＋∞)，则h ′(x )＝ln x ＋1，令h ′(x )＝0，得x ＝1e， 所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，h ′(x )>0，h (x )单调递增， 所以当x ＝1e 时，h (x )min ＝－1e， 所以实数m 的最小值为－1e. 专题强化练1．(2020·新高考全国Ⅰ改编)已知函数f (x )＝a e x －1－ln x ＋ln a ．若f (x )≥1，求a 的取值范围．解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x －1－1x. 当0<a <1时，f (1)＝a ＋ln a <1.当a ＝1时，f (x )＝e x －1－ln x ，f ′(x )＝e x －1－1x. 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0.所以当x ＝1时，f (x )取得最小值，最小值为f (1)＝1，从而f (x )≥1.当a >1时，f (x )＝a e x －1－ln x ＋ln a ≥e x －1－ln x ≥1.综上，a 的取值范围是[1，＋∞)．2．设函数f (x )＝ax 2－x ln x －(2a －1)x ＋a －1(a ∈R )．若对任意的x ∈[1，＋∞)，f (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围．解 f ′(x )＝2ax －1－ln x －(2a －1)＝2a (x －1)－ln x (x >0)，易知当x ∈(0，＋∞)时，ln x ≤x －1，则f ′(x )≥2a (x －1)－(x －1)＝(2a －1)(x －1)．当2a －1≥0，即a ≥12时，由x ∈[1，＋∞)得f ′(x )≥0恒成立， f (x )在[1，＋∞)上单调递增，f (x )≥f (1)＝0，符合题意；当a ≤0时，由x ∈[1，＋∞)得f ′(x )≤0恒成立，f (x )在[1，＋∞)上单调递减，f (x )≤f (1)＝0，显然不符合题意，a ≤0舍去；当0<a <12时，由ln x ≤x －1， 得ln 1x ≤1x －1，即ln x ≥1－1x， 则f ′(x )≤2a (x －1)－⎝⎛⎭⎫1－1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x (2ax －1)， ∵0<a <12，∴12a>1. 当x ∈⎣⎡⎦⎤1，12a 时，f ′(x )≤0恒成立， ∴f (x )在⎣⎡⎦⎤1，12a 上单调递减， ∴当x ∈⎣⎡⎦⎤1，12a 时，f (x )≤f (1)＝0， 显然不符合题意，0<a <12舍去． 综上可得，a ∈⎣⎡⎭⎫12，＋∞.。