第八章第八节抛物线

第八节抛物线基础测试题1、抛物线定义2、抛物线的标准方程与几何性质1、抛物线28y x =-的准线方程是（） A. 116x =B. 116y =C. 132y =D. 132x = 2、已知抛物线的焦点坐标是(0,3)-，则抛物线的标准方程是（） A. 212x y =- B. 212x y = C. 212y x =- D. 212y x =3、抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为（）A. 2B. 3C. 4D. 5 4、在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点(2,4)P ，则该抛物线的方程是_________.5、设抛物线28y x =，过焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，过AB 中点M 作x 轴平行线交y 轴于N ，若2MN =，则AB =_________. 1、已知抛物线22y x =的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点(3,2)A .（1）求PA PF +最小值，并求出取最小值时P 点的坐标； （2）求点P 到点1(,1)2B -的距离与点P 到直线12x =-的距离之和的最小值.2、已知抛物线22=的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点y x+的最小值及A，抛物线的准线是l，点P到l的距离为d，求PA d(3,3)此时P点的坐标.3、已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点(3,)-M m 到焦点的距离为5，求抛物线的方程和m的值.4设抛物线2(0)=≠的准线与直线1y mx mx=的距离为3，求抛物线的方程.5、已知抛物线2=>过点(1,2)C y px p:2(0)A-.（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（2）是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l l的方程；若不存在，说明理由.6、已知动圆过定点(1,0)，且与直线1x=-相切.（1）求动圆的圆心轨迹C的方程；（2）是否存在直线l，使l过点(1,0)并与轨迹C交于,P Q两点，且满足OP OQ⋅=若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.1、抛物线28=的焦点到准线的距离是（）y xA. 1B. 2C. 4D. 82、已知抛物线22(0)=>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线y px p于,A B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（）A ．1x = B. 1x =- C. 2x = D. 2x =- 3、已知过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于,AB 两点，2AF =,则BF =_________.4、以椭圆221139x y +=的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是（）A.2y = B. 2y =- C. 28y x = D. 28y x =-5、已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点11,12233(),(,),(,)P x y P x y P x y 在抛物线上，且2132x x x =+，则有（）A. 123FP FP FP +=B. 222123FP FP FP += C. 2132FP FP FP =+ D. 2213FP FP FP =⋅ 6、已知点P 是抛物线2y x =的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）92。

方程的曲线．
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二、求动点的轨迹方程的一般步骤 1．建系——建立适当的坐标系． 2．设点——设轨迹上的任一点P(x，y)． 3．列式——列出动点P所满足的关系式．
4．代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公
式等将其转化为x，y的方程式，并化简． 5．证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．
答案：x2－6x－10y＋24＝0(y>0)
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5．两个定点的距离为 6，点 M 到这两个定点的距离的 平方和为 26，则点 M 的轨迹是____________．
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解析：建立如图所示的平面直角坐标 系，A(－3,0)，B(3,0)，设M(x，y)， 由题设知 [ x＋32＋y2]2＋[ x－32＋y2]2＝26， 化简得x2＋y2＝4， 所以点M的轨迹是半径为2的圆．
＝(x1＋a)(x2＋a)＋k2(x1－a)(x2－a) ＝[x1x2＋a(x1＋x2)＋a2]＋k2[x1x2－a(x1＋x2)＋a2] 4a2 ＝(1＋k2)(x1x2＋a2)＋a(1－k2)(x1＋x2)＝ 2 >0， k π ∴0<θ< . 2
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[冲关锦囊]
1．直接法求轨迹方程是求曲线方程的基本方法．圆锥曲
1．(2012· 山东外国语学校模拟)已知点 F(a,0)(a>0)，动点 M、P 分别 在 x、 y ＝0. (1)求点 N 的轨迹 C 的方程； (2)过点 F(a,0)的直线 l(不与 x 轴垂直)与曲线 C 交于 A、B 两点， 设点
K(－a,0)， K A 与 K B 的夹角为
线的标准方程都是由直接法求得的．当轨迹易于列出 动点(x，y)满足的方程时可用此法． 2．求动点轨迹时应注意它的完备性．化简过程破坏了方 程的同解性，要注意补上遗漏的点或者挖去多余的

第8节 抛物线综合探究教材对抛物线的引入，通常从圆锥曲线的第二定义开始．动点到定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e ，若10<<e ，则动点的轨迹是椭圆，若1>e ，则轨迹为双曲线，此时出现一个问题：1=e 时的轨迹是什么？【实验1】抛物线的生成1=e 时的轨迹即是要求动点到定点的距离等于它到定直线的距离．据此，可以作以下探究．【探究步骤】1.隐藏平面直角坐标系；2.作直线AB 和定点C ，过点C 作直线AB 的垂线b ；3.在直线AB 上任取一点D ；4.连结CD ，作CD 的垂直平分线c ；5.过点D 作AB 的垂线交直线c 于点F ，连结CF ；6.由垂直平分线的性质，可知点F 到直线AB 的距离恰好等于F 到点C 的距离，符合题设的要求，由此，跟踪点F ；7.拉动点D ，得到点F 的轨迹，该轨迹被称为抛物线；8.为方便研究，取消对点F 的跟踪，选择“轨迹”工具，依次点击点F 和点D ，得到点F 的轨迹；9.显示平面直角坐标系；10.调节点F 和直线AB 的位置，使得抛物线的顶点为坐标原点，开口分别向左，向右，向上，向下，得到４种抛物线的标准位置及其标准方程．【思考】满足“动点到定点的距离等于它到定直线的距离”的动点轨迹一定是抛物线吗？ 事实并非如此．调整点C 的位置，使之在直线AB 上，观察此时轨迹是什么？GGB 课件显示，此时轨迹未定义．这是因为前面作图的过程中，把点F 设定为CD 的垂直平分线c 与过点D 所作AB 的垂线的交点，当点F 在直线AB 上时，上述两直线恰好平行，无法相交，轨迹未定义．为解决这个问题，打开案例中的“2-6实验3.ggb”课件，调节滑杆e ，使1=e ，调节点F 的位置，使点F 恰好在y 轴上，此时，课件清晰显示轨迹为一条过点F 且与y 轴垂直的直线．【实验2】求折线段距离之和的最值已知定点)4,1(A 和抛物线x y 42=，点B 是抛物线上的任一点，过点B 作y 轴的垂线，交y 轴于点C ，求BC AB +的最小值．【探究步骤】1.在GGB 绘图区作出定点)4,1(A 和抛物线x y 42=，在抛物线上任取一点B ；2.过点B 作y 轴的垂线，交y 轴于点C ；3.测量BC AB ,的值，并计算BC AB +；4.拉动点B ，观察BC AB +的最小值． 经实验，发现BC AB +的最小值可能为３．这是因为若设抛物线x y 42=的焦点为F ，则1-=BF BC ，从而1-+=+BF AB BC AB ，对于折线BF AB ,，显然的，当F B A ,,三点共线时，长度最短，即4=≥+AF BF AB ，从而3≥+BC AB ，故本题答案为３．【拓展探究1】设点A 是椭圆13422=+y x 上任一点，点21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，点)2,3(-B ，求AB AF +1的最大值．【探究步骤】1.作出椭圆13422=+y x 及点,,B A 21,F F ； 2.作出线段AB AF ,1，测量AB AF ,1，计算AB AF +1的值；3.拉动点A ，观察AB AF +1的最大值． 经观察，可得AB AF +1的最大值可能为83.6．【分析】在【实验1】的求解中，把BC 转化为1-BF ，折线AB AF ,1又该如何转化呢？容易想到根据椭圆的定义，421=+AF AF ，故可得214AF AF -= 据此给出以下解答：AB AF AB AF +-=+214，要求AB AF +1的最大值，只需求24AF AB -+的最大值，易得当点2,,F B A 三点共线时，2AF AB -将取得最大值222=BF ，本题答案为224+．【拓展探究2】已知双曲线1:22=-y x C 的左、右焦点分别为21,F F ，点M 是双曲线C 右支一动点，)1,2(A ，求2MF AM +的最小值．【实验3】抛物线若干性质的验证和圆、椭圆、双曲线一样，抛物线也有很多常用的重要性质，在此选择其中几个，用数学实验的方法对其进行验证．【探究问题1】设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于B A ,两点，点C 在抛物线的准线上，且x BC //轴．证明：直线AC 过原点O ．【探究步骤】1.在GGB 绘图区作出抛物线px y 22=，设置参数()10,0∈p ，增量1.0； 2.作出焦点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2p F ，过焦点的直线，及直线与抛物线的交点B A ,； 3.过点B 作x BC //轴，且与准线交于点C ；4.连结AC ；5.拉动滑杆p ，验证直线AC 是否恒过原点O ．经实验验证，以上结论成立．设),(),,(2211y x B y x A ，又设2:p my x AB +=，代入px y 22=，得0222=--p mpy y .由根与系数的关系，得221p y y -=，即122y p y -=． ∵x BC //轴，且C 在准线2p x -=上，∴),2(2y p C -． 则OA OC k x y y p p y k ===-=111222，∴直线AC 经过原点O . 【探究问题2】 设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于B A ,两点，设),(),,(2211y x B y x A ，则221p y y -=，4221p x x =． 以上性质可由【探究问题1】得到验证．【探究问题3】设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于B A ,两点，则pBF AF 211=+． 抛物线的其他性质，读者可参照前面的例子对其进行验证和证明．【实验4】抛物线综合探究【探究问题4】若直线1-=x y 与抛物线x y C 4:2=相交于N M ,两点，设直线l 是抛物线C 的切线，且MN l //，P 为l 上一点，求PN PM ⋅的最小值．【分析】本题因直线1-=x y 与抛物线x y C 4:2=均已经确定，故点N M ,也是定点，直线l 是抛物线C 的切线，且MN l //，故直线l 也是定直线．求得直线l ：1+=x y ．【探究步骤】1.作直线1-=x y 与抛物线x y C 4:2=相交于N M ,两点；2.作直线l ：1+=x y ，并在l 上任取一点P ；3.作PN PM ,，在指令栏输入“v u *”得到PN PM ⋅；4.拉动点P ，寻求PN PM ⋅的最小值． 探究可得，PN PM ⋅的最小值大约为14-．以下给出数学求解：若设),(),,(2211y x N y x M ， 由⎩⎨⎧+==142y x x y 可知：(*)0442=--y y ，则21,y y 是方程(*)的两根，4,42121-==+y y y y ．又点P 在直线1:+=x y l 上，可设)1,(+m m P ， 则)1,(),1,(2211---=---=m y m x PN m y m x PM682)1(288)1(2)(22)1)(1()1)(1()1)(1())((222212*********--=++--=+++-=----+-+-+=----+--=⋅m m m m m y y m y y m y m y m y m y m y m y m x m x PN PM又R ∈m ，故可求得PN PM ⋅的最小值为14-.【说明】在列出方程(*)之后，我们发现直接把21,y y 求出来，其表达式是比较复杂的，故用了“设而不求”的思路．如果21,y y 的值较简单，可直接求解21,y y ，这样可以使得计算更加便捷．【探究问题5】已知直线022:=+-y x l 交抛物线)0(:2>=m mx y C 于B A ,两点，点P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q ，试探究是否存在实数m ，使ABQ ∆是以Q 为直角顶点的直角三角形．【分析】这是一道存在性的探究问题，探究是否存在以Q 为直角顶点的ABQ Rt ∆，其本质为探究以AB 为直径的圆是否与抛物线相交，而交点Q 和点P 的连线是否恰好垂直于x 轴．【探究步骤】1.作出抛物线2:mx y C =，设置参数)10,0(∈m ，增量为1.0；2.作直线022:=+-y x l 与抛物线C 交于B A ,两点；3.作线段AB 的中点P ；4.作以AB 为直径的圆，并作该圆与抛物线C 的交点Q ；5.作直线PQ ；6.拉动滑杆m ，仔细观察是否存在实数m ，使得直线PQ 恰好垂直于x 轴． 经实验探究，应该存在唯一的实数2≈m ，使得命题成立． 给出以下数学证明：联立方程⎩⎨⎧=+-=0222y x mx y 得(*)0222=--x mx 依题意，有21,08)2(2->∴>+-=∆m m ， 若设),(),,(2211y x B y x A ，则21,x x 是方程(*)的两根，因为点P 是AB 的中点，所以)22,1(+mm P 假设满足条件的点Q 存在，则)1,1(mm Q ，222121212122111)12())(34(5)1)(1()1)(1()1,1()1,1(m m x x m x x my m y m x m x my m x m y m x QB QA +-++-+=--+--=--⋅--=⋅∴04641)12(2)34(10222=+--=+-+-+-=m m m m m m m 21,2-==∴m m 或， 又21->m ． ∴存在实数2=m ，使ABQ ∆是以Q 为直角顶点的直角三角形．。

第八节抛物线(一)高考概览：1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质；3.理解数形结合思想．[知识梳理]1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质[辨识巧记]1．抛物线定义的两点理解(1)定点不在定直线上．(2)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线．2．抛物线的方程特点方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1a y ，是焦点在y 轴上的抛物线．3．两个结论(1)通径：过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p ，通径是过焦点最短的弦．(2)抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p 2，也称为抛物线的焦半径．[双基自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( )(3)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是（a 4，0），准线方程是x ＝－a 4.( )(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( )A ．y 2＝－8xB ．y 2＝8xC ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x[解析] 由－p 2＝－2，∴p ＝4，则方程为y 2＝8x .故选B ．[答案] B3．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( )A ．y 2＝±22xB ．y 2＝±2xC ．y 2＝±4xD ．y 2＝±42x[解析] 由已知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，则p 2＝2，所以p ＝22，所以抛物线方程为y 2＝±42x .故选D ．[答案] D4．(2019·山西省高三考前质量检测)已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的准线与抛物线C 2：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，C 1的焦点为F ，若△F AB 的面积等于1，则C 1的方程是( )A ．x 2＝2yB ．x 2＝2yC ．x 2＝yD ．x 2＝22y [解析] 由题意得，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，－p 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p ，－p 2，所以S △F AB ＝12·2p ·p ＝1，则p ＝1，即抛物线C 1的方程是x 2＝2y ，故选A ．[答案] A5．(选修2－1P 67练习T 3(1)改编)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________．[解析] 抛物线y 2＝8x 的准线方程x ＝－2，因为点P 到y 轴的距离为4，所以点P 到准线的距离为6，由抛物线定义知点P 到焦点的距离为6.[答案] 6考点一 抛物线的定义及应用【例1】 (1)动圆与定圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1外切，且和直线x ＝1相切，则动圆圆心的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线(2)已知椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，点P 的坐标为(3,2)．若点M 为该抛物线上的动点，则|MP |＋|MF |的最小值为__________．[思路引导] (1)设动圆圆心为P ，半径为r →根据两圆外切列关系式，与x ＝1相切(2)根据椭圆的右焦点求出p →写出抛物线的焦点、准线→根据抛物线定义将|MF |转化为到准线的距离[解析] (1)设动圆圆心为P ，半径为r .由(x ＋2)2＋y 2＝1得圆心A (－2,0)，半径r 为1∵动圆与⊙A 外切，∴|P A |＝r ＋1又动圆与x ＝1相切，∴r ＝|x －1|＝1－x ，故|P A |＝2－x ，(x ＋2)2＋y 2＝2－x ，化简得y 2＝－8x 为抛物线，故选D ．(2)因为椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点F 为(1,0)，所以p 2＝1，解得p ＝2，所以抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，如图所示，过M 作抛物线的准线l 的垂线MA ，垂足为A ，由抛物线的定义有|MA |＝|MF |.所以|MP |＋|MF |＝|MP |＋|MA |，显然当P ，M ，A 三点共线时，|MP |＋|MF |取得最小值．因为点P 的坐标为(3,2)，所以|MP |＋|MF |的最小值为3－(－1)＝4.[答案] (1)D (2)4应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF |＝|x 0|＋p 2或|PF |＝|y 0|＋p 2.[对点训练]1．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，则抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．355B ．2C ．115D ．3[解析] 由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点F 为(1,0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值即为焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.故选B ． [答案] B2．(2017·全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.[解析] 如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .由题意知，F (2,0)，|FO |＝|AO |＝2.∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ，∴|MP|＝12|FO|＝1.又|BP|＝|AO|＝2，∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.[答案] 6考点二抛物线的标准方程【例2】(1)(2019·大连模拟)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是()A．y2＝－xB．x2＝－8yC．y2＝－8x或x2＝－yD．y2＝－x或x2＝－8y(2)(2019·山西吕梁二模)如图，过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F 的直线l交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝2，则p＝()A．1 B． 2C．2 D．2－ 2[思路引导](1)确定焦点位置→分类求解(2)合理添加辅助线→利用抛物线定义及p几何意义求解[解析](1)当抛物线的焦点在x轴上时，设抛物线方程为y2＝mx，代入点P(－4，－2)可得，4＝－4m，解得m＝－1，则抛物线方程为y2＝－x；当抛物线的焦点在y轴上时，设抛物线方程为x2＝ny，代入点P(－4，－2)可得16＝－2n，解得n＝－8，则抛物线方程为x2＝－8y.综上，抛物线方程为y2＝－x或x2＝－8y.故选D．(2)分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点D，E，准线与y轴交点为G，设|BF|＝a，则由已知得：|BC|＝2a，由定义得：|BE|＝a，故∠BCE＝30°，在直角三角形ACD中，∵|AF|＝2，∴|AD|＝2，∴|AC|＝4，∴|CF|＝2，∴|GF|＝1，∴p＝1，故选A．[答案](1)D(2)A求抛物线方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是抛物线，进而确定p 的值，再结合焦点位置写出抛物线的标准方程；(2)待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数p的值，这里应注意抛物线标准方程有四种形式．从简单化的角度出发，焦点为x轴上的，设为y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的，设为x2＝ay(a≠0)．[对点训练]1．(2019·陕西一检)设抛物线y 2＝2px 的焦点在直线2x ＋3y －8＝0上，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝－1B ．x ＝－2C ．x ＝－3D ．x ＝－4 [解析] 因为抛物线y 2＝2px 的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0在2x ＋3y －8＝0上，所以p ＝8，所以抛物线的准线方程为x ＝－4，故选D ．[答案] D2．(2019·河北六校模拟)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________________________．[解析] 设满足题意的圆的圆心为M .根据题意可知圆心M 在抛物线上，又∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6，则|MF |＝x M ＋p 2＝6，则x M ＝6－p 2，又由题意可知x M ＝p 4，∴p 4＝6－p 2，解得p ＝8.∴抛物线方程为y 2＝16x .[答案] y 2＝16x考点三 抛物线的几何性质【例3】 (1)(2019·河北武邑中学调研)若抛物线y 2＝2x 上一点M到它的焦点F 的距离为32，O 为坐标原点，则△MFO 的面积为( )A ．22B ．24C ．12D ．14(2)(2018·云南玉溪一中第四次月考)过抛物线：y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线l ，若直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，并且点A 也在双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线上，则双曲线的离心率为( )A ．213B ．13C ．233D ． 5[思路引导](1)求点M 的横坐标→求点M 的纵坐标→求△MFO 的面积(2)画图分析→用p 表示A 点坐标→代入双曲线方程，得a ，b 关系式→结合a 2＋b 2＝c 2求离心率[解析] (1)∵抛物线y 2＝2x 上一点M 到它的焦点F 的距离为32，∴x ＋12＝32，∴x ＝1，当x ＝1时，y ＝±2，∴△MFO 的面积为12×12×2＝24，故选B ．(2)如图，设A (x 0，y 0)，则|AF |＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－p 2，又|AF |＝x 0＋p 2， ∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－p 2＝x 0＋p 2 ∴x 0＝32p ，y 0＝32|AF |＝32·2p ＝3p .又A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32p ，3p 在双曲线的一条渐近线上． ∴3p ＝b a ·32p ，∴b 2＝43a 2，由a 2＋b 2＝c 2得a 2＋43a 2＝c 2，∴c 2a 2＝73.∴离心率e ＝c a ＝213，故选A ．[答案] (1)B (2)A在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．[对点训练]1．(2018·河南洛阳统考)已知F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a >0)的左、右焦点，P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若|PF 1|＋|PF 2|＝12，则抛物线的准线方程为________________________．[解析] 将双曲线方程化为标准方程得x 2a 2－y 23a 2＝1，抛物线的准线为x ＝－2a ，联立⎩⎨⎧x 2a 2－y 23a 2＝1，y 2＝8ax ⇒x ＝3a ，即点P 的横坐标为3A ．而由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝12，|PF 1|－|PF 2|＝2a ⇒|PF 2|＝6－a ， ∴|PF 2|＝3a ＋2a ＝6－a ，得a ＝1，∴抛物线的准线方程为x ＝－2.[答案] x ＝－22．(2019·湖北武昌调研)已知抛物线y 2＝2px 的焦点F 与双曲线x 27－y 29＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上，且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为__________．[解析] 双曲线x 27－y 29＝1的右焦点为(4,0)，即为抛物线y 2＝2px的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以p 2＝4，可得p ＝8，所以抛物线的方程为y 2＝16x ，其准线为x ＝－4，所以K (－4，0)．过A 作AM 垂直于准线，垂足为M ，则|AM |＝|AF |.因为|AK |＝2|AM |，所以∠MAK ＝45°，|KF |＝|AF |，易知△AFK 为等腰直角三角形，所以△AFK 的面积为12|KF |2＝32.[答案] 32解题方法系列⑭——与抛物线有关的最值问题素养解读：与抛物线有关的最值问题是历年高考的一个热点，由于所涉及的知识面广，题目多变，一般需要通过数形结合或利用函数思想来求最值，因此相当一部分同学对这类问题感到束手无策．下面就抛物线最值问题的求法作一归纳．1．定义转换法【典例1】 (2019·上海虹口区一模)已知点M (20,40)，抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F .若对于抛物线上的任意点P ，|PM |＋|PF |的最小值为41，则p 的值等于________．[切入点] 利用抛物线的定义将|PF |转化为到准线距离．[关键点] 考虑点M 的位置与抛物线的关系．[规范解答] 过点P 作抛物线准线的垂线，垂足为D ，则|PF |＝|PD |.当点M (20,40)位于抛物线内时，根据点M 与抛物线的位置分类讨论．如图(1)，|PM |＋|PF |＝|PM |＋|PD |.当点M ，P ，D 共线时，|PM |＋|PF |的值最小．由最小值为41，得20＋p 2＝41，解得p ＝42.当点M (20,40)位于抛物线外时，如图(2)，当点P ，M ，F 共线时，|PM |＋|PF |的值最小．由最小值为41，得 402＋⎝ ⎛⎭⎪⎫20－p 22＝41，解得p ＝22或58. 当p ＝58时，y 2＝116x ，点M (20,40)在抛物线内，故舍去．综上，p ＝42或22.[答案] 42或22与抛物线上的点到准线距离有关的最值问题，一般都是利用抛物线的定义，将到准线的距离转化为到焦点的距离，然后通过数形结合直接判断出取得最值时所要满足的条件，这样就能避免烦琐的代数运算．本题中因抛物线的开口大小不知，故点M 与抛物线的位置关系需要分类讨论，这是一个易错点．2．平移直线法【典例2】 抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是________．[切入点] 解法一：求出与已知直线平行且与抛物线相切的直线方程，从而求两平行线间的距离．解法二：求出与已知直线平行且与抛物线相切的直线与抛物线的切点坐标，从而求切点到已知直线的距离．[规范解答] 解法一：如图所示，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线为4x ＋3y ＋b ＝0，切线方程与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋b ＝0，消去y 整理得3a 2－4x －b ＝0，则Δ＝16＋12b ＝0，解得b ＝－43，所以切线方程为4x ＋3y －43＝0，抛物线y＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是这两条平行线间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8－435＝43.解法二：由y ＝－x 2，得y ′＝－2x .如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线与抛物线的切点是 T (m ，－m 2)，则切线斜率k ＝y ′|x ＝m ＝－2m ＝－43，所以m ＝23，即切点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－49，点T 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪83－43－816＋9＝43，由图知抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是43.[答案] 43若抛物线上的点P 到直线l 的距离最小，则过点P 与l 平行的直线与抛物线相切，且最小距离为两平行直线间的距离，所以可将问题转化为求与抛物线相切的直线，然后求两平行直线间的距离．直线与抛物线相切，又有两种方法解决．3．函数法【典例3】 若点P 在抛物线y 2＝x 上，点Q 在圆(x －3)2＋y 2＝1上，则|PQ |的最小值为________．[切入点] P 、Q 都是动点，转化为圆心与点P 的最值．[规范解答] 由题意得抛物线与圆不相交，且圆的圆心为A (3,0)，则|PQ |≥|PQ |－|AQ |＝|P A |－1，当且仅当P ，Q ，A 三点共线时取等号，所以当|P A |取得最小值时，|PQ |最小．设P (x 0，y 0)，则y 20＝x 0，|P A |＝(x 0－3)2＋y 20＝x 20－6x 0＋9＋x 0＝⎝⎛⎭⎪⎫x 0－522＋114，当且仅当x 0＝52时，|P A |取得最小值112，此时|PQ |取得最小值112－1.[答案]112－1解与抛物线有关的最值问题可通过两点间距离公式或者点到直线的距离公式建立目标函数，再用求函数最值的方法求解．解题的关键是根据所给抛物线方程设出动点坐标．[感悟体验]1．(2019·东北三省四市二模)若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF |的最小值为( )A ．2B ．12C ．14D ．18 [解析] 由题意知x 2＝12y ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18，设P (x 0,2x 20)，则|PF |＝x 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 20－182＝ 4x 40＋12x 20＋164＝2x 20＋18，所以当x 20＝0时，|PF |min ＝18.[答案] D2．(2019·云南省高三统一检测)设P ，Q 分别为圆x 2＋y 2－8x ＋15＝0和抛物线y 2＝4x 上的点，则P ，Q 两点间的最小距离是________．[解析] 由题意知，圆的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，则圆心C (4,0)，半径为1.由题意知P ，Q 间的最小距离为圆心C (4,0)到抛物线上的点的最小距离减去半径1.设P (x 0，y 0)，|PC |＝x 20＋y 20－8x 0＋16＝x 20－4x 0＋16＝(x 0－2)2＋12，当x 0＝2时，|PC |min ＝23，∴|PQ |min ＝23－1.[答案] 23－1课后跟踪训练(六十一)基础巩固练一、选择题1．若抛物线y 2＝2px 的焦点与双曲线x 23－y 2＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－4B ．4C ．－2D ．2[解析] 抛物线的焦点坐标为p 2，0，由双曲线的方程可知a 2＝3，b 2＝1，所以c 2＝a 2＋b 2＝4，即c ＝2，所以右焦点为(2,0)，所以p 2＝2，p ＝4.故选B ．[答案] B2．(2019·广东四校联考)已知抛物线y 2＝2px (p >0)上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为( )A ．4B ．9C ．10D ．18 [解析] 抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2.由题意可得4＋p 2＝9，解得p ＝10，所以该抛物线的焦点到准线的距离为10.故选C ．[答案] C3．(2019·湖南长沙模拟)A 是抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，F 是抛物线的焦点，O 为坐标原点，当|AF |＝4时，∠OF A ＝120°，则抛物线的准线方程是( )A ．x ＝－1B ．y ＝－1C ．x ＝－2D ．y ＝－2[解析] 过A 向准线作垂线，设垂足为B ，准线与x 轴的交点为D ．因为∠OF A ＝120°，所以△ABF 为等边三角形，∠DBF ＝30°，从而p ＝|DF |＝2，因此抛物线的准线方程为x ＝－1.故选A ．[答案] A4．(2019·安徽合肥检测)已知双曲线y 24－x 2＝1的两条渐近线分别与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线交于A ，B 两点．O 为坐标原点．若△OAB 的面积为1，则p 的值为( )A ．1B ． 2C ．2 2D ．4[解析] 双曲线的两条渐近线方程为y ＝±2x ，抛物线的准线方程为x ＝－p 2，故A ，B 两点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，±p ，|AB |＝2p ，所以S △OAB ＝12×2p ×p 2＝p 22＝1，解得p ＝2，故选B ．[答案] B5．(2019·湖北襄阳测试)已知抛物线y ＝12x 2的焦点为F ，准线为l ，M 在l 上，线段MF 与抛物线交于N 点，若|MN |＝2|NF |，则|MF |＝( )A ．2B ．3C ． 2D ． 3[解析] 如图，过N 作准线的垂线NH ，垂足为H .根据抛物线的定义可知|NH |＝|NF |，在Rt △NHM 中，|NM |＝2|NH |，则∠NMH ＝45°.在△MFK 中，∠FMK ＝45°，所以|MF |＝2|FK |.而|FK |＝1.所以|MF |＝ 2.故选C ．[答案] C二、填空题6．抛物线y 2＝2px (p >0)上横坐标为6的点到此抛物线焦点的距离为10，则该抛物线的焦点到准线的距离为________．[解析] 设抛物线的准线方程为x ＝－p 2(p >0)，则根据抛物线的性质有p 2＋6＝10，解得p ＝8，所以抛物线的焦点到准线的距离为8.[答案] 87．(2019·武汉市武昌区高三三调)已知抛物线Γ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点P 在Γ上且|PK |＝2|PF |，则△PKF 的面积为________．[解析] 由已知得，F (2,0)，K (－2,0)，过P 作PM 垂直于准线，则|PM |＝|PF |，又|PK |＝2|PF |，∴|PM |＝|MK |＝|PF |，∴PF ⊥x 轴，S△PFK ＝12×p ×p ＝8. [答案] 88．(2018·山东第三中学月考)已知点Q (0,22)及抛物线y 2＝4x 上一动点P (x ，y )，则x ＋|PQ |的最小值为________．[解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，则由抛物线的定义得其准线方程为x ＝－1.设d 为点P (x ，y )到准线的距离．∴x ＋|PQ |＝d －1＋|PQ |＝|PF |＋|PQ |－1≥|FQ |－1，∴x ＋|PQ |的最小值是|QF |－1.∵点Q (0,22)，∴|QF |＝3.∴x ＋|PQ |的最小值是|QF |－1＝3－1＝2.[答案] 2三、解答题9．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴正半轴上，设A 、B 是抛物线C 上的两个动点(AB 不垂直于x 轴)，且|AF |＋|BF |＝8，线段AB 的垂直平分线恒经过定点Q (6,0)，求此抛物线的方程．[解] 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，其准线为x ＝－p 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵|AF |＋|BF |＝8，∴x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝8，即x 1＋x 2＝8－p .∵Q (6,0)在线段AB 的中垂线上，∴|QA |＝|QB |.即(x 1－6)2＋y 21＝(x 2－6)2＋y 22，又y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2－12＋2p )＝0.∵AB 与x 轴不垂直，∴x 1≠x 2，故x 1＋x 2－12＋2p ＝8－p －12＋2p ＝0，即p ＝4.从而抛物线的方程为y 2＝8x .10．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标．[解] (1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，于是4＋p 2＝5，∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝4x .(2)∵点A 的坐标是(4,4)，由题意得B (0,4)，M (0,2)．又∵F (1,0)，∴k F A ＝43.∵MN ⊥F A ，∴k MN ＝－34.又F A 的方程为y ＝43(x －1)，故MN 的方程为y －2＝－34x ，解方程组得x ＝85，y ＝45，∴N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45. 能力提升练11．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，P A ⊥l ，垂足为A ，|PF |＝4，则直线AF 的倾斜角等于( )A ．7π12B ．2π3C ．3π4D ．5π6[解析] 由抛物线定义知|PF |＝|P A |，∴P 点坐标为(3，23)，所以A 点坐标为(－1,23)，AF 与x 轴夹角为π3，所以直线AF 的倾斜角为23π，故选B ．[答案] B12．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x[解析] 由已知得抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎪⎫p 2，0，设点A (0,2)，抛物线上点M (x 0，y 0)，则AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－2，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0－2.由已知得，AF →·AM →＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝⎛⎭⎪⎫8p ，4.由|MF |＝5得，⎝ ⎛⎭⎪⎫8p －p 22＋16＝5，又p >0，解得p ＝2或p ＝8，故选C ． [答案] C13．(2018·河北涞水月考)已知点A 是抛物线C ：x 2＝2py (p >0)上一点，O 为坐标原点．若A ，B 是以点M (0,4)为圆心，|OA |的长为半径的圆与抛物线C 的两个公共点，且△AOB 为等边三角形，则p 的值是________．[解析] 由题意可知四边形AOBM 是菱形，且∠AOB ＝60°. ∵M (0,4)，∴点A 的纵坐标y A ＝2，|x A |＝y A3. 设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2，∵点A 在抛物线C 上，∴43＝2p ×2，解得p ＝13.[答案] 1314．已知F 是抛物线x 2＝4y 的焦点，P 为抛物线上的动点，且A 的坐标为(0，－1)．求|PF ||P A |的最小值．[解] 抛物线的准线为l ：y ＝－1，过点P 作PD ⊥l 于D ，则|PD |＝|PF |，如图所示， |PF ||P A |＝|PD ||P A |＝sin ∠P AD ，当直线P A 与抛物线相切时，|PF ||P A |＝|PD ||P A | ＝sin ∠P AD 有最小值，由y ＝x 24得y ′＝x2， 设切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 204(x 0>0)，则x20 4－(－1)x0＝x02，解得x0＝2，此时∠P AD＝π4，所以⎝⎛⎭⎪⎫|PF||P A|min＝sinπ4＝22.拓展延伸练15．(2019·河南安阳一模)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，A，B 是抛物线上横坐标不相等的两点．若AB的垂直平分线与x轴的交点是(4,0)，则|AB|的最大值为()A．2 B．4C．6 D．10[解析]根据抛物线方程可得F(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(4,0)，由|MA|2＝|MB|2，得(4－x1)2＋y21＝(4－x2)2＋y22.①又y21＝4x1，y22＝4x2，代入①中并展开得16－8x1＋x21＋y21＝16－8x2＋x22＋y22，即x21－x22＝4x1－4x2，得x1＋x2＝4，所以|AB|≤|AF|＋|BF|＝⎝⎛⎭⎪⎫x1＋p2＋⎝⎛⎭⎪⎫x2＋p2＝6，当且仅当A，B，F三点共线时等号成立，所以|AB|max＝6，故选C．[答案] C16．(2019·山东枣庄期末)如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米．则水位下降1米后，水面宽________米．[解析]建立坐标系如图所示．则可设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．∵点(2，－2)在抛物线上，∴p＝1，即抛物线方程为x2＝－2y.当y＝－3时，x＝±6.∴水位下降1米后，水面宽为26米．[答案]2 6。

保持例题条件不变，若λ＝－2，过定点F(0,1)的直线l与轨迹C交
于A、B两点，求△AOB的面积的最大值．
解：由例1(2)知，当λ＝－2时，轨迹C为椭圆，其方程为x2＋
y2 2
＝
1(x≠±1)．
由题意知，l的斜率存在．
设l的方程为y＝kx＋1，代入椭圆方程中整理得
(k2＋2)x2＋2kx－1＝0(*)
[做一题] [例2] 如图，已知定点F(－1,0)、N(1,0)，以 线段FN为对角线作周长是4 2的平行四边形
uuur MNEF.平面上的动点G满足|OG |＝2(O为坐标 原点)． 求点E、M所在曲线C1的方程及动点G的轨迹C2的方程．
[自主解答] 因为四边形MNEF为周长为4 2 的平行四边形，所以 点E到点F、N的距离之和是2 2， 又|NF|＝2<2 2， 由椭圆的定义知，曲线C1为椭圆，a＝ 2，c＝1，b＝1. 故椭圆C1的方程为x22＋y2＝1.
x2 a2
＋
y2 b2
＝1的
左、右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．
(1)求椭圆的离心率e；
(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上 uuuur uuur
的点，满足 AM ·BM ＝－2，求点M的轨迹方程．
[考题纠错]———————————(前人之鉴，后人之师)
[错解] (1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)．
(k24＋k22)2＋k2＋4 2
＝ 2· (kk22＋＋21)2＝ 2·
(k2＋1)＋1k2＋1 1＋2≤ 22，
当且仅当 k＝0，上式取等号.
∴当
k＝0
时，△OAB
的面积取最大值为
2 2.

22＝a(x1－x2)，
∴(y1＋y2)·xy11－－yx22＝a，
∴a＝4×1＝4，∴y2＝4x.
答案：y2＝4x
1．抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F) 距离相等 的点的轨迹叫做抛物线， 点F 叫做 抛物线的焦点， 直线l 叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和几何性质
B．y2＝－8x D．y2＝－4x
()
解析：设抛物线方程为 y2＝2px(p<0)， 由抛物线定义知，|－p2＋3|＝5，解得 p＝－4， ∴抛物线方程为 y2＝－8x.
答案： B
3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，
B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，那么|AB|等于 ( )
图形
范围
y≥0，x∈R
x2＝－2py(p>0) y≤0，x∈R
对称轴 顶点坐标
焦点坐标
(0，p2)
y轴
原点O(0,0) (0，－p2)
准线方程 离心率 焦半径
y＝－p2
y＝p2 e＝1
|PF|＝y0＋p2
|PF|＝－y0＋p2
考点一 抛物线的定义及应用
设P是抛物线y2＝4x上的一个动点． (1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离 之和的最小值； (2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
3．直线与抛物线的位置关系 (1)设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，直线Ax＋By＋C＝0，将
直线方程与抛物线方程联立，消去x得到关于y的方程my2＋ny＋ q＝0， ①若m≠0，当Δ>0时，直线与抛物线有两个公共点； 当Δ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点； 当Δ<0时，直线与抛物线没有公共点． ②若m＝0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线 的对称轴平行．

x0＋2 ＝ x＝ 2 解析： 解析：设 P(x0，y0)，M(x，y)，则 ， ， ，y0＝2y
，所以
，由于
y2＝x0，所以 0
1 4y ＝2x－2，即 y ＝ (x － ， 2
2 2
－1)． ．
答案： 答案：D
2．由抛物线y2＝2x上任意一点 向其准线 引垂线，垂足 ．由抛物线 上任意一点P向其准线 引垂线， 上任意一点 向其准线l引垂线 为Q，连接顶点 与P的直线和连接焦点 与Q的直线 的直线和连接焦点F与 的直线 ，连接顶点O与 的直线和连接焦点 交于点R，求点R的轨迹方程． 交于点 ，求点 的轨迹方程． 的轨迹方程
三、曲线的交点 设曲线C 的方程为F ， ＝ ，曲线C 的方程为F ， 设曲线 1的方程为 1(x，y)＝0，曲线 2的方程为 2(x，y)
F (x，y)＝0， ， 1 ， ) ＝0，则C1，C2的交点坐标即为方程组 ， 的 F2(x，y)＝0 ， )
实数解， 则两曲线无交点． 实数解，若此方程组 无解 ，则两曲线无交点．
答案： 答案：D
3．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点 －1,0)、 ．已知圆的方程为 ，若抛物线过点A(－ 、 B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方 且以圆的切线为准线， 且以圆的切线为准线 程是____________． 程是 ． 解析：设抛物线焦点为 ， 解析：设抛物线焦点为F，过A、B、O作准线的垂线 、 、 作准线的垂线 AA1、BB1、OO1，则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛 ＋ ＝ ＝ ， 物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，∴|FA|＋ 物线定义得 ＋ ＝ ＋ ， ＋ |FB|＝4，故F点的轨迹是以 、B为焦点，长轴长为 ＝ ， 点的轨迹是以 点的轨迹是以A、 为焦点 长轴长为4 为焦点， 的椭圆(去掉长轴两端点 ． 的椭圆 去掉长轴两端点)． 去掉长轴两端点

【解析】 M 到准线的距离等于 M 到焦点的距离，又准线方程 1 1 15 为 y＝－ ，设 M(x，y)，则 y＋ ＝1，∴y＝ . 16 16 16
【答案】 B
2．(2011·陕西高考)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，
则抛物线的方程是(
A．y2＝－8x C．y2＝－4x
)
B．y2＝8x D．y2＝4x
【答案】 (1)C (2)D,
(1)直线l过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，且与抛物线交于 A、B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物 线的方程是( A．y2＝12x C．y2＝6x ) B．y2＝8x D．y2＝4x
(2)设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B 在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．

2．抛物线y2＝2px(p＞0)上任一点M(x1，y1)到焦点F的距离|MF|与坐 标x1有何关系？
p 【提示】 抛物线 y ＝2px 的准线方程是 x＝－ ，根据抛物线的 2
2
p 定义知|MF|＝x1＋ . 2
1．(教材改编题)若抛物线 y＝4x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1， 则点 M 的纵坐标是( 17 A. 16 15 B. 16 ) 7 C. 8 D．0
【思路点拨】 (1)根据圆C与圆外切、和直线相切，得到点C到点的 距离，到直线的距离，再根据抛物线的定义可求得结论．
(2)利用抛物线定义，将|PM|转化为到焦点的距离，再数形结合求解．
【尝试解答】 (1)设圆C的半径为r，则圆心C到直线y＝0的距离为r.由 两圆外切可得，圆心C到点(0,3)的距离为r＋1，也就是说，圆心C到点 (0,3)的距离比到直线y＝0的距离大1，故点C到点(0,3)的距离和它到直 线y＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C的轨迹为抛物线． 1 (2)设抛物线的焦点为 F，则|PF|＝|PM|＋ ， 2 1 1 ∴|PM|＝|PF|－ ，∴|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PF|－ ， 2 2 7 将 x＝ 代入抛物线方程 y2＝2x，得 y＝± 7， 2 ∵ 7＜4，∴点 A 在抛物线的外部， ∴当 P、A、F 三点共线时，|PA|＋|PF|有最小值， 1 7 12 ∵F( ，0)，∴|AF|＝ － ＋4－02＝5， 2 2 2 1 9 ∴|PA|＋|PM|有最小值 5－ ＝ . 2 2 【答案】 (1)A (2)C,

曲线上一点 P(x0 ， y0) 处 的 切线方程
xa02x＋yb02y＝1
xa02x－yb02y＝1 y0y2＝2p(x＋x0)
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曲线外一点 P(x0 ， y0) 的 所 引两条切线的 切点弦方程
xa02x＋yb02y＝1
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2．过抛物线 y2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A，B
两点，它们到直线 x＝－2 的距离之和等于 5，则这样的直线( )
A．有且仅有一条
B．有且仅有两条
C．有无穷多条
D．不存在
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3．过点(0，1)作直线，使它与 y2＝4x 仅有一个公共点，这样
的直线有( )
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条ຫໍສະໝຸດ 答案：C教材知识四基导航 考点典例探究领航 创新变化提能返航 课时规范训练
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解析：选 D.抛物线 y2＝4x 的焦点坐标为(1，0)，准线方程为 x ＝－1，设 A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 A，B 到直线 x＝－1 的距离之和为 x1＋x2＋2.
设直线方程为 x＝my＋1，代入抛物线 y2＝4x， 则 y2＝4(my＋1)，即 y2－4my－4＝0， ∴x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2. ∴x1＋x2＋2＝4m2＋4≥4. ∴A，B 到直线 x＝－2 的距离之和 x1＋x2＋2＋2≥6＞5. ∴满足题意的直线不存在．

极值。
04
抛物线在物理中的应用
01
抛物线在弹道 学中的应用： 描述炮弹、火 箭等物体的运 动轨迹
02
抛物线在光学 中的应用：描 述光线在介质 中的传播和反 射
03
抛物线在力学 中的应用：描 述物体在重力 作用下的运动 轨迹
04
抛物线在电学 中的应用：描 述电场和磁场 中的电荷运动 轨迹
抛物线在工程中的应用
抛物线的变形
抛物线的平移： 沿x轴或y轴平移， 改变抛物线的位
置
抛物线的伸缩： 沿x轴或y轴伸缩， 改变抛物线的形
状和大小
抛物线的旋转： 绕原点旋转，改 变抛物线的方向
和形状
抛物线的反射： 关于x轴或y轴反 射，改变抛物线
的位置和形状
抛物线的推广
01
抛物线方程：y =
ax^2 + bx + c
抛物线的焦点坐标 为（0, c），这是 抛物线的顶点到准
线的距离。
抛物线的性质
抛物线是二次函数y=ax^2+bx+c的图像，其中a、 b、c为常数。
抛物线的形状由a决定，a>0时，抛物线开口向上； a<0时，抛物线开口向下。
抛物线的顶点坐标为（-b/2a，c-b^2/4a），顶 点的横坐标为-b/2a，纵坐标为c-b^2/4a。
抛物线的准线
01 抛物线的准线是抛物线与它的焦点之间的 垂直距离。
02 抛物线的准线方程为：x = -p/2，其中p 是抛物线的焦参数。
03 抛物线的准线与抛物线的顶点之间的距离 为：p/2。
04 抛物线的准线与抛物线的对称轴之间的距 离为：p。抛物线的顶点 Nhomakorabea01
定义：抛物线 的顶点是抛物 线与x轴的交 点

以 F(2,0)为焦点，x＝－2 为准线的抛物线， p 又 ＝2.∴动圆圆心 P 的轨迹方程为 y2＝8x. 2
抛物线的标准方程及几何性 质
例2
抛物线的顶点在原点，对称轴为 y 轴，
它与圆 x2＋y2＝9 相交， 公共弦 MN 的长为 2 5， 求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准 线方程．
【解】 由题意， 抛物线方程为 x2＝2ay(a≠0)． 设公共弦 MN 交 y 轴于 A，则 MA＝AN，而 AN＝ 5. ∵ON＝3，∴OA＝ 32－ 52＝2， ∴N( 5，± 2)． 5 ∵N 点在抛物线上， ∴5＝2a· (± 2)， 即 2a＝± ， 2
的轨迹方程为________．
解析：由抛物线定义知，点 P 的轨迹是以点 F(2,0) 为焦点，直线 x ＝－ 2 为准线的抛物线 , 故其方程为y2＝8x. 答案：y2＝8x
考点探究讲练互动
考点突破 抛物线的定义及其应用
例1 已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛 物线上的动点，又有点 A(3,2) ．求 |PA| ＋ |PF| 的最小值,并求出取最小值时P点的坐标．
5 另一方面，由直线 OA 与 l 的距离 d＝ 5 |t| 1 可得 ＝ ， 5 5 解得 t＝± 1. 1 1 因为－1∉－ ，＋∞，1∈－ ，＋∞， 2 2 所以符合题意的直线 l 存在，其方程为 2x＋y－1＝0.
【题后感悟】
研究直线与抛物线的位置关
5 5 2 故抛物线的方程为 x ＝ y 或 x ＝－ y. 2 2 5 5 2 抛物线 x ＝ y 的焦点坐标为0， ，准线方程 8 2 5 为 y＝－ . 8 5 5 2 抛物线 x ＝－ y 的焦点坐标为0，－ ，准线 8 2 5 方程为 y＝ . 8

(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点P (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 的值为( )A ．4B ．－2C ．4或－4D ．12或－2 解析：设标准方程为x 2＝－2py (p >0)，由定义知P 到准线距离为4，故p 2＋2＝4，∴p ＝4， ∴方程为x 2＝－8y ，代入P 点坐标得m ＝±4.答案：C2．(2010·陕西高考)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( )A.12B ．1C ．2D ．4 解析：由已知，可知抛物线的准线x ＝－p 2与圆(x －3)2＋y 2＝16相切．圆心为(3,0)，半径为4，圆心到直线的距离d ＝3＋p 2＝4，解得p ＝2. 答案：C3．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( )A ．y 2＝±22xB ．y 2＝±2xC ．y 2＝±4xD ．y 2＝±42x解析：因为双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，则p 2＝ 2. ∴p ＝22，所以抛物线方程为y 2＝±42x .答案：D4．(2010·辽宁高考)设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( )A ．4 3B ．8C ．8 3D ．16解析：由抛物线的定义得，|PF |＝|PA |，又由直线AF 的斜率为－3，可知∠PAF ＝60°.△PAF 是等边三角形，∴|PF |＝|AF |＝4cos60°＝8. 答案：B5．若双曲线x 23－16y 2p 2＝1的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为( ) A ．2 B ．3C ．4 D. 2解析：双曲线的左焦点(－3＋p 216，0)，抛物线的准线x ＝－p2， ∴－3＋p 216＝－p2⇒p 2＝16，由题意知p ＞0，∴p ＝4.答案：C6．已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是() A.π6或5π6 B.π4或3π4C.π3或2π3 D.π2解析：抛物线焦点是(32，0)，设直线方程为y ＝k (x －32)，代入抛物线方程，得k 2x 2－(3k 2＋6)x ＋94k 2＝0，设弦两端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3k 2＋6k 2，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝3k 2＋6k 2＋3＝12，解得k ＝±1，∴直线的倾斜角为π4或3π4.答案：B二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．抛物线2x 2＋y ＝0的焦点坐标是________．解析：依题意得x 2＝－12y ，因此其焦点坐标是(0，－18)．答案：(0，－18) 8．(2011·南京模拟)已知点A (－2,1)，y 2＝－4x 的焦点是F ，P 是y 2＝－4x 上的点，为使|PA |＋|PF |取得最小值，P 点的坐标是________．解析：过P 作PK ⊥l (l 为抛物线的准线)于K ，则|PF |＝|PK |，∴|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PK |，∴当P 点的纵坐标与A 点的纵坐标相同时，|PA |＋|PK |最小．此时P 点的纵坐标为1，把y ＝1代入y 2＝－4x 得x ＝－14. 即当P 点的坐标为(－14，1)时，|PA |＋|PF |最小． 答案：(－14，1) 9．(2010·湖南高考)过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A ，B 两点，A ，B 在x 轴上的正射影分别为D ，C .若梯形ABCD 的面积为122，则p ＝________.解析：依题意，抛物线的焦点F 的坐标为(0，p 2)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y －p 2＝x ， 代入抛物线方程得，y 2－3py ＋p 24＝0， 故y 1＋y 2＝3p ，|AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋y 2＋p ＝4p ，直角梯形有一个内角为45°，故|CD |＝22|AB |＝22×4p ＝22p ，梯形面积为12(|BC |＋|AD |)×|CD |＝12×3p ×22p ＝32p 2＝122，p ＝2.答案：2三、解答题(共3小题，满分35分)10．已知点A (0，－2)，B (0,4)，动点P (x ，y )满足PA ·PB ＝y 2－8.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)设(1)中所求轨迹方程与直线y ＝x ＋2交于C ，D 两点，求证：OC ⊥OD (O 为原点)． 解：(1)由题意可得 PA ·PB ＝(－x ，－2－y )·(－x,4－y )＝y 2－8， 化简得x 2＝2y .(2)证明：将y ＝x ＋2代入x 2＝2y 中，得x 2＝2(x ＋2)．整理得x 2－2x －4＝0，可知Δ＝4＋16＝20>0，x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－4.∵y 1＝x 1＋2，y 2＝x 2＋2，∴y 1·y 2＝(x 1＋2)(x 2＋2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝4.∴k OC ·k OD ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝－1， ∴OC ⊥OD .11．(2010·福建高考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点A (1，－2)．(1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求直线l 的方程；若不存在，说明理由． 解：(1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1，所以p ＝2.故所求抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.(2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t y 2＝4x 得y 2＋2y －2t ＝0. 因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12. 由直线OA 与l 的距离d ＝55可得|t |5＝15，解得t ＝±1. 因为－1∉[－12，＋∞)，1∈[－12，＋∞)， 所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0.12.已知椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A (1,0)，过C 1的焦点且垂直长轴的弦长为1.(1)求椭圆C 1的方程；(2)设点P 在抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R)上，C 2在点P 处的切线与C 1交于点M ，N .当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，2·b 2a＝1. 从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.因此，所求的椭圆方程为y 24＋x 2＝1.(2)如图，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (t ，t 2＋h )，则抛物线C 2在点P 处的切线斜率为y ′|x ＝t ＝2t ，直线MN 的方程为：y ＝2tx －t 2＋h .将上式代入椭圆C 1的方程中，得4x 2＋(2tx －t 2＋h )2－4＝0.即4(1＋t 2)x 2－4t (t 2－h )x ＋(t 2－h )2－4＝0.①因为直线MN 与椭圆C 1有两个不同的交点，所以①式中的Δ1＝16[－t 4＋2(h ＋2)t 2－h 2＋4]＞0.②设线段MN 的中点的横坐标是x 3，则x 3＝x 1＋x 22＝t (t 2－h )2(1＋t 2). 设线段PA 的中点的横坐标是x 4，则x 4＝t ＋12. 由题意，得x 3＝x 4，即t 2＋(1＋h )t ＋1＝0.③由③式中的Δ2＝(1＋h )2－4≥0，得h ≥1或h ≤－3.当h ≤－3时，h ＋2＜0,4－h 2＜0，则不等式②不成立，所以h ≥1. 当h ＝1时，代入方程③得t ＝－1，将h ＝1，t ＝－1代入不等式②，检验成立．所以，h 的最小值为1.。

服/务/教/师 免交点 ＝0，设则曲C线1、CC1 2的的方交程点为坐F标1(即x，为y)FF＝210xx，，，曲yy＝＝线00C的2 实的数方解程，为方F程2(x组，有y) 几个解，两曲线就有几个公共点，若此方程组无解 ，则两曲线无 交点．
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规范解答之 12 直线、圆、椭圆的交汇问题 (12 分)(2013·课标全国卷Ⅰ)已知圆 M：(x＋1)2＋y2＝1， 圆 N：(x－1)2＋y2＝9，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程； (2)l 是与圆 P、圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A，B 两点，当圆 P 的半径最长时，求|AB|.
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4．直线与圆锥曲线的位置关系 将直线 l 的方程 Ax＋By＋C＝0(A、B 不同时为 0)代入圆锥曲 线 C 的方程 F(x，y)＝0，消去 y(也可以消去 x)得 ax2＋bx＋c＝0. (1)当 a≠0 时，设方程 ax2＋bx＋c＝0 的判别式为 Δ，则 Δ>0⇔直线与圆锥曲线 C 相交 ； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线 C相切 ； Δ<0⇔直线与圆锥曲线 C相离．
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考向 1 求动点的轨迹方程(高频考点) 命题视角 求动点的轨迹方程是高考命题的热点，主要的命题 角度有：(1)用“直译法”求动点的轨迹方程；(2)用“定义法”求 动点的轨迹方程；(3)用“转移法”求动点的轨迹方程．
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（2）y=2x2 F（0，1/8） y=-1/8 （3）2y2+5x=0 F（-5/8，0） x=5/8 （4）x2+8y=0 F（0，-2） y=2
2、根据下列条件写出抛物线的标准方程；
（1）焦点是（3，0）； y2=12x
（2）准线方程是x= - ¼； y2=x
（3）焦点到准线的距离是2；y2=4x y2=-4x x2=4y
图形
l
l
标准方程 焦点坐标 准线方程
y2 2 px ( p 0)
y2 2 px ( p 0)
( p ,0) 2
( p ,0) 2
x p 2
x p 2
x2 2 py (0, p ) y p
l ( p 0)
2
2
l x2 2 py (0， p ) y p
( p 0)
2
2Байду номын сангаас
第4页/共18页
( p ,0) 2
x p 2
x p 2
x2 2 py (0, p ) y p
l ( p 0)
2
2
l x2 2 py (0， p ) y p
( p 0)
2
2
第6页/共18页
第一：一次项的变量如为X（或Y） 则X轴（或Y轴）为抛物线的对称 轴，焦点就在对称轴上。！
第二：一次的系数决定了开口方向
求它的标准方程
y p
1、由已知确定开口方向及方程形式
2
2、求出p值
(0， p )
解:
2
因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上 x2 2 py
且 p 2 p 4 所以抛2物线的标准方程是: x2 2 py 8y
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1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：

考点二 抛物线的标准方程与几何性质
标准 方程
y2＝2px (p>0)
y2＝－2px
x2＝2py
(p>0)
离
x2＝－2py (p>0)
图形
顶点
_O__(_0_，__0_) _
对称轴 焦点 离心率 准线 方程 范围
y＝0
x＝0
______________
_____________
3．抛物线性质的应用技巧 (1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准 方程． (2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．
√ √
√ √ √
√ √
点拨 求解抛物线综合问题的方法 (1)研究直线与抛物线的位置关系一般用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、 距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活 应用． (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物 线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p(焦点在x轴正半轴)，若不过焦点， 则必须用弦长公式．
A．5 cm B．6 cm √C．7 cm D．8.25 cm
(3)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C： y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂 直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准 线方程为___________．
(2)以碗体的最低点为原点，向上方向为y轴，建立平面直角坐标系，如图所 示． 设碗体的抛物线方程为x2＝2py(p>0)，将点(5，6.25)代入， 得52＝2p×6.25，解得p＝2，则x2＝4y， 设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为h， 则两抛物线在第一象限的交点为(4，h－3)， 代入到x2＝4y中，得42＝4(h－3)，解得h＝7.故选C.