高等数学(下)无穷级数PPT课件

2 !
n !
x(1,1)
23
二、例题 n1
例1
判
断
级:数 (1)敛
散 n n
性 ;
解
1
1
nn nn
nn
un (n 1 )n
(1
1
, )n
n1(n1)n n
n
n2
ln i (1 m n 1 2)nln i [m 1 (n 1 2)n 2]n 1e0 1;
1
又 lim nn 1 n
ln im un10,
3 ! 5 !
(2 n 1 )!
x( , )
co x s 11x 21x 4 ( 1 )n x 2n
2 ! 4 !
(2 n )!
x(, )
22
ln1(x)x1x 21x 3 ( 1 )n 1x n
23
n
x(1,1]
(1x )
1 x ( 1 )x 2 ( 1 ) (n 1 )x n
任意项级数
1. 若SnS,则级数;收敛 2. 当 n,un0,则级数 ; 发散 3.按基本性质;
4.绝对收敛
4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法
4.绝对收敛 5.交错级数 (莱布尼茨定理)
4
2、幂级数
(1) 收敛性
定理1 (Abel定理)
如 果 级 数 anxn在 xx0(x00)处 收 敛 ,则
a.代数运算性质:
设anxn和bnxn的收敛半 R1和 R 径 2, 各
n0
n0
R m R 1 ,iR 2 n
加减法
anxn bnxn cn xn .
n0
n0
n0
x R ,R

边形, 设 a0 表示
这个和逼近于圆的面积 A . 即
DMU
第一节 常数项级数
定义 给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依
次相加, 简记为 un , 即
n1
称为无穷级数， 其中第 n 项 un 叫做级数的一般项,
级数的前 n 项和
称为级数的部分和. 收敛 , 并称 S 为级数的和.
xx0
f
(x)
A
xnk
x0
(xnk
x0 )
(k )
f (xnk ) A
例如 lim n2 ((1 1)2n e2 )
n
n
(1 lim
x0
1
)
2 x
x
x2
e2
2 ln(1 1 )
ex x
lim
x0
x2
e2
e (e 2
2 ln(1 1 )2 xx
1)
lim
x0
x2
DMU
第一节 常数项级数
5)两边夹法则
n1
莱布尼茨定理： 如果交错级数 （-1）n-1un满足条件 ：
n1
（1）un un1(n 1, 2,3, );
（2）lim n
un
0,
则级数收敛，且其和s u1 ,
其余项rn的绝对值 rn un1.
DMU
第三节 一般常数项级数的收敛判别法
用莱布尼茨 判别法判别下列级数的敛散性:
1) 1 1 1 1 (1)n1 1 n1 1
有和函数
它的发散域是 ( , 1 ] 及 [1， ）, 或写作 x 1.
又如, 级数
所以级数的收敛域仅为
DMU
级数发散 ;

is called the partial sum of the series. The partial sum of the series form a sequence
s1 = a1 , s2 = a1 + a2 ,
, sn = ∑ ak ,
k =1 n
n approaching infinite, we say that the series converges to the sum S, and we write
1+ 1 1 1 1 + + + + 2 4 8 16
Infinite Series
∑a
n =1
∞
n
=1 +
1 1 1 1 + + + + 2 4 8 16
Partial Sum First: Second: Third:
…
Value
s1 = 1
1 s2 = 1 + 2
21
2 2 1 2 1 4
The way to do so is not to try to add all the terms at once (we cannot) but rather to add the terms one at a time from the beginning and look for a pattern in how these "partial sum" grow.
k =1 n
Convergence and Divergence
Definition (Convergence and Divergence of a series) If the sequence of partial sums of a series

n0 n!
n0 n!
n0
2n n!
xn
2
n1
(n
1 1)!
xn
2x
n1
(n
1 1)!
x n1
2x
m0
1 m!
xm
S(x) 2xe x e x . 11
第七章 无穷级数
12.展开 f
(x)
2
3 x
x2 为x的幂级数，求收敛域．
解：f
(x)
2
3 x
x2
1 2
x
1 1 x
1 2
1
1
x
1 1 x
n1
n1
证：lim an2 n an
lim
n
an
0.
（比较极限）
4. 若级数
a
2 n
，
bn2 收敛，证明
(an bn )2 收敛．
n1
n1
n1
证：(an bn )2 an2 bn2 2anbn
2anbn an2 bn2. （比较，绝收→收）
4
第七章 无穷级数
5.若级数 an ， bn 收敛（其中 an , bn 0 ），
1
0，
1
，故
(1)n 收 敛 ．
n n ln n
n ln n
n1 n ln n
en lim(n ln n) lim ln
en lnlim
ln limen ．
n
n n
n n
n
( 1 ) n ln n
1
1
(n
n ln n)2
n1 n(n ln n)2
0．
3
第七章 无穷级数

lim
n
Sn
lim na
n
所以级数
aq
n 1
发散.
n 1
当
q
1时， aqn1
1n1，a 其前n项和
n 1
n 1
a，当n为奇数时 Sn 0，当n为偶数时
显然，当n→∞时，Sn没有极限.所以，级数
aq
n发1 散.
n 1
综上所述，等比级数
aq
n
，1 当
q
1 时收敛,
当
q 1
n 1
时发散.结论记住
注意 几何级数
aq n1
的敛散性非常重要.无论是用比
n 1
较判别法判别级数的敛散性，还是用间接法将函
数展开为幂级数，都经常以几何级数敛散性为基础.
.
2．数项级数的基本性质
性质1
如果级数
u
n
收敛，其和为s,
k为常数，则级数
n 1
ku
n
也收敛，其和为ks；如果级数
un
发散，当k≠0时，
n 1
n 1
级数 kun也发散.
不趋于零，则该级数必定发散.应当看到，性质5只
是级数收敛的必要条件，并不是级数收敛的充分条
件，也就是说，即使
lim
n
un
0 ，也不能由此判定级
数
un
n 1
收敛.下面的例正说明了这一点：lim 1
n n
0
，
但级数
1
发散.
n n 1
例7
证明调和级数
1
是发散级数.
n n1
证
调和级数部分和
Snn1如图，源自u收敛．n
n 1

sn
,
这时级数发散.
若q 1,这时sn na (n ),因此级数发散. 若q 1,这时级数成为a a a a 此级数发散。
第12页/共122页
综上所述,几何级数
aqn a aq aq2 aqn
当|q|<1时级数收敛,且收敛于 n0，当|q|≥1时级a数发散.
1 q
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对于无穷级数 un u1 u2 un
n1
记Ｓ１ ｕ１，
Ｓ２ ｕ，１ ｕ２，
Ｓｎ u1 u2 un ,
称Sｎ为级数的部分和， 称 { Ｓｎ} 为级数的部分和数列.
考察下列级数的部分和： 1
1 2
1 22
1 23
1 2n1
1 23 n
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对于 1 1 1 1 1
p 1 时, p 1 时,
收敛 发散
注意
几何级数
n1
1 pn
当 当
p p
1 时, 1 时,
收敛 发散
1 收敛 3
n1 n 2
1 发散
n1 n
1 收敛
n1 n n
1 收敛
n1 2n
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例5 判别级数
解
因为
的敛1散性.
n1 n 1 n
1
1
1
1
n 1
n2
n1 2
2n 2
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定理1 正项级数 它的部分和数列{sn}有上界.
u 收敛的充要条件是： n n1
证 必要性:
若
{Sn} 有界
un 收敛
n1
lim
n
Sn
存在
{Sn} 有上界.

1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) 1 2 2 3 n(n 1) 2 2 3 n n 1
1 n 1
1
因为
1 lim Sn lim 1 1 ,所以这个级数收敛,其 n n n 1

注意 性质6可以用来判定级数发散：如果级数一般项
不趋于零，则该级数必定发散.应当看到，性质6只
是级数收敛的必要条件，并不是级数收敛的充分条
un 0 ，也不能由此判定级 件，也就是说，即使 lim n
数 u n 收敛.下面的例9正说明了这一点： lim 0 ， n n 但级数 1 n 1
所以，阴影部分的总面积为
1 1 1 n 1 A Ak 1 k 1 2 3 n k 1 k
n
它显然大于曲边梯形的面积S，即有
A Ak 1
k 1 n n 1
1 n dx ln x |1 ln n 1 1 x
而
lim ln1 n
所以级数
发散.
1 n 1 1 n 1 n 1 2 n n 1

例6 判别级数
的敛散性.
解 级数 1 与级数 n 1
n 1

n 1
级数
2 n1
1 都收敛，故由性质2知， nn 1
1 n 1 . 1收敛 n 1 n 1 2 n n 1
8到15项，…加括号后得
1 ( 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ( ) ( ) p p p p p p p p 2 3 4 5 6 7 8 15
它的各项显然小于级数

详细描述
波动方程是描述波在空间中传播的基本方程，如弦的振动、波动声学等。无穷 级数可以用来表示波函数或解，从而描述波的形状、幅度和相位。
在量子力学中的应用
总结词
无穷级数在量子力学中用于描述微观粒子的波函数和能量状 态。
详细描述
在量子力学中，波函数是描述粒子状态的基本工具。无穷级 数可以用来表示粒子在不同空间位置的概率幅，从而描述粒 子的运动状态和性质。此外，无穷级数还在量子力学的能量 谱表示中发挥重要作用。
数据、预测趋势等。
无穷级数未来的研究方向与挑战
探索新的无穷级数展开方法
随着数学和物理学的发展，需要不断探索新的无穷级数展开方法，以解决新的问题和挑战 。
深入研究无穷级数的收敛性和可积性
对于无穷级数的收敛性和可积性问题，需要进行更深入的研究，以更好地应用于实际问题 。
探索无穷级数与其他数学方法的交叉研究
收敛的定义与性质
收敛的定义
无穷级数是指一个数列的和，如果这 个数列的和存在，则称该级数收敛。
收敛的性质
收敛级数的和是一个确定的数，且与 级数的项的排列顺序无关。同时，收 敛级数的项可以任意地接近于零，但 不能等于零。
收敛的判断方法
柯西收敛准则
如果对于任意给定的正数 $varepsilon$，存在一个正整数 $N$，使得对于所有的$n>N$， 有$|a_n|<varepsilon$，则该级
数收敛。
比较审敛法
通过比较两个级数的通项，如果 一个级数的通项小于另一个已知 收敛或发散的级数的通项，则该
级数也收敛或发散。
根式审敛法
如果一个级数的通项可以写成 $a^n$的形式，其中$0<a<1$，
则该级数收敛。