高等数学：第十二章函数无穷级数(高等教育出版社)

Calculus第Ⅱ册教学设计一、教学目标本课程旨在让学生掌握以下内容： - 了解无限级数和纯数列的概念 - 掌握级数的判敛方法 - 学会比较判别法，极限比较法和积分比较法 - 掌握收敛性的一些基本性质 - 学会对常见函数进行幂级数展开二、教学内容本课程将分为以下几个部分：1. 第十二章无限级数和纯数列•无限级数和级数的收敛性•纯数列及其极限•无穷级数的加法、乘法和绝对收敛2. 第十三章级数的判敛方法•柯西收敛准则•比较判别法•极限比较法•积分比较法•对数级数和p级数的探讨3. 第十四章收敛性的性质和应用•收敛级数的性质•正项级数的判敛法•绝对收敛级数的判敛法•反常级数及其收敛性•常数项级数和交错级数的探讨4. 第十五章幂级数•幂级数及其收敛区间•幂级数的求和及其应用•常见函数的幂级数展开•泰勒公式及其应用三、教学方法本课程采用以下教学方法： - 讲授基本概念和理论 - 通过习题演示和解析加深学生的理解 - 展示和讲解具体的例题 - 组织学生参与课堂互动 - 培养学生的独立思考能力和解决问题的能力四、教学重点和难点•第十二章和第十三章的基本理论和方法，如极限比较法和柯西收敛准则的掌握•第十五章的幂级数及其应用五、教学评估•日常考核：每周布置习题，通过小测验进行检验•期中考试：针对本学期课程进行考核•期末考试：对整个学期的课程进行考核，包括分析和计算题六、教学参考书•《高等数学》（第七版），同济大学数学系编著，高等教育出版社•《微积分学教程》（第二版），汤家凤、马国明编著，高等教育出版社以上为本课程的教学设计。

希望通过这门课程，学生们能够深入理解学习微积分的重要性，并在此基础上开展更多有意义的研究，为社会做出更多有益的贡献。

《高等数学》课程标准《高等数学》课程是本科非数学类各理科专业的重要专业基础课，在大学教育及高素质人才的培养过程中占有十分重要的地位。

随着时代的发展、科学的进步、经济的腾飞，数学科学已与自然科学、社会科学并列为三大基础科学，数学地位的巨大变化必将影响到高等数学课程在整个高等教育中的地位与作用。

同时，《高等数学》课程还担负着培养学生严谨的思维、求实的作风、创新的意识等任务。

因此，《高等数学》不仅要向学生传授数学知识，更要注重培养学生的数学修养。

但是，不同学科和专业对高等数学知识的需求不同，同时，为了满足我校学生将来考研的需要，根据专业需求的特点和考研《数学一》至《数学三》的要求，将《高等数学》课程划分为如下三个层次。

《高等数学I》（第一层次）一、课程说明：《高等数学I》由微积分、线性代数和概率论与数理统计三部分构成，本课程是物理教育专业和计算机等专业的一门必修的基础课程，也可供将来考研时需要考《数学一》的其它专业同学选修。

课程总学时为276学时，分四个学期行课，其中，第一学期78学时，4学分，第二学期90学时，5学分，第三学期54个学时，3学分，第四学期54个学时，3学分，共15学分。

1．参考专业：物理教育和计算机等专业。

2．课程类别：专业基础课3．参考教材与参考书目教材：1 《高等数学》第六版，同济大学高等数学教研室编，高等教育出版社，2007年。

2 居余马等编著，线性代数（第2版），北京，清华大学出版社，2002年9月第2版3 盛骤等，概率论与数理统计（第二版），北京：高等教育出版社，1989。

参考书目：1 四川大学数学系高等数学教研室编，高等数学（第一、二、三、四册），北京，高等教育出版社，1997。

2 同济大学应用数学系编，线性代数（第4版）北京，高等教育出版社，2003年7月。

3 高世泽，概率统计引论，重庆：重庆大学出版社，2000年。

4．课程教学方法与手段以教师讲授为主，学生自学为辅的教学方式进行教学，课堂上的教学以启发式的方式进行讲授，学生作适当的课内练习。

12)1()(x f 0x x =)(00x f a =!)(0)(k x f a k k =ππππ11()cos d (0,1,2,),()sin d (1,2,)ππn n a f x nx x n b f x nx x n --====⎰⎰． 34求收敛半径定理，幂级数展开定理，1 为了叙述方便，称前者为有限加而无穷个数相加只是我们不可能用有限加法的方法来完成另外，有限加法中的结合律和交换律在我们在研究无限累加时，是以有限加法(部一般情况下，这个和的数值不易求得，教科书1 ，B ．）级数的求和问题． +-+-=1111x0)11()11(=+-+-= x 1)11()11(1=-----= x x x -=+-+--=1)1111(1 ，于是12x =． 柯西指出：以上解法犯∑∞=--11)1(n n2 ∑∞=1n nu0lim ≠∞→n n u ∑∞=1n nup2 1π3sin4n nn ∞=∑ π303sin π44nnn ⎛⎫<< ⎪⎝⎭13π4nn ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑1π3sin4n nn ∞=∑ 11π3sin341π43sin 4n n n n ++=< 1π3sin4n n n ∞=∑ 3 ∑∞=1n nu0lim ≠∞→n n u 0lim =∞→n n u∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nu0lim ≠∞→n n u3 ∑∞=---+-11)11()1(n n n n1111211)11()1(1+>-++=--+=--+--n n n n n n n n∑∑∞=∞==+01111n n nn ∑∞=---+-11)11()1(n n n n0112limlim =-++=∞→∞→n n u n n n0)2)(11()1(2)12(2)2()11(1>++--+--++-+=-+---+=-+n n n n n n n n n n n n u u n n4 ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--21111n n n∑∑∑∞=∞=∞==-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--22112121111n n k k n n n 11k k ∞=∑∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--21111n n n 4 0n n n a x ∞=∑nn n a a 1lim+∞→R ),(R R -R x ±=nn n a a 1lim +∞→0x x 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()1π(π)(2ππ)(π)x f x f f f →=+=-=-= ，)(x f πx =)(x f πx =处收敛于(π)f =1π+ ．∑∞=+1)1(n nxn n 的收敛域与和函数；∑∞=+1)1(n nxn n =∑∞=-+11)1(n n nxn x=∑∞=++0)1)(2(n nxn n x，)(x s ∑∞=++0)1)(2(n nxn n 1-11)(x u 0()d x s x x ⎰00(2)(1)d x nn n n x x ∞=++∑⎰∑∞=++01)2(n n x n()d x u x x ⎰100(2)d x n n n x x ∞+=+∑⎰∑∞=+02n n xxx -12)(x u )1(2'-x x 22)1()1(2x x x x -+-22)1(2x x x -- )(x s ])(['x u ])1(2[22'--x x x 3)1(2x -∑∞=+1)1(n n x n n )(x xs 3)1(2x x- )1,1(-∈x ∑∞=-11n n nx∑∞=+1212n nn x)(x s ∑∞=-11n n nx()d x s x x ⎰101d x n n nx x ∞-=∑⎰∑∞=1n n x xx-1 )(x s )1('-xx2)1(1x -∑∞=-11n n nx 2)1(1x - )1,1(-∈x∑∞=+1212n n n x ∑∞=++112121n n n x x)(x u ∑∞=++11212n n n x='])([x u )12(112'+∑∞=+n n n x ∑∞=12n nx 221x x - )(x u 0()d x u x x '⎰220d 1xx x x -⎰201d 1x x x -⎰0d x x ⎰x x x --+11ln 21∑∞=+1212n n n x ∑∞=++112121n n n x x 111ln 21--+x xx xx f 1)(=3-x x x f 1)(=3)3(1+-x 331131-+⋅xx+11)1,1()1(12-∈+-+-+-x x x x nnx x f 1)(=331131-+⋅x 31]33)1()33(331[2 +⎪⎭⎫⎝⎛--+--+--nn x x x ∑∞=+--01)3(3)1(n nn n x )1,1(33-∈-x 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第十二章 无穷级数无穷级数是数与函数的一种重要表达形式，也是微积分理论研究与实际应用中极其有力的工具. 无穷级数在表达函数、研究函数的性质、计算函数值以及求解微分方程等方面都有着重要的应用. 研究级数及其和，可以说是研究数列及其极限的另一种形式，但无论在研究极限的存在性还是在计算这种极限的时候，这种形式都显示出很大的优越性. 本章先讨论数项级数，介绍无穷级数的一些基本内容，然后讨论函数项级数，并着重讨论如何将函数展开成幂级数与三角级数的问题.第一节 常数项级数的概念和性质教学目的：1、理解无穷级数的概念；2、理解级数的收敛或发散的概念；3、掌握等比级数和p 级数等特殊级数的敛散性；4、了解无穷级数的基本性质。

教学重点：级数收敛或发散的判定 教学难点：级数收敛或发散的判定 教学内容：一、常数项级数的概念定义1 给定数列{}n u ，则称12n u u u ++++L L为常数项无穷级数，简称级数，记做1n n u ¥=å，即121n n n u u u u ¥==++++åL L式子中每一项都是常数，称作常数项级数，第n 项称为级数的一般项（或通项）。

级数1n n u ¥=å的前n 项和称为级数的部分和，记做n s ，即12n n s u u u =+++L级数的所有前n 项部分和n s 构成一个数列{}n s ，称此数列为级数1n n u ¥=å的部分和数列。

定义2 若级数1n n u ¥=å的部分和数列{}n s 收敛于s ，则称级数1n n u ¥=å收敛，或称1nn u ¥=å为收敛级数，称s 为这个级数的和，记作121n n n s u u u u ¥==++++=åL L而12n n n n r s s u u ++=-=++L称为级数的余项，显然有lim lim()0n n nnr s s =-=若{}n s 是发散数列，则称级数1n n u ¥=å发散，此时这个级数没有和。

高等数学系列教材目录表第一章：极限与连续1.1 极限的概念1.2 极限的运算法则1.3 无穷小与无穷大1.4 一元函数的连续性第二章：函数的导数与微分2.1 导数的定义2.2 导数的基本运算法则2.3 高阶导数与高阶微分2.4 隐函数与参数方程求导第三章：一元函数的微分学应用3.1 最值与最值存在条件3.2 凹凸性与拐点3.3 曲线的渐近线3.4 微分中值定理与Taylor公式第四章：不定积分4.1 不定积分的概念4.2 基本积分表与换元法4.3 分部积分与定积分的计算4.4 函数积分的性质第五章：定积分5.1 定积分的概念5.2 定积分的计算方法5.3 反常积分5.4 定积分的应用第六章：微分方程6.1 常微分方程的基本概念6.2 可分离变量与齐次方程6.3 一阶线性微分方程6.4 高阶线性微分方程第七章：多元函数微分学7.1 多元函数的极限与连续7.2 多元函数的偏导数7.3 隐函数与参数方程的偏导数7.4 多元函数的全微分第八章：重积分8.1 二重积分的概念与计算8.2 极坐标系下的二重积分8.3 三重积分的概念与计算8.4 数值积分与重积分的应用第九章：曲线曲面积分9.1 第一类曲线积分9.2 第二类曲线积分9.3 曲面积分的概念与计算9.4 应用实例解析第十章：无穷级数10.1 数项级数的概念与性质10.2 收敛级数的判定10.3 幂级数与函数展开10.4 泰勒级数与麦克劳林级数第十一章：常微分方程11.1 一阶常微分方程11.2 高阶常微分方程11.3 实际问题建模与解答11.4 系统常微分方程第十二章：向量代数与解析几何12.1 向量空间与基底12.2 向量的内积与外积12.3 线性方程组与矩阵12.4 空间曲线与曲面第十三章：多元函数微分学的应用13.1 梯度与方向导数13.2 多元函数的极值与最值条件13.3 二次型与正定性13.4 特征值与特征向量第十四章：多元积分学14.1 二重积分的计算技巧14.2 三重积分的计算技巧14.3 坐标变换与积分的几何应用14.4 曲线曲面积分的计算方法第十五章：无穷级数的应用15.1 幂级数的收敛域与函数展开15.2 Fourier级数与函数展开15.3 数学物理方程的解析解15.4 波动方程与热传导方程第十六章：曲线积分与曲面积分的应用16.1 曲线积分的物理应用16.2 曲面积分的物理应用16.3 物理场的散度与旋度16.4 应用实例解析与计算第十七章：多元函数的傅里叶级数17.1 多元函数的Fourier级数展开17.2 空间中的Fourier级数与Fourier变换17.3 矢量值函数的Fourier级数展开17.4 傅里叶级数的物理应用第十八章：向量场与格林公式18.1 向量场的数学描述18.2 向量场的积分与路径无关性18.3 格林公式的证明与应用18.4 微分形式与斯托克斯公式这是一份高等数学系列教材的目录表，涵盖了极限与连续、函数的导数与微分、微分方程、重积分、曲线曲面积分、无穷级数、向量代数与解析几何、多元函数微分学的应用等主要内容。

第十二章无穷级数【本章网络构造图】第一节常数项级数概念与性质一、常数项级数收敛与发散给定一个数列将各项依次相加, 简记为，即，称该式为无穷级数，其中第项叫做级数一般项,级数前项与称为级数局部与。

假设存在，那么称无穷级数收敛，并称为级数与,记作；假设不存在，那么称无穷级数发散。

当级数收敛时, 称差值为级数余项。

显然。

【例1】〔93三〕级数与为 .【答案】结论：等比〔几何〕级数：收敛当时发散当时二、收敛级数与假设收敛，那么其与定义为。

三、无穷级数根本性质学习笔记：〔1〕假设级数收敛于，即，那么各项乘以常数所得级数也收敛，其与为。

注：级数各项乘以非零常数后其敛散性不变（2）设有两个收敛级数，，那么级数也收敛, 其与为。

注：该性质说明收敛级数可逐项相加或相减相关结论：〔1〕假设两级数中一个收敛一个发散,那么必发散。

〔2〕假设二级数都发散，不一定发散。

【例】取，，而。

〔3〕在级数前面加上或去掉有限项，不会影响级数敛散性。

〔4〕收敛级数加括弧后所成级数仍收敛于原级数与。

推论：假设加括弧后级数发散，那么原级数必发散。

注：收敛级数去括弧后所成级数不一定收敛。

【例】，但发散。

【例2】判断级数敛散性：【解析与答案】学习笔记：不存在故原级数发散四、级数收敛必要条件必要条件：假设收敛，那么。

逆否命题：假设级数一般项不趋于0，那么级数必发散。

【例】，其一般项为，当时，不趋于0，因此这个级数发散。

注：并非级数收敛充分条件【例】调与级数，虽然，但是此级数发散。

事实上，假设调与级数收敛于，那么，但，矛盾！所以假设不真。

【例3】判断以下级数敛散性，假设收敛求其与：〔1〕〔2〕【答案】〔1〕发散；〔2〕发散五、两个重要级数：几何级数与p级数敛散性学习笔记：〔1〕几何级数：，当时收敛；当时发散.〔2〕级数(或对数级数)：，当时收敛，当时发散。

【重点小结】1、常数项级数收敛与发散定义2、常数项级数敛散性质3、常数项级数收敛必要条件4、常用两个常数项级数第二节常数项级数审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数：假设，那么称为正项级数。

《高等数学》教学大纲Advanced Mathematics英文名称：Higher mathematics 课程类型：必修、基础理论课学时：160 学分：8使用对象:理工科类各专业先修课程:数学课程的教学目的与任务高等数学课程是理工科本科各专业学生的一门必修的重要基础理论课。

通过本课程的学习，要求学生掌握微积分学；向量代数和空间解析几何；级数；和常微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能。

为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。

在本课程的各个教学环节中，一方面要讲授高等数学知识，另一方面要逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算和综合运用所学知识去提出问题、分析问题和解决问题的能力。

课程的基本要求本课程的内容按教学要求的不同，分为两个层次。

重点内容部分要求学生深入理解、牢固掌握、熟练运用。

其它内容也时教学中必不可少的，只是在要求上低一些，对相应的概念和原理只作为一般的理解和了解。

具体在课堂教学过程中会做些相应的说明。

教学内容、方法及教学安排第一章：函数与极限建议学时：16[教学目的与要求]1.理解函数的概念，理解分段函数、参数式方程确定的函数，熟练地使用函数记号。

2. 了解函数的单调性、周期性、奇偶性和有界性。

3.了解反函数、复合函数的概念。

4.掌握基本初等函数的图形。

5.能将简单实际问题中的函数关系表达出来。

6.了解极限的e—N、e—δ的定义。

理解极限思想。

7.了解极限的基本性质，理解函数左、右极限概念。

8.掌握极限四则运算法则。

9.理解极限存在的两个准则，掌握利用两个重要极限求极限。

11.了解无穷小，无穷大的概念，理解无穷小的性质以及它与极限的关系，掌握利用无穷小性质求某些极限，掌握无穷小的比较。

12.理解函数在一点连续与间断的概念，掌握间断点的分类及判定。

13.了解初等函数的连续性，连续函数的四则运算，复合函数及反函数的连续性。

无穷级数——高等数学下册国家级精品课程教案第一章：无穷级数的概念与性质1.1 无穷级数的定义1.2 无穷级数的收敛性与发散性1.3 无穷级数的分类1.4 无穷级数的运算性质第二章：幂级数2.1 幂级数的定义与收敛半径2.2 幂级数的运算2.3 幂级数在函数逼近中的应用第三章：泰勒级数与泰勒公式3.1 泰勒级数的定义3.2 泰勒公式的推导与意义3.3 泰勒级数在函数逼近中的应用第四章：傅里叶级数4.1 傅里叶级数的定义与收敛性4.2 傅里叶级数的运算4.3 傅里叶级数在信号处理中的应用第五章：斯特林级数与级数的热传导问题5.1 斯特林级数的概念与性质5.2 级数的热传导问题及其求解方法5.3 斯特林级数在概率论与数学物理中的运用第六章：级数的一致收敛性与绝对收敛性6.1 一致收敛性与绝对收敛性的定义6.2 级数的一致收敛性与绝对收敛性的判定方法6.3 级数的一致收敛性与绝对收敛性的性质与应用第七章：交错级数7.1 交错级数的定义与性质7.2 交错级数的收敛性判定7.3 交错级数在数学分析中的应用第八章：多重级数8.1 多重级数的定义与性质8.2 多重级数的收敛性判定8.3 多重级数在数学分析中的应用第九章：级数逼近与数值计算9.1 级数逼近的基本概念与方法9.2 数值计算中常用的级数逼近方法9.3 级数逼近在科学计算中的应用第十章：特殊级数10.1 常用特殊级数的概念与性质10.2 特殊级数的求和方法10.3 特殊级数在数学分析中的应用第十一章：级数展开与积分11.1 级数展开的基本方法11.2 常用积分公式与级数展开11.3 级数展开在微分方程求解中的应用第十二章：级数解微分方程12.1 级数解的一阶微分方程12.2 级数解的二阶线性微分方程12.3 级数解微分方程在物理学和工程学中的应用第十三章：级数在常微分方程中的应用13.1 级数方法在常微分方程定性分析中的应用13.2 级数方法在常微分方程数值解中的应用13.3 级数方法在常微分方程几何解释中的应用第十四章：级数在偏微分方程中的应用14.1 级数方法在偏微分方程求解中的应用14.2 级数方法在偏微分方程数值解中的应用14.3 级数方法在偏微分方程稳定性分析中的应用第十五章：级数方法在其他数学领域的应用15.1 级数方法在概率论与数理统计中的应用15.2 级数方法在数值分析中的应用15.3 级数方法在其他数学分支学科中的应用重点和难点解析重点：1. 无穷级数的基本概念、性质及其分类；2. 幂级数、泰勒级数、傅里叶级数和斯特林级数的基本概念、性质与应用；3. 级数的一致收敛性与绝对收敛性的判定方法及其性质；4. 交错级数、多重级数的收敛性判定及其在数学分析中的应用；5. 级数逼近与数值计算的基本方法及其在科学计算中的应用；6. 特殊级数的概念、性质与求解方法；7. 级数展开与积分在微分方程求解中的应用；8. 级数解微分方程、常微分方程定性分析、数值解及几何解释中的应用；9. 级数方法在偏微分方程求解、数值解及稳定性分析中的应用；10. 级数方法在概率论与数理统计、数值分析及其他数学分支学科中的应用。

,,n u 则式子1n u u ++叫做无穷级数,记前n 项和为12n u u u =+++，当，即lim n n SS →∞=则称无穷级数收敛，其极限值S 称为级数的和，并记为n u ++； 若n S 没有极限，就称无穷级数发散。

．无穷级数的基本性质n u 收敛于S ，则每一项乘以一个不为零的常数设有两个收敛级数：12n Su u u =++++，1n v v σ=+++()n n u v +±+收敛于和S σ±。

在级数的前面部分去掉或加上有限项，不影响级数的敛散性，但是其级数和会发生相应变化。

收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和S 。

常数项级数收敛的必要条件：若级数1nn u∞=∑收敛，则当n 趋于无穷大时，它的一般项n u 必趋近|n p u ++<nn n n n a x a x ∞=++=∑这种级数称为幂级数，其中a n (n=0,1,2,…)均为常数。

时，它就变为一个常数项级数。

(x 0≠0)时收敛，则适合不等式|x|<|x 111n n n n n na xna x ∞--=++=∑求导后的幂级数与原级数有相同的收敛半径。

s(x)在敛区内可以积分，并且有逐项积分公式：00)1xnn n n n a x dx a x dx n ∞∞====+∑∑⎰()(!n f x n +，称为拉格朗日余项。

阶泰勒公式中的余项趋于零。

此时函数展开式称为()(0)!n n f x n ++）的麦克劳林级数是x 的幂级数，那么这种展开是唯一的，=0的某一临域内收敛，它不一定收敛于）的麦克劳林级数虽然能做出来，但这个级数能否在某个区）都需要进一步验证 1,!nx x n ++-∞<<+∞1211(1),(21)!n n x x n --+-+-∞<<+∞-的展开式2(1)(1)(1),2!!nm m m m m n x x n ---+++++）的展开式：,11n x x +++-<<一般情况下函数展开成幂级数采用间接展开法，即利用简单的函数的展开式、幂级数在收敛域内可逐项求导及可逐项求积分的性质以及变量代换等对复杂函数进行展开。

高等数学教材的目录部分高等数学教材目录：第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质1.2 极限的定义1.2.1 数列极限1.2.2 函数极限1.3 极限的运算法则1.4 连续和间断第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质2.2 基本导数公式2.3 高阶导数2.4 隐函数与参数方程的导数2.5 微分的定义与性质2.6 导数的应用第三章：不定积分与定积分3.1 不定积分的概念与性质3.2 基本积分公式与常用积分法3.3 定积分的概念与性质3.4 定积分的计算方法3.5 牛顿-莱布尼茨公式与定积分的应用第四章：微分方程4.1 微分方程的概念与基本术语4.2 一阶常微分方程4.3 二阶常微分方程4.4 高阶线性微分方程4.5 变量可分离的微分方程4.6 微分方程的应用第五章：无穷级数5.1 数列极限与无穷级数的概念5.2 级数的敛散性5.3 正项级数的审敛法5.4 幂级数的收敛域与常见函数展开第六章：多元函数与偏导数6.1 多元函数的概念与性质6.2 偏导数的定义与计算6.3 高阶偏导数与混合偏导数6.4 隐函数的偏导数6.5 多元函数的极值与条件极值第七章：重积分与曲线积分7.1 重积分的概念与性质7.2 二重积分的计算方法7.3 三重积分的计算方法7.4 曲线积分的概念与计算方法7.5 曲面积分的概念与计算方法7.6 广义积分的概念与收敛性第八章：多元函数的积分学8.1 多元函数的概念与性质回顾8.2 参数方程下的曲线积分8.3 曲面积分的参数化与计算8.4 向量场与格林公式8.5 散度与无源场8.6 旋度与无旋场8.7 斯托克斯公式与高斯公式第九章：常微分方程的数值解法9.1 常微分方程初值问题的数值解法概述9.2 欧拉方法与改进欧拉方法9.3 二阶龙格-库塔法9.4 多步法与预测校正法9.5 常微分方程边值问题的数值解法以上是高等数学教材的目录部分，这些章节覆盖了高等数学的核心内容，从函数与极限到常微分方程的数值解法等方面进行了全面而深入的讲述。

第十二章 数 项 级 数§1 级数的收敛性1． 数项级数的概念在初等数学中，我们知道：任意有限个实数n u u u ,,,21 相加，其结果仍是一个实数，在本章将讨论——无限多个实数相加——级数——所可能出现的情形及特征．如+++++n 2121212132 从直观上可知，其和为1． 又如， +-++-+)1(1)1(1． 其和无意义；若将其改写为： +-+-+-)11()11()11( 则其和为：0；若写为： ++-++-+]1)1[(]1)1[(1 则和为：1．问题：无限多个实数相加是否存在和；如果存在，和等于什么．定义1 给定一个数列{}n u ，将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式+++++n u u u u 321 （1）称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中n u 称为级数（1）的通项．级数（1）简记为：∑∞=1n n u，或 ∑n u ．2． 级数的收敛性记 n n k k n u u u u S +++==∑= 211称之为级数∑∞=1n n u的第n 个部分和，简称部分和．定义2 若数项级数∑∞=1n n u的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S n n =∞→lim ），则称数项级 数∑∞=1n n u收敛 ，称S 为数项级数∑∞=1n n u 的和，记作=S ∑∞=1n n u= +++++n u u u u 321．若部分和数列{}n S 发散，则称数项级数∑∞=1n n u 发散． 例1试讨论等比级数（几何级数）∑∞=--+++++=1121n n n aq aq aq a aq，)0(≠a的收敛性．解：见P2．例2 讨论级数++++⋅+⋅+⋅)1(1431321211n n 的收敛性．解：见P2． 3． 收敛级数的性质由于级数∑∞=1n n u的敛散性是由它的部分和数列{}n S 来确定的，因而也可以认为数项级数∑∞=1n n u 是数列{}n S 的另一表现形式．反之，对于任意的数列{}n a ，总可视其为数项级数∑∞=1n n u+-++-+-+=-)()()(123121n n a a a a a a a的部分和数列，此时数列{}n a 与级数 +-++-+-+-)()()(123121n n a a a a a a a 有 相同的敛散性，因此，有定理1（级数收敛的Cauchy 准则） 级数（1）收敛的充要条件是：任给正数ε，总存在正整数N ，使得当Nm >以及对任意的正整数p ，都有ε<++++++p m m m u u u 21．注：级数（1）发散的充要条件是：存在某个00>ε，对任何正整数N ，总存在正整数00),(p N m >，有0210000ε≥++++++p m m m u u u ．推论 （必要条件） 若级数（1）收敛，则0lim =∞→n n u ． 注：此条件只是必要的，并非充分的，如下面的例3．例3 讨论调和级数+++++n 131211 的敛散性．解：显然，有 01limlim ==∞→∞→n u n n n ，但当令 m p =时，有 m m m m u u u u 2321+++++++ mm m m 21312111+++++++=2121212121=++++≥m m m m ． 因此，取210=ε，对任何正整数N ，只要N m >和m p =就有 0210000ε≥++++++p m m m u u u ，故调和级数发散．例4 应用级数收敛的柯西准则证明级数 ∑21n 收敛．证明：由于p m m m u u u ++++++ 21=222)(1)2(1)1(1p m m m ++++++ ))(11)2)(1(1)1(1p m p m m m m m +-+++++++< mp m m 111<+-=． 故对0>∀ε，取]1[ε=N ，使当N m >及对任何正整数p ，都有 pm m m u u u ++++++ 21ε<<m 1． 故级数 ∑21n 收敛．定理2 若级数∑∞=1n n u与∑∞=1n n v 都有收敛，则对任意常数d c ,，级数)(1n n n dv cu +∑∞=也收敛，且 )(1n n n dv cu+∑∞=∑∑∞=∞=+=11n n n n v d u c ． 即对于收敛级数来说，交换律和结合律成立．定理3 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性．（即级数的敛散性与级数的有限个项无关，但其和是要改变的）．若级数∑∞=1n n u收敛，设其和为S ，则级数 ++++21n n u u 也收敛，且其和为n n S S R -=．并称为级数∑∞=1n n u 的第n 个余项（简称余项），它代表用n S 代替S 时所产生的误差． 定理4 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和．注意：从级数加括号后的收敛，不能推断加括号前的级数也收敛（即去括号法则不成立）． 如： +-++-+-)11()11()11( ++++=000收敛，而级数+-+-1111是发散的．作业：P5 1， 2， 5。