高等数学--无穷级数ppt

n 1 dx
n n1 p
Sn
1
1 2p
1 3p
1 np
1
1， p1
n 1 dx.
x n1 p
{
S
n
}有界，故p级数
n1
1 np
收敛
.
3、比较判别法
设 un和 vn均为正项级数，且un vn，
n1
n1
等比级数 aq ， n1
例3、判断下列级数的敛散性
n1
(1)
n1
1， n(n2 1)
解：(1)
由性质4得该级数收敛，与已知矛盾. 故原级数发散. 三、级数收敛的必要条件
三、级数收敛的必要条件
证：设级数 un的部分和为Sn，且 lim
n1
n
Sn
S,
因为 un Sn Sn1，
所以
lim
n
un
lim(
n
Sn
Sn1 )
lim
n
Sn
lim
n
Sn1
S S 0.
2、推
论：设
lim
n
un
a
0，则级数 un发散.
n1
的敛散性. 解：Sn a
aq
aq2
aqn1
a(1
1
qn q
)，当q
1时 .
当q
1时，lim n
Sn
a， 1q
na， 当q 1时
故级数
n1
aqn1
收敛，且和为 1
a
q
.
当q
1时，lim n
Sn
，故级数
aqn1
n1
发散.
当q 当q
1时，lim n

43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国

无穷级数可以发散或者收敛，它的和可能是一个有限的数，也可能是无穷大。
为什么无穷级数重要？
无穷级数在数学和物理中有广泛应用，如计算近似值、求和函数、描述自然现象等。
级数敛散性的概念与判别法
敛散性概念
级数收敛指其部分和有限，发 散指其部分和无限。级数可以 发散，渐近发散，或者绝对收 敛。
比较判别法
通过与已知级数相比较，判断 待定级数的敛散性。包括比较 判别法和极限判别法。
级数的每一项都是非负的，但这个级数的全体部分和是无限的。
2 条件收敛的性质
条件收敛级数不满足交换律，对项次序作任何更改均会得到不同的和。
3 条件收敛的意义
条件收敛级数在实际应用中具有重要性，例如傅里叶级数。
相关级数的概念与定理
1
相关级数的概念
如果两个级数至少有一个公共项，它们就是相关级数。
2
绝对和的性质
绝对收敛级数的定义与性质
1 绝对收敛的定义
2 绝对收敛的性质
级数的每一项都是非负的， 且这个级数的全体部分和 是有限的。
绝对收敛级数满足各种数 学运算，比如加法交换律 和乘法结合律。
3 绝对收敛的意义
绝对收敛级数的和在累加 中是稳定的，不受项的次 序影响。
Hale Waihona Puke 条件收敛级数的定义与性质1 条件收敛的定义
《高等数学教学课件汇编》 第五章1无穷级数的敛散 性
探索无穷级数的敛散性，包括概述、敛散性判别法、控制误差的方法，以及 绝对收敛级数和条件收敛级数的定义与性质。
无穷级数概述
什么是无穷级数？
无穷级数是由无穷多个项相加的表达式，例如1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...。

n 1
n 1
设法求出和函数s( x)
an xn ,
n 1
n(n 1)
例10 求 n 1
2n
的和.
1 将其转化成幂级数求和函数问题.
2
原式
s(
1 2
),
s(x)
n(n
n 1
1)xn
2x (1 x)2
.
3
推广：
n1
n（n 3n
1）
S
(
1
)，
3 n1
n（n 1
n1）
S(1) 5
.
5
n1 的和 .
n0
(2n1)!
解: 原式 = 1 (1)n (2n 1) 1
2 n0 ( 2 n 1)!
1 2
n0
(1)n ( 2 n)!
n0
(
(1)n 2 n 1)!
1 [cos1 sin 1 ].
2
（参见例6 ，也可用间接法解本题.）
（间接法）求数项级数和：
化
an an x0n s( x0 ),
0
0
n 0
∴
f(x)
x(1)nx2ndx(1)nx2n 1
(
x
1).
0 n0
n0 2n1
例13
将函数
(2
1
x )2
展开成 x 的幂级数.
解:
1 (2x)2
1 2x
11
2
1
x 2
1 2
xn 2n
n0
1 2
n 1
n x n1 2n
x2 (
)n
x n1 2
1x12x2
x 2x2
,

sn
,
这时级数发散.
若q 1,这时sn na (n ),因此级数发散. 若q 1,这时级数成为a a a a 此级数发散。
第12页/共122页
综上所述,几何级数
aqn a aq aq2 aqn
当|q|<1时级数收敛,且收敛于 n0，当|q|≥1时级a数发散.
1 q
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对于无穷级数 un u1 u2 un
n1
记Ｓ１ ｕ１，
Ｓ２ ｕ，１ ｕ２，
Ｓｎ u1 u2 un ,
称Sｎ为级数的部分和， 称 { Ｓｎ} 为级数的部分和数列.
考察下列级数的部分和： 1
1 2
1 22
1 23
1 2n1
1 23 n
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对于 1 1 1 1 1
p 1 时, p 1 时,
收敛 发散
注意
几何级数
n1
1 pn
当 当
p p
1 时, 1 时,
收敛 发散
1 收敛 3
n1 n 2
1 发散
n1 n
1 收敛
n1 n n
1 收敛
n1 2n
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例5 判别级数
解
因为
的敛1散性.
n1 n 1 n
1
1
1
1
n 1
n2
n1 2
2n 2
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定理1 正项级数 它的部分和数列{sn}有上界.
u 收敛的充要条件是： n n1
证 必要性:
若
{Sn} 有界
un 收敛
n1
lim
n
Sn
存在
{Sn} 有上界.

234
n1
| un | 1 , 所以 un 0 , 级数发散；
2. 级数的一般项趋于零,不能保证级数一定收敛。
如 ln(1 1 ) : ln(1 1 ) 0 (n ) , 但级数发散。
n1
n
n
11
例4 判别级数 un的敛散性，其中 n1
1 un
1 n2 1
1 n2 2
1； n2 n
3
1. 级数的定义
数列 u1，u2，u3，，un，
一般项
无穷级数 u1 u2 u3 un
无 穷 项 求 和 叫 做 （ 常 数项 ） 无 穷 级 数 ，
简称（常数项）级数，记为 un .
一般项 部分和
n1
无穷级数表达式中的第n项un . n
sn u1 u2 un ui
部分和数列
则
lim
m
m
lim
n
sn
s.
例如，若级数 un 收敛， 则级数
n1
(u2n1 u2n ) 、 (u3n2 u3n1 u3n ) 均收敛，
n1
n1
且和不变.
18
注意
1.收敛级数可以加括弧，但收敛级数去括弧后所 成的级数不一定收敛.
例如 (1 1) (1 1) 收敛
1111
发散
2.如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数也发散.
n1 n1
n1
14
注:
(1) 不能由 (un vn) 收敛推出 un 、 vn 收敛；
n1
n1
n1
(2) 若 un 收敛,而 vn 发散,则 (un vn) 必发散.
n1
n1
n1
证 假设 (un vn) 收敛,由 vn (un vn ) un ,